Raíznorte-o grado y sus propiedades básicas
Grado Número Real pero con un indicador natural NS hay un trabajo NS factores, cada uno de los cuales es igual a pero:
a1 = a; a2 = a * a; pero norte =
Por ejemplo,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
Cinco veces
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 veces
Número Real pero son llamados la base del título, pero número natural n - exponente.
Las propiedades básicas de los grados con exponentes naturales se derivan directamente de la definición: el grado de un número positivo con cualquier NS mi norte positivo; el grado de un número negativo con un exponente par es positivo, con un exponente impar es negativo.
Por ejemplo,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Las acciones con grados se realizan de la siguiente manera reglas.
1. Para multiplicar grados con las mismas bases, basta con sumar los exponentes, y dejar la base igual, es decir
Por ejemplo, p5 ∙ p3 = p5 + 3 = p8
2. Para dividir potencias con las mismas bases, basta restar el divisor del índice del dividendo, y dejar la base igual, es decir
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif "ancho =" 95 "alto =" 44 src = ">
2. Para elevar una potencia a una potencia, basta con multiplicar los exponentes, dejando la base igual, es decir
(un)metro = en · p. Por ejemplo, (23) 2 = 26.
4. Para elevar un producto a una potencia, basta con elevar cada factor a esta potencia y multiplicar los resultados, es decir
(pero B) NS= ap ∙BNS.
Por ejemplo, (2y3) 2= 4y6.
5. Para elevar una fracción a una potencia, basta con elevar el numerador y el denominador a esta potencia por separado y dividir el primer resultado por el segundo, es decir
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif "ancho =" 87 "alto =" 53 src = ">
Tenga en cuenta que a veces es útil leer estas fórmulas de derecha a izquierda. En este caso, se convierten en reglas. Por ejemplo, en el caso 4, apvp= (aw) n obtenemos la siguiente regla: para multiplica grados con los mismos indicadores, basta con multiplicar las bases, dejando el indicador igual.
El uso de esta regla es efectivo, por ejemplo, al calcular el siguiente producto.
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif "ancho =" 25 "alto =" 23 "> + 1) 5 = ((-1) (+1)) 5 = ( = 1.
Démosle ahora la definición de raíz.
Raíz enésimo grado de un número real pero llamado un número real NS, cuyo enésimo poder es pero.
Obviamente, de acuerdo con las propiedades básicas de los grados con exponentes naturales, de cualquier número positivo hay dos valores opuestos de la raíz de un grado par, por ejemplo, los números 4 y -4 son raíces cuadradas de 16, ya que ( -4) 2 = 42 = 16, y los números 3 y -3 son las cuartas raíces de 81, ya que (-3) 4 = З4 = 81.
Además, no existe una raíz par de un número negativo, ya que incluso la potencia de cualquier número real no es negativa... En cuanto a la raíz de un grado impar, para cualquier número real solo hay una raíz de un grado impar de este número. Por ejemplo, 3 es la tercera raíz de 27, ya que 33 = 27, y -2 es la quinta raíz de -32, ya que (-2) 5 = 32.
En relación con la existencia de dos raíces de un grado par a partir de un número positivo, introducimos el concepto de raíz aritmética para eliminar esta raíz de dos valores.
Valor no negativo raíz de la enésima el grado de un número no negativo se llama raíz aritmética.
Por ejemplo, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> 0.
Cabe recordar que al resolver ecuaciones irracionales, sus raíces siempre se consideran aritméticas.
Notemos la propiedad principal de la raíz n-ésima.
El valor de la raíz no cambiará si los índices de la raíz y el grado de la expresión radical se multiplican o dividen por el mismo número natural, es decir
Ejemplo 7. Reducir a un denominador común y
El material de este artículo debe considerarse como parte del tema de la transformación de expresiones irracionales. Aquí usaremos ejemplos para analizar todas las sutilezas y matices (de los cuales son muchos) que surgen al realizar transformaciones basadas en las propiedades de las raíces.
Navegación de página.
Recuerda las propiedades de las raíces.
En cuanto nos vamos a ocupar de la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces, no está de más recordar las principales, o mejor aún, anotarlas en un papel y colocarlas frente a nosotros.
Primero, estudiamos las raíces cuadradas y sus siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., a k son números reales):
Y luego, se expande el concepto de raíz, se introduce la definición de raíz n-ésima y se consideran tales propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., ak son números reales, m, n , n 1, n 2, ..., nk son números naturales):
Conversión de expresiones con números bajo signos raíz
Como de costumbre, primero aprenden a trabajar con expresiones numéricas y solo después pasan a expresiones con variables. Haremos lo mismo, y primero nos ocuparemos de la transformación de expresiones irracionales que contienen solo expresiones numéricas bajo los signos de las raíces, y ya más adelante en el siguiente párrafo introduciremos variables bajo los signos de las raíces.
¿Cómo se puede usar esto para transformar expresiones? Es muy simple: por ejemplo, podemos reemplazar una expresión irracional con una expresión o viceversa. Es decir, si la expresión que se va a convertir contiene una expresión que coincide con la forma de la expresión del lado izquierdo (derecho) de cualquiera de propiedades listadas raíces, luego se puede reemplazar con la expresión correspondiente del lado derecho (izquierdo). Esta es la transformación de expresiones usando las propiedades de las raíces.
A continuación se muestran algunos ejemplos más.
Simplifiquemos la expresión 
... Los números 3, 5 y 7 son positivos, por lo que podemos aplicar con seguridad las propiedades de las raíces. Aquí puedes actuar de diferentes formas. Por ejemplo, una raíz basada en una propiedad se puede representar como, y una raíz que usa una propiedad con k = 3 - cómo, con este enfoque, la solución se verá así: 
Se podría haber actuado de manera diferente, reemplazando y además, en este caso, la solución se vería así: 
Son posibles otras soluciones, por ejemplo, esta: 
Veamos la solución de un ejemplo más. Transformemos la expresión. Habiendo mirado la lista de propiedades de las raíces, seleccionamos de ella las propiedades que necesitamos para resolver el ejemplo, está claro que dos de ellas son útiles aquí y, que son válidas para cualquier a. Tenemos: 
Alternativamente, al principio era posible convertir expresiones bajo los signos de raíces usando 
y luego aplicar las propiedades de las raíces
Hasta este punto, hemos transformado expresiones que solo contienen raíces cuadradas. Es hora de trabajar con raíces que tienen diferentes indicadores.
Ejemplo.
Convertir una expresión irracional 
.
Solución.
Por propiedad 
el primer factor del producto dado se puede reemplazar por el número -2:
Adelante. En virtud de la propiedad, el segundo factor se puede representar como, y no está de más reemplazar 81 con una potencia cuádruple de un triple, ya que en el resto de factores bajo los signos de las raíces, aparece el número 3:
Es conveniente reemplazar la raíz de la fracción con la relación de las raíces de la forma, que se puede transformar aún más: 
... Tenemos 
La expresión resultante después de realizar acciones con dos tomará la forma, y queda por transformar el producto de las raíces.
Para transformar los productos de las raíces, generalmente se reducen a un indicador, por lo que es recomendable tomar indicadores de todas las raíces. En nuestro caso, el LCM (12, 6, 12) = 12, y solo la raíz tendrá que reducirse a este indicador, ya que las otras dos raíces ya tienen dicho indicador. Hacer frente a esta tarea permite la igualdad, que se aplica de derecha a izquierda. Entonces 
... Teniendo en cuenta este resultado, tenemos
Ahora el producto de las raíces puede ser reemplazado por la raíz del producto y el resto, ya obvio, se pueden realizar transformaciones:
Elaboremos una breve solución:
Respuesta:
.
Por separado, enfatizamos que para aplicar las propiedades de las raíces, es necesario tener en cuenta las restricciones impuestas a los números bajo los signos de las raíces (a≥0, etc.). Ignorarlos puede provocar resultados incorrectos. Por ejemplo, sabemos que la propiedad es válida para a no negativo. Basándonos en él, podemos ir con seguridad, por ejemplo, de a, ya que 8 es un número positivo. Pero si tomamos una raíz significativa de un número negativo, por ejemplo, y, según la propiedad anterior, la reemplazamos con, entonces en realidad reemplazamos −2 por 2. De hecho, a. Es decir, para a negativo, la igualdad puede ser incorrecta, al igual que otras propiedades de las raíces pueden ser incorrectas sin tener en cuenta las condiciones especificadas para ellas.
Pero lo dicho en el párrafo anterior no significa en absoluto que expresiones con números negativos bajo los signos de las raíces no puedan transformarse usando las propiedades de las raíces. Solo necesitan estar "preparados" primero aplicando las reglas de acción con números o usando la definición de una raíz impar de un número negativo, que corresponde a la igualdad, donde −a es un número negativo (siendo a positivo). Por ejemplo, no se puede reemplazar inmediatamente con, ya que −2 y −3 son números negativos, pero nos permite ir de la raíz a, y luego aplicar la propiedad de la raíz del producto: 
... Y en uno de los ejemplos anteriores, no fue necesario ir de raíz a raíz del decimoctavo grado. 
y entonces 
.
Entonces, para transformar expresiones usando las propiedades de las raíces, necesita
- escoger propiedad adecuada de la lista,
- asegúrese de que los números debajo de la raíz satisfagan las condiciones para la propiedad seleccionada (de lo contrario, debe realizar conversiones preliminares),
- y llevar a cabo la transformación prevista.
Conversión de expresiones con variables bajo signos raíz
Para transformar expresiones irracionales que contienen no solo números, sino también variables bajo el signo de la raíz, las propiedades de las raíces enumeradas en el primer párrafo de este artículo deben aplicarse con cuidado. Esto se debe principalmente a las condiciones que deben cumplir los números que participan en las fórmulas. Por ejemplo, según la fórmula, la expresión se puede reemplazar por una expresión solo para aquellos valores de x que satisfagan las condiciones x≥0 yx + 1≥0, ya que la fórmula especificada se especifica para a≥0 y b ≥0.
¿Por qué es peligroso ignorar estas condiciones? El siguiente ejemplo ilustra la respuesta a esta pregunta. Digamos que necesitamos calcular el valor de una expresión en x = −2. Si sustituimos inmediatamente el número −2 en lugar de la variable x, obtenemos el valor que necesitamos 
... Y ahora imaginemos que, por alguna razón, convertimos la expresión dada a la forma, y solo después de eso decidimos calcular el valor. Sustituye x por −2 y llega a la expresión 
que no tiene sentido.
Veamos qué sucede con el rango de valores válidos (ADV) de la variable x cuando pasamos de una expresión a otra. No mencionamos la ODZ por casualidad, ya que es una herramienta seria para controlar la admisibilidad de las transformaciones realizadas, y cambiar la ODZ después de transformar la expresión debería al menos alertar. No es difícil encontrar la ODZ para las expresiones especificadas. Para expresar la ODV se determina a partir de la desigualdad x · (x + 1) ≥0, su solución da el conjunto numérico (−∞, −1] ∪∪∪
No se imponen restricciones adicionales sobre los números de la derecha o de la izquierda: si existen los factores raíces, entonces el producto también existe.
Ejemplos. Veamos cuatro ejemplos con números a la vez:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (alinear) \]
Como puede ver, el objetivo principal de esta regla es simplificar las expresiones irracionales. Y si en el primer ejemplo nosotros mismos hubiéramos extraído las raíces de 25 y 4 sin ninguna regla nueva, entonces la lata comienza más adelante: $ \ sqrt (32) $ y $ \ sqrt (2) $ en sí mismos no se cuentan, pero su producto resulta ser un cuadrado exacto, por lo que la raíz es igual al número racional.
También me gustaría señalar la última línea. Allí, ambas expresiones radicales son fracciones. Gracias al producto, se anulan muchos factores y toda la expresión se convierte en un número adecuado.
Por supuesto, no todo será siempre tan hermoso. A veces habrá un desastre completo debajo de las raíces: no está claro qué hacer con él y cómo transformarlo después de la multiplicación. Un poco más tarde, cuando empiece a estudiar ecuaciones y desigualdades irracionales, generalmente habrá todo tipo de variables y funciones. Y muy a menudo los creadores de problemas esperan que encuentre algunos términos o factores de cancelación, después de lo cual la tarea se simplificará enormemente.
Además, no es necesario multiplicar exactamente dos raíces. Puedes multiplicar tres a la vez, cuatro, ¡pero al menos diez! Esto no cambiará la regla. Echar un vistazo:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ end (alinear) \]
Y nuevamente un pequeño comentario sobre el segundo ejemplo. Como puede ver, en el tercer factor debajo de la raíz hay una fracción decimal; en el proceso de cálculos, la reemplazamos por la habitual, después de lo cual todo se cancela fácilmente. Entonces: recomiendo ampliamente deshacerse de las fracciones decimales en cualquier expresión irracional (es decir, que contenga al menos un signo de radical). Esto le ahorrará mucho tiempo y problemas en el futuro.
Pero esta fue una digresión lírica. Ahora consideremos un caso más general: cuando el exponente de la raíz contiene un número arbitrario $ n $, y no solo los dos "clásicos".
Caso de exponente arbitrario
Entonces, descubrimos las raíces cuadradas. ¿Y qué hacer con las cúbicas? ¿O en general con raíces de grado arbitrario $ n $? Sí, todo es igual. La regla sigue siendo la misma:
Para multiplicar dos raíces de grado $ n $, basta con multiplicar sus expresiones radicales y luego escribir el resultado debajo de un radical.
En general, nada complicado. Excepto que la cantidad de cálculo puede llegar a ser mayor. Veamos un par de ejemplos:
Ejemplos. Calcule los productos:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = cinco; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3)) )) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (alinear) \]
Y nuevamente, se presta atención a la segunda expresión. Multiplicamos las raíces cúbicas, nos deshacemos de la fracción decimal y, como resultado, obtenemos el producto de los números 625 y 25 en el denominador. Este es un número bastante grande; personalmente, no calcularé a qué equivale. .
Por lo tanto, simplemente seleccionamos el cubo exacto en el numerador y denominador, y luego usamos una de las propiedades clave (o, si lo prefiere, la definición) de la raíz $ n $ -ésima:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ left | a \ derecha |. \\ \ end (alinear) \]
Estas "maquinaciones" pueden ahorrarle mucho tiempo en un examen o prueba, así que recuerde:
No se apresure a multiplicar los números en la expresión radical. Primero, verifique: ¿qué pasa si el grado exacto de alguna expresión está "encriptado" allí?
Con toda la obviedad de esta observación, debo admitir que la mayoría de los estudiantes no capacitados no ven los grados exactos a quemarropa. En cambio, lo multiplican todo y luego se preguntan: ¿por qué obtuvieron números tan brutales? :)
Sin embargo, todo esto es pueril comparado con lo que estudiaremos ahora.
Multiplicación de raíces con diferentes indicadores.
Bien, ahora podemos multiplicar raíces con los mismos indicadores. ¿Y si los indicadores son diferentes? Diga cómo multiplicar el $ \ sqrt (2) $ habitual por alguna basura como $ \ sqrt (23) $? ¿Es posible hacer esto en absoluto?
Sí por supuesto que puedes. Todo se hace de acuerdo con esta fórmula:
Regla de multiplicación de raíces. Para multiplicar $ \ sqrt [n] (a) $ por $ \ sqrt [p] (b) $, solo necesita realizar la siguiente transformación:
\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]
Sin embargo, esta fórmula solo funciona si las expresiones radicales no son negativas... Esto es muy nota IMPORTANTE, al que volveremos un poco más tarde.
Por ahora, veamos un par de ejemplos:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ end (alinear) \]
Como ves, nada complicado. Ahora averigüemos de dónde vino el requisito de no negatividad y qué sucede si lo violamos. :)
Multiplicar raíces es fácil ¿Por qué las expresiones radicales deberían ser no negativas?
Por supuesto, puede ser como un maestro de escuela y citar el libro de texto con una mirada inteligente:
El requisito de no negatividad está asociado con diferentes definiciones de raíces de grados pares e impares (respectivamente, sus dominios de definición también son diferentes).
Bueno, ¿se ha vuelto más claro? Personalmente, cuando estaba leyendo estas tonterías en el octavo grado, me di cuenta de algo como esto: "El requisito de la no negatividad está conectado con * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - en resumen, no No entiendo una mierda esa vez. :)
Así que ahora te lo explicaré todo de forma normal.
Primero, averigüemos de dónde proviene la fórmula de multiplicación dada arriba. Para hacer esto, permítame recordarle una propiedad importante de la raíz:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
En otras palabras, podemos elevar con seguridad la expresión radical a cualquier potencia natural de $ k $; en este caso, el exponente de la raíz tendrá que multiplicarse por la misma potencia. Por lo tanto, podemos reducir fácilmente cualquier raíz a indicador general, después de lo cual multiplicamos. De ahí que se tome la fórmula para la multiplicación:
\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]
Pero hay un problema que limita severamente la aplicación de todas estas fórmulas. Considere este número:
De acuerdo con la fórmula que se acaba de dar, podemos agregar cualquier grado. Intentemos agregar $ k = 2 $:
\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]
Eliminamos el menos solo porque el cuadrado quema el menos (como cualquier otro poder uniforme). Y ahora realizaremos la transformación inversa: "reduciremos" los dos en el exponente y el grado. Después de todo, cualquier igualdad se puede leer tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda:
\ [\ begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (a); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ end (alinear) \]
Pero luego resulta una especie de mierda:
\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]
Esto no puede ser, porque $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ y $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Esto significa que nuestra fórmula ya no funciona para grados pares y números negativos. Entonces tenemos dos opciones:
- Patéate contra la pared para decir que las matemáticas son una ciencia estúpida, donde “hay algunas reglas, pero esto es inexacto”;
- Introducir restricciones adicionales bajo las cuales la fórmula funcionará al 100%.
En la primera opción, tendremos que detectar constantemente los casos "que no funcionan": es difícil, largo y, en general, fugaz. Por lo tanto, los matemáticos prefirieron la segunda opción. :)
¡Pero no se preocupe! En la práctica, esta limitación no afecta los cálculos de ninguna manera, porque todos los problemas descritos conciernen solo a raíces de un grado impar, y de ellos se pueden sacar las desventajas.
Por tanto, formularemos otra regla que se aplica en general a todas las acciones con raíces:
Haz que las expresiones radicales no sean negativas antes de multiplicar las raíces.
Ejemplo. En el número $ \ sqrt (-5) $, puede quitar el signo menos debajo del signo de la raíz, entonces todo estará bien:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]
¿Sientes la diferencia? Si dejas el menos debajo de la raíz, cuando la expresión radical se eleva al cuadrado, desaparece y comienza la mierda. Y si primero quita el signo menos, puede erigir / quitar el cuadrado incluso antes de volverse azul; el número seguirá siendo negativo. :)
Por lo tanto, la forma más correcta y confiable de multiplicar raíces es la siguiente:
- Elimina todas las desventajas de debajo de los radicales. Solo hay desventajas en las raíces de una multiplicidad impar: se pueden colocar delante de la raíz y, si es necesario, acortarlas (por ejemplo, si hay dos de estas desventajas).
- Realice la multiplicación de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente en la lección de hoy. Si los índices de las raíces son iguales, simplemente multiplicamos las expresiones radicales. Y si son diferentes, usamos la fórmula malvada \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \].
- 3. Disfrutamos del resultado y las buenas notas. :)
¿Bien? ¿Vamos a practicar?
Ejemplo 1. Simplifique la expresión:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3) )) \ derecha) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ raíz cuadrada (64) = - 4; \ end (alinear) \]
Esta es la opción más simple: los índices de las raíces son iguales e impares, el problema está solo en el menos del segundo factor. Eliminamos este menos nafig, después de lo cual todo se considera fácilmente.
Ejemplo 2. Simplifique la expresión:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( alinear) \]
Aquí, muchos estarían confundidos por el hecho de que la salida fue un número irracional. Sí, sucede: no pudimos deshacernos por completo de la raíz, pero al menos simplificamos significativamente la expresión.
Ejemplo 3. Simplifique la expresión:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((( a) ^ (4)) \ right)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]
Me gustaría llamar su atención sobre esta tarea. Hay dos puntos a la vez:
- La raíz no es un número o grado específico, sino la variable $ a $. A primera vista, esto es un poco inusual, pero en realidad, al resolver problemas matemáticos, la mayoría de las veces tiene que lidiar con variables.
- Al final, logramos "reducir" el exponente raíz y el grado en la expresión radical. Esto sucede con bastante frecuencia. Y esto significa que era posible simplificar significativamente los cálculos si no usaba la fórmula básica.
Por ejemplo, podrías hacer esto:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ end (alinear) \]
De hecho, todas las transformaciones se realizaron solo con el segundo radical. Y si no describe en detalle todos los pasos intermedios, al final, la cantidad de cálculos disminuirá significativamente.
De hecho, ya nos hemos encontrado con una tarea similar antes al resolver el ejemplo $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Ahora se puede describir de una forma mucho más sencilla:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ left (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ end (alinear) \]
Bueno, descubrimos la multiplicación de raíces. Ahora consideremos la operación inversa: ¿qué hacer cuando el producto está debajo de la raíz?
Volví a mirar el cartel ... ¡Y vámonos!
Comencemos con uno simple:
Solo un minuto. esto, lo que significa que podemos escribir así:
¿Entendido? Aquí está el siguiente para ti:
¿Las raíces de los números resultantes no se extraen exactamente? No importa, aquí hay algunos ejemplos:
Pero, ¿y si los factores no son dos, sino más? ¡Lo mismo! La fórmula de multiplicación de raíces funciona con cualquier número de factores:
Ahora completamente por mi cuenta:
Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es saber la tabla de multiplicar!
División de raíces
Descubrimos la multiplicación de raíces, ahora procederemos a la propiedad de la división.
Déjame recordarte que la fórmula en vista general tiene este aspecto:
Esto significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.
Bueno, averigüémoslo con ejemplos:
Eso es todo ciencia. He aquí un ejemplo:
No todo es tan fluido como en el primer ejemplo, pero, como ves, no hay nada complicado.
Pero, ¿y si aparece una expresión como esta?
Solo necesitas aplicar la fórmula en la dirección opuesta:
Y aquí tienes un ejemplo:
También puede encontrar esta expresión:
Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no lo recuerdas, ¡mira el tema y vuelve!). ¿Recordado? ¡Ahora decidimos!
Estoy seguro de que has hecho frente a todo, a todo, ahora intentemos echar raíces en grado.
Exponenciación
Y que pasará si Raíz cuadrada¿cuadrado? Es simple, recuerde el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.
Entonces, si aumentamos un número cuya raíz cuadrada es igual al cuadrado, ¿qué obtenemos?
¡Bueno, por supuesto!
Veamos ejemplos:
Es simple, ¿verdad? ¿Y si la raíz está en un grado diferente? ¡Está bien!
Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y posibles acciones con grados.
Lee la teoría sobre el tema "" y todo te quedará muy claro.
Por ejemplo, aquí hay una expresión:
En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplique las propiedades de potencia y factorice todo:
Con esto, todo parece estar claro, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Por ejemplo, esto es:
Bastante simple, ¿verdad? ¿Y si el grado es más de dos? Seguimos la misma lógica usando propiedades de grado:
Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve los ejemplos tú mismo:
Y aquí están las respuestas:
Introducción bajo el signo de la raíz
¡Qué no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Solo queda practicar ingresando el número debajo del signo de la raíz!
¡Es fácil!
Digamos que tenemos un número
¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde los tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!
¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para expandir nuestras capacidades al resolver ejemplos:
¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Te hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es correcto! Solamente debemos recordar que solo podemos introducir números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.
Resuelva este ejemplo usted mismo:
¿Lograste? Veamos qué deberías conseguir:
¡Bien hecho! ¡Lograste insertar el número debajo del signo de la raíz! Pasemos a otro igualmente importante: ¡veamos cómo comparar números que contienen la raíz cuadrada!
Comparación de raíces
¿Por qué deberíamos aprender a comparar números que contienen raíz cuadrada?
Muy simple. A menudo, en las expresiones grandes y extensas que encontramos en el examen, obtenemos una respuesta irracional (¿recuerdas cuál es? ¡Tú y yo ya hemos hablado de esto hoy!).
Necesitamos colocar las respuestas recibidas en una línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí surge un inconveniente: no hay calculadora en el examen, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Solo es eso!
Por ejemplo, defina cuál es mayor: ¿o?
No se puede decir de inmediato. Bueno, usemos la propiedad analizada de ingresar un número debajo del signo raíz.
Entonces adelante:
Y, obviamente, cuanto mayor sea el número debajo del signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!
Esos. si, entonces ,.
De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!
Extrayendo raíces de grandes números
Antes de eso, introdujimos el factor debajo del signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas factorizarlo y extraer lo que se extrae!
Era posible tomar un camino diferente y descomponerse en otros factores:
Nada mal, ¿eh? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decida cuál le conviene más.
La factorización es muy útil al resolver tareas no estándar como esta:
¡No tenemos miedo, pero actuamos! Descompongamos cada factor debajo de la raíz en factores separados:
Ahora pruébelo usted mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):
¿Es este el final? ¡No te detengas a mitad de camino!
Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?
¿Sucedió? ¡Bien hecho, es cierto!
Ahora intenta resolver este ejemplo:
Y un ejemplo es un hueso duro de roer, por lo que no se puede imaginar cómo abordarlo. Pero nosotros, por supuesto, podemos resistirlo.
Bueno, ¿empecemos a factorizar? Tenga en cuenta de inmediato que puede dividir un número por (recuerde los criterios de divisibilidad):
Ahora, pruébelo usted mismo (de nuevo, ¡sin calculadora!):
Bueno, que paso? ¡Bien hecho, es cierto!
Resumamos
- La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a.
. - Si solo sacamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
- Propiedades de la raíz aritmética:
- Al comparar raíces cuadradas, debe recordarse que cuanto mayor sea el número debajo del signo de la raíz, mayor será la raíz misma.
¿Qué te parece la raíz cuadrada? ¿Todo claro?
Intentamos explicarle sin agua todo lo que necesita saber sobre el examen de raíz cuadrada.
Es tu turno. Escríbanos si es un tema difícil para usted o no.
¿Aprendiste algo nuevo o ya todo estaba claro?
¡Escribe en los comentarios y buena suerte con tus exámenes!
