यदि ऊँचाई ज्ञात हो तो समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें (सूत्र)

यह न केवल स्कूली बच्चों या छात्रों के लिए, बल्कि वास्तविक, व्यावहारिक जीवन में भी उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, निर्माण के दौरान छत के नीचे स्थित मुखौटे को खत्म करना आवश्यक हो जाता है। आवश्यक सामग्री की मात्रा की गणना कैसे करें?

कपड़े या चमड़े से काम करने वाले कारीगरों को अक्सर ऐसी ही समस्याओं का सामना करना पड़ता है। आख़िरकार, शिल्पकार को जिन हिस्सों को काटना होता है उनमें से कई का आकार बिल्कुल समद्विबाहु त्रिभुज जैसा होता है।

तो, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करने के कई तरीके हैं। सबसे पहले आधार और ऊंचाई के आधार पर इसकी गणना की जा रही है।

हल करने के लिए, हमें स्पष्टता के लिए, आधार एमएन और ऊंचाई पीओ के साथ एक त्रिकोण एमएनपी का निर्माण करने की आवश्यकता है। आइए अब ड्राइंग में कुछ पूरा करें: बिंदु P से आधार के समानांतर एक रेखा खींचें, और बिंदु M से - ऊंचाई के समानांतर एक रेखा खींचें। आइए प्रतिच्छेदन बिंदु Q पर कॉल करें। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, यह जानने के लिए, आपको परिणामी चतुर्भुज MOPQ पर विचार करने की आवश्यकता है, जिसमें हमें दिया गया त्रिभुज MP का पार्श्व पक्ष पहले से ही इसका विकर्ण है।

आइए पहले सिद्ध करें कि यह एक आयत है। चूँकि हमने इसे स्वयं बनाया है, हम जानते हैं कि MO और OQ पक्ष समानांतर हैं। दोनों भुजाएँ QM और OP भी समानांतर हैं। कोण POM सही है, इसलिए कोण OPQ भी सही है। इसलिए, परिणामी चतुर्भुज एक आयत है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना कठिन नहीं है, यह PO और OM के गुणनफल के बराबर है। OM इस MPN त्रिभुज का आधा आधार है। इसका तात्पर्य यह है कि हमारे द्वारा बनाए गए आयत का क्षेत्रफल समकोण त्रिभुज की ऊंचाई और उसके आधार के आधे उत्पाद के बराबर है।

हमारे सामने निर्धारित कार्य का दूसरा चरण, त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित करें, इस तथ्य को साबित करना है कि क्षेत्रफल में हमें जो आयत प्राप्त हुई है वह दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज से मेल खाती है, अर्थात, का क्षेत्रफल त्रिभुज भी आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के बराबर है।

आइए सबसे पहले त्रिभुज PON और PMQ की तुलना करें। वे दोनों आयताकार हैं, क्योंकि उनमें से एक में समकोण ऊंचाई से बनता है, और दूसरे में समकोण आयत के कोण से बनता है। उनमें कर्ण एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं, इसलिए वे भी बराबर हैं। भुजाएँ PO और QM भी आयत की समान्तर भुजाओं के समान हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज PON और त्रिभुज PMQ दोनों का क्षेत्रफल एक दूसरे के बराबर है।

आयत QPOM का क्षेत्रफल त्रिभुज PQM और MOP के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। निर्मित त्रिभुज QPM को त्रिभुज PON के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें कुल मिलाकर वह त्रिभुज प्राप्त होता है जो हमें प्रमेय प्राप्त करने के लिए दिया गया है। अब हम जानते हैं कि किसी समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊँचाई के आधार पर कैसे ज्ञात करें - उनके आधे-उत्पाद की गणना करें।

लेकिन आप यह जान सकते हैं कि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधार और भुजा का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। यहां भी दो विकल्प हैं: हेरॉन और पाइथागोरस प्रमेय। आइए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समाधान पर विचार करें। उदाहरण के लिए, आइए ऊंचाई PO के साथ समान PMN लें।

एक समकोण त्रिभुज में POM MP कर्ण है। इसका वर्ग PO और OM के वर्गों के योग के बराबर है। और चूँकि OM आधा आधार है जिसे हम जानते हैं, हम आसानी से OM ज्ञात कर सकते हैं और संख्या का वर्ग कर सकते हैं। कर्ण के वर्ग से परिणामी संख्या को घटाकर, हम यह पता लगाते हैं कि दूसरे पैर का वर्ग किसके बराबर है, जो एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊंचाई है। अंतर से ज्ञात करके और समकोण त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात करके, हम अपने सामने निर्धारित कार्य का उत्तर दे सकते हैं।

आपको बस ऊंचाई को आधार से गुणा करना होगा और परिणाम को आधे में विभाजित करना होगा। हमने बताया कि प्रमाण के पहले संस्करण में ऐसा क्यों किया जाना चाहिए।

ऐसा होता है कि आपको पक्ष और कोण पर गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर हम ज्या और कोज्या के साथ सूत्र का उपयोग करके ऊंचाई और आधार पाते हैं, और, फिर से, उन्हें गुणा करते हैं और परिणाम को आधे में विभाजित करते हैं।

उपरोक्त आकृति में भुजाओं और कोणों के अक्षर पदनाम सूत्रों में दर्शाए गए पदनामों के अनुरूप हैं। तो इससे आपको उन्हें समद्विबाहु त्रिभुज के तत्वों से मिलाने में मदद मिलेगी। समस्या की स्थितियों से, निर्धारित करें कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, चित्र में उनके पदनाम खोजें और उपयुक्त सूत्र का चयन करें।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

निम्नलिखित हैं समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र: भुजाओं से होकर, भुजा और उनके बीच के कोण से, भुजा से, आधार से और शीर्ष पर बने कोण से, आधार की भुजा से और आधार पर बने कोण से, आदि। बस बाईं ओर की तस्वीर में सबसे उपयुक्त व्यक्ति ढूंढें। सबसे जिज्ञासु लोगों के लिए, दाईं ओर का पाठ बताता है कि सूत्र सही क्यों है और इसका उपयोग क्षेत्र को खोजने के लिए कैसे किया जा सकता है।

1. पाया जा सकता है इसके पक्ष और आधार को जानना. यह अभिव्यक्ति एक अधिक सामान्य, सार्वभौमिक सूत्र को सरल बनाकर प्राप्त की गई थी। यदि हम हेरोन के सूत्र को आधार के रूप में लेते हैं, और फिर ध्यान में रखते हैं कि त्रिभुज की दोनों भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं, तो अभिव्यक्ति चित्र में प्रस्तुत सूत्र के अनुसार सरल हो जाती है।
   ऐसे सूत्र का उपयोग करने का एक उदाहरण नीचे दी गई समस्या को हल करने के उदाहरण में दिया गया है।
2. दूसरा सूत्र आपको इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की अनुमति देता है भुजाओं और उनके बीच के कोण के माध्यम सेभुजा के वर्ग का आधा भाग, भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा किया जाता है
   यदि हम मानसिक रूप से एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा की ऊंचाई कम करते हैं, तो हम ध्यान देते हैं कि इसकी लंबाई * पाप β के बराबर होगी। चूंकि भुजा की लंबाई हमें ज्ञात है, उस पर गिराई गई ऊंचाई अब ज्ञात है, उनका आधा उत्पाद दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा (स्पष्टीकरण: पूर्ण उत्पाद का क्षेत्रफल बताता है) आयत, जो स्पष्ट है। ऊँचाई इस आयत को दो छोटे आयतों में विभाजित करती है, त्रिभुज की भुजाएँ उनके विकर्ण हैं, जो उन्हें बिल्कुल आधे में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होगा पार्श्व पक्ष और ऊँचाई का आधा गुणनफल)। फॉर्मूला 5 भी देखें
3. तीसरा सूत्र क्षेत्रफल ज्ञात करना दर्शाता है पार्श्व, आधार और शीर्ष कोण के माध्यम से.
   कड़ाई से बोलते हुए, एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों में से एक को जानकर, आप अन्य को पा सकते हैं, इसलिए इस या पिछले सूत्र का उपयोग करना स्वाद का मामला है (वैसे, यही कारण है कि आप उनमें से केवल एक को याद रख सकते हैं)।
   तीसरे सूत्र में एक और दिलचस्प विशेषता भी है - उत्पाद एक पाप αहमें आधार से कम ऊंचाई की लंबाई मिलेगी। परिणामस्वरूप, हमें एक सरल और स्पष्ट सूत्र 5 मिलता है।
4. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफलभी पाया जा सकता है आधार के किनारे और आधार पर कोने के माध्यम से(आधार पर बने कोण बराबर होते हैं) आधार के वर्ग को उसकी भुजाओं से बने कोण के आधे भाग की चार स्पर्शरेखाओं से विभाजित किया जाता है। यदि आप बारीकी से देखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि आधे आधार (b/2) को tan(β/2) से गुणा करने पर हमें त्रिभुज की ऊंचाई मिलती है। चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊँचाई, एक ही समय में, एक समद्विभाजक और एक माध्यिका होती है, तो tg(β/2) आधे आधार (b/2) और ऊँचाई का अनुपात है - tg(β/2) = (बी/2)/एच. जहां से h = b / (2 tan(β/2)). परिणामस्वरूप, फॉर्मूला फिर से सरल फॉर्मूला 5 में सिमट जाएगा, जो बिल्कुल स्पष्ट है।
5. बिल्कुल एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफलऊंचाई को शीर्ष से आधार तक गिराकर पाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप दो समकोण त्रिभुज बनते हैं। आगे - सब कुछ स्पष्ट है. ऊँचाई और आधार का आधा गुणनफलऔर वहां आवश्यक क्षेत्र है. इस सूत्र का उपयोग करने के उदाहरण के लिए, नीचे दी गई समस्या देखें (दूसरी समाधान विधि)
6. यदि आप समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करते हैं तो यह सूत्र प्राप्त होता है पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करना. ऐसा करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से, पिछले सूत्र से ऊँचाई को व्यक्त करते हैं, जो एक ही समय में एक समकोण त्रिभुज की भुजा, उसके आधार और ऊँचाई के आधे भाग से बनता है। पार्श्व भुजा कर्ण है, इसलिए, पार्श्व भुजा के वर्ग से (ए) हम दूसरे पैर के वर्ग को घटाते हैं। चूँकि यह आधे आधार (b/2) के बराबर है, इसका वर्ग b 2/4 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति से मूल निकालने पर हमें ऊँचाई मिलेगी। जैसा कि फॉर्मूला 6 में देखा जा सकता है। यदि अंश और हर को दो से गुणा किया जाता है, और फिर अंश के दो को मूल चिह्न के नीचे दर्ज किया जाता है, तो हमें उसी सूत्र का दूसरा संस्करण मिलता है, जो समान चिह्न के माध्यम से लिखा जाता है।
   वैसे, सबसे चतुर लोग देख सकते हैं कि यदि आप फॉर्मूला 1 में कोष्ठक खोलते हैं, तो यह फॉर्मूला 6 में बदल जाएगा। या इसके विपरीत, दो संख्याओं के वर्गों का अंतर, गुणनखंडित होने पर, हमें मूल, पहला नंबर देगा।

पदनाम, जो चित्र में दिए गए सूत्रों में लागू किए गए थे:

ए- त्रिभुज की दो समान भुजाओं में से एक की लंबाई

बी- आधार लंबाई

α - आधार पर दो समान कोणों में से एक का आकार

β - त्रिभुज की समान भुजाओं और उसके आधार के विपरीत भुजाओं के बीच के कोण का आकार

एच- समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से आधार तक कम की गई ऊँचाई की लंबाई

महत्वपूर्ण. परिवर्तनीय पदनामों पर ध्यान दें! भ्रमित मत होइए α और β, और एऔर बी!

टिप्पणी. यह ज्यामिति समस्याओं (एक समद्विबाहु त्रिभुज का अनुभाग क्षेत्र) वाले एक पाठ का हिस्सा है। यहां ऐसी समस्याएं हैं जिनका समाधान करना कठिन है। यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्या समाधान में वर्गमूल निकालने की क्रिया को इंगित करने के लिए, प्रतीक √ या sqrt() का उपयोग किया जाता है, मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है.

काम

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा 13 सेमी है और आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात करेंसमद्विबाहु त्रिकोण।

समाधान.

पहली विधि. आइए हेरोन का फार्मूला लागू करें। चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए यह सरल रूप लेगा (उपरोक्त सूत्रों की सूची में सूत्र 1 देखें):

जहां a भुजाओं की लंबाई है, और b आधार की लंबाई है।
समस्या कथन से त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
एस = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 सेमी 2

दूसरी विधि. आइए पाइथागोरस प्रमेय लागू करें
आइए मान लें कि हमें पहले समाधान में प्रयुक्त सूत्र याद नहीं है। इसलिए, आइए हम ऊंचाई BK को शीर्ष B से आधार AC तक कम करें।
चूँकि एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई उसके आधार को आधे में विभाजित करती है, आधार के आधे की लंबाई बराबर होगी
एके = एसी/2 = 10/2 = 5 सेमी.

समद्विबाहु त्रिभुज के आधे आधार और भुजा वाली ऊँचाई एक समकोण त्रिभुज ABK बनाती है। इस त्रिभुज में हम कर्ण AB और पाद AK को जानते हैं। आइए दूसरे चरण की लंबाई को पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से व्यक्त करें।

निर्देश

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टिप्पणी

स्रोत:

सबसे पहले, आइए अंकन पर सहमत हों। एक पैर एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण से सटी होती है (अर्थात्, दूसरी भुजा से 90 डिग्री का कोण बनाती है)। हम पैरों की लंबाई को ए और बी के रूप में दर्शाने के लिए सहमत हैं। हम एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का मान क्रमशः भुजाओं A और B के विपरीत कहेंगे। कर्ण एक समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत होती है (अर्थात्, यह समकोण के विपरीत होती है और त्रिभुज की अन्य भुजाओं के साथ न्यून कोण बनाती है)। हम कर्ण की लंबाई को c से निरूपित करते हैं। आइए आवश्यक क्षेत्रफल को S से निरूपित करें।

निर्देश

यदि आपको केवल एक पैर (ए) दिया गया है, लेकिन इस पैर के विपरीत कोण (ए) भी ज्ञात है, तो सूत्र S = (a^2)/(2*tg(A)) लागू करें। चिन्ह "^2" वर्ग करने का संकेत देता है।

यदि आपको केवल एक पैर (ए) दिया गया है, लेकिन इस पैर से सटे कोण (बी) भी ज्ञात है, तो सूत्र S=(a^2)*tg(B)/2 d का उपयोग करें।

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स्रोत:

• "विश्वविद्यालय प्रवेशार्थियों के लिए गणित मैनुअल", संस्करण। जी.एन. याकोवलेवा, 1982।

समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इस त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कई विधियों का उपयोग करके की जा सकती है।

निर्देश

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टिप्पणी

समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण हैं:
1) एक समद्विबाहु त्रिभुज में 2 बराबर कोण होते हैं;
2) त्रिभुज की ऊँचाई उसकी माध्यिका से मेल खाती है;
3) त्रिभुज की ऊंचाई उसके समद्विभाजक के साथ मेल खाती है;
4) किसी त्रिभुज का समद्विभाजक उसकी माध्यिका से संपाती होता है;
5) एक समद्विबाहु त्रिभुज में 2 समान माध्यिकाएँ होती हैं;
6) एक समद्विबाहु त्रिभुज की 2 समान ऊँचाइयाँ होती हैं;
7) एक समद्विबाहु त्रिभुज में 2 समान समद्विभाजक होते हैं।

स्रोत:

• एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

गणित और ज्यामिति पाठों में चर्चा की गई आकृतियों में से एक त्रिभुज है। त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें 3 शीर्ष (कोण) और 3 भुजाएँ होती हैं; तीन बिंदुओं से सीमित विमान का हिस्सा, तीन खंडों द्वारा जोड़े में जुड़ा हुआ है। इस आकृति की विभिन्न मात्राएँ ज्ञात करने में अनेक समस्याएँ आती हैं। उन्हीं में से एक है - वर्ग. समस्या के प्रारंभिक डेटा के आधार पर, क्षेत्र निर्धारित करने के लिए कई सूत्र हैं त्रिकोण.

निर्देश

यदि आप भुजा a की लंबाई और उस पर खींची गई ऊँचाई h जानते हैं त्रिकोण, सूत्र S= ?h*a का उपयोग करें।

यदि त्रिभुज की किसी एक भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे की ऊंचाई ज्ञात हो, तो भुजा की लंबाई को ऊंचाई से गुणा करें और परिणाम को दो से विभाजित करें।

यदि आपके सामने एक समकोण त्रिभुज है, तो उसके पैरों की लंबाई मापने के लिए एक रूलर का उपयोग करें, अर्थात, वे भुजाएँ जो समकोण से सटी हुई हैं। पैरों की लंबाई को गुणा करें और परिणाम को दो से विभाजित करें।

यदि आपके पास दो त्रिभुजों के बीच के कोण के आकार का डेटा है, और आप इन भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

सेंट = ½ * ए * बी * पापα, जहां सेंट त्रिभुज का क्षेत्रफल है; A और B त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं; α इन भुजाओं के बीच स्थित कोण है।

एस = 1/2 (एबी + बीसी + एसी) = पी आर।

अर्ध-परिधि की गणना करें:

पी = (5 + 7 + 10) = 11.

आवश्यक मान की गणना करें:

एस = √(11 (11-5) (11-7) (11-10)) ≈ 16.2.

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक त्रिभुज को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने वाले तीन बिंदु इसके शीर्ष हैं। प्रत्येक समन्वय अक्ष के सापेक्ष उनकी स्थिति को जानकर, आप इस सपाट आकृति के किसी भी पैरामीटर की गणना कर सकते हैं, जिसमें इसकी परिधि द्वारा सीमित पैरामीटर भी शामिल हैं वर्ग. यह कई मायनों में किया जा सकता है।

निर्देश

क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें त्रिकोण. इसमें आकृति के तीन पक्षों के आयाम शामिल हैं, इसलिए अपनी गणना इससे शुरू करें। प्रत्येक भुजा की लंबाई निर्देशांक अक्षों पर उसके प्रक्षेपणों की लंबाई के वर्गों के योग के मूल के बराबर होनी चाहिए। यदि हम निर्देशांक A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) और C(X₃,Y₃,Z₃) को निरूपित करते हैं, तो उनकी भुजाओं की लंबाई इस प्रकार व्यक्त की जा सकती है: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, एक सहायक चर - सेमीपरिमीटर (पी) का परिचय दें। इस तथ्य से कि यह सभी भुजाओं की लंबाई का आधा योग है: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

गणना वर्ग(एस) हेरोन के सूत्र का उपयोग करके - अर्ध-परिधि के उत्पाद की जड़ और इसके और प्रत्येक पक्ष की लंबाई के बीच का अंतर लें। सामान्य तौर पर, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√( (X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

व्यावहारिक गणना के लिए, विशेष कैलकुलेटर का उपयोग करना सुविधाजनक है। ये कुछ साइटों के सर्वर पर होस्ट की गई स्क्रिप्ट हैं जो आपके द्वारा उचित फॉर्म में दर्ज किए गए निर्देशांक के आधार पर सभी आवश्यक गणनाएं करेंगी। ऐसी एकमात्र सेवा यह है कि यह गणना के प्रत्येक चरण के लिए स्पष्टीकरण और औचित्य प्रदान नहीं करती है। इसलिए, यदि आप केवल अंतिम परिणाम में रुचि रखते हैं, सामान्य गणना में नहीं, तो उदाहरण के लिए, पृष्ठ http://planetcalc.ru/218/ पर जाएं।

प्रपत्र फ़ील्ड में, प्रत्येक शीर्ष के प्रत्येक निर्देशांक को दर्ज करें त्रिकोण- वे यहाँ Ax, Ay, Az आदि के रूप में हैं। यदि त्रिभुज द्वि-आयामी निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट है, तो फ़ील्ड Az, Bz और Cz में शून्य लिखें। "गणना सटीकता" फ़ील्ड में, माउस पर क्लिक करके दशमलव स्थानों की आवश्यक संख्या निर्धारित करें

अपने बच्चे को होमवर्क में मदद करने के लिए, माता-पिता को स्वयं कई बातें पता होनी चाहिए। समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, सहभागी वाक्यांश सहभागी वाक्यांश से किस प्रकार भिन्न है, गुरुत्वाकर्षण का त्वरण क्या है?

आपके बेटे या बेटी को इनमें से किसी भी प्रश्न से समस्या हो सकती है, और वे स्पष्टीकरण के लिए आपके पास आएंगे। अपने मुँह के बल न गिरने और बच्चों की नज़रों में अपना अधिकार बनाए रखने के लिए, स्कूली पाठ्यक्रम के कुछ तत्वों पर ध्यान देना उचित है।

आइए एक उदाहरण के रूप में समद्विबाहु त्रिभुज का प्रश्न लें। स्कूल में ज्यामिति कई लोगों के लिए कठिन होती है, और स्कूल के बाद यह सबसे जल्दी भूल जाती है।

लेकिन जब आपके बच्चे आठवीं कक्षा में प्रवेश करेंगे तो आपको ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित सूत्र याद रखने होंगे। एक समद्विबाहु त्रिभुज अपने मापदंडों को खोजने के मामले में सबसे सरल आंकड़ों में से एक है।

यदि आपने त्रिभुजों के बारे में जो कुछ भी सिखाया था वह सब भूल गए हैं, तो आइए याद रखें। समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाओं की लंबाई समान होती है। इन समान किनारों को समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है। तीसरा पक्ष इसकी बुनियाद है.

एक विकल्प ऐसा है जिसमें सभी 3 भुजाएँ बराबर हैं। इसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। समद्विबाहु पर लागू सभी सूत्र इस पर लागू होते हैं, और, यदि आवश्यक हो, तो इसके किसी भी पक्ष को आधार कहा जा सकता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमें आधार को आधा भाग में विभाजित करना होगा। किनारों को जोड़ने वाले शीर्ष से परिणामी बिंदु तक उतरने वाली एक सीधी रेखा आधार को समकोण पर काटेगी।

यह ऐसे त्रिभुजों का गुण है: एक समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिका, यानी शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य तक की सीधी रेखा, इसका समद्विभाजक (कोण को आधे में विभाजित करने वाली एक सीधी रेखा) और इसकी ऊंचाई (लंबवत) होती है। विपरीत दिशा में)।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई को इसके आधार से गुणा करना होगा, और फिर इस उत्पाद को आधे में विभाजित करना होगा।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, सूत्र सरल है: S=ah/2, जहां a आधार की लंबाई है, h ऊंचाई है।

इसे इस प्रकार स्पष्ट रूप से समझाया जा सकता है। कागज से एक समान आकृति काटें, आधार के मध्य का पता लगाएं, इस बिंदु तक ऊंचाई बनाएं और ध्यान से इस ऊंचाई के साथ काटें। आपको दो समकोण त्रिभुज मिलेंगे।

यदि हम उन्हें उनके कर्ण (लंबी भुजाओं) के साथ एक-दूसरे के बगल में रखते हैं, तो हम एक आयत बनाएंगे, जिसकी एक भुजा हमारी आकृति की ऊंचाई के बराबर होगी, और दूसरी उसके आधार के आधे के बराबर होगी। यानी फॉर्मूला पक्का हो जाएगा.

दृश्य प्रदर्शन बहुत महत्वपूर्ण है. यदि आपका बच्चा सूत्रों को बिना सोचे-समझे याद करना नहीं, बल्कि उनका अर्थ समझना सीख जाता है, तो ज्यामिति उसे अब एक कठिन विषय नहीं लगेगी।

कक्षा में सर्वश्रेष्ठ छात्र वह छात्र नहीं है जो याद रखता है, बल्कि वह छात्र है जो सोचता है और, सबसे महत्वपूर्ण बात, समझता है।

यदि किसी आकृति का एक कोण समकोण है तो उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

ऐसा हो सकता है कि दी गई त्रिभुजाकार आकृति की भुजाओं के बीच का कोण 90° हो। तब यह त्रिभुज समकोण त्रिभुज कहलायेगा, इसकी भुजाएँ पैर कहलायेंगी और इसका आधार कर्ण कहलायेगा।

ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना उपरोक्त विधि का उपयोग करके की जा सकती है (कर्ण का मध्य ज्ञात करें, इसकी ऊँचाई खींचें, इसे कर्ण से गुणा करें, इसे आधे में विभाजित करें)। लेकिन समस्या को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है।

आइए स्पष्टता से शुरुआत करें। एक समद्विबाहु त्रिभुज तिरछे काटने पर ठीक आधा वर्ग बनता है। और यदि किसी वर्ग का क्षेत्रफल केवल उसकी भुजा को दूसरी घात तक बढ़ाकर पाया जाता है, तो हमें जिस आकृति की आवश्यकता है उसका क्षेत्रफल आधा होगा।

S=a 2 /2, जहां a पैर की लंबाई है।

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा के आधे वर्ग के बराबर होता है। समस्या उतनी गंभीर नहीं निकली जितनी पहली नज़र में लग रही थी।

ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए अलौकिक प्रयासों की आवश्यकता नहीं होती है और यह न केवल बच्चों के लिए उपयोगी हो सकता है, बल्कि किसी भी व्यावहारिक प्रश्न का उत्तर खोजने में आपके लिए भी उपयोगी हो सकता है।

ज्यामिति एक सटीक विज्ञान है. यदि आप इसकी मूल बातें गहराई से समझते हैं, तो इसमें कुछ कठिनाइयाँ होंगी, और साक्ष्य का तर्क आपके बच्चे को बहुत आकर्षित कर सकता है। आपको बस उसकी थोड़ी मदद करने की जरूरत है। चाहे उसे कितना भी अच्छा शिक्षक मिल जाए, माता-पिता की मदद अनावश्यक नहीं होगी।

और ज्यामिति के अध्ययन के मामले में, ऊपर उल्लिखित विधि बहुत उपयोगी होगी - स्पष्टीकरण की स्पष्टता और सरलता।

साथ ही, हमें फॉर्मूलेशन की सटीकता के बारे में नहीं भूलना चाहिए, अन्यथा हम इस विज्ञान को वास्तव में उससे कहीं अधिक जटिल बना सकते हैं।