एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ऑनलाइन। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें: मूल सूत्र

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक समबाहु त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज होता है। यदि हम इस परिभाषा को कुछ हद तक विस्तारित और निर्दिष्ट करें, तो यह पता चलता है कि एक त्रिभुज नियमित होता है यदि इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान हो और कोण 60° के बराबर हों। हाई स्कूल में ज्यामिति पाठों में यह कैसे खोजा जाए, सिखाया जाता है और व्यवहार में इस ज्ञान को अक्सर डिज़ाइन इंजीनियरों और वास्तुकारों द्वारा लागू किया जाता है।

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

एस

=

एएच

ए- त्रिभुज की भुजा

एच- त्रिभुज की ऊंचाई

एस- वर्ग

आर्किटेक्ट्स एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफलयह पता लगाना होगा कि जिन इमारतों को वे डिज़ाइन कर रहे हैं उनके तत्वों का स्वरूप ऐसा है या नहीं। ये गैर-मानक खिड़कियां (साधारण और अटारी दोनों) हो सकती हैं, जो अक्सर उन इमारतों में पाई जाती हैं जिनमें मूल वास्तुशिल्प डिजाइन होता है। उनके डिजाइनर समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्रयह पता लगाने के लिए आवश्यक है कि क्या खिड़की पर्याप्त आकार की होगी ताकि आवश्यक मात्रा में दिन की रोशनी कमरे में प्रवेश कर सके। इसके अलावा, आवासीय देश के घरों और कॉटेज के गैबल्स, साथ ही आउटबिल्डिंग, जिनमें से छत के ढलान कभी-कभी 60 डिग्री के कोण पर स्थित होते हैं, अक्सर समबाहु त्रिकोण के आकार के होते हैं।

समबाहु त्रिभुजअक्सर विभिन्न तकनीकी उपकरणों और उपकरणों के हिस्से के रूप में पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कार्बाइड-कार्बाइड टर्निंग टूल के बदले जाने योग्य इन्सर्ट का आकार यह होता है। उन्हें धारक पर एक विशेष अक्ष पर स्थापित करके स्थापित किया जाता है, और एक पच्चर के आकार के स्टील तत्व का उपयोग करके तय किया जाता है, जिसकी क्लैंपिंग एक थ्रेडेड कनेक्शन द्वारा की जाती है। काटने की प्रक्रिया के दौरान इन्सर्ट का एक किनारा कुंद हो जाने के बाद, प्लेट को हटा दिया जाता है, 60° घुमाया जाता है, और फिर से ठीक किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप दूसरे, तेज किनारे का उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि कार्बाइड इंसर्ट में एक समबाहु त्रिभुज का आकार होता है, ऐसी पुनर्स्थापना तीन बार की जा सकती है। कुंद किनारों को तेज़ नहीं किया जा सकता है, और काटने के उपकरण के ये तत्व पिघल कर नष्ट हो जाते हैं।

मोटर चालक और पैदल यात्री दोनों ही समबाहु त्रिभुज वाले सड़क संकेतों से अच्छी तरह परिचित हैं। यह आकार उन्हें अधिक ध्यान देने योग्य बनाता है, और इसलिए वे अधिकतर चेतावनी संकेत होते हैं। यह बिना कहे चला जाता है कि उनके विकास और लेखन की प्रक्रिया में संबंधित नियामक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण का उपयोग करना आवश्यक था समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र.

वे अच्छी तरह जानते हैं कि यह क्या है समान भुजाओं वाला त्रिकोण, बिलियर्ड्स जैसे लोकप्रिय खेल के प्रशंसक। उपयुक्त आकार के विशेष फ़्रेमों का उपयोग करके, गेंदों को प्रत्येक खेल की शुरुआत से पहले एक निश्चित क्रम में स्थापित किया जाता है। ये उत्पाद लकड़ी, प्लास्टिक या धातुओं से बने होते हैं।

एक समबाहु त्रिभुज संभवतः सबसे सरल नियमित बहुभुज है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसकी गणना के विशेष रूप सामने आते हैं। इस पैरामीटर की अधिक आसानी से गणना करने के लिए इस प्रकार की आकृति के संकेतों और गुणों को जानना और समझना महत्वपूर्ण है। नीचे प्रस्तुत सभी विधियाँ उपयोग में काफी सरल हैं और इनके लिए गहन सोच की आवश्यकता नहीं है।

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आकृति के लक्षण और गुण

• इसका मूल्य सभी मामलों में समान और बराबर है 60 डिग्री, पक्षों के आकार की परवाह किए बिना।
• , एक कोने से जारी ऊँचाई और माध्यिका संपाती होगी।
• समबाहु त्रिभुज की कोई भी भुजा अन्य दो के बराबर.
• एक नियमित त्रिभुज का केंद्र का केंद्र होगा।
• यह समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष मामला है।

महत्वपूर्ण!यदि इनमें से कम से कम एक विशेषता पूरी होती है, तो त्रिभुज समबाहु होता है।

समान भुजाओं वाला त्रिकोण

इसके अतिरिक्त, एक आकृति का यह विशेष मामला है निम्नलिखित गुण:

पक्ष के माध्यम से गणना

इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के कई तरीके हैं। उन सभी के अपने फायदे और नुकसान हैं। उन्हें समस्या के समक्ष प्रस्तुत स्थितियों के आधार पर लागू किया जाता है। एक समबाहु त्रिभुज के लिए वांछित मान ज्ञात करने का सबसे लोकप्रिय तरीका आधी भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के माध्यम से गणना की जाती है, यह इस तरह दिखता है:, जहां a और b भुजाएं हैं, α बीच का कोण है उन्हें।

समबाहु के मामले में यह विधि काफी हद तक सरल हो जाती है। ऐसा करने के लिए, आपको ऊपर चर्चा किए गए संकेतों और गुणों का संदर्भ लेना होगा। इस तथ्य के आधार पर कि इस आकृति के सभी कोण 60 डिग्री के बराबर और बराबर हैं। साइन 60 डिग्री के अनुसार ब्रैडिस टेबल, बराबर है , मूल अभिव्यक्ति को रूपांतरित करने पर हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होता है: .

यह मानते हुए कि इस आकृति के सभी पक्ष समान हैं, रूपांतरित अभिव्यक्ति निम्नलिखित परिणाम देगी:।

यदि आप जानते हैं तो यह सूत्र उत्तम है पार्श्व आकारइस चित्र। इस रूप में, इस सूचक की गणना करना बहुत आसान और तेज़ है।

जिन लोगों को हेरोन का फार्मूला याद है वे जानते हैं कि इस आकृति का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है। रूपांतरण प्रक्रिया के दौरान, अभिव्यक्ति ऊपर दिखाए गए में बदल जाएगी। इस आकृति का क्षेत्रफल हेरॉन के अनुसारगणना इस प्रकार की जाती है: , जहां, ए, बी, सी भुजाएं हैं, और पी अर्ध-परिधि है ()। इस अभिव्यक्ति को काफी सरलता से रूपांतरित किया गया है। पी मान के स्थान पर अर्ध-परिधि की गणना करना आवश्यक है और धीरे-धीरे अभिव्यक्ति को कम करना शुरू करें। भुजाओं के योग को तीन समान भुजाओं के योग और पूर्ण की गई कटौती के रूप में दर्शाया जा सकता है। गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

;

;

परिणामी क्षेत्र सूत्र और नीचे प्रस्तुत कार्यों का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब चित्र सही हैअन्यथा यह सही उत्तर नहीं देगा.

किसी त्रिभुज की भुजा के आधार पर उसके क्षेत्रफल की गणना करना

ऊंचाई की गणना

यदि आप जानते हैं तो आप एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कर सकते हैं और ओर. ऊंचाई की आधी लंबाई को भुजा से गुणा किया जाता है; किसी भी ऊंचाई और भुजा को चुना जा सकता है, क्योंकि गुणों के अनुसार, वे ये सभी एक जैसे ही हैं: , जहां a भुजा की लंबाई है। इसे याद रखना आसान है, हालाँकि, व्यवहार में इसका उपयोग बहुत कम किया जाता है।

यदि समस्या में यह जानकारी है कि त्रिभुज समबाहु है और ऊँचाई ज्ञात है। और यह अज्ञात है कि भुजा की लंबाई क्या है, तो आप एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो आपको इसकी गणना करने की अनुमति देता है। पक्ष खोजेंदोगुनी ऊंचाई को तीन के वर्गमूल से विभाजित करके विभाजित किया जा सकता है, गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है:। इसके बाद, क्षेत्र सूत्र लागू किया जाता है, जहां गणना पक्ष के माध्यम से की जाती है; इसका वर्णन पिछले पैराग्राफ में किया गया है।

अनावश्यक गणना न करने के लिए, आप इस सूचक के लिए तुरंत सूत्र प्राप्त कर सकते हैं ऊंचाई के माध्यम से.ऊँचाई के वर्ग को तीन के वर्गमूल से विभाजित किया जाता है। यह इस तरह दिखेगा: . इस मामले में, आपको भुजा से होकर जाने वाले समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र को लागू करने की आवश्यकता नहीं है।

किसी त्रिभुज की भुजा और ऊंचाई के आधार पर उसके क्षेत्रफल की गणना करना

वृत्तों के माध्यम से गणना

गणित में, एक वृत्त में एक आकृति रखकर या इसके विपरीत लेख में चर्चा किए गए मूल्य की गणना करने की विधि भी लोकप्रिय है। ऐसा घेरा वर्णित कहा जाता है.यदि यह अंदर है तो इसे उत्कीर्ण कहा जाता है। इसी खंड में अधिकांश प्रश्न उठते हैं कि तीन कोणों वाले समबाहु बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए।

परिचालित चक्र को अवश्य पार करना होगा सभी चोटियों के माध्यम से, अंकित को स्पर्शरेखा के अनुदिश केवल एक बिंदु पर पक्षों से होकर गुजरना चाहिए।

एक वृत्त में परिचालित या अंकित एक समबाहु त्रिभुज का आरेखण

यदि समस्या कथन अंकित और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या देता है, तो उनसे एक अभिव्यक्ति भी बनाई जा सकती है, क्योंकि वे मिलकर ऊंचाई की कुल लंबाई देते हैं। इसका उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है यह ऊपर दिखाया गया है: h = R + r।

सूत्र को परिवर्तित करके, ऊँचाई h = R + r की गणना लागू करके, आप निम्नलिखित मान प्राप्त कर सकते हैं:। इस सूत्र को और भी सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि परिचालित वृत्त की त्रिज्या को व्यक्त किया जा सकता है अंकित त्रिज्या के माध्यम से.इन वृत्तों के गुणों के अनुसार, R = 2r, जहाँ r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है। क्रमश एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफलइस तरह होगी गणना: .

यदि परिचालित वृत्त की त्रिज्या का आकार दिया गया है, तो अभिव्यक्ति इस प्रकार दिखाई देगी: .

इन गुणों का उपयोग किसी आकृति के पक्ष की गणना के लिए उपयोगी है। इसे खोजने के लिए, आप परिवृत्त और अंकित वृत्त के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं।

परिचालित वृत्त की त्रिज्या को देखते हुए, आप भुजा को घन करके वांछित मान पा सकते हैं, जिसके बाद परिणाम को बढ़ी हुई त्रिज्या से विभाजित किया जाता है 4 बार।गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: .

किसी भी प्रस्तावित सूत्र का उपयोग करके एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल किसके बराबर है, इसकी गणना करने की प्रक्रिया में कोई विशेष कठिनाई नहीं होनी चाहिए। इस कार्य को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको सभी निर्दिष्ट विधियों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, यह बुनियादी सामान्य को याद रखने के लिए पर्याप्त है गणना सूत्र, साथ ही इस आकृति के गुण और विशेषताएं।

ध्यान!गणना की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं, परिणाम मेल खाना चाहिए।

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक वृत्त में अंकित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तार्किक सोच को लागू करने से, गणनाएं आसानी से विशेष मामलों में बदल जाती हैं, जिनमें से कई और भी हैं। अपने दिमाग को बड़ी मात्रा में अप्रासंगिक जानकारी से भरना उचित नहीं है; अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए कारण-और-प्रभाव संबंध विकसित करना बेहतर है।

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स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, त्रिकोणों के अध्ययन के लिए बहुत बड़ा समय समर्पित किया जाता है। छात्र कोणों की गणना करते हैं, समद्विभाजक और ऊंचाई बनाते हैं, पता लगाते हैं कि आकृतियाँ एक-दूसरे से कैसे भिन्न होती हैं, और उनका क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका। ऐसा लगता है कि यह जीवन में उपयोगी नहीं होगा, लेकिन कभी-कभी यह सीखना अभी भी उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यह कैसे निर्धारित किया जाए कि एक त्रिभुज समबाहु है या अधिक। यह कैसे करना है?

त्रिभुजों के प्रकार

तीन बिंदु जो एक ही रेखा पर नहीं हैं, और वे खंड जो उन्हें जोड़ते हैं। ऐसा लगता है कि यह आंकड़ा सबसे सरल है. यदि उनमें केवल तीन भुजाएँ हों तो वे किस प्रकार के त्रिभुज हो सकते हैं? वास्तव में, काफी बड़ी संख्या में विकल्प हैं, और उनमें से कुछ पर स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में विशेष ध्यान दिया जाता है। एक नियमित त्रिभुज समबाहु होता है, अर्थात इसके सभी कोण और भुजाएँ बराबर होती हैं। इसमें कई उल्लेखनीय गुण हैं, जिनकी चर्चा आगे की जाएगी।

एक समद्विबाहु में केवल दो समान भुजाएँ होती हैं, और यह काफी दिलचस्प भी है। एक आयताकार में, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, कोणों में से एक क्रमशः सीधा या अधिक होता है। इसके अलावा, वे समद्विबाहु भी हो सकते हैं।

मिस्र नामक एक विशेष भी है। इसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 इकाई हैं। इसके अलावा, यह आयताकार है. ऐसा माना जाता है कि मिस्र के सर्वेक्षणकर्ताओं और वास्तुकारों द्वारा समकोण बनाने के लिए इसका सक्रिय रूप से उपयोग किया गया था। ऐसा माना जाता है कि प्रसिद्ध पिरामिडों का निर्माण इसकी सहायता से किया गया था।

और फिर भी एक त्रिभुज के सभी शीर्ष एक ही सीधी रेखा पर स्थित हो सकते हैं। इस स्थिति में उसे पतित कहा जायेगा, जबकि अन्य सभी को अपतित कहा जायेगा। वे ज्यामिति के अध्ययन के विषयों में से एक हैं।

समान भुजाओं वाला त्रिकोण

निःसंदेह, सही आंकड़े हमेशा सबसे अधिक रुचि पैदा करते हैं। वे अधिक परिपूर्ण, अधिक सुंदर प्रतीत होते हैं। उनकी विशेषताओं की गणना के सूत्र सामान्य आंकड़ों की तुलना में अक्सर सरल और छोटे होते हैं। यह बात त्रिभुजों पर भी लागू होती है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि ज्यामिति का अध्ययन करते समय उन पर काफी ध्यान दिया जाता है: स्कूली बच्चों को सही आंकड़ों को बाकियों से अलग करना सिखाया जाता है, और उनकी कुछ दिलचस्प विशेषताओं के बारे में भी बताया जाता है।

लक्षण और गुण

जैसा कि आप नाम से अनुमान लगा सकते हैं, एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा अन्य दो के बराबर होती है। इसके अलावा, इसमें कई विशेषताएं हैं जो आपको यह निर्धारित करने में मदद करती हैं कि आंकड़ा सही है या नहीं।

यदि उपरोक्त चिन्हों में से कम से कम एक चिन्ह देखा जाता है, तो त्रिभुज समबाहु है। सही आंकड़े के लिए, उपरोक्त सभी कथन सत्य हैं।

सभी त्रिभुजों में अनेक उल्लेखनीय गुण होते हैं। सबसे पहले, मध्य रेखा, यानी, दो पक्षों को आधे में विभाजित करने वाला खंड और तीसरे के समानांतर, आधे आधार के बराबर होता है। दूसरे, इस आकृति के सभी कोणों का योग सदैव 180 डिग्री के बराबर होता है। इसके अलावा, त्रिभुजों में एक और दिलचस्प रिश्ता है। तो, बड़ी भुजा के विपरीत बड़ा कोण होता है और इसके विपरीत। लेकिन निस्संदेह, इसका समबाहु त्रिभुज से कोई लेना-देना नहीं है, क्योंकि इसके सभी कोण बराबर हैं।

अंकित और परिचालित वृत्त

अक्सर ज्यामिति पाठ्यक्रम में, छात्र यह भी सीखते हैं कि आकृतियाँ एक-दूसरे के साथ कैसे बातचीत कर सकती हैं। विशेष रूप से, बहुभुजों में अंकित या उनके चारों ओर वर्णित वृत्तों का अध्ययन किया जाता है। यह किस बारे में है?

एक उत्कीर्ण वृत्त एक वृत्त है जिसके लिए बहुभुज की सभी भुजाएँ स्पर्शरेखा होती हैं। वर्णित - वह जिसके सभी कोनों से संपर्क बिंदु हों। प्रत्येक त्रिभुज के लिए, आप हमेशा पहले और दूसरे दोनों वृत्तों का निर्माण कर सकते हैं, लेकिन प्रत्येक प्रकार का केवल एक ही। इन दोनों का प्रमाण

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में प्रमेय दिए जाते हैं।

त्रिभुजों के मापदंडों की गणना करने के अलावा, कुछ समस्याओं में इन वृत्तों की त्रिज्याओं की गणना करना भी शामिल है। और के लिए सूत्र
समबाहु त्रिभुज इस प्रकार दिखता है:

जहाँ r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है, R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है, a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है।

ऊंचाई, परिधि और क्षेत्रफल की गणना

स्कूली बच्चे ज्यामिति का अध्ययन करते समय जिन बुनियादी मापदंडों की गणना करते हैं, वे लगभग किसी भी आंकड़े के लिए अपरिवर्तित रहते हैं। ये हैं परिमाप, क्षेत्रफल और ऊँचाई। गणना को सरल बनाने के लिए विभिन्न सूत्र हैं।

तो, परिधि, यानी सभी भुजाओं की लंबाई, की गणना निम्नलिखित तरीकों से की जाती है:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, जहां a एक समबाहु त्रिभुज की भुजा है, R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है, r खुदा हुआ वृत्त है।

h = (√ ̅3/2)*a, जहां a भुजा की लंबाई है।

अंत में, सूत्र मानक एक से प्राप्त होता है, अर्थात आधे आधार और उसकी ऊंचाई का गुणनफल।

S = (√ ̅3/4)*a 2, जहां a भुजा की लंबाई है।

इस मान की गणना किसी परिबद्ध या अंकित वृत्त के मापदंडों के माध्यम से भी की जा सकती है। इसके लिए विशेष सूत्र भी हैं:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, जहां r और R क्रमशः अंकित और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

निर्माण

त्रिकोण सहित एक अन्य दिलचस्प प्रकार की समस्या में न्यूनतम सेट का उपयोग करके एक विशेष आकृति बनाने की आवश्यकता शामिल है

उपकरण: कम्पास और शासक बिना विभाजन के।

केवल इन उपकरणों का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज बनाने के लिए, आपको कई चरणों का पालन करना होगा।

1. आपको किसी भी त्रिज्या और एक मनमाने बिंदु ए पर केंद्र के साथ एक वृत्त खींचने की आवश्यकता है। इसे चिह्नित किया जाना चाहिए।
2. आगे आपको इस बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचनी होगी।
3. एक वृत्त और एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन को बी और सी के रूप में नामित किया जाना चाहिए। सभी निर्माण यथासंभव अधिकतम सटीकता के साथ किए जाने चाहिए।
4. इसके बाद, आपको बिंदु C पर समान त्रिज्या और केंद्र के साथ एक और वृत्त या उपयुक्त मापदंडों के साथ एक चाप बनाने की आवश्यकता है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं को डी और एफ नामित किया जाएगा।
5. बिंदु बी, एफ, डी को खंडों से जोड़ा जाना चाहिए। एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण किया गया है।

ऐसी समस्याओं को हल करना आमतौर पर स्कूली बच्चों के लिए एक समस्या है, लेकिन यह कौशल रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोगी हो सकता है।