El material de este artículo debe considerarse como parte del tema transformación de expresiones irracionales. Aquí utilizaremos ejemplos para analizar todas las sutilezas y matices (que son muchos) que surgen al realizar transformaciones basadas en las propiedades de las raíces.
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Recordemos las propiedades de las raíces.
Ya que estamos a punto de abordar la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces, no está de más recordar las principales, o mejor aún, anotarlas en un papel y colocarlas frente a ti.
En primer lugar se estudian las raíces cuadradas y sus siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., ak son números reales):
Y posteriormente se amplía la idea de raíz, se introduce la definición de raíz de enésimo grado, y se consideran las siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2,..., a k son números reales, m, n, n 1, n 2, ... , n k - números naturales):
Convertir expresiones con números bajo signos radicales.
Como de costumbre, primero aprenden a trabajar con expresiones numéricas y solo después pasan a expresiones con variables. Haremos lo mismo, y primero nos ocuparemos de la transformación de expresiones irracionales que contienen solo expresiones numéricas bajo los signos de las raíces, y luego, en el siguiente párrafo, introduciremos variables bajo los signos de las raíces.
¿Cómo se puede utilizar esto para transformar expresiones? Es muy sencillo: por ejemplo, podemos sustituir una expresión irracional por una expresión o viceversa. Es decir, si la expresión que se está transformando contiene una expresión que coincide con la expresión de la parte izquierda (derecha) de cualquiera de propiedades listadas raíces, entonces se puede reemplazar por la expresión correspondiente de la parte derecha (izquierda). Esta es la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces.
Pongamos algunos ejemplos más.
Simplifiquemos la expresión. 
. Los números 3, 5 y 7 son positivos, por lo que podemos aplicar con seguridad las propiedades de las raíces. Aquí puedes actuar de diferentes maneras. Por ejemplo, una raíz basada en una propiedad se puede representar como , y una raíz que usa una propiedad con k=3 - como , con este enfoque la solución se verá así: 
Se podría hacerlo de manera diferente reemplazando con y luego con, en cuyo caso la solución se vería así: 
Otras soluciones son posibles, por ejemplo:
Veamos la solución a otro ejemplo. Transformemos la expresión. Mirando la lista de propiedades de las raíces, seleccionamos de ella las propiedades que necesitamos para resolver el ejemplo, está claro que aquí son útiles dos de ellas y , que son válidas para cualquier a . Tenemos: 
Alternativamente, primero se podrían transformar las expresiones radicales usando 
y luego aplicar las propiedades de las raíces.
Hasta este punto, hemos convertido expresiones que solo contienen raíces cuadradas. Es hora de trabajar con raíces que tienen diferentes indicadores.
Ejemplo.
Convertir la expresión irracional 
.
Solución.
Por propiedad 
el primer factor de un producto dado se puede reemplazar por el número −2: 
Adelante. En virtud de la propiedad, el segundo factor se puede representar como , y no estaría de más sustituir 81 por una cuádruple potencia de tres, ya que en los factores restantes el número 3 aparece bajo los signos de las raíces: 
Es aconsejable reemplazar la raíz de una fracción con una proporción de raíces de la forma , que se puede transformar aún más: 
. Tenemos
Después de realizar operaciones de dos en dos, la expresión resultante tomará la forma , y solo queda transformar el producto de las raíces.
Para transformar productos de raíces, se suele reducir a un indicador, para lo cual es recomendable tomar los indicadores de todas las raíces. En nuestro caso, MCM(12, 6, 12) = 12, y solo habrá que reducir la raíz a este indicador, ya que las otras dos raíces ya tienen dicho indicador. La igualdad, que se aplica de derecha a izquierda, nos permite afrontar esta tarea. Entonces . Teniendo en cuenta este resultado, tenemos 
Ahora el producto de las raíces puede ser reemplazado por la raíz del producto y realizar las transformaciones restantes, ya obvias: 
Escribamos una versión corta de la solución: 
Respuesta:
.
Destacamos por separado que para aplicar las propiedades de las raíces, es necesario tener en cuenta las restricciones impuestas a los números bajo los signos de las raíces (a≥0, etc.). Ignorarlos puede provocar resultados incorrectos. Por ejemplo, sabemos que la propiedad se cumple para a no negativo. En base a esto, podemos movernos fácilmente, por ejemplo, de a, ya que 8 es un número positivo. Pero si tomamos una raíz significativa de un número negativo, por ejemplo, y, según la propiedad indicada anteriormente, la reemplazamos con , entonces en realidad reemplazamos −2 con 2. De hecho, ah. Es decir, para a negativo la igualdad puede ser incorrecta, así como otras propiedades de las raíces pueden ser incorrectas sin tener en cuenta las condiciones especificadas para ellas.
Pero lo dicho en el párrafo anterior no significa en absoluto que las expresiones con números negativos bajo los signos de las raíces no puedan transformarse utilizando las propiedades de las raíces. Solo necesitan estar "preparados" primero aplicando las reglas para operar con números o usando la definición de raíz impar de un número negativo, que corresponde a la igualdad , donde −a es un número negativo (mientras que a es positivo). Por ejemplo, no se puede reemplazar inmediatamente por , ya que −2 y −3 son números negativos, pero nos permite pasar de la raíz a y luego aplicar la propiedad de la raíz de un producto: 
. Y en uno de los ejemplos anteriores, era necesario pasar de raíz a raíz del grado dieciocho no así, sino así 
.
Entonces, para transformar expresiones usando las propiedades de las raíces, necesitas
- elegir propiedad adecuada de la lista,
- asegúrese de que los números debajo de la raíz cumplan las condiciones para la propiedad seleccionada (de lo contrario, deberá realizar transformaciones preliminares),
- y llevar a cabo la transformación prevista.
Convertir expresiones con variables bajo signos radicales.
Para transformar expresiones irracionales que contienen no sólo números sino también variables bajo el signo de raíz, se deben aplicar cuidadosamente las propiedades de las raíces enumeradas en el primer párrafo de este artículo. Esto se debe principalmente a las condiciones que deben cumplir los números involucrados en las fórmulas. Por ejemplo, según la fórmula, la expresión se puede reemplazar por una expresión solo para aquellos valores de x que satisfacen las condiciones x≥0 y x+1≥0, ya que la fórmula especificada se especifica para a≥0 y b ≥0.
¿Cuáles son los peligros de ignorar estas condiciones? La respuesta a esta pregunta queda claramente demostrada con el siguiente ejemplo. Digamos que necesitamos calcular el valor de una expresión en x=−2. Si sustituimos inmediatamente el número −2 en lugar de la variable x, obtendremos el valor que necesitamos 
. Ahora imaginemos que, basándonos en algunas consideraciones, convertimos la expresión dada a la forma y solo después de eso decidimos calcular el valor. Sustituimos el número −2 por x y llegamos a la expresión 
, lo cual no tiene sentido.
Veamos qué sucede con el rango de valores permitidos (APV) de la variable x al pasar de una expresión a otra. No es casualidad que mencionemos la ODZ, ya que es una herramienta seria para monitorear la admisibilidad de las transformaciones realizadas, y un cambio en la ODZ después de transformar una expresión debería, como mínimo, generar señales de alerta. Encontrar la ODZ para estas expresiones no es difícil. Para la expresión ODZ se determina a partir de la desigualdad x·(x+1)≥0, su solución da el conjunto numérico (−∞, −1]∪∪∪
No se imponen restricciones adicionales a los números de la derecha o de la izquierda: si existen los factores raíz, entonces el producto también existe.
Ejemplos. Veamos cuatro ejemplos con números a la vez:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(alinear)\]
Como puedes ver, el significado principal de esta regla es simplificar expresiones irracionales. Y si en el primer ejemplo hubiésemos extraído las raíces de 25 y 4 sin ninguna regla nueva, entonces la cosa se pone difícil: $\sqrt(32)$ y $\sqrt(2)$ no se consideran por sí solos, sino su producto resulta ser un cuadrado perfecto, por lo que su raíz es igual a un número racional.
Me gustaría destacar especialmente la última línea. Allí, ambas expresiones radicales son fracciones. Gracias al producto, se cancelan muchos factores y la expresión completa se convierte en un número adecuado.
Por supuesto, las cosas no siempre serán tan hermosas. A veces habrá una completa porquería debajo de las raíces; no está claro qué hacer con ellas y cómo transformarlas después de la multiplicación. Un poco más tarde, cuando empieces a estudiar ecuaciones y desigualdades irracionales, habrá todo tipo de variables y funciones. Y muy a menudo, los redactores de problemas cuentan con el hecho de que descubrirán algunos términos o factores de cancelación, después de lo cual el problema se simplificará muchas veces.
Además, no es necesario multiplicar exactamente dos raíces. ¡Puedes multiplicar tres, cuatro o incluso diez a la vez! Esto no cambiará la regla. Echar un vistazo:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(alinear)\]
Y de nuevo una pequeña nota sobre el segundo ejemplo. Como puede ver, en el tercer factor debajo de la raíz hay una fracción decimal; en el proceso de cálculo la reemplazamos por una normal, después de lo cual todo se reduce fácilmente. Entonces: recomiendo encarecidamente deshacerse de las fracciones decimales en cualquier expresión irracional (es decir, que contenga al menos un símbolo radical). Esto le ahorrará mucho tiempo y nervios en el futuro.
Pero esto fue una digresión lírica. Ahora consideremos un caso más general: cuando el exponente raíz contiene un número arbitrario $n$, y no solo los dos "clásicos".
El caso de un indicador arbitrario
Entonces, hemos ordenado las raíces cuadradas. ¿Qué hacer con los cúbicos? ¿O incluso con raíces de grado arbitrario $n$? Sí, todo es igual. La regla sigue siendo la misma:
Para multiplicar dos raíces de grado $n$, basta con multiplicar sus expresiones radicales y luego escribir el resultado bajo un radical.
En general, nada complicado. Excepto que la cantidad de cálculos puede ser mayor. Veamos un par de ejemplos:
Ejemplos. Calcular productos:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(alinear)\]
Y de nuevo, atención a la segunda expresión. Multiplicamos las raíces cúbicas, nos deshacemos de la fracción decimal y terminamos con el denominador como el producto de los números 625 y 25. Este es un número bastante grande; personalmente, personalmente, no puedo descifrar a qué equivale desde arriba. de mi cabeza.
Por lo tanto, simplemente aislamos el cubo exacto en el numerador y el denominador, y luego usamos una de las propiedades clave (o, si lo prefieres, la definición) de la raíz $n$ésima:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\izquierda| a\derecho|. \\ \end(alinear)\]
Este tipo de “maquinaciones” pueden ahorrarle mucho tiempo en un examen o prueba, así que recuerde:
No te apresures a multiplicar números usando expresiones radicales. Primero, verifique: ¿qué pasa si el grado exacto de cualquier expresión está "encriptado" allí?
A pesar de la obviedad de esta observación, debo admitir que la mayoría de los estudiantes no preparados no ven los grados exactos a quemarropa. En cambio, lo multiplican todo y luego se preguntan: ¿por qué obtuvieron cifras tan brutales? :)
Sin embargo, todo esto son palabras infantiles en comparación con lo que estudiaremos ahora.
Multiplicar raíces con diferentes exponentes
Bien, ahora podemos multiplicar raíces con los mismos indicadores. ¿Qué pasa si los indicadores son diferentes? Digamos, ¿cómo multiplicar un $\sqrt(2)$ ordinario por alguna basura como $\sqrt(23)$? ¿Es siquiera posible hacer esto?
Sí por supuesto que puedes. Todo se hace según esta fórmula:
Regla para multiplicar raíces. Para multiplicar $\sqrt[n](a)$ por $\sqrt[p](b)$, basta con realizar la siguiente transformación:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Sin embargo, esta fórmula sólo funciona si las expresiones radicales no son negativas. Esto es muy nota IMPORTANTE, al que volveremos un poco más adelante.
Por ahora, veamos un par de ejemplos:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(alinear)\]
Como puedes ver, nada complicado. Ahora averigüemos de dónde viene el requisito de no negatividad y qué pasará si lo violamos. :)
Multiplicar raíces es fácil ¿Por qué las expresiones radicales deben ser no negativas?
Por supuesto, puedes ser como los profesores de escuela y citar el libro de texto con una mirada inteligente:
El requisito de no negatividad está asociado con diferentes definiciones de raíces de grados pares e impares (en consecuencia, sus dominios de definición también son diferentes).
Bueno, ¿ha quedado más claro? Personalmente, cuando leí estas tonterías en octavo grado, entendí algo como lo siguiente: "El requisito de no negatividad está asociado con *#&^@(*#@^#)~%" - en resumen, no No entendí nada en ese momento. :)
Así que ahora explicaré todo de forma normal.
Primero, averigüemos de dónde viene la fórmula de multiplicación anterior. Para ello, permítanme recordarles una propiedad importante de la raíz:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
En otras palabras, podemos elevar fácilmente la expresión radical a cualquier potencia natural $k$; en este caso, el exponente de la raíz tendrá que multiplicarse por la misma potencia. Por lo tanto, podemos reducir fácilmente cualquier raíz a indicador general, luego multiplica. De aquí proviene la fórmula de multiplicación:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Pero hay un problema que limita drásticamente el uso de todas estas fórmulas. Considere este número:
Según la fórmula que acabamos de dar, podemos sumar cualquier grado. Intentemos agregar $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Eliminamos el menos precisamente porque el cuadrado quema el menos (como cualquier otro grado par). Ahora realicemos la transformación inversa: "reduzcamos" los dos en el exponente y la potencia. Después de todo, cualquier igualdad se puede leer tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(alinear)\]
Pero luego resulta ser una especie de basura:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Esto no puede suceder, porque $\sqrt(-5) \lt 0$ y $\sqrt(5) \gt 0$. Esto significa que para potencias pares y números negativos nuestra fórmula ya no funciona. Luego de lo cual tenemos dos opciones:
- Chocar contra la pared y afirmar que las matemáticas son una ciencia estúpida, donde “hay algunas reglas, pero estas son imprecisas”;
- Introducir restricciones adicionales bajo las cuales la fórmula funcionará al 100%.
En la primera opción, tendremos que detectar constantemente casos "que no funcionan": es difícil, requiere mucho tiempo y, en general, es desagradable. Por eso los matemáticos prefirieron la segunda opción. :)
¡Pero no te preocupes! En la práctica, esta limitación no afecta de ninguna manera los cálculos, porque todos los problemas descritos se refieren únicamente a raíces de grado impar, y de ellas se pueden sacar desventajas.
Por lo tanto, formulemos una regla más, que generalmente se aplica a todas las acciones con raíces:
Antes de multiplicar raíces, asegúrese de que las expresiones radicales no sean negativas.
Ejemplo. En el número $\sqrt(-5)$ puedes eliminar el signo menos debajo del signo raíz; entonces todo será normal:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
¿Sientes la diferencia? Si deja un menos debajo de la raíz, cuando la expresión radical se eleva al cuadrado, desaparecerá y comenzará la mierda. Y si primero sacas el signo menos, entonces puedes cuadrar/eliminar hasta que tengas la cara azul; el número seguirá siendo negativo. :)
Así, lo más correcto y lo más manera confiable multiplicar las raíces es la siguiente:
- Elimina todos los negativos de los radicales. Los inconvenientes existen solo en raíces de multiplicidad impar; se pueden colocar delante de la raíz y, si es necesario, reducir (por ejemplo, si hay dos de estos inconvenientes).
- Realice la multiplicación de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente en la lección de hoy. Si los indicadores de las raíces son iguales, simplemente multiplicamos las expresiones radicales. Y si son diferentes, usamos la fórmula malvada \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3.Disfruta del resultado y de las buenas notas. :)
¿Bien? ¿Practicamos?
Ejemplo 1: Simplifica la expresión:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \sqrt(64)=-4; \end(alinear)\]
Esta es la opción más sencilla: las raíces son iguales e impares, el único problema es que el segundo factor es negativo. Eliminamos este inconveniente de la imagen, después de lo cual todo se calcula fácilmente.
Ejemplo 2: Simplifica la expresión:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinear)\]
En este caso, muchos se confundirían por el hecho de que el resultado fuera un número irracional. Sí, sucede: no pudimos deshacernos completamente de la raíz, pero al menos simplificamos significativamente la expresión.
Ejemplo 3: Simplifica la expresión:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Me gustaría llamar su atención sobre esta tarea. Hay dos puntos aquí:
- La raíz no es un número o potencia específica, sino la variable $a$. A primera vista, esto es un poco inusual, pero en realidad, al resolver problemas matemáticos, la mayoría de las veces hay que lidiar con variables.
- Al final logramos “reducir” el indicador radical y el grado de expresión radical. Esto sucede con bastante frecuencia. Y esto significa que era posible simplificar significativamente los cálculos si no se utilizaba la fórmula básica.
Por ejemplo, podrías hacer esto:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(alinear)\]
De hecho, todas las transformaciones se realizaron sólo con el segundo radical. Y si no describe en detalle todos los pasos intermedios, al final la cantidad de cálculos se reducirá significativamente.
De hecho, ya nos encontramos con una tarea similar arriba cuando resolvimos el ejemplo $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ahora se puede escribir mucho más sencillo:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(alinear)\]
Bueno, hemos resuelto la multiplicación de raíces. Ahora consideremos la operación inversa: ¿qué hacer cuando hay un producto debajo de la raíz?
Raíznorte-ésimo grado y sus propiedades básicas
Grado Número Real A con indicador natural PAG hay un trabajo PAG factores, cada uno de los cuales es igual A:
a1 = a; a2 =a·a; A norte =
Por ejemplo,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 veces
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 veces
Número Real A llamado la base del título, A número natural norte- exponente.
Las propiedades básicas de las potencias con exponentes naturales se derivan directamente de la definición: potencia de un número positivo con cualquier PAG mi norte positivo; La potencia de un número negativo con exponente par es positiva, con exponente impar es negativa.
Por ejemplo,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Las acciones con grados se realizan de la siguiente manera: normas.
1. Para multiplicar potencias con las mismas bases basta con sumar los exponentes de las potencias y dejar la base igual, es decir
Por ejemplo, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Para dividir potencias con las mismas bases basta con restar el exponente del divisor al índice del dividendo y dejar la base igual, es decir
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Para elevar un grado a una potencia basta con multiplicar los exponentes dejando la base igual, es decir
(ap)metro = en·p. Por ejemplo, (23)2 = 26.
4. Para elevar un producto a una potencia, basta con elevar cada factor a esta potencia y multiplicar los resultados, es decir
(A b)PAG= ap∙bPAG.
Por ejemplo, (2у3)2= 4y6.
5. Para elevar una fracción a una potencia, basta con elevar el numerador y el denominador por separado a esta potencia y dividir el primer resultado por el segundo, es decir
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Tenga en cuenta que a veces resulta útil leer estas fórmulas de derecha a izquierda. En este caso se convierten en reglas. Por ejemplo, en el caso 4, apvp= (a)p obtenemos la siguiente regla: a Para multiplicar potencias con los mismos exponentes basta con multiplicar las bases dejando el exponente igual.
Usar esta regla es efectivo, por ejemplo, al calcular el siguiente producto
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Demos ahora la definición de raíz.
Raíz enésimo grado de un número real A llamado un número real X, cuya enésima potencia es igual a A.
Evidentemente, de acuerdo con las propiedades básicas de las potencias con exponentes naturales, de cualquier número positivo existen dos valores opuestos de la raíz de una potencia par, por ejemplo, los números 4 y -4 son raíces cuadradas de 16, ya que ( -4)2 = 42 = 16, y los números 3 y -3 son las raíces cuartas de 81, ya que (-3)4 = 34 = 81.
Además, no existe una raíz par de un número negativo porque la potencia par de cualquier número real no es negativa. En cuanto a la raíz impar, para cualquier número real sólo existe una raíz impar de ese número. Por ejemplo, 3 es la raíz tercera de 27, ya que 33 = 27, y -2 es la raíz quinta de -32, ya que (-2)5 = 32.
Debido a la existencia de dos raíces de grado par de un número positivo, introducimos el concepto de raíz aritmética para eliminar esta ambigüedad de la raíz.
Valor no negativo enésima raíz Las potencias de un número no negativo se llaman. raíz aritmética.
Por ejemplo, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Cabe recordar que a la hora de resolver ecuaciones irracionales, sus raíces siempre se consideran aritméticas.
Observemos la propiedad principal de la raíz enésima.
El tamaño de la raíz no cambiará si los indicadores de la raíz y el grado de la expresión radical se multiplican o dividen por el mismo número natural, es decir
Ejemplo 7. Reducir a un denominador común y
Volví a mirar el cartel... ¡Y vamos!
Comencemos con algo simple:
Solo un minuto. esto, lo que significa que podemos escribirlo así:
¿Entiendo? Aquí tienes el siguiente:
¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:
¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:
Ahora completamente solo:
Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es conocer la tabla de multiplicar!
División de raíces
Hemos resuelto la multiplicación de raíces, ahora pasemos a la propiedad de la división.
Permítanme recordarles que la fórmula en vista general tiene este aspecto:
Lo que significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.
Bueno, veamos algunos ejemplos:
Eso es todo lo que es la ciencia. He aquí un ejemplo:
No todo es tan sencillo como en el primer ejemplo, pero, como puedes ver, no hay nada complicado.
¿Qué pasa si te encuentras con esta expresión?
Sólo necesitas aplicar la fórmula en la dirección opuesta:
Y aquí hay un ejemplo:
También puedes encontrarte con esta expresión:
Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no lo recuerdas, ¡mira el tema y regresa!). ¿Te acuerdas? ¡Ahora decidamos!
Estoy seguro de que lo has hecho todo, ahora intentemos levantar las raíces un poco.
exponenciación
Lo que sucederá si Raíz cuadrada¿Encuadrelo? Es simple, recuerda el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.
Entonces, si elevamos al cuadrado un número cuya raíz cuadrada es igual, ¿qué obtenemos?
Bueno, ¡por supuesto!
Veamos ejemplos:
Es simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si la raíz está en un grado diferente? ¡Está bien!
Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y posibles acciones con grados.
Lea la teoría sobre el tema "" y todo le quedará muy claro.
Por ejemplo, aquí hay una expresión:
En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:
Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:
Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:
Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve los ejemplos tú mismo:
Y aquí están las respuestas:
Entrando bajo el signo de la raíz.
¡Qué no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Todo lo que queda es practicar ingresando el número debajo del signo raíz!
¡Es realmente fácil!
Digamos que tenemos un número escrito.
¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!
¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:
¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo Debemos recordar que sólo podemos introducir números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.
Resuelva este ejemplo usted mismo:
¿Lograste? Veamos qué deberías conseguir:
¡Bien hecho! ¡Logró ingresar el número debajo del signo raíz! Pasemos a algo igualmente importante: ¡veamos cómo comparar números que contienen una raíz cuadrada!
Comparación de raíces
¿Por qué necesitamos aprender a comparar números que contienen una raíz cuadrada?
Muy simple. A menudo, en las expresiones grandes y largas que encontramos en el examen, recibimos una respuesta irracional (¿recuerdas qué es esto? ¡Ya hablamos de esto hoy!)
Necesitamos colocar las respuestas recibidas en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí surge el problema: no hay calculadora en el examen, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Eso es todo!
Por ejemplo, determine cuál es mayor: ¿o?
No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz.
Entonces adelante:
Bueno, obviamente, cuanto mayor sea el número debajo del signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!
Aquellos. si, entonces, .
De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!
Extraer raíces de grandes cantidades
Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas factorizarlo en factores y extraer lo que extraes!
Fue posible tomar un camino diferente y expandirse hacia otros factores:
No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.
La factorización es muy útil para resolver problemas no estándar como este:
¡No tengamos miedo, sino actuemos! Descompongamos cada factor bajo la raíz en factores separados:
Ahora pruébalo tú mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):
¿Es este el final? ¡No nos detengamos a mitad de camino!
Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?
¿Sucedió? ¡Bien hecho, así es!
Ahora prueba este ejemplo:
Pero el ejemplo es un hueso duro de roer, por lo que no se puede descubrir de inmediato cómo abordarlo. Pero, por supuesto, podemos manejarlo.
Bueno, ¿empecemos a factorizar? Notemos de inmediato que puedes dividir un número por (recuerda los signos de divisibilidad):
Ahora, pruébalo tú mismo (¡nuevamente, sin calculadora!):
Bueno, ¿funcionó? ¡Bien hecho, así es!
resumámoslo
- La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a.
. - Si simplemente sacamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
- Propiedades de una raíz aritmética:
- Al comparar raíces cuadradas es necesario recordar que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.
¿Cómo es la raíz cuadrada? ¿Todo claro?
Intentamos explicarte sin complicaciones todo lo que necesitas saber en el examen sobre la raíz cuadrada.
Es tu turno. Escríbenos si este tema te resulta difícil o no.
¿Aprendiste algo nuevo o ya estaba todo claro?
¡Escribe en los comentarios y buena suerte en tus exámenes!
