Este vídeo tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea del tema Pirámide. Pirámide correcta. En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición. Consideremos qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular.
En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de pirámide y le daremos una definición.
Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que se encuentra en el plano α, y el punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos los puntos PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Obtenemos norte triangulos: Un 1 Un 2 R, Un 2 Un 3 R etcétera.
Definición. Poliedro RA 1 A 2 ...A n, compuestos de norte-cuadrado Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos AR 1 A 2, AR 2 A 3 …ra norte un norte-1 se llama norte-pirámide de carbón. Arroz. 1.
Arroz. 1
Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).
R- la cima de la pirámide.
A B C D- la base de la pirámide.
REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.
AB- nervadura base.
desde el punto R dejemos caer la perpendicular enfermera registrada al plano base A B C D. La perpendicular trazada es la altura de la pirámide.
Arroz. 2
La superficie completa de la pirámide consta de la superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales y el área de la base:
S completo = S lateral + S principal
Una pirámide se dice correcta si:
- su base es un polígono regular;
- el segmento que conecta la cima de la pirámide con el centro de la base es su altura.
Explicación utilizando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Considere una pirámide cuadrangular regular. PABCD(Fig. 3).
R- la cima de la pirámide. Base de la pirámide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto ACERCA DE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.
Arroz. 3
Explicación: en lo correcto norte En un triángulo coinciden el centro del círculo inscrito y el centro del círculo circunstante. Este centro se llama centro del polígono. A veces dicen que el vértice se proyecta hacia el centro.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde su vértice se llama apotema y es designado Ja.
1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;
2. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Demostraremos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.
Dado: PABCD- pirámide cuadrangular regular,
A B C D- cuadrado,
RO- altura de la pirámide.
Probar:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Ver Fig. 4.
Arroz. 4
Prueba.
RO- altura de la pirámide. Es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directo JSC, VO, SO Y HACER acostado en él. entonces triangulos ROA, ROV, ROS, VARILLA- rectangular.
Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se deduce que AO = VO = CO = HACER.
Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, VARILLA pierna RO- general y piernas JSC, VO, SO Y HACER son iguales, lo que significa que estos triángulos son iguales en dos lados. De la igualdad de triángulos se sigue la igualdad de segmentos, RA = PB = RS = PD. El punto 1 ha sido probado.
Segmentos AB Y Sol son iguales porque son lados de un mismo cuadrado, RA = PB = RS. entonces triangulos AVR Y VSR - isósceles e iguales en tres lados.
De manera similar encontramos que los triángulos ABP, VCP, CDP, DAP son isósceles e iguales, como se requiere demostrar en el párrafo 2.
El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:
Para demostrar esto, elijamos una pirámide triangular regular.
Dado: RAVS- pirámide triangular regular.
AB = BC = CA.
RO- altura.
Probar: 
. Ver Fig. 5.
Arroz. 5
Prueba.
RAVS- pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = antes de Cristo. Dejar ACERCA DE- centro del triángulo A B C, Entonces RO es la altura de la pirámide. En la base de la pirámide se encuentra un triángulo equilátero A B C. Darse cuenta de 
.
triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide es:
Lado S = 3S RAW
El teorema ha sido demostrado.
El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide.
Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,
A B C D- cuadrado,
r= 3 metros,
RO- altura de la pirámide,
RO= 4 metros.
Encontrar: lado S. Ver Fig. 6.
Arroz. 6
Solución.
Según el teorema demostrado, .
Primero encontremos el lado de la base. AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.
Entonces, m.
Encuentra el perímetro del cuadrado. A B C D con un lado de 6 m:
Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- medio del lado corriente continua. Porque ACERCA DE- medio BD, Eso 
(metro).
Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- mediana, y por tanto la altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.
RO- altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directo om, acostado en él. Encontremos la apotema RM de un triángulo rectángulo ROM.
Ahora podemos encontrar superficie lateral pirámides:
Respuesta: 60 m2.
El radio del círculo circunscrito alrededor de la base de una pirámide triangular regular es igual a m. La superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.
Dado: ABCP- pirámide triangular regular,
AB = BC = SA,
R= metro,
Lado S = 18 m2.
Encontrar: . Ver Fig. 7.
Arroz. 7
Solución.
en un triangulo rectángulo A B C Se da el radio del círculo circunscrito. busquemos un lado AB este triángulo usando la ley de los senos.
Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.
Por el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde Ja- apotema de la pirámide. Entonces:
Respuesta: 4 metros.
Entonces, vimos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular y demostramos el teorema sobre la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección nos familiarizaremos con la pirámide truncada.
Bibliografía
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- Portal de Internet "Yaklass" ()
- Portal de Internet “Festival de ideas pedagógicas “Primero de Septiembre” ()
- Portal de Internet “Slideshare.net” ()
Tarea
- ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
- Demuestre que las aristas disjuntas de una pirámide regular son perpendiculares.
- Encuentre el valor del ángulo diédrico en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
- RAVS- pirámide triangular regular. Construye el ángulo lineal del ángulo diédrico en la base de la pirámide.
Aquí puede encontrar información básica sobre pirámides y fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor de matemáticas en preparación para el Examen Estatal Unificado.
Consideremos un plano, un polígono. 
, que se encuentra en él y un punto S, que no se encuentra en él. Conectemos S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman costillas laterales. El polígono se llama base y el punto S es la cima de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5), etc. Un nombre alternativo para una pirámide triangular es tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular que desciende desde su cima al plano de la base. 
Una pirámide se llama regular si un polígono regular, y la base de la altitud de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.
comentario del tutor:
No confunda los conceptos de “pirámide regular” y “tetraedro regular”. En una pirámide regular, las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, pero en un tetraedro regular, las 6 aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil demostrar que la igualdad implica que el centro P del polígono coincide con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.
¿Qué es una apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo opuesto no es verdad. 
Un tutor de matemáticas sobre su terminología: el 80% del trabajo con pirámides se construye a través de dos tipos de triángulos:
1) Que contiene apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA 
Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas llame al primero de ellos apotémico, y segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.
Fórmula para el volumen de una pirámide.:
1) 
, donde es el área de la base de la pirámide y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita y es el área de la superficie total de la pirámide.
3) 
, donde MN es la distancia entre dos aristas que se cruzan cualesquiera y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.
Propiedad de la base de la altura de una pirámide:
El punto P (ver figura) coincide con el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide si se cumple una de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas con respecto a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada en todas las caras laterales.
Comentario del tutor de matemáticas.: Tenga en cuenta que todos los puntos tienen una cosa en común propiedad general: de una forma u otra, las caras laterales están involucradas en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para el aprendizaje: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si existe información igual sobre sus caras laterales. Para demostrarlo basta demostrar que todos los triángulos de apotema son iguales.
El punto P coincide con el centro de un círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide si se cumple una de tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas con respecto a la base.
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas respecto a la altura.
Pirámide- Este es un poliedro, en el que una cara es la base de la pirámide, un polígono arbitrario, y el resto son caras laterales, triángulos con un vértice común, llamado cima de la pirámide. La perpendicular que cae desde la cima de la pirámide hasta su base se llama altura de la pirámide. Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, etc., si la base de la pirámide es un triángulo, cuadrilátero, etc. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentágono, etc.
Pirámide, Pirámide truncada
Pirámide correcta
Si la base de la pirámide es un polígono regular y la altura cae hasta el centro de la base, entonces la pirámide es regular. En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura del triángulo de la cara lateral de una pirámide regular se llama: apotema de la pirámide regular.
Pirámide truncada
Una sección paralela a la base de la pirámide divide la pirámide en dos partes. La parte de la pirámide entre su base y esta sección es pirámide truncada . Este tramo de pirámide truncada es una de sus bases. La distancia entre las bases de una pirámide truncada se llama altura de la pirámide truncada. Una pirámide truncada se llama regular si la pirámide de la que deriva es regular. Todas las caras laterales de una pirámide truncada regular son trapecios isósceles iguales. La altura del trapezoide de la cara lateral de una pirámide truncada regular se llama: apotema de una pirámide truncada regular.
Definición. borde lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la cima de la pirámide y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales- Este aspectos comunes bordes laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como ángulos de un polígono.
Definición. altura de la pirámide- Esta es una perpendicular que baja desde la cima hasta la base de la pirámide.
Definición. Apotema- Esta es una perpendicular a la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. sección diagonal- esta es una sección de una pirámide por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta Es una pirámide en la que la base es un polígono regular y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide.
Fórmula. Volumen de la pirámide a través del área de la base y la altura:
Propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede dibujar un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, una perpendicular caída desde arriba pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados con respecto al plano de la base en los mismos ángulos.
Las nervaduras laterales son iguales cuando se forman con el plano de la base. ángulos iguales o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La cima de la pirámide está equidistante de todos los ángulos de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en ángulos iguales con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diédricos (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera circunscrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Puedes encajar una esfera en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre el borde y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión entre la pirámide y la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los bordes laterales de la pirámide.
Siempre es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera puede inscribirse en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Conexión de una pirámide con un cono.
Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Un cono puede estar inscrito en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales entre sí.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.
Relación entre una pirámide y un cilindro.
Una pirámide se dice inscrita en un cilindro si la cima de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Se puede describir un cilindro alrededor de una pirámide si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triangular.
El segmento que une el vértice de un tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediana llamado segmento que conecta los puntos medios de bordes opuestos que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cruzan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad y las medianas se dividen en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo- una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa- una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular- un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en el vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro en el que hay un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triangular rectangular y los bordes son triangulos rectángulos, y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre el que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro cuyas caras laterales son iguales entre sí y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras que son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico Se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que descienden desde la cima hasta la cara opuesta se cruzan en un punto.
Definición. pirámide estelar llamado poliedro cuya base es una estrella.
Pirámide. Pirámide truncada
Pirámide es un poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La pirámide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular con todas las aristas iguales se llama tetraedro .
costilla lateral de una pirámide es el lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su cima hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Superficie lateral La pirámide es la suma de las áreas de todas las caras laterales. Superficie total se llama suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.
Teoremas
1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.
2. Si todos los bordes laterales de una pirámide tienen longitudes iguales, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo circunscrito cerca de la base.
3. Si todas las caras de una pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito en la base.
Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula correcta es:
Dónde V- volumen;
base S- área de la base;
h– altura de la pirámide.
Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son correctas:
Dónde pag– perímetro de la base;
Ja– apotema;
h- altura;
S lleno
lado S
base S- área de la base;
V– volumen de una pirámide regular.
Pirámide truncada Se llama la parte de la pirámide encerrada entre la base y un plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada regular Se llama la parte de una pirámide regular encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.
Jardines pirámide truncada - polígonos similares. caras laterales – trapecios. Altura de una pirámide truncada es la distancia entre sus bases. Diagonal una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Es una sección de una pirámide truncada por un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.
Para una pirámide truncada son válidas las siguientes fórmulas:
(4)
Dónde S 1 , S 2 – áreas de las bases superior e inferior;
S lleno- superficie total;
lado S– superficie lateral;
h- altura;
V– volumen de una pirámide truncada.
Para una pirámide truncada regular la fórmula es correcta:
Dónde pag 1 , pag 2 – perímetros de las bases;
Ja– apotema de una pirámide truncada regular.
Ejemplo 1. En lo correcto Pirámide triangular el ángulo diédrico en la base es de 60º. Encuentra la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).
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La pirámide es regular, lo que significa que en la base hay un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diédrico en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal es el ángulo. a entre dos perpendiculares: etc. La cima de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro del círculo circunstante y círculo inscrito del triángulo A B C). El ángulo de inclinación del borde lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano de la base. para la costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas conocer los catetos. ENTONCES Y TRANSMISIÓN EXTERIOR.. Sea la longitud del segmento BD es igual a 3 A. Punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y de encontramos ENTONCES: 
De encontramos: 
Respuesta:
Ejemplo 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son iguales a cm y cm, y su altura es de 4 cm.
Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada usamos la fórmula (4). Para encontrar el área de las bases, debes encontrar los lados de los cuadrados de las bases, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases miden 2 cm y 8 cm respectivamente, es decir, las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:
Respuesta: 112cm3.
Ejemplo 3. Encuentre el área de la cara lateral de una pirámide truncada triangular regular, cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).
La cara lateral de esta pirámide es un trapezoide isósceles. Para calcular el área de un trapecio, necesitas saber la base y la altura. Las bases se dan según el estado, sólo se desconoce la altura. La encontraremos de donde A 1 mi perpendicular a un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D– perpendicular desde A 1 por C.A.. A 1 mi= 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Encontrar Delaware Hagamos un dibujo adicional que muestre la vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE– proyección de los centros de las bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO– radio inscrito en el círculo y 
om– radio inscrito en un círculo:
MK = DE.
Según el teorema de Pitágoras de
Área de la cara lateral: 
Respuesta:
Ejemplo 4. En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.
Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD igual a la suma de las áreas y el área del trapezoide A B C D.
Usemos la afirmación de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE– proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano de la base. Por el teorema del área de proyección ortogonal figura plana obtenemos:
De la misma manera significa 
Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide. A B C D. Dibujemos un trapecio A B C D por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE– el centro de un círculo inscrito en un trapezoide.
Dado que un círculo puede inscribirse en un trapezoide, entonces o Del teorema de Pitágoras tenemos
