Una frazione è una o più parti di un intero, che di solito viene considerata come un'unità (1). Come con i numeri naturali, puoi eseguire tutte le operazioni aritmetiche di base con le frazioni (addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione), per questo è necessario conoscere le caratteristiche del lavoro con le frazioni e distinguere tra i loro tipi. Esistono diversi tipi di frazioni: decimali e ordinarie o semplici. Ogni tipo di frazioni ha le sue specifiche, ma una volta che avrai capito a fondo come gestirle una volta, sarai in grado di risolvere qualsiasi esempio con le frazioni, poiché conoscerai i principi di base per eseguire calcoli aritmetici con le frazioni. Diamo un'occhiata ad esempi su come dividere una frazione per un intero utilizzando diversi tipi di frazioni.
Come dividere una frazione per un numero naturale?Si chiamano frazioni ordinarie o semplici, scritte sotto forma di tale rapporto di numeri, in cui il dividendo (numeratore) è indicato nella parte superiore della frazione, e il divisore (denominatore) della frazione è indicato di seguito. Come dividere una tale frazione per un intero? Diamo un'occhiata a un esempio! Diciamo che dobbiamo dividere 8/12 per 2.
Per fare ciò, dobbiamo eseguire una serie di azioni:
Pertanto, se ci troviamo di fronte al compito di dividere una frazione per un intero, lo schema di soluzione sarà simile a questo: 
Allo stesso modo, puoi dividere qualsiasi frazione ordinaria (semplice) per un numero intero.
Come dividere un decimale per un intero?
Una frazione decimale è una frazione che si ottiene dividendo un'unità in dieci, mille e così via. Le operazioni aritmetiche con le frazioni decimali sono abbastanza semplici.
Considera un esempio di come dividere una frazione per un intero. Diciamo che dobbiamo dividere la frazione decimale 0,925 per il numero naturale 5.
Riassumendo, concentriamoci su due punti principali che sono importanti quando si esegue l'operazione di divisione delle frazioni decimali per un intero: - per dividere una frazione decimale per un numero naturale si usa la divisione in una colonna;
- una virgola viene inserita nel privato quando si completa la divisione della parte intera del dividendo.
Con le frazioni, puoi eseguire tutte le azioni, inclusa la divisione. Questo articolo mostra la divisione delle frazioni ordinarie. Verranno fornite definizioni, verranno presi in considerazione esempi. Soffermiamoci sulla divisione delle frazioni per numeri naturali e viceversa. Si terrà conto della divisione di una frazione ordinaria per un numero misto.
Divisione delle frazioni ordinarie
La divisione è l'inverso della moltiplicazione. Quando si divide, l'incognita si trova in opera famosa e un altro fattore, dove il suo significato dato è conservato con frazioni ordinarie.
Se è necessario dividere la frazione ordinaria a b per c d, allora per determinare tale numero è necessario moltiplicare per il divisore c d, questo alla fine darà il dividendo a b. Prendiamo un numero e scriviamolo a b · d c , dove d c è il reciproco di c d numero. Le uguaglianze possono essere scritte usando le proprietà della moltiplicazione, ovvero: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , dove l'espressione a b d c è il quoziente della divisione di a b per c d .
Da qui otteniamo e formuliamo la regola per la divisione delle frazioni ordinarie:
Definizione 1
Per dividere una frazione ordinaria a b per c d, è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.
Scriviamo la regola come un'espressione: a b: c d = a b d c
Le regole di divisione si riducono a moltiplicazione. Per attenersi ad esso, devi essere esperto nell'esecuzione della moltiplicazione di frazioni ordinarie.
Passiamo alla divisione delle frazioni ordinarie.
Esempio 1
Eseguire la divisione 9 7 per 5 3 . Scrivi il risultato come frazione.
Soluzione
Il numero 5 3 è il reciproco di 3 5 . Devi usare la regola per dividere le frazioni ordinarie. Scriviamo questa espressione come segue: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Risposta: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Quando riduci le frazioni, dovresti evidenziare l'intera parte se il numeratore è maggiore del denominatore.
Esempio 2
Dividi 8 15: 24 65 . Scrivi la risposta come una frazione.
Soluzione
La soluzione è passare dalla divisione alla moltiplicazione. Lo scriviamo in questa forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
È necessario effettuare una riduzione e questo viene fatto come segue: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Selezioniamo la parte intera e otteniamo 13 9 = 1 4 9 .
Risposta: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Divisione di una frazione straordinaria per un numero naturale
Usiamo la regola di dividere una frazione per un numero naturale: per dividere a b per un numero naturale n, devi moltiplicare solo il denominatore per n. Da qui otteniamo l'espressione: a b: n = a b · n .
La regola di divisione è una conseguenza della regola di moltiplicazione. Pertanto, rappresentare un numero naturale come frazione darà un'uguaglianza di questo tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Considera questa divisione di una frazione per un numero.
Esempio 3
Dividi la frazione 1645 per il numero 12.
Soluzione
Applica la regola per dividere una frazione per un numero. Otteniamo un'espressione come 16 45: 12 = 16 45 12 .
Riduciamo la frazione. Otteniamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Risposta: 16 45: 12 = 4 135 .
Divisione di un numero naturale per una frazione comune
La regola di divisione è simile o la regola di dividere un numero naturale per una frazione ordinaria: per dividere un numero naturale n per un ordinario a b occorre moltiplicare il numero n per il reciproco della frazione a b .
Sulla base della regola, abbiamo n: a b \u003d n b a, e grazie alla regola di moltiplicare un numero naturale per una frazione ordinaria, otteniamo la nostra espressione nella forma n: a b \u003d n b a. È necessario considerare questa divisione con un esempio.
Esempio 4
Dividi 25 per 15 28 .
Soluzione
Dobbiamo passare dalla divisione alla moltiplicazione. Scriviamo sotto forma di un'espressione 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Riduciamo la frazione e otteniamo il risultato sotto forma di frazione 46 2 3 .
Risposta: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Divisione di una frazione comune per un numero misto
Quando dividi una frazione ordinaria per un numero misto, puoi facilmente brillare dividendo le frazioni ordinarie. Devi convertire un numero misto in una frazione impropria.
Esempio 5
Dividi la frazione 35 16 per 3 1 8 .
Soluzione
Poiché 3 1 8 è un numero misto, rappresentiamolo come una frazione impropria. Quindi otteniamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Ora dividiamo le frazioni. Otteniamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Risposta: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
La divisione di un numero misto viene eseguita allo stesso modo dei numeri ordinari.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio
Moltiplicazione e divisione delle frazioni.
Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")
Questa operazione è molto più piacevole dell'addizione-sottrazione! Perché è più facile. Ti ricordo: per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i numeratori (questo sarà il numeratore del risultato) ei denominatori (questo sarà il denominatore). Questo è:
Ad esempio:
Tutto è estremamente semplice. E per favore, non cercate un denominatore comune! Non ne ho bisogno qui...
Per dividere una frazione per una frazione, devi capovolgere secondo(questo è importante!) fraziona e moltiplicali, cioè:
Ad esempio:
Se viene catturata la moltiplicazione o la divisione con numeri interi e frazioni, va bene. Come con l'addizione, facciamo una frazione da un numero intero con un'unità al denominatore - e via! Ad esempio:
Al liceo, hai spesso a che fare con frazioni di tre piani (o anche di quattro piani!). Ad esempio:
Come portare questa frazione a una forma decente? Sì, molto facile! Usa la divisione per due punti:
Ma non dimenticare l'ordine di divisione! A differenza della moltiplicazione, qui è molto importante! Naturalmente, non confonderemo 4:2 o 2:4. Ma in una frazione di tre piani è facile sbagliare. Si prega di notare, ad esempio:
Nel primo caso (espressione a sinistra):
Nella seconda (espressione a destra):
Senti la differenza? 4 e 1/9!
Qual è l'ordine di divisione? O parentesi, o (come qui) la lunghezza dei trattini orizzontali. Sviluppa un occhio. E se non ci sono parentesi o trattini, come:
quindi dividere-moltiplicare in ordine, da sinistra a destra!
E un altro trucco molto semplice e importante. Nelle azioni con gradi, ti tornerà utile! Dividiamo l'unità per qualsiasi frazione, ad esempio per 13/15:
Il tiro è capovolto! E succede sempre. Quando si divide 1 per qualsiasi frazione, il risultato è la stessa frazione, solo invertita.
Queste sono tutte le azioni con le frazioni. La cosa è abbastanza semplice, ma dà errori più che sufficienti. Nota Consiglio pratico, e loro (errori) saranno meno!
Consigli pratici:
1. La cosa più importante quando si lavora con le espressioni frazionarie è l'accuratezza e l'attenzione! Queste non sono parole comuni, non auguri! Questo è un grave bisogno! Fai tutti i calcoli dell'esame come un compito a tutti gli effetti, con concentrazione e chiarezza. È meglio scrivere due righe in più in una bozza piuttosto che sbagliare quando calcoli nella tua testa.
2. Negli esempi con tipi diversi frazioni - vai alle frazioni ordinarie.
3. Riduciamo tutte le frazioni allo stop.
4. Riduciamo le espressioni frazionarie multilivello a quelle ordinarie usando la divisione per due punti (seguiamo l'ordine di divisione!).
5. Dividiamo l'unità in una frazione nella nostra mente, semplicemente capovolgendo la frazione.
Ecco le attività che devi completare. Le risposte vengono fornite dopo tutte le attività. Usa i materiali di questo argomento e consigli pratici. Stima quanti esempi potresti risolvere correttamente. La prima volta! Senza calcolatrice! E trarre le giuste conclusioni...
Ricorda la risposta corretta ottenuto dalla seconda (soprattutto la terza) volta - non conta! Tale è la vita dura.
Così, risolvere in modalità esame ! Questa è la preparazione per l'esame, comunque. Risolviamo un esempio, controlliamo, risolviamo quanto segue. Abbiamo deciso tutto - abbiamo ricontrollato dal primo all'ultimo. Solo Poi guarda le risposte.
Calcolare:
Hai deciso?
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Contenuto della lezioneSommando frazioni con gli stessi denominatori
L'aggiunta di frazioni è di due tipi:
- Sommando frazioni con gli stessi denominatori;
- Somma di frazioni con denominatori diversi.
In primo luogo, studieremo l'addizione di frazioni con gli stessi denominatori. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore.
Ad esempio, aggiungiamo frazioni e . Sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in quattro parti. Se aggiungi la pizza alla pizza, ottieni la pizza:
Esempio 2 Aggiungi frazioni e .
La risposta è una frazione impropria. Se arriva la fine del compito, è consuetudine sbarazzarsi di frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno. Nel nostro caso, l'intera parte si distingue facilmente: due divisi per due saranno uno:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni una pizza intera:
Esempio 3. Aggiungi frazioni e .
Ancora una volta, aggiungi i numeratori e lascia invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in tre parti. Se aggiungi più pizze alla pizza, ottieni pizze:
Esempio 4 Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio è risolto esattamente allo stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere sommati e il denominatore lasciato invariato:
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi pizze a una pizza e aggiungi più pizze, ottieni 1 pizza intera e più pizze.
Come puoi vedere, sommare frazioni con gli stessi denominatori non è difficile. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
- Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore;
Somma di frazioni con denominatori diversi
Ora impareremo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori di tali frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.
Ad esempio, le frazioni possono essere aggiunte perché hanno gli stessi denominatori.
Ma le frazioni non possono essere sommate in una volta, perché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso (comune) denominatore.
Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne considereremo solo uno, poiché il resto dei metodi può sembrare complicato per un principiante.
L'essenza di questo metodo sta nel fatto che si cerca il primo (LCM) dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi l'LCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: l'LCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene il secondo fattore aggiuntivo.
Quindi i numeratori e denominatori delle frazioni vengono moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni.
Esempio 1. Aggiungi frazioni e
Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6
LCM (2 e 3) = 6
Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividiamo l'LCM per il denominatore della prima frazione e otteniamo il primo fattore aggiuntivo. LCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.
Il numero risultante 2 è il primo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, facciamo una piccola linea obliqua sopra la frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo trovato sopra di essa:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo l'LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. LCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividiamo 6 per 2, otteniamo 3.
Il numero risultante 3 è il secondo fattore aggiuntivo. Lo scriviamo nella seconda frazione. Ancora una volta, facciamo una piccola linea obliqua sopra la seconda frazione e scriviamo il fattore aggiuntivo trovato sopra di essa:
Ora siamo tutti pronti per aggiungere. Resta da moltiplicare i numeratori e denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Guarda da vicino a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come aggiungere tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:
Così finisce l'esempio. Per aggiungere risulta.
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se aggiungi le pizze a una pizza, ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:
La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Portando le frazioni e ad un denominatore comune, otteniamo le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore).
Il primo disegno mostra una frazione (quattro pezzi su sei) e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su sei). Mettendo insieme questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione non è corretta, quindi abbiamo evidenziato la parte intera in essa. Il risultato è stato (una pizza intera e un'altra sesta pizza).
Nota che abbiamo dipinto questo esempio in modo troppo dettagliato. V istituzioni educative non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM di entrambi i denominatori e dei fattori aggiuntivi ad essi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati dai tuoi numeratori e denominatori. A scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:
Ma c'è anche l'altra faccia della medaglia. Se non vengono prese note dettagliate nelle prime fasi dello studio della matematica, allora domande del genere "Da dove viene quel numero?", "Perché le frazioni improvvisamente si trasformano in frazioni completamente diverse? «.
Per semplificare l'aggiunta di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni dettagliate:
- Trova l'LCM dei denominatori delle frazioni;
- Dividi l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un moltiplicatore aggiuntivo per ciascuna frazione;
- Moltiplica i numeratori ei denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
- Somma frazioni che hanno gli stessi denominatori;
- Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, seleziona l'intera parte;
Esempio 2 Trova il valore di un'espressione 
.
Usiamo le istruzioni sopra.
Passaggio 1. Trova l'LCM dei denominatori delle frazioni
Trova l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4
Passaggio 2. Dividi l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un moltiplicatore aggiuntivo per ciascuna frazione
Dividi il LCM per il denominatore della prima frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sulla prima frazione:
Ora dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividiamo 12 per 3, otteniamo 4. Abbiamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sulla seconda frazione:
Ora dividiamo il LCM per il denominatore della terza frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Abbiamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sulla terza frazione:
Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i tuoi fattori aggiuntivi
Moltiplichiamo i numeratori e denominatori per i nostri fattori aggiuntivi:
Passaggio 4. Aggiungi le frazioni che hanno gli stessi denominatori
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi (comuni) denominatori. Resta da aggiungere queste frazioni. Addizionare:
L'aggiunta non si adattava a una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente sulla riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non si adatta a una riga, viene trasferita alla riga successiva ed è necessario inserire un segno di uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio di una nuova riga. Il segno di uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.
Passaggio 5. Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, seleziona l'intera parte al suo interno
La nostra risposta è una frazione impropria. Dobbiamo individuarne l'intera parte. Evidenziamo:
Ho una risposta
Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori
Esistono due tipi di sottrazione di frazioni:
- Sottrazione di frazioni con gli stessi denominatori
- Sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Per prima cosa, impariamo a sottrarre frazioni con gli stessi denominatori.
Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore.
Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio è necessario sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamolo:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 2 Trova il valore dell'espressione.
Di nuovo, dal numeratore della prima frazione, sottrarre il numeratore della seconda frazione e lasciare invariato il denominatore:
Questo esempio può essere facilmente compreso se pensiamo a una pizza divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:
Esempio 3 Trova il valore di un'espressione 
Questo esempio è risolto esattamente allo stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione, devi sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:
Come puoi vedere, non c'è nulla di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:
- Per sottrarre un altro da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore;
- Se la risposta si è rivelata una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno.
Sottrazione di frazioni con denominatori diversi
Ad esempio, una frazione può essere sottratta da una frazione, poiché queste frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma una frazione non può essere sottratta da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso (comune) denominatore.
Il denominatore comune si trova secondo lo stesso principio che abbiamo usato quando si sommano frazioni con denominatori diversi. Per prima cosa, trova l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi l'LCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che viene scritto sulla prima frazione. Allo stesso modo, l'LCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sulla seconda frazione.
Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.
Esempio 1 Trova il valore di un'espressione:
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi è necessario portarle allo stesso (comune) denominatore.
Innanzitutto, troviamo l'LCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12
LCM (3 e 4) = 12
Ora torniamo alle frazioni e
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividiamo l'LCM per il denominatore della prima frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividiamo 12 per 3, otteniamo 4. Scriviamo i quattro sulla prima frazione:
Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi una tripla sulla seconda frazione:
Ora siamo tutti pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Completiamo questo esempio fino alla fine:
Ho una risposta
Proviamo a rappresentare la nostra soluzione usando un'immagine. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni le pizze.
Questa è la versione dettagliata della soluzione. Essendo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in un modo più breve. Una tale soluzione sarebbe simile a questa:
La riduzione delle frazioni e di un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Portando queste frazioni a un denominatore comune, otteniamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dalle stesse fette di pizza, ma questa volta saranno divise nelle stesse frazioni (ridotte allo stesso denominatore):
Il primo disegno mostra una frazione (otto pezzi su dodici), e la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi da dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.
Esempio 2 Trova il valore di un'espressione 
Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi prima portarle allo stesso (comune) denominatore.
Trova l'LCM dei denominatori di queste frazioni.
I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividiamo l'LCM per il denominatore di ciascuna frazione.
Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sulla prima frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il LCM per il denominatore della seconda frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sulla seconda frazione:
Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il LCM per il denominatore della terza frazione. LCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sulla terza frazione:
Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:
Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si sono trasformate in frazioni che hanno gli stessi (comuni) denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.
La continuazione dell'esempio non si adatta a una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno di uguale (=) sulla nuova riga:
La risposta si è rivelata una frazione corretta, e tutto sembra adattarsi a noi, ma è troppo ingombrante e brutta. Dovremmo renderlo più facile. Cosa si può fare? Puoi ridurre questa frazione.
Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (gcd) i numeri 20 e 30.
Quindi, troviamo il GCD dei numeri 20 e 30:
Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo numeratore e denominatore della frazione per il MCD trovato, cioè per 10
Ho una risposta
Moltiplicare una frazione per un numero
Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione data per questo numero e lasciare invariato il denominatore.
Esempio 1. Moltiplica la frazione per il numero 1.
Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1
La voce può essere intesa come un'operazione di metà tempo. Ad esempio, se prendi la pizza 1 volta, ottieni la pizza
Dalle leggi della moltiplicazione, sappiamo che se il moltiplicando e il moltiplicatore sono scambiati, il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Anche in questo caso, la regola per moltiplicare un intero e una frazione funziona:
Questa voce può essere intesa come occupare metà dell'unità. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo metà, avremo la pizza:
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della frazione per 4
La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:
L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi le pizze 4 volte, ottieni due pizze intere.
E se scambiamo il moltiplicando e il moltiplicatore in alcuni punti, otteniamo l'espressione. Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:
Un numero che viene moltiplicato per una frazione e il denominatore della frazione si risolvono se hanno un comune divisore maggiore di uno.
Ad esempio, un'espressione può essere valutata in due modi.
Primo modo. Moltiplica il numero 4 per il numeratore della frazione e lascia invariato il denominatore della frazione:
Secondo modo. Il quadruplo essendo moltiplicato e il quadruplo al denominatore della frazione possono essere ridotti. Puoi ridurre questi quattro di 4, poiché il massimo comun divisore per due quattro è il quattro stesso:
Abbiamo ottenuto lo stesso risultato 3. Dopo aver ridotto i quattro, al loro posto si formano nuovi numeri: due uno. Ma moltiplicare uno per un triplo e poi dividere per uno non cambia nulla. Pertanto, la soluzione può essere scritta più breve:
La riduzione può essere eseguita anche quando abbiamo deciso di utilizzare il primo metodo, ma nella fase di moltiplicazione del numero 4 e del numeratore 3, abbiamo deciso di utilizzare la riduzione:
Ma ad esempio, l'espressione può essere calcolata solo nel primo modo: moltiplica 7 per il denominatore della frazione e lascia invariato il denominatore:
Ciò è dovuto al fatto che il numero 7 e il denominatore della frazione non hanno un comune divisore maggiore di uno e, di conseguenza, non sono ridotti.
Alcuni studenti abbreviano erroneamente il numero da moltiplicare e il numeratore della frazione. Non puoi farlo. Ad esempio, la voce seguente non è corretta:
La riduzione della frazione implica questo e numeratore e denominatore sarà diviso per lo stesso numero. Nella situazione con l'espressione, la divisione viene eseguita solo nel numeratore, poiché scrivere questo equivale a scrivere . Vediamo che la divisione viene eseguita solo al numeratore e nessuna divisione avviene al denominatore.
Moltiplicazione delle frazioni
Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta è una frazione impropria, è necessario selezionare l'intera parte al suo interno.
Esempio 1 Trova il valore dell'espressione.
Ho una risposta. È auspicabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la forma seguente:
L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Come prendere due terzi di questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:
E prendine due da questi tre pezzi:
Prenderemo la pizza. Ricorda come appare una pizza divisa in tre parti:
Una fetta di questa pizza e le due fette che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:
In altre parole, noi stiamo parlando pizza più o meno della stessa dimensione. Pertanto, il valore dell'espressione è
Esempio 2. Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta è una frazione impropria. Prendiamone una parte intera:
Esempio 3 Trova il valore di un'espressione
Moltiplica il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:
La risposta si è rivelata una frazione corretta, ma sarà buona se ridotta. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il massimo comune divisore (MCD) dei numeri 105 e 450.
Quindi, troviamo il GCD dei numeri 105 e 450:
Ora dividiamo numeratore e denominatore della nostra risposta al MCD che abbiamo ora trovato, cioè per 15
Rappresentazione di un numero intero come frazione
Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Da questo, cinque non cambierà il suo significato, poiché l'espressione significa "il numero cinque diviso per uno", e questo, come sai, è uguale a cinque:
Numeri inversi
Ora faremo conoscenza argomento interessante in matematica. Si chiama "numeri invertiti".
Definizione. Invertire al numeroun è il numero che, moltiplicato perun dà un'unità.
Sostituiamo in questa definizione invece di una variabile un numero 5 e prova a leggere la definizione:
Invertire al numero 5 è il numero che, moltiplicato per 5 dà un'unità.
È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che puoi. Rappresentiamo cinque come una frazione:
Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo invertita:
Quale sarà il risultato di questo? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:
Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero, poiché moltiplicando 5 per uno si ottiene uno.
Il reciproco può essere trovato anche per qualsiasi altro intero.
Puoi anche trovare il reciproco per qualsiasi altra frazione. Per fare questo, è sufficiente capovolgerlo.
Divisione di una frazione per un numero
Diciamo che abbiamo mezza pizza:
Dividiamolo equamente tra due. Quante pizze riceveranno ciascuna?
Si può notare che dopo aver spaccato metà della pizza si ottengono due pezzi uguali, ognuno dei quali costituisce una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.
È la divisione. In questo articolo parleremo divisione delle frazioni ordinarie. In primo luogo, daremo una regola per dividere le frazioni ordinarie e daremo un'occhiata agli esempi di divisione delle frazioni. Successivamente, ci concentreremo sulla divisione di una frazione ordinaria per un numero naturale e un numero per una frazione. Si consideri infine come si effettua la divisione di una frazione ordinaria per un numero misto.
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Divisione di una frazione comune per una frazione comune
È noto che la divisione è l'inverso della moltiplicazione (vedi il collegamento tra divisione e moltiplicazione). Cioè, la divisione implica la ricerca di un'incognita quando il prodotto e un altro fattore sono noti. Lo stesso senso di divisione si conserva quando si dividono le frazioni ordinarie.
Considera esempi di divisione delle frazioni ordinarie.
Si noti che non dobbiamo dimenticare la riduzione delle frazioni e la selezione della parte intera da una frazione impropria.
Divisione di una frazione comune per un numero naturale
Lo regaliamo subito regola per dividere una frazione per un numero naturale: per dividere la frazione a / b per un numero naturale n, bisogna lasciare lo stesso numeratore e moltiplicare il denominatore per n, cioè .
Questa regola di divisione segue direttamente dalla regola di divisione per le frazioni ordinarie. Infatti, la rappresentazione di un numero naturale come frazione porta alle seguenti uguaglianze 
.
Considera un esempio di divisione di una frazione per un numero.
Esempio.
Dividi la frazione 16/45 per il numero naturale 12.
Soluzione.
Per la regola di dividere una frazione per un numero, abbiamo 
. Facciamo la riduzione: . Questa divisione è completata.
Risposta:
.
Divisione di un numero naturale per una frazione comune
La regola per la divisione delle frazioni è simile regola per dividere un numero naturale per una frazione comune: per dividere un numero naturale n per una frazione ordinaria a / b, occorre moltiplicare il numero n per il reciproco della frazione a / b.
Secondo la regola vocale, , e la regola di moltiplicare un numero naturale per una frazione ordinaria ti consente di riscriverlo nella forma.
Considera un esempio.
Esempio.
Dividi il numero naturale 25 per la frazione 15/28.
Soluzione.
Passiamo dalla divisione alla moltiplicazione, abbiamo 
. Dopo la riduzione e la selezione della parte intera, otteniamo .
Risposta:
.
Divisione di una frazione comune per un numero misto
Divisione di una frazione comune per un numero misto facilmente riducibile alla divisione delle frazioni ordinarie. Per fare questo, è sufficiente
