उच्च आदेशों के डेरिवेटिव
इस पाठ में, हम सीखेंगे कि उच्च-क्रम के डेरिवेटिव कैसे खोजें, साथ ही साथ "nth" व्युत्पन्न के लिए सामान्य सूत्र लिखें। इसके अलावा, इस तरह के व्युत्पन्न के लिए लीबनिज़ सूत्र पर विचार किया जाएगा और लोकप्रिय मांग के अनुसार, उच्च-क्रम के डेरिवेटिव निहित कार्य. मेरा सुझाव है कि आप तुरंत एक मिनी-टेस्ट लें:
यहाँ समारोह है: 
और यहाँ इसका पहला व्युत्पन्न है:
यदि आपको इस उदाहरण के बारे में कोई कठिनाई/गलतफहमी है, तो कृपया मेरे पाठ्यक्रम के दो बुनियादी लेखों से शुरुआत करें: व्युत्पन्न कैसे खोजें?और एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न. प्राथमिक व्युत्पत्तियों में महारत हासिल करने के बाद, मेरा सुझाव है कि आप पाठ पढ़ें व्युत्पन्न के साथ सबसे सरल समस्याएं, जिस पर हमने विशेष रूप से निपटा है दूसरा व्युत्पन्न.
यह अनुमान लगाना भी मुश्किल नहीं है कि दूसरा व्युत्पन्न 1 व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है:
सिद्धांत रूप में, दूसरे व्युत्पन्न को पहले से ही एक उच्च क्रम का व्युत्पन्न माना जाता है।
इसी तरह: तीसरा व्युत्पन्न दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है:
चौथा व्युत्पन्न तीसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है: 
पांचवां व्युत्पन्न: 
, और यह स्पष्ट है कि उच्च ऑर्डर के सभी डेरिवेटिव भी शून्य के बराबर होंगे:
रोमन अंक के अलावा, निम्नलिखित पदनाम अक्सर व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं:
, जबकि "nवें" क्रम का व्युत्पन्न द्वारा दर्शाया गया है। इस मामले में, सुपरस्क्रिप्ट इंडेक्स को कोष्ठक में संलग्न किया जाना चाहिए।- व्युत्पन्न को डिग्री में "y" से अलग करने के लिए।
कभी-कभी इस तरह की प्रविष्टि होती है: 
- तीसरा, चौथा, पाँचवाँ, ..., "नवाँ" व्युत्पन्न, क्रमशः।
बिना किसी डर और संदेह के आगे बढ़ें:
उदाहरण 1
एक समारोह दिया। ढूँढ़ने के लिए ।
फेसला: आप क्या कह सकते हैं ... - चौथे व्युत्पन्न के लिए आगे :) 
अब चार स्ट्रोक लगाने का रिवाज नहीं है, इसलिए हम संख्यात्मक सूचकांकों पर चलते हैं:
जवाब:
ठीक है, अब इस प्रश्न के बारे में सोचते हैं: क्या करना है यदि, शर्त के अनुसार, 4 वां नहीं, बल्कि, उदाहरण के लिए, 20 वां व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है? यदि 3-4-5 वें के व्युत्पन्न के लिए (अधिकतम, 6-7वां)आदेश, समाधान बहुत जल्दी तैयार किया जाता है, फिर हम उच्च आदेशों के डेरिवेटिव के लिए "प्राप्त" करेंगे, ओह, कितनी जल्दी नहीं। नीचे मत लिखो, वास्तव में, 20 पंक्तियाँ! ऐसी स्थिति में, आपको कई पाए गए डेरिवेटिव का विश्लेषण करने, पैटर्न देखने और "nth" व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र तैयार करने की आवश्यकता है। इसलिए, उदाहरण संख्या 1 में, यह समझना आसान है कि प्रत्येक बाद के भेदभाव के साथ, एक अतिरिक्त "ट्रिपल" घातांक से पहले "बाहर कूद जाएगा", और किसी भी चरण में "ट्रिपल" की डिग्री की संख्या के बराबर है व्युत्पन्न, इसलिए:
जहां एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है।
और वास्तव में, यदि , तो वास्तव में पहला व्युत्पन्न प्राप्त होता है: 
, अगर - तो दूसरा: आदि। इस प्रकार, बीसवां व्युत्पन्न तुरन्त निर्धारित किया जाता है: - और कोई "किलोमीटर शीट" नहीं!
अपने आप को गर्म करना:
उदाहरण 2
सुविधाओं का पता लगाएं। ऑर्डर व्युत्पन्न लिखें
पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।
एक स्फूर्तिदायक वार्म-अप के बाद, हम और अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करेंगे, जिसमें हम उपरोक्त समाधान एल्गोरिथम पर काम करेंगे। उन लोगों के लिए जिन्होंने पाठ पढ़ा है अनुक्रम सीमा, यह थोड़ा आसान होगा:
उदाहरण 3
फ़ंक्शन के लिए खोजें।
फेसला: स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, हम कई व्युत्पन्न पाते हैं:
हम परिणामी संख्याओं को गुणा करने की जल्दी में नहीं हैं! ;-) 
शायद काफी। ... मैंने इसे थोड़ा बढ़ा भी दिया।
अगले चरण में, "nth" व्युत्पन्न के लिए सूत्र लिखना सबसे अच्छा है (जैसे ही शर्त को इसकी आवश्यकता नहीं होती है, तो आप मसौदे के साथ प्राप्त कर सकते हैं). ऐसा करने के लिए, हम प्राप्त परिणामों को देखते हैं और उन पैटर्नों की पहचान करते हैं जिनके साथ प्रत्येक अगला व्युत्पन्न प्राप्त होता है।
सबसे पहले, वे हस्ताक्षर करते हैं। इंटरलीविंग प्रदान करता है "फ्लैशर", और चूंकि पहला अवकलज धनात्मक है, इसलिए निम्न कारक सामान्य सूत्र में प्रवेश करेगा: 
. एक समकक्ष विकल्प करेगा, लेकिन व्यक्तिगत रूप से, एक आशावादी के रूप में, मुझे धन चिह्न पसंद है =)
दूसरे, अंश "हवाओं" में कारख़ाने का, और यह एक इकाई द्वारा व्युत्पन्न की संख्या "पीछे" है:
और तीसरा, अंश में "दो" की शक्ति बढ़ती है, जो व्युत्पन्न की संख्या के बराबर है। भाजक की डिग्री के बारे में भी यही कहा जा सकता है। आखिरकार: 
सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आइए "एन" के कुछ मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए, और: 
महान, अब गलती करना सिर्फ पाप है:
जवाब: 
स्वयं करें समाधान के लिए एक सरल कार्य:
उदाहरण 4
सुविधाओं का पता लगाएं।
और एक पेचीदा समस्या:
उदाहरण 5
सुविधाओं का पता लगाएं।
आइए प्रक्रिया को एक बार और दोहराएं:
1) पहले हम कई व्युत्पन्न पाते हैं। पैटर्न को पकड़ने के लिए आमतौर पर तीन या चार पर्याप्त होते हैं।
2) फिर मैं दृढ़ता से संकलन करने की सलाह देता हूं (कम से कम ड्राफ्ट पर)"nth" व्युत्पन्न - यह त्रुटियों से बचाने की गारंटी है। लेकिन आप बिना कर सकते हैं, यानी। मानसिक रूप से अनुमान लगाएं और तुरंत लिखें, उदाहरण के लिए, बीसवीं या आठवीं व्युत्पन्न। इसके अलावा, कुछ लोग आम तौर पर मौखिक रूप से विचाराधीन समस्याओं को हल करने में सक्षम होते हैं। हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि "त्वरित" तरीके भरे हुए हैं, और इसे सुरक्षित रूप से खेलना बेहतर है।
3) अंतिम चरण में, हम "एनएच" व्युत्पन्न की जांच करते हैं - हम "एन" (पड़ोसी वाले से बेहतर) मूल्यों की एक जोड़ी लेते हैं और एक प्रतिस्थापन करते हैं। और इससे भी अधिक विश्वसनीय पहले पाए गए सभी डेरिवेटिव की जांच करना है। फिर हम वांछित मूल्य में स्थानापन्न करते हैं, उदाहरण के लिए, या, और परिणाम को सावधानीपूर्वक कंघी करें।
पाठ के अंत में चौथे और पाँचवें उदाहरणों का संक्षिप्त समाधान।
कुछ कार्यों में, समस्याओं से बचने के लिए, आपको फ़ंक्शन पर थोड़ा जादू करने की आवश्यकता है:
उदाहरण 6
फेसला: मैं प्रस्तावित फ़ंक्शन में बिल्कुल भी अंतर नहीं करना चाहता, क्योंकि यह एक "खराब" अंश बन जाएगा, जिससे बाद के डेरिवेटिव को खोजना बहुत मुश्किल हो जाएगा।
इस संबंध में, प्रारंभिक परिवर्तन करने की सलाह दी जाती है: हम उपयोग करते हैं वर्ग सूत्र का अंतरऔर लघुगणक गुण 
:
बिल्कुल अलग मामला:
और पुराने दोस्त: 
मुझे लगता है कि सब कुछ देखा जा रहा है। ध्यान दें कि दूसरा अंश हस्ताक्षरित है, लेकिन पहला नहीं है। हम ऑर्डर व्युत्पन्न का निर्माण करते हैं: 
नियंत्रण: 
खैर, सुंदरता के लिए, हम भाज्य को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं:
जवाब: 
एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक दिलचस्प कार्य:
उदाहरण 7
फ़ंक्शन के लिए ऑर्डर व्युत्पन्न सूत्र लिखें
और अब अडिग आपसी जिम्मेदारी के बारे में, जिससे इतालवी माफिया भी ईर्ष्या करेंगे:
उदाहरण 8
एक समारोह दिया। ढूँढ़ने के लिए
बिंदु पर अठारहवाँ व्युत्पन्न। अभी-अभी।
फेसला: सबसे पहले, जाहिर है, आपको खोजने की जरूरत है। जाना: 
वे ज्या से प्रारंभ हुए, और वे ज्या में आ गए। यह स्पष्ट है कि आगे भिन्नता के साथ, यह चक्र अनंत तक जारी रहेगा, और निम्नलिखित प्रश्न उठता है: अठारहवें व्युत्पन्न को "प्राप्त" करना सबसे अच्छा कैसे है?
"शौकिया" विधि: हम कॉलम में दाईं ओर बाद के डेरिवेटिव की संख्या जल्दी से लिखते हैं: 
इस प्रकार:
लेकिन यह तब काम करता है जब व्युत्पन्न का क्रम बहुत बड़ा न हो। यदि आपको सौवां अवकलज ज्ञात करना हो, तो आपको 4 से विभाज्यता का उपयोग करना चाहिए। एक सौ शेष के बिना 4 से विभाज्य है, और यह देखना आसान है कि ऐसी संख्याएँ नीचे की रेखा पर स्थित हैं, इसलिए: .
वैसे, 18 वें व्युत्पन्न को भी इसी तरह के विचारों से निर्धारित किया जा सकता है:
दूसरी पंक्ति में वे संख्याएँ हैं जो 2 के शेष के साथ 4 से विभाज्य हैं।
एक और, अधिक शैक्षणिक पद्धति पर आधारित है साइन आवधिकताऔर कमी सूत्र. हम साइन के व्युत्पन्न तैयार सूत्र "nth" का उपयोग करते हैं 
, जिसमें वांछित संख्या को बस प्रतिस्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
(कमी सूत्र 
)
;
(कमी सूत्र 
)
हमारे मामले में:
(1) चूंकि साइन एक अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है, तो तर्क दर्द रहित रूप से "बिना पेंच" 4 अवधियों (यानी) हो सकता है।
दो कार्यों के उत्पाद का क्रम व्युत्पन्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:
विशेष रूप से: 
आपको विशेष रूप से कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि जितने अधिक सूत्र आप जानते हैं, उतना ही कम आप समझते हैं। जानना बहुत बेहतर है न्यूटन का द्विपद, चूंकि लाइबनिज का सूत्र बहुत, बहुत हद तक उससे मिलता-जुलता है। खैर, वे भाग्यशाली लोग जिन्हें 7वें या उच्चतर आदेशों का व्युत्पन्न मिलता है (जो वास्तव में असंभव है)ऐसा करने के लिए मजबूर किया जाएगा। हालाँकि, जब समय आता है साहचर्य- आपको अभी भी करना है =)
आइए फ़ंक्शन का तीसरा व्युत्पन्न खोजें। हम लाइबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हैं:
इस मामले में: 
. डेरिवेटिव्स को मौखिक रूप से क्लिक करना आसान है: 
अब हम सावधानीपूर्वक और सावधानी से प्रतिस्थापन करते हैं और परिणाम को सरल बनाते हैं:
जवाब:
एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान कार्य:
उदाहरण 11
सुविधाओं का पता लगाएं
यदि पिछले उदाहरण में समाधान "माथे पर" अभी भी लीबनिज़ सूत्र के साथ प्रतिस्पर्धा करता है, तो यहां यह पहले से ही वास्तव में अप्रिय होगा। और इससे भी अधिक अप्रिय - व्युत्पन्न के उच्च क्रम के मामले में:
उदाहरण 12
निर्दिष्ट आदेश का व्युत्पन्न खोजें
फेसला: पहली और आवश्यक टिप्पणी - इस तरह निर्णय लेना, शायद, यह आवश्यक नहीं है =) =)
आइए कार्यों को लिखें और 5 वें क्रम तक के उनके डेरिवेटिव को शामिल करें। मुझे लगता है कि सही कॉलम के डेरिवेटिव आपके लिए मौखिक हो गए हैं: 
बाएं कॉलम में, "लाइव" डेरिवेटिव जल्दी से "समाप्त" हो गया और यह बहुत अच्छा है - लीबनिज़ सूत्र में, तीन शब्द शून्य हो जाएंगे:
मैं इस लेख में दिखाई देने वाली दुविधा पर फिर से ध्यान दूंगा जटिल व्युत्पन्न: परिणाम को सरल बनाने के लिए? सिद्धांत रूप में, आप इसे ऐसे ही छोड़ सकते हैं - शिक्षक के लिए जांचना और भी आसान हो जाएगा। लेकिन उसे निर्णय को ध्यान में रखना पड़ सकता है। दूसरी ओर, स्वयं की पहल पर सरलीकरण बीजीय त्रुटियों से भरा होता है। हालाँकि, हमारे पास "प्राथमिक" तरीके से प्राप्त उत्तर है =) (शुरुआत में लिंक देखें)और मुझे आशा है कि यह सही है:
बढ़िया, यह सब काम कर गया।
जवाब: 
आत्म-समाधान के लिए शुभ कार्य:
उदाहरण 13
समारोह के लिए:
ए) प्रत्यक्ष भेदभाव द्वारा खोजें;
बी) लाइबनिज सूत्र द्वारा खोजें;
ग) गणना।
नहीं, मैं बिल्कुल भी साधु नहीं हूं - बिंदु "ए" यहां काफी सरल है =)
लेकिन गंभीरता से, क्रमिक भेदभाव द्वारा "प्रत्यक्ष" समाधान में "जीवन का अधिकार" भी है - कुछ मामलों में इसकी जटिलता लाइबनिज़ सूत्र को लागू करने की जटिलता के बराबर है। जैसा आप फिट देखते हैं वैसा ही उपयोग करें - यह कार्य की गिनती न करने का आधार होने की संभावना नहीं है।
पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।
अंतिम पैराग्राफ को बढ़ाने के लिए आपको सक्षम होने की आवश्यकता है निहित कार्यों को अलग करें:
निहित रूप से परिभाषित कार्यों के उच्च-क्रम डेरिवेटिव
हम में से कई लोगों ने अपने जीवन के लंबे घंटे, दिन और सप्ताह अध्ययन करते हुए बिताए हैं हलकों, परवलय, अतिशयोक्ति- और कभी-कभी यह एक वास्तविक सजा की तरह भी लगता था। तो चलिए बदला लेते हैं और उन्हें ठीक से अलग करते हैं!
आइए इसके में "स्कूल" परवलय से शुरू करें विहित स्थिति:
उदाहरण 14
एक समीकरण दिया गया है। ढूँढ़ने के लिए ।
फेसला: पहला कदम परिचित है:
तथ्य यह है कि फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जाता है, इस मामले का सार नहीं बदलता है, दूसरा व्युत्पन्न 1 व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है: 
हालांकि, खेल के नियम हैं: दूसरे और उच्च आदेशों के डेरिवेटिव आमतौर पर व्यक्त किए जाते हैं केवल "x" और "y" के माध्यम से. इसलिए, हम परिणामी 2 व्युत्पन्न में स्थानापन्न करते हैं: 
तीसरा व्युत्पन्न दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है:
इसी तरह, आइए प्रतिस्थापित करें: 
जवाब:
"स्कूल" अतिशयोक्ति में विहित स्थिति- स्वतंत्र कार्य के लिए:
उदाहरण 15
एक समीकरण दिया गया है। ढूँढ़ने के लिए ।
मैं दोहराता हूं कि दूसरा व्युत्पन्न और परिणाम केवल "x" / "y" के माध्यम से व्यक्त किया जाना चाहिए!
पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।
बच्चों की शरारतों के बाद, आइए जर्मन पोर्नोग्राफ़ी @ fia को देखें, आइए अधिक वयस्क उदाहरणों को देखें, जिनसे हम एक और महत्वपूर्ण समाधान सीखते हैं:
उदाहरण 16
अंडाकारवह स्वयं।
फेसला: पहला व्युत्पन्न खोजें: 
और अब आइए अगले क्षण रुकें और विश्लेषण करें: अब हमें भिन्न में अंतर करना है, जो बिल्कुल भी उत्साहजनक नहीं है। इस मामले में, ज़ाहिर है, यह आसान है, लेकिन वास्तविक जीवन की समस्याओं में ऐसे उपहारों में से कुछ ही हैं। क्या बोझिल व्युत्पन्न खोजने से बचने का कोई तरीका है? अस्तित्व! हम समीकरण लेते हैं और उसी तकनीक का उपयोग करते हैं जब पहली व्युत्पन्न खोजते हैं - हम दोनों भागों पर स्ट्रोक "लटका" करते हैं: 
दूसरा व्युत्पन्न केवल और के माध्यम से व्यक्त किया जाना चाहिए, इसलिए अब (अभी इस वक्त) 1 व्युत्पन्न से छुटकारा पाना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी समीकरण में स्थानापन्न करते हैं: 
अनावश्यक तकनीकी कठिनाइयों से बचने के लिए, हम दोनों भागों को इससे गुणा करते हैं: 
और केवल अंतिम चरण में हम एक अंश बनाते हैं: 
अब हम मूल समीकरण को देखते हैं और देखते हैं कि प्राप्त परिणाम को सरल बनाया जा सकता है:
जवाब:
किसी बिंदु पर दूसरे व्युत्पन्न का मान कैसे ज्ञात करें (जो, निश्चित रूप से, दीर्घवृत्त से संबंधित है), उदाहरण के लिए, बिंदु पर 
? बहुत आसान! के बारे में पाठ में इस मूल भाव का पहले ही सामना किया जा चुका है सामान्य समीकरण: दूसरे व्युत्पन्न की अभिव्यक्ति में आपको स्थानापन्न करने की आवश्यकता है 
:
बेशक, तीनों मामलों में, आप स्पष्ट रूप से दिए गए कार्य प्राप्त कर सकते हैं और उन्हें अलग कर सकते हैं, लेकिन फिर मानसिक रूप से दो कार्यों के साथ काम करने के लिए तैयार हो सकते हैं जिनमें जड़ें होती हैं। मेरी राय में, समाधान "निहित" करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।
आत्म समाधान के लिए अंतिम उदाहरण:
उदाहरण 17
निहित कार्य खोजें
दो फलनों के गुणनफल के nवें अवकलज की गणना के लिए लाइबनिज सूत्र दिया गया है। इसका प्रमाण दो प्रकार से दिया जाता है। nवें क्रम के व्युत्पन्न की गणना का एक उदाहरण माना जाता है।
विषययह सभी देखें: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
लाइबनिज सूत्र
लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके, आप दो कार्यों के उत्पाद के nवें व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:
(1)
,
कहाँ पे
द्विपद गुणांक हैं।
द्विपद गुणांक, की घातों में द्विपद के प्रसार के गुणांक हैं और :
.
साथ ही संख्या n से k तक के संयोजनों की संख्या है।
लाइबनिज सूत्र का प्रमाण
हम दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
(2)
.
आइए निम्नलिखित रूप में सूत्र (2) को फिर से लिखें:
.
अर्थात्, हम मानते हैं कि एक फ़ंक्शन x चर पर निर्भर करता है, और दूसरा y चर पर निर्भर करता है। गणना के अंत में, हम मानते हैं। तब पिछला सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(3)
.
चूंकि व्युत्पन्न पदों के योग के बराबर है, और प्रत्येक पद दो कार्यों का गुणनफल है, तो उच्च आदेशों के डेरिवेटिव की गणना करने के लिए, आप लगातार नियम (3) लागू कर सकते हैं।
फिर nवें क्रम के व्युत्पन्न के लिए हमारे पास है:
.
यह देखते हुए और, हमें लाइबनिज़ सूत्र मिलता है:
(1)
.
प्रेरण द्वारा प्रमाण
हम गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा लाइबनिज सूत्र का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं।
आइए लाइबनिज़ सूत्र को फिर से लिखें:
(4)
.
एन = 1 के लिए हमारे पास है:
.
यह दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र है। वह निष्पक्ष है।
मान लें कि सूत्र (4) nवें कोटि के अवकलज के लिए मान्य है। आइए हम सिद्ध करें कि यह अवकलज n + . के लिए मान्य है 1 -वें क्रम।
अंतर (4):
;
.
तो हमने पाया:
(5)
.
(5) में प्रतिस्थापित करें और ध्यान रखें कि:
.
इससे पता चलता है कि सूत्र (4) का व्युत्पन्न n + . के लिए समान रूप है 1
-वें क्रम।
तो, सूत्र (4) n = . के लिए मान्य है 1
. इस धारणा से कि यह किसी संख्या n = m के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि यह n = m + . के लिए सत्य है 1
.
लाइबनिज सूत्र सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण
किसी फ़ंक्शन के nवें व्युत्पन्न की गणना करें
.
हम लाइबनिज़ सूत्र लागू करते हैं
(2)
.
हमारे मामले में
;
.
डेरिवेटिव की तालिका के अनुसार, हमारे पास है:
.
हम त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों को लागू करते हैं:
.
फिर
.
इससे पता चलता है कि ज्या फलन के विभेदन के कारण इसकी शिफ्ट हो जाती है। फिर
.
हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पाते हैं।
;
;
;
,
.
चूँकि , लाइबनिज़ सूत्र में केवल प्रथम तीन पद अशून्य हैं। द्विपद गुणांक ढूँढना।
;
.
लाइबनिज सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
.
काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण "नौकरी फ़ाइलें" टैब में पीडीएफ प्रारूप में उपलब्ध है
"मैं भी, न्यूटन का द्विपद!»
मास्टर और मार्गरीटा से
"पास्कल का त्रिकोण इतना सरल है कि दस साल का बच्चा भी इसे लिख सकता है। साथ ही, यह अटूट खजाने को छुपाता है और गणित के विभिन्न पहलुओं को एक साथ जोड़ता है कि पहली नज़र में एक-दूसरे के साथ कुछ भी समान नहीं है। इस तरह के असामान्य गुण हमें पास्कल के त्रिकोण को सभी गणित में सबसे सुंदर योजनाओं में से एक मानते हैं।
मार्टिन गार्डनर।
उद्देश्य:संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को सामान्य बनाना, समस्याओं को हल करने के लिए उनके आवेदन को दिखाना।
कार्य:
1) इस मुद्दे पर जानकारी का अध्ययन और व्यवस्थित करें;
2) न्यूटन के द्विपद के उपयोग के लिए समस्याओं के उदाहरणों और डिग्री के योग और अंतर के लिए सूत्रों का विश्लेषण करें।
अनुसंधान की वस्तुएं:न्यूटन के द्विपद, योग और अंशों के अंतर के सूत्र।
तलाश पद्दतियाँ:
शैक्षिक और लोकप्रिय विज्ञान साहित्य, इंटरनेट संसाधनों के साथ कार्य करना।
गणना, तुलना, विश्लेषण, सादृश्य।
प्रासंगिकता।एक व्यक्ति को अक्सर उन समस्याओं से जूझना पड़ता है जिनमें कुछ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या या कुछ कार्रवाई करने के सभी संभावित तरीकों की संख्या गिनना आवश्यक होता है। अलग-अलग रास्ते या विकल्प जिन्हें किसी व्यक्ति को चुनना होता है, वे विभिन्न प्रकार के संयोजनों को जोड़ते हैं। और गणित की एक पूरी शाखा, जिसे कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है, सवालों के जवाब खोजने में व्यस्त है: इस या उस मामले में कितने संयोजन हैं।
कई विशिष्टताओं के प्रतिनिधियों को संयोजक मात्राओं से निपटना पड़ता है: वैज्ञानिक-रसायनज्ञ, जीवविज्ञानी, डिजाइनर, डिस्पैचर, आदि। हाल के वर्षों में कॉम्बिनेटरिक्स में बढ़ती रुचि साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के तेजी से विकास के कारण है।
परिचय
जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि वार्ताकार अपने द्वारा सामना किए जाने वाले कार्यों की जटिलता को बढ़ा-चढ़ाकर पेश करता है, तो वे कहते हैं: "मुझे न्यूटन के द्विपद की भी आवश्यकता है!" कहो, यहाँ न्यूटन का द्विपद है, यह कठिन है, लेकिन आपको क्या समस्याएँ हैं! जिन लोगों की रुचियों का गणित से कोई लेना-देना नहीं है, उन्होंने भी न्यूटन के द्विपद के बारे में सुना है।
"द्विपद" शब्द का अर्थ द्विपद है, अर्थात। दो पदों का योग। स्कूल के पाठ्यक्रम से, तथाकथित संक्षिप्त गुणन सूत्र ज्ञात हैं:
( ए+ ख) 2 = ए 2 + 2ab + बी 2 , (ए+बी) 3 = ए 3 +3ए 2 बी+3एबी 2 +बी 3 .
इन सूत्रों का सामान्यीकरण एक सूत्र है जिसे न्यूटन का द्विपद सूत्र कहते हैं। स्कूल में वर्गों के अंतर, घनों के योग और अंतर के गुणनखंडों का भी उपयोग किया जाता है। क्या उनके पास अन्य डिग्री के लिए सामान्यीकरण है? हां, ऐसे सूत्र हैं, जिनका उपयोग अक्सर विभिन्न समस्याओं को हल करने में किया जाता है: विभाज्यता साबित करना, भिन्नों को कम करना, अनुमानित गणना।
सामान्यीकरण सूत्रों के अध्ययन से निगमनात्मक-गणितीय सोच और सामान्य मानसिक क्षमताओं का विकास होता है।
खंड 1. न्यूटन का द्विपद सूत्र
संयोजन और उनके गुण
मान लीजिए X एक समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। समुच्चय X का कोई उपसमुच्चय Y जिसमें k तत्व हों, n और k n के k तत्वों का संयोजन कहलाता है।
n में से k तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या को C n k निरूपित किया जाता है। कॉम्बिनेटरिक्स के सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों में से एक संख्या C n k के लिए निम्न सूत्र है:
इसे स्पष्ट संक्षिप्ताक्षरों के बाद निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
विशेष रूप से,
यह इस तथ्य से काफी सुसंगत है कि समुच्चय X में 0 तत्वों का केवल एक उपसमुच्चय है - खाली उपसमुच्चय।
संख्या C n k में कई उल्लेखनीय गुण हैं।
सूत्र n k = С n - k n मान्य है, (3)
सूत्र (3) का अर्थ यह है कि एक्स से सभी के-सदस्य उपसमुच्चय के सेट और एक्स से सभी (एन-के)-सदस्य उपसमुच्चय के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार है: इस पत्राचार को स्थापित करने के लिए, यह Y के प्रत्येक k-सदस्य उपसमुच्चय के लिए समुच्चय X में इसके पूरक से मेल खाने के लिए पर्याप्त है।
सूत्र 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + n n = 2 n मान्य है (4)
बाईं ओर का योग सेट X के सभी सबसेट की संख्या को व्यक्त करता है (C 0 n 0-सदस्यीय उपसमुच्चय की संख्या है, C 1 n एकल-सदस्य उपसमुच्चय की संख्या है, आदि)।
किसी भी k, 1≤ k≤ n के लिए, समानता
सी के एन \u003d सी एन -1 के + सी एन -1 के -1 (5)
यह समानता सूत्र (1) का उपयोग करके प्राप्त करना आसान है। वास्तव में,
1.2. न्यूटन के द्विपद सूत्र की व्युत्पत्ति
द्विपद की शक्तियों पर विचार करें ए +बी .
एन = 0, (ए +बी ) 0 = 1
एन = 1, (ए +बी ) 1 = 1ए+1बी
एन = 2(ए +बी ) 2 = 1a 2 + 2aबी +1 बी 2
एन = 3(ए +बी ) 3 = 1 ए 3 + 3a 2 बी + 3aबी 2 +1 बी 3
एन = 4(ए +बी ) 4 = 1a 4 + 4a 3 बी + 6a 2 बी 2 +4एबी 3 +1 बी 4
एन = 5(ए +बी ) 5 = 1 क 5 + 5a 4 बी + 10a 3 बी 2 + 10a 2 बी 3 + 5aबी 4 + 1 बी 5
निम्नलिखित नियमितताओं पर ध्यान दें:
परिणामी बहुपद के पदों की संख्या द्विपद के घातांक से एक अधिक है;
पहले पद का घातांक n से 0 तक घट जाता है, दूसरे पद का घातांक 0 से n तक बढ़ जाता है;
सभी एकपदी की डिग्री स्थिति में द्विपद की डिग्री के बराबर होती है;
प्रत्येक एकपदी विभिन्न घातों में प्रथम और द्वितीय व्यंजकों का गुणनफल होता है और एक निश्चित संख्या - द्विपद गुणांक;
द्विपद गुणांक प्रसार के आरंभ और अंत से समान दूरी पर होते हैं।
इन सूत्रों का एक सामान्यीकरण निम्न सूत्र है, जिसे न्यूटन का द्विपद सूत्र कहा जाता है:
(ए + बी ) एन = सी 0 एन ए एन बी 0 + सी 1 एन ए एन -1 बी + सी 2 एन ए एन -2 बी 2 + ... + सी एन -1 एन अब एन -1 + सी एन एन ए 0 बी एन . (6)
इस सूत्र में एनकोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है।
हम सूत्र (6) प्राप्त करते हैं। सबसे पहले, आइए लिखते हैं:
(ए + बी ) एन = (ए + बी )(ए + बी ) ... (ए + बी ), (7)
जहां गुणा किए जाने वाले कोष्ठकों की संख्या है एन. किसी योग को योग से गुणा करने के सामान्य नियम से, यह इस प्रकार है कि अभिव्यक्ति (7) सभी संभावित उत्पादों के योग के बराबर है, जिसे निम्नानुसार बनाया जा सकता है: पहली राशि का कोई भी पद ए + बीदूसरे योग के किसी भी पद से गुणा किया जाता है ए+बी, तीसरे योग, आदि की किसी भी अवधि पर।
जो कहा गया है, उससे यह स्पष्ट है कि के लिए अभिव्यक्ति में शब्द (ए + बी ) एनमिलान (एक-से-एक) लंबाई n के तार, अक्षरों से बना है ए और बी।शर्तों के बीच समान शर्तें होंगी; यह स्पष्ट है कि ऐसे सदस्य समान संख्या में अक्षरों वाले तार के अनुरूप होते हैं ए. लेकिन अक्षरों की संख्या के ठीक k गुना वाली पंक्तियों की संख्या ए, सी एन के बराबर है। इसलिए, एक गुणनखंड के साथ अक्षर a वाले सभी पदों का योग ठीक k गुना है, n k . के बराबर है ए एन - क बी क . चूँकि k हमारे तर्क के अनुसार 0, 1, 2, ..., n-1, n, सूत्र (6) के मान ले सकता है। ध्यान दें कि (6) को छोटा लिखा जा सकता है: (8)
यद्यपि सूत्र (6) को न्यूटन का नाम कहा जाता है, वास्तव में इसकी खोज न्यूटन से भी पहले की गई थी (उदाहरण के लिए, पास्कल इसे जानता था)। न्यूटन की योग्यता इस तथ्य में निहित है कि उन्होंने गैर-पूर्णांक घातांक के मामले में इस सूत्र का एक सामान्यीकरण पाया। यह 1664-1665 में I. न्यूटन था। मनमाने ढंग से भिन्नात्मक और नकारात्मक घातांक के लिए द्विपद की डिग्री व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त किया।
सूत्र (6) में शामिल संख्याएँ C 0 n , C 1 n , ..., C n n , आमतौर पर द्विपद गुणांक कहलाते हैं, जिन्हें निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:
सूत्र (6) से आप इन गुणांकों के कई गुण प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लेना ए= 1, बी = 1, हम प्राप्त करते हैं:
2 एन = सी 0 एन + सी 1 एन + सी 2 एन + सी 3 एन + ... + सी एन एन,
वे। सूत्र (4)। अगर हम डालते हैं ए= 1, बी = -1, तो हमारे पास होगा:
0 \u003d सी 0 एन - सी 1 एन + सी 2 एन - सी 3 एन + ... + (-1) एन सी एन एन
या 0 एन + सी 2 एन + सी 4 एन + ... = सी 1 एन + सी 3 एन + + सी 5 एन + ...।
इसका अर्थ है कि प्रसार के सम पदों के गुणांकों का योग, विस्तार के विषम पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है; उनमें से प्रत्येक 2 n -1 के बराबर है।
प्रसार के सिरों से समान दूरी वाले पदों के गुणांक बराबर होते हैं। यह गुण संबंध से निम्नानुसार है: n k = С n n - k
एक दिलचस्प विशेष मामला
(एक्स + 1) एन = सी 0 एन एक्स एन + सी 1 एन एक्स एन -1 + ... + सी के एन एक्स एन - के + ... + सी एन एन एक्स 0
या छोटा (x +1) n = C n k x n - k ।
1.3. बहुपद प्रमेय
प्रमेय।
प्रमाण।
कोष्ठक खोलने के बाद एकपदी प्राप्त करने के लिए, आपको उन कोष्ठकों को चुनना होगा जिनसे इसे लिया गया है, वे कोष्ठक जिनसे इसे लिया गया है, आदि। और वे कोष्ठक जिनसे इसे लिया गया है। समान पदों में कमी के बाद इस एकपदी का गुणांक उन तरीकों की संख्या के बराबर है जिनमें इस तरह का चुनाव किया जा सकता है। विकल्पों के अनुक्रम का पहला चरण तरीकों से किया जा सकता है, दूसरा चरण - , तीसरा - आदि, -वां चरण - तरीकों से किया जा सकता है। वांछित गुणांक उत्पाद के बराबर है
खंड 2. उच्च आदेशों के डेरिवेटिव।
उच्च आदेशों के डेरिवेटिव की अवधारणा।
मान लें कि फलन कुछ अंतराल में अवकलनीय है। तब इसका व्युत्पन्न, आम तौर पर बोलना, पर निर्भर करता है एक्स, अर्थात्, का एक कार्य है एक्स. इसलिए, इसके संबंध में, हम फिर से एक व्युत्पन्न के अस्तित्व का सवाल उठा सकते हैं।
परिभाषा . पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को कहा जाता है दूसरे क्रम या दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न और प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात।
परिभाषा . दूसरे अवकलज के अवकलज को तृतीय कोटि का अवकलज या तीसरा अवकलज कहा जाता है और इसे या प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।
परिभाषा . यौगिकएन वें क्रमकार्यों व्युत्पन्न का पहला व्युत्पन्न कहा जाता है (एन -1) - इस फ़ंक्शन का क्रम और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है या:
परिभाषा . पहले की तुलना में उच्च कोटि के व्युत्पन्न कहलाते हैं उच्च डेरिवेटिव।
टिप्पणी. इसी तरह, कोई सूत्र प्राप्त कर सकता है एन- समारोह का व्युत्पन्न:
पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न
यदि एक फ़ंक्शन को समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है, तो दूसरे क्रम के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, एक स्वतंत्र चर के एक जटिल कार्य के रूप में इसके पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति को अलग करना आवश्यक है।
तब से
और उस पर विचार करते हुए,
हम इसे प्राप्त करते हैं, अर्थात्।
इसी तरह, हम तीसरा व्युत्पन्न पा सकते हैं।
योग, गुणनफल और भागफल का अंतर।
चूँकि अवकलन से अवकलज को एक स्वतंत्र चर के अवकलन से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, तो बुनियादी प्राथमिक फलनों के अवकलजों के साथ-साथ अवकलज ज्ञात करने के नियमों को जानकर, कोई भी अवकलन ज्ञात करने के लिए समान नियमों पर आ सकता है।
1 0 . एक स्थिरांक का अंतर शून्य होता है.
2 0 . अवकलनीय फलनों की एक परिमित संख्या के बीजीय योग का अंतर इन फलनों के अंतरों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है .
3 0 . दो भिन्न फलनों के गुणनफल का अंतर पहले फलन के गुणनफलों के योग और दूसरे और दूसरे फलन के अंतर और पहले फलन के अंतर के बराबर होता है .
परिणाम. निरंतर कारक को अंतर के संकेत से निकाला जा सकता है।
2.3. पैरामीट्रिक रूप से दिए गए कार्य, उनका विभेदन।
परिभाषा . एक फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित कहा जाता है यदि दोनों चर एक्स और y प्रत्येक को एक ही सहायक चर के एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में अलग-अलग परिभाषित किया गया है - पैरामीटरटी :
कहाँ पेटी भीतर बदल जाता है।
टिप्पणी . हम एक वृत्त और एक दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण प्रस्तुत करते हैं।
ए) मूल और त्रिज्या पर केंद्रित सर्कल आरपैरामीट्रिक समीकरण हैं:
बी) आइए अंडाकार के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखें:
पैरामीटर को छोड़कर टीविचाराधीन रेखाओं के पैरामीट्रिक समीकरणों से, उनके विहित समीकरणों पर पहुंचा जा सकता है।
प्रमेय . अगर समारोह y तर्क से x को समीकरणों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है, जहां और के संबंध में अवकलनीय हैंटी कार्य और फिर।
2.4. लाइबनिज सूत्र
व्युत्पन्न खोजने के लिए एनदो कार्यों के उत्पाद के वें क्रम में, लाइबनिज़ सूत्र महान व्यावहारिक महत्व का है।
रहने दो तुमऔर वी- एक चर से कुछ कार्य एक्सकिसी भी आदेश के व्युत्पन्न होने और आप = यूवी. व्यक्त करना एन-वें व्युत्पन्न कार्यों के डेरिवेटिव के माध्यम से तुमऔर वी .
हमने लगातार
दूसरे और तीसरे डेरिवेटिव के लिए भावों के बीच समानता और दूसरी और तीसरी शक्तियों में क्रमशः न्यूटन के द्विपद के विस्तार को नोटिस करना आसान है, लेकिन घातांक के बजाय संख्याएं हैं जो व्युत्पन्न के क्रम और कार्यों को निर्धारित करती हैं। खुद को "शून्य-आदेश डेरिवेटिव" के रूप में माना जा सकता है। इसे देखते हुए, हम लाइबनिज सूत्र प्राप्त करते हैं:
इस सूत्र को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।
धारा 3. लाइबनिज फॉर्मूला का आवेदन।
दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र के अनुक्रमिक अनुप्रयोग को छोड़कर, दो कार्यों के उत्पाद से किसी भी आदेश के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम उपयोग करते हैं लाइबनिज सूत्र.
इस सूत्र का प्रयोग करते हुए, दो फलनों के गुणनफल के nवें अवकलज की गणना के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 1
फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें
परिभाषा के अनुसार, दूसरा व्युत्पन्न पहले व्युत्पन्न का पहला व्युत्पन्न है, अर्थात।
इसलिए, हम पहले दिए गए फ़ंक्शन का पहला ऑर्डर व्युत्पन्न पाते हैं: भेदभाव नियमऔर उपयोग कर रहे हैं व्युत्पन्न तालिका:
अब हम प्रथम कोटि के अवकलज का अवकलज पाते हैं। यह वांछित दूसरे क्रम का व्युत्पन्न होगा:
जवाब:
उदाहरण 2
किसी फ़ंक्शन का वें-क्रम व्युत्पन्न खोजें
फेसला।
हम क्रमिक रूप से पहले, दूसरे, तीसरे, और इसी तरह दिए गए फ़ंक्शन के क्रम में डेरिवेटिव ढूंढेंगे ताकि एक पैटर्न स्थापित किया जा सके जिसे -वें व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत किया जा सके।
हम प्रथम कोटि का अवकलज पाते हैं: भागफल का व्युत्पन्न:
यहाँ व्यंजक को किसी संख्या का भाज्य कहते हैं। किसी संख्या का भाज्य एक से एक तक की संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात,
दूसरा व्युत्पन्न पहले व्युत्पन्न का पहला व्युत्पन्न है, जो है
तीसरा क्रम व्युत्पन्न:
चौथा व्युत्पन्न:
पैटर्न पर ध्यान दें: अंश में एक संख्या का एक भाज्य होता है जो व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होता है, और हर में अंश में व्यंजक व्युत्पन्न के क्रम से एक अधिक होता है, अर्थात
जवाब।
उदाहरण 3
किसी बिंदु पर किसी फलन के तीसरे अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला।
इसके अनुसार उच्च क्रम डेरिवेटिव की तालिका, अपने पास:
इस उदाहरण में, अर्थात्, हम प्राप्त करते हैं
ध्यान दें कि एक समान परिणाम क्रमिक रूप से डेरिवेटिव खोजने से भी प्राप्त किया जा सकता है।
किसी दिए गए बिंदु पर, तीसरा व्युत्पन्न है:
जवाब:
उदाहरण 4
फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें
फेसला।सबसे पहले, आइए पहले व्युत्पन्न खोजें:
दूसरा व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम पहले व्युत्पन्न के लिए फिर से व्यंजक में अंतर करते हैं:
जवाब:
उदाहरण 5
खोजें अगर
चूंकि दिया गया फलन दो फलनों का गुणनफल है, इसलिए चौथे क्रम के अवकलज को खोजने के लिए लाइबनिज सूत्र को लागू करना उचित होगा:
हम सभी डेरिवेटिव ढूंढते हैं और शर्तों के गुणांक की गणना करते हैं।
1) शर्तों के लिए गुणांक की गणना करें:
2) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें:
3) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें:
जवाब:
उदाहरण 6
फलन y=x 2 cos3x दिया गया है। तीसरे क्रम के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
चलो u=cos3x , v=x 2 . फिर, लाइबनिज सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं:
इस अभिव्यक्ति में व्युत्पन्न हैं:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
इसलिए, दिए गए फलन का तीसरा अवकलज है
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x।
उदाहरण 7
व्युत्पन्न खोजेंएन -वें क्रम समारोहवाई = एक्स 2 कॉस।
हम लाइबनिज़ सूत्र का उपयोग करते हैं, सेटिंगयू=कॉसएक्स, वी = एक्स 2 . फिर
श्रृंखला के शेष पद शून्य के बराबर हैं, क्योंकि(x2)(i)=0 i>2 के लिए।
व्युत्पन्न संख्या -वें क्रम कोसाइन फ़ंक्शन:
इसलिए, हमारे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है
निष्कर्ष
स्कूल तथाकथित संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का अध्ययन और उपयोग करता है: योग के वर्ग और घन और दो भावों का अंतर और वर्गों के अंतर, दो भावों के घनों के योग और अंतर को फैक्टर करने के लिए सूत्र। इन सूत्रों का एक सामान्यीकरण एक सूत्र है जिसे न्यूटन द्विपद सूत्र कहा जाता है और योग और शक्तियों के अंतर के लिए सूत्र। इन सूत्रों का उपयोग अक्सर विभिन्न समस्याओं को हल करने में किया जाता है: विभाज्यता साबित करना, भिन्नों को कम करना, अनुमानित गणना। पास्कल त्रिभुज के दिलचस्प गुण, जो न्यूटन के द्विपद से निकटता से संबंधित हैं, माने जाते हैं।
पेपर विषय पर जानकारी को व्यवस्थित करता है, न्यूटन के द्विपद के उपयोग के लिए कार्यों के उदाहरण और डिग्री के योग और अंतर के लिए सूत्र देता है। काम का उपयोग गणितीय सर्कल के काम में किया जा सकता है, साथ ही गणित के शौकीन लोगों द्वारा स्वतंत्र अध्ययन के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है।
प्रयुक्त स्रोतों की सूची
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लागू समस्याओं का समाधान अभिन्न की गणना के लिए कम हो जाता है, लेकिन इसे सटीक रूप से करना हमेशा संभव नहीं होता है। कभी-कभी कुछ हद तक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न के मूल्य को जानना आवश्यक होता है, उदाहरण के लिए, एक हजारवें हिस्से तक।
ऐसे कार्य हैं जब आवश्यक सटीकता के साथ एक निश्चित अभिन्न के अनुमानित मूल्य को खोजना आवश्यक होगा, फिर संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग किया जाता है जैसे कि सिम्पोसन विधि, ट्रेपेज़ॉइड, आयत। सभी मामले हमें एक निश्चित सटीकता के साथ इसकी गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं।
यह लेख न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुप्रयोग पर विचार करता है। निश्चित समाकल की सटीक गणना के लिए यह आवश्यक है। विस्तृत उदाहरण दिए जाएंगे, निश्चित समाकल में चर के परिवर्तन पर विचार किया जाएगा और भागों द्वारा समाकलित करने पर हम निश्चित समाकल के मान ज्ञात करेंगे।
न्यूटन-लीबनिज सूत्र
परिभाषा 1जब फलन y = y (x) खंड [ a ; b ], और F (x) इस खंड के फलन के प्रतिअवकलजों में से एक है, तो न्यूटन-लीबनिज सूत्रनिष्पक्ष माना जाता है। आइए इसे इस तरह लिखते हैं a b f (x) d x = F (b) - F (a) ।
यह सूत्र माना जाता है अभिन्न कलन का मूल सूत्र।
इस सूत्र को सिद्ध करने के लिए उपलब्ध चर ऊपरी सीमा के साथ समाकलन की अवधारणा का उपयोग करना आवश्यक है।
जब फलन y = f (x) खंड [ a ; b ] , तो तर्क का मान x a ; b , और समाकलन का रूप a x f (t) d t है और इसे ऊपरी सीमा का फलन माना जाता है। यह स्वीकार करने के लिए आवश्यक है कि फ़ंक्शन का रूप ले लेगा a x f (t) d t = (x) , यह निरंतर है, और फॉर्म की असमानता ∫ a x f (t) d t "= " (x) = f (x) इसके लिए मान्य है।
हम तय करते हैं कि फ़ंक्शन Φ (x) की वृद्धि तर्क x की वृद्धि से मेल खाती है, एक निश्चित अभिन्न की पांचवीं मुख्य संपत्ति का उपयोग करना और प्राप्त करना आवश्यक है
Φ (x + x) - Φ x = a x + x f (t) d t - a x f (t) d t = = a x + x f (t) d t = f (c) x + x - x = च (सी) x
जहां मूल्य सी एक्स; एक्स + एक्स।
हम समानता को (x + ∆ x) - (x) x = f (c) के रूप में निश्चित करते हैं। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, ∆ x → 0 के रूप में सीमा तक जाना आवश्यक है, फिर हमें [ a ; b ] पर स्थित फॉर्म का एक सूत्र मिलता है अन्यथा, व्यंजक लिखा जा सकता है
एफ (एक्स) = Φ (एक्स) + सी = ∫ ए एक्स एफ (टी) डी टी + सी, जहां सी का मूल्य स्थिर है।
आइए निश्चित समाकल के प्रथम गुण का उपयोग करके F (a) की गणना करें। तब हमें वह मिलता है
एफ (ए) = Φ (ए) + सी = ए ए एफ (टी) डी टी + सी = 0 + सी = सी, इसलिए सी = एफ (ए)। परिणाम एफ (बी) की गणना करते समय लागू होता है और हम प्राप्त करते हैं:
एफ (बी) = Φ (बी) + सी = ए बी एफ (टी) डी टी + सी = ए बी एफ (टी) डी टी + एफ (ए), दूसरे शब्दों में, एफ (बी) = ∫ ए बी एफ (टी) डी टी + एफ (ए) . समानता न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) सिद्ध करती है।
फलन की वृद्धि को F x a b = F (b) - F (a) के रूप में लिया जाता है। अंकन की सहायता से न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) बन जाता है।
सूत्र को लागू करने के लिए, खंड [ a ; से समाकलन y = f (x) के प्रतिअवकलज y = F (x) में से एक को जानना आवश्यक है; बी], इस खंड से प्रतिअवकलन की वृद्धि की गणना करें। न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके गणना के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 1
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल ∫ 1 3 x 2 d x परिकलित करें।
फेसला
विचार करें कि y = x 2 के रूप का समाकलन अंतराल [ 1 ; से सतत है; 3 ] , तब और इस अंतराल पर समाकलनीय है। अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 में x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव का एक सेट है, जिसका अर्थ है कि x 1; 3 को F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C के रूप में लिखा जाएगा। C \u003d 0 के साथ प्रतिपदार्थ लेना आवश्यक है, तो हमें वह F (x) \u003d x 3 3 मिलता है।
आइए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करें और प्राप्त करें कि निश्चित अभिन्न की गणना ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 के रूप में होगी।
जवाब:∫ 1 3 x 2 डी एक्स = 26 3
उदाहरण 2
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x परिकलित करें।
फेसला
दिया गया फलन खंड से सतत है [ - 1 ; 2], जिसका अर्थ है कि यह उस पर एकीकृत है। अंतर चिह्न के नीचे योग की विधि का उपयोग करके अनिश्चित अभिन्न x e x 2 + 1 d x का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तो हम प्राप्त करते हैं x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 ई एक्स 2+1+सी।
इसलिए हमारे पास फलन y = x · e x 2 + 1 के प्रतिअवकलजों का एक सेट है, जो सभी x , x ∈ - 1 के लिए मान्य हैं; 2.
C = 0 पर प्रतिअवकलन लेना और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र लागू करना आवश्यक है। तब हमें रूप का व्यंजक प्राप्त होता है
- 1 2 एक्स ई एक्स 2 + 1 डी एक्स = 1 2 ई एक्स 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 ई 2 2 + 1 - 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई (- 1) 2 + 1 = 1 2 ई 2 (ई 3 - 1)
जवाब:- 1 2 एक्स ई एक्स 2 + 1 डी एक्स = 1 2 ई 2 (ई 3 - 1)
उदाहरण 3
इंटीग्रल - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x और ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x परिकलित करें।
फेसला
खंड - 4; - 1 2 कहता है कि समाकलन चिह्न के अंतर्गत फलन सतत है, जिसका अर्थ है कि यह समाकलनीय है। यहाँ से हमें फलन y = 4 x 3 + 2 x 2 के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात होता है। हमें वह मिलता है
4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
एंटीडेरिवेटिव एफ (x) \u003d 2 x 2 - 2 x लेना आवश्यक है, फिर, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करते हुए, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं, जिसकी हम गणना करते हैं:
- 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
हम दूसरे अभिन्न की गणना के लिए संक्रमण करते हैं।
खंड से [ - 1 ; 1] हमारे पास यह है कि इंटीग्रैंड को असीमित माना जाता है, क्योंकि लिम x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + , तो यह इस प्रकार है कि सेगमेंट से इंटीग्रेबिलिटी के लिए एक आवश्यक शर्त है। तब F (x) = 2 x 2 - 2 x अंतराल से y = 4 x 3 + 2 x 2 के लिए एक प्रतिअवकलज नहीं है [ - 1 ; 1] , चूंकि बिंदु O खंड से संबंधित है, लेकिन परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं है। इसका अर्थ यह है कि अंतराल [ - 1 ; एक ] ।
उत्तर: - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,फलन y = 4 x 3 + 2 x 2 के अंतराल से [ - 1 ; एक ] ।
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करने से पहले, आपको निश्चित रूप से एक निश्चित अभिन्न के अस्तित्व के बारे में जानना होगा।
एक निश्चित अभिन्न में चर का परिवर्तन
जब फलन y = f (x) खंड [ a ; से परिभाषित और सतत है; b ] , फिर मौजूदा सेट [ a ; b ] को अंतराल α पर परिभाषित फलन x = g (z) का परिसर माना जाता है; β मौजूदा निरंतर व्युत्पन्न के साथ, जहां g (α) = a और g β = b, इसलिए हम प्राप्त करते हैं कि a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z ।
इस सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब अभिन्न a b f (x) d x की गणना करना आवश्यक होता है, जहां अनिश्चितकालीन अभिन्न का रूप ∫ f (x) d x होता है, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके गणना करते हैं।
उदाहरण 4
9 18 1 x 2 x - 9 d x के रूप का एक निश्चित समाकल परिकलित करें।
फेसला
समाकलन अंतराल पर समाकलन को सतत माना जाता है, जिसका अर्थ है कि निश्चित समाकल मौजूद है। मान लीजिए कि 2 x - 9 = z x = g (z) = z 2 + 9 2 है। मान x \u003d 9 का अर्थ है कि z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, और x \u003d 18 के लिए हमें वह z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3 मिलता है, फिर g α \ u003d जी (3) \u003d 9 , जी β = जी 3 3 = 18। प्राप्त मानों को सूत्र a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं कि
9 18 1 x 2 x - 9 d x = 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 डी ज़ू
अनिश्चित समाकलों की तालिका के अनुसार, हमारे पास यह है कि फलन 2 z 2 + 9 के प्रतिअवकलजों में से एक का मान 2 3 a r c t g z 3 है। फिर, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि
3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - 4 = π 18
सूत्र a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z का उपयोग किए बिना खोज की जा सकती है।
यदि प्रतिस्थापन विधि ∫ 1 x 2 x - 9 d x रूप के समाकलन का उपयोग करती है, तो हम परिणाम ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C प्राप्त कर सकते हैं।
यहां से हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके गणना करेंगे और निश्चित समाकलन की गणना करेंगे। हमें वह मिलता है
9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d 18
परिणाम मेल खाते थे।
उत्तर: 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
एक निश्चित अभिन्न की गणना में भागों द्वारा एकीकरण
यदि खंड पर [ a ; b ] फलन u (x) और v (x) परिभाषित और सतत हैं, तो उनके प्रथम कोटि के अवकलज v" (x) u (x) समाकलनीय हैं, अत: इस अंतराल से समाकलनीय फलन u" (x) v के लिए (x) समानता a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u" (x) v (x) d x सत्य है।
सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है, अभिन्न की गणना करना आवश्यक है a b f (x) d x , और ∫ f (x) d x भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसे खोजना आवश्यक था।
उदाहरण 5
निश्चित समाकल - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x परिकलित कीजिए।
फेसला
फलन x sin x 3 + π 6 खंड - 2 पर समाकलनीय है; 3 2 , अतः यह सतत है।
चलो यू (एक्स) \u003d एक्स, फिर डी (वी (एक्स)) \u003d वी "(एक्स) डी एक्स \u003d पाप एक्स 3 + π 6 डी एक्स, और डी (यू (एक्स)) \u003d यू "(एक्स) डी एक्स \u003d डी एक्स, और वी (एक्स) = - 3 cos 3 + π 6 । सूत्र a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u " (x) v (x) d x से हम पाते हैं कि
- π 2 3 π 2 x पाप x 3 + 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - 2 3 π 2 - - π 2 3 2 - 3 cos x 3 + 6 d x \u003d \u003d - 3 3 2 कॉस 2 + 6 - - 3 - π 2 कॉस - 6 + 6 + 9 पाप x 3 + 6 - 2 3 2 \u003d 9 4 - 3 π 2 + 9 पाप π 2 + 6 - पाप - 6 + 6 = 9 4 - 3 2 + 9 3 2 = 3 4 + 9 3 2
उदाहरण का समाधान दूसरे तरीके से किया जा सकता है।
न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके फ़ंक्शन x sin x 3 + π 6 के एंटीडेरिवेटिव का सेट खोजें:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x d u = d x , v = - 3 cos x 3 + 6 = = - 3 cos x 3 + 6 + 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + 6 + C - π 2 3 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - 6 + 6 + 9 पाप - 6 + 6 = = 9 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 4 + 9 3 2
उत्तर: x पाप x x 3 + π 6 d x = 3 4 + 9 3 2
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