आपकी गोपनीयता बनाए रखना हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता प्रथाओं की समीक्षा करें और यदि आपके कोई प्रश्न हों तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रहण एवं उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी से तात्पर्य उस डेटा से है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब भी आप हमसे संपर्क करेंगे तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

कौन सी निजी जानकारी हम एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर कोई आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, टेलीफोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी हमें अनूठे प्रस्तावों, प्रचारों और अन्य घटनाओं और आगामी कार्यक्रमों के साथ आपसे संपर्क करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ के क्षेत्र में सरकारी अधिकारियों से अनुरोध के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

निर्देश

इस घटना में कि आधार पर पिरामिडएक वर्ग है, इसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात है, साथ ही इसके किनारे की लंबाई भी ज्ञात है पिरामिड, वह ऊंचाईयह पिरामिडपाइथागोरस प्रमेय से व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि एक त्रिभुज एक किनारे से बनता है पिरामिड, और आधार पर विकर्ण का आधा भाग एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि एक आयताकार त्रिभुज में कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के आकार के बराबर होता है (a² = b² + c²)। किनारा पिरामिड- कर्ण, पैरों में से एक वर्ग के विकर्ण का आधा है। फिर अज्ञात पैर की लंबाई (ऊंचाई) सूत्रों का उपयोग करके पाई जाती है:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

दोनों स्थितियों को यथासंभव स्पष्ट और समझने योग्य बनाने के लिए, आप एक जोड़ी पर विचार कर सकते हैं।
उदाहरण 1: आधार क्षेत्र पिरामिड 46 सेमी², इसका आयतन 120 सेमी³ है। इन आंकड़ों के आधार पर, ऊंचाई पिरामिडइस प्रकार स्थित है:
एच = 3*120/46 = 7.83 सेमी
उत्तर: इसकी ऊंचाई पिरामिडलगभग 7.83 सेमी होगा
उदाहरण 2: यू पिरामिड, जिसके आधार पर एक बहुभुज स्थित है - एक वर्ग, इसका विकर्ण 14 सेमी है, किनारे की लंबाई 15 सेमी है। इन आंकड़ों के अनुसार, खोजने के लिए ऊंचाई पिरामिड, आपको निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है (जो पाइथागोरस प्रमेय का परिणाम है):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
एच = √29 सेमी
उत्तर: इसकी ऊंचाई पिरामिड√29 सेमी या लगभग 5.4 सेमी है

टिप्पणी

यदि पिरामिड के आधार पर एक वर्ग या अन्य नियमित बहुभुज है, तो इस पिरामिड को नियमित कहा जा सकता है। ऐसे पिरामिड में कई गुण होते हैं:
इसकी पार्श्व पसलियाँ बराबर होती हैं;
इसके फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक दूसरे के बराबर हैं;
ऐसे पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है और उसे अंकित भी किया जा सकता है।

स्रोत:

• सही पिरामिड

कोई भी ज्यामितीय निकाय न केवल स्कूली बच्चों के लिए रुचिकर हो सकता है। हमारे आस-पास की दुनिया में पिरामिड के आकार की वस्तुएं काफी आम हैं। और यह सिर्फ मिस्र की प्रसिद्ध कब्रें नहीं हैं। पिरामिड के उपचार गुणों के बारे में अक्सर बात की जाती है, और कोई शायद उन्हें स्वयं अनुभव करना चाहेगा। लेकिन ऐसा करने के लिए आपको इसकी ऊंचाई सहित इसके आयामों को जानना होगा।

आपको चाहिये होगा

• गणितीय सूत्र और अवधारणाएँ:
• पिरामिड की ऊंचाई निर्धारित करना
• त्रिभुजों की समानता के लक्षण
• एक त्रिभुज की ऊंचाई के गुण
• साइन और कोसाइन का प्रमेय
• ज्या और कोज्या सारणी
• औजार:
• शासक
• पेंसिल
• चांदा

निर्देश

आप आधार की भुजाओं, कोणों और आधार के झुकाव को जानते हैं। चित्र बन जाएगा, इसलिए सुनिश्चित करने के लिए, उस पर वह डेटा अंकित करें जो आप जानते हैं। बिंदु S से, पिरामिड की ऊंचाई कम करें और इसे h लेबल करें। पिरामिड के आधार के साथ ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु को S1 के रूप में लेबल करें।

पिरामिड के शीर्ष से, किसी भी पार्श्व फलक की ऊँचाई खींचिए। आधार के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें, उदाहरण के लिए, A1। न्यूनकोण त्रिभुज की ऊँचाइयाँ याद रखें। यह त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है। सूत्र का उपयोग करके अपने आवश्यक कोणों की गणना करें

Cos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), जहां a, b और c त्रिभुज की भुजाएं हैं, इस स्थिति में ASB (a=BA,b=AS,c=AB ).

कोण ASA1 की कोज्या से, गुणों से कोण SBA के बराबर, और ज्ञात पार्श्व किनारे AS से, पार्श्व फलक SA1 की ऊंचाई की गणना करें।

विषय पर वीडियो

टिप्पणी

किसी भी पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने के लिए, आपको पहले किसी एक भुजा त्रिभुज की गणना करनी होगी।

एक नियमित पिरामिड में, पार्श्व फलक की ऊँचाई को एपोथेम कहा जाता है और पिरामिड के आधार के किनारे को आधे में विभाजित करता है।

मददगार सलाह

एक नियमित पिरामिड में, सभी भुजाएं एक ही कोण पर आधार की ओर झुकी होती हैं, इसलिए अतिरिक्त त्रिकोण बनाए बिना पिरामिड की ऊंचाई की गणना की जा सकती है।

पार्श्व फलक की ऊँचाई इसे 2 समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। तदनुसार, कोण SAB कोण A1SB के बराबर है।

पिरामिड एक आकृति है जिसका आधार एक बहुभुज है, और इसके चेहरे सभी के लिए एक सामान्य शीर्ष वाले त्रिकोण हैं। विशिष्ट समस्याओं में, किसी शीर्ष से खींचे गए लंबवत की लंबाई बनाना और निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है पिरामिडइसके आधार के तल तक. इस खंड की लंबाई को ऊँचाई कहा जाता है पिरामिड.

आपको चाहिये होगा

• - शासक
• - पेंसिल
• - दिशा सूचक यंत्र

निर्देश

पूरा करने के लिए, कार्य की शर्तों के अनुसार एक पिरामिड बनाएं। उदाहरण के लिए, एक नियमित टेट्राहेड्रोन बनाने के लिए, आपको एक आकृति बनाने की आवश्यकता है ताकि सभी 6 किनारे एक दूसरे के बराबर हों। यदि आपको निर्माण करने की आवश्यकता है ऊंचाईचतुष्कोणीय, तो आधार के केवल 4 किनारे बराबर होने चाहिए। फिर आप पार्श्व फलकों के किनारों को बहुभुज के किनारों के बराबर असमान बना सकते हैं। सभी शीर्षों पर लैटिन अक्षरों से लेबल लगाते हुए पिरामिड का नाम बताएं। उदाहरण के लिए, के लिए पिरामिडआधार पर एक त्रिकोण के साथ आप ए, बी, सी (आधार के लिए), एस (शीर्ष के लिए) चुन सकते हैं। यदि शर्त पसलियों के विशिष्ट आयाम निर्दिष्ट करती है, तो आकृति का निर्माण करते समय, इन मूल्यों से आगे बढ़ें।

शुरू करने के लिए, कंपास का उपयोग करके, बहुभुज के सभी किनारों के अंदर से स्पर्शरेखा का सशर्त रूप से चयन करें। यदि एक पिरामिड है, तो आधार पर बिंदु (उदाहरण के लिए, इसे एच कहें)। पिरामिड, जिसमें ऊंचाई उतरती है, सही आधार में अंकित वृत्त के केंद्र के अनुरूप होनी चाहिए पिरामिड. केंद्र वृत्त पर किसी अन्य बिंदु से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु के अनुरूप होगा। यदि आप शीर्ष को जोड़ते हैं पिरामिडवृत्त H के केंद्र के साथ S, तो खंड SH की ऊंचाई होगी पिरामिड. याद रखें कि एक वृत्त को ऐसे चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है जिसकी सम्मुख भुजाओं का योग समान हो। यह वर्ग और समचतुर्भुज पर लागू होता है। इस स्थिति में, बिंदु H चतुर्भुज पर स्थित होगा। किसी भी त्रिभुज के लिए वृत्त को अंकित करना और उसका वर्णन करना संभव है।

निर्माण करने के लिए ऊंचाई पिरामिड, एक वृत्त खींचने के लिए कम्पास का उपयोग करें, और फिर उसके केंद्र H को शीर्ष S से जोड़ने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। SH वांछित ऊंचाई है। यदि आधार पर पिरामिड SABC एक अनियमित आकृति है, तो ऊँचाई शीर्ष को जोड़ेगी पिरामिडवृत्त के केंद्र के साथ जिसमें आधार बहुभुज अंकित है। बहुभुज के सभी शीर्ष ऐसे वृत्त पर स्थित होते हैं। इस स्थिति में, यह खंड आधार के तल के लंबवत होगा पिरामिड. आप एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं यदि विपरीत कोणों का योग 180° है। तब ऐसे वृत्त का केंद्र संगत विकर्णों - एक वर्ग और एक आयत - के प्रतिच्छेदन पर स्थित होगा।

विषय पर वीडियो

टिप्पणी

पिरामिड के शीर्ष को उसके आधार पर एक बिंदु से जोड़ने वाला प्रत्येक खंड ऊंचाई नहीं है, बल्कि केवल आधार पर लंबवत है। पिरामिड की ऊंचाई को एपोथेम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, जो पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है। किसी पिरामिड को तभी सही कहा जा सकता है जब कुछ शर्तें पूरी हों। तो इसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होना चाहिए, पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर होने चाहिए, और सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होने चाहिए। पिरामिड की ऊंचाई के निर्माण के लिए यह मौलिक महत्व है।

मददगार सलाह

यदि समस्या एक नियमित पिरामिड के बारे में बात करती है, तो इसके आधार पर एक नियमित बहुभुज निहित है। फिर ऊंचाई पिरामिड के शीर्ष से आधार के केंद्र तक गिरती है। कभी-कभी समस्याओं के निर्माण में टेट्राहेड्रोन या पेंटाहेड्रोन की ऊंचाई का निर्माण करना आवश्यक होता है। इसका मतलब यह है कि पिरामिड के आधार पर क्रमशः चार या पाँच कोनों वाले बहुभुज होते हैं।

कई वास्तविक वस्तुएं पॉलीहेड्रा के आकार की होती हैं, जिनमें पिरामिड भी शामिल हैं, उदाहरण के लिए, मिस्र के प्रसिद्ध पिरामिड। इस ज्यामितीय आकृति के कई पैरामीटर हैं, जिनमें से मुख्य ऊंचाई है।

निर्देश

पता लगाएं कि क्या , ऊंचाईजिसे आपको समस्या की स्थितियों के अनुसार सही खोजने की आवश्यकता है। इसे एक पिरामिड माना जाता है, जिसका आधार कोई भी नियमित बहुभुज (समान भुजाओं वाला) होता है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक होती है।

पहला मामला तब घटित होता है जब आधार वर्गाकार हो। कड़ी चोट ऊंचाई, आधार के तल के लंबवत। इसके परिणामस्वरूप, पिरामिड के अंदर आपको एक समकोण त्रिभुज मिलेगा। इसका कर्ण पिरामिड का किनारा है, और लंबा पैर इसकी ऊंचाई है। इस त्रिभुज का छोटा पैर वर्ग से होकर गुजरता है और संख्यात्मक रूप से इसके आधे के बराबर है। यदि पिरामिड के आधार के किनारे और तल के बीच का कोण दिया गया है, साथ ही वर्ग की किसी एक भुजा के बीच का कोण दिया गया है, तो ऊंचाईइस मामले में, वर्ग और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पिरामिड खोजें। पैर आधे विकर्ण के बराबर है। चूँकि वर्ग की भुजा a के बराबर है, और साथ ही a√2 के बराबर है, त्रिभुज का कर्ण इस प्रकार ज्ञात करें: x=a√2/2cosα

तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, त्रिभुज के कर्ण और छोटे पैर को जानकर, खोजने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें: H=√[(a√2)/2cosα]^2-[(a√2/2)^2] =√=a*tgα/ √2, जहां [(1-cos^2α)/cos^2α =tg^2α]

यदि पिरामिड के आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, तो उसकी ऊंचाई पिरामिड के किनारे के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाएगी। छोटा पैर गुजरता है ऊंचाईमैदान. सही तरीके से ऊंचाई भी माध्यिका है। गुणों से ज्ञात होता है कि इसकी छोटी भुजा a√3/3 के बराबर है। पिरामिड के किनारे और आधार के तल के बीच के कोण को जानकर, कर्ण ज्ञात करें (यह पिरामिड का किनारा भी है)। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पिरामिड की ऊंचाई निर्धारित करें:H=√(a√3/3cosα)^2-(a√3/3)^2=a*tgα/√3

कुछ का आधार पंचकोण या षट्कोण है। ऐसे पिरामिड को भी नियमित माना जाता है यदि उसके आधार की सभी भुजाएँ समान हों। उदाहरण के लिए, ऊंचाईपंचभुज को इस प्रकार खोजें: h=√5+2√5a/2, जहां a पंचभुज की भुजा है। पिरामिड के किनारे और फिर उसकी ऊंचाई ज्ञात करने के लिए इस गुण का उपयोग करें। छोटा पैर इस ऊंचाई के आधे के बराबर है: k=√5+2√5a/4

तदनुसार, एक समकोण त्रिभुज का कर्ण इस प्रकार ज्ञात करें:k/cosα=√5+2√5a/4cosαअगला, पिछले मामलों की तरह, ऊंचाईपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पिरामिड खोजें:H=√[(√5+2√5a/4cosα)^2-(√5+2√5a/4)^2]

विषय पर वीडियो

एपोथेम - एक नियमित पिरामिड में उसके शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई। यह एक नियमित नियमित पिरामिड और एक काटे गए पिरामिड दोनों में पाया जा सकता है। आइए दोनों मामलों पर विचार करें

निर्देश

सही पिरामिड
इसमें, सभी पार्श्व किनारे समान हैं, पार्श्व फलक समद्विबाहु समान त्रिभुज हैं, और आधार एक नियमित बहुभुज है। क्योंकि एक नियमित एक के सभी एपोटेम बराबर हैं, तो यह किसी भी त्रिकोण में एक को खोजने के लिए पर्याप्त है। त्रिभुज समद्विबाहु हैं, और ऊँचाई है। समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से आधार तक खींची गई ऊँचाई और समद्विभाजक। माध्यिका एक भुजा को आधे में विभाजित करती है, और समद्विभाजक एक कोण को दो समान कोणों में विभाजित करता है। ऊँचाई शीर्ष से आधार तक खींचा गया एक लम्ब है।

मान लीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं और एक माध्यिका खींची गई है जो आधार को दो समान खंडों में विभाजित करती है। क्योंकि माध्यिका ऊंचाई है, फिर यह लंबवत है, अर्थात। माध्यिका और आधार के बीच का कोण 90 है। तो, यह एक समकोण त्रिभुज बनता है। पार्श्व भाग कर्ण है, आधार का आधा भाग और ऊँचाई (मध्यिका) पैर हैं। पाइथागोरस प्रमेय कहता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस तरह आप ऊंचाई का पता लगा सकते हैं.

मान लीजिए कि आधार के विपरीत कोण ज्ञात है। और पक्षों में से एक (या तो पक्ष या आधार)। शीर्ष से आधार तक खींचा गया समद्विभाजक है। इसलिए, हमें पुनः एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है। कोण और एक भुजा ज्ञात है। साइन, कोसाइन का उपयोग करके आप ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं। साइन विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है, पैर आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है, स्पर्शरेखा साइन या विपरीत पैर का अनुपात है। ज्ञात भुजाओं को प्रतिस्थापित करते हुए ऊँचाई की गणना करें।

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के गुणनफल का सही आधा है।

सही
पार्श्व फलक नियमित समलम्ब चतुर्भुज हैं। पार्श्व पसलियाँ बराबर होती हैं। एपोथेम एक समलम्ब चतुर्भुज में खींची गई ऊँचाई है। दो आधार और एक पार्श्व किनारा ज्ञात हो। शीर्ष से ऊंचाइयां खींची जाती हैं ताकि वे बड़े आधार पर एक आयत काट दें। फिर, यदि आप मानसिक रूप से आयत को हटा देते हैं, तो आपके पास एक समद्विबाहु त्रिभुज रह जाएगा, जिसकी ऊंचाई पहली विधि का उपयोग करके पाई जा सकती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के अधिक कोण ज्ञात हैं, तो ऊँचाई खींचते समय अधिक कोण से 90 डिग्री के बराबर कोण घटाना आवश्यक है (क्योंकि ऊँचाई एक लंबवत है)। तब त्रिभुज में न्यूनकोण ज्ञात हो जायेगा। ऊँचाई या एपोथेम को फिर से 1 विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है।

स्रोत:

• एपोटेम यह है

पिरामिड एक आकृति है जिसका आधार बहुभुज के रूप में होता है और पार्श्व फलक शीर्ष पर एकत्रित शीर्षों के साथ होते हैं। पार्श्व फलकों की सीमाएँ कहलाती हैं पसलियां. कैसे ढूंढें लंबाईपसलियां पिरामिड?

निर्देश

किनारे के सीमा बिंदु खोजें, लंबाईजिसे आप ढूंढ रहे हैं. मान लीजिए कि ये बिंदु A और B हैं।

आवश्यक की गणना करें लंबाई, सामान्य सूत्र का उपयोग करते हुए: किनारे की लंबाई पिरामिडसीमा बिंदुओं के संगत निर्देशांक के वर्ग अंतर के योग के मूल के बराबर है। अपने निर्देशांकों की संख्याओं को सूत्र में रखें और खोजें लंबाईपसलियां पिरामिड. इसी प्रकार खोजें लंबाईपसलियां सही नहीं हैं पिरामिड, लेकिन आयताकार, और, और मनमाना भी।

खोजो लंबाईपाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, जहां एक समकोण त्रिभुज के पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। a2+b2=c2 प्राप्त करें, जहां a और b पैर हैं, और c कर्ण है। तब कर्ण पैरों के वर्गों के योग के मूल के बराबर होगा।

खोजो लंबाईपसलियां पिरामिड. पहले बंटवारा लंबाईतिरछे आधे में. ऊपर वर्णित पायथागॉरियन सूत्र में प्राप्त सभी डेटा को प्रतिस्थापित करें। पिछले उदाहरण के समान, वर्गों के योग से ऊंचाई ज्ञात करें पिरामिडऔर आधा विकर्ण.

स्रोत:

• निर्देशांक से किनारे की लंबाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड एक ज्यामितीय आकृति है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है और इसके किनारे पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष के साथ त्रिकोण होते हैं। पिरामिड का आयतन इसकी स्थानिक मात्रात्मक विशेषता है, जिसकी गणना एक प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

निर्देश

"पिरामिड" के साथ, राजसी मिस्र के दिग्गज, शांति के संरक्षक, दिमाग में आते हैं। यह व्यर्थ नहीं था कि प्राचीन बिल्डरों ने इस ज्यामितीय आकृति का उपयोग किया था। उनके लिए, एक अप्रत्याशित रेगिस्तान, पिरामिड स्थिरता, सटीकता का प्रतीक था। एंगल्स पिरामिडकार्डिनल बिंदुओं की ओर सख्ती से निर्देशित किया गया था, और शीर्ष आकाश में चला गया, जो पृथ्वी और आकाश की एकता का प्रतीक था।

आधुनिक लोगों और छात्रों को दुनिया के इस ज्यामितीय आश्चर्य की बहुत कम परवाह है। सबसे महत्वपूर्ण बात इससे जुड़े सूत्र और गणनाएं हैं, जो किसी भी ज्यामितीय समस्या को हल करने का आधार हैं और परिणामस्वरूप, एक अच्छा अनुमान है। तो, वॉल्यूम भरा हुआ है पिरामिडऊंचाई द्वारा आधार के क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर: V = 1/3*S*h.

इस प्रकार, मात्रा की गणना करने के लिए पिरामिड, आपको पहले आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और फिर इसे ऊंचाई की लंबाई से गुणा करना होगा। ए-प्राथमिकता पिरामिडइसका आधार बहुभुज है. कोणों की संख्या के आधार पर पिरामिड त्रिभुजाकार आदि हो सकता है। किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में की जाती है - यह आधार और ऊँचाई का गुणनफल है।

आधार पर बहुभुज के मामले में पिरामिडकार्य और अधिक कठिन हो जाता है. यदि बहुभुज नियमित है, अर्थात इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, तो इसका रूप है: S = (n*a^2)/(4*tg (π/n)), जहाँ n भुजाओं की संख्या है, a भुजा की लंबाई है।

यदि बहुभुज का आकार अनियमित है, तो उसके क्षेत्रफल की गणना करने से उसे त्रिभुजों और वर्गों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक तत्व के क्षेत्रफल की गणना की जाती है और फिर उसे कुल में जोड़ दिया जाता है।

आयताकार के लिए आयतन ज्ञात करने की समस्या सरल हो गई है पिरामिड, जिसमें एक पार्श्व किनारा आधार से लंबवत है। इस मामले में, यह किनारा ऊंचाई है पिरामिड. एक नियमित पिरामिड एक आकृति है जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है और एक ऊंचाई होती है जो एक सामान्य शीर्ष से बिल्कुल आधार के केंद्र तक उतरती है।

काट-छाँट की अवधारणा है पिरामिड, जो कुल से प्राप्त होता है पिरामिडआधार के समानांतर एक काटने वाला विमान खींचना। इस मामले में, आयतन दो आधारों के क्षेत्रफल और ऊंचाई के आधार पर निर्धारित किया जाता है: V = 1/3*h*(S_1 + √(S_1*S_2) + S_2)।

पिरामिड एक बहुफलक है, जिसका आधार एक बहुभुज है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष पर एकत्रित त्रिभुज हैं। पिरामिडों के साथ समस्याओं का समाधान काफी हद तक प्रकार पर निर्भर करता है पिरामिड. आयताकार पर पिरामिडपार्श्व किनारों में से एक आधार के लंबवत है, यह किनारा ऊंचाई है पिरामिड.

निर्देश

यदि आधार पर पिरामिडवहाँ एक वर्ग है, उसे ढूँढ़ो ऊंचाई(उर्फ - पसली पिरामिड) एक समकोण त्रिभुज के माध्यम से। याद रखें - चित्रों में स्टीरियोमेट्री में, वर्ग एक समांतर चतुर्भुज जैसा दिखता है। उदाहरण के लिए, शीर्ष S के साथ एक आयताकार पिरामिड SABCD दिया गया है, जो वर्ग B के शीर्ष पर स्थित है। किनारा SB आधार के तल के लंबवत है। SA और SC किनारे क्रमशः एक दूसरे AD और DC के बराबर हैं।

यदि समस्या को किनारे AB और SA दिए गए हैं, तो खोजें ऊंचाईपायथागॉरियन प्रमेय द्वारा आयताकार ΔSAB से एसबी। ऐसा करने के लिए, वर्ग SA से वर्ग AB घटाएँ। जड़ निकालें. ऊंचाई एसबी मिली.

यदि वर्ग AB की भुजा नहीं दी गई है, लेकिन, उदाहरण के लिए, विकर्ण दिया गया है, तो सूत्र याद रखें: d=a·√2. यदि यह शर्त में दिया गया है, तो क्षेत्रफल, परिधि, अंकित और परिचालित त्रिज्या के सूत्रों से एक वर्ग की भुजा को भी व्यक्त करें।

यदि समस्या को एक किनारा AB और ∠SAB दिया गया है, तो स्पर्शरेखा का उपयोग करें: tg∠SAB=SB/AB। सूत्र से व्यक्त करें ऊंचाई, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करें, जिससे एसबी ज्ञात हो सके।

आधार के आयतन और भुजा को देखते हुए, ज्ञात कीजिए ऊंचाई, इसे सूत्र से व्यक्त करते हुए: V=⅓·S·h. S आधार का क्षेत्रफल है, अर्थात AB2; एच - ऊंचाई पिरामिड, यानी एसबी।

यदि आधार पर पिरामिडएसएबीसी (एस को बी में प्रक्षेपित किया गया है, जैसा कि चरण 2 में है, यानी एसबी ऊंचाई है) त्रिकोण स्थित है और क्षेत्र के लिए डेटा इंगित किया गया है (त्रिकोण की भुजा, भुजा या भुजा और समद्विबाहु के कोण, आयताकार के पैर) , खोजो ऊंचाईआयतन सूत्र से: V=⅓·S·h. S के स्थान पर त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए उसके प्रकार के आधार पर सूत्र रखें, फिर h व्यक्त करें।

एपोथेम SK और SK और KB (∠SKB) के बीच के कोण को देखते हुए, साइन फ़ंक्शन का उपयोग करें। ऊँचाई SB और कर्ण SK का अनुपात syn∠SKB के बराबर है। अभिव्यक्त करना ऊंचाईऔर संख्याओं को प्रतिस्थापित करें.

स्रोत:

• पिरामिड
• सही पिरामिड

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके फलक त्रिभुज होते हैं जिनका शीर्ष एक उभयनिष्ठ होता है। साइड एज की गणना का अध्ययन स्कूल में किया जाता है; व्यवहार में, किसी को अक्सर आधा भूला हुआ फॉर्मूला याद रखना पड़ता है।

निर्देश

एक पिरामिड नियमित, आयताकार, कटा हुआ आदि हो सकता है। एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है। फिर केंद्र को बहुभुज के केंद्र पर प्रक्षेपित किया जाता है, और पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर होते हैं। ऐसे में पिरामिडपार्श्व फलक समरूप त्रिभुज हैं।

आयताकार पिरामिड तब कहलाता है जब इसका एक किनारा आधार से लंबवत होता है। ऐसे पिरामिड की ऊंचाई बिल्कुल इतनी होती है किनारा. ऊंचाई के मान और इसके पार्श्व किनारों की लंबाई की गणना का आधार प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय है।

किसी किनारे की गणना करने के लिए, आपको पिरामिड के शीर्ष से आधार तक इसकी ऊंचाई खींचनी होगी। इसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए वांछित किनारे को एक समकोण त्रिभुज में एक पैर के रूप में मानें।

इस मामले में पार्श्व किनारे की गणना सूत्र b=√ h2+ (a2 syn (180°) का उपयोग करके की जाती है
) 2. यह एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं के वर्गों के योग का वर्ग है। पिरामिड का एक किनारा h है, दूसरा किनारा नियमित पिरामिड के आधार के केंद्र को इस आधार के शीर्ष से जोड़ने वाला एक खंड है। इस मामले में, a नियमित आधार बहुभुज की भुजा है, n इसकी भुजाओं की संख्या है।

टिप्पणी

पिरामिड का वर्णन और उसके गुणों का अध्ययन प्राचीन ग्रीस में शुरू हुआ। आज, स्कूल में ज्यामिति पाठों में पिरामिड के तत्वों, उसके गुणों और निर्माण के नियमों का अध्ययन किया जाता है।

पिरामिड के मुख्य तत्व हैं: पार्श्व फलक - त्रिभुज जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है; पार्श्व किनारे - पार्श्व फलकों के किनारे जो सामान्य हैं; एपोटेम (शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊंचाई, बशर्ते कि पिरामिड नियमित हो), पिरामिड का शीर्ष वह बिंदु है जहां पार्श्व किनारे मिलते हैं, आदि।

स्रोत:

• पिरामिड किनारा

टिप 10: एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का आयतन कैसे ज्ञात करें

एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति, जिसके सभी पार्श्व फलक आकार में त्रिकोणीय होते हैं और कम से कम एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है, पिरामिड कहलाती है। वह फलक जो उभयनिष्ठ शीर्ष से सटा हुआ नहीं है, आधार कहलाता है। पिरामिड. यदि बहुभुज बनाने वाली सभी भुजाएँ और कोण समान हों, तो त्रि-आयामी आकृति नियमित कहलाती है। और यदि इनमें से केवल तीन भुजाएँ हैं, तो पिरामिड को नियमित त्रिकोणीय कहा जा सकता है।

निर्देश

अधिकार के लिए पिरामिडआकृति के चेहरों के अंदर घिरे स्थान के आयतन (V) के ऐसे पॉलीहेड्रा की सामान्य परिभाषा सत्य है। यह इस पैरामीटर को ऊंचाई (एच) और आधार क्षेत्र से संबंधित करता है। चूँकि हमारे मामले में सभी फलक समान हैं, आधार का क्षेत्रफल जानना आवश्यक नहीं है - आयतन की गणना करने के लिए, किसी भी फलक के क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करें, और परिणाम को तीन भागों में विभाजित करें: वी = एस*एच/3.

यदि कुल सतह क्षेत्र (S) ज्ञात है पिरामिडऔर इसकी ऊँचाई (H), आयतन (V) निर्धारित करने के लिए पिछले चरण के सूत्र का उपयोग करें, चार गुना बढ़ाकर: V = S*H/12। यह इस तथ्य से पता चलता है कि आकृति के कुल क्षेत्रफल में समान आकार के बिल्कुल चार चेहरे हैं।

हालाँकि, एक नियमित त्रिकोणीय के किनारे (ए) की लंबाई जानना पिरामिड, आप ऊंचाई या आकृति के किसी अन्य पैरामीटर का उपयोग किए बिना इसके आयतन (V) की गणना कर सकते हैं। केवल आवश्यक मात्रा को घन करें, दो के मूल से गुणा करें और परिणाम को बारह से विभाजित करें: V = a³*√2/12।

इसका विपरीत भी सत्य है - चतुष्फलक (H) की ऊंचाई जानना आयतन (V) की गणना करने के लिए पर्याप्त है। पिछले चरण के सूत्र में किनारे की लंबाई को छह के वर्गमूल से विभाजित ऊंचाई को तीन गुना करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है: V = (3*H/√6)³*√2/12 = 27*√2*H³ /(12*(√6)³ ). इन सभी शक्तियों से छुटकारा पाने के लिए, उन्हें दशमलव अंश 0.21651 से बदलें: V = H³*0.21651।

यदि पिरामिड ज्ञात त्रिज्या (R) के साथ नियमित है, तो आयतन (V) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: V = 16*√2*R³/(3*(√6)³)। व्यावहारिक गणना के लिए, सभी घात अभिव्यक्तियों को पर्याप्त सटीकता के एक दशमलव अंश से बदलें: V = 0.51320*R³।

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के पक्ष से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व किनारे तब बराबर होते हैं जब वे आधार के तल के साथ समान कोण बनाते हैं या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर अनुभाग तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष पर तीन फलक और किनारे बने होते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर गई सभी ऊंचाइयां (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है), जिसका आधार एक समान होता है और शीर्ष तल के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।

आपको चाहिये होगा

• स्थिति के आधार पर पिरामिड का आयतन, पिरामिड के पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल, किनारे की लंबाई, आधार पर बहुभुज के व्यास की लंबाई जानें।

निर्देश

खोजने का एक तरीका ऊंचाई, और न केवल सही है - इसे पिरामिड के आयतन के माध्यम से व्यक्त करना है। जिस सूत्र से आप इसका आयतन ज्ञात कर सकते हैं वह इस प्रकार है:
V = (S*h)/3, जहां S सभी पार्श्व पिरामिडों का कुल क्षेत्रफल है, h इस पिरामिड का क्षेत्रफल है।
फिर इस सूत्र से आप खोजने के लिए एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
एच = (3*वी)/एस
उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि पिरामिड के पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल 84 सेमी² है, और आयतन 336 घन सेमी है। फिर ढूंढो ऊंचाईआप ऐसा कर सकते हैं:
एच = (3*336)/84 = 12 सेमी
उत्तर: इस पिरामिड की ऊंचाई 12 सेमी है

एक नियमित पिरामिड पर विचार करते हुए, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज स्थित है, हम इस निष्कर्ष पर पहुँच सकते हैं कि ऊँचाई, विकर्ण के आधे भाग और पिरामिड के एक फलक से बना यह एक समकोण त्रिभुज है (उदाहरण के लिए, यह) उपरोक्त चित्र में त्रिभुज AEG है)। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है (a² = b² + c²)। एक नियमित पिरामिड के मामले में, कर्ण पिरामिड का चेहरा है, एक पैर आधार पर विकर्ण का आधा है, और दूसरा पैर पिरामिड की ऊंचाई है। इस मामले में, किनारों और विकर्णों की गणना की जा सकती है और ऊंचाई. उदाहरण के तौर पर, त्रिभुज AEG पर विचार करें:
AE² = EG²+GA²
यहाँ से ऊंचाईजीए पिरामिड को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
GA = √(AE²-EG²).

इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए कि कैसे खोजें ऊंचाईएक नियमित पिरामिड का, हम एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं: एक नियमित पिरामिड में, चेहरे की लंबाई 12 सेमी है, आधार पर बहुभुज के विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है। इन आंकड़ों के आधार पर, आपको खोजने की आवश्यकता है इस पिरामिड की लंबाई। समाधान: 12² = 4² + c², जहां c अज्ञात पैर (ऊंचाई) दिया गया पिरामिड (समकोण त्रिभुज) है।
144 = 16 + 128
इस प्रकार, इस पिरामिड की ऊंचाई √128 या लगभग 11.3 सेमी है

स्रोत:

• नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें
• गणित में C2 एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करना

पिरामिड एक जटिल ज्यामितीय निकाय है। यह एक समतल बहुभुज (पिरामिड का आधार) से बनता है, एक बिंदु जो इस बहुभुज (पिरामिड के शीर्ष) के तल में नहीं है और सभी खंड जो पिरामिड के आधार के बिंदुओं को जोड़ते हैं शीर्ष। पिरामिड का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

आपको चाहिये होगा

• शासक, पेंसिल और कागज

निर्देश

पिरामिड का आधार एक बहुभुज है। यदि किसी दिए गए बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, तो बहुभुज की गणना हमें पहले से ज्ञात सूत्र के अनुसार त्रिभुजों को विभाजित करने पर प्राप्त क्षेत्रफलों के योग के रूप में की जा सकती है।

यदि आधार का क्षेत्र समस्या की स्थितियों से अज्ञात है, और केवल आयतन (V) और किनारे की लंबाई (a) दी गई है, तो पिछले चरण के सूत्र में लुप्त चर को बदला जा सकता है इसके समतुल्य द्वारा, किनारे की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त किया गया। क्षेत्रफल (जैसा कि आपको याद है, प्रश्न के प्रकार के पिरामिड के आधार पर स्थित है) भुजा की वर्ग लंबाई के तीन गुना के वर्गमूल के गुणनफल के एक चौथाई के बराबर है। पिछले चरण के सूत्र में आधार के क्षेत्रफल के स्थान पर इस अभिव्यक्ति को रखें, और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करें: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3) ).

चूँकि टेट्राहेड्रोन का आयतन किनारे की लंबाई के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, किसी आकृति की ऊंचाई की गणना के लिए सूत्र से सभी चर को हटाया जा सकता है, केवल उसके चेहरे के किनारे को छोड़कर। इस पिरामिड के आयतन की गणना चेहरे की घन लंबाई से दो के वर्गमूल के गुणनफल को 12 से विभाजित करके की जाती है। इस अभिव्यक्ति को पिछले चरण के सूत्र में रखें, और परिणाम प्राप्त करें: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = ए* √⅔ = ⅓*ए*√6.

एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी चेहरे समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। ऊंचाई पिरामिडशीर्ष से उसके आधार पर डाला गया लंब है।

ऊंचाई ढूँढना पिरामिडसमस्या विवरण में जो दिया गया है उस पर निर्भर करता है। किसी भी पैरामीटर को खोजने के लिए सूत्रों का उपयोग करें पिरामिडइसकी ऊँचाई का प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, दिया गया: V - आयतन पिरामिड; एस - आधार क्षेत्र. वॉल्यूम फॉर्मूला का प्रयोग करें पिरामिडवी=एसएच/3, जहां एच-ऊंचाई पिरामिड. यह इस प्रकार है: H=3V/S.

उसी दिशा में आगे बढ़ते हुए, यह इस प्रकार है कि यदि आधार का क्षेत्रफल नहीं दिया गया है, तो कुछ मामलों में इसे नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। अंकन दर्ज करें: पी - आधार का अर्ध-परिधि (यदि भुजाओं की संख्या और एक पक्ष का आकार ज्ञात हो तो अर्ध-परिधि को ढूंढना आसान है); एच - बहुभुज का एपोथेम (एपोथेम से गिराया गया एक लंबवत है) बहुभुज का केंद्र उसकी किसी भी भुजा पर); a बहुभुज की भुजा है; n भुजाओं की संख्या है। इस प्रकार, p=an/2, और S=ph= (an/2)h। यहाँ से यह इस प्रकार है: H=3V/ (an/2) h.

पिरामिड में एपोटेम उसके शीर्ष से किसी एक पार्श्व फलक के आधार तक खींचा गया एक खंड है, यदि खंड इस आधार पर लंबवत है। ऐसी त्रि-आयामी आकृति के पार्श्व चेहरे का आकार हमेशा त्रिकोणीय होता है। इसलिए, यदि एपोथेम की लंबाई की गणना करना आवश्यक है, तो पॉलीहेड्रॉन (पिरामिड) और बहुभुज (त्रिकोण) दोनों के गुणों का उपयोग करने की अनुमति है।

आपको चाहिये होगा

• - पिरामिड के ज्यामितीय पैरामीटर।

निर्देश

पार्श्व फलक के एक त्रिभुज में, एपोथेम (एफ) ऊंचाई है, इसलिए, साइड किनारे (बी) की ज्ञात लंबाई और उसके और उस किनारे के बीच के कोण (γ) के साथ, जिस पर एपोथेम उतारा गया है, आप यह कर सकते हैं त्रिभुज की ऊंचाई की गणना के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें। दिए गए किनारे की लंबाई को ज्ञात कोण की ज्या से गुणा करें: f = b*sin(γ)। यह किसी भी (या अनियमित) आकार के पिरामिडों पर लागू होता है।

तीनों एपोटेम्स (एफ) में से प्रत्येक की सही गणना करने के लिए, केवल एक पैरामीटर - किनारे की लंबाई (ए) जानना पर्याप्त है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि ऐसे पिरामिड के चेहरों पर समान समबाहु त्रिभुज होते हैं। उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई जानने के लिए, किनारे की लंबाई के आधे उत्पाद और तीन के वर्गमूल की गणना करें: f = a*√3/2।

यदि पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल (क्षेत्रों) इसके अतिरिक्त है, तो आयतन आकृति के आधार के साथ इस फलक के उभयनिष्ठ किनारे की लंबाई (ए) जानना पर्याप्त है। इस मामले में, क्षेत्रफल और किनारे की लंबाई के बीच के अनुपात को दोगुना करके एपोटेम (एफ) की लंबाई ज्ञात करें: एफ = 2*एस/ए।

पिरामिड (S) के आधार (p) का कुल सतह क्षेत्रफल जानकर भी हम गणना कर सकते हैं एपोटेम(एफ), लेकिन केवल सही फॉर्म के लिए। सतह क्षेत्र को दोगुना करें और परिणाम को परिधि से विभाजित करें: f = 2*S/p। इस मामले में आधार का आकार कोई मायने नहीं रखता।

यदि स्थितियाँ पार्श्व फलक के किनारों (बी) और दो आसन्न पार्श्व किनारों द्वारा निर्मित कोण (α) का मान देती हैं, तो आधार (एन) के शीर्षों या भुजाओं की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। इन प्रारंभिक स्थितियों के तहत, गणना करें एपोटेम(एफ) आधार की भुजाओं की संख्या को ज्ञात कोण की ज्या और पार्श्व किनारे की वर्ग लंबाई से गुणा करना, इसके बाद परिणामी मान को आधे में विभाजित करना: f = n*sin(α)*b²/2।

पिरामिड एक बहुफलक है जिसके आधार पर एक बहुभुज होता है। सभी फलक, बदले में, त्रिभुज बनाते हैं जो एक शीर्ष पर एकत्रित होते हैं। पिरामिड त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय इत्यादि होते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि आपके सामने कौन सा पिरामिड है, इसके आधार पर कोणों की संख्या गिनना पर्याप्त है। "पिरामिड की ऊंचाई" की परिभाषा अक्सर स्कूली पाठ्यक्रम में ज्यामिति समस्याओं में पाई जाती है। इस लेख में हम इसे खोजने के विभिन्न तरीकों पर गौर करने का प्रयास करेंगे।

पिरामिड के भाग

प्रत्येक पिरामिड में निम्नलिखित तत्व होते हैं:

• पार्श्व फलक, जिसके तीन कोने होते हैं और शीर्ष पर एकत्रित होते हैं;
• एपोथेम उस ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करता है जो इसके शीर्ष से उतरती है;
• पिरामिड का शीर्ष एक बिंदु है जो पार्श्व पसलियों को जोड़ता है, लेकिन आधार के तल में स्थित नहीं है;
• आधार एक बहुभुज है जिस पर शीर्ष स्थित नहीं है;
• पिरामिड की ऊंचाई एक खंड है जो पिरामिड के शीर्ष को काटता है और उसके आधार के साथ समकोण बनाता है।

यदि किसी पिरामिड का आयतन ज्ञात है तो उसकी ऊँचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड के आयतन के सूत्र के माध्यम से V = (S*h)/3 (सूत्र में V आयतन है, S आधार का क्षेत्रफल है, h पिरामिड की ऊंचाई है) हम पाते हैं कि h = (3*वी)/एस. सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए समस्या का तुरंत समाधान करें। एक त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार का क्षेत्रफल 50 सेमी 2 है, जबकि इसका आयतन 125 सेमी 3 है। त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई अज्ञात है, जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है। यहां सब कुछ सरल है: हम डेटा को अपने सूत्र में सम्मिलित करते हैं। हमें h = (3*125)/50 = 7.5 सेमी मिलता है।

यदि विकर्ण और उसके किनारों की लंबाई ज्ञात हो तो पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

जैसा कि हमें याद है, पिरामिड की ऊंचाई उसके आधार के साथ एक समकोण बनाती है। इसका मतलब यह है कि ऊंचाई, किनारा और विकर्ण का आधा भाग मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। बेशक, कई लोग पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं। दो आयामों को जानने के बाद तीसरी मात्रा ज्ञात करना कठिन नहीं होगा। आइए हम प्रसिद्ध प्रमेय a² = b² + c² को याद करें, जहां a कर्ण है, और हमारे मामले में पिरामिड का किनारा है; बी - विकर्ण का पहला पैर या आधा और सी - क्रमशः, दूसरा पैर, या पिरामिड की ऊंचाई। इस सूत्र से c² = a² - b².

अब समस्या: एक नियमित पिरामिड में विकर्ण 20 सेमी है, जब किनारे की लंबाई 30 सेमी है। आपको ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम हल करते हैं: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500। इसलिए c = √ 500 = लगभग 22.4।

काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

यह एक बहुभुज है जिसका क्रॉस सेक्शन इसके आधार के समानांतर है। एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई वह खंड है जो इसके दो आधारों को जोड़ता है। एक नियमित पिरामिड के लिए ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है यदि दोनों आधारों के विकर्णों की लंबाई, साथ ही पिरामिड के किनारे, ज्ञात हों। मान लीजिए कि बड़े आधार का विकर्ण d1 है, जबकि छोटे आधार का विकर्ण d2 है, और किनारे की लंबाई l है। ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आप आरेख के दो ऊपरी विपरीत बिंदुओं से उसके आधार तक की ऊँचाई को कम कर सकते हैं। हम देखते हैं कि हमारे पास दो समकोण त्रिभुज हैं; जो कुछ बचा है वह उनके पैरों की लंबाई ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, बड़े विकर्ण से छोटे को घटाएं और 2 से विभाजित करें। तो हमें एक पैर मिलेगा: a = (d1-d2)/2। जिसके बाद, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें बस दूसरा पैर ढूंढना है, जो पिरामिड की ऊंचाई है।