एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक साधारण अंश का विभाजन। साधारण भिन्नों का विभाजन: नियम, उदाहरण, समाधान

भिन्न एक पूर्ण का एक या अधिक भिन्न होता है, जिसे आमतौर पर एक (1) के रूप में लिया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप भिन्नों (जोड़, घटाव, भाग, गुणा) के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं, इसके लिए आपको भिन्नों के साथ काम करने की ख़ासियत जानने और उनके प्रकारों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। भिन्न कई प्रकार के होते हैं: दशमलव और साधारण, या साधारण। प्रत्येक प्रकार के भिन्नों की अपनी विशिष्टताएं होती हैं, लेकिन एक बार उन्हें कैसे संभालना है, यह अच्छी तरह से समझ लेने के बाद, आप भिन्नों के साथ किसी भी उदाहरण को हल कर सकते हैं, क्योंकि आप भिन्नों के साथ अंकगणितीय गणना करने के मूल सिद्धांतों को जानेंगे। आइए विभिन्न प्रकार के भिन्नों का उपयोग करके किसी भिन्न को पूर्णांक से विभाजित करने के उदाहरण देखें।

अभाज्य अंश को प्राकृत संख्या से कैसे विभाजित करें?
साधारण या साधारण भिन्न संख्याओं के ऐसे अनुपात के रूप में लिखे गए भिन्न होते हैं, जिनमें भिन्न के शीर्ष पर लाभांश (अंश) और भिन्न का भाजक (भाजक) नीचे दर्शाया जाता है। आप इस तरह के अंश को एक पूर्णांक से कैसे विभाजित करते हैं? आइए एक उदाहरण देखें! मान लीजिए कि हम 8/12 को 2 से भाग देना चाहते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें कई क्रियाएं करनी चाहिए:
इस प्रकार, यदि हमें एक भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित करने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो समाधान योजना कुछ इस तरह दिखाई देगी:

इसी तरह, आप किसी भी साधारण (सरल) भिन्न को एक पूर्णांक से विभाजित कर सकते हैं।

मैं दशमलव को पूर्णांक से कैसे विभाजित करूं?
दशमलव भिन्न वह भिन्न होती है जो एक को दस, एक हज़ार, इत्यादि में विभाजित करके प्राप्त की जाती है। दशमलव अंकगणित काफी सीधा है।

आइए एक उदाहरण देखें कि किसी भिन्न को पूर्णांक से कैसे विभाजित किया जाए। मान लीजिए कि हमें दशमलव भिन्न 0.925 को प्राकृत संख्या 5 से भाग देना है।

संक्षेप में, हम दो मुख्य बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो दशमलव अंशों को एक पूर्णांक से विभाजित करने की क्रिया करते समय महत्वपूर्ण हैं:

• एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, स्तंभ विभाजन का उपयोग किया जाता है;
  
• अल्पविराम को भागफल में तब रखा जाता है जब लाभांश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है।
  

इन सरल नियमों को लागू करके, आप बिना किसी कठिनाई के किसी भी दशमलव या साधारण भिन्न को पूर्णांक से विभाजित कर सकते हैं।

विभाजन सहित सभी क्रियाओं को भिन्नों के साथ किया जा सकता है। यह लेख सामान्य भिन्नों के विभाजन को दर्शाता है। परिभाषाएं दी जाएंगी, उदाहरणों पर विचार किया जाएगा। आइए हम भिन्नों के प्राकृत संख्याओं और इसके विपरीत के विभाजन पर विस्तार से ध्यान दें। एक साधारण भिन्न को एक मिश्रित संख्या से भाग देने पर विचार किया जाएगा।

साधारण भिन्नों का विभाजन

भाग गुणन का विलोम है। विभाजित करते समय, अज्ञात कारक पाया जाता है प्रसिद्ध कामऔर एक अन्य कारक, जहां सामान्य भिन्नों के साथ इसका दिया गया अर्थ संरक्षित है।

यदि साधारण अंश a b को c d से विभाजित करना आवश्यक है, तो ऐसी संख्या निर्धारित करने के लिए, आपको भाजक c d से गुणा करने की आवश्यकता है, इसके परिणामस्वरूप लाभांश a b होगा। एक संख्या प्राप्त करें और इसे a b d c लिखें, जहां d c c d संख्या का व्युत्क्रम है। गुणन के गुणों का उपयोग करके समानताएं लिखी जा सकती हैं, अर्थात्: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, जहां व्यंजक a b d c a b को c d से विभाजित करने का भागफल है।

इससे हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम प्राप्त करते हैं और बनाते हैं:

परिभाषा 1

एक साधारण अंश a b को c d से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

आइए नियम को व्यंजक के रूप में लिखें: a b: c d = a b d c

विभाजन के नियमों को गुणा करने के लिए कम कर दिया गया है। इस पर टिके रहने के लिए, आपको साधारण भिन्नों के गुणन में पारंगत होने की आवश्यकता है।

आइए साधारण भिन्नों के विभाजन पर विचार करें।

उदाहरण 1

9 7 को 5 3 से भाग दें। परिणाम को भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान

संख्या 5 3, 3 5 का व्युत्क्रम है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करना आवश्यक है। हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35।

उत्तर: 9 7: 5 3 = 27 35 .

अंशों को कम करते समय, पूरे भाग का चयन किया जाना चाहिए यदि अंश हर से बड़ा है।

उदाहरण 2

8 15: 24 65 को विभाजित करें। उत्तर को भिन्न के रूप में लिखें।

समाधान

हल करने के लिए, आपको भाग से गुणा तक जाना होगा। हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

कमी करना आवश्यक है, और यह निम्नानुसार किया जाता है: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

पूरे भाग का चयन करें और 13 9 = 1 4 9 प्राप्त करें।

उत्तर: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक असाधारण अंश का विभाजन

हम एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के नियम का उपयोग करते हैं: a b को एक प्राकृत संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको केवल हर को n से गुणा करना होगा। यहाँ से हमें व्यंजक प्राप्त होता है: a b: n = a b · n।

विभाजन नियम गुणन नियम का परिणाम है। इसलिए, एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करने से इस प्रकार की समानता प्राप्त होगी: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n।

एक भिन्न के इस विभाजन पर एक संख्या से विचार करें।

उदाहरण 3

भिन्न 16 45 को संख्या 12 से विभाजित करें।

समाधान

आइए एक भिन्न को एक संख्या से विभाजित करने का नियम लागू करें। हमें 16 45: 12 = 16 45 12 के रूप का व्यंजक प्राप्त होता है।

आइए अंश को कम करें। हमें 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135 मिलता है।

उत्तर: 16 45: 12 = 4 135 .

एक प्राकृतिक संख्या का एक साधारण अंश द्वारा विभाजन

विभाजन नियम समान है हेएक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से विभाजित करने का नियम: एक प्राकृतिक संख्या n को एक साधारण संख्या a b से विभाजित करने के लिए, संख्या n को भिन्न a b के व्युत्क्रम से गुणा करना आवश्यक है।

नियम के आधार पर, हमारे पास n: a b = n b a है, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न से गुणा करने के नियम के लिए धन्यवाद, हमें अपना व्यंजक n: a b = n b a के रूप में मिलता है। इस विभाजन पर एक उदाहरण से विचार करना आवश्यक है।

उदाहरण 4

25 को 15 28 से भाग दें।

समाधान

हमें भाग से गुणा की ओर बढ़ना है। हम व्यंजक 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 के रूप में लिखते हैं। भिन्न को घटाएं और परिणाम को भिन्न के रूप में प्राप्त करें 46 2 3।

उत्तर: 25: 15 28 = 46 2 3 .

साधारण भिन्न का मिश्रित संख्या से भाग

साधारण भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय, आप साधारण भिन्न को आसानी से विभाजित कर सकते हैं। मिश्रित संख्या का अनुचित अंश में अनुवाद करना आवश्यक है।

उदाहरण 5

35 16 को 3 1 8 से भाग दें।

समाधान

चूँकि 3 1 8 एक मिश्रित संख्या है, इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें। तब हमें 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 प्राप्त होता है। अब भिन्नों को विभाजित करते हैं। हमें 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 मिलता है।

उत्तर: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

मिश्रित संख्या का विभाजन उसी तरह किया जाता है जैसे साधारण संख्याओं के लिए किया जाता है।

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अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिला दूं: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंशों (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा) को गुणा करना होगा। अर्थात्:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है... और कृपया एक सामान्य हर की तलाश न करें! यहां उसकी जरूरत नहीं है ...

भिन्न को भिन्न में विभाजित करने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) अंश और उन्हें गुणा करें, अर्थात।

उदाहरण के लिए:

यदि आप पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पाते हैं - तो कोई बात नहीं। जोड़ के साथ, हम एक पूर्णांक में से एक के साथ भिन्न बनाते हैं - और हम चले जाते हैं! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस अंश को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? यह बहुत सरल है! दो-बिंदु विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन आदेश मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, 4:2, या 2:4, हम भ्रमित नहीं होंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। नोट, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

क्या आपको फर्क महसूस होता है? 4 और 1/9!

और विभाजन का क्रम क्या निर्धारित करता है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज सलाखों की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर हम विभाजित-गुणा करते हैं क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, ओह, यह आपके लिए कितना उपयोगी होगा! इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

अंश पलट गया है! और यह हमेशा करता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

अंशों के लिए बस इतना ही। बात काफी सरल है, लेकिन यह पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। ध्यान दें प्रायोगिक उपकरण, और कम (त्रुटियाँ) होंगी!

प्रायोगिक उपकरण:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक सख्त जरूरत है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय इसे गड़बड़ाने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. उदाहरणों में विभिन्न प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न पर जाएँ।

3. सभी भिन्नों को रोकने के लिए घटाया जाता है।

4. बहु-मंजिला भिन्नात्मक व्यंजक दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए, साधारण लोगों के लिए कम हो जाते हैं (विभाजन के क्रम को देखें!)।

5. इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको निश्चित रूप से हल करना चाहिए। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय पर सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। विचार करें कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल करने में सक्षम थे। पहली बार! कोई कैलकुलेटर नहीं! और सही निष्कर्ष निकालें ...

याद रखें - सही उत्तर है दूसरे (सभी अधिक - तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!यह कठोर जीवन है।

इसलिए, हम परीक्षा मोड में हल करते हैं ! वैसे, यह पहले से ही परीक्षा की तैयारी है। हम उदाहरण को हल करते हैं, इसकी जांच करते हैं, अगले को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय किया - पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। लेकिन सिर्फ उपरांतउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने इसे हल किया है?

हम उन उत्तरों की तलाश कर रहे हैं जो आपसे मेल खाते हों। मैंने जानबूझकर उन्हें एक गड़बड़ी में लिखा, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए ... ये रहे उत्तर, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ ठीक हो गया, तो मुझे आपके लिए खुशी है! भिन्नों के साथ मूल गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो में से एक समस्या है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और / या असावधानी। लेकिन यह व्याख्या करने योग्य समस्या।

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पाठ सामग्री

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों के योग दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ना;
2. भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना।

सबसे पहले, समान हर के साथ भिन्न जोड़ना सीखें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों के साथ काम करते हैं और। अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2।अंश जोड़ें और।

उत्तर गलत अंश है। यदि समस्या का अंत आता है, तो गलत अंशों से छुटकारा पाने का रिवाज है। गलत भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको इसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे हिस्से को आसानी से पहचाना जा सकता है - दो में विभाजित दो एक होंगे:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे दो भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3... अंश जोड़ें और।

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा डालें और पिज़्ज़ा डालें, तो आपको 1 साबुत और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कोई कठिनाई नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब आइए जानें कि भिन्न हरों के साथ भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, भिन्न और जोड़े जा सकते हैं, क्योंकि उनके हर समान हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

एक ही हर में भिन्न लाने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि शेष विधियाँ एक शुरुआत के लिए कठिन लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि पहले दोनों भिन्नों के हरों का (LCM) खोजा जाता है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करें - LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1... भिन्नों को जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर 3 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब हम भिन्नों पर लौटते हैं और। सबसे पहले, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करें। एलसीएम संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाकर उसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखिए:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरी भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा खींचते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए तैयार हैं। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा अंशों और हरों को गुणा करने के लिए बनी हुई है:

गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्न में बदल गए। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक समाप्त करें:

इस प्रकार, उदाहरण समाप्त होता है। यह जोड़ने के लिए निकला है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा मिलता है:

एक ही (सामान्य) भाजक के लिए अंशों की कमी को एक चित्र का उपयोग करके भी चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को कम करने और एक सामान्य हर के लिए, हमें भिन्न मिलते हैं और। इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना है कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।

पहली तस्वीर एक अंश (छह टुकड़ों में से चार) को दर्शाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (छह टुकड़ों में से तीन) को दर्शाती है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूरा भाग चुना है। नतीजतन, हमें (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा) मिला।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत विस्तार से वर्णन किया है। वी शिक्षण संस्थानोंइतने बड़े पैमाने पर लिखने का रिवाज नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके लिए अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही अपने अंश और हर द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करना होगा। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:

लेकिन सिक्के का एक नकारात्मक पहलू भी है। यदि, गणित के अध्ययन के पहले चरण में, आप विस्तृत नोट्स नहीं बनाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न सामने आने लगते हैं "वह आंकड़ा कहाँ से आया है?" "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
2. LCM को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करें;
4. समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात कीजिए

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 हैं।

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

हम एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड मिला 6। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान (सामान्य) भाजक वाले भिन्नों में बदल गए। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। हम जोड़ते हैं:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति में फिट नहीं होता है, तो उसे अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें

हमें अपने उत्तर में गलत अंश मिला है। हमें इसमें से पूरे हिस्से को सेलेक्ट करना है। हाइलाइट करें:

जवाब मिला

समान हर से भिन्नों को घटाना

भिन्नों के घटाव दो प्रकार के होते हैं:

1. समान हर से भिन्नों को घटाना
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना

पहले, आइए समान हर वाले भिन्नों के घटाव का अध्ययन करें।

एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए एक व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले भिन्न के अंश से दूसरी भिन्न के अंश को घटाएं और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। तो ये करते है:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाएँ, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि आप पिज्जा के बारे में सोचते हैं, जिसे तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप भिन्न में से भिन्न घटा सकते हैं, क्योंकि इन भिन्नों का हर समान होता है। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1।एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर 3 है, और दूसरी भिन्न का हर 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम चार को पहले अंश पर लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरी भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाव के लिए तैयार हैं। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा भिन्नों को गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान हर वाले भिन्न में बदल गए। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक समाप्त करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। अगर आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी आकृति का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और प्राप्त होते हैं। इन अंशों को एक ही पिज्जा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाया गया):

पहला चित्र एक अंश (बारह टुकड़ों में से आठ) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (बारह टुकड़ों में से तीन) को दर्शाता है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश और इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्नों के हर 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम (10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

सब कुछ अब घटाव के लिए तैयार है। यह आपके अतिरिक्त कारकों द्वारा भिन्नों को गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न समान (सामान्य) भाजक वाले भिन्नों में बदल गए। हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे अंशों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को पूरा करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में स्थानांतरित करते हैं। एक नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए था। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को छोटा कर सकते हैं।

एक भिन्न को कम करने के लिए, आपको इसके अंश और हर को (जीसीडी) संख्या 20 और 30 से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से

जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण 1... भिन्न को 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को 1 . से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज्जा खाते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है

गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को उलट दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को इस प्रकार लिखा जाता है, तब भी गुणनफल बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस रिकॉर्ड को एक का आधा लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2... व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

उत्तर गलत अंश है। आइए इसमें पूरे भाग का चयन करें:

एक्सप्रेशन को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

एक संख्या जिसे एक भिन्न से गुणा किया जाता है और एक भिन्न के हर की अनुमति दी जाती है यदि उनके पास एक से अधिक सामान्य कारक है।

उदाहरण के लिए, एक व्यंजक का मूल्यांकन दो तरह से किया जा सकता है।

पहला तरीका... भिन्न के अंश से 4 गुणा करें, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

दूसरा रास्ता... भिन्न के हर में गुणा चार और चार को रद्द किया जा सकता है। आप इन चौकों को 4 से रद्द कर सकते हैं, क्योंकि दो चौकों के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक चार ही है:

वही परिणाम 3 प्राप्त किया गया था। चौकों की कमी के बाद, उनके स्थान पर नई संख्याएं बनती हैं: दो। लेकिन एक को तीन से गुणा करने और फिर एक से भाग देने से कुछ नहीं बदलता। इसलिए, समाधान को छोटा लिखा जा सकता है:

कमी तब भी की जा सकती है जब हमने पहली विधि का उपयोग करने का निर्णय लिया हो, लेकिन संख्या 4 और अंश 3 को गुणा करने के चरण में हमने कमी का उपयोग करने का निर्णय लिया:

लेकिन उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति की गणना केवल पहले तरीके से की जा सकती है - अंश के हर से 7 गुणा करें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

यह इस तथ्य के कारण है कि संख्या 7 और भिन्न के हर में एक से अधिक सामान्य भाजक नहीं है, और, तदनुसार, रद्द न करें।

कुछ छात्र गलती से गुणा की गई संख्या और अंश के अंश को संक्षिप्त कर देते हैं। ऐसा नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सही नहीं है:

भिन्न में कमी का तात्पर्य है कि और अंश और हरउसी संख्या से विभाजित किया जाएगा। एक व्यंजक की स्थिति में, विभाजन केवल अंश में किया जाता है, क्योंकि इसे लिखना, इसे लिखने के समान है। हम देखते हैं कि विभाजन केवल अंश में किया जाता है, और हर में कोई विभाजन नहीं होता है।

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न निकलता है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला। इस अंश को छोटा करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम निर्णय निम्नलिखित रूप लेगा:

पिज्जा के आधे हिस्से से पिज्जा लेने के रूप में अभिव्यक्ति को समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे का दो तिहाई कैसे प्राप्त करें? सबसे पहले, आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो लो:

हम पिज्जा बनाएंगे। याद रखें कि तीन भागों में विभाजित होने पर पिज्जा कैसा दिखता है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में, वह आता हैपिज्जा के समान आकार के बारे में। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2... व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम पहली भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

उत्तर गलत अंश है। आइए इसमें पूरे भाग का चयन करें:

उदाहरण 3.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

हम पहली भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं:

उत्तर एक सही अंश है, लेकिन इसे कम कर दें तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए संख्या 105 और 450 की GCD ज्ञात करें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, जो अब हमें मिला है, यानी 15 से

एक पूर्णांक का भिन्न प्रतिनिधित्व

किसी भी पूर्णांक को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच अपना मान नहीं बदलेगा, क्योंकि व्यंजक का अर्थ है "एक से विभाजित पाँच की संख्या", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम एक बहुत कुछ जानेंगे दिलचस्प विषयगणित में। इसे "बैक नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या का व्युत्क्रमए एक संख्या है, जिसे गुणा करने परए एक देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या का व्युत्क्रम 5 एक संख्या है, जिसे गुणा करने पर 5 एक देता है।

क्या आप कोई ऐसी संख्या ज्ञात कर सकते हैं जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँचों को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर के स्थान बदलें। दूसरे शब्दों में, हम भिन्न को अपने आप से गुणा करते हैं, केवल उल्टा:

इसका परिणाम क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब है कि 5 का व्युत्क्रम एक संख्या है, क्योंकि 5 को एक से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

भिन्न को किसी संख्या से भाग देना

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

आइए इसे समान रूप से दो में विभाजित करें। प्रत्येक को कितना पिज्जा मिलेगा?

यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो समान स्लाइस होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।

डिवीजन है। इस लेख में हम बात करेंगे साधारण भिन्नों का विभाजन... सबसे पहले, हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम देंगे और भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे। इसके बाद, हम एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से और संख्याओं को भिन्न से भाग देने पर ध्यान देंगे। अंत में, विचार करें कि मिश्रित संख्या से साधारण अंश का विभाजन कैसे किया जाता है।

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भिन्न द्वारा भिन्न का विभाजन

यह ज्ञात है कि भाग गुणन का विलोम है (भाग और गुणन के बीच संबंध देखें)। यही है, विभाजन में एक अज्ञात कारक खोजना शामिल है जब उत्पाद और अन्य कारक ज्ञात होते हैं। साधारण भिन्नों के विभाजन में विभाजन का वही भाव बना रहता है।

आइए साधारण भिन्नों के विभाजन के उदाहरणों पर विचार करें।

ध्यान दें कि किसी को भिन्नों को कम करने और पूरे भाग को अनुचित भिन्न से अलग करने के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक साधारण अंश का विभाजन

हम तुरंत देंगे साधारण भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग देने का नियम: अंश a / b को प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करने के लिए, अंश को वही छोड़ देना चाहिए, और हर को n से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात।

यह विभाजन नियम साधारण भिन्नों के लिए सीधे विभाजन नियम का अनुसरण करता है। वास्तव में, एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करने से निम्नलिखित समानताएँ प्राप्त होती हैं: .

आइए किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

16/45 को प्राकृत संख्या 12 से भाग दें।

समाधान।

भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के नियम से, हमें प्राप्त होता है ... कमी निष्पादित करें:। यह विभाजन को पूरा करता है।

उत्तर:

.

एक प्राकृतिक संख्या का एक साधारण अंश द्वारा विभाजन

भिन्नों को विभाजित करने का नियम समान है किसी प्राकृत संख्या को साधारण भिन्न से भाग देने का नियम: एक प्राकृत संख्या n को एक साधारण भिन्न a / b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या n को उस संख्या से गुणा करना होगा जो a / b का व्युत्क्रम हो।

आवाज वाले नियम के अनुसार, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से गुणा करने का नियम आपको इसे फॉर्म में फिर से लिखने की अनुमति देता है।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 25 को भिन्न 15/28 से भाग दें।

समाधान।

आइए भाग से गुणा की ओर चलते हैं, हमारे पास है ... पूरे हिस्से को काटने और अलग करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर:

.

साधारण भिन्न का मिश्रित संख्या से भाग

साधारण भिन्न का मिश्रित संख्या से भागसाधारण अंशों को विभाजित करने के लिए आसानी से कम हो गया। ऐसा करने के लिए, इसे पूरा करने के लिए पर्याप्त है