Integrales complejas

Este artículo concluye el tema de las integrales indefinidas e incluye integrales que encuentro bastante complejas. La lección fue creada a raíz de las repetidas solicitudes de los visitantes que expresaron su deseo de que se analizaran ejemplos más difíciles en el sitio.

Se supone que el lector de este texto está bien preparado y sabe aplicar técnicas básicas de integración. Los tontos y las personas que no tienen mucha confianza en las integrales deberían consultar la primera lección: Integral indefinida. Ejemplos de soluciones, donde podrás dominar el tema casi desde cero. Los estudiantes más experimentados pueden familiarizarse con técnicas y métodos de integración que aún no se han encontrado en mis artículos.

¿Qué integrales se considerarán?

Primero consideraremos integrales con raíces, para cuya solución usaremos sucesivamente reemplazo de variables Y integración por partes. Es decir, en un ejemplo se combinan dos técnicas a la vez. Y aún más.

Luego nos familiarizaremos con cosas interesantes y originales. método para reducir la integral a sí misma. Muchas integrales se resuelven de esta manera.

El tercer número del programa serán las integrales de fracciones complejas, que pasaron desapercibidas en artículos anteriores.

En cuarto lugar, se analizarán integrales adicionales de funciones trigonométricas. En particular, existen métodos que evitan la lenta sustitución trigonométrica universal.

(2) En la función integrando, dividimos el numerador por el denominador término por término.

(3) Usamos la propiedad de linealidad de la integral indefinida. En la última integral inmediatamente. poner la función bajo el signo diferencial.

(4) Tomamos las integrales restantes. Tenga en cuenta que en un logaritmo puede utilizar paréntesis en lugar de un módulo, ya que .

(5) Realizamos una sustitución inversa, expresando “te” de la sustitución directa:

Los estudiantes masoquistas pueden diferenciar la respuesta y obtener el integrando original, como acabo de hacer yo. No, no, hice la comprobación en el sentido correcto =)

Como puede ver, durante la solución tuvimos que utilizar incluso más de dos métodos de solución, por lo que para trabajar con integrales de este tipo se necesitan habilidades de integración seguras y bastante experiencia.

En la práctica, por supuesto, la raíz cuadrada es más común; aquí tienes tres ejemplos para resolverla tú mismo:

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 3

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida

Estos ejemplos son del mismo tipo, por lo que la solución completa al final del artículo será solo para el Ejemplo 2; los Ejemplos 3 y 4 tienen las mismas respuestas. Creo que es obvio qué reemplazo usar al comienzo de las decisiones. ¿Por qué elegí ejemplos del mismo tipo? A menudo se encuentran en su papel. Más a menudo, tal vez, algo así como .

Pero no siempre, cuando bajo las funciones arcotangente, seno, coseno, exponencial y otras hay una raíz de una función lineal, es necesario utilizar varios métodos a la vez. En varios casos, es posible "salir fácilmente", es decir, inmediatamente después de la sustitución se obtiene una integral simple, que se puede calcular fácilmente. La tarea más sencilla de las propuestas anteriormente es el Ejemplo 4, en el que, después de la sustitución, se obtiene una integral relativamente simple.

Reduciendo la integral a sí misma

Un método ingenioso y hermoso. Echemos un vistazo a los clásicos del género:

Ejemplo 5

Encuentra la integral indefinida

Debajo de la raíz hay un binomio cuadrático, y tratar de integrar este ejemplo puede causarle dolor de cabeza a la tetera durante horas. Una integral de este tipo se toma en partes y se reduce a sí misma. En principio no es difícil. Si sabes cómo.

Denotamos la integral considerada con una letra latina y comenzamos la solución:

Integramos por partes:

(1) Prepare la función integrando para la división término por término.

(2) Dividimos la función integrando término por término. Puede que no quede claro para todos, pero lo describiré con más detalle:

(3) Usamos la propiedad de linealidad de la integral indefinida.

(4) Tome la última integral (logaritmo "largo").

Ahora veamos el comienzo de la solución:

Y hasta el final:

¿Qué pasó? ¡Como resultado de nuestras manipulaciones, la integral quedó reducida a sí misma!

Igualemos el principio y el final:

Pasar al lado izquierdo con cambio de signo:

Y movemos los dos hacia el lado derecho. Como resultado:

La constante, estrictamente hablando, debería haberse agregado antes, pero la agregué al final. Recomiendo encarecidamente leer cuál es el rigor aquí:

Nota: Más estrictamente, la etapa final de la solución se ve así:

De este modo:

La constante se puede redesignar por . ¿Por qué se puede redesignar? Porque todavía lo acepta. cualquier valores, y en este sentido no hay diferencia entre constantes y.
Como resultado:

Un truco similar con renotación constante se usa ampliamente en ecuaciones diferenciales. Y ahí seré estricto. Y aquí permito esa libertad sólo para no confundiros con cosas innecesarias y centrar la atención precisamente en el método de integración en sí.

Ejemplo 6

Encuentra la integral indefinida

Otra integral típica para solución independiente. Solución completa y respuesta al final de la lección. ¡Habrá una diferencia con la respuesta del ejemplo anterior!

Si debajo de la raíz cuadrada hay un trinomio cuadrado, entonces la solución en cualquier caso se reduce a dos ejemplos analizados.

Por ejemplo, considere la integral . Todo lo que necesitas hacer es primero seleccione un cuadrado completo:
.
A continuación se realiza una sustitución lineal, que se realiza “sin consecuencias”:
, resultando en la integral . Algo familiar, ¿verdad?

O este ejemplo, con un binomio cuadrático:
Seleccione un cuadrado completo:
Y, tras la sustitución lineal, obtenemos la integral, que también se resuelve mediante el algoritmo ya comentado.

Veamos dos ejemplos más típicos de cómo reducir una integral a sí misma:
– integral de la exponencial multiplicada por el seno;
– integral de la exponencial multiplicada por el coseno.

En las integrales por partes listadas tendrás que integrar dos veces:

Ejemplo 7

Encuentra la integral indefinida

El integrando es el exponencial multiplicado por el seno.

Integramos por partes dos veces y reducimos la integral a sí misma:

Como resultado de la doble integración por partes, la integral quedó reducida a sí misma. Igualamos el principio y el final de la solución:

Lo movemos hacia el lado izquierdo con cambio de signo y expresamos nuestra integral:

Listo. Al mismo tiempo, es recomendable peinar el lado derecho, es decir. saque el exponente de los paréntesis y coloque el seno y el coseno entre paréntesis en un orden “hermoso”.

Ahora volvamos al principio del ejemplo, o más precisamente, a la integración por partes:

Designamos al exponente como. Surge la pregunta: ¿es el exponente el que siempre debe denotarse por ? No es necesario. De hecho, en la integral considerada fundamentalmente no importa, ¿qué queremos decir con ? Podríamos haber ido al revés:

¿Por qué es esto posible? Debido a que el exponencial se convierte en sí mismo (tanto durante la diferenciación como durante la integración), el seno y el coseno se convierten mutuamente (nuevamente, tanto durante la diferenciación como durante la integración).

Es decir, también podemos denotar una función trigonométrica. Pero, en el ejemplo considerado, esto es menos racional, ya que aparecerán fracciones. Si lo deseas, puedes intentar resolver este ejemplo usando el segundo método; las respuestas deben coincidir.

Ejemplo 8

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Antes de decidirse, piense qué es más ventajoso en este caso designar como función exponencial o trigonométrica. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Y, por supuesto, ¡no olvide que la mayoría de las respuestas de esta lección son bastante fáciles de comprobar mediante derivación!

Los ejemplos considerados no fueron los más complejos. En la práctica, las integrales son más comunes donde la constante está tanto en el exponente como en el argumento de la función trigonométrica, por ejemplo: . Mucha gente se confundirá con una integral de este tipo y, a menudo, yo también me confundo. El hecho es que existe una alta probabilidad de que aparezcan fracciones en la solución y es muy fácil perder algo por descuido. Además, existe una alta probabilidad de error en los signos; nótese que el exponente tiene signo menos, lo que introduce dificultad adicional.

En la etapa final, el resultado suele ser algo como esto:

Incluso al final de la solución, debes tener mucho cuidado y comprender correctamente las fracciones:

Integrando fracciones complejas

Nos acercamos lentamente al ecuador de la lección y comenzamos a considerar integrales de fracciones. Nuevamente, no todos son súper complejos, es solo que por una razón u otra los ejemplos estaban un poco "fuera de tema" en otros artículos.

Siguiendo con el tema de las raíces.

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida

En el denominador debajo de la raíz hay un trinomio cuadrático más un “apéndice” en forma de “X” fuera de la raíz. Una integral de este tipo se puede resolver mediante una sustitución estándar.

Nosotros decidimos:

El reemplazo aquí es simple:

Veamos la vida después del reemplazo:

(1) Después de la sustitución, reducimos los términos bajo la raíz a un denominador común.
(2) Lo sacamos de debajo de la raíz.
(3) El numerador y el denominador se reducen en . Al mismo tiempo, bajo la raíz, reorganicé los términos en un orden conveniente. Con algo de experiencia se pueden saltar los pasos (1), (2) realizando las acciones comentadas de forma oral.
(4) La integral resultante, como recuerdas de la lección. Integrando algunas fracciones, se está decidiendo método de extracción de cuadrado completo. Selecciona un cuadrado completo.
(5) Por integración obtenemos un logaritmo “largo” ordinario.
(6) Realizamos la sustitución inversa. Si inicialmente , luego regresa: .
(7) La acción final tiene como objetivo enderezar el resultado: bajo la raíz volvemos a llevar los términos a un denominador común y los sacamos de debajo de la raíz.

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí se agrega una constante a la solitaria “X”, y el reemplazo es casi el mismo:

Lo único que debes hacer adicionalmente es expresar la “x” de la sustitución que se está realizando:

Solución completa y respuesta al final de la lección.

A veces, en una integral de este tipo puede haber un binomio cuadrático debajo de la raíz, esto no cambia el método de solución, será aún más simple. Siente la diferencia:

Ejemplo 11

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 12

Encuentra la integral indefinida

Breves soluciones y respuestas al final de la lección. Cabe señalar que el ejemplo 11 es exactamente integral binomial, cuyo método de solución se discutió en clase Integrales de funciones irracionales.

Integral de un polinomio indescomponible de 2do grado a la potencia

(polinomio en denominador)

Un tipo de integral más raro, pero que aún se encuentra en ejemplos prácticos.

Ejemplo 13

Encuentra la integral indefinida

Pero volvamos al ejemplo del número de la suerte 13 (la verdad es que no acerté). Esta integral también es una de esas que pueden resultar bastante frustrantes si no sabes cómo resolverla.

La solución comienza con una transformación artificial:

Creo que todo el mundo ya entiende cómo dividir el numerador por el denominador término por término.

La integral resultante se toma en partes:

Para una integral de la forma ( – número natural) retirado recurrente fórmula de reducción:
, Dónde – integral de un grado inferior.

Verifiquemos la validez de esta fórmula para la integral resuelta.
En este caso: , , utilizamos la fórmula:

Como puedes ver, las respuestas son las mismas.

Ejemplo 14

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La solución de muestra utiliza la fórmula anterior dos veces seguidas.

Si bajo el título es indivisible trinomio cuadrado, entonces la solución se reduce a un binomio aislando el cuadrado perfecto, por ejemplo:

¿Qué pasa si hay un polinomio adicional en el numerador? En este caso, se utiliza el método de coeficientes indefinidos y la función integrando se expande a una suma de fracciones. Pero en mi práctica hay tal ejemplo. nunca conoció, así que me perdí este caso en el artículo. Integrales de funciones fraccionarias-racionales, Lo saltaré ahora. Si aún encuentra una integral de este tipo, consulte el libro de texto: allí todo es simple. No creo que sea aconsejable incluir material (ni siquiera los más simples), cuya probabilidad de encuentro tiende a cero.

Integrando funciones trigonométricas complejas

El adjetivo “complejo” en la mayoría de los ejemplos vuelve a ser en gran medida condicional. Comencemos con tangentes y cotangentes en potencias altas. Desde el punto de vista de los métodos de resolución utilizados, la tangente y la cotangente son casi lo mismo, por lo que hablaré más sobre la tangente, dando a entender que el método demostrado para resolver la integral también es válido para la cotangente.

En la lección anterior vimos sustitución trigonométrica universal resolver cierto tipo de integrales a partir de funciones trigonométricas. La desventaja de la sustitución trigonométrica universal es que su uso a menudo resulta en integrales engorrosas con cálculos difíciles. ¡Y en algunos casos, se puede evitar la sustitución trigonométrica universal!

Consideremos otro ejemplo canónico, la integral de uno dividido por seno:

Ejemplo 17

Encuentra la integral indefinida

Aquí puedes usar la sustitución trigonométrica universal y obtener la respuesta, pero hay una forma más racional. Proporcionaré la solución completa con comentarios para cada paso:

(1) Usamos la fórmula trigonométrica para el seno de un ángulo doble.
(2) Realizamos una transformación artificial: Dividimos en el denominador y multiplicamos por .
(3) Usando la conocida fórmula en el denominador, transformamos la fracción en tangente.
(4) Llevamos la función bajo el signo diferencial.
(5) Tome la integral.

Par ejemplos simples para solución independiente:

Ejemplo 18

Encuentra la integral indefinida

Nota: El primer paso debe ser utilizar la fórmula de reducción. y realice con cuidado acciones similares al ejemplo anterior.

Ejemplo 19

Encuentra la integral indefinida

Bueno, este es un ejemplo muy simple.

Soluciones y respuestas completas al final de la lección.

Creo que ahora nadie tendrá problemas con las integrales:
etcétera.

¿Cuál es la idea del método? La idea es utilizar transformaciones y fórmulas trigonométricas para organizar sólo las tangentes y la derivada tangente en el integrando. Eso es, estamos hablando acerca de sobre el reemplazo: . En los ejemplos 17-19 utilizamos este reemplazo, pero las integrales eran tan simples que nos las arreglamos con una acción equivalente: subsumir la función bajo el signo diferencial.

Como ya mencioné, se puede realizar un razonamiento similar para la cotangente.

También existe un requisito previo formal para aplicar el reemplazo anterior:

La suma de las potencias del coseno y el seno es un número entero negativo. Número par , Por ejemplo:

para la integral: un número PAR entero negativo.

! Nota : si el integrando contiene SÓLO un seno o SÓLO un coseno, entonces la integral también se toma para un grado impar negativo (los casos más simples se encuentran en los Ejemplos No. 17, 18).

Veamos un par de tareas más significativas basadas en esta regla:

Ejemplo 20

Encuentra la integral indefinida

La suma de las potencias del seno y el coseno: 2 – 6 = –4 es un número PAR entero negativo, lo que significa que la integral se puede reducir a tangentes y su derivada:

(1) Transformemos el denominador.
(2) Usando la conocida fórmula, obtenemos .
(3) Transformemos el denominador.
(4) Usamos la fórmula .
(5) Llevamos la función bajo el signo diferencial.
(6) Realizamos el reemplazo. Es posible que los estudiantes más experimentados no realicen el reemplazo, pero es mejor reemplazar la tangente con una letra; hay menos riesgo de confundirse.

Ejemplo 21

Encuentra la integral indefinida

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Aguanta, las rondas del campeonato están por comenzar =)

A menudo el integrando contiene una “mezcolanza”:

Ejemplo 22

Encuentra la integral indefinida

Esta integral contiene inicialmente una tangente, lo que inmediatamente nos lleva a una idea ya conocida:

Dejaré la transformación artificial desde el principio y los pasos restantes sin comentarios, ya que todo ya se ha comentado anteriormente.

Un par de ejemplos creativos para su propia solución:

Ejemplo 23

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 24

Encuentra la integral indefinida

Sí, en ellos, por supuesto, se pueden reducir las potencias del seno y el coseno, y utilizar una sustitución trigonométrica universal, pero la solución será mucho más eficaz y más corta si se realiza a través de tangentes. Solución completa y respuestas al final de la lección.

Definición de una función antiderivada

Función y=F(x) se llama antiderivada de la función y=f(x) en un intervalo dado X, si para todos X ∈X la igualdad se cumple: F′(x) = f(x)

Se puede leer de dos maneras:

F derivada de una función F
F antiderivada de una función F

Propiedad de las antiderivadas

Si F(x)- antiderivada de una función f(x) en un intervalo dado, entonces la función f(x) tiene infinitas primitivas, y todas estas primitivas se pueden escribir en la forma F(x) + C, donde C es una constante arbitraria.

Interpretación geométrica

Gráficas de todas las antiderivadas de una función dada. f(x) se obtienen de la gráfica de cualquier antiderivada transferencias paralelas a lo largo del eje O en.

Reglas para calcular antiderivadas.

La antiderivada de la suma es igual a la suma de las antiderivadas.. Si F(x)- antiderivada para f(x), y G(x) es una antiderivada de gramo(x), Eso F(x) + G(x)- antiderivada para f(x) + g(x).
El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.. Si F(x)- antiderivada para f(x), Y k- constante, entonces k·F(x)- antiderivada para kf(x).
Si F(x)- antiderivada para f(x), Y k, b- constante, y k ≠ 0, Eso 1/k F(kx + b)- antiderivada para f(kx+b).

¡Recordar!

Cualquier función F(x) = x2 + C , donde C es una constante arbitraria y solo dicha función es una antiderivada de la función f(x) = 2x.

Por ejemplo:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, porque F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x, porque F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Relación entre las gráficas de una función y su antiderivada:

Si la gráfica de una función f(x)>0 en el intervalo, entonces la gráfica de su primitiva F(x) aumenta durante este intervalo.
Si la gráfica de una función f(x) en el intervalo, entonces la gráfica de su primitiva F(x) disminuye durante este intervalo.
Si f(x)=0, entonces la gráfica de su primitiva F(x) en este punto cambia de creciente a decreciente (o viceversa).

Para denotar la primitiva se utiliza el signo de la integral indefinida, es decir, la integral sin indicar los límites de integración.

Integral indefinida

Definición:

La integral indefinida de la función f(x) es la expresión F(x) + C, es decir, el conjunto de todas las primitivas de una función dada f(x). La integral indefinida se denota de la siguiente manera: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- llamada función integrando;
f(x)dx- llamado integrando;
X- llamada variable de integración;
F(x)- una de las primitivas de la función f(x);
CON- Constante arbitraria.

Propiedades de la integral indefinida

La derivada de la integral indefinida es igual al integrando: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
El factor constante del integrando se puede sacar del signo integral: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
La integral de la suma (diferencia) de funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de estas funciones: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Si k, b son constantes, y k ≠ 0, entonces \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tabla de antiderivadas e integrales indefinidas

Función f(x)	Antiderivada F(x) + C	Integrales indefinidas \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\no =-1	F(x) = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( x )	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cosx	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \sin ( ^2 ) x )	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac ( 1 ) ( \cos ( ^2 ) x )	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt ( x )	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x ) )	F(x) =2\sqrt ( x ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) )	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) )	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) )	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) )	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac ( 1 ) ( 1+x^2 )	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tgx	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctgx	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sin x )	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \cos x )	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Fórmula de Newton-Leibniz

Dejar f(x) esta función F su antiderivada arbitraria.

\int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx =F(x)|_ ( a ) ^ ( b )= F(b) - F(a)

Dónde F(x)- antiderivada para f(x)

Es decir, la integral de la función. f(x) en un intervalo es igual a la diferencia de antiderivadas en los puntos b Y a.

Área de un trapecio curvo

trapezoide curvilíneo es una figura acotada por la gráfica de una función que es no negativa y continua en un intervalo F, Eje buey y rectas x = un Y x = segundo.

El área de un trapecio curvo se encuentra mediante la fórmula de Newton-Leibniz:

S= \int_ ( a ) ^ ( b ) f(x) dx

¿Buscaste la raíz x de la antiderivada x? . Una solución detallada con descripción y explicaciones le ayudará a comprender incluso el problema más complejo, y la integral desde la raíz x no es una excepción. Te ayudaremos a prepararte para las tareas, los exámenes, las olimpiadas, así como para ingresar a una universidad. Y no importa qué ejemplo, no importa qué consulta matemática ingrese, ya tenemos una solución. Por ejemplo, "x es la raíz de x es la antiderivada".

El uso de diversos problemas matemáticos, calculadoras, ecuaciones y funciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre ha utilizado las matemáticas desde la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. Sin embargo, ahora la ciencia no se queda quieta y podemos disfrutar de los frutos de su actividad, como, por ejemplo, una calculadora online que puede resolver problemas como x raíz de x antiderivada, integral de raíz x, integral de raíz x, integral raíz cuadrada,integral de raíz de 1 x 2,integral de raíz de x,integral de raíz de x 2 1,integral de raíz de x,integral de raíz,integral de raíz de x,integral de raíz cuadrada,integral de raíz,integral de raíz,integral de raíz x,integrales con raíces ,raíz de x integral,raíz de x antiderivada,raíz de x integral,raíz de x antiderivada,antiderivada 3 raíz de x,antiderivada x raíz de x,antiderivada de la raíz x,antiderivada de la raíz x,antiderivada raíz de x, antiderivada de la raíz de x, antiderivada de la raíz, antiderivada de la raíz de x, antiderivada de la raíz de x, antiderivada de la raíz, antiderivada de la raíz de x, antiderivada de x la raíz de x. En esta página encontrarás una calculadora que te ayudará a resolver cualquier duda, incluida la raíz x de la antiderivada x. (por ejemplo, la integral de la raíz x).

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