Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.
Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.
На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О 1 являются его основаниями.
Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
P = 2πR, и S b = 2πRh.
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.
Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
V = Sh = S l sin α,
где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.
Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
где d – диаметр основания.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.
В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая - окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.
Другие виды цилиндра - (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.
Призма также является разновидностью цилиндра - с основанием в виде многоугольника.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности
К вычислению площади боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
, иДля наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:
Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
Объём цилиндра
Для наклонного цилиндра существуют две формулы:
где - длина образующей, а - угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .Для прямого цилиндра , и , и объём равен:
Для кругового цилиндра:
где d - диаметр основания.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Цилиндр" в других словарях:
- (лат. cylindrus) 1) геометрическое тело, ограниченное с концов двумя кругами, с боков плоскостью, огибающею эти круги. 2) в часовом мастерстве: особого рода рычаг двойного колеса. 3) шляпа, имеющая форму цилиндра. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка
цилиндр - а, м. cylindre m., нем. Zylinder <, лат. cylindrus <гр. 1. Геометрическое тело, образуемое вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон. Объем цилиндра. БАС 1. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту. Даль … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Муж., греч. прямая стопка, вал; облец, обляк; тело, ограниченное с концов двумя кругами, а с боков гнутою по кругам плоскостью. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту, геом. Паровой цилиндр, халява, труба, в которой… … Толковый словарь Даля
Цилиндрическая поверхность, барабан, вал; шапокляк, шляпа, ролик, рол, дорн, цилиндрик, пойнт, царга, тело, вальц Словарь русских синонимов. цилиндр сущ., кол во синонимов: 22 атактостела (2) … Словарь синонимов
- (от греч. kylindros) в элементарной геометрии геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника около одной стороны: объем цилиндра V=?r2h, а площадь боковой поверхности S = 2?rh. Боковая поверхность цилиндра есть часть цилиндрической… …
Полая деталь с цилиндрической внутренней поверхностью, в которой движется поршень. Одна из основных деталей поршневых машин и механизмов … Большой Энциклопедический словарь
Высокая мужская шляпа из шелкового плюша с небольшими твердыми полями … Большой Энциклопедический словарь
ЦИЛИНДР, твердое тело или поверхность, образуемые вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон в качестве оси. Объем цилиндра, если обозначить его высоту как h, а радиус основания как r, равен pr2h, а площадь изогнутой поверхности 2prh … Научно-технический энциклопедический словарь
ЦИЛИНДР, цилиндра, муж. (от греч. kylindros). 1. Геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольника около одной из его сторон, называемой осью, и имеющее в основаниях круг (мат.). 2. Часть машин (двигателей, насосов, компрессоров и т.д.) в… … Толковый словарь Ушакова
ЦИЛИНДР, а, муж. 1. Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 2. Колонновидный предмет, напр. часть поршневой машины. 3. Высокая твёрдая шляпа такой формы с небольшими полями. Чёрный ц. | прил.… … Толковый словарь Ожегова
- (Steam cylinder) одна из основных деталей поршневых машин. Выполняется в виде полого круглого Ц., в котором движется поршень. Ц. паровых машин снабжается обычно паровой рубашкой для обогревания его стенок в целях уменьшения конденсации пара.… … Морской словарь
Цилиндром (точнее круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра , а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, – образующими .
Цилиндр обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания цилиндра совмещаются параллельным переносом:
1. Основания цилиндра равны.
2. Образующие цилиндра параллельны и равны.
Цилиндр называется прямым если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать в основном прямые цилиндры, поэтому, если не оговорено обратное, под цилиндром будем понимать прямой цилиндр.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Для прямого цилиндра высота равна образующим. Осью цилиндра назевается прямая, проходящая через центры оснований.
Цилиндр является телом вращения, так как может быть получен вращением прямоугольника вокруг своей оси.
Задачи
18.1Высота цилиндра 6, радиус основания 5. Концы отрезка , равного 10, лежат на окружностях обоих оснований. Найти кратчайшее расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.
18.2В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенным в эти точки, равен 60 о. Найти угол между проведенным отрезком и осью цилиндра.
Конус
Определение конуса
Конусом (точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга – основания конуса , точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершины конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .
Выстой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Если основание высоты совпадает с центром окружности основания, конус называется прямым . Далее под конусом будем обычно понимать прямой конус.
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Такой конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Усеченный конус
Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него подобный конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом .
Задачи
19.1Две образующие конуса, опирающиеся на концы диаметра основания, составляют между собой угол 60 о. Радиус конуса равняется 3. Найти образующую конуса и его высоту.
19.2Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей . Найти длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
19.3Образующая конуса равна 13, высота 12. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6, а до высоты – 2. Найти отрезок прямой, заключенный внутри конуса.
19.4Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6, высота – 4. Найти образующую.
Определение шара
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от некоторой точки, называемой центром шара . Данное расстояние называется радиусом шара .
Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой . Таким образом, точками сферы являются все точки шара, удаленные от центра шара на расстояние, равное радиусу.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг ее диаметра.
Задачи
20.1На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6, 8 и 10. Радиус шара 13. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.
20.2 Диаметр шара 25. На его поверхности даны точка и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от на 15. Найти радиус этой окружности.
20.3Радиус шара равен 7. На его поверхности даны две окружности, имеющие общую хорду длиной 2. Найти радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.
Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6 . Всего получено оценок: 990.
Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой - направляющей . Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности .
Прямой цилиндр - это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр .
Круговой цилиндр - цилиндр, основанием которого является круг.
Круглый цилиндр - такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.
Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L , которая равна высоте цилиндра H .
Призма - это частный случай цилиндра.
Формулы нахождения элементов цилиндра.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
S бок = 2πRH
Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:
S = S бок + 2S осн = 2 π R(H + R)
Объем прямого кругового цилиндра:
V = S осн H = πR 2 H
Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R , минимальной высоты h 1 и максимальной высоты h 2 .
Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:
S бок = πR(h 1 + h 2)
Площадь оснований скошенного цилиндра.
