La regla para encontrar un número por su fracción.:
Para encontrar un número a partir de un valor dado de su fracción, debes dividir este valor por la fracción.
Veamos cómo encontrar un número por su fracción, usando ejemplos específicos.
Ejemplos.
1) Encuentra un número cuyos 3/4 sean iguales a 12.
Para encontrar un número por su fracción, divide el número por esa fracción. Para, es necesario numero dado multiplicar por el recíproco de la fracción (es decir, por la fracción invertida). Para hacer esto, debes multiplicar el numerador por este número y dejar el denominador sin cambios. 12 y 3 por 3. Como tenemos uno en el denominador, la respuesta es un número entero.
2) Encuentra un número si 9/10 es igual a 3/5.
Para encontrar un número dado el valor de su fracción, divide este valor por esta fracción. Para dividir una fracción por otra, multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda (invertida). Para multiplicar una fracción por una fracción, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. Reducimos 10 y 5 por 5, 3 y 9 por 3. Como resultado, obtenemos la fracción irreducible correcta, lo que significa que este es el resultado final.
3) Encuentra un número cuyos 9/7 sean iguales.
Para encontrar un número por el valor de su fracción, divide ese valor por esa fracción. Número mixto y multiplicarlo por el inverso del segundo número (fracción invertida). Reducimos 99 y 9 a 9, 7 y 14 a 7. Como obtuvimos una fracción impropia, debemos separar la parte entera de ella.
En esta lección veremos los tipos de problemas que involucran fracciones y porcentajes. Aprendamos cómo resolver estos problemas y descubramos cuáles de ellos podemos encontrar en la vida real. Descubramos un algoritmo general para resolver problemas similares.
No sabemos cuál era el número original, pero sabemos cuánto resultó cuando le quitamos una determinada fracción. Necesitamos encontrar el original.
Es decir, no lo sabemos, pero también lo sabemos.
Ejemplo 4
El abuelo pasó su vida en el pueblo, que fue de 63 años. ¿Cuántos años tiene el abuelo?
No conocemos el número original: la edad. Pero sabemos la proporción y a cuántos años pertenece esta proporción de la edad. Formamos una igualdad. Tiene la forma de una ecuación con una incógnita. Lo expresamos y lo encontramos.
Respuesta: 84 años.
No es una tarea muy realista. Es poco probable que el abuelo dé esa información sobre sus años de vida.
Pero la siguiente situación es muy común.
Ejemplo 5
5% de descuento en tienda utilizando la tarjeta. El comprador recibió un descuento de 30 rublos. ¿Cuál era el precio de compra antes del descuento?
No conocemos el número original: el precio de compra. Pero sabemos la fracción (los porcentajes que están escritos en la tarjeta) y de cuánto fue el descuento.
Creemos nuestra línea estándar. Expresamos la cantidad desconocida y la encontramos.
Respuesta: 600 rublos.
Ejemplo 6
Nos enfrentamos a este problema aún más a menudo. No vemos el monto del descuento, sino cuál es el costo después de aplicar el descuento. Pero la pregunta es la misma: ¿cuánto pagaríamos sin el descuento?
Volvamos a tener una tarjeta con un 5% de descuento. Mostramos nuestra tarjeta en la caja y pagamos 1.140 rublos. ¿Cuál es el costo sin descuento?
Para solucionar el problema en un solo paso, reformulémoslo un poco. Como tenemos un 5% de descuento, ¿cuánto pagamos del precio total? 95%.
Es decir, no conocemos el costo original, pero sabemos que el 95% son 1140 rublos.
Aplicamos el algoritmo. Obtenemos el costo inicial.
3. Sitio web “Matemáticas en línea” ()
Tarea
1. Matemáticas. 6to grado/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhojov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. págs. 104-105. cláusula 18. n° 680; núm. 683; N° 783 (a, b)
2. Matemáticas. 6to grado/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhojov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. - M.: Mnemosyne, 2011. No. 656.
3. El programa de competiciones deportivas escolares incluía salto de longitud, salto de altura y carrera. Todos los participantes participaron en la competencia de carrera, el 30% de todos los participantes participaron en la competencia de salto de longitud y los 34 estudiantes restantes participaron en la competencia de salto de altura. Encuentre el número de participantes en la competencia.
Encontrar un número por su fracción
Nota 1
Para encontrar un número a partir de un valor dado de su fracción, debes dividir este valor por la fracción.
Ejemplo 1
Anton ganó dinero en una semana de estudio. tres cuartos excelentes marcas. ¿Cuántas notas recibió Anton si obtuvo notas excelentes? 6 .
Solución.
Según el problema, las marcas de $6$ son $\frac(3)(4)$.
Encontremos el número de todas las marcas:
$6\div \frac(3)(4)=6 \cdot \frac(4)(3)=\frac(6 \cdot 4)(3)=\frac(2 \cdot 3 \cdot 4)(3) =2\cdot 4=8$.
Respuesta: sólo $8$ marcas.
Ejemplo 2
Cortaron $\frac(4)(9)$ de trigo en el campo. Calcula el área del campo si se cortaron $36$ hectáreas.
Solución.
Según las condiciones del problema, $36$ ha es $\frac(4)(9)$.
Encontremos el área de todo el campo:
$36\div \frac(4)(9)=36 \cdot \frac(9)(4)=\frac(36 \cdot 9)(4)=\frac(4 \cdot 9 \cdot 9)(4) =81$.
Respuesta: el área de todo el campo es de $81$ hectáreas.
Ejemplo 3
En un día el autobús cubrió $\frac(2)(3)$ de la ruta. Encuentre la duración de la ruta prevista si el autobús viajó $ 350 $ km en un día.
Solución.
Según las condiciones del problema, $350$ km son $\frac(2)(3)$.
Encontremos la duración de toda la ruta del autobús:
$350\div \frac(2)(3)=350 \cdot \frac(3)(2)=\frac(350 \cdot 3)(2)=175 \cdot 3=525$.
Respuesta: duración de la ruta planificada $525$ km.
Ejemplo 4
El trabajador aumentó la productividad de su trabajo en $%\ $y fabricó $24$ más piezas de las planificadas en el mismo período. Encuentre el número de piezas que planea completar el trabajador.
Solución.
Según las condiciones del problema, $24$ partes = $8\%$ y $8\% = 0.08$.
Encontremos el número de piezas que el trabajador planea completar:
$24\div 0.08=24\div \frac(8)(100)=24 \cdot \frac(100)(8)=\frac(24 \cdot 100)(8)=\frac(3 \cdot 8 \cdot 100)(8)=$300.
Respuesta: Se planean $300$ en piezas para que el trabajador las complete.
Ejemplo 5
El taller reparó $9$ de máquinas, que es $18\%$ de todas las máquinas del taller. ¿Cuántas máquinas hay en el taller?
Solución.
Según las condiciones del problema, $9$ máquinas = $18\%$, y $18\% = 0,18.$
Encontremos el número de máquinas en el taller:
$9\div 0.18=9\div \frac(18)(100)=9 \cdot \frac(100)(18)=\frac(9 \cdot 100)(18)=\frac(9 \cdot 100 )( 2 \cdot 9)=\frac(100)(2)=$50.
Respuesta: $50$ máquinas en el taller.
Expresiones fraccionarias
Considere la fracción $\frac(a)(b)$, que es igual al cociente $a\div b$. En este caso conviene escribir el cociente de dividir una expresión entre otra mediante una barra.
Ejemplo 6
Por ejemplo, la expresión $(13,5–8,1)\div (20,2+29,8)$ se puede escribir de la siguiente manera:
$\frac(13,5-8,1)(20,2+29,8)$.
Después de realizar los cálculos, obtenemos el valor de esta expresión:
$\frac(13.5-8.1)(20.2+29.8)=\frac(5.4)(50)=\frac(10.8)(100)=$0.108.
Definición 1
expresión fraccionaria es el cociente de dos números o expresiones numéricas en las que el signo $“:”$ se reemplaza por una barra fraccionaria.
Ejemplo 7
$\frac(2.4)(1.3 \cdot 7.5)$, $\frac(\frac(5)(8)+\frac(3)(11))(2.7-1.5 )$, $\frac(2a-3b )(3a+2b)$, $\frac(5,7)(ab)$ – expresiones fraccionarias.
Definición 2
La expresión numérica que se escribe encima de la línea fraccionaria se llama numerador, y la expresión numérica que se escribe debajo de la línea fraccionaria es denominador expresión fraccionaria.
El numerador y denominador de una expresión fraccionaria pueden contener números, números o letras.
Para expresiones fraccionarias, se pueden aplicar las mismas reglas que se aplican a las fracciones ordinarias.
Ejemplo 8
Encuentra el valor de la expresión $\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))$.
Solución.
Multipliquemos el numerador y denominador de esta expresión fraccionaria por el número $77$:
$\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))=\frac(5 \frac(3)(11) \cdot 77)(3 \frac(2)( 7) \cdot 77)=\frac(406)(253)=1.6047…$
Respuesta: $\frac(5 \frac(3)(11))(3 \frac(2)(7))=1.6047…$
Ejemplo 9
Encuentra el producto de dos números fraccionarios $\frac(16,4)(1,4)$ y $1 \frac(3)(4)$.
Solución.
$\frac(16.4)(1.4) \cdot 1 \frac(3)(4)=\frac(16.4)(1.4) \cdot \frac(7)(4)=\frac (4.1)(0.2)=\ fracción(41)(2)=$20,5.
Respuesta: $\frac(16.4)(1.4) \cdot 1 \frac(3)(4)=$20.5.
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Tema de la lección. Encontrar una fracción a partir de un número y un número a partir de su fracción (lección 2)
Buenas tardes. Hoy continuaremos estudiando el tema que comenzamos: resolveremos problemas para encontrar una fracción a partir de un número. Y “restaurar” un número a partir de su fracción.
Propongo considerar una serie de ejemplos.
Las fracciones se utilizan en matemáticas para representar brevemente una parte de una cantidad que se está considerando.
Pero si hay una parte, entonces ciertamente hay un todo (es decir, del que se tomó esta parte).
Conociendo el todo, se puede encontrar su parte, indicada por la fracción correspondiente.
Anótalo en tu cuaderno y analiza el problema.
Ejemplo 1. Consideremos el problema.
El libro tiene 160 páginas. Yura leyó 4/5 del libro. ¿Cuántas páginas leyó Yura?
En primer lugar, encontremos el todo en el problema. Este es el libro completo y tiene sólo 160 páginas.
Veamos la fracción (parte) del todo: 4/5. El denominador es 5, lo que significa que el todo se divide en 5 partes y podemos encontrar cuántas páginas forman 1/5 de la parte.
1) 160: 5 = 32 (páginas): constituye 1/5 de las páginas.
El numerador de la fracción es 4, lo que significa que se toman 4 partes.
2) 32 4 = 128 (páginas): constituyen 4/5 del libro.
Respuesta: Yura leyó 128 páginas.
Regla. Para encontrar una fracción de un número, debes dividir este número por el denominador y multiplicar el resultado por su numerador.
Ahora intenta resolver el problema tú mismo. Y compare la solución con la siguiente.
Ejemplo 2.
Encuentra 7/20 de 40.
El número entero es 40. La parte requerida es 7/20 de 40. El denominador es 20, lo que significa que nuestro número entero: 40 se dividió en 20 partes y podemos encontrar a qué es igual 1/20 de nuestro número.
1)40:20=2 - es 1/20 del número dado. Y necesitamos tomar 7 de esas partes. Así que tú necesitas:
Por tanto, 7/20 de 40 será igual a 14.
Respuesta: 14.
Ahora veamos el problema inverso.
Háganos saber alguna parte del número. ¿Cómo encontrar el número entero?
Consideremos tarea.
El tren recorrió 240 km, lo que representó 15/23 de todo el recorrido. ¿Qué ruta debe tomar el tren?
Solución. No conocemos todo el camino. Pero se sabe que se dividió en 23 partes iguales, ya que el denominador es 23. Y como el numerador es 15, el tren recorrió 15/23 de todo el recorrido, que son 240 km.
Entonces nosotros tenemos:
15/23 - 240 kilómetros.
¿Todo el camino?
Solución
1) 240: 15 = 16 (kilómetros). - esto es 1/23 de todo el camino.
El camino completo (el todo) siempre se denota como uno, que se puede expresar como la fracción 23/23.
Esto significa que para encontrar el camino completo (23 partes, cada una de las cuales tiene 16 km) necesitas:
2) 16 23 = 368 (kilómetros)
Respuesta: el recorrido completo es de 368 km.
Regla. Para encontrar (recuperar) un número a partir de su fracción, debes dividir este número por el numerador y multiplicar el resultado por el denominador.
Intenta resolver el ejemplo tú mismo. Y compare el resultado con el siguiente.
Hay 12 niños en la clase, lo que representa 4/5 de todos los estudiantes de la clase. ¿Cuántas personas hay en la clase?
Tenemos:
4/5 - 12 niños.
Total de niños - ?
1) 12: 4 = 3 (niños): esto es 1/5 de la clase. Entonces el total en la clase es:
2) 3 5 =15 (niños)
Respuesta: Hay 15 niños en total en la clase.
Miremos más de cerca tarea.
Compramos 8 kg como regalo para los niños. dulces y luego compró 3/4 de esta cantidad.
Comprado - 8 kg
Compré más, desde 8 kg.
Solución.
: 4 = 2 (kg) - 1/4 de 8 kg.
3 = 6 (kg) - 3/4 de 8 kg.
Breve resumen de la tarea. Inicialmente pensábamos comprar 8 kg. - es decir, esta es una parte entera - 1 = 8 kg. Y luego compramos otros 3/4 de nuestra parte entera, es decir, de 8 kg. - que son 6 kg.
Y luego tenemos:
14 kilos - 1 + 3/4
Veamos el problema 986 del libro de texto.
Total -280 kg. helado
1er día - 3/7 kg. vendido
2do día 3/4 de lo vendido el 1er día
Vendido en 2 días - ?
Solución :
Primero, encontremos cuánto helado se vendió el día 1.
1)280: 7 = 40 (kg) - 1/7 del total del helado.
2) 40 3 = 120 (kg) - 3/7 de todo el helado (esa cantidad de helado se vendió el primer día). Ahora busquemos * a partir de la cantidad de helado vendido el primer día. - es decir, helado vendido el segundo día. Entonces toda la pieza será de 120 kg. Y 3/4 de esta parte.
4 = 30 (kg) - 1/4 del helado vendido el 1er día.
3)120 + 90 = 210 (kg).
Respuesta: se vendieron un total de 210 kg. helado con 2 días de antelación.
Breve resumen de la tarea. Primero, encontramos una parte del número entero (de 280 kg) y obtuvimos 120 kg. Y luego encontramos parte de 120 kg. Y al final obtuvimos 90 kg, lo que equivale a 120 kg.
¿Consideremos el problema? 990 del libro de texto.
Peras - 30.000 m²
Ciruelas - 7/3 del área de peras
Solución :
Primero, encontremos cuánta área ocupan las ciruelas.
1)30.000: 3 = 10.000 (m2) - 1/3 del área ocupada por peras. Y 7 de estas partes están ocupadas por ciruelas. Entonces
00 7 = 70.000 (m2) - ocupado por ciruelas.
Resuelve tú mismo los ejercicios: 974.978.980.981.984.987.988.989.992.
Sólo una pista de patinaje.
Solución. Denotamos el área de la pista de patinaje por x m2. Según la condición, esta superficie es igual a 800 m 2, es decir x=800.
Esto significa x = 800:= 800 =2000. La superficie de la pista de patinaje es de 2000 m2.
Para encontrar un número a partir de un valor dado de su fracción, debes dividir este valor por la fracción.
Tarea 2. Se siembran 2.400 hectáreas de trigo, lo que supone el 0,8 de todo el campo. Encuentra el área de todo el campo.
Solución. Dado que 2400:0,8 = 24.000:8 = 3000, entonces el área de todo el campo es de 3000 hectáreas.
Tarea 3. Habiendo aumentado la productividad laboral en un 7%, el trabajador fabricó 98 piezas más de lo planeado en el mismo período. ¿Cuántas partes tuvo que completar el trabajador según el plan?
Solución. Dado que 7% = 0,07 y 98:0,07 = 1400, entonces el trabajador según el plan tenía que fabricar 1400 piezas.
? Formule una regla para encontrar un número dado su valor. fracciones. Cuéntanos cómo encontrar un número a partir de un valor dado de su porcentaje.
A 631. La niña esquió 300 m, que era la distancia completa. ¿Cuál es la distancia?
632. El pilote se eleva sobre el agua 1,5 m, que es la longitud de todo el pilote. ¿Cuál es la longitud de toda la pila?
633. Al silo se enviaron 211,2 toneladas de grano, lo que equivale a 0,88 granos trillados por día. ¿Cuánto grano moliste por día?
634. Por la propuesta de racionalización, el ingeniero recibió además de su salario mensual 68,4 rublos, es decir, el 18% de este salario. ¿Cuál es el salario mensual de un ingeniero?
635. La masa del pescado seco es el 55% de la masa del pescado fresco. ¿Cuánto pescado fresco necesitas tomar para obtener 231 kg de pescado seco?
636. La masa de uvas de la primera caja es igual a la masa de uvas de la segunda caja. ¿Cuántos kilogramos de uvas había en dos cajas si la primera caja contenía 21 kg de uvas?
637. Se vendieron los esquís recibidos en la tienda, tras lo cual quedaron 120 pares de esquís. ¿Cuántos pares de esquís recibió la tienda?
638. Cuando se secan, las patatas pierden el 85,7% de su peso. ¿Cuántas patatas crudas necesitas tomar para secar 71,5 toneladas?
639. Un depositante de Sberbank depositó una determinada cantidad en un depósito a plazo y un año después tenía 576 rublos en su libreta de ahorros. 80 k ¿Cuál fue el monto del depósito si Sberbank paga el 3% anual sobre los depósitos a plazo?
640. El primer día los turistas recorrieron la ruta prevista y el segundo día el 0,8 de lo que recorrieron el primer día. ¿Cuánto mide la ruta prevista si los turistas caminaron 24 km el segundo día?
641. El estudiante leyó primero 75 páginas y luego algunas páginas más. Su número fue el 40% de lo leído la primera vez. ¿Cuántas páginas hay en un libro si se leen todos los libros?
642. El ciclista recorrió primero 12 kilómetros y luego varios kilómetros más, lo que equivalía a la primera parte del viaje. Después de eso, sólo tuvo que recorrer todo el camino. ¿Cuál es la longitud de todo el camino?
643. del número 12 es un número desconocido. Encuentra este número.
644. El 35% de 128D es el 49% del número desconocido. Encuentra este número.
645. El quiosco vendió el 40% de todos los cuadernos el primer día, el 53% de todos los cuadernos el segundo día y los 847 cuadernos restantes el tercer día. ¿Cuántas libretas vendió el quiosco en tres días?
646. El primer día la base de hortalizas liberó el 40% de todas las patatas disponibles, el segundo día el 60% del resto y el tercer día las 72 toneladas restantes. ¿Cuántas toneladas de patatas había en la base?
647. Tres trabajadores produjeron un determinado número de piezas. El primer trabajador produjo el 0,3 de todas las piezas, el segundo el 0,6 del resto y el tercero las 84 piezas restantes. ¿Cuántas piezas fabricaron los trabajadores en total?
648. El primer día la cuadrilla del tractor aró la parcela, el segundo día el resto y el tercer día las 216 hectáreas restantes. Determine el área del sitio.
649. El auto recorrió todo el recorrido en la primera hora, el resto del recorrido en la segunda hora y el resto del recorrido en la tercera hora, se sabe que en la tercera hora recorrió 40 km menos que en la segunda hora. . ¿Cuántos kilómetros recorrió el auto en estas 3 horas?
650. Puedes encontrar un número mediante un valor porcentual determinado usando una microcalculadora. Por ejemplo, puedes encontrar un número cuyo 2,4% es 7,68 usando la siguiente programa :
Realizar los cálculos. Encuentra usando una microcalculadora:
a) un número cuyo 12,7% sea igual a 4,5212;
b) un número cuyo 8,52% es igual a 3,0246.
PAG 651. Calcular oralmente:
652. Sin dividir, comparar:
653. ¿Cuántas veces es menor el número que su recíproco?
654. Calcula un número que sea 4 veces menor que su recíproco; 9 veces.
655. Dividir verbalmente el número central por el número en círculos:
656. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado se necesitarán para colocar el piso en una habitación de 5,6 m de largo y 4,4 m de ancho? Resuelva el problema de dos maneras.
METRO 657. Encuentre la regla para colocar números en semicírculos e inserte los números que faltan (Fig. 29).
658. Realizar división:
659. El ciclista recorrió 7 km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá un ciclista en 2 horas si va a la misma velocidad?
660. En 4~ horas un peatón caminó 1 km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá un peatón en 2 horas si camina a la misma velocidad?
661. Reducir la fracción:
663. Sigue estos pasos:
1) 10,14-9,9 107,1:3,5:6,8-4,8;
2) 12,34-7,7 187,2:4,5:6,4-3,4.
D 664. Del barril se echó el queroseno que había allí ¿Cuántos litros de queroseno había en el barril si de él se echaron 84 litros?
665. Al comprar un televisor en color a crédito, se pagaron en efectivo 234 rublos, lo que representa el 36% del coste del televisor. ¿Cuánto cuesta un televisor?
666. Un trabajador recibió un vale para un sanatorio con un descuento del 70% y pagó por él 42 rublos. ¿Cuánto cuesta un viaje al sanatorio?
667. Un pilar excavado en el suelo a lo largo de su longitud se eleva 5 m sobre el suelo. Encuentre la longitud total del pilar.
668. Un tornero, después de haber torneado 145 piezas en una máquina, superó el plan en un 16%. ¿Cuántas piezas debían girarse según el plan?
669. El punto C divide el segmento AB en dos segmentos AC y CB. La longitud del segmento AC es 0,65 veces la longitud del segmento CB. Encuentre las longitudes de los segmentos CB y AB si AC = 3,9 cm.
670. La distancia de esquí se divide en tres tramos. La longitud de la primera sección es 0,48 veces la longitud de la distancia total, la longitud de la segunda sección es la longitud de la sección izquierda. ¿Cuál es la longitud total de la distancia si la longitud del segundo tramo es de 5 km? ¿Cuál es la longitud de la tercera sección?
671. De un barril lleno sacaron 14,4 kg de chucrut y luego esta cantidad más. Después de esto, el chucrut que había antes quedó en la barrica. ¿Cuántos kilogramos de chucrut había en un barril lleno?
672. Cuando Kostya ha recorrido 0,3 del camino total desde la casa a la escuela, todavía le quedan 150 m para llegar a la mitad del camino.¿Cuánto mide el camino desde la casa de Kostya a la escuela?
673. Tres grupos de escolares plantaron árboles a lo largo del camino. El primer grupo plantó el 35% de todos los árboles disponibles, el segundo grupo plantó el 60% de los árboles restantes y el tercer grupo plantó los 104 árboles restantes. ¿Cuántos árboles has plantado?
674. El taller contaba con máquinas torneadoras, fresadoras y rectificadoras. Los tornos componían todas estas máquinas. El número de rectificadoras era igual al número de tornos. ¿Cuántas máquinas de este tipo había en el taller si había 8 fresadoras menos que tornos?
675. Sigue estos pasos:
a) (1,704:0,8 -1,73) 7,16 -2,64;
b) 227,36:(865,6 - 20,8 40,5) 8,38 + 1,12;
c) (0,9464:(3,5 0,13) + 3,92) 0,18;
d) 275,4: (22,74 + 9,66) (937,7 - 30,6 30,5).
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemáticas para el sexto grado, Libro de texto para escuela secundaria
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