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Instrucciones
En el caso de que en la base pirámides se encuentra un cuadrado, se conoce la longitud de su diagonal, así como la longitud del borde de este pirámides, Eso altura este pirámides se puede expresar a partir del teorema de Pitágoras, porque un triángulo formado por una arista pirámides, y la mitad de la diagonal en la base es un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es igual en tamaño a la suma de los cuadrados de sus catetos (a² = b² + c²). Borde pirámides- hipotenusa, uno de los catetos es la mitad de la diagonal del cuadrado. Luego, la longitud del cateto desconocido (altura) se encuentra usando las fórmulas:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Para que ambas situaciones sean lo más claras y comprensibles posible, puedes considerar un par.
Ejemplo 1: área base pirámides 46 cm², su volumen es de 120 cm³. Según estos datos, la altura pirámides se encuentra así:
altura = 3*120/46 = 7,83 cm
Respuesta: la altura de esto pirámides será de aproximadamente 7,83 cm
Ejemplo 2: U pirámides, en cuya base se encuentra un polígono, un cuadrado, su diagonal es de 14 cm, la longitud del borde es de 15 cm. Según estos datos, para encontrar altura pirámides, es necesario utilizar la siguiente fórmula (que es una consecuencia del teorema de Pitágoras):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29cm
Respuesta: la altura de esto pirámides mide √29 cm o aproximadamente 5,4 cm
nota
Si en la base de la pirámide hay un cuadrado u otro polígono regular, entonces esta pirámide se puede llamar regular. Una pirámide de este tipo tiene varias propiedades:
sus costillas laterales son iguales;
sus caras son triángulos isósceles iguales entre sí;
alrededor de tal pirámide se puede describir una esfera y también inscribirla.
Fuentes:
- Pirámide correcta
Cualquier cuerpo geométrico puede ser de interés no sólo para los escolares. En el mundo que nos rodea, los objetos con forma de pirámide son bastante comunes. Y no se trata sólo de las famosas tumbas egipcias. A menudo se habla de las propiedades curativas de la pirámide y probablemente alguien querrá experimentarlas por sí mismo. Pero para ello es necesario conocer sus dimensiones, incluida su altura.
Necesitará
- Fórmulas y conceptos matemáticos:
- Determinar la altura de una pirámide.
- Signos de similitud de triángulos.
- Propiedades de la altitud de un triángulo.
- Teorema de senos y cosenos
- Tablas de senos y cosenos
- Herramientas:
- gobernante
- lápiz
- transportador
Instrucciones
Conoces los lados, ángulos de la base y la inclinación de la base. El dibujo resultará ser , así que para estar seguro marca en él los datos que conoces. Desde el punto S, baje la altura de la pirámide y etiquétela h. Etiquete el punto de intersección de la altura con la base de la pirámide como S1.
Desde la cima de la pirámide, dibuja la altura de cualquier cara lateral. Marque el punto de su intersección con la base, por ejemplo, A1. Recuerda las alturas de un triángulo agudo. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos semejantes. Calcula los ángulos que necesitas usando la fórmula.
Cos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), donde a, byc son los lados del triángulo, en este caso ASB (a=BA,b=AS,c=AB ).
Calcule la altura de la cara lateral SA1 a partir del coseno del ángulo ASA1, igual al ángulo SBA de las propiedades, y el borde lateral conocido AS.
Vídeo sobre el tema.
nota
Para calcular la altura de cualquier pirámide, primero debes calcular uno de los triángulos laterales.
En una pirámide regular, la altura de la cara lateral se llama apotema y divide el lado de la base de la pirámide por la mitad.
Consejo útil
En una pirámide regular, todos los lados están inclinados hacia la base en el mismo ángulo, por lo que la altura de la pirámide se puede calcular sin construir triángulos adicionales.
La altura de la cara lateral la divide en 2 triángulos rectángulos semejantes. En consecuencia, el ángulo SAB es igual al ángulo A1SB.
Una pirámide es una figura cuya base es un polígono, y sus caras son triángulos con un vértice común a todas. En problemas típicos, a menudo es necesario construir y determinar la longitud de una perpendicular trazada desde un vértice. pirámides al plano de su base. La longitud de este segmento se llama altura. pirámides.
Necesitará
- - gobernante
- - lápiz
- - Brújula
Instrucciones
Para completar, construye una pirámide de acuerdo con las condiciones de la tarea. Por ejemplo, para construir un tetraedro regular, debes dibujar una figura de manera que las 6 aristas sean iguales entre sí. Si necesitas construir altura cuadrangular, entonces solo 4 aristas de la base deben ser iguales. Luego puedes construir los bordes de las caras laterales desiguales a los bordes del polígono. Nombra la pirámide, etiquetando todos los vértices con letras latinas. Por ejemplo, para pirámides con un triángulo en la base puedes elegir A, B, C (para la base), S (para la parte superior). Si la condición especifica dimensiones específicas de las nervaduras, al construir la figura, proceda de estos valores.
Para comenzar, seleccione condicionalmente, usando un compás, tangente desde el interior a todos los bordes del polígono. Si es una pirámide, entonces el punto (llámelo, por ejemplo, H) en la base pirámides, al que desciende la altura, debe corresponder al centro del círculo inscrito en la base correcta pirámides. El centro corresponderá a un punto equidistante de cualquier otro punto de la circunferencia. Si conectas el vértice pirámides S con el centro del círculo H, entonces el segmento SH será la altura pirámides. Recuerda que un círculo puede estar inscrito en un cuadrilátero cuyos lados opuestos tienen la misma suma. Esto se aplica al cuadrado y al rombo. En este caso, el punto H estará en el cuadrilátero. Para cualquier triángulo es posible inscribir y describir un círculo.
Para construir altura pirámides, usa un compás para dibujar un círculo y luego usa una regla para conectar su centro H con el vértice S. SH es la altura deseada. si en la base pirámides SABC es una figura irregular, entonces la altura conectará el vértice pirámides con el centro del círculo en el que está inscrito el polígono base. Todos los vértices del polígono se encuentran en dicho círculo. En este caso, este segmento será perpendicular al plano de la base. pirámides. Puedes describir un círculo alrededor de un cuadrilátero si la suma de los ángulos opuestos es 180°. Entonces, el centro de dicho círculo estará en la intersección de las diagonales correspondientes: un cuadrado y un rectángulo.
Vídeo sobre el tema.
nota
No todos los segmentos que conectan la cima de la pirámide con un punto en su base son una altura, sino solo una perpendicular a la base. La altura de la pirámide se puede confundir con la apotema, que es la altura de la cara lateral de la pirámide. Una pirámide puede considerarse correcta sólo si se cumplen determinadas condiciones. Entonces en su base debe haber un polígono regular, los bordes laterales de la pirámide deben ser iguales y todas las caras laterales deben ser triángulos isósceles. Esto es de fundamental importancia para construir la altura de la pirámide.
Consejo útil
Si el problema habla de una pirámide regular, entonces en su base se encuentra un polígono regular. Luego la altura cae desde la cima de la pirámide hasta el centro de la base. A veces en la formulación de problemas es necesario construir la altura de un tetraedro o pentaedro. Esto significa que en la base de la pirámide hay, respectivamente, polígonos de cuatro o cinco esquinas.
Muchos objetos reales tienen forma de poliedros, incluidas las pirámides, por ejemplo las famosas pirámides de Egipto. Esta figura geométrica tiene varios parámetros, el principal de los cuales es la altura.
Instrucciones
Determinar si , altura el cual necesitas encontrar según las condiciones del problema, el correcto. Esto se considera una pirámide, cuya base es cualquier polígono regular (que tiene lados iguales) y la altura cae hasta el centro de la base.
El primer caso ocurre si la base es cuadrada. Golpe fuerte altura, perpendicular al plano de la base. Como resultado de esto, dentro de la pirámide obtendrás un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es el borde de la pirámide y el cateto más largo es su altura. El cateto más pequeño de este triángulo pasa por el cuadrado y es numéricamente igual a su mitad. Si se da el ángulo entre el borde y el plano de la base de la pirámide, así como uno de los lados del cuadrado, entonces altura En este caso, encuentra las pirámides usando el cuadrado y el teorema de Pitágoras. El cateto es igual a la mitad de la diagonal. Como el lado del cuadrado es igual a a, y al mismo tiempo igual a a√2, encuentra la hipotenusa del triángulo de la siguiente manera: x=a√2/2cosα
En consecuencia, conociendo la hipotenusa y el cateto más corto del triángulo, usando el teorema de Pitágoras, deriva una fórmula para encontrar: H=√[(a√2)/2cosα]^2-[(a√2/2)^2] =√=a*tgα/ √2, donde [(1-cos^2α)/cos^2α =tg^2α]
Si hay un triángulo regular en la base de la pirámide, entonces su altura formará un triángulo rectángulo con el borde de la pirámide. La pierna más pequeña pasa a través altura jardines. En el sentido correcto, la altura también es la mediana, por las propiedades se sabe que su lado menor es igual a a√3/3. Conociendo el ángulo entre la arista de la pirámide y el plano de la base, encuentra la hipotenusa (también es la arista de la pirámide). Determina la altura de la pirámide usando el teorema de Pitágoras: H=√(a√3/3cosα)^2-(a√3/3)^2=a*tgα/√3
Algunos tienen un pentágono o un hexágono como base. Una pirámide de este tipo también se considera regular si todos los lados de su base son iguales. Por ejemplo, altura Encuentra el pentágono de la siguiente manera: h=√5+2√5a/2, donde a es el lado del pentágono. Usa esta propiedad para encontrar el borde de la pirámide y luego su altura. El cateto más pequeño es igual a la mitad de esta altura: k=√5+2√5a/4
En consecuencia, encuentre la hipotenusa de un triángulo rectángulo de la siguiente manera:k/cosα=√5+2√5a/4cosαA continuación, como en casos anteriores, altura encuentra las pirámides usando el teorema de Pitágoras: H=√[(√5+2√5a/4cosα)^2-(√5+2√5a/4)^2]
Vídeo sobre el tema.
Apotema: la altura de la cara lateral dibujada en una pirámide regular desde su vértice. Se puede encontrar tanto en una pirámide regular regular como en una truncada. Consideremos ambos casos.
Instrucciones
Pirámide correcta
En él, todas las aristas laterales son iguales, las caras laterales son triángulos isósceles iguales y la base es un polígono regular. Porque todas las apotemas de un regular son iguales, entonces basta con encontrar una en cualquier triángulo. Los triángulos son isósceles y es la altura. La altura trazada en un triángulo isósceles desde el vértice hasta la base y la bisectriz. La mediana divide un lado por la mitad y la bisectriz divide un ángulo en dos ángulos iguales. La altura es una perpendicular trazada desde la parte superior hasta la base.
Supongamos que se conocen todos los lados de un triángulo isósceles y se traza una mediana que divide la base en dos segmentos iguales. Porque La mediana es la altura, luego es perpendicular, es decir El ángulo entre la mediana y la base es 90. Entonces resulta ser un triángulo rectángulo. El lado lateral es la hipotenusa, la mitad de la base y la altura (mediana) son los catetos. El teorema de Pitágoras dice: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. De esta manera puedes encontrar la altura.
Sea conocido el ángulo opuesto a la base. Y uno de los lados (ya sea el costado o la base). La bisectriz trazada desde el vértice hasta la base es . Por tanto, nuevamente obtenemos un triángulo rectángulo. Se conocen el ángulo y uno de los lados. Usando seno, coseno y puedes encontrar la altura. El seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, el cateto es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, la tangente es la razón entre el seno o el cateto opuesto. Sustituyendo los lados conocidos, calcula la altura.
El área de la superficie lateral es la mitad correcta del producto del perímetro de la base por la apotema.
Correcto
Las caras laterales son trapecios regulares. Las costillas laterales son iguales. El apotema es una altura dibujada en un trapezoide. Sean conocidas dos bases y una arista lateral. Las alturas se dibujan desde el vértice para que corten un rectángulo en la base más grande. Luego, si eliminas mentalmente el rectángulo, te quedará un triángulo isósceles, cuya altura se puede encontrar usando el primer método. Si se conocen los ángulos obtusos de un trapezoide, al dibujar la altura, es necesario restar un ángulo igual a 90 grados (ya que la altura es perpendicular) del ángulo obtuso. Entonces se conocerá el ángulo agudo del triángulo. La altura o apotema se puede encontrar nuevamente usando 1 método.
Fuentes:
- apotema es
Una pirámide es una figura que tiene una base en forma de polígono y caras laterales con vértices que convergen en la parte superior. Los límites de las caras laterales se llaman costillas. Como encontrar longitud costillas pirámides?
Instrucciones
Encuentra los puntos límite del borde, longitud que estás buscando. Sean estos los puntos A y B.
Calcular el requerido longitud, usando la fórmula general: longitud del borde pirámides es igual a la raíz de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas correspondientes de los puntos límite. Sustituye los números de tus coordenadas en la fórmula y encuentra longitud costillas pirámides. Encuentra de la misma manera longitud las costillas no son correctas pirámides, pero también rectangular, y y arbitrario.
Encontrar longitud usando el teorema de Pitágoras, donde la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Obtenga a2+b2=c2, donde a y b son catetos y c es la hipotenusa. La hipotenusa será entonces igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los catetos.
Encontrar longitud costillas pirámides. Primera división longitud diagonalmente por la mitad. Sustituya todos los datos obtenidos en la fórmula pitagórica descrita anteriormente. Similar al ejemplo anterior, encuentre a partir de la suma de cuadrados la altura pirámides y media diagonal.
Fuentes:
- cómo encontrar la longitud de una arista a partir de coordenadas
Una pirámide es una figura geométrica que tiene un polígono en su base y triángulos con un vértice común como caras laterales. El volumen de una pirámide es su característica cuantitativa espacial, que se calcula mediante una fórmula bien conocida.
Instrucciones
Con “pirámide” me vienen a la mente los majestuosos gigantes egipcios, guardianes de la paz. No en vano los antiguos constructores utilizaron esta figura geométrica. Para ellos, un desierto impredecible, la pirámide era un símbolo de constancia, de precisión. Anglos pirámides estaban dirigidos estrictamente a los puntos cardinales, y la parte superior se elevaba hacia el cielo, simbolizando la unidad de la tierra y el cielo.
A los modernos y a los estudiantes les importa poco esta maravilla geométrica del mundo. Lo más importante son las fórmulas y cálculos asociados a ella, que son la base para la resolución de cualquier problema geométrico y, como resultado, una buena estimación. Entonces el volumen está lleno. pirámides igual a un tercio del área de la base por la altura: V = 1/3*S*h.
Así, para calcular el volumen pirámides, primero debes encontrar el área de la base y luego multiplicarla por la longitud de la altura. priorato pirámides su base es un polígono. Según el número de ángulos, la pirámide puede ser triangular, etc. El área de cualquier triángulo se calcula como la mitad del producto de la base por la altura; este es el producto de la base por la altura.
En el caso de un polígono en la base. pirámides la tarea se vuelve más difícil. Si el polígono es regular, es decir todos sus lados son iguales, entonces tiene la forma: S = (n*a^2)/(4*tg (π/n)), donde n es el número de lados, a es la longitud del lado.
Si el polígono tiene una forma irregular, calcular su área se reduce a dividirlo en triángulos y cuadrados. El área de cada elemento se calcula y luego se suma al total.
El problema de encontrar el volumen se simplifica para un rectángulo. pirámides, en el que uno de los bordes laterales es perpendicular a la base. En este caso, este borde es la altura pirámides. Una pirámide regular es una figura con un polígono regular en la base y una altura que desciende desde un vértice común exactamente hasta el centro de la base.
Existe un concepto de truncado. pirámides, que se obtiene del total pirámides dibujando un plano de corte paralelo a la base. En este caso, el volumen se determina en base a las áreas de las dos bases y la altura: V = 1/3*h*(S_1 + √(S_1*S_2) + S_2).
Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos que convergen en un vértice común. Resolver problemas con pirámides depende en gran medida del tipo. pirámides. en el rectangular pirámides uno de los bordes laterales es perpendicular a la base, este borde es la altura pirámides.
Instrucciones
si en la base pirámides hay un cuadrado, encuéntralo altura(también conocido como - costilla pirámides) a través de un triángulo rectángulo. Recuerde: en estereometría en las imágenes, el cuadrado parece un paralelogramo. Por ejemplo, dada una pirámide rectangular SABCD con vértice S, que se proyecta al vértice del cuadrado B. La arista SB es perpendicular al plano de la base. Los bordes SA y SC son iguales entre sí AD y DC, respectivamente.
Si al problema se le dan los bordes AB y SA, encuentre altura SB del ΔSAB rectangular por el teorema de Pitágoras. Para hacer esto, resta el cuadrado AB del cuadrado SA. Extrae la raíz. Altura SB encontrada.
Si no se da el lado del cuadrado AB, sino, por ejemplo, la diagonal, entonces recuerda la fórmula: d=a·√2. Expresa también el lado de un cuadrado a partir de las fórmulas de área, perímetro y radios inscritos y circunscritos, si así se indica en la condición.
Si al problema se le da una arista AB y ∠SAB, use la tangente: tg∠SAB=SB/AB. Expresar de la fórmula altura, sustituya los valores numéricos, encontrando así SB.
Dado el volumen y el lado de la base, encuentre altura, expresándolo a partir de la fórmula: V=⅓·S·h. S es el área de la base, es decir, AB2; h - altura pirámides, es decir, SB.
si en la base pirámides SABC (S se proyecta en B, como en el paso 2, es decir SB es la altura) se encuentra el triángulo y se indican los datos del área (lado del triángulo, lado o lado y ángulos de los isósceles, catetos del rectángulo) , encontrar altura de la fórmula del volumen: V=⅓·S·h. En lugar de S, sustituye la fórmula por el área de un triángulo dependiendo de su tipo, luego expresa h.
Dada la apotema SK y el ángulo entre SK y KB (∠SKB), usa la función seno. La relación entre la altura SB y la hipotenusa SK es igual a sin∠SKB. Expresar altura y sustituye los números.
Fuentes:
- Pirámides
- Pirámide correcta
Una pirámide es un poliedro cuyas caras son triángulos que tienen un vértice común. El cálculo de un borde lateral se estudia en la escuela; en la práctica, a menudo hay que recordar una fórmula medio olvidada.
Instrucciones
Una pirámide puede ser regular, rectangular, truncada, etc. Una pirámide se llama regular si su base es un polígono regular. Luego, el centro se proyecta sobre el centro del polígono y los bordes laterales de la pirámide son iguales. De tal pirámide las caras laterales son triángulos idénticos.
Se llama pirámide rectangular cuando una de sus aristas es perpendicular a la base. La altura de tal pirámide es exactamente esta. borde. La base para calcular los valores de la altura y las longitudes de sus aristas laterales es el conocido teorema de Pitágoras.
Para calcular una arista, debes dibujar su altura desde la cima de la pirámide hasta la base. A continuación, considere la arista deseada como un cateto de un triángulo rectángulo, utilizando también el teorema de Pitágoras.
El borde lateral en este caso se calcula usando la fórmula b=√ h2+ (a2 sin (180°
) 2. Es el cuadrado de la suma de los cuadrados de los dos lados de un triángulo rectángulo. Un lado de la pirámide es h, el otro lado es un segmento que conecta el centro de la base de una pirámide regular con la cima de esta base. En este caso, a es el lado de un polígono de base regular, n es el número de sus lados.
nota
La descripción de la pirámide y el estudio de sus propiedades se inició en la Antigua Grecia. Hoy en día, los elementos de la pirámide, sus propiedades y las leyes de construcción se estudian en la escuela en lecciones de geometría.
Los elementos principales de la pirámide son: caras laterales: triángulos que tienen un vértice común; bordes laterales – los lados de las caras laterales que son comunes; apotema (altura de la cara lateral extraída desde la cima, siempre que la pirámide sea regular), la cima de la pirámide es el punto donde se unen los bordes laterales, etc.
Fuentes:
- borde de la pirámide
Consejo 10: Cómo encontrar el volumen de una pirámide triangular regular.
Una figura geométrica tridimensional, cuyas caras laterales tienen forma triangular y tienen al menos un vértice común, se llama pirámide. La cara que no es adyacente al vértice común se llama base. pirámides. Si todos los lados y ángulos del polígono que lo forma son iguales, la figura tridimensional se llama regular. Y si solo hay tres de estos lados, la pirámide se puede llamar triangular regular.
Instrucciones
por la derecha pirámides la definición general para tales poliedros del volumen (V) del espacio encerrado dentro de las caras de la figura es verdadera. Relaciona este parámetro con la altura (H) y el área (s) de la base. Dado que en nuestro caso todas las caras son iguales, no es necesario conocer el área de la base; para calcular el volumen, multiplique el área de cualquier cara por la altura y divida el resultado en tres partes: V = s*H/3.
Si se conoce la superficie total (S) pirámides y su altura (H), para determinar el volumen (V) utilice la fórmula del paso anterior, aumentando cuatro veces: V = S*H/12. Esto se desprende del hecho de que el área total de la figura consta de exactamente cuatro caras del mismo tamaño.
Sin embargo, conociendo la longitud de la arista (a) de un triángulo regular pirámides, puedes calcular su volumen (V) sin utilizar la altura ni ningún otro parámetro de la figura. Cubre la única cantidad necesaria, multiplica por la raíz de dos y divide el resultado entre doce: V = a³*√2/12.
Lo contrario también es cierto: conocer la altura del tetraedro (H) es suficiente para calcular el volumen (V). La longitud de la arista en la fórmula del paso anterior se puede sustituir por el triple de la altura dividida por la raíz cuadrada de seis: V = (3*H/√6)³*√2/12 = 27*√2*H³ /(12*(√6)³ ). Para deshacerse de todos estos poderes, reemplácelos con la fracción decimal 0,21651: V = H³*0,21651.
Si la pirámide es regular con un radio conocido (R), la fórmula para calcular el volumen (V) se puede escribir de la siguiente manera: V = 16*√2*R³/(3*(√6)³). Para cálculos prácticos, reemplace todas las expresiones de potencia con una fracción decimal de precisión suficiente: V = 0,51320*R³.
Definición. borde lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la cima de la pirámide y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).
Definición. costillas laterales- estos son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como ángulos de un polígono.
Definición. altura de la pirámide- Esta es una perpendicular que baja desde la cima hasta la base de la pirámide.
Definición. Apotema- Esta es una perpendicular a la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.
Definición. sección diagonal- esta es una sección de una pirámide por un plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base.
Definición. Pirámide correcta Es una pirámide en la que la base es un polígono regular y la altura desciende hasta el centro de la base.
Volumen y superficie de la pirámide.
Fórmula. Volumen de la pirámide a través del área de la base y la altura:
Propiedades de la pirámide
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede dibujar un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, una perpendicular caída desde arriba pasa por el centro de la base (círculo).
Si todos los bordes laterales son iguales, entonces están inclinados con respecto al plano de la base en los mismos ángulos.
Las aristas laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano de la base o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta en su centro.
Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en el mismo ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.
Propiedades de una pirámide regular
1. La cima de la pirámide está equidistante de todos los ángulos de la base.
2. Todos los bordes laterales son iguales.
3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en ángulos iguales con respecto a la base.
4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.
5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.
6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diédricos (planos).
7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera circunscrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.
8. Puedes encajar una esfera en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre el borde y la base.
9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.
La conexión entre la pirámide y la esfera.
Se puede describir una esfera alrededor de una pirámide cuando en la base de la pirámide hay un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de los bordes laterales de la pirámide.
Siempre es posible describir una esfera alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.
Una esfera puede inscribirse en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Conexión de una pirámide con un cono.
Se dice que un cono está inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.
Un cono puede estar inscrito en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales entre sí.
Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.
Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.
Relación entre una pirámide y un cilindro.
Una pirámide se dice inscrita en un cilindro si la cima de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.
Se puede describir un cilindro alrededor de una pirámide si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.
Un tetraedro tiene cuatro caras, cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.
Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triangular.
El segmento que une el vértice de un tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).
bimediana llamado segmento que conecta los puntos medios de bordes opuestos que no se tocan (KL).
Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cruzan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad y las medianas se dividen en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.
Definición. Pirámide de ángulo agudo- una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. pirámide obtusa- una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.
Definición. tetraedro regular- un tetraedro en el que las cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. En un tetraedro regular, todos los ángulos diédricos (entre caras) y triédricos (en el vértice) son iguales.
Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro en el que hay un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triangular rectangular y las caras son triángulos rectángulos y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre el que cae la apotema.
Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro cuyas caras laterales son iguales entre sí y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras que son triángulos isósceles.
Definición. tetraedro ortocéntrico Se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que descienden desde la cima hasta la cara opuesta se cruzan en un punto.
Definición. pirámide estelar llamado poliedro cuya base es una estrella.
Necesitará
- Dependiendo de la situación, conozca el volumen de la pirámide, el área de las caras laterales de la pirámide, la longitud de la arista, la longitud del diámetro del polígono en la base.
Instrucciones
una manera de encontrar altura, y no solo es correcto: consiste en expresarlo a través del volumen de la pirámide. La fórmula con la que puedes conocer su volumen se ve así:
V = (S*h)/3, donde S es el área de todas las pirámides laterales en total, h es el área de esta pirámide.
Luego de esta fórmula puedes derivar otra para encontrar:
h = (3*V)/S
Por ejemplo, se sabe que el área de las caras laterales de la pirámide es de 84 cm² y el volumen es de 336 cm cúbicos. Entonces busca altura Puedes hacerlo:
altura = (3*336)/84 = 12 cm
Respuesta: la altura de esta pirámide es de 12 cm.
Considerando una pirámide regular, en cuya base se encuentra un polígono regular, podemos llegar a la conclusión de que formado por la altura, la mitad de la diagonal y una de las caras de la pirámide, es un triángulo rectángulo (por ejemplo, este es el triángulo AEG en la figura anterior). Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (a² = b² + c²). En el caso de una pirámide regular, la hipotenusa es la cara de la pirámide, uno de los catetos es la mitad de la diagonal en la base y el otro cateto es la altura de la pirámide. En este caso, las aristas y diagonales se pueden calcular y altura. Como ejemplo, considere el triángulo AEG:
AE² = EG²+GA²
De aquí altura Las pirámides GA se pueden expresar de la siguiente manera:
GA = √(AE²-EG²).
Para que quede más claro cómo encontrar altura de una pirámide regular, podemos considerar un ejemplo: en una regular, la longitud de la cara es de 12 cm, la longitud de la diagonal del polígono en la base es de 8 cm, con base en estos datos es necesario encontrar la longitud de esta pirámide Solución: 12² = 4² + c², donde c es el cateto desconocido (altura) dada la pirámide (triángulo rectángulo).
144 = 16 + 128
Por tanto, la altura de esta pirámide es √128 o aproximadamente 11,3 cm.
Fuentes:
- pirámide cuadrangular regular encontrar la altura
- Resolver tareas del examen estatal unificado C2 en matemáticas
Una pirámide es un cuerpo geométrico complejo. Está formado por un polígono plano (la base de la pirámide), un punto que no se encuentra en el plano de este polígono (la cima de la pirámide) y todos los segmentos que conectan los puntos de la base de la pirámide con el arriba. ¿Cómo encontrar el área de la pirámide?
Necesitará
- regla, lápiz y papel
Instrucciones
La base de la pirámide es un polígono. Si un polígono dado se divide en triángulos, entonces el polígono se puede calcular simplemente como la suma de las áreas obtenidas al dividir los triángulos según la fórmula que ya conocemos.
Si se desconoce el área de la base a partir de las condiciones del problema y solo se dan el volumen (V) y la longitud del borde (a), entonces se puede reemplazar la variable que falta en la fórmula del paso anterior. por su equivalente, expresado en términos de la longitud del borde. El área (como recordarás, se encuentra en la base de la pirámide del tipo en cuestión) es igual a un cuarto del producto de la raíz cuadrada de tres veces la longitud al cuadrado del lado. Sustituye esta expresión en lugar del área de la base en la fórmula del paso anterior y obtén el siguiente resultado: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Dado que el volumen de un tetraedro también se puede expresar en términos de la longitud de la arista, se pueden eliminar todas las variables de la fórmula para calcular la altura de una figura, dejando solo el lado de su cara. El volumen de esta pirámide se calcula dividiendo por 12 el producto de la raíz cuadrada de dos por la longitud al cubo de la cara. Sustituye esta expresión en la fórmula del paso anterior y obtén el resultado: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
En una pirámide regular, todas las aristas son iguales entre sí, todas las caras son triángulos isósceles iguales. Altura pirámides es la perpendicular que cae desde el vértice hasta su base.
Encontrar la altura pirámides Depende de lo que se da en el enunciado del problema. Utilice fórmulas para encontrar cualquier parámetro. pirámides se utiliza su altura. Por ejemplo, dado: V – volumen pirámides; S – área base. Usa la fórmula del volumen. pirámides V=SH/3, donde H – altura pirámides. Resulta: H=3V/S.
Avanzando en la misma dirección, se deduce que si no se da el área de la base, en algunos casos se puede encontrar usando la fórmula para encontrar el área de un polígono regular. Ingrese la notación: p - semiperímetro de la base (el semiperímetro es fácil de encontrar si se conoce el número de lados y el tamaño de un lado); h - apotema del polígono (una apotema es una perpendicular que cae desde el centro del polígono hasta cualquiera de sus lados); a es el lado del polígono, n es el número de lados, por lo tanto p=an/2 y S=ph= (an/2)h. De aquí se sigue: H=3V/ (an/2) h.
Una apotema en una pirámide es un segmento trazado desde su cima hasta la base de una de las caras laterales, si el segmento es perpendicular a esta base. La cara lateral de una figura tridimensional de este tipo siempre tiene forma triangular. Por lo tanto, si es necesario calcular la longitud de una apotema, está permitido utilizar las propiedades tanto de un poliedro (pirámide) como de un polígono (triángulo).
Necesitará
- - parámetros geométricos de la pirámide.
Instrucciones
En un triángulo de la cara lateral, la apotema (f) es la altura, por lo tanto, con una longitud conocida del borde lateral (b) y el ángulo (γ) entre este y el borde sobre el cual se baja la apotema, se puede Utilice la conocida fórmula para calcular la altura del triángulo. Multiplica la longitud del borde dada por el seno del ángulo conocido: f = b*sin(γ). Esto se aplica a pirámides de cualquier forma (o irregular).
Para calcular correctamente cada una de las tres apotemas (f), basta con conocer un solo parámetro: la longitud del borde (a). Esto se explica por el hecho de que las caras de dicha pirámide tienen triángulos equiláteros idénticos. Para encontrar las alturas de cada uno de ellos, calcula la mitad del producto de la longitud del borde por la raíz cuadrada de tres: f = a*√3/2.
Si el área (s) de la cara lateral de la pirámide, además de ella, basta con conocer la longitud (a) de la arista común de esta cara con la base de la figura volumétrica. En este caso, encuentre la longitud de la apotema (f) duplicando la relación entre el área y la longitud del borde: f = 2*s/a.
Conociendo la superficie total de la pirámide (S) de su base (p), también podemos calcular apotema(f), pero sólo para la forma correcta. Duplica el área de la superficie y divide el resultado por el perímetro: f = 2*S/p. La forma de la base en este caso no importa.
Es necesario conocer el número de vértices o lados de la base (n) si las condiciones dan las aristas (b) de la cara lateral y el valor del ángulo (α) formado por dos aristas laterales adyacentes. En estas condiciones iniciales, calcule apotema(f) multiplicar el número de lados de la base por el seno de un ángulo conocido y la longitud al cuadrado del borde lateral, seguido de dividir el valor resultante por la mitad: f = n*sin(α)*b²/2.
Una pirámide es un poliedro que tiene un polígono en su base. Todas las caras, a su vez, forman triángulos que convergen en un vértice. Las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc. Para determinar qué pirámide está frente a ti, basta con contar el número de ángulos en su base. La definición de "altura de una pirámide" se encuentra muy a menudo en los problemas de geometría del plan de estudios escolar. En este artículo intentaremos ver diferentes formas de encontrarlo.
Partes de la pirámide
Cada pirámide consta de los siguientes elementos:
- caras laterales, que tienen tres esquinas y convergen en el ápice;
- la apotema representa la altura que desciende desde su ápice;
- la cima de la pirámide es un punto que conecta las nervaduras laterales, pero no se encuentra en el plano de la base;
- la base es un polígono en el que no se encuentra el vértice;
- la altura de una pirámide es un segmento que corta la cima de la pirámide y forma un ángulo recto con su base.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce su volumen
Mediante la fórmula del volumen de la pirámide V = (S*h)/3 (en la fórmula V es el volumen, S es el área de la base, h es la altura de la pirámide) encontramos que h = (3*V)/S. Para consolidar el material, solucionemos el problema de inmediato. En una pirámide triangular, el área de la base es de 50 cm 2, mientras que su volumen es de 125 cm 3. Se desconoce la altura de la pirámide triangular, que es la que necesitamos encontrar. Aquí todo es sencillo: insertamos los datos en nuestra fórmula. Obtenemos h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce la longitud de la diagonal y sus aristas
Como recordamos, la altura de la pirámide forma un ángulo recto con su base. Esto significa que la altura, el borde y la mitad de la diagonal juntos forman un triángulo rectángulo. Muchos, por supuesto, recuerdan el teorema de Pitágoras. Conociendo dos dimensiones, no será difícil encontrar la tercera cantidad. Recordemos el conocido teorema a² = b² + c², donde a es la hipotenusa, y en nuestro caso la arista de la pirámide; b – el primer cateto o la mitad de la diagonal y c – respectivamente, el segundo cateto o la altura de la pirámide. De esta fórmula c² = a² - b².
Ahora el problema: en una pirámide regular la diagonal mide 20 cm, cuando la longitud de la arista mide 30 cm, hay que encontrar la altura. Resolvemos: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Por tanto c = √ 500 = aproximadamente 22,4.
Cómo encontrar la altura de una pirámide truncada
Es un polígono con una sección transversal paralela a su base. La altura de una pirámide truncada es el segmento que une sus dos bases. La altura se puede encontrar para una pirámide regular si se conocen las longitudes de las diagonales de ambas bases, así como el borde de la pirámide. Sea la diagonal de la base más grande d1, mientras que la diagonal de la base más pequeña es d2 y la arista tiene una longitud l. Para encontrar la altura, puedes bajar las alturas desde los dos puntos superiores opuestos del diagrama hasta su base. Vemos que tenemos dos triángulos rectángulos, sólo queda encontrar las longitudes de sus catetos. Para hacer esto, resta la diagonal más pequeña de la diagonal más grande y divide por 2. Así encontraremos un cateto: a = (d1-d2)/2. Después de lo cual, según el teorema de Pitágoras, todo lo que tenemos que hacer es encontrar el segundo cateto, que es la altura de la pirámide.
