Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
upute
U slučaju da na bazi piramide leži kvadrat, poznata je duljina njegove dijagonale, kao i duljina brida ovoga piramide, To visina ovaj piramide može se izraziti iz Pitagorinog teorema, jer trokut formiran bridom piramide, a polovica dijagonale na bazi je pravokutni trokut.
Pitagorin poučak kaže da je kvadrat hipotenuze u pravokutnom trokutu jednak zbroju kvadrata njegovih kateta (a² = b² + c²). Rub piramide- hipotenuza, jedna od kateta je pola dijagonale kvadrata. Zatim se duljina nepoznate noge (visina) nalazi pomoću formula:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Kako bi obje situacije bile što jasnije i razumljivije, možete razmotriti par.
Primjer 1: Osnovna površina piramide 46 cm², njegov volumen je 120 cm³. Na temelju tih podataka vis piramide nalazi se ovako:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Odgovor: visina ovog piramide bit će otprilike 7,83 cm
Primjer 2: U piramide, u čijoj osnovi leži poligon - kvadrat, njegova dijagonala je 14 cm, duljina ruba je 15 cm. Prema tim podacima, pronaći visina piramide, morate koristiti sljedeću formulu (koja je posljedica Pitagorinog teorema):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Odgovor: visina ovog piramide iznosi √29 cm ili približno 5,4 cm
Bilješka
Ako se u podnožju piramide nalazi kvadrat ili drugi pravilan mnogokut, tada se ova piramida može nazvati pravilnom. Takva piramida ima niz svojstava:
njegova bočna rebra su jednaka;
njegova lica su jednakokračni trokuti koji su međusobno jednaki;
oko takve piramide može se opisati sfera, ali i upisati.
Izvori:
- Ispravna piramida
Bilo koje geometrijsko tijelo može biti zanimljivo ne samo školarcima. U svijetu koji nas okružuje, objekti u obliku piramide prilično su česti. I nisu to samo poznate egipatske grobnice. Često se priča o ljekovitosti piramide, a netko će ih vjerojatno poželjeti i sam iskusiti. Ali da biste to učinili, morate znati njegove dimenzije, uključujući visinu.
Trebat će vam
- Matematičke formule i pojmovi:
- Određivanje visine piramide
- Znakovi sličnosti trokuta
- Svojstva visine trokuta
- Teorem sinusa i kosinusa
- Tablice sinusa i kosinusa
- Alati:
- vladar
- olovka
- kutomjer
upute
Znate stranice, kutove baze i nagib prema bazi. Crtež će ispasti , pa da biste bili sigurni, na njemu označite podatke koje znate. Iz točke S spustimo visinu piramide i označimo je h. Označite točku presjeka visine s bazom piramide kao S1.
Od vrha piramide nacrtajte visinu bilo koje bočne strane. Označite točku njegovog sjecišta s bazom, na primjer, A1. Zapamtite visine oštrokutnog trokuta. Dijeli trokut na dva slična pravokutna trokuta. Izračunajte potrebne kutove pomoću formule
Cos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), gdje su a, b i c stranice trokuta, u ovom slučaju ASB (a=BA,b=AS,c=AB ).
Izračunajte visinu bočne plohe SA1 iz kosinusa kuta ASA1, jednakog kutu SBA iz svojstava, i poznatog bočnog brida AS.
Video na temu
Bilješka
Da biste izračunali visinu bilo koje piramide, prvo morate izračunati jednu od stranica trokuta.
U pravilnoj piramidi, visina bočne strane naziva se apotemom i dijeli stranicu baze piramide na pola.
Koristan savjet
U pravilnoj piramidi sve stranice su nagnute prema bazi pod istim kutom, tako da se visina piramide može izračunati bez konstruiranja dodatnih trokuta.
Visina bočne strane dijeli je na 2 slična pravokutna trokuta. Prema tome, kut SAB jednak je kutu A1SB.
Piramida je lik čija je baza poligon, a lica su trokuti sa zajedničkim vrhom za sve. U tipičnim problemima često je potrebno konstruirati i odrediti duljinu okomice povučene iz vrha piramide na ravninu svoje baze. Duljina ovog segmenta naziva se visina piramide.
Trebat će vam
- - vladar
- - olovka
- - kompas
upute
Za dovršetak izgradite piramidu u skladu s uvjetima zadatka. Na primjer, da biste izgradili pravilan tetraedar, morate nacrtati figuru tako da svih 6 rubova budu jednake jedna drugoj. Ako trebate graditi visinačetverokut, tada samo 4 ruba baze trebaju biti jednaka. Tada možete graditi rubove bočnih stranica nejednake s rubovima poligona. Imenujte piramidu, označavajući sve vrhove latiničnim slovima. Na primjer, za piramide s trokutom u bazi možete odabrati A, B, C (za bazu), S (za vrh). Ako uvjet navodi određene dimenzije rebara, tada pri izradi slike pođite od tih vrijednosti.
Za početak, šestarom uvjetno odaberite tangentu iznutra na sve rubove poligona. Ako je piramida, onda točka (nazovite je, na primjer, H) na bazi piramide, u koju se visina spušta, mora odgovarati središtu kružnice upisane u ispravnu bazu piramide. Središte će odgovarati točki jednako udaljenoj od bilo koje druge točke na krugu. Ako spojite vrh piramide S sa središtem kruga H, tada će segment SH biti visina piramide. Ne zaboravite da se četverokutu čije suprotne stranice imaju isti zbroj može upisati kružnica. Ovo se odnosi na kvadrat i romb. U tom će slučaju točka H ležati na četverokutu. Svakom trokutu moguće je upisati i opisati kružnicu.
Graditi visina piramide, šestarom nacrtajte kružnicu, a zatim ravnalom spojite njezino središte H s vrhom S. SH je željena visina. Ako u bazi piramide SABC je nepravilan lik, tada će visina spajati vrh piramide sa središtem kružnice u koju je upisan osnovni poligon. Svi vrhovi mnogokuta leže na takvoj kružnici. U ovom slučaju, ovaj segment će biti okomit na ravninu baze piramide. Oko četverokuta možete opisati kružnicu ako je zbroj nasuprotnih kutova 180°. Tada će središte takvog kruga ležati na sjecištu odgovarajućih dijagonala - kvadrata i pravokutnika.
Video na temu
Bilješka
Nije svaki segment koji spaja vrh piramide s točkom na njezinoj bazi visina, već samo okomica na bazu. Visina piramide može se zamijeniti s apotemom, koja je visina bočne strane piramide. Piramida se može nazvati ispravnom samo ako su ispunjeni određeni uvjeti. Dakle, u njezinoj osnovi mora postojati pravilan mnogokut, bočni bridovi piramide moraju biti jednaki, a sve bočne strane moraju biti jednakokračni trokuti. Ovo je od temeljne važnosti za konstrukciju visine piramide.
Koristan savjet
Ako problem govori o pravilnoj piramidi, tada u njenoj osnovi leži pravilan poligon. Tada visina pada od vrha piramide do središta baze. Ponekad je u formuliranju zadataka potrebno konstruirati visinu tetraedra ili pentaedra. To znači da se u podnožju piramide nalaze poligoni s četiri ili pet uglova.
Mnogi stvarni objekti imaju oblik poliedara, uključujući piramide, na primjer, poznate egipatske piramide. Ova geometrijska figura ima nekoliko parametara, od kojih je glavni visina.
upute
Odrediti je li , visina koju trebate pronaći prema uvjetima problema, točnu. To se smatra piramidom čija je baza bilo koji pravilan poligon (s jednakim stranama), a visina pada u središte baze.
Prvi slučaj se javlja ako je baza kvadrat. Ukrasti visina, okomito na ravninu baze. Kao rezultat toga, unutar piramide ćete dobiti pravokutni trokut. Hipotenuza joj je brid piramide, a duži krak njezina visina. Manji krak tog trokuta prolazi kroz kvadrat i brojčano je jednak njegovoj polovici. Ako je zadan kut između brida i ravnine baze piramide, kao i jedna od stranica kvadrata, tada visina U ovom slučaju pronađite piramide koristeći kvadrat i Pitagorin poučak. Krak je jednak polovici dijagonale. Budući da je stranica kvadrata jednaka a, au isto vrijeme jednaka a√2, hipotenuzu trokuta pronađite na sljedeći način: x=a√2/2cosα
U skladu s tim, znajući hipotenuzu i kraći krak trokuta, koristeći Pitagorin poučak, izvedite formulu za pronalaženje: H=√[(a√2)/2cosα]^2-[(a√2/2)^2] =√=a*tgα/ √2, gdje je [(1-cos^2α)/cos^2α =tg^2α]
Ako je u osnovi piramide pravilan trokut, tada će njegova visina s rubom piramide činiti pravokutni trokut. Manja noga prolazi visina osnove. Na pravilan način, visina je ujedno i medijan.Iz svojstava je poznato da je njegova kraća stranica jednaka a√3/3. Znajući kut između ruba piramide i ravnine baze, pronađite hipotenuzu (ona je također rub piramide). Odredite visinu piramide pomoću Pitagorinog poučka: H=√(a√3/3cosα)^2-(a√3/3)^2=a*tgα/√3
Neki imaju peterokut ili šesterokut kao bazu. Takva se piramida također smatra pravilnom ako su sve stranice njezine baze jednake. Na primjer, visina pronađite peterokut na sljedeći način: h=√5+2√5a/2, gdje je a stranica peterokuta.Upotrijebite ovo svojstvo da pronađete rub piramide, a zatim njenu visinu. Manji krak jednak je polovici ove visine: k=√5+2√5a/4
Prema tome, pronađite hipotenuzu pravokutnog trokuta na sljedeći način:k/cosα=√5+2√5a/4cosαDalje, kao u prethodnim slučajevima, visina pronađite piramide koristeći Pitagorin teorem: H=√[(√5+2√5a/4cosα)^2-(√5+2√5a/4)^2]
Video na temu
Apotem - visina bočne strane iscrtana u pravilnoj piramidi od njenog vrha. Može se naći iu pravilnoj pravilnoj piramidi iu skraćenoj. Razmotrimo oba slučaja
upute
Ispravna piramida
U njemu su svi bočni bridovi jednaki, bočne strane su jednakokračni jednaki trokuti, a baza je pravilan mnogokut. Jer svi apotemi pravilnog trokuta su jednaki, tada je dovoljno pronaći jedan u bilo kojem trokutu. Trokuti su jednakokračni, a je visina. Visina povučena u jednakokračnom trokutu od vrha do osnovice, te simetrala. Srednja stranica dijeli stranicu popola, a simetrala kut na dva jednaka kuta. Visina je okomica povučena od vrha do baze.
Pretpostavimo da su poznate sve stranice jednakokračnog trokuta i da je nacrtana središnja baza koja dijeli osnovicu na dva jednaka segmenta. Jer Srednja je visina, onda je okomita, t.j. Kut između središnje i osnovice je 90. Dakle, ispada da je to pravokutni trokut. Bočna strana je hipotenuza, polovica baze i visina (medijan) su katete. Pitagorin poučak kaže: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta. Na taj način možete pronaći visinu.
Neka je poznat kut nasuprot osnovici. I jedna od strana (bilo strana ili baza). Simetrala povučena iz vrha na bazu je . Stoga opet dobivamo pravokutni trokut. Kut i jedna od stranica su poznati. Pomoću sinusa, kosinusa i možete pronaći visinu. Sinus je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, krak je omjer susjednog kraka i hipotenuze, tangens je omjer sinusa ili suprotnog kraka. Zamjenom poznatih stranica izračunajte visinu.
Područje bočne površine ispravna je polovica umnoška opsega baze i apoteme.
Točno
Bočna lica su pravilni trapezi. Bočna rebra su jednaka. Apotem je visina nacrtana u trapezu. Neka su poznate dvije baze i bočni rub. Visine se povlače iz tjemena tako da odsijecaju pravokutnik na većoj bazi. Zatim, ako mentalno uklonite pravokutnik, ostat će vam jednakokračan trokut, čija se visina može pronaći pomoću prve metode. Ako su poznati tupi kutovi trapeza, tada je kod crtanja visine potrebno od tupog kuta oduzeti kut jednak 90 stupnjeva (jer je visina okomica). Tada će postati poznat oštri kut u trokutu. Visina ili apotem se opet mogu pronaći pomoću 1 metode.
Izvori:
- apotema je to
Piramida je figura koja ima bazu u obliku poligona i bočnih strana s vrhovima koji se spajaju na vrhu. Granice bočnih lica nazivaju se rebra. Kako pronaći duljina rebra piramide?
upute
Pronađite granične točke ruba, duljina koje tražite. Neka su to točke A i B.
Izračunajte potrebne duljina, koristeći opću formulu: duljina ruba piramide jednak je korijenu zbroja kvadrata razlika odgovarajućih koordinata graničnih točaka. Zamijenite brojeve svojih koordinata u formulu i pronađite duljina rebra piramide. Pronađite na isti način duljina rebra nisu ispravna piramide, ali i pravokutni, i , i proizvoljni.
Pronaći duljina koristeći Pitagorin teorem, gdje je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu hipotenuze. Dobijte a2+b2=c2, gdje su a i b katete, a c je hipotenuza. Hipotenuza će tada biti jednaka korijenu zbroja kvadrata kateta.
Pronaći duljina rebra piramide. Prva podjela duljina dijagonalno na pola. Sve dobivene podatke zamijenite gore opisanom Pitagorinom formulom. Slično prethodnom primjeru, iz zbroja kvadrata pronađite visinu piramide a pola dijagonale.
Izvori:
- kako pronaći duljinu brida iz koordinata
Piramida je geometrijska figura koja ima mnogokut u osnovi i trokute s jednim zajedničkim vrhom kao bočne strane. Volumen piramide je njezina prostorna kvantitativna karakteristika, koja se izračunava pomoću poznate formule.
upute
Uz “piramidu” padaju na pamet veličanstveni egipatski divovi, čuvari mira. Nisu drevni graditelji uzalud koristili ovu geometrijsku figuru. Za njih, nepredvidivu pustinju, piramida je bila simbol postojanosti, preciznosti. Kutovi piramide bili su usmjereni strogo prema kardinalnim točkama, a vrh je jurio u nebo, simbolizirajući jedinstvo zemlje i neba.
Moderni ljudi i studenti malo mare za ovo geometrijsko čudo svijeta. Najvažnije su formule i izračuni povezani s njim, koji su osnova za rješavanje bilo kojeg geometrijskog problema i, kao rezultat, dobra procjena. Dakle, volumen je pun piramide jednaka trećini površine baze po visini: V = 1/3*S*h.
Dakle, za izračunavanje volumena piramide, prvo morate pronaći područje baze, a zatim ga pomnožiti s duljinom visine. A-priorat piramide baza mu je poligon. Na temelju broja uglova piramida može biti trokutasta itd. Površina bilo kojeg trokuta izračunava se kao polovica umnoška baze i visine - to je umnožak baze i visine.
U slučaju poligona na bazi piramide zadatak postaje teži. Ako je poligon pravilan, tj. sve njegove stranice jednake, tada ima oblik: S = (n*a^2)/(4*tg (π/n)), gdje je n broj stranica, a je duljina stranice.
Ako poligon ima nepravilan oblik, tada se izračunavanje njegove površine svodi na njegovu podjelu na trokute i kvadrate. Površina svakog elementa se izračunava i zatim zbraja u zbroj.
Problem pronalaženja volumena je pojednostavljen za pravokutnik piramide, u kojem je jedan od bočnih rubova okomit na bazu. U ovom slučaju, ovaj rub je visina piramide. Pravilna piramida je lik s pravilnim poligonom u osnovi i visinom koja se spušta od zajedničkog vrha točno do središta baze.
Postoji koncept skraćenog piramide, koji se dobije iz ukupnog piramide crtanje presječne ravnine paralelne s osnovicom. U ovom slučaju, volumen se određuje na temelju površina dviju baza i visine: V = 1/3*h*(S_1 + √(S_1*S_2) + S_2).
Piramida je poliedar, čija je baza mnogokut, a preostala lica su trokuti koji se skupljaju na zajedničkom vrhu. Rješavanje problema s piramidama uvelike ovisi o vrsti piramide. Kod pravokutnog piramide jedan od bočnih rubova je okomit na bazu, ovaj rub je visina piramide.
upute
Ako u bazi piramide postoji kvadrat, nađi ga visina(aka - rebro piramide) kroz pravokutni trokut. Upamtite - u stereometriji na slikama kvadrat izgleda kao paralelogram. Na primjer, dana je pravokutna piramida SABCD s vrhom S, koji se projicira na vrh kvadrata B. Brid SB je okomit na ravninu baze. Bridovi SA i SC međusobno su jednaki AD i DC.
Ako su problemu zadani rubovi AB i SA, pronađite visina SB iz pravokutnog ΔSAB po Pitagorinom teoremu. Da biste to učinili, oduzmite kvadrat AB od kvadrata SA. Izvadite korijen. Pronađena visina SB.
Ako nije dana stranica kvadrata AB, nego npr. dijagonala, tada zapamtite formulu: d=a·√2. Također izrazite stranicu kvadrata iz formula za površinu, opseg, upisane i opisane polumjere, ako je to zadano u uvjetu.
Ako je problemu zadan rub AB i ∠SAB, upotrijebite tangentu: tg∠SAB=SB/AB. Ekspresno iz formule visina, zamijenite numeričke vrijednosti i tako pronađite SB.
S obzirom na volumen i stranu baze, nađi visina, izražavajući ga formulom: V=⅓·S·h. S je površina baze, odnosno AB2; h - visina piramide, tj. SB.
Ako u bazi piramide SABC (S se projicira u B, kao u točki 2, tj. SB je visina) leži trokut i naznačeni su podaci za površinu (stranica trokuta, stranica ili stranica i kutovi jednakokračnog, kraci pravokutnika) , pronaći visina iz formule volumena: V=⅓·S·h. Umjesto S, zamijenite formulu za površinu trokuta ovisno o njegovoj vrsti, a zatim izrazite h.
Zadani su apotem SK i kut između SK i KB (∠SKB), upotrijebite funkciju sinusa. Omjer visine SB i hipotenuze SK jednak je sin∠SKB. Izraziti visina i zamijenite brojeve.
Izvori:
- Piramide
- Ispravna piramida
Piramida je poliedar čija su lica trokuti koji imaju zajednički vrh. Izračun bočnog ruba proučava se u školi, u praksi se često mora sjetiti poluzaboravljene formule.
upute
Piramida može biti pravilna, pravokutna, krnja itd. Piramida se naziva pravilnom ako joj je baza pravilan mnogokut. Tada se središte projicira na središte mnogokuta, a bočni bridovi piramide su jednaki. U takvim piramida bočne strane su identični trokuti.
Pravokutna piramida se zove kada je jedan od njezinih rubova okomit na bazu. Visina takve piramide je upravo ova rub. Osnova za izračunavanje vrijednosti visine i duljina njegovih bočnih rubova je poznati Pitagorin teorem.
Da biste izračunali brid, trebate nacrtati njegovu visinu od vrha piramide do baze. Zatim, razmotrite željeni rub kao krak u pravokutnom trokutu, također koristeći Pitagorin teorem.
Bočni rub u ovom slučaju izračunava se pomoću formule b=√ h2+ (a2 sin (180°
) 2. To je kvadrat zbroja kvadrata dviju stranica pravokutnog trokuta. Jedna strana piramide je h, druga strana je segment koji povezuje središte baze pravilne piramide s vrhom ove baze. U ovom slučaju, a je stranica pravilnog osnovnog poligona, n je broj njegovih stranica.
Bilješka
Opis piramide i proučavanje njezinih svojstava započelo je u staroj Grčkoj. Danas se elementi piramide, njezina svojstva i zakonitosti građenja proučavaju u školi na nastavi geometrije.
Glavni elementi piramide su: bočna lica - trokuti koji imaju zajednički vrh; bočni rubovi – strane bočnih stranica koje su zajedničke; apotem (visina bočne plohe povučena od vrha, pod uvjetom da je piramida pravilna), vrh piramide je točka gdje se spajaju bočni bridovi itd.
Izvori:
- rub piramide
Savjet 10: Kako pronaći obujam pravilne trokutaste piramide
Trodimenzionalni geometrijski lik, čije su sve bočne strane trokutastog oblika i imaju barem jedan zajednički vrh, naziva se piramida. Lice koje nije susjedno zajedničkom vrhu naziva se baza. piramide. Ako su sve stranice i kutovi poligona koji ga čine jednaki, trodimenzionalni lik se naziva pravilnim. A ako postoje samo tri od ovih strana, piramida se može nazvati pravilnim trokutom.
upute
Za ispravan piramide opća definicija za takve poliedre volumena (V) prostora zatvorenog unutar lica figure je istinita. Povezuje ovaj parametar s visinom (H) i osnovnom površinom (s). Budući da su u našem slučaju sva lica ista, nije potrebno znati površinu baze - da biste izračunali volumen, pomnožite površinu bilo kojeg lica s visinom i podijelite rezultat na tri dijela: V = s*H/3.
Ako je poznata ukupna površina (S). piramide i njegovu visinu (H), za određivanje volumena (V) koristite formulu iz prethodnog koraka, povećavajući četiri puta: V = S*H/12. To proizlazi iz činjenice da se ukupna površina figure sastoji od točno četiri lica jednake veličine.
Međutim, znajući duljinu brida (a) pravilnog trokuta piramide, možete izračunati njegov volumen (V) bez korištenja visine ili bilo kojeg drugog parametra figure. Kubirajte jedinu potrebnu količinu, pomnožite s korijenom iz dva i rezultat podijelite s dvanaest: V = a³*√2/12.
Vrijedi i obrnuto - poznavanje visine tetraedra (H) dovoljno je za izračunavanje volumena (V). Duljina ruba u formuli iz prethodnog koraka može se zamijeniti trostrukom visinom podijeljenom s kvadratnim korijenom iz šest: V = (3*H/√6)³*√2/12 = 27*√2*H³ /(12*(√6)³ ). Da biste se riješili svih ovih potencija, zamijenite ih decimalnim razlomkom 0,21651: V = H³*0,21651.
Ako je piramida pravilna s poznatim radijusom (R), formula za izračunavanje volumena (V) može se napisati na sljedeći način: V = 16*√2*R³/(3*(√6)³). Za praktične izračune, zamijenite sve izraze za potenciju jednim decimalnim razlomkom dovoljne točnosti: V = 0,51320*R³.
Definicija. Bočni rub- ovo je trokut u kojem jedan kut leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana poklapa se sa stranom baze (poligon).
Definicija. Bočna rebra- ovo su uobičajene strane bočnih strana. Piramida ima onoliko bridova koliko kutova ima mnogokut.
Definicija. Visina piramide- ovo je okomica spuštena od vrha do baze piramide.
Definicija. Apotema- ovo je okomica bočne strane piramide, spuštena s vrha piramide na stranu baze.
Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.
Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida kojoj je baza pravilan mnogokut, a visina se spušta do središta baze.
Volumen i površina piramide
Formula. Volumen piramide kroz osnovnu površinu i visinu:
Svojstva piramide
Ako su svi bočni bridovi jednaki, tada se oko baze piramide može opisati kružnica, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi središtem baze (kružnice).
Ako su sva bočna rebra jednaka, tada su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.
Bočna rebra su jednaka kada tvore jednake kutove s ravninom baze ili ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Ako su bočne strane nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide projicira se u njezino središte.
Ako su bočne plohe nagnute prema ravnini baze pod jednim kutom, tada su apoteme bočnih ploha jednake.
Svojstva pravilne piramide
1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih kutova baze.
2. Svi bočni rubovi su jednaki.
3. Sva bočna rebra su nagnuta pod jednakim kutom u odnosu na bazu.
4. Apoteme svih bočnih lica su jednake.
5. Površine svih bočnih ploha su jednake.
6. Sve plohe imaju iste diedralne (ravne) kutove.
7. Oko piramide se može opisati kugla. Središte opisane kugle bit će sjecište okomica koje prolaze sredinom bridova.
8. Kuglu možete uklopiti u piramidu. Središte upisane sfere bit će točka presjeka simetrala koje izlaze iz kuta između brida i baze.
9. Ako se središte upisane sfere poklapa sa središtem opisane sfere, tada je zbroj ravnih kutova pri vrhu jednak π ili obrnuto, jedan kut je jednak π / n, gdje je n broj kutova na dnu piramide.
Veza piramide i kugle
Oko piramide se može opisati sfera kada se u osnovi piramide nalazi poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (nužan i dovoljan uvjet). Središte sfere bit će sjecište ravnina koje prolaze okomito kroz središta bočnih bridova piramide.
Uvijek je moguće opisati sferu oko bilo koje trokutaste ili pravilne piramide.
U piramidu se može upisati kugla ako se simetrale unutarnjih diedarskih kutova piramide sijeku u jednoj točki (nužan i dovoljan uvjet). Ova točka će biti središte sfere.
Veza piramide sa stošcem
Stožac se naziva upisanim u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je upisana u bazu piramide.
Stožac se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide međusobno jednake.
Kaže se da je stožac opisan oko piramide ako se njihovi vrhovi poklapaju, a baza stošca je opisana oko baze piramide.
Stožac se može opisati oko piramide ako su svi bočni bridovi piramide međusobno jednaki.
Odnos piramide i valjka
Za piramidu se kaže da je upisana u valjak ako vrh piramide leži na jednoj osnovici valjka, a baza piramide je upisana u drugu bazu cilindra.
Valjak se može opisati oko piramide ako se oko baze piramide može opisati kružnica.
Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest bridova, pri čemu bilo koja dva brida nemaju zajedničke vrhove, ali se ne dodiruju.
Svaki vrh se sastoji od tri lica i bridova koji se tvore trokutasti kut.
Segment koji povezuje vrh tetraedra sa središtem suprotne strane naziva se medijan tetraedra(GM).
Bimedijan naziva segment koji spaja središta suprotnih rubova koji se ne dodiruju (KL).
Svi bimedijani i medijani tetraedra sijeku se u jednoj točki (S). U ovom slučaju bimedijane se dijele na pola, a medijane se dijele u omjeru 3:1 počevši od vrha.
Definicija. Oštrokutna piramida- piramida u kojoj je apotem duži od polovice stranice baze.
Definicija. Tupa piramida- piramida u kojoj je apotem manji od polovice duljine stranice baze.
Definicija. Pravilni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trokuti. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru svi kutovi diedra (između ploha) i kutovi triedra (kod vrha) su jednaki.
Definicija. Pravokutni tetraedar tetraedar se naziva koji ima pravi kut između tri brida na vrhu (brdovi su okomiti). Formiraju se tri lica rectangular trokutasti kut a plohe su pravokutni trokuti, a baza je proizvoljan trokut. Apotem bilo kojeg lica jednak je polovici stranice baze na koju apotem pada.
Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se zove u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a baza je pravilan trokut. Takav tetraedar ima lica koja su jednakokračni trokuti.
Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva kod kojeg se sve visine (okomice) koje su s vrha spuštene na suprotnu plohu sijeku u jednoj točki.
Definicija. Zvjezdana piramida zove se poliedar čija je baza zvijezda.
Trebat će vam
- Ovisno o situaciji, znajte volumen piramide, površinu bočnih strana piramide, duljinu ruba, duljinu promjera poligona u bazi.
upute
Jedan način da se pronađe visina, i ne samo ispravno - to je izraziti kroz volumen piramide. Formula pomoću koje možete saznati njegov volumen izgleda ovako:
V = (S*h)/3, gdje je S površina svih bočnih piramida ukupno, h je površina ove piramide.
Zatim iz ove formule možete izvesti drugu za pronalaženje:
h = (3*V)/S
Na primjer, poznato je da je površina bočnih strana piramide 84 cm², a volumen 336 kubičnih cm. Zatim pronađite visina možeš ti to:
h = (3*336)/84 = 12 cm
Odgovor: visina ove piramide je 12 cm
Razmatrajući pravilnu piramidu, u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, možemo doći do zaključka da je formirana visinom, polovicom dijagonale i jednom od strana piramide, pravokutni trokut (npr. je trokut AEG na gornjoj slici). Prema Pitagorinom teoremu, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta (a² = b² + c²). U slučaju pravilne piramide, hipotenuza je lice piramide, jedan krak je polovica dijagonale na bazi, a drugi krak je visina piramide. U tom slučaju mogu se izračunati rubovi i dijagonale i visina. Kao primjer, razmotrite trokut AEG:
AE² = EG²+GA²
Odavde visina GA piramide se mogu izraziti na sljedeći način:
GA = √(AE²-EG²).
Da bi bilo jasnije kako pronaći visina pravilne piramide, možemo razmotriti primjer: u pravilnoj, duljina lica je 12 cm, duljina dijagonale poligona na bazi je 8 cm. Na temelju ovih podataka trebate pronaći duljina ove piramide Rješenje: 12² = 4² + c², gdje je c nepoznati krak (visina) zadane piramide (pravokutni trokut).
144 = 16 + 128
Dakle, visina ove piramide je √128 ili približno 11,3 cm
Izvori:
- pravilna četverokutna piramida nađi visinu
- Rješavanje zadataka C2 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike
Piramida je složeno geometrijsko tijelo. Sastoji se od ravnog poligona (baze piramide), točke koja ne leži u ravnini tog mnogokuta (vrha piramide) i svih odsječaka koji spajaju točke baze piramide s vrh. Kako pronaći površinu piramide?
Trebat će vam
- ravnalo, olovka i papir
upute
Osnova piramide je poligon. Ako je zadani mnogokut podijeljen na trokute, tada se mnogokut može jednostavno izračunati kao zbroj površina dobivenih dijeljenjem trokuta prema nama već poznatoj formuli.
Ako je površina baze nepoznata iz uvjeta problema, a dani su samo volumen (V) i duljina ruba (a), tada se varijabla koja nedostaje u formuli iz prethodnog koraka može zamijeniti svojim ekvivalentom, izraženim u smislu duljine ruba. Površina (ona, kao što se sjećate, leži u podnožju piramide tipa o kojem je riječ) jednaka je jednoj četvrtini umnoška kvadratnog korijena tri puta kvadrat duljine stranice. Zamijenite ovaj izraz umjesto površine baze u formulu iz prethodnog koraka i dobijete sljedeći rezultat: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Budući da se obujam tetraedra može izraziti i preko duljine brida, sve varijable se mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure, ostavljajući samo stranu njegove strane. Volumen ove piramide izračunava se dijeljenjem s 12 umnoška kvadratnog korijena iz dva s kubiranom duljinom lica. Zamijenite ovaj izraz u formulu iz prethodnog koraka i dobijte rezultat: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
U pravilnoj piramidi svi bridovi su međusobno jednaki, sva lica su jednaki jednakokračni trokuti. Visina piramide je okomica spuštena s vrha na njegovu osnovicu.
Pronalaženje visine piramide ovisi o tome što je dano u izjavi problema. Koristite formule u kojima možete pronaći bilo koji parametar piramide koristi se njegova visina. Na primjer, zadano je: V – volumen piramide; S – osnovna površina. Koristite formulu za volumen piramide V=SH/3, gdje je H – visina piramide. Slijedi: H=3V/S.
Krećući se u istom smjeru, slijedi da ako površina baze nije dana, u nekim slučajevima se može pronaći pomoću formule za pronalaženje površine pravilnog mnogokuta. Upiši oznake: p - poluopseg baze (poluopseg je lako pronaći ako je poznat broj stranica i veličina jedne stranice); h - apotem mnogokuta (apotem je okomica spuštena s središte mnogokuta na bilo koju njegovu stranicu); a je stranica mnogokuta; n je broj stranica. Dakle, p=an/2, a S=ph= (an/2)h. Odavde slijedi: H=3V/ (an/2) h.
Apotem u piramidi je segment povučen od njenog vrha do baze jedne od bočnih strana, ako je segment okomit na tu bazu. Bočna strana takve trodimenzionalne figure uvijek ima trokutasti oblik. Stoga, ako je potrebno izračunati duljinu apoteme, dopušteno je koristiti svojstva i poliedra (piramide) i poligona (trokuta).
Trebat će vam
- - geometrijski parametri piramide.
upute
U trokutu bočne plohe, apotem (f) je visina, dakle, uz poznatu duljinu bočnog ruba (b) i kut (γ) između njega i ruba na koji je apotem spušten, možete upotrijebite poznatu formulu za izračunavanje visine trokuta. Pomnožite zadanu duljinu brida sa sinusom poznatog kuta: f = b*sin(γ). Ovo se odnosi na piramide bilo kojeg (ili nepravilnog) oblika.
Da biste pravilno izračunali svaki od tri apotema (f), dovoljno je znati samo jedan parametar - duljinu ruba (a). To se objašnjava činjenicom da lica takve piramide imaju identične jednakostranične trokute. Da biste pronašli visinu svakog od njih, izračunajte polovicu umnoška duljine brida i kvadratnog korijena iz tri: f = a*√3/2.
Ako je površina (s) bočne strane piramide, osim toga, dovoljno je znati duljinu (a) zajedničkog ruba ove strane s bazom volumetrijske figure. U ovom slučaju, pronađite duljinu apoteme (f) udvostručenjem omjera između površine i duljine ruba: f = 2*s/a.
Poznavajući ukupnu površinu piramide (S) njezine baze (p), također možemo izračunati apotema(f), ali samo za pravilan oblik. Udvostručite površinu i rezultat podijelite s opsegom: f = 2*S/p. Oblik baze u ovom slučaju nije bitan.
Broj vrhova ili stranica baze (n) treba znati ako uvjeti daju bridove (b) bočne plohe i vrijednost kuta (α) koji tvore dva susjedna bočna brida. Pod ovim početnim uvjetima izračunajte apotema(f) množenje broja stranica baze sa sinusom poznatog kuta i kvadratom duljine bočnog ruba, nakon čega slijedi dijeljenje dobivene vrijednosti na pola: f = n*sin(α)*b²/2.
Piramida je poliedar s poligonom u osnovi. Sva lica, pak, tvore trokute koji se skupljaju u jednom vrhu. Piramide su trokutaste, četverokutne i tako dalje. Kako biste odredili koja je piramida pred vama, dovoljno je izbrojati broj uglova u njenoj osnovi. Definicija "visine piramide" vrlo se često nalazi u problemima geometrije u školskom kurikulumu. U ovom ćemo članku pokušati pogledati različite načine kako ga pronaći.
Dijelovi piramide
Svaka piramida sastoji se od sljedećih elemenata:
- bočna lica, koja imaju tri ugla i konvergiraju se na vrhu;
- apotem predstavlja visinu koja se spušta od njegova vrha;
- vrh piramide je točka koja povezuje bočna rebra, ali ne leži u ravnini baze;
- baza je mnogokut na kojem ne leži vrh;
- visina piramide je isječak koji siječe vrh piramide i s njezinom bazom čini pravi kut.
Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njezin volumen
Preko formule za volumen piramide V = (S*h)/3 (u formuli V je volumen, S je površina baze, h je visina piramide) nalazimo da je h = (3*V)/S. Da konsolidiramo gradivo, odmah riješimo problem. U trokutastoj piramidi površina baze je 50 cm 2, dok je njezin volumen 125 cm 3. Visina trokutaste piramide je nepoznata, što je ono što moramo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobivamo h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Kako pronaći visinu piramide ako je poznata duljina dijagonale i njezinih bridova
Kao što se sjećamo, visina piramide čini pravi kut s bazom. To znači da visina, rub i polovica dijagonale zajedno čine pravokutni trokut. Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorinog teorema. Poznavajući dvije dimenzije, neće biti teško pronaći treću količinu. Prisjetimo se dobro poznatog teorema a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju rub piramide; b – prvi krak ili polovica dijagonale i c – odnosno drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule c² = a² - b².
Sada problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, a duljina brida je 30 cm. Trebate pronaći visinu. Rješavamo: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Stoga je c = √ 500 = oko 22,4.
Kako pronaći visinu krnje piramide
To je mnogokut s presjekom paralelnim s bazom. Visina krnje piramide je segment koji spaja njezine dvije baze. Visina pravilne piramide se može odrediti ako su poznate duljine dijagonala obiju baza, kao i rub piramide. Neka je dijagonala veće baze d1, a dijagonala manje baze d2, a brid ima duljinu l. Da biste pronašli visinu, možete spustiti visine od dvije gornje suprotne točke dijagrama do njegove baze. Vidimo da imamo dva pravokutna trokuta, preostaje samo pronaći duljine njihovih kateta. Da biste to učinili, oduzmite manju od veće dijagonale i podijelite s 2. Tako ćemo pronaći jednu nogu: a = (d1-d2)/2. Nakon čega, prema Pitagorinom teoremu, ostaje nam samo pronaći drugi krak, a to je visina piramide.
