Cómo encontrar el punto medio de un triángulo: un problema de geometría. Los principales problemas elementales de la geometría euclidiana nos llegaron desde la antigüedad. Contienen la esencia primaria misma y el conocimiento básico necesario sobre la percepción humana de las formas espaciales. Uno de esos problemas es el de encontrar el punto medio de un triángulo. Hoy en día, este problema se considera una técnica educativa para desarrollar las capacidades intelectuales de los escolares. En el mundo antiguo, el conocimiento de cómo encontrar la mitad de un triángulo también se utilizaba en la práctica: en la gestión de tierras, en la fabricación de diversos mecanismos, etc. ¿Cuál es la esencia de este acertijo geométrico?

¿Cuál es la mediana? Antes de resolver el problema, es necesario familiarizarse con la terminología geométrica más simple relacionada con los triángulos. En primer lugar, cada triángulo tiene tres vértices, tres lados y tres ángulos, de ahí el nombre de este triángulo. figura geométrica. Es importante saber cómo se llaman las rectas que conectan los vértices con lados opuestos: altura, bisectriz y mediana.

La altura es una línea perpendicular al lado opuesto al vértice desde el cual se traza; bisectriz: divide un ángulo por la mitad; La mediana divide por la mitad el lado opuesto al vértice saliente. Para resolver este problema, necesitas saber cómo encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento, porque es el punto de intersección de las medianas del triángulo el que es su punto medio.

Encuentra los puntos medios de los lados del triángulo. Encontrar el punto medio de un segmento también es un problema geométrico clásico, para resolverlo necesitarás un compás y una regla sin divisiones. Colocamos la aguja del compás en el punto final del segmento y dibujamos un semicírculo mayor que la mitad del segmento en el medio del último. Hacemos lo mismo en el otro lado del segmento. Los semicírculos resultantes necesariamente se cruzarán en dos puntos, porque sus radios son mayores que la mitad del segmento original.

Conectamos los dos puntos de intersección del círculo con una línea recta usando una regla. Esta línea cruza el segmento original exactamente en su centro. Ahora bien, sabiendo encontrar la mitad de un segmento, esto lo hacemos con cada lado del triángulo. Después de encontrar todos los puntos medios de los lados del triángulo, estás listo para construir su propio punto medio.

Construimos la mitad del triángulo. Al conectar los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos con líneas rectas, obtenemos tres medianas. Esto puede sorprender a algunos, pero una de las leyes de armonía de esta figura geométrica es que las tres medianas siempre se cruzan en un punto. Es este punto el que será el punto medio deseado del triángulo, que no es tan difícil de encontrar si sabes cómo construir el punto medio del segmento.

También es interesante que el punto de intersección de las medianas representa no sólo el centro geométrico, sino también el centro "físico" del triángulo. Es decir, si, por ejemplo, corta un triángulo de madera contrachapada, encuentra su centro y coloca esta punta en la punta de la aguja, lo ideal es que esa figura se equilibre y no caiga. La geometría elemental contiene muchos "secretos" fascinantes, cuyo conocimiento ayuda a comprender la armonía del mundo circundante y la naturaleza de cosas más complejas.

Un cuadrilátero en el que sólo dos lados son paralelos se llama trapezoide.

Los lados paralelos de un trapezoide se llaman sus razones, y aquellos lados que no son paralelos se llaman lados. Si los lados son iguales, entonces dicho trapezoide es isósceles. La distancia entre las bases se llama altura del trapezoide.

Trapezoide de línea media

linea intermedia- este es un segmento que conecta los puntos medios de los lados del trapezoide. La línea media del trapezoide es paralela a sus bases.

Teorema:

Si la línea recta que cruza el centro de un lado es paralela a las bases del trapezoide, entonces biseca el segundo lado del trapezoide.

Teorema:

La longitud de la línea media es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

MN || AB || corriente continua
AM = MD; BN=NC

MN línea media, AB y CD - bases, AD y BC - lados laterales

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

La longitud de la línea media de un trapezoide es igual a la media aritmética de las longitudes de sus bases.

La tarea principal: Demuestre que la línea media de un trapezoide biseca un segmento cuyos extremos se encuentran en el medio de las bases del trapezoide.

Línea media del triángulo

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo. Es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.
Teorema: Si una línea que corta el punto medio de un lado de un triángulo es paralela al otro lado del triángulo, entonces biseca el tercer lado.

AM = MC y BN = NC =>

Aplicar las propiedades de la línea media de un triángulo y un trapezoide.

Dividir un segmento en un número determinado de partes iguales.
Tarea: Divida el segmento AB en 5 partes iguales.
Solución:
Sea p un rayo aleatorio cuyo origen es el punto A y que no se encuentra en la recta AB. Reservamos secuencialmente 5 segmentos iguales en p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectamos A 5 con B y trazamos líneas a través de A 4, A 3, A 2 y A 1 que son paralelas a A 5 B. Se cruzan con AB respectivamente en los puntos B 4, B 3, B 2 y B 1. Estos puntos dividen el segmento AB en 5 partes iguales. De hecho, del trapecio BB 3 A 3 A 5 vemos que BB 4 = B 4 B 3. De la misma forma, del trapezoide B 4 B 2 A 2 A 4 obtenemos B 4 B 3 = B 3 B 2

Mientras que del trapezoide B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Luego de B 2 AA 2 se deduce que B 2 B 1 = B 1 A. En conclusión obtenemos:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Está claro que para dividir el segmento AB en otro número de partes iguales, necesitamos proyectar el mismo número de segmentos iguales sobre el rayo p. Y luego continúe de la manera descrita anteriormente.

La línea media de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de sus 2 lados. En consecuencia, cada triángulo tiene tres líneas medias. Conociendo la calidad de la línea media, así como las longitudes de los lados del triángulo y sus ángulos, puedes determinar la longitud de la línea media.

Necesitará

Lados de un triángulo, ángulos de un triángulo.

Instrucciones

1. Sea en el triángulo ABC MN la línea media que conecta los puntos medios de los lados AB (punto M) y AC (punto N). Por propiedad, la línea media de un triángulo que conecta los puntos medios de 2 lados es paralela al tercer lado e igual a la mitad de él. Esto significa que la línea media MN será paralela al lado BC e igual a BC / 2. En consecuencia, para determinar la longitud de la línea media del triángulo, basta con conocer la longitud del lado de este tercer lado en particular.

2. Conozcamos ahora los lados cuyos puntos medios están conectados por la línea media MN, es decir, AB y AC, así como el ángulo BAC entre ellos. Debido a que MN es la línea media, entonces AM = AB/2 y AN = AC/2. Entonces, según el teorema del coseno, objetivamente: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Por lo tanto, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Si se conocen los lados AB y AC, entonces la línea media MN se puede encontrar conociendo el ángulo ABC o ACB. Digamos que la esquina ABC es famosa. Dado que según la propiedad de la línea media MN es paralela a BC, entonces los ángulos ABC y AMN son correspondientes y, en consecuencia, ABC = AMN. Entonces, según el teorema del coseno: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). En consecuencia, el lado MN se puede detectar desde ecuación cuadrática(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Consejo 2: Cómo encontrar el lado de un triángulo cuadrado

Un triángulo cuadrado se llama más correctamente triángulo rectángulo. Las relaciones entre los lados y los ángulos de esta figura geométrica se analizan en detalle en la disciplina matemática de la trigonometría.

Necesitará

- papel;
- bolígrafo;
– Mesas Bradis;
- calculadora.

Instrucciones

1. Descubrir lado rectangular triángulo con el apoyo del teorema de Pitágoras. Según este teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 = a2+b2, donde c es la hipotenusa triángulo, a y b son sus patas. Para aplicar esta ecuación, necesitas saber la longitud de 2 lados cualesquiera de un rectángulo. triángulo .

2. Si las condiciones especifican las dimensiones de los catetos, encuentre la longitud de la hipotenusa. Para hacer esto, con soporte de calculadora, extraiga Raíz cuadrada de la suma de los catetos, cada uno de los cuales debe elevarse al cuadrado de antemano.

3. Calcula la longitud de uno de los catetos si conoces las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto. Usando una calculadora, extrae la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa al cuadrado y el cateto principal también al cuadrado.

4. Si el problema especifica la hipotenusa y uno de los ángulos agudos adyacentes a ella, utilice las tablas de Bradis. Muestran los valores funciones trigonométricas para una gran cantidad de ángulos. Utilice una calculadora con funciones seno y coseno, así como teoremas de trigonometría que describen las relaciones entre los lados y ángulos de un rectángulo. triángulo .

5. Encuentre los catetos usando funciones trigonométricas básicas: a = c*sin?, b = c*cos?, ¿dónde a es el cateto opuesto a la esquina?, b ¿es el cateto adyacente a la esquina?. Calcula el tamaño de los lados de la misma manera. triángulo, si se dan la hipotenusa y otro ángulo agudo: b = c*sin?, a = c*cos?, donde b es el cateto opuesto al ángulo?, y el cateto adyacente al ángulo?.

6. En el caso de que tomemos el cateto a y el ángulo agudo adyacente a él?, no olvidemos que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es invariablemente igual a 90°: ? + ? = 90°. Encuentre el valor del ángulo opuesto al cateto a: ? = 90° – ?. O utilizar fórmulas de reducción trigonométrica: ¿pecado? = pecado (90° – ?) = cos ?; ¿tg? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/tg?.

7. Si tenemos el cateto a y el ángulo agudo opuesto a él?, usando tablas de Bradis, calculadora y funciones trigonométricas, calculamos la hipotenusa usando la fórmula: c=a*sin?, cateto: b=a*tg?.

Vídeo sobre el tema.

A veces, es posible que los temas que se explican en la escuela no siempre queden claros la primera vez. Esto es especialmente cierto para una materia como las matemáticas. Pero todo se complica mucho más cuando esta ciencia comienza a dividirse en dos partes: álgebra y geometría.

Cada estudiante puede tener una habilidad en una de dos áreas, pero especialmente en los grados de primaria es importante comprender las bases tanto del álgebra como de la geometría. En geometría, se considera que uno de los temas principales es la sección de triángulos.

¿Cómo encontrar la línea media de un triángulo? Vamos a resolverlo.

Conceptos básicos

Para empezar, para descubrir cómo encontrar la línea media de un triángulo, es importante entender qué es.

No hay restricciones para dibujar la línea media: el triángulo puede ser cualquier cosa (isosceles, equilátero, rectangular). Y todas las propiedades que se relacionen con la línea media estarán vigentes.

La línea media de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de sus 2 lados. Por lo tanto, cualquier triángulo puede tener 3 de esas líneas.

Propiedades

Para saber cómo encontrar la línea media de un triángulo, designemos sus propiedades que deben recordarse, de lo contrario sin ellas será imposible resolver problemas con la necesidad de designar la longitud de la línea media, ya que todos los datos obtenidos deben ser fundamentados. y argumentó con teoremas, axiomas o propiedades.

Así, para responder a la pregunta: “¿Cómo encontrar la línea media del triángulo ABC?”, basta con conocer uno de los lados del triángulo.

Pongamos un ejemplo.

Echa un vistazo a la imagen. Muestra el triángulo ABC con la línea media DE. Tenga en cuenta que es paralelo a la base AC en el triángulo. Por lo tanto, cualquiera que sea el valor de AC, la línea promedio DE será la mitad de grande. Por ejemplo, AC=20 significa DE=10, etc.

De estas sencillas formas podrás entender cómo encontrar la línea media de un triángulo. Recuerda sus propiedades básicas y su definición, y entonces nunca tendrás problemas para encontrar su significado.