Radicen-esimo grado e sue proprietà di base
Livello numero reale ma con un tasso naturale NS c'è un lavoro NS fattori, ciascuno dei quali è uguale a ma:
a1 = a; a2 = a * a; ma n =
Per esempio,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
Cinque volte
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 volte
Numero reale ma sono chiamati la base del grado, ma numero naturale n - esponente.
Le proprietà di base dei gradi con esponente naturale derivano direttamente dalla definizione: il grado di un numero positivo con qualsiasi NS e n positivo; il grado di un numero negativo con esponente pari è positivo, con esponente dispari è negativo.
Per esempio,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Le azioni con gradi vengono eseguite come segue regole.
1. Per moltiplicare i gradi con le stesse basi basta sommare gli esponenti e lasciare uguale la base, cioè
Ad esempio, p5 ∙ p3 = p5 + 3 = p8
2. Per dividere le potenze con le stesse basi basta sottrarre il divisore dall'indice del dividendo, e lasciare uguale la base, cioè
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif "larghezza =" 95 "altezza =" 44 src = ">
2. Per elevare una potenza a potenza basta moltiplicare gli esponenti, lasciando uguale la base, cioè
(un)m = a · p. Ad esempio, (23) 2 = 26.
4. Per elevare un prodotto a una potenza è sufficiente elevare ogni fattore a tale potenza e moltiplicare i risultati, cioè
(ma B)NS= ap ∙BNS.
Per esempio, (2y3) 2= 4y6.
5. Per elevare una frazione a potenza è sufficiente elevare separatamente numeratore e denominatore a tale potenza e dividere il primo risultato per il secondo, cioè
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif "larghezza =" 87 "altezza =" 53 src = ">
Nota che a volte è utile leggere queste formule da destra a sinistra. In questo caso diventano regole. Ad esempio, nel caso 4, apvp= (aw) n otteniamo la seguente regola: a moltiplicare i gradi con gli stessi indicatori, è sufficiente moltiplicare le basi, lasciando lo stesso indicatore.
L'utilizzo di questa regola è efficace, ad esempio, quando si calcola il prodotto successivo
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif "larghezza =" 25 "altezza =" 23 "> + 1) 5 = ((-1) (+1)) 5 = ( = 1.
Diamo ora la definizione di radice.
Radice ennesimo grado da un numero reale ma chiamato un numero reale NS, la cui ennesima potenza è ma.
Ovviamente, in accordo con le proprietà di base dei gradi con esponenti naturali, da qualsiasi numero positivo ci sono due valori opposti della radice di un grado pari, ad esempio i numeri 4 e -4 sono radici quadrate di 16, poiché ( -4) 2 = 42 = 16, e i numeri 3 e -3 sono le quarte radici di 81, poiché (-3) 4 = З4 = 81.
Inoltre, non esiste una radice pari di un numero negativo, poiché anche la potenza di qualsiasi numero reale è non negativa... Per quanto riguarda la radice di grado dispari, per ogni numero reale esiste una sola radice di grado dispari di questo numero. Ad esempio, 3 è la terza radice di 27, poiché 33 = 27, e -2 è la quinta radice di -32, poiché (-2) 5 = 32.
In relazione all'esistenza di due radici di grado pari da un numero positivo, introduciamo il concetto di radice aritmetica per eliminare questa radice a due valori.
Valore non negativo radice dell'nth si chiama grado di un numero non negativo radice aritmetica.
Ad esempio, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> 0.
Va ricordato che quando si risolvono equazioni irrazionali, le loro radici sono sempre considerate aritmetiche.
Notiamo la proprietà principale dell'ennesima radice.
Il valore della radice non cambierà se gli indici della radice e il grado dell'espressione radicale vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero naturale, cioè
Esempio 7. Riduci a denominatore comune e
Il materiale in questo articolo dovrebbe essere considerato come parte del tema della trasformazione delle espressioni irrazionali. Qui useremo esempi per analizzare tutte le sottigliezze e le sfumature (ce ne sono molte) che sorgono quando si eseguono trasformazioni basate sulle proprietà delle radici.
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Richiama le proprietà delle radici
Non appena ci accingiamo ad affrontare la trasformazione delle espressioni utilizzando le proprietà delle radici, non fa male ricordare le principali, o meglio ancora, scriverle su carta e metterle davanti a noi.
Innanzitutto, studiamo le radici quadrate e le loro seguenti proprietà (a, b, a 1, a 2, ..., a k sono numeri reali):
E in seguito il concetto di radice viene ampliato, viene introdotta la definizione della radice n-esima e vengono considerate tali proprietà (a, b, a 1, a 2, ..., ak sono numeri reali, m, n, n 1, n 2, ... , nk sono numeri naturali):
Conversione di espressioni con numeri sotto i segni di radice
Come al solito, imparano prima a lavorare con le espressioni numeriche e solo dopo passano alle espressioni con le variabili. Quindi faremo lo stesso, e prima ci occuperemo della trasformazione di espressioni irrazionali contenenti solo espressioni numeriche sotto i segni delle radici, e già più avanti nel prossimo paragrafo introdurremo variabili sotto i segni delle radici.
Come può essere usato per trasformare le espressioni? È molto semplice: ad esempio, possiamo sostituire un'espressione irrazionale con un'espressione o viceversa. Cioè, se l'espressione da convertire contiene un'espressione che corrisponde alla forma dell'espressione dal lato sinistro (destro) di uno qualsiasi dei proprietà elencate radici, quindi può essere sostituita con l'espressione corrispondente dal lato destro (sinistro). Questa è la trasformazione delle espressioni usando le proprietà delle radici.
Ecco altri esempi.
Semplifichiamo l'espressione 
... I numeri 3, 5 e 7 sono positivi, quindi possiamo tranquillamente applicare le proprietà delle radici. Qui puoi agire in diversi modi. Ad esempio, una radice basata su una proprietà può essere rappresentata come e una radice che utilizza una proprietà con k = 3 - come, con questo approccio, la soluzione sarà simile a questa: 
Si sarebbe potuto agire diversamente, sostituendo con e ulteriormente con, in questo caso la soluzione sarebbe simile a questa: 
Altre soluzioni sono possibili, ad esempio questa: 
Diamo un'occhiata alla soluzione di un altro esempio. Trasformiamo l'espressione. Dopo aver guardato l'elenco delle proprietà delle radici, selezioniamo da esso le proprietà necessarie per risolvere l'esempio, è chiaro che due di esse sono utili qui e, che sono valide per qualsiasi a. Abbiamo: 
In alternativa, all'inizio era possibile convertire le espressioni sotto i segni delle radici usando 
e poi applicare le proprietà delle radici
Fino a questo punto, abbiamo trasformato espressioni che contengono solo radici quadrate. È tempo di lavorare con radici che hanno indicatori diversi.
Esempio.
Converti un'espressione irrazionale 
.
Soluzione.
Per proprietà 
il primo fattore del dato prodotto può essere sostituito dal numero -2:
Andare avanti. In virtù della proprietà, il secondo fattore può essere rappresentato come, e non fa male sostituire 81 con una potenza quadrupla di una tripla, poiché nei restanti fattori sotto i segni delle radici, appare il numero 3:
È opportuno sostituire la radice della frazione con la relazione delle radici della forma, che può essere ulteriormente trasformata: 
... Abbiamo 
L'espressione risultante dopo aver eseguito azioni con due assumerà la forma e resta da trasformare il prodotto delle radici.
Per trasformare i prodotti delle radici, di solito sono ridotti a un indicatore, per il quale è consigliabile prendere indicatori di tutte le radici. Nel nostro caso, LCM (12, 6, 12) = 12 e solo la radice dovrà essere ridotta a questo indicatore, poiché le altre due radici hanno già tale indicatore. Far fronte a questo compito consente l'uguaglianza, che viene applicata da destra a sinistra. Così 
... Tenendo conto di questo risultato, abbiamo
Ora il prodotto delle radici può essere sostituito dalla radice del prodotto e il resto, già ovvio, può essere eseguito:
Elaboriamo una breve soluzione:
Risposta:
.
Separatamente, sottolineiamo che per applicare le proprietà delle radici, è necessario tenere conto delle restrizioni imposte ai numeri sotto i segni delle radici (a≥0, ecc.). Ignorarli può provocare risultati errati. Ad esempio, sappiamo che la proprietà vale per a non negativo. Sulla base di ciò, possiamo tranquillamente andare, ad esempio, da a, poiché 8 è un numero positivo. Ma se prendiamo una radice significativa di un numero negativo, ad esempio, e, in base alla proprietà di cui sopra, la sostituiamo con, allora in realtà sostituiamo -2 con 2. Infatti, un. Cioè, per a negativo, l'uguaglianza può essere errata, così come altre proprietà delle radici possono essere errate senza tener conto delle condizioni specificate per esse.
Ma quanto detto nel paragrafo precedente non significa affatto che le espressioni con numeri negativi sotto i segni delle radici non possano essere trasformate usando le proprietà delle radici. Devono solo essere "preparati" prima applicando le regole di azione con i numeri o usando la definizione di una radice dispari di un numero negativo, che corrisponde all'uguaglianza, dove -a è un numero negativo (con a essere positivo). Ad esempio, non puoi sostituire immediatamente con, poiché -2 e -3 sono numeri negativi, ma ci consente di andare dalla radice a e quindi applicare la proprietà della radice dal prodotto: 
... E in uno degli esempi precedenti, non era necessario andare da radice a radice del diciottesimo grado. 
e così 
.
Quindi, per trasformare le espressioni usando le proprietà delle radici, è necessario
- scegliere proprietà adatta dalla lista,
- assicurati che i numeri sotto la radice soddisfino le condizioni per la proprietà selezionata (altrimenti, devi eseguire conversioni preliminari),
- ed eseguire la trasformazione prevista.
Conversione di espressioni con variabili sotto i segni di radice
Per trasformare espressioni irrazionali contenenti non solo numeri, ma anche variabili sotto il segno della radice, è necessario applicare con attenzione le proprietà delle radici elencate nel primo paragrafo di questo articolo. Ciò è dovuto principalmente alle condizioni che devono soddisfare i numeri partecipanti alle formule. Ad esempio, in base alla formula, l'espressione può essere sostituita da un'espressione solo per quei valori di x che soddisfano le condizioni x≥0 e x + 1≥0, poiché la formula specificata è specificata per a≥0 e b ≥0.
Perché è pericoloso ignorare queste condizioni? L'esempio seguente illustra la risposta a questa domanda. Diciamo che dobbiamo calcolare il valore di un'espressione in x = -2. Se sostituiamo immediatamente il numero -2 invece della variabile x, allora otteniamo il valore di cui abbiamo bisogno 
... Ora immaginiamo di aver, per qualche motivo, convertito l'espressione data nella forma, e solo dopo abbiamo deciso di calcolare il valore. Sostituisci -2 per x e arrivi all'espressione 
che non ha senso.
Vediamo cosa succede all'intervallo di valori validi (ADV) della variabile x mentre ci spostiamo da un'espressione all'altra. Non abbiamo menzionato ODZ a caso, poiché questo è uno strumento serio per controllare l'ammissibilità delle trasformazioni fatte, e cambiare l'ODZ dopo aver trasformato l'espressione dovrebbe almeno allertare. Non è difficile trovare l'ODZ per le espressioni specificate. Poiché l'espressione dell'ODV è determinata dalla disuguaglianza x · (x + 1) ≥0, la sua soluzione dà l'insieme numerico (−∞, −1] ∪∪∪
Non vengono imposte ulteriori restrizioni ai numeri a destra oa sinistra: se esistono i fattori-radici, allora esiste anche il prodotto.
Esempi. Diamo un'occhiata a quattro esempi con numeri contemporaneamente:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ fine (allinea) \]
Come puoi vedere, il punto principale di questa regola è semplificare le espressioni irrazionali. E se nel primo esempio noi stessi avremmo estratto le radici da 25 e 4 senza nuove regole, allora il tin inizia ulteriormente: $ \ sqrt (32) $ e $ \ sqrt (2) $ stessi non vengono contati, ma il loro prodotto risulta essere un quadrato esatto, quindi la sua radice è uguale al numero razionale.
Vorrei anche notare l'ultima riga. Lì, entrambe le espressioni radicali sono frazioni. Grazie al prodotto, molti fattori vengono annullati e l'intera espressione si trasforma in un numero adeguato.
Certo, non sempre tutto sarà così bello. A volte ci sarà un disordine completo sotto le radici: non è chiaro cosa farne e come trasformarsi dopo la moltiplicazione. Un po' più tardi, quando inizierai a studiare le equazioni e le disuguaglianze irrazionali, ci saranno generalmente tutti i tipi di variabili e funzioni. E molto spesso, i compilatori di attività si aspettano solo che troverai alcuni termini o fattori di annullamento, dopo di che l'attività sarà notevolmente semplificata.
Inoltre, non è affatto necessario moltiplicare esattamente due radici. Puoi moltiplicare tre in una volta, quattro - ma almeno dieci! Questo non cambierà la regola. Guarda:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0,001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ fine (allinea) \]
E ancora, un piccolo commento sul secondo esempio. Come puoi vedere, nel terzo fattore sotto la radice c'è una frazione decimale: nel processo di calcolo la sostituiamo con la solita, dopo di che tutto viene facilmente cancellato. Quindi: consiglio vivamente di eliminare le frazioni decimali in qualsiasi espressione irrazionale (cioè contenente almeno un segno radicale). Questo ti farà risparmiare un sacco di tempo e problemi in futuro.
Ma questa era una digressione lirica. Consideriamo ora un caso più generale: quando l'esponente della radice contiene un numero arbitrario $ n $ e non solo i due "classici".
Caso di esponente arbitrario
Quindi, abbiamo scoperto le radici quadrate. E cosa fare con quelli cubici? O in generale con radici di grado arbitrario $ n $? Sì, è tutto uguale. La regola rimane la stessa:
Per moltiplicare due radici di grado $ n $ è sufficiente moltiplicare le loro espressioni radicali, e poi scrivere il risultato sotto un radicale.
In generale, niente di complicato. Tranne che la quantità di calcolo potrebbe rivelarsi maggiore. Vediamo un paio di esempi:
Esempi. Calcola i prodotti:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = cinque; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )) )) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ fine (allinea) \]
E ancora, l'attenzione è rivolta alla seconda espressione. Moltiplichiamo le radici del cubo, eliminiamo la frazione decimale e, di conseguenza, otteniamo al denominatore il prodotto dei numeri 625 e 25. Questo è un numero piuttosto grande - personalmente non calcolerò a cosa è uguale .
Pertanto, abbiamo semplicemente selezionato il cubo esatto nel numeratore e nel denominatore, quindi abbiamo utilizzato una delle proprietà chiave (o, se preferisci, la definizione) della radice $ n $ -esima:
\ [\ begin (allinea) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ sinistra | a \ destra |. \\ \ fine (allinea) \]
Tali "macchine" possono farti risparmiare molto tempo su un esame o un test, quindi ricorda:
Non abbiate fretta di moltiplicare i numeri nell'espressione radicale. Innanzitutto, controlla: cosa succede se il grado esatto di un'espressione è "crittografato" lì?
Con tutta l'ovvietà di questa osservazione, devo ammettere che la maggior parte degli studenti non addestrati non vede i gradi esatti a bruciapelo. Invece, moltiplicano tutto e poi si chiedono: perché hanno ottenuto numeri così brutali? :)
Tuttavia, tutto questo è infantile rispetto a ciò che studieremo ora.
Moltiplicazione delle radici con diversi indicatori
Ok, ora siamo in grado di moltiplicare le radici con gli stessi indicatori. E se gli indicatori sono diversi? Diciamo come moltiplicare il solito $ \ sqrt (2) $ per qualche schifezza come $ \ sqrt (23) $? È possibile farlo del tutto?
Sì, certo che puoi. Tutto è fatto secondo questa formula:
Regola della moltiplicazione della radice. Per moltiplicare $ \ sqrt [n] (a) $ per $ \ sqrt [p] (b) $, devi solo eseguire la seguente trasformazione:
\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]
Tuttavia, questa formula funziona solo se le espressioni radicali sono non negative... Questo è molto nota importante, su cui ritorneremo un po' più avanti.
Per ora, diamo un'occhiata a un paio di esempi:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ fine (allinea) \]
Come puoi vedere, niente di complicato. Ora scopriamo da dove proviene il requisito di non negatività e cosa succede se lo violiamo. :)
Moltiplicare le radici è facile Perché le espressioni radicali dovrebbero essere non negative?
Certo, puoi essere come gli insegnanti di scuola e citare il libro di testo con uno sguardo intelligente:
Il requisito della non negatività è associato a diverse definizioni di radici di grado pari e dispari (rispettivamente, anche i loro domini di definizione sono diversi).
Bene, è diventato più chiaro? Personalmente, quando stavo leggendo queste sciocchezze in terza media, ho realizzato qualcosa del genere: "Il requisito della non negatività è collegato a * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - in breve, non ho non capisco un cazzo quella volta. :)
Quindi ora spiegherò tutto in modo normale.
Per prima cosa, scopriamo da dove viene la formula di moltiplicazione data sopra. Per fare ciò, lascia che ti ricordi una proprietà importante della radice:
\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]
In altre parole, possiamo tranquillamente elevare l'espressione radicale a qualsiasi potenza naturale di $ k $ - in questo caso, l'esponente della radice dovrà essere moltiplicato per la stessa potenza. Pertanto, possiamo facilmente ridurre qualsiasi radice a indicatore generale, dopo di che moltiplichiamo. Quindi la formula per la moltiplicazione è presa:
\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]
Ma c'è un problema che limita fortemente l'applicazione di tutte queste formule. Considera questo numero:
Secondo la formula appena data, possiamo aggiungere qualsiasi grado. Proviamo ad aggiungere $ k = 2 $:
\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]
Abbiamo rimosso il meno solo perché il quadrato brucia il meno (come qualsiasi altra potenza pari). E ora eseguiremo la trasformazione inversa: "ridurremo" i due nell'esponente e nel grado. Dopotutto, qualsiasi uguaglianza può essere letta sia da sinistra a destra che da destra a sinistra:
\ [\ begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (un); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ fine (allinea) \]
Ma poi si scopre una specie di merda:
\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]
Questo non può essere, perché $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ e $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Ciò significa che la nostra formula non funziona più per gradi pari e numeri negativi. Allora abbiamo due opzioni:
- Prenditi a calci contro il muro per affermare che la matematica è una scienza stupida, dove “ci sono delle regole, ma questa è imprecisa”;
- Introdurre ulteriori restrizioni in base alle quali la formula diventerà funzionante al 100%.
Nella prima opzione, dovremo catturare costantemente i casi "non funzionanti": è difficile, lungo e generalmente fu. Pertanto, i matematici hanno preferito la seconda opzione. :)
Ma non preoccuparti! In pratica, questa limitazione non incide in alcun modo sui calcoli, perché tutti i problemi descritti riguardano solo radici di grado dispari, e da essi si possono detrarre gli svantaggi.
Pertanto, formuleremo un'altra regola che si applica in generale a tutte le azioni con radici:
Rendi le espressioni radicali non negative prima di moltiplicare le radici.
Esempio. Nel numero $ \ sqrt (-5) $, puoi eliminare il segno meno da sotto il segno della radice, quindi tutto andrà bene:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]
Senti la differenza? Se lasci il meno sotto la radice, quando l'espressione radicale è al quadrato, scompare e inizia la merda. E se elimini prima il meno, puoi erigere / rimuovere il quadrato anche prima di diventare blu: il numero rimarrà negativo. :)
Pertanto, il modo più corretto e affidabile per moltiplicare le radici è il seguente:
- Rimuovi tutti gli svantaggi da sotto i radicali. Ci sono solo svantaggi nelle radici di molteplicità dispari: possono essere posizionati davanti alla radice e, se necessario, accorciati (ad esempio, se ci sono due di questi svantaggi).
- Esegui la moltiplicazione secondo le regole discusse sopra nella lezione di oggi. Se gli indici delle radici sono gli stessi, moltiplichiamo semplicemente le espressioni radicali. E se sono diversi, usiamo la formula malvagia \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n) )) \].
- 3. Ci piace il risultato e i buoni voti. :)
Bene? Facciamo un pò di pratica?
Esempio 1. Semplifica l'espressione:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ right) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ sqrt (64) = - 4; \ fine (allinea) \]
Questa è l'opzione più semplice: gli indici delle radici sono uguali e dispari, il problema è solo nel meno del secondo fattore. Tiriamo fuori questo meno nafig, dopo di che tutto è facilmente considerato.
Esempio 2. Semplifica l'espressione:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ sinistra (((2) ^ (5)) \ destra)) ^ (3)) \ cdot ((\ sinistra (((2) ^ (2)) \ destra)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( allinea) \]
Qui, molti sarebbero confusi dal fatto che l'output fosse un numero irrazionale. Sì, succede: non siamo stati in grado di eliminare completamente la radice, ma almeno abbiamo semplificato in modo significativo l'espressione.
Esempio 3. Semplifica l'espressione:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((( a) ^ (4)) \ destra)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]
Vorrei attirare la vostra attenzione su questo compito. Ci sono due punti contemporaneamente:
- La radice non è un numero o un grado specifico, ma la variabile $ a $. A prima vista, questo è un po' insolito, ma in realtà, quando si risolvono problemi matematici, molto spesso si ha a che fare con le variabili.
- Alla fine, siamo riusciti a "ridurre" l'esponente radice e il grado nell'espressione radicale. Questo accade abbastanza spesso. E questo significa che è stato possibile semplificare significativamente i calcoli se non si è utilizzata la formula di base.
Ad esempio, potresti fare così:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ destra)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ fine (allinea) \]
In effetti, tutte le trasformazioni sono state eseguite solo con il secondo radicale. E se non descrivi in dettaglio tutti i passaggi intermedi, alla fine la quantità di calcoli diminuirà in modo significativo.
In effetti, abbiamo già riscontrato un'attività simile sopra durante la risoluzione dell'esempio $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Ora può essere descritto in un modo molto più semplice:
\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ sinistra (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ destra)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ sinistra (75 \ destra)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ fine (allinea) \]
Bene, abbiamo scoperto la moltiplicazione delle radici. Consideriamo ora l'operazione inversa: cosa fare quando il prodotto è sotto la radice?
Ho guardato di nuovo il cartello... E andiamo!
Cominciamo con uno semplice:
Solo un minuto. questo, il che significa che possiamo scrivere in questo modo:
Fatto? Ecco il prossimo per te:
Le radici dei numeri risultanti non sono esattamente estratte? Non importa, ecco alcuni esempi:
Ma cosa succede se i fattori non sono due, ma di più? Lo stesso! La formula della moltiplicazione della radice funziona con qualsiasi numero di fattori:
Ora completamente da solo:
Risposte: Ben fatto! D'accordo, tutto è molto semplice, l'importante è conoscere la tavola pitagorica!
Divisione delle radici
Abbiamo capito la moltiplicazione delle radici, ora passiamo alla proprietà della divisione.
Lascia che ti ricordi che la formula in vista generale sembra così:
Ciò significa che la radice del quoziente è uguale al quoziente delle radici.
Bene, scopriamolo con degli esempi:
Questa è tutta scienza. Ecco un esempio:
Non tutto è liscio come nel primo esempio, ma, come puoi vedere, non c'è nulla di complicato.
Ma cosa succede se un'espressione come questa si imbatte:
Devi solo applicare la formula nella direzione opposta:
Ed ecco un esempio:
Puoi anche imbatterti in questa espressione:
È tutto uguale, solo qui devi ricordare come tradurre le frazioni (se non ricordi, guarda nell'argomento e torna indietro!). Ricordato? Adesso decidiamo!
Sono sicuro che hai affrontato tutto, tutto, ora proviamo a mettere radici al potere.
elevazione a potenza
E cosa succederà se Radice quadrata quadrato? È semplice, ricorda il significato della radice quadrata di un numero: questo è un numero la cui radice quadrata è uguale a.
Quindi, se eleviamo un numero, la cui radice quadrata è uguale al quadrato, cosa otteniamo?
Beh, certo, !
Diamo un'occhiata agli esempi:
È semplice, vero? E se la radice è in un grado diverso? Va bene!
Segui la stessa logica e ricorda le proprietà e le possibili azioni con i gradi.
Leggi la teoria sull'argomento "" e tutto ti diventerà molto chiaro.
Ad esempio, ecco un'espressione:
In questo esempio, il grado è pari, ma cosa succede se è dispari? Ancora una volta, applica le proprietà di potenza e fattorizza tutto:
Con questo, tutto sembra essere chiaro, ma come estrarre la radice di un numero per una potenza? Ad esempio, questo è:
Abbastanza semplice, vero? E se la laurea è più di due? Seguiamo la stessa logica usando le proprietà dei gradi:
Bene, è tutto chiaro? Quindi risolvi tu stesso gli esempi:
Ed ecco le risposte:
Introduzione sotto il segno della radice
Cosa non abbiamo imparato a fare con le radici! Resta solo da esercitarsi a inserire il numero sotto il segno della radice!
È facile!
Diciamo che abbiamo scritto il numero
Cosa possiamo fare con esso? Beh, certo, nascondi il tre sotto la radice, ricordando che il tre è la radice quadrata di!
perché ne abbiamo bisogno? Sì, solo per espandere le nostre capacità nella risoluzione degli esempi:
Ti piace questa proprietà delle radici? Rende la vita molto più facile? Per me è così! Solo dobbiamo ricordare che possiamo introdurre solo numeri positivi sotto il segno della radice quadrata.
Risolvi questo esempio da solo -
Sei riuscito? Vediamo cosa dovresti ottenere:
Ben fatto! Sei riuscito a inserire il numero sotto il segno della radice! Passiamo a uno altrettanto importante: diamo un'occhiata a come confrontare i numeri che contengono la radice quadrata!
Confronto di radici
Perché dovremmo imparare a confrontare i numeri contenenti radice quadrata?
Molto semplice. Spesso, nelle espressioni grandi e lunghe incontrate all'esame, otteniamo una risposta irrazionale (ricordate che cos'è? Io e te ne abbiamo già parlato oggi!)
Dobbiamo posizionare le risposte ricevute su una linea di coordinate, ad esempio, per determinare quale intervallo è adatto per risolvere l'equazione. E qui sorge un intoppo: non c'è una calcolatrice sull'esame, e senza di essa come immaginare quale numero è maggiore e quale è minore? È proprio questo!
Ad esempio, definisci quale è maggiore: o?
Non puoi dirlo subito. Bene, usiamo la proprietà analizzata di inserire un numero sotto il segno della radice?
Allora vai avanti:
E, ovviamente, maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa!
Quelli. se poi,.
Da ciò concludiamo fermamente che. E nessuno ci convincerà del contrario!
Estrarre radici da grandi numeri
Prima di ciò, abbiamo introdotto il fattore sotto il segno della radice, ma come rimuoverlo? Hai solo bisogno di fattorizzarlo ed estrarre ciò che viene estratto!
Era possibile prendere una strada diversa e scomporre in altri fattori:
Non male, eh? Ognuno di questi approcci è corretto, decidi cosa ti si addice meglio.
Il factoring è molto utile quando si risolvono compiti non standard come questo:
Non abbiamo paura, ma agiamo! Scomponiamo ogni fattore sotto la radice in fattori separati:
Ora prova tu stesso (senza calcolatrice! Non sarà all'esame):
È questa la fine? Non fermarti a metà!
Questo è tutto, non così spaventoso, giusto?
È accaduto? Bravo, è vero!
Ora prova a risolvere questo esempio:
E un esempio è un osso duro, quindi non riesci a capire come affrontarlo. Ma noi, ovviamente, possiamo resistere.
Bene, iniziamo a fattorizzare? Nota subito che puoi dividere un numero per (ricorda i criteri di divisibilità):
Ora, prova tu stesso (di nuovo, senza calcolatrice!):
Ebbene, cosa è successo? Bravo, è vero!
Riassumiamo
- La radice quadrata (radice quadrata aritmetica) di un numero non negativo è un numero non negativo il cui quadrato è uguale a.
. - Se prendiamo solo la radice quadrata di qualcosa, otteniamo sempre un risultato non negativo.
- Proprietà della radice aritmetica:
- Quando si confrontano le radici quadrate, è necessario ricordare che maggiore è il numero sotto il segno della radice, maggiore è la radice stessa.
Ti piace la radice quadrata? Tutto chiaro?
Abbiamo provato a spiegarti senza acqua tutto quello che devi sapere sull'esame della radice quadrata.
È il tuo turno. Scrivici se è un argomento difficile per te o meno.
Hai imparato qualcosa di nuovo o era già tutto chiaro.
Scrivi nei commenti e in bocca al lupo per i tuoi esami!
