और फिर प्रश्न: समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
ठीक है - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारी विशेषता 2 याद रखें)।
और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब है कि हीरे के विपरीत कोने बराबर हैं, विपरीत पक्ष समानांतर हैं, और विकर्ण चौराहे के बिंदु से आधा हो गए हैं।
हीरा गुण
तस्वीर पर देखो:
जैसा कि आयत के मामले में, ये गुण विशिष्ट हैं, अर्थात इनमें से प्रत्येक गुण के लिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे पास केवल एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, बल्कि एक समचतुर्भुज है।
एक समचतुर्भुज के लक्षण
और फिर से, ध्यान दें: लंबवत विकर्णों वाला केवल एक चतुर्भुज नहीं होना चाहिए, बल्कि एक समांतर चतुर्भुज होना चाहिए। सुनिश्चित करें:
बिल्कुल नहीं, हालांकि इसके विकर्ण लंबवत हैं, और विकर्ण कोणों का द्विभाजक है और। लेकिन ... विकर्ण विभाजित नहीं हैं, चौराहे का बिंदु आधा है, इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज नहीं है, और इसलिए एक समचतुर्भुज नहीं है।
यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलिए देखते हैं क्या होता है।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? - समचतुर्भुज - कोण A का समद्विभाजक, जो किसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।
खैर, यह बहुत स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
औसत स्तर
चतुर्भुज के गुण। चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज गुण
ध्यान! शब्दों " समांतर चतुर्भुज गुण"मतलब कि अगर आपके पास कोई काम है वहाँ हैसमांतर चतुर्भुज, तो निम्नलिखित में से सभी का उपयोग किया जा सकता है।
समांतर चतुर्भुज के गुणों पर प्रमेय।
किसी भी समांतर चतुर्भुज में:
आइए समझते हैं कि यह सब सच क्यों है, दूसरे शब्दों में हम साबित करेंगेप्रमेय
तो १) सच क्यों है?
एक बार समांतर चतुर्भुज है, तो:
- क्रिस-क्रॉस के रूप में
- के रूप में पड़ा हुआ है।
इसलिए, (द्वितीय विशेषता के अनुसार: और - सामान्य।)
खैर, और एक बार, फिर - बस! - साबित।
लेकिन वैसे! इस मामले में, हमने 2 भी साबित कर दिया)!
क्यों? लेकिन आखिरकार (तस्वीर को देखें), यानी क्योंकि।
केवल 3 बचे हैं)।
ऐसा करने के लिए, आपको अभी भी दूसरा विकर्ण खींचना है।
और अब हम देखते हैं कि - II विशेषता के अनुसार (कोण और पक्ष "उनके बीच")।
गुण सिद्ध! आइए सुविधाओं पर चलते हैं।
समांतर चतुर्भुज संकेत
याद रखें कि समांतर चतुर्भुज विशेषता "कैसे पता करें?" प्रश्न का उत्तर देती है कि एक आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
आइकन में यह इस प्रकार है:
क्यों? यह समझना अच्छा होगा कि क्यों - बस इतना ही। लेकिन देखो:
खैर, हमें पता चला कि साइन 1 सच क्यों है।
खैर, यह और भी आसान है! फिर से एक विकर्ण ड्रा करें।
इसका मतलब है की:
तथाआसान भी। लेकिन ... अलग तरीके से!
साधन, । वाह! लेकिन यह भी - आंतरिक एकतरफा एक secant के साथ!
इसलिए, तथ्य इसका मतलब है।
और अगर आप दूसरी तरफ से देखते हैं, तो - आंतरिक एक तरफा एक छेदक के साथ! और इसीलिए।
देखो यह कितना अच्छा है?!
और फिर, बस:
इसी तरह, और।
ध्यान दें:अगर आपको मिल गया कम से कमआपकी समस्या में समांतर चतुर्भुज का एक चिन्ह है, तो आपके पास है बिल्कुलसमांतर चतुर्भुज और आप उपयोग कर सकते हैं सभी के द्वारासमांतर चतुर्भुज गुण।
पूरी स्पष्टता के लिए, आरेख को देखें:
चतुर्भुज के गुण। आयत।
आयत गुण:
बिंदु १) बिल्कुल स्पष्ट है - आखिरकार, फीचर ३ ()
और बिंदु २) - बहोत महत्वपूर्ण... तो, आइए साबित करते हैं कि
तो, दो पैरों पर (और - आम)।
चूँकि त्रिभुज बराबर होते हैं, तो उनके कर्ण भी बराबर होते हैं।
साबित कर दिया!
और कल्पना कीजिए, विकर्णों की समानता सभी समांतर चतुर्भुजों के बीच एक आयत का एक विशिष्ट गुण है। अर्थात्, निम्नलिखित कथन सत्य है ^
आइए समझते हैं क्यों?
इसलिए, (हमारा मतलब समांतर चतुर्भुज के कोणों से है)। लेकिन आइए हम एक बार फिर याद करें कि यह एक समांतर चतुर्भुज है, और इसलिए।
साधन, । और, ज़ाहिर है, इससे यह पता चलता है कि उनमें से प्रत्येक अलग है! आखिर उन्हें कितनी राशि देनी होगी!
तो उन्होंने साबित कर दिया कि अगर समानांतर चतुर्भुजअचानक (!) समान विकर्ण होंगे, तो यह बिल्कुल आयत.
परंतु! ध्यान दें!इस बारे में है समानांतर चतुर्भुज! कोई भी नहींसमान विकर्णों वाला एक चतुर्भुज एक आयत होता है, और केवलसमांतर चतुर्भुज!
चतुर्भुज के गुण। विषमकोण
और फिर प्रश्न: समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है या नहीं?
पूर्ण अधिकार के साथ - एक समांतर चतुर्भुज, क्योंकि इसमें और (हमारी विशेषता 2 याद रखें)।
और फिर, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसमें समांतर चतुर्भुज के सभी गुण होने चाहिए। इसका मतलब है कि हीरे के विपरीत कोने बराबर हैं, विपरीत पक्ष समानांतर हैं, और विकर्ण चौराहे के बिंदु से आधा हो गए हैं।
लेकिन विशेष गुण भी हैं। हम तैयार करते हैं।
हीरा गुण
क्यों? ठीक है, चूंकि एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण आधे हो जाते हैं।
क्यों? हां, क्योंकि!
दूसरे शब्दों में, विकर्ण समचतुर्भुज के कोनों के समद्विभाजक निकले।
आयत की तरह, ये गुण हैं - विशेष, उनमें से प्रत्येक एक समचतुर्भुज का चिन्ह भी है।
एक रोम्बस के लक्षण।
ऐसा क्यों है? और देखो,
इसलिए, और दोनोंये त्रिभुज समद्विबाहु हैं।
एक समचतुर्भुज होने के लिए, एक चतुर्भुज को पहले एक समांतर चतुर्भुज "बनना" चाहिए, और फिर उसे चिह्न 1 या चिह्न 2 प्रदर्शित करना चाहिए।
चतुर्भुज के गुण। वर्ग
यानी एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज है। चलिए देखते हैं क्या होता है।
क्या यह स्पष्ट है क्यों? वर्ग - समचतुर्भुज - कोण का समद्विभाजक, जो किसके बराबर होता है। तो यह (और भी) दो कोणों में विभाजित करता है।
खैर, यह बहुत स्पष्ट है: आयत के विकर्ण बराबर हैं; समचतुर्भुज विकर्ण लंबवत होते हैं, और सामान्य तौर पर - समांतर चतुर्भुज विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित किया जाता है।
क्यों? ठीक है, बस पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें।
सारांश और बुनियादी सूत्र
समांतर चतुर्भुज गुण:
- विपरीत भुजाएँ समान हैं:,।
- सम्मुख कोण बराबर होते हैं:,.
- एक तरफ के कोण जोड़ते हैं:,।
- विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधा कर दिया जाता है:।
आयत गुण:
- आयत के विकर्ण हैं:।
- आयत - समांतर चतुर्भुज (एक आयत के लिए, सभी समांतर चतुर्भुज गुण पूरे होते हैं)।
हीरा गुण:
- समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं:।
- एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं:; ; ; ...
- समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है (एक समचतुर्भुज के लिए, समांतर चतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं)।
वर्ग गुण:
एक वर्ग एक ही समय में एक समचतुर्भुज और एक आयत है, इसलिए, एक वर्ग के लिए, एक आयत और एक समचतुर्भुज के सभी गुण पूरे होते हैं। साथ ही साथ।
आज हम एक ज्यामितीय आकृति पर विचार करेंगे - एक चतुर्भुज। इस आकृति के नाम से ही यह स्पष्ट हो जाता है कि इस आकृति के चार कोने हैं। लेकिन हम नीचे इस आंकड़े की बाकी विशेषताओं और गुणों पर विचार करेंगे।
चतुर्भुज क्या है
चतुर्भुज - एक बहुभुज जिसमें चार बिंदु (शीर्ष) और चार रेखा खंड (भुजाएँ) होते हैं जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण के बराबर होता है।
एक चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसमें चार शीर्ष होते हैं, जिनमें से तीन संरेख नहीं होते हैं।
चतुर्भुज के प्रकार
- जिस चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं, वह समांतर चतुर्भुज कहलाता है।
- एक चतुर्भुज जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं, समलम्बाकार कहलाते हैं।
- एक चतुर्भुज जिसके सभी कोने सीधे हों, एक आयत है।
- एक आयत जिसकी सभी भुजाएँ समान हों एक समचतुर्भुज होता है।
- एक चतुर्भुज जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण सीधे हों, वर्ग कहलाता है।
चतुर्भुज हो सकता है:
स्वयं का प्रतिच्छेदन
गैर-उत्तल
उत्तल
स्व-प्रतिच्छेद करने वाला चतुर्भुज- यह एक चतुर्भुज है, जिसमें इसके किसी भी पक्ष का एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है (आकृति में नीले रंग में)।
गैर-उत्तल चतुर्भुज- यह एक चतुर्भुज है, जिसमें आंतरिक कोणों में से एक 180 डिग्री से अधिक है (आकृति में यह नारंगी में चिह्नित है)।
कोणों का योगकोई भी चतुर्भुज जो आत्म-प्रतिच्छेद नहीं करता है वह हमेशा 360 डिग्री होता है।
विशेष प्रकार के चतुर्भुज
चतुर्भुज में अतिरिक्त गुण हो सकते हैं, जिससे विशेष प्रकार की ज्यामितीय आकृतियाँ बनती हैं:
- चतुर्भुज
- आयत
- वर्ग
- चतुर्भुज
- त्रिभुजाकार
- प्रतिसमांतर चतुर्भुज
चतुर्भुज और वृत्त
एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज (एक चतुर्भुज में अंकित एक वृत्त)।
वर्णित चतुर्भुज की मुख्य संपत्ति:
एक वृत्त के चारों ओर एक चतुर्भुज का वर्णन किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत पक्षों की लंबाई का योग बराबर हो।
एक वृत्त में अंकित एक चतुर्भुज (एक चतुर्भुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त)
उत्कीर्ण चतुर्भुज की मुख्य संपत्ति:
एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री हो।
चतुर्भुज पक्ष लंबाई गुण
चतुर्भुज की किन्हीं दो भुजाओं के अंतर का मापांकइसकी दो अन्य पार्टियों के योग से अधिक नहीं है।
|ए - बी | ≤ सी + डी
|ए - सी | ≤ बी + डी
|ए - डी | ≤ बी + सी
|बी - सी | ए + डी
|बी - डी | ए + बी
|सी - डी | ए + बी
जरूरी... असमानता चतुर्भुज के पक्षों के किसी भी संयोजन के लिए सही है। आंकड़ा केवल संदर्भ की आसानी के लिए है।
किसी भी चतुर्भुज में इसकी तीनों भुजाओं की लंबाई का योग चौथी भुजा की लंबाई से कम नहीं है.
जरूरी... स्कूली पाठ्यक्रम में समस्याओं को हल करते समय, आप सख्त असमानता का उपयोग कर सकते हैं (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
गणना करने के लिए, आपको ActiveX नियंत्रण सक्षम करने होंगे!
एक उत्तल चतुर्भुज एक आकृति है जिसमें चार भुजाएँ शीर्ष पर जुड़ी होती हैं, जो भुजाओं के साथ चार कोनों का निर्माण करती हैं, जबकि चतुर्भुज हमेशा उसी समतल में होता है, जिस पर उसकी एक भुजा होती है। दूसरे शब्दों में, पूरी आकृति दोनों तरफ एक तरफ होती है।
के साथ संपर्क में
जैसा कि आप देख सकते हैं, परिभाषा को याद रखना बहुत आसान है।
मूल गुण और प्रकार
उत्तल चतुर्भुज में लगभग सभी आकृतियाँ शामिल होती हैं जिन्हें हम जानते हैं, जिनमें चार कोने और भुजाएँ होती हैं। निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है:
- समांतर चतुर्भुज;
- वर्ग;
- आयत;
- समलंब;
- समचतुर्भुज
ये सभी आंकड़े न केवल इस तथ्य से एकजुट हैं कि वे चतुष्कोणीय हैं, बल्कि इस तथ्य से भी कि वे उत्तल भी हैं। यह केवल आरेख पर विचार करने के लिए पर्याप्त है:
चित्र एक उत्तल समलम्ब को दर्शाता है... यहाँ आप देख सकते हैं कि समलम्ब चतुर्भुज एक ही तल पर या खंड के एक तरफ है। यदि आप इसी तरह की कार्रवाई करते हैं, तो आप पता लगा सकते हैं कि अन्य सभी पक्षों के मामले में, समलम्बाकार उत्तल है।
क्या एक समांतर चतुर्भुज एक उत्तल चतुर्भुज है?
ऊपर एक समांतर चतुर्भुज की एक छवि है। जैसा कि आप तस्वीर से देख सकते हैं, समांतर चतुर्भुज भी उत्तल है... यदि आप उन रेखाओं के संबंध में आकृति को देखें जिन पर खंड AB, BC, CD और AD स्थित हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि यह इन रेखाओं से हमेशा एक ही तल पर होता है। समांतर चतुर्भुज की मुख्य विशेषता यह है कि इसकी भुजाएँ समान्तर और जोड़ी में समान होती हैं, ठीक वैसे ही जैसे विपरीत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
अब, एक वर्ग या आयत की कल्पना करें। उनके मुख्य गुणों के अनुसार, वे समांतर चतुर्भुज भी हैं, अर्थात उनके सभी पक्ष समानांतर में जोड़े में स्थित हैं। केवल एक आयत के मामले में, पक्षों की लंबाई भिन्न हो सकती है, और कोने सीधे (90 डिग्री के बराबर) होते हैं, एक वर्ग एक आयत होता है जिसमें सभी पक्ष समान होते हैं और कोण भी सीधे होते हैं, और एक के लिए समांतर चतुर्भुज, भुजाओं और कोणों की लंबाई भिन्न हो सकती है।
परिणामस्वरूप, चतुर्भुज के चारों कोनों का योग 360 डिग्री के बराबर होना चाहिए... इसे निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका आयत है: आयत के चारों कोने सीधे हैं, यानी 90 डिग्री के बराबर। इन 90-डिग्री कोणों का योग 360 डिग्री देता है, दूसरे शब्दों में, यदि आप 90 डिग्री 4 बार जोड़ते हैं, तो आपको वांछित परिणाम मिलता है।
उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों का गुण
उत्तल चतुर्भुज प्रतिच्छेद के विकर्ण... वास्तव में, इस घटना को नेत्रहीन रूप से देखा जा सकता है, बस चित्र को देखें:
बाईं ओर की आकृति एक गैर-उत्तल चतुर्भुज या चतुर्भुज दिखाती है। जैसी आपकी इच्छा। जैसा कि आप देख सकते हैं, विकर्ण प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, कम से कम उनमें से सभी नहीं। दाईं ओर एक उत्तल चतुर्भुज है। विकर्णों का प्रतिच्छेद करने का गुण यहाँ पहले ही देखा जा चुका है। एक ही गुण को चतुर्भुज की उत्तलता का संकेत माना जा सकता है।
चतुर्भुज की उत्तलता के लिए अन्य गुण और मानदंड
विशेष रूप से इस शब्द के लिए, किसी विशिष्ट गुण और संकेत का नाम देना बहुत कठिन है। इस प्रकार के विभिन्न प्रकार के चतुर्भुजों द्वारा पृथक करना आसान होता है। आप एक समांतर चतुर्भुज से शुरू कर सकते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक चतुर्भुज आकृति है, जिसकी भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर और बराबर हैं। साथ ही, इसमें समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करने की संपत्ति भी शामिल है, साथ ही साथ आकृति की उत्तलता का संकेत भी शामिल है: समांतर चतुर्भुज हमेशा एक ही तल में होता है और किसी भी एक के सापेक्ष एक तरफ होता है। इसके पक्ष।
इसलिए, मुख्य संकेत और गुण ज्ञात हैं:
- चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री है;
- आकृतियों के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
आयत... इस आकृति में समांतर चतुर्भुज के समान सभी गुण और विशेषताएं हैं, लेकिन साथ ही इसके सभी कोण 90 डिग्री के बराबर हैं। इसलिए नाम - आयत।
वर्ग, वही समांतर चतुर्भुज, लेकिन इसके कोने एक आयत की तरह सीधे होते हैं। इस वजह से, एक वर्ग को शायद ही कभी आयत कहा जाता है। लेकिन पहले से ही ऊपर सूचीबद्ध लोगों के अलावा, एक वर्ग की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि इसकी चारों भुजाएँ समान हैं।
समलम्ब चतुर्भुज एक बहुत ही रोचक आकृति है।... यह भी एक चतुर्भुज है और उत्तल भी। इस लेख में, एक चित्र के उदाहरण का उपयोग करते हुए ट्रेपेज़ॉइड पर पहले ही विचार किया जा चुका है। यह स्पष्ट है कि यह उत्तल भी है। मुख्य अंतर, और तदनुसार एक ट्रैपेज़ॉयड का संकेत यह है कि इसके पक्ष लंबाई में एक दूसरे के बराबर नहीं हो सकते हैं, साथ ही इसके कोण मूल्य में भी हो सकते हैं। इस मामले में, किसी भी सीधी रेखा के संबंध में आकृति हमेशा एक ही तल पर रहती है, जो आकृति बनाने वाले खंडों के साथ इसके किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ती है।
समचतुर्भुज एक समान रूप से दिलचस्प आकृति है... भाग में, एक वर्ग को एक समचतुर्भुज माना जा सकता है। एक समचतुर्भुज का संकेत यह तथ्य है कि इसके विकर्ण न केवल प्रतिच्छेद करते हैं, बल्कि समचतुर्भुज के कोनों को भी आधे में विभाजित करते हैं, और विकर्ण स्वयं समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, अर्थात वे लंबवत हैं। यदि समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई समान है, तो जब वे प्रतिच्छेद करते हैं तो विकर्ण भी आधे हो जाते हैं।
Deltoids या उत्तल rhomboids (rhombuses)पक्षों की अलग-अलग लंबाई हो सकती है। लेकिन साथ ही, समचतुर्भुज के मूल गुण और विशेषताएं, और उत्तलता की विशेषताएं और गुण दोनों अभी भी संरक्षित हैं। अर्थात्, हम देख सकते हैं कि विकर्ण कोनों को आधे में विभाजित करते हैं और समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
आज का कार्य यह विचार करना और समझना था कि उत्तल चतुर्भुज क्या हैं, वे क्या हैं और उनकी मुख्य विशेषताएं और गुण क्या हैं। ध्यान! यह फिर से याद करने योग्य है कि उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग 360 डिग्री होता है। उदाहरण के लिए, आकृतियों का परिमाप, आकृति बनाने वाले सभी रेखाखंडों की लंबाई के योग के बराबर होता है। निम्नलिखित लेखों में चतुर्भुजों की परिधि और क्षेत्रफल की गणना के सूत्रों पर चर्चा की जाएगी।
उत्तल चतुर्भुज के प्रकार
परिभाषा।एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें विपरीत पक्ष जोड़ीदार समानांतर होते हैं।
संपत्ति।एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
संपत्ति।समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधा कर दिया जाता है।
समांतर चतुर्भुज का 1 चिन्ह।यदि एक चतुर्भुज में दो भुजाएँ समान और समानांतर हैं, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज का 2 चिह्न।यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार बराबर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
एक समांतर चतुर्भुज का 3 चिन्ह।यदि एक चतुर्भुज में विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
परिभाषा।समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो भुजाएँ समानांतर होती हैं और अन्य दो भुजाएँ समानांतर नहीं होती हैं। समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं मैदान।
समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है समद्विबाहु (समद्विबाहु)यदि इसकी भुजाएँ समान हैं। एक समद्विबाहु समलम्ब में, आधारों पर कोण बराबर होते हैं।
एक समलम्ब चतुर्भुज, जिसका एक कोना सीधा होता है, कहलाता है आयताकार.
भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को कहते हैं ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा... मध्य रेखा आधारों के समानांतर है और उनके आधे योग के बराबर है।
परिभाषा।आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोने सीधे होते हैं।
संपत्ति।आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।
एक आयत का चिन्ह।यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो यह समांतर चतुर्भुज एक आयत है।
परिभाषा।एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज कहलाता है जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
संपत्ति।समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं और इसके कोने आधे होते हैं।
परिभाषा।वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
एक वर्ग एक आयत का एक विशेष दृश्य है, साथ ही एक समचतुर्भुज का एक विशेष दृश्य है। इसलिए, इसमें उनके सभी गुण हैं।
गुण:
1. वर्ग के सभी कोने सीधे हैं
2. वर्ग के विकर्ण समान हैं, परस्पर लंबवत हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु आधा है और वर्ग के कोने आधे हैं।
1 ... एक उत्तल चतुर्भुज के विकर्णों का योग उसकी दो विपरीत भुजाओं के योग से अधिक होता है।
2 ... यदि विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड चतुष्कोष
ए) बराबर हैं, तो चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं;
बी) लंबवत हैं, तो चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हैं।
3 ... समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्ष में कोणों के द्विभाजक इसकी मध्य रेखा पर प्रतिच्छेद करते हैं।
4 ... समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर होती हैं और। तब समांतर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक के चौराहों से बनने वाला चतुर्भुज एक आयत होता है जिसके विकर्ण बराबर होते हैं।
5 ... यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधारों में से किसी एक पर कोणों का योग 90 ° है, तो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उनके आधे-अंतर के बराबर है।
6 ... किनारे पर अबतथा विज्ञापनसमानांतर चतुर्भुज ऐ बी सी डीअंक लिए गए एमतथा एनताकि सीधा एम सीतथा एनसीसमांतर चतुर्भुज को तीन बराबर भागों में विभाजित करें। पाना एमएन,अगर बीडी = डी।
7 ... ट्रेपेज़ॉइड के आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा का एक खंड, जो ट्रेपोज़ॉइड के अंदर संलग्न है, इसके विकर्णों द्वारा तीन भागों में विभाजित किया गया है। फिर पार्श्व पक्षों से सटे खंड एक दूसरे के बराबर होते हैं।
8 ... आधारों के साथ समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के चौराहे के बिंदु के माध्यम से और आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा खींची जाती है। समलम्ब चतुर्भुज के पार्श्व पक्षों के बीच संलग्न इस सीधी रेखा का खंड बराबर है।
9 ... समलम्ब चतुर्भुज को उसके आधारों के समानांतर एक सीधी रेखा से विभाजित किया जाता है, बराबर और , दो समान समलम्ब चतुर्भुजों में। फिर पार्श्व पक्षों के बीच संलग्न इस रेखा का खंड बराबर है।
10 ... यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है, तो चार अंक ए, बी, सीतथा डीएक ही घेरे पर लेट जाओ।
लेकिन) सीएडी = सीबीडी = 90 डिग्री।
बी) अंक लेकिनतथा मेंएक सीधी रेखा के एक तरफ लेटें सीडीऔर कोण पाजीकोण के बराबर सीबीडी।
सी) सीधे जैसातथा बीडीबिंदु पर प्रतिच्छेद करें हेतथा = आयुध डिपो।
11 ... लाइन कनेक्टिंग पॉइंट आरचतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन एबीसीडी के साथबिंदु क्यूसीधी रेखाओं के चौराहे अबतथा सीडी,पक्ष विभाजित करता है विज्ञापनआधे में। फिर वह आधा हो जाता है और पक्ष रवि।
12 ... उत्तल चतुर्भुज की प्रत्येक भुजा को तीन बराबर भागों में बांटा गया है। सम्मुख भुजाओं पर संगत विभाजन बिंदु रेखाखंडों से जुड़े होते हैं। फिर ये खंड एक दूसरे को तीन बराबर भागों में बांटते हैं।
13 ... दो सीधी रेखाएँ उत्तल चतुर्भुज की दो विपरीत भुजाओं में से प्रत्येक को तीन बराबर भागों में विभाजित करती हैं। फिर इन रेखाओं के बीच चतुर्भुज के क्षेत्रफल का एक तिहाई है।
14 ... यदि एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो उन बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड जिस पर खुदा हुआ वृत्त चतुर्भुज के विपरीत पक्षों को स्पर्श करता है, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है।
15 ... यदि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो, तो ऐसे चतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।
16. परस्पर लंबवत विकर्णों वाले एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के गुण।चतुष्कोष ऐ बी सी डीत्रिज्या के एक चक्र में खुदा हुआ आर।इसके विकर्ण जैसातथा बीडीपरस्पर लंबवत और बिंदु पर प्रतिच्छेद आर।फिर
a) त्रिभुज की माध्यिका एआरवीपक्ष के लंबवत सीडी;
बी) टूटी हुई रेखा एओसीएक चतुर्भुज को विभाजित करता है ऐ बी सी डीदो बराबर टुकड़ों में;
में) एबी 2 + सीडी 2=4आर 2 ;
जी) एपी 2 + बीपी 2 + सीपी 2 + डीपी 2 = 4आर 2 और एबी 2 + बीसी 2 + सीडी 2 + एडी 2 = 8आर 2;
e) वृत्त के केंद्र से चतुर्भुज की भुजा की दूरी विपरीत भुजा की आधी है।
च) यदि लंबवत नीचे की ओर है विज्ञापनचोटियों से मेंतथा साथ,विकर्णों को पार करें जैसातथा बीडीअंक में इतथा एफ,फिर बीसीएफई- समचतुर्भुज;
छ) एक चतुर्भुज, जिसके शीर्ष एक बिंदु के प्रक्षेपण हैं आरचतुर्भुज के पक्षों के लिए ऐ बी सी डी,- अंकित और वर्णित दोनों;
h) एक चतुर्भुज के परिबद्ध वृत्त पर स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित एक चतुर्भुज ऐ बी सी डी,इसके शीर्षों पर खींचा गया एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है।
17 ... अगर ए, बी, सी, डी- एक चतुर्भुज की लगातार भुजाएँ, एस- इसका क्षेत्रफल, तब, और समानता केवल एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के लिए होती है, जिसके विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।
18
. ब्रह्मगुप्त का सूत्र।यदि खुदे हुए चतुर्भुज की भुजाएँ बराबर हों ए, बी, सीतथा डी,तो उसका क्षेत्रफल एससूत्र द्वारा गणना की जा सकती है,
कहाँ पे 
- एक चतुर्भुज का अर्ध-परिधि।
19 ... यदि भुजाओं वाला एक चतुर्भुज लेकिन, बी, सी, डीअंकित किया जा सकता है और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो इसका क्षेत्रफल है .
20 ... बिंदु P वर्ग के अंदर स्थित है ऐ बी सी डी,और कोण पीएबीकोण के बराबर पीबीएऔर बराबर है 15 डिग्री। फिर त्रिभुज डीपीसी- समबाहु।
21 ... यदि एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के लिए ऐ बी सी डीसमानता रखती है सीडी = एडी + बीसी,तो उसके कोनों के समद्विभाजक लेकिनतथा मेंकिनारे पर प्रतिच्छेद सीडी.
22 ... विपरीत पक्षों की निरंतरता अबतथा सीडीउत्कीर्ण चतुर्भुज ऐ बी सी डीबिंदु पर प्रतिच्छेद करें एम,और पार्टियों विज्ञापनतथा रवि- बिंदु पर एन।फिर
ए) कोणों के द्विभाजक एएमडीतथा डीएनसीपरस्पर लंबवत;
बी) सीधे क्यूतथा एनक्यूचतुर्भुज की भुजाओं को समचतुर्भुज के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करें;
सी) चौराहे बिंदु क्यूइन समद्विभाजक चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड पर स्थित हैं ऐ बी सी डी।
23 . टॉलेमी का प्रमेय।एक उत्कीर्ण चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के दो युग्मों के गुणनफलों का योग उसके विकर्णों के गुणनफल के बराबर होता है।
24 . न्यूटन का प्रमेय।किसी भी वर्णित चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्य और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।
25 . मोंगे का प्रमेय।खुदा हुआ चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से होकर विपरीत भुजाओं पर खींची गई रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
27 ... उत्तल चतुर्भुज के किनारों पर व्यास के रूप में निर्मित चार वृत्त, पूरे चतुर्भुज को कवर करते हैं।
29 ... एक उत्तल चतुर्भुज के दो विपरीत कोने अधिक मोटे होते हैं। तब इन कोनों के शीर्षों को जोड़ने वाला विकर्ण दूसरे विकर्ण से छोटा होता है।
30. इसके बाहर समांतर चतुर्भुज के किनारों पर बने वर्गों के केंद्र स्वयं एक वर्ग बनाते हैं।
