काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की ऑनलाइन गणना करें। पूर्ण और काटे गए पिरामिड के आयतन के सूत्र

• 22.09.2014

  परिचालन सिद्धांत। जब आप SA1 कोड के पहले अंक का बटन दबाते हैं, तो DD1.1 ट्रिगर स्विच हो जाएगा और DD1.2 ट्रिगर के D इनपुट पर एक उच्च स्तरीय वोल्टेज दिखाई देगा। इसलिए, जब आप अगला SA2 कोड बटन दबाते हैं, तो ट्रिगर DD1.2 अपनी स्थिति बदल देता है और स्विचिंग के लिए अगला ट्रिगर तैयार करता है। आगे सही डायलिंग के मामले में, ट्रिगर DD2.2 सबसे अंत में ट्रिगर किया जाएगा, और...

• 03.10.2014

  प्रस्तावित उपकरण शॉर्ट सर्किट सुरक्षा के साथ वोल्टेज को 24V तक और करंट को 2A तक स्थिर करता है। स्टेबलाइजर के अस्थिर स्टार्टअप के मामले में, एक स्वायत्त पल्स जनरेटर से सिंक्रनाइज़ेशन का उपयोग किया जाना चाहिए (चित्र)। 2. स्टेबलाइजर सर्किट चित्र 1 में दिखाया गया है। VT1 VT2 पर एक श्मिट ट्रिगर असेंबल किया गया है, जो एक शक्तिशाली रेगुलेटिंग ट्रांजिस्टर VT3 को नियंत्रित करता है। विवरण: VT3 हीट सिंक से सुसज्जित है...

• 20.09.2014

  एम्पलीफायर (फोटो देखें) ऑटो-बायसिंग ट्यूबों के साथ एक पारंपरिक सर्किट के अनुसार बनाया गया है: आउटपुट - AL5, ड्राइवर - 6G7, केनोट्रॉन - AZ1। स्टीरियो एम्पलीफायर के दो चैनलों में से एक का आरेख चित्र 1 में दिखाया गया है। वॉल्यूम नियंत्रण से, सिग्नल को 6G7 लैंप के ग्रिड में प्रवर्धित किया जाता है, और इस लैंप के एनोड से आइसोलेशन कैपेसिटर C4 के माध्यम से आपूर्ति की जाती है ...

• 15.11.2017

  NE555 एक सार्वभौमिक टाइमर है - स्थिर समय विशेषताओं के साथ एकल और दोहराई जाने वाली दालों को बनाने (उत्पन्न करने) के लिए एक उपकरण। यह विशिष्ट इनपुट थ्रेशोल्ड, सटीक रूप से परिभाषित एनालॉग तुलनित्र और एक अंतर्निहित वोल्टेज डिवाइडर (आरएस ट्रिगर के साथ सटीक श्मिट ट्रिगर) के साथ एक अतुल्यकालिक आरएस ट्रिगर है। इसका उपयोग विभिन्न जनरेटर, मॉड्यूलेटर, टाइम रिले, थ्रेशोल्ड डिवाइस और अन्य बनाने के लिए किया जाता है...

ज्यामिति में कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता महत्वपूर्ण है। सबसे आम आकृतियों में से एक पिरामिड है। इस लेख में हम पूर्ण और काटे गए दोनों पिरामिडों पर विचार करेंगे।

त्रि-आयामी आकृति के रूप में पिरामिड

मिस्र के पिरामिडों के बारे में हर कोई जानता है, इसलिए उन्हें इस बात का अच्छा अंदाजा है कि हम किस तरह की आकृति के बारे में बात कर रहे हैं। हालाँकि, मिस्र की पत्थर की संरचनाएँ पिरामिडों के एक विशाल वर्ग का केवल एक विशेष मामला हैं।

सामान्य मामले में विचाराधीन ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिसका प्रत्येक शीर्ष अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है जो आधार के तल से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषा एक एन-गॉन और एन त्रिकोण से युक्त एक आकृति की ओर ले जाती है।

किसी भी पिरामिड में n+1 फलक, 2*n किनारे और n+1 शीर्ष होते हैं। चूँकि विचाराधीन आकृति एक पूर्ण बहुफलक है, चिह्नित तत्वों की संख्या यूलर की समानता का पालन करती है:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

आधार पर स्थित बहुभुज पिरामिड का नाम देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पंचकोणीय, इत्यादि। नीचे दिए गए फोटो में विभिन्न आधारों वाले पिरामिडों का एक सेट दिखाया गया है।

वह बिंदु जिस पर किसी आकृति के n त्रिभुज मिलते हैं, पिरामिड का शीर्ष कहलाता है। यदि इससे आधार पर एक लंब डाला जाए और वह उसे ज्यामितीय केंद्र पर काट दे, तो ऐसी आकृति एक सीधी रेखा कहलाएगी। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो एक झुका हुआ पिरामिड होता है।

एक समकोण आकृति जिसका आधार एक समबाहु (समबाहु) n-गॉन से बनता है, नियमित कहलाती है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र

पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, हम अभिन्न कलन का उपयोग करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम आधार के समानांतर समतलों को अनंत संख्या में पतली परतों में काटकर आकृति को विभाजित करते हैं। नीचे दिया गया चित्र ऊंचाई h और भुजा की लंबाई L का एक चतुर्भुज पिरामिड दिखाता है, जिसमें चतुर्भुज खंड की पतली परत को चिह्नित करता है।

ऐसी प्रत्येक परत के क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

ए(जेड) = ए 0 *(एच-जेड) 2 /एच 2।

यहाँ A 0 आधार का क्षेत्रफल है, z ऊर्ध्वाधर निर्देशांक का मान है। यह देखा जा सकता है कि यदि z = 0 है, तो सूत्र मान A 0 देता है।

पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की संपूर्ण ऊँचाई पर समाकलन की गणना करनी चाहिए, अर्थात:

वी = ∫ एच 0 (ए(जेड)*डीजेड)।

निर्भरता A(z) को प्रतिस्थापित करने और प्रतिअवकलन की गणना करने पर, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

वी = -ए 0 *(एच-जेड) 3 /(3*एच 2)| एच 0 = 1/3*ए 0 *एच.

हमने पिरामिड के आयतन का सूत्र प्राप्त कर लिया है। V का मान ज्ञात करने के लिए, बस आकृति की ऊंचाई को आधार के क्षेत्रफल से गुणा करें, और फिर परिणाम को तीन से विभाजित करें।

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति किसी भी प्रकार के पिरामिड के आयतन की गणना के लिए मान्य है। अर्थात्, यह झुका हुआ हो सकता है, और इसका आधार एक मनमाना एन-गॉन हो सकता है।

और इसकी मात्रा

उपरोक्त पैराग्राफ में प्राप्त आयतन के सामान्य सूत्र को नियमित आधार वाले पिरामिड के मामले में परिष्कृत किया जा सकता है। ऐसे आधार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

ए 0 = एन/4*एल 2 *सीटीजी(पीआई/एन)।

यहाँ L, n शीर्षों वाले एक नियमित बहुभुज की भुजा की लंबाई है। प्रतीक पाई संख्या पाई है।

सामान्य सूत्र में A 0 के व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक नियमित पिरामिड का आयतन प्राप्त करते हैं:

वी एन = 1/3*एन/4*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन) = एन/12*एल 2 *एच*सीटीजी(पीआई/एन)।

उदाहरण के लिए, एक त्रिकोणीय पिरामिड के लिए, इस सूत्र का परिणाम निम्नलिखित अभिव्यक्ति में होता है:

वी 3 = 3/12*एल 2 *एच*सीटीजी(60 ओ) = √3/12*एल 2 *एच।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आयतन सूत्र इस प्रकार होता है:

वी 4 = 4/12*एल 2 *एच*सीटीजी(45 ओ) = 1/3*एल 2 *एच।

नियमित पिरामिडों का आयतन निर्धारित करने के लिए उनके आधार के किनारे और आकृति की ऊँचाई का ज्ञान आवश्यक है।

कटा हुआ पिरामिड

आइए मान लें कि हमने एक मनमाना पिरामिड लिया और उसके शीर्ष वाले पार्श्व सतह के हिस्से को काट दिया। शेष आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो एन-गोनल बेस और एन ट्रेपेज़ॉइड शामिल हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। यदि काटने वाला तल आकृति के आधार के समानांतर था, तो समान समानांतर आधारों वाला एक छोटा पिरामिड बनता है। अर्थात्, उनमें से एक की भुजाओं की लंबाई दूसरे की लंबाई को एक निश्चित गुणांक k से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।

ऊपर दिया गया चित्र एक काटे गए नियमित आधार को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि इसका ऊपरी आधार, निचले आधार की तरह, एक नियमित षट्भुज द्वारा बनाया गया है।

उपरोक्त के समान अभिन्न कलन का उपयोग करके जो सूत्र प्राप्त किया जा सकता है वह है:

वी = 1/3*एच*(ए 0 + ए 1 + √(ए 0 *ए 1)).

जहाँ A 0 और A 1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) आधारों के क्षेत्र हैं। चर h काटे गए पिरामिड की ऊँचाई को दर्शाता है।

चेप्स पिरामिड का आयतन

मिस्र के सबसे बड़े पिरामिड के अंदर मौजूद आयतन को निर्धारित करने की समस्या को हल करना दिलचस्प है।

1984 में, ब्रिटिश मिस्रविज्ञानी मार्क लेहनर और जॉन गुडमैन ने चेप्स पिरामिड के सटीक आयाम स्थापित किए। इसकी मूल ऊंचाई 146.50 मीटर (वर्तमान में लगभग 137 मीटर) थी। संरचना के चारों किनारों में से प्रत्येक की औसत लंबाई 230.363 मीटर थी। पिरामिड का आधार उच्च परिशुद्धता के साथ वर्गाकार है।

आइए इस विशाल पत्थर का आयतन निर्धारित करने के लिए दिए गए आंकड़ों का उपयोग करें। चूँकि पिरामिड नियमित चतुर्भुज है, तो सूत्र इसके लिए मान्य है:

संख्याओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

वी 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 मीटर 3।

चेप्स पिरामिड का आयतन लगभग 2.6 मिलियन m3 है। तुलना के लिए, हम ध्यान दें कि ओलंपिक स्विमिंग पूल की मात्रा 2.5 हजार मीटर 3 है। यानी पूरे चेप्स पिरामिड को भरने के लिए आपको ऐसे 1000 से अधिक पूल की आवश्यकता होगी!

एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक कटा हुआ पिरामिड शीर्ष कटा हुआ पिरामिड है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे समान लंबाई के होते हैं और समान कोण पर आधार से झुके होते हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे भी एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूँकि काटे गए पिरामिड की भुजाएँ समलम्बाकार हैं, इसलिए मापदंडों की गणना करने के लिए आपको सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, आप क्षेत्रफल की गणना के लिए एक अलग सूत्र लागू कर सकते हैं। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ, फलक और आधार पर कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी निकालना संभव है।

यदि, नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की स्थितियों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना परिमापों के योग के आधे-उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोटेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम एल= 5 सेमी, बड़े आधार में किनारे की लंबाई है ए= 6 सेमी, और किनारा छोटे आधार पर है बी= 4 सेमी. काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करें.

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचकोण हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों में पांच समान भुजाओं वाली एक आकृति होती है। आइए बड़े आधार का परिमाप ज्ञात करें:

इसी प्रकार हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। डेटा को सूत्र में रखें:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोणों और इन्हीं आधारों के क्षेत्रफल के माध्यम से.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। हमें याद है कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड दिया गया है। निचले आधार का किनारा a = 6 सेमी है, और ऊपरी आधार का किनारा b = 4 सेमी है। आधार पर डायहेड्रल कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्रफल की गणना करें। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। यह मानते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्ग का क्षेत्रफल. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्ग करने पर ये मान समान होते हैं। आइए बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानने के बाद, हमने विभिन्न मूल्यों का उपयोग करके आसानी से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।