Funciones trigonométricas de un argumento numérico. Propiedades y gráficas de funciones trigonométricas 1 funciones trigonométricas de un argumento numérico

Objetivos de la lección:

Educativo:

• Proporcionar repetición, generalización y sistematización del material sobre el tema “Funciones trigonométricas de un argumento numérico”;
• Crear condiciones para el control (autocontrol) del dominio de conocimientos y habilidades.

Educativo:

• Promover la formación de la capacidad de utilizar técnicas: comparación, generalización, resaltado de lo principal, transferencia de conocimientos a una nueva situación;
• Desarrollo de la perspectiva matemática, el pensamiento, el habla, la atención y la memoria.

Educativo:

• Fomentar el interés por las matemáticas, la actividad, las habilidades comunicativas y la cultura general.

Tipo de lección: lección de generalización y sistematización del conocimiento.

Métodos de enseñanza: búsqueda parcial (heurística).

Prueba de comprobación del nivel de conocimientos, resolución de problemas de generalización cognitiva, autoevaluación, generalizaciones de sistemas.

Plan de estudios.

1. Org. momento – 2 min.
2. Prueba de autocomprobación – 10 min.
3. Mensaje sobre el tema – 3 min.
4. Sistematización del material teórico – 15 min.
5. Trabajo independiente diferenciado con autoevaluación – 10 min.
6. Resultado del trabajo independiente – 2 min.
7. Resumiendo la lección – 3 min.

durante las clases

1. Momento organizacional.

Tarea:

Párrafo 1, cláusula 1.4
- Trabajos de prueba (las tareas se publicaron en el stand).

El escritor francés Anatole France comentó una vez: “Sólo se puede aprender divirtiéndose. Para digerir el conocimiento, es necesario absorberlo con apetito”. Sigamos este consejo del escritor hoy en clase, seamos activos, atentos y absorbamos conocimientos con muchas ganas. Después de todo, le serán útiles en el futuro.

Hoy tenemos la lección final sobre el tema: "Funciones trigonométricas de un argumento numérico". Repetimos y generalizamos el material estudiado, métodos y técnicas de resolución de expresiones trigonométricas.

2. Prueba de autocomprobación.

El trabajo se realiza en dos versiones. Preguntas en la pantalla.

Los estudiantes marcan pasos incorrectos. El número de respuestas correctas se registra en la hoja de conocimientos.

3. Mensaje.

Informe sobre la historia del desarrollo de la trigonometría (hablado por un estudiante capacitado).

4. Sistematización del material teórico.

Tareas orales.

1) ¿De qué estamos hablando? ¿Qué es especial?

Determina el signo de la expresión:

a) cos (700°) tg 380°,
b) cos (- 1) pecado (- 2)

2) ¿Qué dice este bloque de fórmulas? ¿Dónde está el error?

3) Considere la tabla:

4) Resolución de problemas de cada tipo de transformaciones trigonométricas.

Encontrar el significado de expresiones trigonométricas.

Encontrar el valor de una función trigonométrica a partir de un valor conocido de una función trigonométrica dada.

Dado: pecado = ;< <

Encuentre cos2, ctg2.

Respuesta: .< < 2

Encontrar: cos2, tg2

Tercer nivel de dificultad:

Dado: pecado = ;< <

Encontrar: pecado2; pecado (60° - ); tg (45° + )

Tarea adicional.

Demostrar la identidad:

4 pecado 4 - 4 pecado 2 = porque 2 2 - 1

6. El resultado del trabajo independiente.

Los estudiantes revisan su trabajo y registran los resultados en su hoja de conocimientos.

7. Se resume la lección.

Cualquiera que sea el número real t que se tome, puede asociarse con un número definido de forma única sen t. Es cierto que la regla de coincidencia es bastante compleja; como vimos anteriormente, es la siguiente.

Para encontrar el valor de sin t usando el número t, necesitas:

1) coloque el círculo numérico en el plano de coordenadas de modo que el centro del círculo coincida con el origen de las coordenadas y el punto inicial A del círculo caiga en el punto (1; 0);

2) encuentre un punto en el círculo correspondiente al número t;

3) encuentra la ordenada de este punto.

Esta ordenada es sin t.

De hecho, estamos hablando de la función u = sin t, donde t es cualquier número real.

Todas estas funciones se llaman funciones trigonométricas del argumento numérico t.

Existen una serie de relaciones que conectan los valores de varias funciones trigonométricas, ya hemos obtenido algunas de estas relaciones:

sen 2 t+cos 2 t = 1

De las dos últimas fórmulas es fácil obtener una relación que conecta tg t y ctg t:

Todas estas fórmulas se utilizan en los casos en que, conociendo el valor de una función trigonométrica, es necesario calcular los valores de otras funciones trigonométricas.

Los términos "seno", "coseno", "tangente" y "cotangente" eran familiares, sin embargo, todavía se usaban en una interpretación ligeramente diferente: en geometría y física se consideraban seno, coseno, tangente y cotangente. en la cabeza(pero no

números, como se hizo en los párrafos anteriores).

De la geometría se sabe que el seno (coseno) de un ángulo agudo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa, y la tangente (cotangente) de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo. En los párrafos anteriores se desarrolló un enfoque diferente de los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, estos enfoques están interrelacionados.

Tomemos un ángulo con medida en grados b o y colóquelo en el modelo de “círculo numérico en un sistema de coordenadas rectangular” como se muestra en la Fig. 14

el vértice del ángulo es compatible con el centro

círculos (con el origen del sistema de coordenadas),

y un lado del ángulo es compatible con

el rayo positivo del eje x. Punto final

intersección del segundo lado del ángulo con

denotamos por el círculo la letra M. Ordina-

Fig. 14 b o, y la abscisa de este punto es el coseno del ángulo b o.

Para encontrar el seno o coseno de un ángulo b o no es necesario hacer estas construcciones tan complejas cada vez.

Basta observar que el arco AM ocupa la misma parte de la longitud del círculo numérico que el ángulo b o desde la esquina de 360°. Si la longitud del arco AM se denota con la letra t, obtenemos:

De este modo,

Por ejemplo,

Se cree que 30° es una medida en grados de un ángulo, y una medida en radianes del mismo ángulo: 30° = rad. En absoluto:

En particular, me alegro de dónde lo obtenemos.

Entonces, ¿cuánto es 1 radian? Existen varias medidas de longitud de segmentos: centímetros, metros, yardas, etc. También existen diversas medidas para indicar la magnitud de los ángulos. Consideramos los ángulos centrales del círculo unitario. Un ángulo de 1° es el ángulo central subtendido por un arco que forma parte de un círculo. Un ángulo de 1 radian es el ángulo central subtendido por un arco de longitud 1, es decir sobre un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. De la fórmula encontramos que 1 rad = 57,3°.

Al considerar la función u = sen t (o cualquier otra función trigonométrica), podemos considerar la variable independiente t como un argumento numérico, como fue el caso en los párrafos anteriores, pero también podemos considerar esta variable como una medida de el ángulo, es decir argumento de la esquina. Por tanto, cuando se habla de una función trigonométrica, en cierto sentido no importa considerarla una función de argumento numérico o angular.

Hemos visto las funciones trigonométricas más básicas (no os dejéis engañar, además de seno, coseno, tangente y cotangente, hay muchas otras funciones, pero hablaremos de ellas más adelante), pero por ahora veamos algunas propiedades básicas de la funciones ya estudiadas.

Funciones trigonométricas de argumento numérico.

Cualquiera que sea el número real t que se tome, se puede asociar con un número definido de forma única sin(t). Es cierto que la regla de coincidencia es bastante compleja y consta de lo siguiente.

Para encontrar el valor de sin(t) a partir del número t, necesitas:

1. coloque el círculo numérico en el plano de coordenadas de modo que el centro del círculo coincida con el origen de las coordenadas y el punto inicial A del círculo caiga en el punto (1; 0);
2. encuentre un punto en el círculo correspondiente al número t;
3. Encuentre la ordenada de este punto.
4. esta ordenada es el pecado(t) deseado.

De hecho, estamos hablando de la función s = sin(t), donde t es cualquier número real. Podemos calcular algunos valores de esta función (por ejemplo, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) etc.), conocemos algunas de sus propiedades.

De la misma manera, podemos considerar que ya hemos recibido algunas ideas sobre tres funciones más: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Todas estas funciones se llaman funciones trigonométricas del argumento numérico t .

Relación entre funciones trigonométricas

Como espero que puedas adivinar, todas las funciones trigonométricas están interconectadas e incluso sin conocer el significado de una, se puede encontrar a través de otra.

Por ejemplo, la fórmula más importante en toda trigonometría es identidad trigonométrica básica:

\[ pecado^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Como puedes ver, conociendo el valor del seno, puedes encontrar el valor del coseno, y también viceversa. También fórmulas muy comunes que conectan seno y coseno con tangente y cotangente:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

De las dos últimas fórmulas se puede derivar otra identidad trigométrica, esta vez conectando tangente y cotangente:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Ahora veamos cómo funcionan estas fórmulas en la práctica.

EJEMPLO 1. Simplifica la expresión: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) En primer lugar escribimos la tangente manteniendo el cuadrado:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Ahora pongamos todo bajo un denominador común y obtenemos:

\[ \pecado^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Y finalmente, como vemos, el numerador se puede reducir a uno mediante la identidad trigonométrica principal, como resultado obtenemos: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Con la cotangente realizamos todas las mismas acciones, solo que el denominador ya no será coseno, sino seno, y la respuesta será así:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Habiendo completado esta tarea, derivamos dos fórmulas más muy importantes que conectan nuestras funciones, que también necesitamos saber como la palma de nuestra mano:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Debe conocer de memoria todas las fórmulas presentadas; de lo contrario, seguir estudiando trigonometría sin ellas es simplemente imposible. En el futuro habrá más fórmulas y habrá muchas y te aseguro que definitivamente las recordarás todas durante mucho tiempo, o tal vez no las recuerdes, ¡pero TODOS deberían saber estas seis cosas!