Kruh je v smere hodinových ručičiek. Číselný kruh

Číselný kruh je jednotková kružnica, ktorej body zodpovedajú určitým reálnym číslam.

Jednotková kružnica je kružnica s polomerom 1.

Celkový pohľad na číselný kruh.

1) Jeho polomer sa považuje za mernú jednotku.

2) Horizontálny a vertikálny priemer rozdeľuje číselný kruh na štyri štvrtiny. Nazývajú sa prvý, druhý, tretí a štvrtý štvrťrok.

3) Horizontálny priemer je označený AC, pričom A je extrém správny bod.
Vertikálny priemer je označený BD, pričom B je najvyšší bod.
Respektíve:

prvá štvrtina je oblúk AB

druhá štvrtina - oblúk pred naším letopočtom

tretia štvrtina - oblúkové CD

štvrtá štvrtina - oblúk DA

4) Začiatočným bodom číselného kruhu je bod A.

Počítanie pozdĺž číselného kruhu sa môže vykonávať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.

Odčítanie z bodu A proti v smere hodinových ručičiek sa nazýva pozitívny smer.

Odčítanie z bodu A na v smere hodinových ručičiek sa nazýva negatívny smer.

Číselný kruh na súradnicovej rovine.

Stred polomeru číselného kruhu zodpovedá začiatku (číslo 0).

Horizontálny priemer zodpovedá osi X, vertikálne - osi r.

Východiskový bod A číselný kruhty je na osiXa má súradnice (1; 0).

Názvy a umiestnenia hlavných bodov číselného kruhu:

Ako si zapamätať názvy číselného kruhu.

Existuje niekoľko jednoduchých vzorov, ktoré vám pomôžu ľahko si zapamätať základné názvy číselného kruhu.

Skôr ako začneme, pripomeňme si: počítanie sa vykonáva v kladnom smere, to znamená z bodu A (2π) proti smeru hodinových ručičiek.

1) Začnime krajnými bodmi na súradnicových osiach.

Počiatočný bod je 2π (bod úplne vpravo na osi NS rovná 1).

Ako viete, 2π je obvod. To znamená, že polovica kruhu je 1π alebo π. Os NS rozdelí kruh na polovicu. V súlade s tým, bod najviac vľavo na osi NS rovný -1 sa nazýva π.

Najvyšší bod na osi pri rovná 1 rozdeľuje horný polkruh na polovicu. Ak je teda polkruh π, potom polovica polkruhu je π / 2.

Zároveň je π / 2 tiež štvrtina kruhu. Napočítame tri takéto štvrtiny od prvej do tretej – a prídeme k najnižšiemu bodu na osi pri rovná -1. Ale ak obsahuje tri štvrtiny, potom má názov 3π / 2.

2) Teraz prejdime k zvyšku bodov. Vezmite prosím na vedomie: všetky protiľahlé body majú rovnaký menovateľ - a to sú opačné body a relatívne k osi pri a relatívne k stredu osí a relatívne k osi NS... To nám pomôže poznať ich bodové hodnoty bez prepchania.

Stačí si zapamätať význam bodov prvej štvrtiny: π / 6, π / 4 a π / 3. A potom „uvidíme“ nejaké vzory:

- O osi pri v bodoch druhého štvrťroka, oproti bodom v prvom štvrťroku, sú čísla v čitateloch o 1 menšie ako hodnoty menovateľov. Zoberme si napríklad bod π / 6. Jeho opačný bod vzhľadom na os pri má tiež 6 v menovateli a 5 v čitateli (o 1 menej). To znamená, že názov tohto bodu: 5π / 6. Bod opačný k π / 4 má tiež 4 v menovateli a 3 v čitateli (1 menej ako 4) - to znamená, že toto je bod 3π / 4.
Bod opačný k π / 3 má tiež v menovateli 3 a v čitateli o 1 menej: 2π / 3.

- Približne v strede súradnicových osí opak je pravdou: čísla v čitateloch opačných bodov (v treťom štvrťroku) sú o 1 väčšie ako hodnota menovateľov. Vezmite opäť bod π / 6. Opačný bod vzhľadom k stredu má tiež 6 v menovateli a číslo v čitateli je o 1 viac - to znamená, že je 7π / 6.
Bod oproti bodu π / 4 má tiež v menovateli 4 a číslo v čitateli je o 1 viac: 5π / 4.
Bod oproti bodu π / 3 má tiež v menovateli 3 a číslo v čitateli je o 1 viac: 4π / 3.

- O osi NS(štvrtá štvrtina) vec je zložitejšia. Tu musíte k hodnote menovateľa pridať číslo, ktoré je o 1 menšie - táto suma sa bude rovnať číselnej časti čitateľa opačného bodu. Začnime znova s π / 6. Pridajte do menovateľa 6 číslo, ktoré je o 1 menšie ako toto číslo - teda 5. Dostaneme: 6 + 5 = 11. To znamená, že opak k nemu vzhľadom na os NS bod bude mať v menovateli 6 a v čitateli 11 - teda 11π / 6.

Bod π / 4. K hodnote menovateľa pripočítame číslo menšie o 1: 4 + 3 = 7. To znamená, že opak k nemu vzhľadom na os NS bod má v menovateli 4 a v čitateli 7 - teda 7π / 4.
Bod π / 3. Menovateľ je 3. K 3 pridajte o jedno číslo menej - teda 2. Dostaneme 5. To znamená, že opačný bod má v čitateli 5 - a to je bod 5π / 3.

3) Ešte jeden vzor pre hroty stredu štvrtín. Je jasné, že ich menovateľ je 4. Venujte pozornosť čitateľom. Čitateľ pre stred prvej štvrtiny je 1π (nie je však zvykom písať 1). Čitateľ pre polovicu druhej štvrtiny je 3π. Čitateľ pre polovicu tretej štvrtiny je 5π. Čitateľ pre polovicu štvrtej štvrtiny je 7π. Ukazuje sa, že v čitateloch v strede štvrťrokov sú prvé štyri nepárne čísla vo vzostupnom poradí:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Je to tiež veľmi jednoduché. Keďže stredy všetkých štvrtín majú v menovateli 4, už poznáme ich celé mená: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.

Vlastnosti číselného kruhu. Porovnanie s číselným radom.

Ako viete, na číselnej osi každý bod zodpovedá jednému číslu. Napríklad, ak sa bod A na priamke rovná 3, potom sa už nemôže rovnať žiadnemu inému číslu.

Na číselnom kruhu je všetko inak, keďže ide o kruh. Napríklad, ak chcete prísť z bodu A kruhu do bodu M, môžete to urobiť ako na priamke (iba po prejdení oblúka), alebo môžete obísť celý kruh a potom prísť do bodu M. Záver:

Nech sa bod M rovná nejakému číslu t. Ako vieme, obvod je 2π. To znamená, že bod kružnice t môžeme zapísať dvoma spôsobmi: t alebo t + 2π. Toto sú ekvivalentné hodnoty.
To znamená, že t = t + 2π. Jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade ste do bodu M prišli okamžite bez toho, aby ste urobili kružnicu, a v druhom prípade ste urobili kružnicu, ale nakoniec ste skončili v rovnakom bode M. Môžete urobiť dve , tri a dvesto takýchto kruhov ... Ak počet kruhov označíte písmenom n, potom dostaneme nový výraz:
t = t + 2π n.

Preto vzorec:

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Návody a simulátory v internetovom obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Algebraické úlohy s parametrami, ročníky 9-11
Softvérové prostredie "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Čo budeme študovať:
1. Číselný kruh v živote.
2. Určenie číselného kruhu.
3. Celkový pohľad a dĺžka číselného kruhu.
4. Umiestnenie hlavných bodov kruhu.

Číselný kruh a život

V reálnom živote sa často stretávame s pohybom v kruhu. Napríklad súťaž pre cyklistov, ktorí absolvujú určité kolo naraz, alebo súťaž pretekárskych áut, ktorá potrebuje absolvovať najviac kôl v danom čase.

Zoberme si konkrétny príklad…

Bežec beží v 400 metrovom kruhu. Športovec začína v bode A (obr. 1) a pohybuje sa proti smeru hodinových ručičiek. Kde bude po 200 m, 800 m, 1500 m? Kde nakresliť cieľovú čiaru, ak bežec potrebuje zabehnúť 4195 metrov?

Riešenie:
Po 200 m bude bežec v bode C. Keďže zabehne presne polovičnú vzdialenosť.

Po odbehnutí 800 m bežec urobí presne dva kruhy a bude v bode A.

1500 m sú 3 kolá po 400 m (1 200 m) a ďalších 300 m, teda $ \ frac (3) (4) $ z bežeckého pásu, cieľ tejto vzdialenosti je v bode D.

Kde bude náš bežec po prebehnutí 4195 m? 10 kôl je 4000 m, do konca zostáva 195 m, čo je o 5 m menej ako polovica vzdialenosti. Takže cieľ bude v bode K, ktorý sa nachádza blízko bodu C.

Definovanie číselného kruhu

Pamätajte!
Je jednotkový kruh, ktorého body zodpovedajú určitým reálnym číslam. Jednotkový kruh nazývaný kruh s polomerom 1.

Celkový pohľad na číselný kruh

1) Polomer kruh sa považuje za mernú jednotku.

2) Horizontálne priemer je označený AC, pričom A je bod úplne vpravo.
Vertikálne priemer je označený BD, pričom B je najvyšší bod.

Priemery AC a BD rozdeľujú kruh na štyri štvrtiny:
prvá štvrtina Je oblúk AB.
druhý štvrťrok- oblúk pred naším letopočtom.
tretia štvrtina- oblúkové CD.
štvrtá štvrtina- oblúk DA.

3) štartovací bodčíselný kruh - bod A.
Čítanie z bodu A proti smeru hodinových ručičiek sa nazýva kladný smer. Čítanie z bodu A v smere hodinových ručičiek sa nazýva záporný smer.

Dĺžka číselného kruhu

Dĺžka číselného kruhu sa vypočíta podľa vzorca:
$ L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π $.
Keďže ide o jednotkový kruh, potom $ R = 1 $.
Ak vezmeme $ π ≈ $ 3,14, potom obvod L možno vyjadriť ako číslo:
2 $ π ≈ 2 * 3,14 = 6,28 $.
Dĺžka každej štvrtiny je: $ \ frac (1) (4) * 2π = \ frac (π) (2) $.

Umiestnenie hlavných bodov kruhu

Hlavné body na kruhu a ich názvy sú znázornené na obrázku:

Každá zo štyroch štvrtín číselného kruhu je rozdelená na tri rovnaké časti. Pri každom zo získaných dvanástich bodov je napísané číslo, ktorému zodpovedá.

Pre číselný kruh platí nasledujúce tvrdenie:

Ak bod $ M $ číselného kruhu zodpovedá číslu $ t $, potom zodpovedá aj číslu v tvare $ t + 2π * k $, kde $ k $ je celé číslo. $ M (t) = M (t + 2π * k) $.

Pozrime sa na príklad.
V jednotkovej kružnici je oblúk AB rozdelený bodom M na dve rovnaké časti a body K a P - na tri rovnaké časti. Aká je dĺžka oblúka: AM, MV, AK, KR, PB, AR, KM?

Dĺžka oblúka $ AB = \ frac (π) (2) $. Rozdelením na dve rovnaké časti bodom M dostaneme dva oblúky, každý s dĺžkou $ \ frac (π) (4) $. Preto $ AM = MV = \ frac (π) (4) $.

Oblúk AB je rozdelený na tri rovnaké časti bodmi K a P. Dĺžka každej získanej časti sa rovná $ \ frac (1) (3) * \ frac (π) (2) $, teda $ \ frac (π ) (6) $. Preto $ AK = KP = PB = \ frac (π) (6) $.

Oblúk AR pozostáva z dvoch oblúkov AK a KP dĺžky - $ \ frac (π) (6) $. Preto $ AP = 2 * \ frac (π) (6) = \ frac (π) (3) $.

Zostáva vypočítať dĺžku oblúka CM. Tento oblúk sa získa z oblúka AM vylúčením oblúka AK. Teda $ KM = AM - AK = \ frac (π) (4) - \ frac (π) (6) = \ frac (π) (12) $.

Úloha:

Nájdite v kruhu s číslami bod, ktorý zodpovedá danému číslu:
$ 2π $, $ \ frac (7π) (2) $, $ \ frac (π) (4) $, $ - \ frac (3π) (2) $.

Riešenie:

Bod A zodpovedá číslu $ 2π $, keďže s prejdením dráhy dĺžky $ 2π $ v kruhu, t.j. presne jeden kruh, opäť sa dostávame do bodu A.

Bod D zodpovedá číslu $ \ frac (7π) (2) $, pretože $ \ frac (7π) (2) = 2π + \ frac (3π) (2) $, t.j. pri pohybe v kladnom smere musíte prejsť celým kruhom a navyše cestou dĺžky $ \ frac (3π) (2) $, ktorá končí v bode D.

Bod M zodpovedá číslu $ \ frac (π) (4) $, pretože pri pohybe v kladnom smere musíte prejsť po dráhe v polovici oblúka AB dĺžky $ \ frac (π) (2) $, ktorá končí v bode M.

Bod B zodpovedá číslu $ - \ frac (3π) (2) $, pretože pri pohybe v zápornom smere z bodu A musíte prejsť dráhu dĺžky $ \ frac (3π) (2) $, ktorá končí v bode B.

Príklad.

Nájdite body na číselnom kruhu:
a) 21 $ \ frac (π) (4) $;
b) $ -37 \ frac (π) (6) $.

Riešenie:
Používame vzorec: $ M (t) = M (t + 2π * k) $ (8 snímok) dostaneme:

a) $ \ frac (21π) (4) = (4+ \ frac (5) (4)) * π = 4π + \ frac (5π) (4) = 2 * 2π + \ frac (5π) (4) $, teda číslu $ \ frac (21π) (4) $ zodpovedá rovnaké číslo ako číslu $ \ frac (5) (4π) $ - stred tretieho štvrťroka.

b) $ - \ frac (37π) (6) = - (6+ \ frac (1) (6)) * π = - (6π + \ frac (π) (6)) = -3 * 2π - \ frac (π) (6) $. Preto číslo $ - \ frac (37π) (6) $ zodpovedá rovnakému číslu ako číslo $ - \ frac (1) (6π) $. Rovnaké ako $ \ frac (11π) (6) $.

Príklad.

Nájdite všetky čísla t, ktorým na číselnom kruhu zodpovedajú body patriace danému oblúku:
a) VA;
b) MK.

Riešenie:

a) Oblúk BA je oblúk so začiatkom v bode B a koncom v bode A pri pohybe po kružnici proti smeru hodinových ručičiek. Bod B sa rovná $ \ frac (π) (2) $ a bod A sa rovná $ 2π $. Pre body t teda platí: $ \ frac (π) (2) ≤ t ≤ 2π $. Ale podľa vzorca na snímke 8 čísla $ \ frac (π) (2) $ a $ 2π $ zodpovedajú číslam ako $ \ frac (π) (2) + 2π * k $ a $ 2π + 2π * k $, resp.

$ \ frac (π) (2) + 2π * k ≤ t ≤ 2π + 2π * k $, kde $ к $ je celé číslo.

b) Oblúk MK je oblúk so začiatkom v bode M a koncom v bode K. Bod M sa rovná $ - \ frac (3π) (4) $ a bod K sa rovná $ \ frac (π) (4) $.
Takže pre body t máme:
$ \ frac (-3π) (4) ≤ t ≤ \ frac (π) (4) $.
Podľa vzorca na snímke 8 čísla $ - \ frac (3π) (4) $ a $ \ frac (π) (4) $ zodpovedajú číslam v tvare: $ - \ frac (3π) (4) + 2π * k $ a $ \ frac (π) (4) + 2π * k $.
Potom naše číslo t nadobúda hodnoty:
$ - \ frac (3π) (4) + 2π * k ≤ t ≤ \ frac (π) (4) + 2π * k $, kde $ к $ je celé číslo.

Úlohy na samostatné riešenie

1) Na jednotkovej kružnici je oblúk BC rozdelený bodom T na dve rovnaké časti a body K a P na tri rovnaké časti. Aká je dĺžka oblúka: VT, TS, VK, KR, RS, BP, KT?

2) Nájdite v kruhu s číslami bod, ktorý zodpovedá danému číslu:
$ π $, $ \ frac (11π) (2) $, $ \ frac (21π) (4) $, $ - \ frac (7π) (2) $, $ \ frac (17π) (6) $.

3) Nájdite všetky čísla t, ktorým na číselnom kruhu zodpovedajú body patriace danému oblúku:
a) AB;
b) AC;
c) PM, kde P je stred oblúka AB a bod M je stred DA.

Videonávody patria medzi najefektívnejšie vyučovacie nástroje, najmä v školských odboroch, ako je matematika. Preto autor tohto materiálu zhromaždil do jedného celku iba užitočné, dôležité a kompetentné informácie.

Táto lekcia je navrhnutá na 11:52 minúty. Prakticky rovnaký čas potrebuje učiteľ na vyučovacej hodine na vysvetlenie novej látky na danú tému. Aj keď hlavnou výhodou video lekcie bude skutočnosť, že študenti budú pozorne počúvať, o čom autor hovorí, bez toho, aby ich rozptyľovali cudzie témy a rozhovory. Ak totiž žiaci nebudú pozorne počúvať, unikne im dôležitý bod na hodine. A ak učiteľ sám vysvetľuje látku, potom jeho študenti môžu ľahko odvrátiť pozornosť od hlavnej veci svojimi rozhovormi o abstraktných témach. A samozrejme sa ukáže, ktorá metóda bude racionálnejšia.

Začiatok hodiny autor venuje zopakovaniu tých funkcií, s ktorými sa študenti oboznámili skôr na kurze algebry. A prvý, koho treba povzbudiť, aby sa začal učiť – goniometrické funkcie. Na ich zváženie a štúdium je potrebný nový matematický model. A tento model sa stáva číselným kruhom, ktorý je presne uvedený v téme hodiny. Na tento účel je zavedený pojem jednotkového kruhu a je uvedená jeho definícia. Ďalej na obrázku autor ukazuje všetky súčasti takéhoto kruhu a to, čo bude študentom užitočné pri ďalšom učení. Oblúky označujú štvrtiny.

Potom autor navrhuje zvážiť číselný kruh. Tu uvádza poznámku, že je pohodlnejšie použiť jednotkový kruh. Tento kruh ukazuje, ako sa získa bod M, ak t> 0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Ďalej autor študentom pripomína, ako sa zistí obvod. A potom vypíše dĺžku jednotkového kruhu. Tieto teoretické údaje sú navrhnuté na uplatnenie v praxi. Na tento účel sa uvažuje o príklade, kde je potrebné nájsť bod na kruhu, ktorý zodpovedá určitým hodnotám čísel. Riešenie príkladu je doplnené ilustráciou vo forme obrázka, ako aj potrebnými matematickými poznámkami.

Podľa podmienky druhého príkladu je potrebné nájsť body na číselnom kruhu. Aj tu je celé riešenie doplnené komentármi, ilustráciami a matematickým zápisom. To prispieva k rozvoju a zlepšovaniu matematickej gramotnosti žiakov. Tretí príklad je zostavený podobne.

Ďalej autor označuje v kruhu tie čísla, ktoré sa vyskytujú častejšie ako iné. Tu navrhuje urobiť dve makety číselného kruhu. Keď sú obe rozloženia pripravené, uvažuje sa o ďalšom, štvrtom príklade, kde je potrebné nájsť bod na kruhu s číslom zodpovedajúci číslu 1. Po tomto príklade je formulované tvrdenie, podľa ktorého je možné nájsť bod M zodpovedajúce číslu t.

Ďalej sa uvádza poznámka, podľa ktorej sa tréneri dozvedia, že číslo „pí“ zodpovedá všetkým číslam, ktoré padnú v danom bode, keď prejde celým kruhom. Túto informáciu podporuje piaty príklad. Jeho riešenie obsahuje logicky správnu úvahu a obrázky, ktoré ilustrujú situáciu.

TEXTOVÝ KÓD:

ČÍSELNÝ KRUH

Predtým sme študovali funkcie definované analytickými výrazmi. A tieto funkcie sa nazývali algebraické. Ale v školskom kurze matematiky sa študujú funkcie iných tried, nie algebraické. Začnime skúmať goniometrické funkcie.

Aby sme mohli zaviesť goniometrické funkcie, potrebujeme nový matematický model – číselný kruh. Zvážte jednotkový kruh. Kruh, ktorého polomer sa rovná segmentu mierky, bez určenia konkrétnych jednotiek merania, sa bude nazývať jednotka. Polomer takéhoto kruhu sa považuje za rovný 1.

Použijeme jednotkový kruh, v ktorom sú zakreslené horizontálne a vertikálne priemery CA a DB (tse a a de be) (pozri obrázok 1).

Oblúk AB sa bude nazývať prvá štvrtina, oblúk BC - druhá štvrtina, oblúk CD - tretia štvrtina a oblúk DA - štvrtá štvrtina.

Zvážte číselný kruh. Vo všeobecnosti možno za číselný považovať akýkoľvek kruh, ale na tento účel je vhodnejšie použiť jednotkový kruh.

DEFINÍCIA Daný jednotkový kruh, na ňom vyznačený je počiatočný bod A - pravý koniec vodorovného priemeru. Priraďme každému reálnemu číslu t (te) bod kružnice podľa nasledujúceho pravidla:

1) Ak t> 0 (te je väčšie ako nula), potom pohybom z bodu A proti smeru hodinových ručičiek (kladný smer kružnice) opíšeme po obvode dráhu AM (a em) dĺžky t. Bod M bude požadovaný bod M (t) (uh od te).

2) Ak t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Číslo t = 0 je spojené s bodom A.

Jednotkový kruh so stanovenou korešpondenciou (medzi reálnymi číslami a bodmi kruhu) sa bude nazývať číselný kruh.

Je známe, že obvod L (el) sa vypočíta podľa vzorca L = 2πR (el sa rovná dvom pi erom), kde π≈3,14, R je polomer kruhu. Pre jednotkový kruh R = 1 cm to znamená L = 2π≈6,28 cm (el sa rovná dvom pi približne 6,28).

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

PRÍKLAD 1 Nájdite bod na číselnom kruhu, ktorý zodpovedá danému číslu:,. (Pi dva, pi, tri pi dva, dva pi, jedenásť pi dva, sedem pi, mínus päť pi dva)

Riešenie. Prvých šesť čísel je kladných, preto, aby ste našli zodpovedajúce body kruhu, musíte prejsť dráhu danej dĺžky pozdĺž kruhu a pohybovať sa od bodu A v kladnom smere. Dĺžka každej štvrtiny jednotkového kruhu je. Preto AB =, to znamená, že bod B zodpovedá číslu (pozri obr. 1). AC =, čiže číslo zodpovedá bodu C. AD =, čiže číslo zodpovedá bodu D. A číslo opäť zodpovedá bodu A, pretože po prejdení po obvode dĺžky cesty sme dostali do východiskového bodu A.

Zvážte, kde bude bod.Keďže už vieme dĺžku kruhu, privedieme ho do formy (štyri pi plus tri pi po dvoch). To znamená, že pri pohybe z bodu A v kladnom smere musíte opísať dvakrát celý kruh (cestu s dĺžkou 4π) a navyše cestu s dĺžkou, ktorá končí v bode D.

Čo? To je 3 ∙ 2π + π (trikrát dva pi plus pi). Takže pri pohybe z bodu A v kladnom smere musíte opísať celý kruh trikrát a navyše dráhu dĺžky π, ktorá končí v bode C.

Ak chcete nájsť bod na číselnom kruhu, ktorý zodpovedá zápornému číslu, musíte prejsť z bodu A v kruhu v zápornom smere (v smere hodinových ručičiek) po dráhe dĺžky, ktorá zodpovedá 2π +. Táto cesta skončí v bode D.

PRÍKLAD 2. Nájdite body na číselnom kruhu (pi x šesť, pi štyri, pi tri).

Riešenie. Rozdelením oblúka AB na polovicu dostaneme bod E, ktorý zodpovedá. A rozdelením oblúka AB na tri rovnaké časti bodmi F a O dostaneme, že bod F zodpovedá a bod T zodpovedá

(pozri obr. 2).

PRÍKLAD 3. Nájdite body na číselnom kruhu (mínus trinásť pi krát štyri, devätnásť pi krát šesť).

Riešenie. Odložením oblúka AE (a em) s dĺžkou (pi krát štyri) od bodu A trinásťkrát v zápornom smere dostaneme bod H (ah) - stred oblúka BC.

Odložením oblúka AF s dĺžkou (pi o šesť) z bodu A devätnásťkrát v kladnom smere sa dostaneme do bodu N (en), ktorý patrí do tretej štvrtiny (oblúk CD) a CN sa rovná tretej časti. oblúka CD (se de).

(pozri obrázok príkladu 2).

Najčastejšie musíte na číselnom kruhu hľadať body, ktoré zodpovedajú číslam (pi šiestimi, pi štyrmi, pi tromi, pi dvoma), ako aj tie, ktoré sú ich násobkami, tj ( sedem pi krát šesť, päť pi štyri, štyri pi tri, jedenásť pi dva). Preto je pre rýchlu navigáciu vhodné vytvoriť dve rozloženia číselného kruhu.

Na prvom rozložení sa každá zo štvrtín číselného kruhu rozdelí na dve rovnaké časti a pri každom zo získaných bodov zapíšeme ich „mená“:

Na druhom rozložení je každá zo štvrtín rozdelená na tri rovnaké časti a pri každom z výsledných dvanástich bodov zapíšeme aj ich „mená“:

Ak sa pohybujeme v smere hodinových ručičiek, dostaneme rovnaké „názvy“ pre body dostupné na výkresoch, len s mínusovou hodnotou. Pre prvé rozloženie:

Podobne, ak sa pohybujete v smere hodinových ručičiek pozdĺž druhého rozloženia z bodu O.

PRÍKLAD 4. Nájdite v kruhu s číslami body zodpovedajúce číslam 1 (jedna).

Riešenie. S vedomím, že π≈3,14 (pi sa približne rovná trom bodom štrnásť stotín), ≈ 1,05 (pi x tri sa približne rovná jednému bodu päť stotín), ≈ 0,79 (pi x štyri sa približne rovná nule sedemdesiatdeväť stotín) . .. znamená,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé: ak bod M číselného kruhu zodpovedá číslu t, potom zodpovedá aj ľubovoľnému číslu tvaru t + 2πk(te plus dva vrcholy), kde ka je ľubovoľné celé číslo a kϵ Z(ka patrí zet).

Pomocou tohto tvrdenia môžeme dospieť k záveru, že všetky body tvaru t = + 2πk zodpovedajú bodu (te sa rovná pi o tri plus dva vrcholy), kde kϵZ ( ka patrí do z) a do bodu (päť pi x štyri) - body tvaru t = + 2πk (te sa rovná piatim pi x štyri plus dva vrcholy), kde kϵZ ( ka patrí do z) a pod.

PRÍKLAD 5. Nájdite bod na číselnom kruhu: a); b).

Riešenie. a) Máme: = = (6 +) ∙ π = 6π + = + 3 ∙ 2π (dvadsať pi krát tri sa rovná dvadsať krát tri pi sa rovná šesť plus dve tretiny, vynásobené pi sa rovná šesť pi plus dve pi tri sa rovná dve pi krát tri plus tri krát dve pi).

To znamená, že číslo na číselnom kruhu zodpovedá rovnakému bodu ako číslo (toto je druhá štvrtina) (pozri druhé rozloženie na obrázku 4).

b) Máme: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) (mínus tridsaťpäť pi krát štyri sa rovná mínus osem plus tri štvrtiny, vynásobené pi sa rovná mínus tri pi krát štyri plus dve pí vynásobené mínus štyrmi). To znamená, že číslo na číselnom kruhu zodpovedá rovnakému bodu ako číslo

Súradnice X body ležiace na kružnici sa rovnajú cos (θ) a súradnice r zodpovedajú sin (θ), kde θ je uhol.

Ak je pre vás ťažké zapamätať si toto pravidlo, spomeňte si len na to, že vo dvojici (cos; hriech) „sínus je na poslednom mieste“.
Toto pravidlo možno odvodiť, ak vezmeme do úvahy pravouhlé trojuholníky a definíciu týchto goniometrických funkcií (sínus uhla sa rovná pomeru dĺžky protiľahlej a kosínus je priľahlá vetva k prepone).

Zapíšte si súradnice štyroch bodov na kružnici."Jednotkový kruh" je kruh, ktorého polomer sa rovná jednej. Použite to na určenie súradníc X a r v štyroch priesečníkoch súradnicových osí s kružnicou. Vyššie sme tieto body pre prehľadnosť označili ako „východ“, „sever“, „západ“ a „juh“, hoci nemajú ustálený názov.

„Východ“ zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0) .
"Sever" zodpovedá bodu so súradnicami (0; 1) .
"Západ" zodpovedá bodu so súradnicami (-1; 0) .
"Juh" zodpovedá bodu so súradnicami (0; -1) .
Ide o obdobu bežného grafu, takže nie je potrebné si tieto hodnoty pamätať, stačí len základný princíp.

Zapamätajte si súradnice bodov v prvom kvadrante. Prvý kvadrant sa nachádza v pravej hornej časti kruhu, kde sú súradnice X a r nadobúdať kladné hodnoty. Toto sú jediné súradnice, ktoré si musíte zapamätať:

bod π / 6 má súradnice () ;
bod π / 4 má súradnice () ;
bod π / 3 má súradnice () ;
Všimnite si, že čitateľ akceptuje iba tri hodnoty. Ak sa pohybujete v pozitívnom smere (zľava doprava pozdĺž osi X a zdola nahor pozdĺž osi r), čitateľ má hodnoty 1 → √2 → √3.

Nakreslite rovné čiary a určte súradnice bodov ich priesečníka s kružnicou. Ak nakreslíte rovné vodorovné a zvislé čiary z bodov jedného kvadrantu, druhé priesečníky týchto čiar s kružnicou budú mať súradnice X a r s rovnakými absolútnymi hodnotami, ale rôznymi znakmi. Inými slovami, z bodov prvého kvadrantu môžete nakresliť vodorovné a zvislé čiary a podpísať priesečníky s kružnicou rovnakými súradnicami, no zároveň ponechať priestor pre správne znamienko ("+" alebo "-" ") naľavo.

Môžete napríklad nakresliť vodorovnú čiaru medzi bodmi π / 3 a 2π / 3. Keďže prvý bod má súradnice ( 1 2, 3 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (2)), (\ frac (\ sqrt (3)) (2)))), súradnice druhého bodu budú (? 12, ? 3 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (2)),? (\ Frac (\ sqrt (3)) (2)))), kde sa namiesto znamienka „+“ alebo „-“ vloží otáznik.
Použite najjednoduchšiu metódu: poznačte si menovateľa súradníc bodov v radiánoch. Všetky body s menovateľom 3 majú rovnaké absolútne hodnoty súradníc. To isté platí pre body s menovateľmi 4 a 6.

Na určenie znamienka súradníc použite pravidlá symetrie. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť, kam umiestniť znak „-“:

pamätajte na základné pravidlá pre bežné grafy. Os X negatívny vľavo a pozitívny vpravo. Os r negatívne pod a pozitívne hore;
začnite v prvom kvadrante a nakreslite čiary do iných bodov. Ak čiara pretína os r, koordinovať X zmení svoje znamenie. Ak čiara pretína os X, zmení sa znamienko súradnice r;
pamätajte, že v prvom kvadrante sú všetky funkcie kladné, v druhom kvadrante je kladný iba sínus, v treťom kvadrante je kladný iba tangens a vo štvrtom kvadrante je kladný iba kosínus;
bez ohľadu na to, ktorú metódu použijete, prvý kvadrant by mal byť (+, +), druhý (-, +), tretí (-, -) a štvrtý (+, -).

Skontrolujte, či sa nemýlite. Nižšie je uvedený úplný zoznam súradníc „špeciálnych“ bodov (okrem štyroch bodov na súradnicových osiach), ak sa pohybujete po jednotkovej kružnici proti smeru hodinových ručičiek. Pamätajte, že na určenie všetkých týchto hodnôt si stačí zapamätať súradnice bodov iba v prvom kvadrante:

prvý kvadrant :( 3 2, 1 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ frac (1) (2)))); (2 2, 2 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (1 2, 3 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (2)), (\ frac (\ sqrt (3)) (2))));
druhý kvadrant: ( - 1 2, 3 2 (\ displaystyle - (\ frac (1) (2)), (\ frac (\ sqrt (3)) (2)))); (- 2 2, 2 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 3 2, 1 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ frac (1) (2))));
tretí kvadrant: ( - 3 2, - 1 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ frac (1) (2)))); (- 2 2, - 2 2 (\ displaystyle - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 1 2, - 3 2 (\ displaystyle - (\ frac (1) (2)), - (\ frac (\ sqrt (3)) (2))));
štvrtý kvadrant: ( 1 2, - 3 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (1) (2)), - (\ frac (\ sqrt (3)) (2)))); (2 2, - 2 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), - (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (3 2, - 1 2 (\ štýl zobrazenia (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), - (\ frac (1) (2)))).

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď na stránke zanecháte žiadosť, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a nahlásiť jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na odosielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

Ak je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym príkazom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných dotazov alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo z iných spoločensky dôležitých dôvodov.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, postúpiť príslušnej tretej strane – právnemu nástupcovi.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme sa uistili, že vaše osobné údaje sú v bezpečí, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a bezpečnosti a prísne monitorujeme ich dodržiavanie.