직선과 평면의 상대적인 위치는 공통점의 개수로 결정 :
1) 직선에 평면과 두 개의 공통점이 있으면 이 평면에 속합니다.
2) 직선이 평면과 하나의 공통점을 가지고 있다면 직선은 평면과 교차하고,
3) 직선과 평면의 교점을 무한대로 제거하면 직선과 평면은 평행하다.
서로에 대한 다양한 기하학적 모양의 상대 위치가 결정되는 문제를 위치 문제라고 합니다.
평면에 속하는 직선은 더 일찍 고려되었습니다.
평면에 평행한 선, 이 평면에 있는 어떤 직선과 평행하다면.이러한 직선을 작성하려면 평면에 임의의 직선을 지정하고 필요한 직선을 평행하게 그려야 합니다.
쌀. 1.53 그림. 1.54 그림 1.55
요점을 통과하자 ㅏ(그림 1.53) 직선을 그릴 필요가 있습니다 AB평면에 평행 큐삼각형으로 주어진 CDF.이를 위해 점의 정면 투영을 통해 ㅏ / 포인트들 ㅏ정면 투영을 해보자 a / b /평면에 있는 직선의 정면 투영에 평행한 원하는 직선 아르 자형,예를 들어 직접 CD (a / b /!!초 / 일 /). 수평 투영을 통해 ㅏ포인트들 ㅏ평행 한 SD우리는 수평 투영을 수행합니다 아필요한 직선 AB(av11 sd).똑바로 AB평면에 평행 아르 자형,주어진 삼각형 CDF.
평면과 교차하는 직선의 가능한 모든 위치 중에서 직선이 평면에 수직인 경우에 주목합니다. 이러한 직선의 투영 속성을 고려하십시오.
쌀. 1.56 그림. 1.57
평면에 수직인 직선(직선과 평면이 교차하는 특수한 경우) 평면의 임의의 직선에 수직인 경우.일반적인 위치에서 평면에 수직인 투영을 구성하려면 투영을 변환하지 않고는 충분하지 않습니다. 따라서 추가 조건이 도입됩니다. 직선이 두 개의 교차하는 주선에 수직이면 평면에 수직입니다.(돌기를 구성하기 위해 직각의 투영 조건이 사용됩니다). 이 경우: 수직선의 수평 및 정면 투영은 수평 투영의 수평 투영 및 일반 위치에서 주어진 평면 전면의 정면 투영에 각각 수직입니다(그림 1.54). 트레이스로 평면을 지정할 때 수직선의 투영은 정면 트레이스에 수직이고 평면의 수평 트레이스에 수평입니다(그림 1.55).
투영 평면과 직선의 교차점.고려하다 직선 교차 평면비행기가 개인 위치에있을 때.
투영 평면(투영 평면)에 수직인 평면이 직선 형태로 투영됩니다. 이 직선(평면의 투영)에는 일부 직선이 이 평면과 교차하는 지점의 해당 투영이 있어야 합니다(그림 1.56).
그림 1.56에서 점의 정면 투영 에게직선의 교차점 AB삼각형으로 CDE는 정면 투영의 교차점에서 정의됩니다. 삼각형 CDE직선 형태로 정면에 투영됩니다. 직선과 평면의 교차점의 수평 투영을 찾으십시오(직선의 수평 투영에 있음). 경쟁 점의 방법을 사용하여 선의 가시성을 결정합니다. AB삼각형의 평면에 대해 CDE수평 투영 평면에서.
그림 1.59는 수평 투영 평면을 보여줍니다. 피그리고 일반 라인 AB... 왜냐하면 비행기 아르 자형투영의 수평면에 수직이고 직선과의 교차점을 포함하여 그 안에있는 모든 것이 투영의 수평 평면에 투영됩니다. AB... 따라서 복잡한 도면에서 직선과 평면의 교차점에 대한 수평 투영이 있습니다. 아르 자형... 직선상의 한 점에 속함으로써 직선의 교차점의 정면 투영을 찾습니다. AB비행기로 아르 자형... 돌출부의 정면에서 직선의 가시성을 결정하십시오.
쌀. 1.58 그림. 1.59
그림 1.58은 직선 교차점의 투영을 구성하기 위한 포괄적인 도면을 제공합니다. AB수평으로 G. 정면 평면 추적 G정면 투영입니다. 평면 교차점의 정면 투영 G직선으로 AB직선의 정면 투영과 평면의 정면 궤적의 교차점에서 정의됩니다. 교차점의 정면 투영이 있으면 직선 교차점의 수평 투영을 찾습니다. AB비행기로 G.
그림 1.57은 삼각형으로 정의된 일반적인 위치 평면을 보여줍니다. CDE및 전면 돌출 직선 AB? 점에서 교차 평면 케이.점의 정면 투영 - 케이 /점과 일치 ㅏ /그리고 비/. 교차점의 수평 투영을 구성하려면 점을 통해 그립니다. 케이비행기에서 CDE직선(예: 1-2 ). 정면 투영을 만든 다음 수평 투영을 만들어 보겠습니다. 점 케이선의 교차점입니다 AB그리고 1-2. 그것이 핵심이야 케이동시에 직선에 속한다 AB삼각형의 평면이므로 교차점입니다.
두 평면의 교차점.두 평면의 교차 직선은 두 평면에 각각 속하는 두 점 또는 두 평면에 속하는 한 점과 알려진 선의 방향으로 정의됩니다. 두 경우 모두 작업은 두 평면에 공통적인 점을 찾는 것입니다.
투영 평면의 교차.두 평면은 서로 평행하거나 교차할 수 있습니다. 평면의 상호 교차의 경우를 고려하십시오.
두 평면의 상호 교차점에서 얻은 직선은 두 평면에 각각 속하는 두 점에 의해 완전히 결정되므로 주어진 두 평면의 교차선에 속하는 두 점을 찾는 것이 필요하고 충분합니다.
따라서 일반적으로 두 평면의 교차선을 구성하려면 두 평면에 각각 속하는 두 점을 찾아야 합니다. 이 점은 평면의 교차선을 정의합니다. 이 두 점 각각을 찾으려면 일반적으로 특별한 구성을 수행해야 합니다. 그러나 교차 평면 중 적어도 하나가 투영 평면에 수직 (또는 평행)하면 교차 선 투영의 구성이 단순화됩니다.
쌀. 1.60 그림. 1.61
평면이 추적으로 제공되는 경우 쌍으로 동일한 평면의 추적 교차점에서 평면 교차선을 정의하는 점을 찾는 것이 자연스럽습니다. 이 점을 통과하는 선은 두 가지 모두에 대해 공통입니다. 비행기, 즉 그들의 교차점.
교차 평면 중 하나(또는 둘 다)의 위치에 대한 특별한 경우를 고려하십시오.
복잡한 도면(그림 1.60)은 수평으로 투영된 평면을 보여줍니다. 피그리고 큐.그런 다음 교차선의 수평 투영은 점으로 퇴화하고 정면 투영은 축에 수직 인 직선으로 퇴화합니다. 황소.
복잡한 도면(그림 1.61)은 특정 위치의 평면을 보여줍니다. 평면 아르 자형수평 투영 평면(수평 투영 평면) 및 평면에 수직 큐- 수평 레벨의 평면. 이 경우 교차선의 수평 투영은 평면의 수평 추적과 일치합니다. 아르 자형, 그리고 정면 - 비행기의 정면 흔적 큐.
트레이스로 평면을 지정하는 경우 이러한 평면이 교차한다는 것을 쉽게 설정할 수 있습니다. 같은 이름의 트레이스가 적어도 한 쌍이 교차하면 평면이 교차합니다.
전술한 것은 교차 궤적에 의해 정의된 평면을 의미한다. 두 평면에 수평 및 정면 평면에서 서로 평행한 트레이스가 있는 경우 이러한 평면은 평행하거나 교차할 수 있습니다. 이러한 평면의 상대 위치는 세 번째 투영(세 번째 추적)을 구성하여 판단할 수 있습니다. 세 번째 투영에서 두 평면의 궤적도 평행하면 평면이 서로 평행합니다. 세 번째 평면의 궤적이 교차하면 공간에 지정된 평면이 교차합니다.
복잡한 도면(그림 1.62)은 삼각형으로 정의된 전면 투영 평면을 보여줍니다. 알파벳그리고 방어력... 정면 투영 평면의 교차선 투영은 점입니다. 삼각형은 돌출부의 정면 평면에 수직이기 때문에 교차선도 돌출부의 전면 평면에 수직입니다. 따라서 삼각형의 교차선의 수평 투영 ( 12 )은 축에 수직입니다. 황소.수평 투영 평면에서 삼각형 요소의 가시성은 경쟁 점(3,4)을 사용하여 결정됩니다.
복잡한 도면(그림 1.63)에는 두 개의 평면이 제공됩니다. 그 중 하나는 삼각형입니다. 알파벳일반적인 위치, 다른 - 삼각형 방어력돌출부의 정면 평면에 수직, 즉 사적인 위치에서(전면 투영). 삼각형의 교차선의 정면 투영 ( 1 / 2 / )는 두 삼각형에 동시에 속하는 공통점을 기반으로 합니다(앞으로 돌출된 삼각형에 있는 모든 것). 방어력정면 투영에 선 - 삼각형과의 교차 선을 포함하여 정면 평면에 투영 알파벳.삼각형의 변에 교차점을 포함함으로써 알파벳, 우리는 삼각형의 교차선의 수평 투영을 찾습니다. 경쟁 점의 방법을 사용하여 수평 투영 평면에서 삼각형 요소의 가시성을 결정합니다.
쌀. 1.63 그림. 1.64
그림 1.64는 일반적인 위치에서 삼각형으로 정의된 두 평면의 복잡한 그림을 보여줍니다. 알파벳및 수평 투영 평면 아르 자형흔적으로 주어집니다. 비행기 이후로 아르 자형- 수평으로 돌출된 다음 삼각형 평면과의 교차선을 포함하여 그 안에 있는 모든 것 알파벳, 수평 투영에서
수평 트랙. 이러한 평면의 교차선의 정면 투영은 요소(변)의 점이 일반적인 위치에서 평면에 속한다는 조건에서 발견됩니다.
궤적이 아닌 일반적인 위치에서 평면을 지정하는 경우 평면의 교차선을 구하려면 한 삼각형의 변과 다른 삼각형의 평면이 만나는 지점을 차례로 찾습니다. 일반 위치의 평면이 삼각형으로 지정되지 않은 경우 이러한 평면의 교차선은 교대로 두 개의 보조 할선 평면(삼각형으로 평면 지정용) 또는 다른 모든 경우의 수평을 도입하여 찾을 수 있습니다.
일반 위치에 있는 평면과 일반 위치에 있는 직선의 교차.이전에는 평면 중 하나가 투영될 때 평면이 교차하는 경우를 고려했습니다. 이를 기반으로 추가 투영 평면 매개체를 도입하여 일반 위치의 직선과 일반 위치의 평면의 교차점을 찾을 수 있습니다.
일반 위치에서 평면의 교차를 고려하기 전에 일반 위치에서 평면과 일반 위치에서 직선의 교차를 고려하십시오.
일반 위치에 있는 평면과 일반 위치에 있는 직선의 만남 지점을 찾으려면 다음이 필요합니다.
1) 보조 투영 평면에 직선을 둘러싸고,
2) 주어진 평면과 보조 평면의 교차선을 찾고,
두 평면(교차선)과 직선에 동시에 속하는 공통 점을 정의합니다.
쌀. 1.65 그림. 1.66
쌀. 1.67 그림. 1.68
복잡한 그림 (그림 1.65)은 삼각형을 보여줍니다 CDE일반적인 입장과 직접 AB일반적인 입장. 직선과 평면의 교차점을 찾기 위해 직선을 결론짓습니다. AB 큐... 교차선 찾기( 12 ) 중재 평면의 큐그리고 주어진 비행기 CDE... 교차선의 수평 투영을 구성 할 때 공통점이 있습니다. 에게, 두 평면과 주어진 직선에 동시에 속함 AB... 점의 소속에서 직선으로의 직선과 주어진 평면의 교차점의 정면 투영을 찾습니다. 투영 평면에서 선 요소의 가시성은 경쟁 점을 사용하여 결정됩니다.
그림 1.66은 직선의 만나는 점을 찾는 예를 보여줍니다. AB, 이것은 수평선(직선은 투영의 수평면과 평행함)과 평면 아르 자형, 일반적인 위치에서 추적으로 제공됩니다. 그들의 교차점을 찾기 위해 직선 AB수평 투영 평면 Q에 있습니다. 그런 다음 위의 예와 같이 진행하십시오.
수평으로 투영된 선의 만남 지점을 찾으려면 AB일반적인 위치에있는 평면으로 (그림 1.67), 평면과 직선의 만남 지점을 통해 (수평 투영은 직선 자체의 수평 투영과 일치) 수평선을 그립니다 (즉, 묶습니다 평면과 직선이 평면으로 만나는 점 아르 자형). 평면에서 그려진 수평선의 정면 투영을 찾은 후 아르 자형, 직선의 만남 지점의 정면 투영을 표시 AB비행기로 아르 자형.
트레이스로 정의되는 일반적인 위치에서 평면의 교차선을 찾으려면 두 평면에 동시에 속하는 두 개의 공통 점을 표시하는 것으로 충분합니다. 이러한 점은 트랙의 교차점입니다(그림 1.68).
두 개의 삼각형(그림 1.69)으로 정의되는 일반적인 위치에서 평면의 교차선을 찾기 위해 연속적으로 점을 찾습니다.
한 삼각형의 변은 다른 삼각형의 평면과 만난다. 임의의 삼각형에서 두 변을 가져 와서 중재자의 투영 평면에 묶으면 두 삼각형에 동시에 속하는 두 점이 있습니다 - 교차선.
그림 1.69는 복잡한 삼각형 그림을 보여줍니다. 알파벳그리고 방어력일반적인 입장. 이 평면의 교차선을 찾으려면:
1. 우리는 측면을 결론 태양삼각형 알파벳전면 투영 평면에 에스(비행기 선택은 완전히 임의적입니다).
2. 평면의 교차선 찾기 에스그리고 비행기 방어력 – 12 .
3. 만나는 지점의 수평 투영 표시(두 삼각형의 공통점) 에게 12번 교차로에서 태양직선의 정면 투영에서 정면 투영을 찾으십시오. 태양.
4. 두 번째 보조 투영 평면 그리기 큐건너편 DF삼각형 방어력.
5. 평면의 교차선 찾기 큐그리고 삼각형 ABC - 3 4.
6. 점의 수평 투영 표시 엘, 파티의 만남의 장소 DF삼각형의 평면으로 알파벳그리고 정면 투영을 찾으십시오.
7. 우리는 같은 이름의 포인트의 투영을 연결합니다 에게그리고 엘. 카 엘- 삼각형으로 정의되는 일반적인 위치에서 평면의 교차선 알파벳그리고 방어력.
8. 경쟁 점의 방법을 사용하여 투영 평면에서 삼각형 요소의 가시성을 결정합니다.
위의 내용은 평행 평면의 주선에 대해 유효하므로 다음과 같이 말할 수 있습니다. 같은 이름의 추적이 평행하면 평면은 평행합니다.(그림 1.71).
그림 1.72는 주어진 평면에 평행하고 한 점을 통과하는 평면의 구성을 보여줍니다. ㅏ.첫 번째 경우에는 포인트를 통해 ㅏ직선(정면)은 주어진 평면에 평행하게 그려집니다. G... 따라서 비행기 아르 자형주어진 평면에 평행한 직선을 포함하는 G그리고 그것에 평행합니다. 두 번째 경우에는 점을 통해 ㅏ이 선이 주어진 평면에 평행하다는 조건에서 주선으로 지정된 평면이 그려집니다. G.
서로 수직인 평면.하나의 비행기가 포함하는 경우
다른 평면에 수직인 적어도 하나의 직선, 그런 다음
평면은 수직입니다.그림 1.73 표시된 것은 서로 수직인 평면입니다. 그림 1.74는 점을 통해 지정된 수직 평면의 구성을 보여줍니다 ㅏ,평면의 직선(이 경우에는 주선)의 직각도 조건을 사용합니다.
첫 번째 경우에는 포인트를 통해 ㅏ정면은 평면에 수직으로 그려집니다. 아르 자형, 수평 트레이스가 생성되고 평면의 수평 트레이스가 이를 통해 그려집니다. 큐,수평 평면 트레이스에 수직 아르 자형... 트랙의 결과 소실점을 통해 큐 엑스비행기의 정면 궤적이 그려집니다 큐정면 평면 트레이스에 수직 아르 자형.
두 번째 경우에는 삼각형의 평면에 수평선이 그려집니다. BE그리고 정면 BF그리고 주어진 포인트를 통해 ㅏ삼각형의 평면에 수직인 교차하는 직선(주선)으로 평면을 설정합니다. 이렇게 하려면 점을 통해 그립니다. ㅏ수평 및 정면. 원하는 평면의 수평선의 수평 투영( N) 우리는 삼각형의 수평의 수평 투영에 수직으로 그립니다. 새로운 평면의 정면의 정면 투영 ( 중) - 정면 삼각형의 정면 투영에 수직입니다.
공간에서 직선과 평면의 상대 위치는 세 가지 경우를 허용합니다. 직선과 평면은 한 점에서 교차할 수 있습니다. 그것들은 평행할 수 있습니다. 마지막으로, 직선은 평면에 놓일 수 있습니다. 직선과 평면에 대한 특정 상황의 설명은 설명하는 방식에 따라 다릅니다.
평면 π가 일반 방정식 π: Ax + By + Cz + D = 0으로 주어지고 선 L이 정규 방정식 (x - x 0) / l = (y - y 0) / m으로 주어졌다고 가정합니다. = (z - z 0) / n. 직선의 방정식은 직선상의 점 M 0 (x 0; y 0; z 0)의 좌표와 이 직선의 방향 벡터 s = (l; m; n)의 좌표를 제공합니다. 평면의 방정식은 법선 벡터 n = (A, B, C)의 좌표를 제공합니다.
직선 L과 평면 π가 교차하면 직선의 방향 벡터 s는 평면 π와 평행하지 않습니다. 따라서 평면의 법선 벡터 n은 벡터 s와 직교하지 않습니다. 그들의 내적은 0이 아닙니다. 선과 평면의 방정식의 계수를 통해 이 조건은 부등식 A1 + Bm + Cn ≠ 0의 형태로 작성됩니다.
선과 평면이 평행하거나 선이 평면에 있는 경우 조건 s ⊥ n이 충족되며 좌표에서 Al + Bm + Cn = 0이 됩니다. "평행"과 " 그 선은 평면에 속한다'라는 문구가 나오면, 주어진 평면의 직선의 점인지 확인이 필요하다.
따라서 직선과 평면의 상대 위치에 대한 세 가지 경우는 모두 해당 조건을 확인하여 구분됩니다.
라인 L이 일반 방정식으로 주어진다면:
직선과 평면 π의 상대 위치는 다음과 같이 분석할 수 있습니다. 직선의 일반 방정식과 평면의 일반 방정식에서 다음을 구성합니다. 세 선형 방정식의 시스템세 가지 미지의
이 시스템에 솔루션이 없으면 선은 평면과 평행합니다. 고유한 솔루션이 있는 경우 선과 평면은 단일 점에서 교차합니다. 후자는 다음 사실과 동일합니다. 시스템 식별자 (6.6)
0이 아닌 마지막으로, 시스템(6.6)에 무한히 많은 솔루션이 있는 경우 선은 평면에 속합니다.
직선과 평면 사이의 각도.직선 L: (x - x 0) / l = (y - y 0) / m = (z - z 0) / n과 평면 π: Ax + By + Cz + D = 0 사이의 각도 φ는 다음과 같습니다. 0 ° (평행도의 경우) ~ 90 ° (직선과 평면의 직각도의 경우) 범위. 이 각도의 사인은 |cosψ |와 같으며, 여기서 ψ는 직선 s의 방향 벡터와 평면의 법선 벡터 n 사이의 각도입니다(그림 6.4). 좌표로 두 벡터 사이의 각도 코사인을 계산하면((2.16) 참조) 다음을 얻습니다.
선과 평면의 직각도 조건은 평면의 법선 벡터와 선의 방향 벡터가 동일선상에 있다는 사실과 같습니다. 벡터의 좌표를 통해 이 조건은 이중 등식의 형태로 작성됩니다.
스트레이트 캔 비행기에 속하다, 그녀가 되어라 평행 한또는 십자가비행기. 직선과 평면에 속하는 두 점의 표고가 같은 경우 직선은 평면에 속합니다.... 위의 결과는 다음과 같습니다. 이 평면에 있는 직선에 속하는 점은 평면에 속합니다.
이 평면에 있는 직선과 평행하면 직선은 평면에 평행합니다.
평면과 교차하는 직선.직선과 평면의 교차점을 찾으려면 다음이 필요합니다(그림 3.28).
1) 주어진 선 m을 통해 보조 평면을 그립니다. 티;
2) 라인을 구축 N주어진 평면 Σ와 보조 평면 T의 교차점;
3) 교차점 표시 아르 자형,주어진 직선 중교차선으로 N.
문제를 고려하십시오 (그림 3.29) 직선 m은 점에 의해 평면에 주어집니다 6및 35 °의 경사각. 이 선을 통해 보조 수직 평면이 그려집니다. 티,선을 따라 평면 Σ와 교차하는 N (B 2 C 3). 따라서 직선과 평면의 상대 위치에서 동일한 수직 평면에 있는 두 직선의 상대 위치로 이동합니다. 이 문제는 이러한 직선의 프로파일을 구성하여 해결됩니다. 직선의 교차점 중그리고 N프로필에서 원하는 지점을 정의합니다. 아르 자형... 점 표고 아르 자형수직 스케일의 스케일에 의해 결정됩니다.
평면에 수직인 직선입니다. 이 평면의 교차하는 두 직선에 수직인 직선은 평면에 수직입니다. 그림 3.30은 직선을 보여줍니다. 중평면 Σ에 수직이고 점 A에서 교차합니다. 평면에서 직선의 투영 중평면의 수평은 서로 수직입니다 (한 쪽이 돌기의 평면과 평행 한 직각은 왜곡없이 투영됩니다. 두 직선은 동일한 수직 평면에 있으므로 이러한 직선의 위치는 서로 크기가 반비례합니다. 엘 m = 내가 / 내가유. 하지만 엘 uΣ = 엘∑ 그럼 엘 m = 내가 / 내가Σ, 즉 직선 m의 위치는 평면의 위치에 반비례한다. 직선에 가까운 낙하와 평면은 다른 방향으로 향합니다.
3.4. 수치적 고도 예측. 표면
3.4.1 다면체와 곡면 지형면
자연에서 많은 물질은 다면체 형태의 결정 구조를 가지고 있습니다. 다면체는 같은 평면에 있지 않은 평평한 다각형의 모음으로, 그 중 한 쪽의 각 측면이 동시에 다른 쪽의 측면입니다. 다면체를 묘사 할 때 정점의 투영을 표시하고 직선으로 특정 순서로 연결하는 것으로 충분합니다. 즉, 모서리의 투영입니다. 이 경우 보이는 모서리와 보이지 않는 모서리를 도면에 표시해야 합니다. 그림에서. 3.31은 프리즘과 피라미드를 묘사할 뿐만 아니라 이러한 표면에 속하는 점의 고도를 찾습니다.
볼록 다각형의 특수 그룹은 모든 면이 동일한 정다각형이고 모든 다각형 각도가 동일한 정다각형 그룹입니다. 정다각형에는 5가지 유형이 있습니다.
사면체- 정삼각형으로 둘러싸인 정사각형에는 4개의 꼭짓점과 6개의 모서리가 있습니다(그림 3.32a).
육면체- 정육각형(입방체) - 8개의 꼭짓점, 12개의 모서리(그림 3.32b).
팔면체- 8개의 정삼각형으로 둘러싸인 정팔면체 - 6개의 꼭짓점, 12개의 모서리(그림 3.32c).
십이 면체- 12개의 정오각형으로 둘러싸여 있고 각 꼭짓점 근처에서 3개로 연결된 정십이면체.
20개의 꼭짓점과 30개의 모서리가 있습니다(그림 3.32 d).
정이십면체- 정삼각형 20개로 경계를 이루는 정삼각형, 각 꼭짓점 근처에 5개로 연결된 정삼각형 12개의 꼭짓점과 30개의 모서리(그림 3.32 e).
다면체의 면에 있는 점을 구성할 때 이 면에 속하는 선을 그리고 투영에 점의 투영을 표시해야 합니다.
원추형 표면은 곡선 가이드를 따라 직선 모선을 움직여 모든 위치에서 모선이 고정된 지점(표면의 상단)을 통과하도록 하여 형성됩니다. 평면에서 일반 뷰의 원추형 표면은 수평 안내선과 꼭짓점으로 표시됩니다. 그림에서. 3.33은 원추형 표면의 한 점의 고도 위치를 보여줍니다.
직선 원뿔은 일정한 간격으로 그려진 일련의 동심원으로 표시됩니다(그림 3.34a). 원형 베이스가 있는 타원형 원뿔 - 일련의 편심 원(그림 3.34 b)
구면. 구면을 회전면이라고 합니다. 직경을 중심으로 원을 회전시켜 형성됩니다. 평면에서 구면은 중심에 의해 정의됩니다. 에게윤곽 중 하나의 투영 (구의 적도) (그림 3.35).
지형 표면. 지형면은 기하학적 형성 법칙이 없기 때문에 기하학적으로 불규칙한 표면이라고 합니다. 표면을 특성화하기 위해 투영 평면에 대한 특성 점의 위치가 결정됩니다. 그림에서. 3.3 b 및 개별 점의 투영이 표시된 지형 표면 단면의 예가 제공됩니다. 그러한 계획은 묘사된 표면의 모양에 대한 아이디어를 얻는 것을 가능하게 하지만 매우 명확하지 않습니다. 도면을 더 명확하게 하고 판독을 용이하게 하기 위해 동일한 고도를 가진 점의 투영은 등고선(등각선)이라고 하는 부드러운 곡선으로 연결됩니다(그림 3.36b).
지형 표면의 수평은 때때로 동일한 거리에서 서로 이격된 수평 평면과 이 표면의 교차선으로 정의됩니다(그림 3.37). 인접한 두 등고선 사이의 고도 차이를 단면 높이라고 합니다.
지형면의 이미지가 정확할수록 인접한 두 윤곽 사이의 고도 차이가 작아집니다. 평면도에서 등고선은 도면 내부 또는 외부에서 닫힙니다. 표면의 가파른 경사면에서는 등고선의 투영이 수렴되고 완만한 경사에서는 투영이 발산합니다.
평면에서 인접한 두 윤곽선의 투영 사이의 최단 거리를 시작이라고 합니다. 그림에서. 3.38 포인트 통과 ㅏ지형면에 여러 개의 직선 세그먼트가 그려집니다. 당신 은요그리고 기원 후... 그들은 모두 다른 입사각을 가지고 있습니다. 가장 큰 입사각에는 세그먼트가 있습니다. 처럼, 그 배치는 최소값을 갖습니다. 따라서이 장소에서 표면의 입사선의 투영이됩니다.
그림에서. 3.39는 주어진 점을 통과하는 입사선의 투영을 구성하는 예입니다. ㅏ... 지점에서 100, 중심에서와 같이 점에서 가장 가까운 수평선에 접하는 원호를 그립니다. T 90... 점 90에서,수평의 시간 90,가을 라인에 속합니다. 지점에서 T 90점에서 다음 수평과 접하는 호를 그립니다. C 80,등. 도면에서 지형면의 입사선은 파선이며 각 링크는 수평에 수직이며 링크의 하단을 통과하며 하단 표시가 있습니다.
3.4.2 평면에 의한 원추면의 교차
절단면이 원추형 표면의 정점을 통과하면 표면을 형성하는 직선을 따라 절단면과 교차합니다. 다른 모든 경우에 단면선은 원, 타원 등의 평평한 곡선이 됩니다. 평면에 의해 원추면이 교차하는 경우를 고려하십시오.
예 1. 원뿔 Φ( h 약 , 에스 5) 평면 Ω이 원추형 표면의 모선에 평행합니다.
평면의 주어진 위치에 대한 원추형 표면은 포물선에서 교차합니다. 생성자 보간 티우리는 원뿔의 수평을 만듭니다 - 중심이 있는 동심원 에스 5 . 그런 다음 평면과 원뿔의 동일한 이름의 등고선의 교차점을 정의합니다 (그림 3.40).
3.4.3. 평면과 직선이 있는 지형면의 교차점
지형면과 평면이 교차하는 경우는 지질 문제를 해결하는 데 가장 자주 접하게 됩니다. 그림에서. 3.41 평면 Σ와 지형면의 교차점을 구성하는 예가 제공됩니다. 곡선을 찾고 중같은 이름의 평면과 지형면의 등고선의 교차점에 의해 결정됩니다.
그림에서. 3.42 수직면 Σ를 사용하여 지형면의 실제 보기를 구성하는 예가 제공됩니다. 구한 선 m은 점에 의해 결정됩니다. A, B, C… 절단면 Σ와 지형면의 등고선의 교차점. 평면에서 곡선의 투영은 평면의 투영과 일치하는 직선으로 퇴화합니다. 중≡ ≡ ≡ 곡선 m의 프로파일은 평면상의 점 투영 위치와 고도를 고려하여 작성됩니다.
3.4.4. 등사면
동일한 기울기의 표면은 괘선 표면이며, 모든 직선 생성기는 수평면과 일정한 각도를 만듭니다. 이러한 표면은 평면의 평면에 수직인 축이 있는 직선 원뿔을 이동하여 해당 정점이 특정 가이드를 따라 미끄러지고 축이 어떤 위치에서든 수직으로 유지되도록 하여 얻을 수 있습니다.
그림에서. 3.43은 공간 곡선에 의해 안내되는 동일한 기울기(i = 1/2)의 표면을 보여줍니다. A, B, C, D.
졸업 비행기. 예를 들어 도로의 경사면을 고려하십시오.
예 1. 도로의 길이 방향 경사 i = 0, 제방 경사의 경사 i n = 1: 1.5, (그림 3.44a). 가로로 1m를 그려야 합니다. 솔루션은 다음과 같이 요약됩니다. 우리는 도로 가장자리에 수직 인 평면의 기울기의 눈금을 그리고 선형 눈금에서 가져온 1.5m 간격과 같은 거리에 점을 표시하고 표시 49, 48 및 47을 결정합니다. 얻은 점 우리는 도로 가장자리에 평행 한 경사의 윤곽을 그립니다.
예 2. 도로의 세로 경사 i ≠ 0, 제방 경사 i n = 1: 1.5(그림 3.44b). 노면의 평면이 눈금이 매겨집니다. 노반의 경사는 다음과 같이 등급이 매겨집니다. 상단이 50.00인 점(또는 다른 점)에서 원뿔의 정점을 놓고 제방 경사의 간격과 같은 반지름을 가진 원을 묘사합니다(이 예에서는 엘= 1.5m). 원뿔의 이 윤곽선의 높이는 꼭짓점의 높이보다 하나 작을 것입니다. 49m 우리는 여러 개의 원을 그리고 등고선 48, 47의 표시를 얻습니다. 이와 관련하여 표시 49, 48, 47이 있는 가장자리의 점에서 제방 경사면의 수평선을 그립니다.
표면의 졸업.
예 3. 도로의 종방향 경사 i = 0이고 제방 경사의 경사가 1:1.5이면 수평 경사는 경사 눈금의 점을 통해 그려지며 간격은 의 간격과 같습니다 제방 경사(그림 3.45a). 공통 규범(기울기 척도) 방향으로 인접한 등고선의 두 투영 사이의 거리는 모든 곳에서 동일합니다.
예 4. 도로의 종방향 경사가 i ≠ 0이고 제방 경사의 경사가 in = 1:1.5인 경우(그림 3.45b), 경사면의 등고선을 제외하고 등고선은 동일한 방식으로 작성됩니다. 직선이 아닌 곡선으로 그려집니다.
3.4.5. 토공 한계선의 결정
대부분의 토양은 수직 벽을 유지할 수 없기 때문에 경사면(인공 구조물)을 건설해야 합니다. 경사에 의해 부여되는 경사는 토양에 따라 다릅니다.
지표면의 플롯을 특정 경사가 있는 평면 모양으로 나타내려면 토공 및 제로 작업의 한계선을 알아야 합니다. 계획된 영역을 구분하는 이 선은 지정된 지형 표면과 제방 경사와 절토 경사의 교차로 표시됩니다.
각 면(평면 포함)은 등고선을 사용하여 묘사되기 때문에 면의 교차선은 동일한 표고를 가진 등고선의 교차점 집합으로 구성됩니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예 1. 그림에서. 3.46은 평면에 서 있는 잘린 사각형 피라미드 형태의 흙 구조가 주어집니다. N... 어퍼 베이스 ABCD피라미드에는 표시가 있습니다 4m그리고 측면의 크기 2 × 2.5m... 측면(제방 경사면)은 2:1 및 1:1의 경사를 가지며 방향은 화살표로 표시됩니다.
구조의 경사면과 평면의 교차선을 만들 필요가 있습니다. N대칭 축을 따라 길이 방향 프로파일을 구축할 뿐만 아니라 그들 사이에 형성됩니다.
먼저, 주어진 경사면에 대한 경사면, 간격 및 축척의 다이어그램이 작성됩니다. 부지의 각 측면에 수직으로 경사면의 경사면의 눈금이 지정된 간격으로 그려진 후 인접한 면의 동일한 표고를 가진 등고선의 투영이 투영인 경사면의 교차선입니다. 이 피라미드의 측면 가장자리.
피라미드의 아래쪽 바닥은 경사면의 제로 윤곽과 일치합니다. 이 흙 구조물이 수직면과 교차하면 큐, 섹션에서 구조의 세로 프로파일 인 파선이 나타납니다.
실시예 2... 평평한 사면과 서로 피트 슬로프의 교차선을 구성합니다. 맨 아래 ( ABCD) 구덩이의 높이가 10m이고 치수가 3 × 4m인 직사각형 영역입니다. 대지의 축은 남북선과 5°의 각도를 이룬다. 굴착의 경사는 2:1의 동일한 경사를 갖는다(그림 3.47).
제로 워크 라인은 지형 계획에 따라 설정됩니다. 그것은 고려중인 표면 윤곽의 동일한 투영의 교차점에 따라 만들어집니다. 경사면의 등고선과 표고가 동일한 지형면의 교차점에서이 구덩이의 측면 가장자리의 투영인 경사면의 교차선이 발견됩니다.
이 경우 굴착의 측면 경사는 굴착 바닥에 인접합니다. 라인 ABCD- 구한 교차선. Aa, Bb, Сс, Dd- 구덩이의 가장자리, 경사면이 서로 교차하는 선.
4. "직사각형 투영"주제에 대한 독립적 인 작업 및 자제에 대한 질문
점
4.1.1. 투영 방법의 본질.
4.1.2. 포인트 프로젝션이란 무엇입니까?
4.1.3. 투영 평면은 어떻게 호출되고 지정됩니까?
4.1.4. 도면에서 투영 연결의 선은 무엇이며 투영 축과 관련하여 도면에서 어떻게 위치합니까?
4.1.5. 점의 세 번째(프로파일) 투영을 만드는 방법은 무엇입니까?
4.1.6. 세 장의 그림에서 점 A, B, C의 세 투영을 만들고 좌표를 적고 표를 채우십시오.
4.1.7. 누락된 투영 축 x A = 25, y A = 20을 구성합니다. 점 A의 프로파일 투영을 구성합니다.
4.1.8. A(25,20,15), B(20,25,0) 및 C(35,0,10)의 좌표를 따라 점의 세 가지 투영을 구성합니다. 평면 및 투영 축을 기준으로 점의 위치를 지정합니다. 어느 점이 평면 P 3에 더 가깝습니까?
4.1.9. 재료 점 A와 B가 동시에 떨어지기 시작합니다. 점 A가 땅에 닿을 때 점 B는 어디에 있습니까? 점의 가시성을 결정합니다. 새 위치에 점을 구성합니다.
4.1.10. 점이 평면 P 3에 있고 평면 P 1까지의 거리가 20mm이고 평면 P 2 - 30mm인 경우 점 A의 3개의 투영을 구성합니다. 점의 좌표를 기록하십시오.
똑바로
4.2.1. 도면에서 직선을 지정하는 방법은 무엇입니까?
4.2.2. 일반적인 위치에서 직선이라고하는 선은 무엇입니까?
4.2.3. 투영면에 대해 직선이 차지할 수 있는 위치는?
4.2.4. 직선의 투영이 언제 점으로 변합니까?
4.2.5. 직선 레벨의 복잡한 도면의 특징은 무엇입니까?
4.2.6. 이 직선의 상대 위치를 결정하십시오.
... ㄴ ... ㄴ ... ㄴ
4.2.7. 평면에 평행하고 길이가 20mm인 직선 세그먼트 AB의 투영을 구성합니다. a) P 2; b) P 1; c) 황소 축. 투영 평면에 대한 세그먼트의 경사 각도를 지정합니다.
4.2.8. A(30,10,10), B(10,15,30)의 끝 좌표에 따라 세그먼트 AB의 투영을 구성합니다. AC: CB = 1:2와 관련하여 세그먼트를 나누는 점 C의 투영을 구성합니다.
4.2.9. 주어진 다면체의 모서리 수와 투영 평면에 상대적인 위치를 결정하고 기록합니다.
4.2.10. 직선 m과 교차하는 점 A를 지나는 수평선과 정면선을 그립니다.
4.2.11. 선 b와 점 A 사이의 거리 결정
4.2.12. 점 A를 통과하고 평면 a) P 2에 수직인 길이 20mm의 선분 AB의 투영을 구성합니다. b) P 1; 다) P 3.
입체 측정법
직선과 평면의 상호배치
우주에서
선과 평면의 평행도
공간의 두 줄을 호출합니다. 평행 한 그들이 같은 평면에 있고 교차하지 않는 경우.
선과 평면을 호출합니다. 평행 한 겹치지 않는 경우.
두 비행기를 호출 평행 한 겹치지 않는 경우.
교차하지 않고 같은 평면에 있지 않은 선을 교배 .
직선과 평면의 평행도... 평면에 속하지 않는 직선이 이 평면의 어떤 직선과 평행하면 평면 자체에도 평행합니다.
평면의 평행도... 한 평면에서 교차하는 두 직선이 다른 평면의 두 직선에 각각 평행하면 이 평면은 평행합니다.
직선 교차... 두 선 중 하나가 평면에 있고 다른 하나가 첫 번째 선에 속하지 않는 점에서 이 평면과 교차하면 이 선이 교차합니다.
평행 직선과 평행 평면에 대한 정리.
1. 세 번째 선에 평행한 두 선은 평행합니다.
2. 두 평행선 중 하나가 평면과 교차하면 다른 선도 이 평면과 교차합니다.
3. 주어진 직선 밖의 한 점을 지나, 주어진 직선과 평행한 직선은 하나만 그릴 수 있습니다.
4. 선이 두 개의 교차 평면 각각에 평행하면 교차 선과 평행합니다.
5. 두 개의 평행한 평면이 세 번째 평면과 교차하는 경우 교차선은 평행합니다.
6. 주어진 평면에 있지 않은 점을 통해 주어진 평면과 평행한 평면을 그릴 수 있습니다. 단 하나.
7. 세 번째 평면에 평행한 두 평면은 서로 평행합니다.
8. 평행한 평면 사이에 있는 평행한 직선의 단면은 동일합니다.
선과 평면 사이의 각도
직선과 평면이 이루는 각직선과 평면에 대한 투영 사이의 각도라고 합니다(그림 1의 각도).
교차선 사이의 각도주어진 교차 직선에 평행한 교차 직선 사이의 각도라고 합니다.
이면각공통 직선을 가진 두 개의 반면으로 이루어진 도형이라고 합니다. 반평면이라고 합니다. 패싯 , 일직선 - 가장자리 이면각.
선형 각도 2면체 각도는 가장자리의 한 점에서 시작하여 가장자리에 수직인 2면체 각도의 면에 속하는 반선 사이의 각도라고 합니다(그림 2의 각도).
2면체 각도의 차수(라디안) 측정값은 선형 각도의 차수(라디안) 측정값과 같습니다.
선과 평면의 직각도
2개의 라인이 호출된다. 수직 직각으로 교차하는 경우.
평면과 교차하는 직선을 이라고 합니다. 수직 이 평면, 이 직선과 평면의 교차점을 통과하는 평면의 임의의 직선에 수직인 경우.
두 비행기를 호출 수직 교차하면 직각 2면각을 형성합니다.
선과 평면의 직각도 기호... 평면을 교차하는 직선이 이 평면에서 교차하는 두 직선에 수직이면 평면에 수직입니다.
두 평면의 직각도 기호... 평면이 다른 평면에 수직인 직선을 통과하면 이 평면은 수직입니다.
수직선과 평면에 대한 정리.
1. 평면이 두 개의 평행한 직선 중 하나에 수직이면 다른 하나에도 수직입니다.
2. 두 직선이 같은 평면에 수직이면 평행합니다.
3. 직선이 두 평행한 평면 중 하나에 수직이면 다른 평면에도 수직입니다.
4. 두 평면이 동일한 직선에 수직이면 평행합니다.
수직 및 비스듬한
정리... 평면 외부의 한 점에서 수직선과 비스듬한 선을 그린 경우 다음을 수행합니다.
1) 동일한 돌출부를 갖는 기울어 진 것은 동일합니다.
2) 두 개의 경사진 것 중 더 큰 돌출부가 있는 것이 더 큽니다.
3) 동일한 사선은 동일한 투영을 가지고 있습니다.
4) 두 개의 돌기 중 더 큰 것이 더 큰 사선에 해당합니다.
세 개의 수직 정리... 평면에 놓인 직선이 경사진 직선과 수직이 되기 위해서는 이 직선이 경사진 돌기와 수직이 되어야 하고 충분해야 합니다(그림 3).
평면에 다각형의 직교 투영 영역에 대한 정리.평면에 대한 다각형의 직교 투영 영역은 다각형 평면과 투영 평면 사이의 각도 코사인에 의한 다각형 영역의 곱과 같습니다.
건설.
1. 비행기에서 ㅏ우리는 직선을 그립니다 ㅏ.
3. 비행기 안에서 비포인트를 통해 ㅏ직선을 그리자 비직선에 평행 ㅏ.
4. 직선 구축 비평면에 평행 ㅏ.
증거.직선과 평면의 평행도를 바탕으로 직선 비평면에 평행 ㅏ직선과 평행하기 때문에 ㅏ비행기에 속하는 ㅏ.
공부하다.문제는 직선이기 때문에 무한한 수의 솔루션을 가지고 있습니다. ㅏ비행기에서 ㅏ임의로 선택됩니다.
예 2.점이 평면에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 확인 ㅏ스트레이트라면 AB점으로부터의 거리인 45º의 각도로 평면을 가로지릅니다. ㅏ요점에 V평면에 속하는 것은 cm와 같습니까?
해결책.그림을 만들어 봅시다(그림 5).
처럼- 평면에 수직 ㅏ, AB- 경사, 각도 알파벳- 직선 사이의 각도 AB그리고 비행기 ㅏ... 삼각형 알파벳- 직사각형 이후 처럼- 수직. 점에서 원하는 거리 ㅏ비행기에 - 이것은 다리입니다 처럼정삼각형. 각도와 빗변 cm를 알면 다리를 찾을 수 있습니다. 처럼:
대답: 3cm
예 3.삼각형의 밑변과 높이가 각각 8cm인 경우 이등변 삼각형의 각 꼭짓점에서 13cm 떨어진 점은 이등변 삼각형의 평면에서 몇 m 거리에 있습니까?
해결책.그림을 만들어 봅시다(그림 6). 점 에스포인트에서 제거 ㅏ, V그리고 와 함께같은 거리. 비스듬한 의미 사, SB그리고 사우스캐롤라이나동일한, 그래서- 이 사선의 공통 수직선. 사선과 투영 정리에 의해 AO = BO = CO.
점 영형- 삼각형에 외접하는 원의 중심 알파벳... 반지름을 구해 봅시다.
어디 태양- 베이스;
기원 후이 이등변 삼각형의 높이입니다.
삼각형의 변 찾기 알파벳직각 삼각형에서 ABD피타고라스 정리에 의해:
이제 우리는 찾습니다 OV:
삼각형을 고려하십시오 흐느낌: SB= 13cm, OV= = 5cm 수직선의 길이 찾기 그래서피타고라스 정리에 의해:
대답: 12cm
예 4.평행 평면이 주어집니다. ㅏ그리고 비... 통과점 중어느 것에도 속하지 않는 것, 직접 ㅏ그리고 비그 십자가 ㅏ포인트로 ㅏ 1 및 V 1, 그리고 비행기 비- 포인트 ㅏ 2 및 V 2. 찾다 ㅏ 1 V 1. 알고 있는 경우 엄마 1 = 8cm, ㅏ 1 ㅏ 2 = 12cm, ㅏ 2 V 2 = 25cm.
해결책.조건이 두 평면에 대해 점이 어떻게 위치하는지를 나타내지 않기 때문에 중, 다음 두 가지 옵션이 가능합니다: (그림 7, a) 및 (그림 7, b). 각각을 고려해 보겠습니다. 두 개의 교차 선 ㅏ그리고 비비행기를 설정합니다. 이 평면은 두 개의 평행한 평면과 교차합니다. ㅏ그리고 비평행선에 ㅏ 1 V 1 및 ㅏ 2 V평행 직선과 평행 평면에 대한 정리 5에 따라 2.
삼각형 엄마 1 V 1 및 엄마 2 V 2가 비슷합니다(각도 ㅏ 2 뮤직비디오 2 및 ㅏ 1 뮤직비디오 1 - 수직, 모서리 엄마 1 V 1 및 엄마 2 V 2 - 평행선에서 내부 십자형 교차 ㅏ 1 V 1 및 ㅏ 2 V 2 및 시컨트 ㅏ 1 ㅏ 2). 변의 비례성은 삼각형의 유사성에서 비롯됩니다.
옵션 a):
옵션 b):
대답: 10cm와 50cm.
예 5.통과점 ㅏ비행기 G직접 AB평면과 각도 형성 ㅏ... 직선을 통해 AB그려진 평면 아르 자형평면으로 형성 G주입 비... 직선 투영 사이의 각도 찾기 AB비행기에서 G그리고 비행기 아르 자형.
해결책.그림을 만들어 봅시다(그림 8). 지점에서 V평면에 수직으로 떨어뜨리다 G... 평면 사이의 2면각의 선형 각도 G그리고 아르 자형각도가 직선입니까 기원 후 DBC, 직선과 평면의 수직성을 기준으로 하기 때문에, 평면의 수직성을 기준으로 평면 아르 자형삼각형의 평면에 수직 DBC직선으로 지나가기 때문에 기원 후... 점에서 수직선을 떨어뜨려 원하는 각도를 구성합니다. 와 함께비행기에서 아르 자형, 그것을 표시하십시오 직각 삼각형의이 모서리의 사인을 찾으십시오 내 자신... 보조 세그먼트 도입 에이 = BC... 삼각형 밖으로 알파벳: 삼각형에서 해군찾기
그런 다음 필요한 각도
대답:
자조 과제
레벨 I
1.1. 주어진 두 직선에 수직인 점을 지나는 직선을 그립니다.
1.2. 그릴 수 있는 평면의 수를 결정합니다.
1) 세 가지 다른 지점을 통해;
2) 4개의 다른 점을 통해, 어느 것도 같은 평면에 있지 않습니까?
1.3. 삼각형의 꼭짓점을 통해 알파벳두 평행한 평면 중 하나에 놓여 있는 두 번째 평면과 점에서 교차하는 평행 직선이 그려집니다. ㅏ 1 , V 1 , 와 함께하나 . 삼각형의 평등을 증명하십시오 알파벳그리고 ㅏ 1 V 1 와 함께 1 .
1.4. 위에서부터 ㅏ직사각형 ABCD복원 된 수직 이다비행기로.
1) 삼각형을 증명 MBC그리고 MDC- 직사각형;
2) 세그먼트 중에서 표시 메가바이트, MC, MD그리고 엄마가장 큰 길이와 가장 작은 길이의 세그먼트.
1.5. 한 이면각의 면은 다른 면과 각각 평행합니다. 이 이면각의 값 사이의 관계는 무엇인지 결정하십시오.
1.6. 한 면에서 취한 점에서 모서리까지의 거리가 점에서 두 번째 면의 평면까지의 거리의 2배인 경우 2면각의 값을 구합니다.
1.7. 평면에서 멀리 떨어진 지점에서 두 개의 동일한 경사를 그려서 60º의 각도를 형성합니다. 비스듬한 투영은 서로 수직입니다. 경사면의 길이를 찾으십시오.
1.8. 위에서부터 V정사각형 ABCD복원 된 수직 BE광장의 평면에. 삼각형 평면의 경사각 에이스정사각형의 평면에 제이, 정사각형의 측면은 ㅏ 에이스.
II 레벨
2.1. 두 개의 교차 선 중 어느 것에도 속하지 않는 점을 통해 주어진 두 선을 교차하는 선을 그립니다.
2.2. 평행선 ㅏ, 비그리고 와 함께같은 평면에 누워 있지 마십시오. 통과점 ㅏ직선으로 ㅏ직선에 수직으로 그려진 비그리고 와 함께점에서 각각 교차 V그리고 와 함께... 직선임을 증명하라 태양직선에 수직 비그리고 와 함께.
2.3. 상단을 가로질러 ㅏ정삼각형 알파벳그려진 평면 평행 태양... 삼각형 다리 처럼= 20cm, 태양= 15cm 다리 중 하나를 평면에 투영하는 것은 12cm이며 빗변의 투영을 찾으십시오.
2.4. 30º와 같은 2면각의 면 중 하나에 점이 있습니다. 중... 모서리에서 모서리까지의 거리는 18cm입니다. 점의 투영에서 거리를 찾으십시오. 중두 번째 면에서 첫 번째 면으로.
2.5. 세그먼트 끝 AB 90º와 같은 2면각의 면에 속합니다. 점으로부터의 거리 ㅏ그리고 V가장자리에 각각 동일 AA 1 = 3cm, 비비 1 = 6 cm, 모서리의 점 사이의 거리 선의 길이 찾기 AB.
2.6. 평면에서 멀리 떨어진 지점에서 ㅏ, 두 개의 비스듬한 것이 그려지며 평면과 45º와 30º의 각도를 형성하고 그 사이의 각도는 90º입니다. 경사진 베이스 사이의 거리를 찾으십시오.
2.7. 삼각형의 변은 15cm, 21cm, 24cm입니다. 중삼각형의 평면에서 73cm만큼 떨어져 있고 꼭짓점에서 같은 거리에 있습니다. 이 거리를 찾으십시오.
2.8. 센터에서 영형삼각형에 새겨진 원 알파벳, 수직이 삼각형의 평면에 복원됩니다. 옴... 점으로부터의 거리 구하기 중만약 삼각형의 변에 AB = BC = 10cm, 처럼= 12cm, 옴= 4cm
2.9. 점으로부터의 거리 중직각의 측면과 상단은 각각 4cm, 7cm 및 8cm입니다. 점에서 거리를 찾으십시오. 중직각의 평면에.
2.10. 베이스를 통해 AB이등변 삼각형 알파벳평면은 비스듬히 그려집니다 비삼각형의 평면에. 꼭지점 와 함께멀리 비행기에서 제거 ㅏ... 삼각형의 넓이 구하기 알파벳만약 베이스 AB이등변 삼각형은 높이와 같습니다.
III 레벨
3.1. 직사각형 레이아웃 ABCD당사자들과 ㅏ그리고 비대각선으로 구부러진 BD그래서 삼각형의 평면은 나쁜그리고 BCD서로 수직이 됩니다. 세그먼트의 길이 찾기 처럼.
3.2. 각도가 60º인 두 개의 직사각형 사다리꼴이 수직 평면에 놓여 있고 더 큰 공통 밑변을 갖습니다. 큰 변은 4cm와 8cm이며, 예각의 꼭짓점이 일치하면 직선의 꼭짓점과 사다리꼴의 둔각 꼭짓점 사이의 거리를 찾으십시오.
3.3 주어진 큐브 ABCDA 1 비 1 씨 1 디하나 . 직선 사이의 각도 찾기 CD 1과 비행기 BDC 1 .
3.4. 가장자리에 AB쿠바 ABCDA 1 비 1 씨 1 디 1점 아르 자형이 갈비뼈의 중간입니다. 점을 통과하는 평면으로 정육면체의 단면을 구성합니다. 씨 1 PD입방체의 가장자리가 ㅏ.
3.5. 건너편 기원 후직사각형 ABCD그려진 평면 ㅏ그래서 대각선 BD이 평면과 30º의 각도를 만듭니다. 직사각형의 평면과 평면 사이의 각도 찾기 ㅏ, 만약 AB = ㅏ, 광고 = b... 어떤 비율로 결정 ㅏ그리고 비문제에 해결책이 있습니다.
3.6. 삼각형의 변에 의해 정의된 직선에서 등거리에 있는 점의 자취를 찾으십시오.
프리즘. 평행 육면체
프리즘두 면이 같은 n각형인 다면체라고 합니다. (근거) 평행한 평면에 놓여 있고 나머지 n개의 면은 평행사변형입니다. (측면) . 사이드 리브 프리즘은 베이스에 속하지 않는 측면의 측면입니다.
측면 모서리가 밑면의 평면에 수직인 프리즘을 똑바로 프리즘(그림 1). 측면 모서리가 밑면의 평면에 수직이 아닌 경우 프리즘이 호출됩니다. 비스듬한 . 옳은 프리즘은 밑면이 정다각형인 직선 프리즘입니다.
키프리즘은베이스 평면 사이의 거리라고합니다. 대각선 프리즘은 같은 면에 속하지 않는 두 꼭짓점을 연결하는 선분이라고 합니다. 대각선 단면 프리즘의 단면을 한 면에 속하지 않는 두 개의 측면 모서리를 통과하는 평면이라고 합니다. 수직 단면 프리즘의 단면을 프리즘의 측면 모서리에 수직인 평면이라고 합니다.
측면 면적 프리즘은 모든 측면의 면적의 합이라고 합니다. 전체 표면적 프리즘의 모든 면의 면적의 합(즉, 측면의 면적과 밑면의 면적의 합)이라고 합니다.
임의의 프리즘에 대해 다음 공식이 유효합니다.:
어디 엘- 측면 리브의 길이;
시간- 키;
피
큐
S면
에스 풀
에스메인- 기지 면적;
V프리즘의 부피입니다.
직선 프리즘의 경우 다음 공식이 맞습니다.
어디 피- 기본 둘레;
엘- 측면 리브의 길이;
시간- 키.
평행 육면체밑변이 평행 사변형 인 프리즘이라고합니다. 밑변에 수직인 측면 모서리가 있는 평행육면체를 직접 (그림 2). 측면 모서리가 밑면에 수직이 아닌 경우 평행 육면체를 호출합니다. 비스듬한 ... 밑변이 직사각형인 직육면체를 직육면체라고 합니다. 직사각형. 모든 모서리가 동일한 직육면체를 직육면체라고 합니다. 입방체.
공통 꼭짓점이 없는 평행 육면체의 면을 반대 ... 한 꼭짓점에서 나가는 모서리의 길이를 측정 평행 육면체. 평행 육면체는 프리즘이므로 주요 요소는 프리즘에 대해 정의된 것과 동일한 방식으로 정의됩니다.
정리.
1. 직육면체의 대각선은 한 점에서 교차하여 반으로 나뉩니다.
2. 직육면체에서 대각선 길이의 제곱은 3차원의 제곱의 합과 같습니다.
3. 직육면체의 네 대각선은 모두 서로 같습니다.
임의의 평행 육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.
어디 엘- 측면 리브의 길이;
시간- 키;
피- 수직 단면의 둘레;
큐- 수직 단면의 면적;
S면- 측면 표면적;
에스 풀- 총 표면적;
에스메인- 기지 면적;
V프리즘의 부피입니다.
직육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.
어디 피- 기본 둘레;
엘- 측면 리브의 길이;
시간- 직육면체의 높이.
직육면체의 경우 다음 공식이 참입니다.
어디 피- 기본 둘레;
시간- 키;
디- 대각선;
에이, ㄴ, ㄷ- 평행 육면체의 측정.
큐브의 경우 다음 공식이 맞습니다.
어디 ㅏ- 리브 길이;
디큐브의 대각선입니다.
예 1.직육면체의 대각선은 33dm이고, 그 치수는 2:6:9와 관련이 있습니다. 평행육면체의 치수를 찾으십시오.
해결책.평행 육면체의 치수를 찾기 위해 공식 (3), 즉 직육면체의 빗변의 제곱은 측정의 제곱의 합과 같다는 사실에 의해. 로 나타내자 케이비례 계수. 그러면 평행 육면체의 치수는 2가 됩니다. 케이, 6케이그리고 9 케이... 문제 데이터에 대한 공식 (3)을 작성해 보겠습니다.
이 방정식을 풀면 케이, 우리는 다음을 얻습니다.
이것은 평행 육면체의 치수가 6dm, 18dm 및 27dm임을 의미합니다.
대답: 6dm, 18dm, 27dm.
예 2.측면 모서리가 밑변과 같고 밑변에 대해 60º의 각도로 기울어진 경우 밑변이 8cm인 정삼각형인 경사 삼각형 프리즘의 부피를 찾으십시오.
해결책 . 그림을 만들어 봅시다(그림 3).
경사 프리즘의 부피를 구하려면 밑변의 넓이와 높이를 알아야 합니다. 이 프리즘의 밑면의 면적은 한 변이 8cm인 정삼각형의 면적입니다. 계산해 봅시다.
프리즘의 높이는 밑변 사이의 거리입니다. 위에서부터 ㅏ상단베이스의 1, 하단베이스의 평면에 수직으로 내립니다. ㅏ 1 디... 길이는 프리즘의 높이가 됩니다. D를 고려 ㅏ 1 기원 후: 사이드 리브의 경사각이기 때문에 ㅏ 1 ㅏ베이스의 평면에, ㅏ 1 ㅏ= 8 cm.이 삼각형에서 우리는 찾습니다. ㅏ 1 디:
이제 공식 (1)로 부피를 계산합니다.
대답: 192cm 3.
예 3.정육각기둥의 측면 모서리는 14cm이고 가장 큰 대각선 단면의 면적은 168cm 2입니다. 프리즘의 총 표면적을 찾으십시오.
해결책.그림을 그리자 (그림 4)
가장 큰 대각선 섹션 - 직사각형 AA 1 DD 1, 대각선부터 기원 후정육각형 ABCDEF가장 크다. 프리즘 측면의 면적을 계산하려면 베이스의 측면과 측면 리브의 길이를 알아야 합니다.
대각선 단면(직사각형)의 면적을 알면 밑변의 대각선을 찾습니다.
그때부터
그때부터 AB= 6cm
그러면 밑면의 둘레는 다음과 같습니다.
프리즘의 측면 면적을 구합시다.
한 변이 6cm인 정육각형의 면적은 다음과 같습니다.
프리즘의 총 표면적을 찾으십시오.
대답:
예 4.직사각형의 밑변은 마름모입니다. 대각선 단면의 면적은 300cm 2 와 875cm 2입니다. 평행 육면체의 측면 면적을 찾으십시오.
해결책.그림을 만들어 봅시다(그림 5).
다음을 통해 마름모의 측면을 표시합시다. ㅏ, 마름모의 대각선 디 1 및 디 2, 평행 육면체의 높이 시간... 직육면체의 측면 면적을 찾으려면 밑변 둘레에 높이를 곱하십시오 (공식 (2)). 기본 둘레 p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, 왜냐하면 ABCD- 마름모. H = AA 1 = 시간... 저것. 찾을 필요가 ㅏ그리고 시간.
대각선 섹션을 고려하십시오. AA 1 봄 여름 시즌 1 - 직사각형, 한쪽이 마름모의 대각선 처럼 = 디 1, 두 번째는 측면 리브 AA 1 = 시간, 그 다음에
섹션에 대해서도 마찬가지로 비비 1 DD 1 우리는 다음을 얻습니다.
대각선의 제곱의 합이 모든 변의 제곱의 합과 같도록 평행 사변형의 속성을 사용하여 평등을 얻습니다. 우리는 다음을 얻습니다.
우리는 처음 두 평등에서 표현하고 세 번째에서 대체합니다. 우리는 다음을 얻습니다.
1.3. 경사 삼각형 프리즘에서 단면은 12cm와 같은 측면 가장자리에 수직으로 그려지며 결과 삼각형에서는 길이가 cm와 8cm인 두 변이 45°의 각도를 형성합니다. 프리즘의 측면 면적을 찾으십시오.
1.4. 직육면체의 밑변은 한 변이 4cm이고 예각이 60°인 마름모입니다. 한 변의 길이가 10cm이면 평행 육면체의 대각선을 찾으십시오.
1.5. 직육면체의 밑변은 대각선이 cm인 정사각형이며, 평행육면체의 측면 모서리는 5cm이며, 평행육면체의 전체 표면적을 구합니다.
1.6. 경사 평행 육면체의 밑변은 3cm와 4cm의 직사각형이며 cm와 같은 측면 모서리는 60 °의 각도로 밑면에 대해 기울어집니다. 평행 육면체의 부피를 찾으십시오.
1.7. 두 모서리와 한 꼭짓점에서 나오는 대각선이 각각 11cm, 13cm 및 13cm인 경우 직육면체의 표면적을 계산합니다.
1.8. 재료의 비중이 2.2g / cm 3 인 경우 치수가 0.3m, 0.3m 및 2.5m인 직육면체 모양의 돌 기둥의 무게를 결정하십시오.
1.9. 정육면체의 대각선이 dm인 경우 정육면체의 대각선 단면적을 구하십시오.
1.10. 같은 면에 있지 않은 두 꼭짓점 사이의 거리가 cm이면 정육면체의 부피를 구하십시오.
II 레벨
2.1. 경사 프리즘의 밑면은 한 변이 cm인 정삼각형이며, 측면 리브는 기준면에 대해 30°의 각도로 기울어져 있습니다. 측면 모서리를 통과하는 프리즘의 단면적과 프리즘의 높이를 찾으십시오. 상부베이스의 꼭짓점 중 하나가 하부베이스 측면의 중앙에 투영되어 있음을 알면 프리즘 높이.
2.2. 경사 프리즘의 밑면은 한 변이 3cm인 정삼각형 ABC이고 꼭짓점 A1이 삼각형 ABC의 중심에 투영됩니다. 리브 AA 1은 베이스 평면과 45°의 각도를 만듭니다. 프리즘의 측면 면적을 찾으십시오.
2.3. 밑변의 길이가 7cm, 5cm, 8cm이고 밑변의 높이가 삼각형 밑변의 낮은 높이와 같으면 사삼각기둥의 부피를 계산하십시오.
2.4. 정사각기둥의 대각선은 측면에 대해 30 °의 각도로 기울어져 있습니다. 밑면에 대한 경사각을 찾으십시오.
2.5. 직선 프리즘의 밑변은 이등변 사다리꼴이며 밑변은 4cm와 14cm이고 대각선은 15cm이며 프리즘의 두 측면은 정사각형입니다. 프리즘의 총 표면적을 찾으십시오.
2.6. 정육각기둥의 대각선은 19cm와 21cm이므로 부피를 구하십시오.
2.7. 대각선이 8인치이고 측면과의 각이 30°와 40°인 직육면체의 치수를 찾으십시오.
2.8. 직육면체의 밑변의 대각선은 34cm와 38cm이고, 측면의 면적은 800cm 2 와 1200cm 2입니다. 평행 육면체의 부피를 찾으십시오.
2.9. 한 꼭짓점에서 연장되는 측면의 대각선이 4cm와 5cm이고 각도가 60 °를 이루는 직육면체의 부피를 결정하십시오.
2.10. 대각선에서 교차하지 않는 모서리까지의 거리가 mm이면 정육면체의 부피를 구하십시오.
III 레벨
3.1. 정삼각기둥에서 밑면의 측면과 반대쪽 모서리의 중간을 통해 단면이 그려집니다. 베이스의 면적은 18cm 2이고 측면의 대각선은 베이스에 대해 60°의 각도로 기울어져 있습니다. 단면적을 찾으십시오.
3.2. 프리즘의 밑면에는 정사각형 ABCD가 있으며, 모든 꼭짓점은 위 밑면의 상단 A 1 에서 등거리에 있습니다. 측면 리브와 바닥면 사이의 각도는 60 °입니다. 밑면의 측면은 12cm이고 모서리 AA 1에 수직 인 꼭짓점 C를 통과하는 평면으로 프리즘의 단면을 구성하고 그 면적을 찾으십시오.
3.3. 직선 프리즘의 밑면은 이등변 사다리꼴입니다. 대각선 단면의 면적과 평행한 측면의 면적은 각각 320cm 2, 176cm 2 및 336cm 2입니다. 프리즘의 측면 면적을 찾으십시오.
3.4. 직선 삼각형 프리즘의 밑면의 면적은 9cm 2이고 측면의 면적은 18cm 2, 20cm 2 및 34cm 2입니다. 프리즘의 부피를 찾으십시오.
3.5. 직육면체의 모서리의 대각선이 11cm, 19cm 및 20cm임을 알고 직육면체의 대각선을 찾으십시오.
3.6. 직육면체의 밑변과 밑변의 대각선과 평행육면체의 대각선이 이루는 각은 각각 a와 b와 같다. 대각선이 d이면 평행 육면체의 측면 면적을 찾으십시오.
3.7. 정육각형인 정육면체의 단면적은 cm2와 같습니다. 입방체의 표면적을 찾으십시오.
원격 요소.
원격 요소.
- a) 공통점이 없다.
정리.
섹션 지정
GOST 2.305-2008은 섹션 지정에 대한 다음 요구 사항을 제공합니다.
1. 절단면의 위치는 도면에서 단면선으로 표시됩니다.
2. 단면선(두께 S~1.5S, 선 길이 8~20mm)에 개방선을 사용해야 합니다.
3. 복잡한 단면의 경우, 획은 또한 시컨트 평면이 서로 교차하는 지점에 그려집니다.
4. 화살표는 초기 및 최종 스트로크에 배치되어야 하며, 이는 시야 방향을 나타내며 화살표는 스트로크의 바깥쪽 끝에서 2-3mm 떨어진 곳에 그려야 합니다.
5. 화살표의 치수는 그림 14에 표시된 치수와 일치해야 합니다.
6. 시작 및 끝 획은 해당 이미지의 윤곽선과 교차하지 않아야 합니다.
7. 단면선의 시작과 끝, 그리고 필요한 경우 시컨트 평면의 교차점에 러시아 알파벳의 동일한 대문자를 넣으십시오. 문자는 시선 방향을 나타내는 화살표 근처와 바깥쪽 모서리 측면의 교차점에 적용됩니다(그림 24).
그림 24 - 섹션 지정의 예
8. 절개는 "А-А" 유형의 비문으로 표시되어야 합니다(항상 대시로 구분된 두 글자).
9. 시컨트 평면이 물체 전체의 대칭면과 일치하고 해당 이미지가 동일한 시트에 직접 투영 연결되어 있고 다른 이미지에 의해 분리되지 않는 경우, 시컨트 평면의 위치는 수평, 정면 및 프로필 절단으로 표시되고 절개에는 비문이 수반되지 않습니다.
10. 정면 및 프로필 컷에는 원칙적으로 도면의 기본 이미지에서 주어진 대상에 대해 채택된 위치에 해당하는 위치가 지정됩니다.
11. 해당하는 기본 보기 대신 수평, 정면 및 프로필 절단을 배치할 수 있습니다.
12. 기존의 그래픽 지정인 회전된 아이콘(그림 25)이 추가된 회전과 함께 드로잉 필드의 어느 위치에든 섹션을 배치할 수 있습니다.
그림 25 - 기존 그래픽 지정 - "회전" 아이콘
단면 지정은 다음과 유사합니다.단면의 지정은 절단면의 자취와 시야 방향을 나타내는 화살표로 구성되며 화살표 외부에 부착된 문자로 구성됩니다(그림 1c, 그림 3). 단면선이 단면 대칭 축과 일치하고 단면 자체가 단면 평면 추적의 연속 또는 뷰 부분 사이의 간격에 있는 경우 확장된 단면에 레이블이 지정되지 않고 단면 평면이 표시되지 않습니다. 대칭 중첩 단면의 경우 절단 평면도 표시되지 않습니다. 단면이 비대칭이고 틈 사이에 있거나 겹쳐져 있는 경우(그림 2b) 단면선은 화살표로 그려지지만 문자로 표시되지는 않습니다.
섹션 위의 비문에 "돌린"이라는 단어를 제공하여 회전으로 위치를 지정할 수 있습니다. 하나의 객체와 관련된 여러 개의 동일한 단면에 대해 단면선은 동일한 문자로 지정되고 하나의 단면이 그려집니다. 별도의 부품으로 구성된 단면을 얻은 경우 절단을 사용해야 합니다.
일반 라인
일반적인 위치의 직선(그림 2.2)은 주어진 투영 평면과 평행하지 않은 직선이라고 합니다. 그러한 직선의 모든 부분은 주어진 투영 평면 시스템에서 왜곡되어 투영됩니다. 투영 평면에 대한 이 직선의 경사각도 왜곡됩니다.
쌀. 2.2.
직접 사설 조항
특정 위치의 직선은 하나 또는 두 개의 투영 평면에 평행한 직선을 포함합니다.
투영 평면에 평행한 모든 선(직선 또는 곡선)을 수평선이라고 합니다. 엔지니어링 그래픽에는 수평, 정면 및 프로필 라인의 세 가지 주요 레벨 라인이 있습니다.
쌀. 2.3-a
수평선은 돌출부의 수평면에 평행한 모든 선입니다(그림 2, 3-a). 수평의 전면 투영은 항상 통신 라인에 수직입니다. 수평 투영 평면의 모든 수평 세그먼트는 실제 값으로 투영됩니다. 실제 값은 이 평면과 투영의 정면 평면에 대한 수평선(직선)의 경사각에 투영됩니다. 예를 들어, 그림 2, 3-a는 시각적 이미지와 수평의 복잡한 그림을 보여줍니다. 시간평면에 기울어진 피 2 비스듬히 비 . 
쌀. 2.3-b
정면은 돌출부의 정면 평면에 평행 한 선이라고합니다 (그림 2.3-b). 전면의 수평 투영은 항상 통신 라인에 수직입니다. 투영의 정면 평면에 있는 정면 선의 모든 세그먼트는 실제 값으로 투영됩니다. 실제 크기에서는이 평면에 투영되고 투영의 수평면에 대한 정면 (직선)의 경사각 (각 ㅏ). 
쌀. 2.3인치
프로파일 라인은 돌출부의 프로파일 평면에 평행한 선입니다(그림 2, 3-c). 프로파일 라인의 수평 및 정면 돌출부는 이러한 돌출부의 통신 라인과 평행합니다. 프로파일 라인(직선)의 모든 세그먼트는 실제 크기로 프로파일 평면에 투영됩니다. 동일한 평면에서 투영 평면에 대한 윤곽선의 경사각은 실제 값으로 투영됩니다. 피 1 및 피 2. 복잡한 도면에서 윤곽선을 정의할 때 이 선의 두 점을 나타낼 필요가 있습니다.
두 개의 투영 평면에 평행한 레벨 라인은 세 번째 투영 평면에 수직이 됩니다. 이러한 직선을 돌출이라고 합니다. 세 가지 주요 투영 라인이 있습니다: 수평, 정면 및 프로파일 투영 라인. 
쌀. 2.3-g 
쌀. 2.3-d 
쌀. 2.3번째
수평으로 돌출된 직선(그림 2, 3-d)을 평면에 수직인 직선이라고 합니다. 피하나 . 이 직선의 모든 부분은 평면에 투영됩니다. 피 피 1 - 요점까지.
정면으로 돌출된 직선(그림 2 Z-e)을 평면에 수직인 직선이라고 합니다. 피 2. 이 직선의 모든 부분은 평면에 투영됩니다. 피 1 왜곡이 없지만 평면에서 피 2 - 요점으로.
직선을 투영하는 프로파일(그림 2, 3-e)을 평면에 수직인 직선이라고 합니다. 피 3, 즉 투영 평면에 평행한 직선 피 1 및 피 2. 이 직선의 모든 부분은 평면에 투영됩니다. 피 1 및 피 2 왜곡이 없지만 평면에서 피 3 - 요점으로.
평면의 주요선
평면에 속하는 직선 중 공간에서 특정 위치를 차지하는 직선이 특별한 장소를 차지합니다.
1. 수평 h - 주어진 평면에 있고 수평 투영 평면(h // P1)에 평행한 직선(그림 6.4).
그림 6.4 수평
2. 정면 f - 평면에 위치하고 돌출부의 정면 평면과 평행한 직선(f // P2)(그림 6.5).
그림 6.5 전면
3. 프로파일 직선 p - 이 평면에 있고 돌출부의 프로파일 평면과 평행한 직선(p // P3)(그림 6.6). 평면의 흔적은 또한 주요 라인에 기인할 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 수평 트레이스는 평면의 수평이고 정면은 정면이며 프로파일은 평면의 프로파일 라인입니다.
그림 6.6 프로파일 라인
4. 가장 큰 기울기의 선과 그 수평 투영은 이 평면과 수평 투영 평면이 이루는 2면각을 측정하는 선형 각도 j를 형성합니다(그림 6.7). 분명히 직선에 평면과 공통되는 두 점이 없으면 평면에 평행하거나 교차합니다.
그림 6.7 최대 기울기의 선
표면을 형성하는 운동학적 방법. 도면의 표면을 설정합니다.
엔지니어링 그래픽에서 표면은 특정 법칙에 따라 공간에서 움직이는 선의 연속적인 위치 집합으로 간주됩니다. 표면 형성 과정에서 라인 1은 변경되지 않거나 모양이 변경될 수 있습니다.
복잡한 도면에서 표면 이미지를 명확하게 하기 위해 변위 법칙을 선 계열(a, b, c)의 형태로 그래픽으로 설정하는 것이 좋습니다. 선 1의 변위 법칙은 2(a 및 b) 또는 1(a) 선과 변위 1의 법칙을 명확히 하는 추가 조건으로 지정할 수 있습니다.
움직이는 라인 1을 모선(generatrix), 고정 라인 a, b, c - 가이드라고 합니다.
그림 3.1에 표시된 예를 사용하여 표면 형성 과정을 살펴보겠습니다.
여기서 직선 1을 발전기로 하고 발전기의 변위 법칙은 방향 a와 직선 b로 주어진다. 이 경우, 발전기(1)가 가이드(a)를 따라 미끄러지는 것을 의미하고, 항상 직선(b)에 평행하게 유지된다.
이 표면 형성 방법을 운동학이라고 합니다. 이 도구를 사용하여 도면에서 다양한 표면을 형성하고 정의할 수 있습니다. 특히, 그림 3.1은 원통형 표면의 가장 일반적인 경우를 보여줍니다.
쌀. 3.1.
지표면을 형성하고 도면에 표시하는 또 다른 방법은 지표면에 속하는 점 또는 선 세트로 지표면을 정의하는 것입니다. 이 경우 충분한 정확도로 표면의 모양을 결정하고 다양한 문제를 해결할 수 있도록 점과 선이 선택됩니다.
표면을 정의하는 점 또는 선 세트를 와이어프레임이라고 합니다.
표면 프레임이 정의되는 방식에 따라 점 또는 선, 와이어프레임은 점과 선형으로 나뉩니다.
그림 3.2는 직선 a1, a2, a3, ..., an 및 b1, b2, b3, ..., bn의 두 직교 계열로 구성된 표면 프레임을 보여줍니다.
쌀. 3.2.
원추형 섹션.
테이퍼 섹션,정점을 통과하지 않는 평면과 직선 원뿔의 교차로 얻은 평면 곡선 (그림 1). 해석 기하학의 관점에서 원추형 단면은 2차 방정식을 만족하는 점의 궤적입니다. 마지막 섹션에서 논의된 퇴화 사례를 제외하고 원뿔 섹션은 타원, 쌍곡선 또는 포물선입니다.
원추형 섹션은 종종 자연과 기술에서 발견됩니다. 예를 들어, 태양을 도는 행성의 궤도는 타원입니다. 원은 장축이 단축과 동일한 타원의 특수한 경우입니다. 포물면 거울은 축에 평행한 모든 입사 광선이 한 점(초점)으로 수렴하는 특성을 가지고 있습니다. 이것은 포물면 거울을 사용하는 대부분의 반사 망원경과 포물면 반사경이 있는 레이더 안테나 및 특수 마이크에 사용됩니다. 평행 광선 빔은 포물선 반사경의 초점에 배치된 광원에서 방출됩니다. 따라서 포물선 거울은 고출력 투광 조명 및 자동차 헤드 라이트에 사용됩니다. 쌍곡선은 예를 들어 보일의 법칙(이상 기체의 압력과 부피를 연결)과 전류를 정전압에서 저항의 함수로 지정하는 옴의 법칙과 같은 많은 중요한 물리적 관계의 그래프입니다.
초기 역사
원뿔형 단면의 발견자는 플라톤의 제자이자 알렉산더 대왕의 스승인 메네헴(기원전 4세기)으로 추정됩니다. Menechm은 포물선과 이등변 쌍곡선을 사용하여 정육면체의 2배 문제를 해결했습니다.
4세기 말에 아리스테아스와 유클리드가 쓴 원뿔형 단면에 관한 논문. BC는 유실되었지만 그 자료는 Perga의 Apollonius (c. 260-170 BC)의 유명한 원추형 섹션에 들어갔는데, 이것은 우리 시대까지 살아남았습니다. Apollonius는 원뿔 모선의 할선 평면의 수직성에 대한 요구 사항을 포기하고 경사 각도를 변경하여 직선 또는 경사에 관계없이 하나의 원형 원추에서 모든 원추 단면을 얻었습니다. 우리는 또한 Apollonius에게 현대적인 곡선 이름인 타원, 포물선 및 쌍곡선을 빚지고 있습니다.
그의 구성에서 Apollonius는 (그림 1에서와 같이) 두 개의 구멍이 있는 원뿔을 사용했기 때문에 쌍곡선이 두 개의 가지가 있는 곡선이라는 것이 처음으로 명확해졌습니다. Apollonius 시대부터 원뿔 단면은 원뿔의 모선에 대한 할선 평면의 기울기에 따라 세 가지 유형으로 나뉩니다. 타원 (그림 1, a)은 절단면이 공동 중 하나의 지점에서 원뿔의 모든 모선과 교차할 때 형성됩니다. 포물선 (그림 1, b) - 절단면이 원뿔의 접면 중 하나와 평행할 때; 쌍곡선 (그림 1, c) - 절단면이 원뿔의 두 공동과 교차할 때.
테이퍼 섹션의 건설
평면과 원뿔의 교차점으로 원뿔 단면을 연구하면서 고대 그리스 수학자들은 평면 위의 점들의 궤적을 고려했습니다. 타원은 점의 자취로 정의될 수 있으며, 두 개의 주어진 점까지의 거리의 합은 일정합니다. 포물선 - 주어진 점과 주어진 직선에서 등거리에 있는 점의 궤적. 쌍곡선 - 점의 자취로서 주어진 두 점까지의 거리 차이가 일정합니다.
평면 곡선으로 원뿔 섹션의 이러한 정의는 늘어난 스레드를 사용하여 구성하는 방법을 제안합니다.
타원.
주어진 길이의 실 끝이 점 F1과 F2에 고정되어 있으면(그림 2) 팽팽하게 늘어진 실을 따라 미끄러지는 연필 끝으로 묘사되는 곡선은 타원 모양을 갖습니다. 점 F1과 F2를 타원의 초점이라고 하며 타원과 좌표축(주축 및 보조축)의 교차점 사이의 세그먼트 V1V2 및 v1v2를 말합니다. 점 F1과 F2가 일치하면 타원이 원으로 바뀝니다.
쌀. 2 줄임표
쌍곡선.
쌍곡선을 구성할 때 연필 끝인 점 P는 그림 1과 같이 점 F1과 F2에 설정된 핀을 따라 자유롭게 미끄러지는 실에 고정됩니다. 3, 라. PF2 세그먼트가 F1F2 거리보다 적은 고정된 양만큼 PF1 세그먼트보다 더 길도록 거리는 선택됩니다. 이 경우 실의 한쪽 끝은 페그 F1 아래를 통과하고 실의 양 끝은 페그 F2를 통과합니다. (연필의 끝이 실을 따라 미끄러지지 않아야 하므로 실에 작은 고리를 만들고 점을 끼워 넣어 고정해야 합니다.) 쌍곡선(PV1Q)의 한 가지를 그려서 실이 잘 맞는지 확인합니다. 항상 팽팽한 상태를 유지하고 양쪽 끝을 F2 지점을 넘어 아래로 당기고 P 지점이 F1F2 세그먼트 아래에 있을 때 양쪽 끝의 실을 잡고 조심스럽게 에칭(즉, 해제)합니다. 우리는 이전에 핀 F1 및 F2의 역할을 변경한 쌍곡선(PўV2Qў)의 두 번째 분기를 그립니다.
쌀. 3 과장
쌍곡선의 가지는 가지 사이에서 교차하는 두 직선에 접근합니다. 쌍곡선의 점근선이라고 하는 이러한 직선은 그림 3과 같이 구성됩니다. 3, 나. 이 선의 기울기는 ± (v1v2) / (V1V2)와 같습니다. 여기서 v1v2는 선분 F1F2에 수직인 점근선 사이 각도의 이등분선 선분입니다. 세그먼트 v1v2를 쌍곡선의 켤레 축이라고 하고 세그먼트 V1V2를 가로 축이라고 합니다. 따라서 점근선은 변이 축에 평행한 네 점 v1, v2, V1, V2를 통과하는 직사각형의 대각선입니다. 이 직사각형을 그리려면 점 v1 및 v2의 위치를 지정해야 합니다. 그들은 같은 거리에 있습니다
축 O의 교차점에서. 이 공식은 다리가 Ov1 및 V2O이고 빗변 F2O가 있는 직각 삼각형의 구성을 가정합니다.
쌍곡선의 점근선이 서로 수직이면 쌍곡선을 이등변선이라고 합니다. 공통 점근선을 갖지만 가로축과 켤레 축이 재배열된 두 쌍곡선을 상호 켤레라고 합니다.
포물선.
타원과 쌍곡선의 초점은 Apollonius에게 이미 알려져 있었지만, 포물선의 초점은 분명히 Papp(3세기 후반)에 의해 처음 확립되었으며, 이 곡선을 주어진 점(초점)에서 등거리에 있는 점의 궤적으로 정의했습니다. 그리고 교장이라고 불리는 주어진 직선. Papp의 정의에 따라 늘어진 실을 사용하여 포물선을 만드는 것은 Isidor Miletsky(6세기)에 의해 제안되었습니다. 자의 가장자리가 방향선 LLў(그림 4)과 일치하도록 자를 놓고 드로잉 삼각형 ABC의 이 가장자리 다리 AC에 부착합니다. 길이 AB의 실의 한쪽 끝을 삼각형의 꼭짓점 B에 고정하고 다른 쪽 끝을 포물선 F의 초점에 고정합니다. 연필 끝으로 실을 당기고 가변 점 P의 끝을 자유 다리로 누릅니다. 그리기 삼각형의 AB입니다. 삼각형이 자를 따라 움직일 때 점 P는 초점이 F이고 방향이 LLў인 포물선의 호를 나타낼 것입니다. 실의 총 길이가 AB이기 때문에 실 부분은 삼각형의 자유 다리에 인접하고 따라서 스레드 PF의 나머지 부분은 다리 AB의 나머지 부분과 같아야 합니다. 아빠. V 포물선과 축의 교차점을 포물선의 꼭짓점이라고 하며, F와 V를 지나는 선은 포물선의 축입니다. 초점을 통해 축에 수직인 직선을 그리면 이 직선의 포물선에 의해 잘린 부분을 초점 매개변수라고 합니다. 타원과 쌍곡선의 경우 초점 매개변수는 같은 방식으로 결정됩니다.
티켓에 대한 답변: № 1(완전히 아님), 2(완전히 아님), 3(완전히 아님), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14(완전히 아님), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23, 26,
원격 요소.
도면을 만들 때 모양, 크기 또는 기타 데이터 측면에서 설명이 필요한 개체의 일부에 대해 별도의 추가 이미지를 구성해야 하는 경우가 있습니다. 이 이미지는 원격 요소.일반적으로 확대하여 수행됩니다. 상세는 뷰 또는 컷으로 배치할 수 있습니다.
디테일을 구축할 때 메인 이미지의 해당 위치는 닫힌 실선, 일반적으로 타원형 또는 원형으로 표시되고 지시선 선반에 러시아 알파벳의 대문자로 표시됩니다. 확장 요소의 경우 A 유형(5:1)으로 레코드가 만들어집니다. 그림에서. 도 191은 원격 요소의 실행의 예를 나타낸다. 그것은 물체의 이미지에서 해당 위치에 가능한 한 가깝게 배치됩니다.
1. 직사각형(직교) 투영 방법. 직사각형 투영의 기본 불변 속성. 에퓨어 몽쥬.
직교(직사각형) 투영은 모든 투영 광선이 투영 평면에 수직인 경우 평행 투영의 특별한 경우입니다. 직교 투영은 평행 투영의 모든 속성을 갖지만 직사각형 투영에서 세그먼트의 투영은 투영 평면과 평행하지 않은 경우 항상 세그먼트 자체보다 작습니다(그림 58). 이것은 공간의 세그먼트 자체가 직각 삼각형의 빗변이고 투영이 다리라는 사실 때문입니다. A "B" = ABcos a.
직각 투영에서 직각은 양면이 투영 평면에 평행하고 한 변만 투영 평면에 평행하고 다른 한 변은 이 투영 평면에 수직이 아닐 때 전체 크기로 투영됩니다.
직선과 평면의 상호 배열.
공간상의 직선과 평면은:
- a) 공통점이 없다.
- b) 정확히 하나의 공통점이 있습니다.
- c) 적어도 두 개의 공통점이 있어야 합니다.
그림에서. 30은 이러한 모든 가능성을 보여줍니다.
a) 직선 b가 평면에 평행인 경우: b || ...
b) 직선 l이 평면과 한 점 O에서 교차하는 경우; 내가 = 오.
c) 직선이 평면에 속하는 경우: a 또는 a.
정리.선 b가 평면에 속하는 적어도 하나의 선과 평행하면 그 선은 평면에 평행합니다.
선 m이 점 Q에서 평면과 교차한다고 가정합니다. m이 점 Q를 통과하는 평면의 모든 직선에 수직이면 선 m을 평면에 수직이라고 합니다.
트램 레일은 지구 평면에 대한 직선의 소속을 보여줍니다. 전력선은 지표면과 평행하고 나무 줄기는 지표면을 가로지르는 직선의 예이며 일부는 지표면에 수직이고 다른 일부는 수직이 아닌(비스듬한) 선입니다.
