Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам.
Поясним это определение на конкретных примерах.
Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, .
Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II).
Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II).
Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.
Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение: Цели урока:
Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
Тип урока:
урок обобщения и
систематизации знаний. Методы обучения:
частично-поисковый,
(эвристический). Тестовая проверка уровня знаний, решение
познавательных обобщающих задач, самопроверка,
системные обобщения. План урока.
Ход урока
1. Организационный момент.
Задание на дом: Параграф 1, пункт 1.4 Французский писатель Анатоль Франс однажды
заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы
переваривать знания, надо поглощать их с
аппетитом”. Давайте сегодня на уроке будем
следовать этому совету писателя, будем активны,
внимательны, будем поглощать знания с большим
желанием. Ведь они пригодятся вам в дальнейшем. Сегодня у нас заключительный урок по теме:
“Тригонометрические функции числового
аргумента”. Повторяем, обобщаем изученный
материал, методы и приёмы решения
тригонометрических выражений. 2. Тест с самопроверкой.
Работа проводится в двух вариантах. Вопросы на
экране. Учащиеся отмечают неправильные шаги.
Количество правильных ответов заносится в
листок учёта знаний. 3. Сообщение.
Сообщение об истории развития тригонометрии
(выступает подготовленный ученик). 4. Систематизация теоретического
материала.
Устные задания. 1) О чём речь? Что особенного? Определите знак выражения: а) cos (700°) tg 380°, 2) О чём говорит этот блок формул? В чём ошибка? 3) Рассмотрим таблицу: Тригонометрические
преобразования
4) Решение задач каждого вида
тригонометрических преобразований. Отыскание значений тригонометрических
выражений.
Нахождение значения тригонометрической
функции по известному значению данной
тригонометрической функции.
Дано: sin = ; < < Найти cos2, ctg2. Ответ: . < < 2 Найти: cos2 , tg2 Третий уровень сложности:
Дано: sin = ; < < Найти: sin2 ; sin (60° - ); tg (45° + ) Дополнительное задание.
Докажите тождество: 4 sin 4 - 4 sin 2 = cos 2 2 - 1 6. Итог самостоятельной работы.
Учащиеся проверяют работу и заносят результаты
в листок учёта знаний. 7. Подводится итог урока.
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем. Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно: 1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0); 2) на окружности найти точку, соответствующую числу t; 3) найти ординату этой точки. Эта ордината и есть sin t. Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число. Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили: sin 2 t+cos 2 t = 1 Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t: Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций. Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а
(а не числа, как это было в предыдущих параграфах). Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны. Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14 вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы координат), а одну сторону угла совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с окружностью обозначим буквой М. Ордина- рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o . Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения. Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим: Таким образом, Например, Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще: В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем. Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°. Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента. Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций. Какое бы действительное число t
ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t)
. Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем. Чтобы по числу t
найти значение sin(t)
, нужно: Фактически речь идет о функции s = sin(t)
, где t
- любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0
, \(sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \)
и т.д.), знаем некоторые ее свойства. Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях:
s = cos(t)
s = tg(t)
s = ctg(t)
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t
. Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое. К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии - это основное тригонометрическое тождество
: \[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \] Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом: \[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \] Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс: \[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \] Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике. ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \(1+ \tan^2 \; t \), б) \(1+ \cot^2 \; t \) а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат: \[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] \[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем: \[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \] Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем:
\[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \] б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким: \[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \] Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев: \[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \] \[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \] Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
- Зачётные работы (задания были вывешены на
стенде).№
1 вариант
2 вариант
1
Дайте определение синуса и косинуса
острого угла
Дайте определение тангенса и
котангенса острого угла
2
Какие числовые функции называют
тангенсом и котангенсом? Дайте определение.
Какие числовые функции называют
синусом и косинусом? Дайте определение.
3
Точка
единичной окружности имеет координаты . Найдите значения
sin, cos.
Точка
единичной окружности имеет координаты (- 0,8; - 0,6).
Найдите значение tg , ctg .
4
Какие из основных тригонометрических
функций являются нечётными? Запишите
соответствующие равенства.
Какие из основных тригонометрических
функций являются чётными? Запишите
соответствующие равенства.
5
Как изменяются значения синуса и
косинуса при изменении угла на целое число
оборотов? Запишите соответствующие равенства.
Как изменяются значения тангенса и
котангенса при изменении угла на целое число
оборотов? В чём особенность? Запишите
соответствующие равенства.
6
Найдите значения sin cos, sin(- 630°), cos (- 630°).
Найдите значения tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°).
7
На каком рисунке изображён график
функции у= sin x?
На каком рисунке изображён график
функции у= tg х?
8
Запишите формулы приведения для углов ( - ), (- ).
Запишите формулы приведения для углов (+ ), (+ ).
9
Напишите формулы сложения.
Напишите основные тригонометрические
тождества.
10
Напишите формулы понижения степени.
Напишите формулы двойного аргумента.
б) cos (- 1) sin(- 2)Отыскание значений тригонометрических
выражений
Нахождение значения
тригонометрической функции по известному
значению данной тригонометрической функции
Упрощение тригонометричес-ких
выражений
Тождества
Тригонометрические функции числового аргумента
Связь тригонометрических функций
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!