Riešenie goniometrických rovníc tangens-kotangens. Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice nie sú najľahšou témou. Bolestne sú rôznorodé.) Napríklad:

hriech 2 x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Atď...

Ale tieto (a všetky ostatné) trigonometrické príšery majú dve spoločné a povinné vlastnosti. Prvý - neuveríte - v rovniciach sú goniometrické funkcie.) Po druhé: všetky výrazy s x sú nájdené vnútri tých istých funkcií. A len tam! Ak sa kdekoľvek objaví x vonku, Napríklad, hriech2x + 3x = 3, toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice si vyžadujú individuálny prístup. Nebudeme ich tu uvažovať.

Ani v tejto lekcii nebudeme riešiť zlé rovnice.) Tu sa budeme zaoberať najjednoduchšie goniometrické rovnice. prečo? Áno, pretože riešenie akýkoľvek goniometrické rovnice majú dva stupne. V prvej fáze sa rovnica zla redukuje na jednoduchú pomocou rôznych transformácií. V druhom prípade je táto najjednoduchšia rovnica vyriešená. Žiadna iná cesta.

Takže ak máte problémy v druhej fáze, prvá fáza nedáva veľký zmysel.)

Ako vyzerajú elementárne goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tu a označuje ľubovoľné číslo. Ktokoľvek.

Mimochodom, vo vnútri funkcie nemusí byť čisté x, ale nejaký druh výrazu, ako napríklad:

cos (3x + π / 3) = 1/2

atď. To komplikuje život, ale nemá to vplyv na spôsob riešenia goniometrickej rovnice.

Ako riešiť goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice možno riešiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob: pomocou logiky a trigonometrického kruhu. Túto cestu zvážime tu. O druhom spôsobe – pomocou pamäte a vzorcov – sa bude diskutovať v nasledujúcej lekcii.

Prvý spôsob je jasný, spoľahlivý a ťažko zabudnuteľný.) Je dobrý na riešenie goniometrických rovníc, nerovníc a všelijakých záludných neštandardných príkladov. Logika je silnejšia ako pamäť!)

Riešenie rovníc pomocou trigonometrického kruhu.

Zaraďujeme sem elementárnu logiku a schopnosť používať trigonometrický kruh. Nevieš ako!? Avšak ... V trigonometrii je to pre vás ťažké ...) Ale to nevadí. Pozrite sa na lekcie "Trigonometrický kruh ...... Čo je to?" a "Počítanie uhlov na trigonometrickom kruhu". Všetko je tam jednoduché. Na rozdiel od tutoriálov...)

Oh, vieš!? A dokonca zvládol „Praktická práca s trigonometrickým kruhom“!? gratulujem. Táto téma vám bude blízka a zrozumiteľná.) Čo je obzvlášť potešujúce, trigonometrickému kruhu je jedno, ktorú rovnicu riešite. Sínus, kosínus, tangens, kotangens - všetko je pre neho jedno. Existuje len jeden princíp riešenia.

Takže vezmeme akúkoľvek elementárnu goniometrickú rovnicu. Aspoň toto:

cosx = 0,5

Musíme nájsť X. Z ľudského hľadiska potrebujete nájdite uhol (x), ktorého kosínus je 0,5.

Ako sme predtým používali kruh? Nakreslili sme naň roh. V stupňoch alebo radiánoch. A hneď videný goniometrické funkcie tohto uhla. Teraz urobme opak. Nakreslíme na kružnicu kosínus rovný 0,5 a hneď pozri injekciou. Zostáva už len zapísať odpoveď.) Áno, áno!

Nakreslite kružnicu a označte kosínus 0,5. Na kosínusovej osi, samozrejme. Páči sa ti to:

Teraz nakreslíme uhol, ktorý nám dáva tento kosínus. Presuňte kurzor myši na kresbu (alebo klepnite na obrázok na tablete) a pozri práve tento roh X.

Aký uhol je kosínus 0,5?

x = π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Niekto sa bude skepticky smiať, áno... Hovorí sa, stálo to za ten kruh, keď už je všetko jasné... Môžete sa, samozrejme, smiať...) Faktom však je, že toto je chybná odpoveď. Alebo skôr nedostatočné. Znalci kruhu chápu, že tu stále existuje veľa uhlov, ktoré tiež dávajú kosínus rovný 0,5.

Ak otočíte pohyblivú stranu OA plný obrat, bod A sa vráti do pôvodnej polohy. S rovnakým kosínusom rovným 0,5. Tie. uhol sa zmení 360 ° alebo 2π radiánov a kosínus nie je. Nový uhol 60 ° + 360 ° = 420 ° bude tiež riešením našej rovnice, pretože

Môžete nakrútiť nekonečné množstvo takýchto plných otáčok ... A všetky tieto nové uhly budú riešením našej goniometrickej rovnice. A všetky musia byť nejakým spôsobom zapísané ako odpoveď. Všetko. V opačnom prípade sa rozhodnutie nepočíta, áno ...)

Matematika vie, ako to urobiť jednoduchým a elegantným spôsobom. V jednej krátkej odpovedi napíš nekonečná sada riešenia. Takto to vyzerá pre našu rovnicu:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

rozlúštim. Stále píšte zmysluplne príjemnejšie ako hlúpe kresliť nejaké záhadné písmená, však?)

π / 3 - toto je ten istý kút ako my videl na kruhu a identifikované podľa kosínusovej tabuľky.

2π je jedna úplná revolúcia v radiánoch.

n je počet plných, t.j. celý revolúcie. Je jasné že n môže byť 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... a tak ďalej. Ako naznačuje krátka poznámka:

n ∈ Z

n patrí ( ∈ ) na množinu celých čísel ( Z ). Mimochodom, namiesto písmena n možno použiť písmená k, m, t atď.

Tento záznam znamená, že si môžete vziať akýkoľvek celok n ... Aspoň -3, aspoň 0, aspoň +55. Čo chceš. Ak toto číslo zapojíte do svojej odpovede, získate špecifický uhol, ktorý určite vyrieši našu drsnú rovnicu.)

Alebo, inými slovami, x = π / 3 je jediným koreňom nekonečnej množiny. Na získanie všetkých ostatných koreňov stačí pridať ľubovoľný počet plných otáčok k π / 3 ( n ) v radiánoch. Tie. 2π n radián.

Všetko? nie Zámerne naťahujem rozkoš. Aby sme si to lepšie zapamätali.) Dostali sme len časť odpovedí na našu rovnicu. Túto prvú časť riešenia napíšem takto:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nie jeden koreň, je to celý rad koreňov, písaných v skrátenej forme.

Ale sú aj uhly, ktoré dávajú aj kosínus 0,5!

Vráťme sa k nášmu obrázku, ktorý slúžil na zapísanie odpovede. Tu je:

Ukážte myšou na obrázok a pozriďalší roh, ktorý tiež dáva kosínus 0,5.Čomu sa to podľa vás rovná? Trojuholníky sú rovnaké... Áno! Rovná sa rohu X , len vrátiť v negatívnom smere. Toto je roh -X. Ale už sme prišli na to x. π / 3 alebo 60 °. Preto môžeme pokojne napísať:

x 2 = - π / 3

Samozrejme, pridáme všetky uhly, ktoré sa získajú úplnými otáčkami:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Teraz je to všetko.) V trigonometrickom kruhu sme videl(kto tomu rozumie samozrejme)) všetky uhly dávajúce kosínus rovný 0,5. A tieto uhly napísali v krátkej matematickej forme. Odpoveď vytvorila dve nekonečné série koreňov:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správna odpoveď.

Nádej, všeobecný princíp riešenia goniometrických rovníc použitie kruhu je jasné. Označíme na kružnici kosínus (sínus, tangens, kotangens) z danej rovnice, nakreslíme mu zodpovedajúce uhly a zapíšeme odpoveď. Samozrejme, musíte prísť na to, aké sme rohy videl na kruhu. Niekedy to nie je také zrejmé. No, tak som povedal, že tu je potrebná logika.)

Pozrime sa napríklad na inú goniometrickú rovnicu:

Upozorňujeme, že číslo 0,5 nie je jediné možné číslo v rovniciach!) Len je pre mňa pohodlnejšie ho písať ako odmocniny a zlomky.

Pracujeme podľa všeobecného princípu. Nakreslite kruh, označte (samozrejme na sínusovej osi!) 0,5. Nakreslíme naraz všetky uhly zodpovedajúce tomuto sínusu. Zoberme si nasledujúci obrázok:

Najprv sa vysporiadajte s uhlom X v prvom štvrťroku. Pripomíname si tabuľku sínusov a určujeme hodnotu tohto uhla. Je to jednoduchá záležitosť:

x = π / 6

Pamätáme si celé otáčky a s čistým svedomím si zapíšeme prvú sériu odpovedí:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Polovica hotová. Teraz však musíme definovať druhý roh... To je prefíkanejšie ako v kosínusoch, áno... Ale logika nás zachráni! Ako určiť druhý uhol cez x? Áno Ľahko! Trojuholníky na obrázku sú rovnaké a červený roh X rovný uhlu X ... Len sa meria od uhla π v zápornom smere. Preto je červená.) A na odpoveď potrebujeme uhol, správne odmeraný, od kladnej poloosi OX, t.j. z uhla 0 stupňov.

Umiestnite kurzor na obrázok a uvidíte všetko. Prvý roh som odstránil, aby som nekomplikoval obraz. Uhol, ktorý nás zaujíma (nakreslený zelenou farbou), sa bude rovnať:

π - x

X to vieme π / 6 ... Preto druhý uhol bude:

π - π / 6 = 5π / 6

Opäť si pripomíname pridanie úplných otáčok a zapisujeme druhú sériu odpovedí:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

To je všetko. Úplná odpoveď pozostáva z dvoch sérií koreňov:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Rovnice s dotyčnicou a kotangens sa dajú ľahko vyriešiť pomocou rovnakého všeobecného princípu na riešenie goniometrických rovníc. Ak, samozrejme, viete, ako nakresliť dotyčnicu a kotangens na trigonometrickom kruhu.

Vo vyššie uvedených príkladoch som použil tabuľku sínus a kosínus: 0,5. Tie. jeden z tých významov, ktoré študent pozná musieť. Teraz rozšírme naše možnosti na všetky ostatné hodnoty. Rozhodnite sa, tak sa rozhodnite!)

Povedzme teda, že musíme vyriešiť túto trigonometrickú rovnicu:

V krátkych tabuľkách takáto kosínusová hodnota neexistuje. Tento hrozný fakt chladnokrvne ignorujeme. Nakreslite kruh, označte 2/3 na kosínusovej osi a nakreslite zodpovedajúce uhly. Dostávame presne takýto obraz.

Poďme na to, na začiatok, s uhlom v prvej štvrtine. Keby som vedel, čo je to X, odpoveď by hneď zapísali! Nevieme... Zlyhanie!? Pokojne! Matematika sa v problémoch neopúšťa! Pre tento prípad si vymyslela arkozíny. Neviem? márne. Zistite, je to oveľa jednoduchšie, ako si myslíte. Pod týmto odkazom nie je ani jedno záludné zaklínadlo o "inverzných goniometrických funkciách" ... To je v tejto téme nadbytočné.

Ak sa vyznáte, stačí si povedať: „X je uhol, ktorého kosínus sú 2/3“. A hneď, čisto podľa definície arkozínu, môžete napísať:

Vybavíme si ďalšie otáčky a pokojne zapíšeme prvý rad koreňov našej goniometrickej rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá séria koreňov je tiež zaznamenaná takmer automaticky pre druhý uhol. Všetko je rovnaké, iba x (arccos 2/3) bude s mínusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A to je všetko! Toto je správna odpoveď. Ešte jednoduchšie ako pri tabuľkových hodnotách. Nemusíte si nič pamätať.) Mimochodom, tí najpozornejší si všimnú, že tento obrázok s riešením cez inverzný kosínus v podstate sa nelíši od obrázku pre rovnicu cosx = 0,5.

presne tak! Všeobecný princíp je všeobecný! Špeciálne som nakreslil dva takmer rovnaké obrázky. Kruh nám ukazuje uhol X podľa jeho kosínusu. Stôl je kosínus, alebo nie - kruh nevie. Aký je tento uhol, π / 3 alebo aký druh inverzného kosínusu - to je na nás.

So sínusom tá istá pieseň. Napríklad:

Znova nakreslite kruh, označte sínus rovný 1/3, nakreslite rohy. Obrázok vyzerá takto:

A opäť je obrázok takmer rovnaký ako pri rovnici sinx = 0,5. Opäť začnite od rohu v prvej štvrtine. Čo je x, ak jeho sínus je 1/3? Žiaden problém!

Takže prvý balík koreňov je pripravený:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Zaoberáme sa druhým rohom. V príklade s tabuľkovou hodnotou 0,5 to bolo:

π - x

Takže tu to bude úplne rovnaké! Iba x je iné, arcsin 1/3. No a čo!? Druhý balík koreňov si môžete pokojne zapísať:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je úplne správna odpoveď. Aj keď to nevyzerá veľmi povedome. Ale je to pochopiteľné, dúfam.)

Takto sa riešia goniometrické rovnice pomocou kruhu. Táto cesta je jasná a zrozumiteľná. Práve on šetrí v goniometrických rovniciach s výberom koreňov v danom intervale, v goniometrických nerovnostiach - tie sa vo všeobecnosti riešia takmer vždy v kruhu. Skrátka v akýchkoľvek úlohách, ktoré sú o niečo ťažšie ako tie štandardné.

Využime naše znalosti v praxi?)

Riešte goniometrické rovnice:

Spočiatku je to jednoduchšie, hneď z tejto lekcie.

Teraz ťažšie.

Tip: Tu musíte reflektovať na kruh. Osobne.)

A teraz sú navonok nenároční ... Nazývajú sa aj špeciálne prípady.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: Tu musíte v kruhu zistiť, kde sú dve série odpovedí a kde jedna ... A ako zapísať jednu namiesto dvoch sérií odpovedí. Áno, aby sa nestratil ani jeden koreň z nekonečného čísla!)

No, veľmi jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Pomôcka: tu musíte vedieť, čo je arcsínus, arkkozín? Čo je oblúková tangenta, oblúk kotangens? Najjednoduchšie definície. Nemusíte si však pamätať žiadne tabuľkové hodnoty!)

Odpovede sú, samozrejme, neporiadok):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nevychádza všetko? To sa stáva. Prečítajte si lekciu znova. Iba zamyslene(je tam také zastarané slovo ...) A postupujte podľa odkazov. Hlavné odkazy sú o kruhu. Bez nej je to v trigonometrii ako prechádzať cez cestu so zaviazanými očami. Niekedy to funguje.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Koncepcia riešenia goniometrických rovníc.

• Ak chcete vyriešiť goniometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných goniometrických rovníc. Riešenie goniometrickej rovnice nakoniec vedie k riešeniu štyroch základných goniometrických rovníc.

Riešenie základných goniometrických rovníc.

• Existujú 4 typy základných goniometrických rovníc:
• hriech x = a; cos x = a
• tg x = a; ctg x = a
• Riešenie základných goniometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x na jednotkovej kružnici a použitie prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky).
• Príklad 1.sin x = 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = π / 3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: 2π / 3. Pamätajte: všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Preto je odpoveď napísaná takto:
• x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
• Príklad 2.cos x = -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = 2π / 3. Jednotkový kruh dáva inú odpoveď: -2π / 3.
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
• Príklad 3.tg (x - π / 4) = 0.
• Odpoveď: x = π / 4 + πn.
• Príklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpoveď: x = π / 12 + πn.

Transformácie používané na riešenie goniometrických rovníc.

• Na transformáciu goniometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych členov a pod.) a goniometrické identity.
• Príklad 5. Pomocou goniometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x = 0 transformuje na rovnicu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Preto musíte vyriešiť nasledujúce základné goniometrické rovnice: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.

• Hľadanie uhlov zo známych hodnôt funkcií.

  • Predtým, ako sa naučíte metódy riešenia goniometrických rovníc, musíte sa naučiť, ako nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To možno vykonať pomocou prevodnej tabuľky alebo kalkulačky.
  • Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpoveď x = 42,95 stupňa. Jednotková kružnica poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus je tiež 0,732.

• Roztok odložte bokom na jednotkový kruh.

  • Riešenia goniometrickej rovnice môžete odložiť na jednotkový kruh. Riešeniami goniometrickej rovnice na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
  • Príklad: Riešenia x = π / 3 + πn / 2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
  • Príklad: Riešenia x = π / 4 + πn / 3 na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného šesťuholníka.

• Metódy riešenia goniometrických rovníc.

  • Ak daná trigovacia rovnica obsahuje iba jednu trigovaciu funkciu, vyriešte túto rovnicu ako základnú trigovaciu rovnicu. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac goniometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
    • Metóda 1.
  • Preveďte túto rovnicu na rovnicu v tvare: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kde f (x), g (x), h (x) sú základné goniometrické rovnice.
  • Príklad 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie. Pomocou vzorca s dvojitým uhlom sin 2x = 2 * sin x * cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Príklad 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu v tvare: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Príklad 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou goniometrických identít transformujte túto rovnicu do rovnice v tvare: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0 .
    • Metóda 2.
  • Preveďte danú goniometrickú rovnicu na rovnicu obsahujúcu iba jednu goniometrickú funkciu. Potom nahraďte túto goniometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t atď.).
  • Príklad 9,3 sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Riešenie. V tejto rovnici nahraďte (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (podľa identity). Transformovaná rovnica je:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Rovnica teraz vyzerá takto: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ide o kvadratickú rovnicu s dvoma koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah hodnôt funkcie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Príklad 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • Riešenie. Nahraďte tg x za t. Prepíšte pôvodnú rovnicu takto: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t = tg x.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zvládnutie skúšky z matematiky na 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie základnej skúšky z matematiky. Ak chcete spraviť skúšku na 90-100 bodov, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka teória, ktorú potrebujete. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Demontoval všetky príslušné úlohy časti 1 z Banky úloh FIPI. Kurz plne spĺňa požiadavky skúšky-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoduchá a priamočiara.

Stovky úloh na skúšku. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvíjanie priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, stupne a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému !!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo` ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ich vzorcom sa budeme ďalej venovať.

Najjednoduchšie rovnice sa nazývajú `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a`, kde` x` je uhol, ktorý treba nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x = a`.

Pre "| a |> 1" nemá žiadne riešenia.

Pre „| a | \ leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ v Z`

2. Rovnica „cos x = a“.

Pre `| a |> 1` - ako v prípade sínusu, nemá žiadne riešenia medzi reálnymi číslami.

Pre „| a | \ leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x = a`

Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x = arctan a + \ pi n, n \ v Z`

4. Rovnica `ctg x = a`

Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• pomocou previesť na najjednoduchšie;
• vyriešte výslednú najjednoduchšiu rovnicu pomocou vyššie napísaných koreňových vzorcov a tabuliek.

Pozrime sa na príklady hlavných metód riešenia.

Algebraická metóda.

V tejto metóde sa vykonáva premenná náhrada a substitúcia do rovnosti.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3 sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3 cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

vykonáme zmenu: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, potom` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

nájdeme korene: `y_1 = 1, y_2 = 1 / 2`, z čoho vyplývajú dva prípady:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1 / 2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Odpoveď: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x + cos x = 1`.

Riešenie. Presuňte všetky členy rovnosti doľava: `sin x + cos x-1 = 0`. Použitie, transformácia a faktorizácia ľavej strany:

`sin x – 2 sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2 sin ^ 2 x / 2 = 0`,

"2 sin x / 2 (cos x / 2 sin x / 2) = 0",

1. `sin x / 2 = 0`,` x / 2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`.
2. `cos x / 2-sin x / 2 = 0`,` tg x / 2 = 1`, `x / 2 = arctan 1+ \ pi n`,` x / 2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Odpoveď: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu previesť na jeden z dvoch typov:

`a sin x + b cos x = 0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom obe časti vydeľte `cos x \ ne 0` - pre prvý prípad a ` cos ^ 2 x \ ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`:` a tg x + b = 0` a `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`.

Riešenie. Prepíšte pravú stranu ako „1 = hriech ^ 2 x + cos ^ 2 x“:

`2 hriech ^ 2 x + hriech x cos x - cos ^ 2 x =` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 hriech ^ 2 x + hriech x cos x - cos ^ 2 x -` `sin ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`sin ^ 2 x + hriech x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`.

Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos ^ 2 x \ ne 0`, dostaneme:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`tg ^ 2 x + tg x - 2 = 0`. Výsledkom je nahradenie `tg x = t`` t ^ 2 + t - 2 = 0`. Korene tejto rovnice sú `t_1 = -2` a` t_2 = 1`. potom:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ v Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ v Z`.

Odpoveď. `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ v Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ v Z`.

Choďte do polovice rohu

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riešenie. Ako výsledok použite vzorce s dvojitým uhlom: `22 sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 + 10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 – 11 tg x / 2 + 6 = 0`

Použitím vyššie uvedenej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x / 2 = 2`,` x_1 = 2 arktan 2 + 2 \ pi n`, `n \ v Z`,
2. `tg x / 2 = 3 / 4`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ v Z`.

Odpoveď. `x_1 = 2 arktan 2 + 2 \ pi n, n \ v Z`,` x_2 = arktan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ v Z`.

Zaveďte pomocný uhol

V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x = c`, kde a, b, c sú koeficienty a x je premenná, delíme obe strany `sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) `:

`\ frac a (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) sin x +` `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) cos x = '' \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) `.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich štvorcov sa rovná 1 a ich absolútne hodnoty nie sú väčšie ako 1. Označujeme ich takto: `\ frac a (sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = C', potom:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x + 4 cos x = 2`.

Riešenie. Vydelte obe strany rovnosti `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, dostaneme:

`\ frac (3 sin x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\ frac (4 cos x) (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ frac 2 (sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 hriechu x + 4/5 cos x = 2/5`.

Označme `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`. Pretože `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, potom berieme `\ varphi = arcsin 4 / 5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2 / 5`

Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:

`sin (x + \ varphi) = 2 / 5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \ pi n`,` n \ v Z`,

`x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ v Z`.

Odpoveď. `x = (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ v Z`.

Zlomkovo-racionálne goniometrické rovnice

Ide o rovnosti so zlomkami s goniometrickými funkciami v čitateľoch a menovateľoch.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`.

Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1 + cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)“

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` `\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -`` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ v Z`.

Prirovnajte čitateľa zlomku k nule: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`. Potom `sin x = 0` alebo` 1-sin x = 0`.

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ v Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n, n \ v Z`.

Vzhľadom na to, že `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ v Z`, riešenia sú` x = 2 \ pi n, n \ v Z` a `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n` , `n \ v Z`.

Odpoveď. `x = 2 \ pi n`,` n \ v Z`, `x = \ pi / 2 + 2 \ pi n`,` n \ v Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky, inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, určite sú úlohy na skúšku, tak si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc – určite sa vám budú hodiť!

Netreba sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť si ich odvodiť. Nie je to také ťažké, ako to znie. Presvedčte sa sami sledovaním videa.