Sea la posición de cualquier punto en el plano determinada únicamente por dos números, donde 
.
Dejar 
no negativo, continuo en el segmento 
función, 
.
Considere un conjunto de puntos
que se puede interpretar como un triángulo curvilíneo 
Para calcular el área de un triángulo curvilíneo, dividimos este triángulo en triángulos curvilíneos elementales.
Reemplacemos los triángulos curvilíneos elementales por triángulos rectángulos.
Sean iguales las alturas de estos triángulos,
y las bases, respectivamente, son .
Cuadrado 
el ésimo triángulo elemental obviamente será igual a
.
Área de un triángulo curvilíneo 
será aproximadamente igual
.
(1)
La expresión (1) puede considerarse como una suma integral de la función 
en el segmento 
.
Introduzcamos la notación 
.
- esto es mezquino
particiones 
.
Entonces el área del triángulo curvilíneo
obtenemos al pasar la expresión (1) al límite en 
=
.
(2)
Entonces, el área de una figura plana en el sistema de coordenadas polares es igual a
.
EJEMPLO Calcular el área de una figura encerrada por una curva (cardioide)
.
Solución. Dibujemos una gráfica de un cardioide.
Como podemos ver, la cardioide es una recta simétrica con respecto al eje. 
.
P 15. Cálculo de la longitud de la curva.
deja que la curva 
especificado paramétricamente
,
.
Dividamos el segmento. 
en 
partes con puntos.
Denotemos por 
puntos correspondientes en la curva 
. Conectemos estos puntos con líneas rectas.
El resultado roto 
llamada línea discontinua inscrita en una curva 
.
Longitud del enlace elemental 
igual a
Longitud de la línea 
en este caso será igual
.
(1)
Denotemos por 
. Entonces la longitud de la curva 
obtenemos pasando la expresión (1) al límite en 
.
(2)
Entonces la longitud de la curva 
según la expresión (2) está determinada por la fórmula
.
(3)
Longitud de la curva espacial 
, especificado paramétricamente
,
,
será igual
.
Si la curva plana se da explícitamente
,
,
entonces las ecuaciones paramétricas de la curva.
en este caso se puede representar en la forma
,
,
.
Como resultado, la expresión (3) se obtiene en la forma
.
EJEMPLO Encuentre la longitud de una curva dada paramétricamente.
Solución. Trazamos una curva dada
Dado que la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas, basta con encontrar 
.
Por lo tanto, la longitud de la curva será igual a
.
P 16. Integral impropia de primer tipo. Criterio de Cauchy. Signos de comparación.
El estudiante fue detenido cuando intentaba tomar
Integral impropia. Se está aclarando el dueño del integral.
La definición de integral de Riemann introducida anteriormente no es aplicable si la función f(x) no está acotada en el intervalo o si el intervalo de integración es infinito. En estos casos, se puede generalizar el concepto de integral definida e introducir el concepto de integral impropia.
Dejemos que la función f(x) se defina en un semiintervalo infinito V x≥a. Entonces tenemos la función F(x) definida por la integral
(1)
con un límite superior variable.
Vayamos al límite en (1) como x→+∞ e introduzcamos formalmente la siguiente notación
F(x)= 
(2)
Símbolo 
llamada integral impropia de primer tipo. Además, si existe el límite (2), entonces la integral impropia se llama convergente. Si el límite no existe o es igual a ∞, entonces la integral impropia se llama divergente.
Integrales impropias de primer tipo en (-∞, b] y
,
(3)
Tenga en cuenta que en (3) a y b tienden al infinito independientemente uno del otro.
Tenga en cuenta también que si la función f(x) es continua y no cambia su signo (Figura 1). El área de un trapecio curvo se puede denotar como S(G).
Una integral definida ʃ a b f(x)dx para la función f(x), que es continua y no negativa en el intervalo [a; b], y es el área del trapecio curvo correspondiente.
Es decir, para encontrar el área de una figura G acotada por las rectas y = f(x), y = 0, x = a y x = b, es necesario calcular la integral definida ʃ a b f(x)dx .
De este modo, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Si la función y = f(x) no es positiva en [a; b], entonces el área de un trapecio curvo se puede encontrar usando la fórmula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Ejemplo 1.
Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y = x 3; y = 1; x = 2.
Solución.
Las líneas dadas forman la figura ABC, que se muestra rayada en arroz. 2.
El área requerida es igual a la diferencia entre las áreas del trapecio curvo DACE y el cuadrado DABE.
Usando la fórmula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), encontramos los límites de integración. Para ello, resolvemos un sistema de dos ecuaciones:
(y = x 3,
(y = 1.
Por tanto, tenemos x 1 = 1 – el límite inferior y x = 2 – el límite superior.
Entonces, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unidades cuadradas).
Respuesta: 11/4 m2. unidades
Ejemplo 2.
Calcula el área de la figura acotada por las rectas y = √x; y = 2; x = 9.
Solución.
Las líneas dadas forman la figura ABC, que está limitada arriba por la gráfica de la función.
y = √x, y a continuación se muestra una gráfica de la función y = 2. La figura resultante se muestra sombreada en arroz. 3.
El área requerida es S = ʃ a b (√x – 2). Encontremos los límites de integración: b = 9, para encontrar a, resolvemos un sistema de dos ecuaciones:
(y = √x,
(y = 2.
Por tanto, tenemos que x = 4 = a: este es el límite inferior.
Entonces, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unidades cuadradas).
Respuesta: S = 2 2/3 cuadrados. unidades
Ejemplo 3.
Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Solución.
Tracemos la función y = x 3 – 4x para x ≥ 0. Para hacer esto, encuentre la derivada y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 en x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puntos críticos.
Si trazamos los puntos críticos en la recta numérica y ordenamos los signos de la derivada, encontramos que la función disminuye de cero a 2/√3 y aumenta de 2/√3 a más infinito. Entonces x = 2/√3 es el punto mínimo, el valor mínimo de la función y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Determinemos los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas:
si x = 0, entonces y = 0, lo que significa que A(0; 0) es el punto de intersección con el eje Oy;
si y = 0, entonces x 3 – 4x = 0 o x(x 2 – 4) = 0, o x(x – 2)(x + 2) = 0, de donde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (no adecuado, porque x ≥ 0).
Los puntos A(0; 0) y B(2; 0) son los puntos de intersección de la gráfica con el eje Ox.
Las líneas dadas forman la figura OAB, que se muestra rayada en arroz. 4.
Dado que la función y = x 3 – 4x toma un valor negativo en (0; 2), entonces
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Tenemos: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de donde S = 4 metros cuadrados. unidades
Respuesta: S = 4 metros cuadrados. unidades
Ejemplo 4.
Encuentra el área de la figura delimitada por la parábola y = 2x 2 – 2x + 1, las rectas x = 0, y = 0 y la tangente a esta parábola en el punto con la abscisa x 0 = 2.
Solución.
Primero, creemos una ecuación para la tangente a la parábola y = 2x 2 – 2x + 1 en el punto con la abscisa x₀ = 2.
Dado que la derivada y’ = 4x – 2, entonces para x 0 = 2 obtenemos k = y’(2) = 6.
Encontremos la ordenada del punto tangente: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Por tanto, la ecuación tangente tiene la forma: y – 5 = 6(x – 2) o y = 6x – 7.
Construyamos una figura delimitada por líneas:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parábola. Puntos de intersección con los ejes de coordenadas: A(0; 1) – con el eje Oy; con el eje Ox: no hay puntos de intersección, porque la ecuación 2x 2 – 2x + 1 = 0 no tiene soluciones (D< 0). Найдем вершину параболы:
x segundo = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, es decir, el vértice del punto B de la parábola tiene coordenadas B(1/2; 1/2).
Entonces, la figura cuyo área necesita ser determinada se muestra sombreada en arroz. 5.
Tenemos: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Encontremos las coordenadas del punto D a partir de la condición:
6x – 7 = 0, es decir x = 7/6, lo que significa DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Encontramos el área del triángulo DBC usando la fórmula S ADBC = 1/2 · DC · BC. De este modo,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 m2. unidades
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unidades cuadradas).
Finalmente obtenemos: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unidades cuadradas).
Respuesta: S = 1 1/4 m2. unidades
Hemos visto ejemplos encontrar las áreas de figuras delimitadas por líneas dadas. Para resolver con éxito tales problemas, es necesario poder dibujar líneas y gráficas de funciones en un plano, encontrar puntos de intersección de líneas, aplicar una fórmula para encontrar el área, lo que implica la capacidad de calcular ciertas integrales.
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En esta lección aprenderemos a calcular áreas de figuras planas que se llaman trapecios curvilíneos .
En la siguiente figura se muestran ejemplos de tales cifras.
Por un lado, encontrar el área de una figura plana mediante una integral definida es sumamente sencillo. Estamos hablando del área de una figura, que está limitada desde arriba por una determinada curva, desde abajo por el eje de abscisas ( Buey), y a izquierda y derecha hay unas líneas rectas. La simplicidad es que la integral definida de la función a la que se le da la curva es el área de dicha figura(trapezoide curvilíneo).
Para calcular el área de una figura necesitamos:
- Integral definida de la función que define la curva. , que limita el trapecio curvo desde arriba. Y aquí surge el primer matiz significativo: un trapecio curvo puede estar limitado por una curva no solo desde arriba, sino también desde abajo . ¿Cómo proceder en este caso? Simple, pero importante de recordar: la integral en este caso se toma con signo menos .
- Límites de la integración a Y b, que encontramos a partir de las ecuaciones de las rectas que delimitan la figura por la izquierda y por la derecha: X = a , X = b, Dónde a Y b- números.
Por separado, sobre algunos matices más..
La curva que limita el trapecio curvo en la parte superior (o inferior) debe ser gráfica de una función continua y no negativa y = F(X) .
Los valores "x" deben pertenecer al segmento. [a, b] . Es decir, no se tienen en cuenta líneas como el corte de un hongo, cuyo tallo encaja bien en este segmento y el sombrero es mucho más ancho.
Los segmentos laterales pueden degenerar en puntos. . Si ves una figura así en el dibujo, esto no debería confundirte, ya que este punto siempre tiene su valor en el eje “x”. Esto significa que todo está en orden dentro de los límites de la integración.
Ahora puedes pasar a fórmulas y cálculos. Entonces el área s El trapezoide curvo se puede calcular mediante la fórmula.
Si F(X) ≤ 0 (la gráfica de la función se ubica debajo del eje Buey), Eso área de un trapecio curvo se puede calcular usando la fórmula
También hay casos en los que tanto el límite superior como el inferior de la figura son funciones, respectivamente. y = F(X) Y y = φ (X) , entonces el área de dicha figura se calcula mediante la fórmula
. (3)
Resolver problemas juntos
Comencemos con los casos en los que el área de una figura se puede calcular mediante la fórmula (1).
Ejemplo 1.Buey) y recto X = 1 , X = 3 .
Solución. Porque y = 1/X> 0 en el segmento , entonces el área del trapezoide curvilíneo se encuentra usando la fórmula (1):
.
Ejemplo 2. Encuentra el área de la figura delimitada por la gráfica de la función, recta X= 1 y eje x ( Buey ).
Solución. El resultado de aplicar la fórmula (1):
si entonces s= 1/2 ; si entonces s= 1/3, etc.
Ejemplo 3. Encuentra el área de la figura delimitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas ( Buey) y recto X = 4 .
Solución. La figura correspondiente a las condiciones del problema es un trapecio curvilíneo en el que el segmento izquierdo ha degenerado en un punto. Los límites de integración son 0 y 4. Ya que, usando la fórmula (1) encontramos el área del trapezoide curvilíneo:
.
Ejemplo 4. Encuentra el área de la figura delimitada por las rectas , y ubicada en el 1er cuarto.
Solución. Para usar la fórmula (1), imaginemos el área de la figura dada por las condiciones del ejemplo como la suma de las áreas del triángulo. VH y trapecio curvo A B C. Al calcular el área de un triángulo VH los límites de integración son las abscisas de los puntos oh Y A, y para la figura A B C- abscisas de puntos A Y C (A es el punto de intersección de la recta O.A. y parábolas, y C- el punto de intersección de la parábola con el eje Buey). Resolviendo conjuntamente (como sistema) las ecuaciones de una recta y una parábola, obtenemos (la abscisa del punto A) y (la abscisa de otro punto de intersección de la recta y la parábola, que no es necesario para la solución). De manera similar obtenemos , (abscisas de puntos C Y D). Ahora tenemos todo lo necesario para encontrar el área de una figura. Encontramos:
Ejemplo 5. Encuentra el área de un trapezoide curvo. ACDB, si la ecuación de la curva CD y abscisas A Y B 1 y 2 respectivamente.
Solución. Expresemos esta ecuación de la curva a través del juego: El área del trapezoide curvilíneo se encuentra usando la fórmula (1):
.
Pasemos a los casos en los que el área de una figura se puede calcular mediante la fórmula (2).
Ejemplo 6. Encuentra el área de la figura delimitada por la parábola y el eje x ( Buey ).
Solución. Esta figura se encuentra debajo del eje x. Por tanto, para calcular su área utilizaremos la fórmula (2). Los límites de integración son la abscisa y los puntos de intersección de la parábola con el eje. Buey. Por eso,
Ejemplo 7. Encuentre el área encerrada entre el eje de abscisas ( Buey) y dos ondas sinusoidales adyacentes.
Solución. El área de esta figura se puede encontrar usando la fórmula (2):
.
Encontremos cada término por separado:
.
.
Finalmente encontramos el área:
.
Ejemplo 8. Encuentra el área de la figura encerrada entre la parábola y la curva.
Solución. Expresemos las ecuaciones de rectas a través del juego:
El área según la fórmula (2) se obtiene como
,
Dónde a Y b- abscisas de puntos A Y B. Encontrémoslos resolviendo las ecuaciones juntos:
Finalmente encontramos el área:
Y finalmente, casos en los que el área de una figura se puede calcular mediante la fórmula (3).
Ejemplo 9. Encuentra el área de la figura encerrada entre las parábolas. 
Y .
