Polígono. Vértices, esquinas, lados y diagonales.
polígono. Perímetro de un polígono.
Simple polígono. Polígono convexo.
Suma de ángulos interiores de un polígono convexo.
Una figura plana formada por una cadena cerrada de segmentos se llama polígono. Dependiendo del número de ángulos, un polígono puede ser un triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono etc. La Figura 17 muestra el hexágono ABCDEF. Puntos A, B, C, D, E, F – vértices
Polígono; ángulos A, B, C, D, E, F – ángulos poligonales; segmentos AC, AD, BE, etc. - diagonales; AB, BC, CD, DE, EF, FA – lados de un polígono; la suma de las longitudes de los lados AB + BC + ... + FA se llama perímetro y se denota p (a veces se denota - 2p, luego p es el semiperímetro). En geometría elemental, solo se consideran polígonos simples cuyos contornos no tienen autointersecciones, como se muestra en la Fig. 18. Si todas las diagonales están dentro del polígono, se llama convexo. El hexágono de la Fig. 17 es convexo; el pentágono ABCDE en la Fig. 19 no es convexo, ya que su diagonal AD está afuera. La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es 180º (n – 2), donde n es el número de ángulos (o lados) del polígono.
Paralelogramo. Propiedades y características de un paralelogramo.
Rectángulo. Propiedades básicas de un rectángulo. Rombo.
Cuadrado . Trapezoide. Líneas medias del trapecio y del triángulo.
Un paralelogramo (ABCD, Fig. 32) es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. 
Dos lados opuestos cualesquiera de un paralelogramo se llaman bases y la distancia entre ellos se llama altura (BE, Fig. 32).
Propiedades de un paralelogramo.
1. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales(AB = CD, ANUNCIO = BC).
2. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.(A=C, B=D).
3. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan en su punto de intersección.(AO = OC, BO = OD).
4. La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados.sus cuatro lados:
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².
Signos de un paralelogramo.
Un cuadrilátero es un paralelogramo si se cumple una de las siguientes condiciones:
1. Los lados opuestos son iguales en pares(AB = CD, ANUNCIO = BC).
2. Los ángulos opuestos son iguales en pares.(A=C, B=D).
3. Dos lados opuestos son iguales y paralelos(AB = CD, AB || CD).
4.Las diagonales se bisecan en su punto de intersección.(AO = OC, BO = OD).
Rectángulo.
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Si uno de los ángulos de un paralelogramo es recto, entonces todos los demás ángulos también lo son (¿por qué?). Tal paralelogramo se llama rectángulo (Fig. 33).
Propiedades básicas de un rectángulo.
Los lados de un rectángulo también son sus alturas.
Las diagonales del rectángulo son iguales: CA = BD.
El cuadrado de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.(ver el teorema de Pitágoras arriba):
CA 2 = AD 2 + DC 2.
Rombo. Si todos los lados de un paralelogramo son iguales, entonces este paralelogramo se llama diamante (Figura 34) .
Las diagonales de un rombo son mutuamente perpendiculares (AC BD) y bisecan sus ángulos. (DCA = BCA, ABD = CBD, etc.).
El cuadrado es paralelogramo con ángulos rectos y lados iguales (Figura 35). Un cuadrado es un caso especial de rectángulo y rombo al mismo tiempo; por lo tanto, tiene todas las propiedades anteriores.
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trapezoide es un cuadrilátero cuyos lados opuestos miden cienlos rodanos son paralelos(Figura 36).
Aquí ANUNCIO || ANTES DE CRISTO. Los lados paralelos se llaman razones trapezoide, y los otros dos (AB y CD) sonlados.La distancia entre bases (BM) es altura. Segmento de línea EF que conecta los puntos medios E y F
Los lados laterales se llaman línea media del trapecio. La línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases:
y paralelo a ellos: FE || AD y EF || ANTES DE CRISTO.
Un trapezoide con lados iguales (AB = CD) se llama isósceles. sin trapezoide. En un trapezoide equilátero los ángulos en cada base son iguales(A=D, B=C).
Un paralelogramo puede considerarse un caso especial de trapezoide.
Línea media del triángulo- este es un segmento conectando puntos medios lados laterales del triángulo. La línea media del triángulo es igual a la mitad.ª base y paralela a ella. o propiedad se deriva de la anterior
Punto, ya que un triángulo puede considerarse como un caso de degeneración de un trapezoide, cuando una de sus bases se convierte en punto.
Un polígono inscrito en un círculo.
Un polígono circunscrito a un círculo.
Descrito hay un círculo alrededor del polígono.
Inscrito en un círculo poligonal.
Radio de una circunferencia inscrita en un triángulo..
Radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo. .
Polígono regular.
Centro y apotema de un polígono regular.
Razones de lados y radios de polígonos regulares..
Inscrito en un círculo llamado polígono cuyos vértices están ubicados en el círculo de la Fig. 54). Descrito alrededor de un círculo. llamado nogoncuyos lados son tangentes al círculo
(Figura 55). 
Respectivamente, círculo que pasa por los vértices de un polígono(Fig.54), llamadodescrito sobre un polígono; círculo, para en el que los lados del polígono son tangentes (Fig. 55), en se llama inscrito en un polígono. por arbitrario es imposible meter un polígono en él y dibujar un círculo alrededor de él. Para triangulo Nick, esto siempre es posible.
Radio r del círculo inscritoexpresado a través de lados a B C triángulo:
Radio R del descrito círculo expresado por la fórmula: 
Un círculo puede inscribirse en un cuadrilátero si las sumas de sus lados opuestos son iguales.En paralelogramos, esto sólo es posible para un rombo (cuadrado). El centro del círculo inscrito se encuentra en el punto de intersección de las diagonales.Un círculo se puede describir alrededor de un cuadrilátero si su sumalos angulos opuestos son iguales 180º. En el caso de paralelogramos, esto sólo es posible para un rectángulo (cuadrado). El centro del círculo circunscrito se encuentra en el punto de intersección de las diagonales. Puedes describir un círculo alrededor de un trapezoide si es equilátero.r />
Un polígono regular es un polígono con lados y ángulos iguales.
La Fig. 56 muestra un hexágono regular y la Fig. 57 muestra un octágono regular. Un cuadrilátero regular es un cuadrado; un triángulo regular es un triángulo equilátero. Cada ángulo de un polígono regular es igual a 180º (n – 2) / n, donde n es el número de sus ángulos. Dentro de un polígono regular hay un punto O (Fig. 56), equidistante de todos sus vértices (OA = OB = OC = ... = OF), que se llama centro del polígono regular. El centro de un polígono regular también equidista de todos sus lados (OP = OQ = OR =...). Los segmentos OP, OQ, OR,... se llaman apotemas; Los segmentos OA, OB, OC, ... son los radios de un polígono regular. Se puede inscribir un círculo en un polígono regular y se puede describir un círculo a su alrededor. Los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden con el centro de un polígono regular. El radio de la circunferencia circunscrita es el radio de un polígono regular y el radio de la circunferencia inscrita es su apotema. Razones de lados y radios de polígonos regulares:
Para la mayoría de los polígonos regulares, es imposible expresar la relación entre sus lados y radios usando una fórmula algebraica.
EJEMPLO ¿Es posible cortar de un círculo un cuadrado de 30 cm de lado?
¿40 cm de diámetro?
Solución: El cuadrado más grande encerrado en un círculo es un inscrito.
Cuadrado. Según la fórmula anterior, su
El lado es igual a:
Por tanto, no se puede cortar un cuadrado de 30 cm de lado.
De un círculo de 40 cm de diámetro.
Los vértices del polígono y los segmentos son los lados del polígono. Vértices de un polígono - página No. 1/1
Geometría 8º grado K.K.Kurginyan Parte-1* (con un asterisco).
Polígono.
Definición: Un polígono es una figura geométrica que consta de una línea discontinua cerrada, plana y sin intersecciones. Los vértices de la línea discontinua se llaman picos polígono y los segmentos son fiestas polígono.
Los vértices de un polígono se llaman vecino, si son los extremos de uno de sus lados. Los segmentos de recta que conectan vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales .
Esquina exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en este vértice. Por lo general, un ángulo externo es la diferencia entre 180° y un ángulo interno, puede tomar valores desde -180° hasta 180°. La suma de los ángulos externos de un polígono es 360°.
Polígono convexo.
Polígonose llama convexo si:
DefiniciónI -
para dos puntos cualesquiera dentro de él, el segmento que los conecta se encuentra completamente en él.
DefiniciónII - cada ángulo interno mide menos de 180°.
DefiniciónIII - todas sus diagonales se encuentran completamente dentro de él.
DefiniciónIV –
se encuentra a un lado de cada línea recta que pasa por sus dos vértices vecinos.
suma de angulos
norte
-gon.
La suma de los ángulos de un n-gon convexo es (n-2)∙180°.
La suma de los ángulos de un n-gon no convexo también es igual a (n-2)∙180°. (La prueba es similar, pero utiliza además el lema de que cualquier polígono se puede cortar diagonalmente en triángulos).
Número de diagonales
norte
-gon.*
Teorema: El número de diagonales de cualquier n-gon es n(n-3)2.
Prueba: Sea n el número de vértices del polígono, calculemos p el número de posibles diagonales diferentes. Cada vértice está conectado por diagonales con todos los demás vértices, excepto con los dos vecinos y, naturalmente, con él mismo. Por tanto, se pueden trazar n-3 diagonales desde un vértice; Multipliquemos esto por el número de vértices (n-3)∙n, sin embargo, contamos cada diagonal dos veces (una vez por cada extremo, por lo tanto, debemos dividir entre 2); por lo tanto, p= n(n-3)2.
Problema*: ¿Qué polígono convexo tiene 25 diagonales más que lados?
25+n = nn-32
50 + 2norte = norte 2 - 3norte
norte 2 - 5 norte - 50 = 0
factoricemos
norte2-25-5norte-25 = 0
n=-5 no satisface,
porque no existe
tal polígono
n = 10 satisface
Respuesta: Decágono.
Formas con diagonales iguales.*
En la superficie hay dos polígonos regulares con todas las diagonales son iguales entre ellos - esto cuadrado Y pentágono regular (pentágono). Un cuadrado tiene dos diagonales idénticas que se cortan en ángulo recto en el centro. Un pentágono regular tiene cinco diagonales idénticas, que juntas forman el patrón de una estrella de cinco puntas (pentagrama).
En el espacio solo hay uno correcto poliedro (no es un polígono), cuál todas las diagonales son iguales entre ellos - esto octaedro regular (octaedro). en el octaedro tres diagonales que se cortan de dos en dos perpendicularmente en el centro. Todas las diagonales del octaedro son espaciales (el octaedro no tiene diagonales de caras, ya que tiene caras triangulares).
Además del octaedro, existe otro poliedro regular, que todas las diagonales espaciales son iguales entre ellos - esto cubo (hexaedro), Además de las espaciales, el cubo tiene diagonales de caras.. El cubo tiene cuatro diagonales espaciales idénticas que se cruzan en el centro. El ángulo entre las diagonales de un cubo es arccos (1/3) ≈ 70,5° (para un par de diagonales dibujadas a vértices adyacentes) o arccos (–1/3) ≈ 109,5° (para un par de diagonales dibujadas a no vértices adyacentes) -vértices adyacentes).
Cuadriláteros.
Cada cuadrilátero tiene cuatro vértices, cuatro lados y dos diagonales.
Dos lados no adyacentes se llaman lados opuestos.
Dos vértices no adyacentes se llaman opuestos.
1.paralelogramo
es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.
Propiedades de un paralelogramo:
1) Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. AB=DC, ANUNCIO=BC.
2) Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. A=C, B=D.
3) Las diagonales de un paralelogramo se cortan y se dividen por la mitad por el punto de intersección. AO=OC, BO=OD.
4) La suma de los ángulos adyacentes a un lado es 180°. A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.
5) La suma de todos los ángulos es 360°. A+B+C+D=360°.
6)* La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de sus dos lados adyacentes: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2).
Problema 1*: Calcula la diagonal de un paralelogramo si se sabe que la longitud de una diagonal es AC = 9 cm y los lados AD = 7 cm y AB = 4 cm.
Solución: Sustituyendo los valores en la fórmula obtenemos:
81+BD 2 =2∙(49+16),
BD 2 = 49, por lo tanto la segunda diagonal es BD = 7 cm Respuesta: 7 cm.
Problema 2*: Calcula la diagonal de un paralelogramo si se sabe que la longitud de una diagonal es BD=10 cm y los lados AD=8 cm y AB=2 cm.
Solución: Las condiciones del problema no son ciertas, ya que la suma de dos lados de un triángulo siempre es mayor que el tercer lado. Respuesta: el problema no tiene soluciones (significado).
Problema 3*: a) Encuentra el lado del paralelogramo si se sabe que la longitud de las diagonales es BD = 6 cm, AC = 8 y un lado AB = 5 cm b) ¿Cómo se llama este paralelogramo?
Problema 4**: La suma de las longitudes de las diagonales de un paralelogramo es 12 cm, y el producto de 32, encuentra el valor de la suma de los cuadrados de todos sus lados.
Problema 5**: Encuentra el perímetro más grande de un paralelogramo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm.
Solución: Probemos que entre todos los paralelogramos con longitudes diagonales dadas, el rombo tiene el perímetro más grande .
De hecho, deja a Y b son las longitudes de los lados adyacentes del paralelogramo y y son las longitudes de sus diagonales (ver Fig. 2). Entonces el perímetro del paralelogramo es: PAG = 2(a + b).
De la igualdad que expresa el teorema sobre la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo, se deduce que para todos los paralelogramos con diagonales dadas, la suma de los cuadrados de los lados es un valor constante.
Según la desigualdad entre la media aritmética y la media cuadrática: , y la igualdad se logra t. y t. t., cuando a = b. Esto significa que el paralelogramo con mayor perímetro es un rombo. Encuentra el lado de este rombo: =5(cm). Respuesta: 20 cm.
2.Rectángulo
es un paralelogramo en el que todos los ángulos son rectos.
Definición 2: Este es un cuadrilátero con todos los ángulos rectos.
Definición 3: Es un paralelogramo con un ángulo recto.
Definición 4: Es un paralelogramo cuyos ángulos son iguales.
Propiedades del rectángulo:
+
1) Las diagonales del rectángulo son iguales.
2)* El cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados. CA 2 =AB 2 +CC 2
Tarea 1: El lado más corto del rectángulo mide 5 cm, las diagonales se cortan en un ángulo de 60°. Encuentra las diagonales del rectángulo.
Tarea 2: El lado más corto de un rectángulo es 24, las diagonales se cortan en un ángulo de 120°. Encuentra las diagonales y el lado más largo del rectángulo.
Problema 3*: El lado del rectángulo mide 3 cm, la diagonal mide 5 cm, encuentra el otro lado del rectángulo.
Problema 4*: El lado del rectángulo mide 6 cm, la diagonal mide 10 cm Calcula el área del rectángulo.
3.rombo
es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.
Definición 2: Es un cuadrilátero con todos los lados iguales.
Propiedades de un rombo:
Mismas propiedades que un paralelogramo. +
1) Las diagonales de un rombo son mutuamente perpendiculares (AC ⊥ BD).
2) Las diagonales de un rombo dividen sus ángulos por la mitad (es decir, las diagonales de un rombo son las bisectrices de sus ángulos - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠ CDB).
3)*La suma de los cuadrados de las diagonales es igual al cuadrado del lado multiplicado por 4 (consecuencia de la identidad del paralelogramo). CA 2 +BD 2 =4 AB 2
Tarea 1: Las diagonales del rombo miden 6 y 8 cm Calcula el lado del rombo.
Tarea 2: El lado del rombo mide 10 cm y uno de los ángulos mide 60. Encuentra la pequeña diagonal del rombo.
4.Cuadrado
es un paralelogramo en el que todos los ángulos miden 90 y todos los lados son iguales.
Definición 2: Este es un paralelogramo en el que todos los ángulos y lados son iguales entre sí.
Definición 3: Este es un cuadrilátero en el que todos los ángulos y lados son iguales entre sí.
Definición 4: Este es un rombo con un ángulo recto.
Definición 5: Este es un rombo cuyos ángulos son iguales.
Definición 6: Es un rectángulo con todos los lados iguales.
Propiedades de un cuadrado:
Mismas propiedades que un paralelogramo. +
1) Las diagonales de un cuadrado son iguales.
2) Las diagonales del cuadrado son mutuamente perpendiculares (AC ⊥ BD).
3) Las diagonales de un cuadrado dividen sus ángulos por la mitad (es decir, las diagonales de un cuadrado son las bisectrices de sus ángulos - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ CDB=45).
4)* El cuadrado de la diagonal es igual al doble del cuadrado del lado. CA 2 = 2 AB 2
5.trapezoide es un cuadrilátero en el que dos lados son paralelos y los otros dos no son paralelos.
Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos se llaman lados laterales.
Un trapezoide se llama isósceles si sus lados son iguales.
Un trapezoide se dice rectangular si uno de sus ángulos es recto.
Tarea: Demuestre que un trapezoide no puede ser al mismo tiempo rectangular e isósceles.
Definición
Esquina superior
El vértice del ángulo es el punto donde se originan los dos rayos.
El vértice del ángulo es el punto donde se originan los dos rayos; donde se encuentran dos segmentos; donde se cruzan dos líneas; donde es cualquier combinación de rayos, segmentos y líneas que forman dos “lados” (en línea recta) que convergen en un punto.
Vértice del poliedro poligonal
En un polígono, un vértice se llama "convexo" si el ángulo interior del polígono es menor que π radianes (180° son dos ángulos rectos). De lo contrario, el vértice se llama "cóncavo".
De manera más general, un vértice de un poliedro es convexo si la intersección del poliedro con una esfera suficientemente pequeña que tiene el vértice como centro es una figura convexa; de lo contrario, el ápice es cóncavo.
Los vértices de un poliedro están relacionados con los vértices de un grafo, ya que un poliedro es un grafo cuyos vértices corresponden a los vértices de un poliedro, y por tanto la gráfica de un poliedro puede considerarse como un complejo simplicial unidimensional cuyos vértices son los vértices del gráfico. Sin embargo, en teoría de grafos, los vértices pueden tener menos de dos aristas incidentes, lo que normalmente no está permitido para los vértices geométricos. También existe una conexión entre los vértices geométricos y los vértices de la curva, los puntos de los extremos de su curvatura: los vértices del polígono son, en cierto sentido, puntos de curvatura infinita, y si el polígono se aproxima mediante una curva suave, los puntos de curvatura extrema se ubicará cerca de los vértices del polígono. Sin embargo, al aproximar el polígono utilizando una curva suave se obtienen vértices adicionales en los puntos de curvatura mínima.
Vértices de mosaicos planos.
"Orejas"
"Bocas"
Pico principal x yo (\displaystyle x_(i)) polígono simple P (\displaystyle P) llamada "boca" si la diagonal [ x yo - 1 , x yo + 1 ] (\ Displaystyle) se encuentra afuera P (\displaystyle P).
Número de vértices de un poliedro
Cualquier superficie de un poliedro convexo tridimensional tiene la característica de Euler:
V − mi + F = 2 , (\displaystyle VE+F=2,)Dónde V (\displaystyle V)- número de vértices, mi (\ Displaystyle E)- número de aristas, y F (\displaystyle F)- número de caras. Esta igualdad se conoce como ecuación de Euler. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 6 caras, y por tanto 8 vértices: 8 − 12 + 6 = 2 (\displaystyle 8-12+6=2) .
Picos en gráficos por computadora
En los gráficos por computadora, los objetos a menudo se representan como poliedros triangulados, en los que los vértices de un objeto están asociados no solo con tres coordenadas espaciales, sino también con otra información gráfica necesaria para la correcta construcción de una imagen de un objeto, como el color, reflectividad, textura y normales de vértice. Estas propiedades se utilizan al construir una imagen usando
En la sección de la pregunta Explica qué forma se llama polígono. ¿Cuáles son los vértices, lados, diagonales y perímetro de un polígono? dado por el autor Arek Grigoryan la mejor respuesta es Un polígono es una figura geométrica, definida como una línea discontinua cerrada.
Los vértices del polígono se llaman vértices del polígono y los segmentos se llaman lados del polígono.
Los segmentos que unen vértices no adyacentes de un polígono se llaman diagonales.
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos los polígonos.
Fuente: Gracias a Yandex por esto.
Respuesta de Bebé[gurú]
Respuesta de Neurólogo[novato]
La respuesta es ¡¡¡CORTAR!!!
Respuesta de Individual[novato]
muchas gracias
Respuesta de Hoja[novato]
polígono: figura con más de 4 ángulos.
vértice: el vértice de un ángulo, el punto de intersección de dos lados.
lado - bueno, en realidad - lado))) tal palo del que está compuesto
diagonal: una línea trazada de una esquina a otra
perímetro: la suma de las longitudes de todos los lados
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