Téma lekcie: Kruhová rovnica
Ciele lekcie:
Vzdelávacie: Odvoďte kruhovú rovnicu, pričom riešenie tejto úlohy zvážte ako jednu z možností aplikácie súradnicovej metódy.
Byť schopný:
– Poznať rovnicu kruhu podľa navrhnutej rovnice, naučiť žiakov zostaviť rovnicu kruhu podľa hotového výkresu, postaviť kruh podľa zadanej rovnice.
Vzdelávacie : Formovanie kritického myslenia.
Vzdelávacie : Rozvoj schopnosti vytvárať algoritmické predpisy a schopnosti konať v súlade s navrhnutým algoritmom.
Byť schopný:
– Pozrite si problém a naplánujte si spôsoby, ako ho vyriešiť.
– Zhrňte svoje myšlienky ústne a písomne.
Typ lekcie: asimiláciu nových poznatkov.
Vybavenie : PC, multimediálny projektor, plátno.
Plán lekcie:
1. úvod- 3 min.
2. Aktualizácia vedomostí - 2 min.
3. Vyjadrenie úlohy a jej riešenie -10 min.
4. Predné upevnenie nového materiálu - 7 min.
5. Samostatná práca v skupinách - 15 min.
6. Prezentácia práce: diskusia - 5 min.
7. Výsledok hodiny. Domáca úloha- 3 min.
Počas vyučovania
Účel tejto etapy: Psychologická nálada študentov; Zapojenie všetkých študentov do procesu učenia, vytváranie situácie úspechu.1. Organizovanie času.
3 minúty
Chlapci! S krúžkom ste sa stretli ešte v 5. a 8. ročníku. Čo o nej vieš?
Viete veľa a tieto údaje sa dajú použiť pri riešení geometrických úloh. Ale na riešenie problémov, v ktorých sa používa súradnicová metóda, to nestačí.prečo?
Úplnú pravdu.
Hlavným cieľom dnešnej lekcie je preto odvodiť rovnicu kružnice z geometrických vlastností danej priamky a aplikovať ju na riešenie geometrických úloh.
Nechaj to takmotto lekcie slová stredoázijského vedca-encyklopedistu Al-Biruniho sa stanú: „Vedomosti sú tým najlepším majetkom. Každý sa o to usiluje, ale neprichádza to samo od seba.“
Napíšte tému hodiny do zošita.
Definícia kruhu.
Polomer.
Priemer.
Chord. Atď.
To ešte nevieme všeobecný pohľad kruhové rovnice.
Žiaci uvedú všetko, čo vedia o kruhu.
snímka 2
snímka 3
Účelom etapy je získať predstavu o kvalite učenia sa materiálu študentmi, určiť základné znalosti.
2. Aktualizácia znalostí.
2 minúty
Pri odvodzovaní kruhovej rovnice budete potrebovať už známu definíciu kruhu a vzorec, ktorý vám umožní nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi podľa ich súradníc.Pripomeňme si tieto skutočnosti /Popakovanie látky predtým študoval/:
– Napíšte vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu.
– Napíšte vzorec na výpočet dĺžky vektora.
– Napíšte vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi (dĺžka segmentu).
Úprava záznamov...
Geometrické cvičenie.
Dané bodyA (-1; 7) AV (7; 1).
Vypočítajte súradnice stredu úsečky AB a jej dĺžku.
Kontroluje správnosť vykonania, opravuje výpočty ...
Jeden žiak pri tabuli a ostatní si zapisujú vzorce do zošitov
Kruh sa nazýva geometrický obrazec, pozostávajúci zo všetkých bodov nachádzajúcich sa v danej vzdialenosti od daného bodu.
| AB | \u003d √ (x - x) ² + (y - y) ²
M(x;y), A(x;y)
Vypočítajte: C (3; 4)
| AB | = 10
S ležať 4
snímka 5
3. Formovanie nových poznatkov.
12 minút
Účel: vytvorenie pojmu - rovnica kruhu.
Vyrieš ten problém:
Kruh so stredom A(x; y) je zostrojený v pravouhlom súradnicovom systéme. M(x; y) - ľubovoľný bod kružnice. Nájdite polomer kruhu.
Spĺňajú súradnice akéhokoľvek iného bodu túto rovnosť? prečo?
Odmocnime obe strany rovnice.V dôsledku toho máme:
r² \u003d (x - x) ² + (y - y) ² je rovnica kruhu, kde (x; y) sú súradnice stredu kruhu, (x; y) sú súradnice ľubovoľného bod ležiaci na kružnici, r je polomer kružnice.
Vyrieš ten problém:
Aká bude rovnica kruhu so stredom v počiatku?
Čo teda potrebujete vedieť na napísanie rovnice kruhu?
Navrhnite algoritmus na zostavenie rovnice kruhu.
Záver: ... zapíšte si do zošita.
Polomer je úsečka spájajúca stred kružnice s ľubovoľným bodom ležiacim na kružnici. Preto r \u003d | AM | \u003d √ (x - x)² + (y - y)²
Akýkoľvek bod na kruhu leží na tomto kruhu.
Žiaci píšu do zošitov.
(0;0)-súradnice stredu kruhu.
x² + y² = r², kde r je polomer kruhu.
Súradnice stredu kruhu, polomer, ľubovoľný bod na kruhu...
Navrhujú algoritmus...
Zapíšte si algoritmus do zošita.
snímka 6
Snímka 7
Snímka 8
Učiteľ napíše rovnicu na tabuľu.
Snímka 9
4. Primárne upevnenie.
23 minút
Cieľ:reprodukciu študentmi práve vnímaného materiálu, aby sa zabránilo strate vytvorených myšlienok a konceptov. Upevnenie nových poznatkov, myšlienok, konceptov na základe ichaplikácie.
ovládanie ZUN
Aplikujme získané poznatky pri riešení nasledujúcich úloh.
Úloha: Z navrhnutých rovníc pomenujte čísla tých, ktoré sú rovnicami kruhu. A ak je rovnica rovnicou kruhu, pomenujte súradnice stredu a uveďte polomer.
Nie každá rovnica druhého stupňa s dvoma premennými definuje kruh.
4x² + y² \u003d 4-elipsová rovnica.
x²+y²=0-bodka.
x² + y² \u003d -4-táto rovnica nedefinuje žiadny údaj.
Chlapci! Čo potrebujete vedieť, aby ste napísali rovnicu pre kruh?
Vyrieš ten problém číslo 966 str.245 (učebnica).
Učiteľ zavolá žiaka k tabuli.
Postačujú údaje uvedené v podmienke úlohy na zostavenie rovnice pre kruh?
Úloha:
Napíšte rovnicu pre kruh so stredom v počiatku a s priemerom 8.
Úloha : nakreslí kruh.
Stred má súradnice?
Určte polomer... a postavte
Úloha na strane 243 (učebnica) sa chápe ústne.
Pomocou plánu riešenia problému zo str. 243 vyriešte problém:
Napíšte rovnicu kružnice so stredom v bode A(3;2), ak kružnica prechádza bodom B(7;5).
1) (x-5) ² + (y-3) ² \u003d 36 - kruhová rovnica; (5; 3), r \u003d 6.
2) (x-1)² + y² \u003d 49 - kruhová rovnica; (1; 0), r \u003d 7.
3) x² + y² \u003d 7 - kruhová rovnica; (0; 0), r \u003d √7.
4) (x + 3)² + (y-8)² \u003d 2-kruhová rovnica; (-3;8), r = √2.
5) 4x² + y² \u003d 4 nie je rovnica kruhu.
6) x² + y² = 0- nie je rovnica kruhu.
7) x² + y² = -4- nie je rovnica kruhu.
Poznať súradnice stredu kruhu.
Dĺžka rádiusu.
Do všeobecnej rovnice kruhu dosaďte súradnice stredu a dĺžku polomeru.
Vyriešte úlohu č.966 str.245 (učebnica).
Dosť dosť.
Riešia problém.
Keďže priemer kruhu je dvojnásobkom jeho polomeru, potom r=8÷2=4. Preto x² + y² = 16.
Vykonajte stavbu kruhov
Učebnicová práca. Úloha na strane 243.
Dané: A (3; 2) - stred kruhu; В(7;5)є(А;r)
Nájdite: kruhovú rovnicu
Riešenie: r² \u003d (x - x)² + (y - y)²
r² \u003d (x -3)² + (y -2)²
r = AB, r2 = AB2
r² = (7-3)²+(5-2)²
r²=25
(x -3)² + (y -2)² \u003d 25
Odpoveď: (x -3)² + (y -2)² \u003d 25
snímka 10-13
Riešenie typických problémov vyslovením riešenia hlasným prejavom.
Učiteľ zavolá jedného žiaka, aby zapísal výslednú rovnicu.
Návrat na snímku 9
Diskusia o pláne riešenia tohto problému.
Šmykľavka. 15. Učiteľ zavolá jedného žiaka na tabuľu, aby tento problém vyriešil.
snímka 16.
snímka 17.
5. Zhrnutie lekcie.
5 minút
Reflexia aktivít v triede.
Domáca úloha: §3, bod 91, kontrolné otázky č.16,17.
Problémy č. 959(b, d, e), 967.
Úloha na dodatočné hodnotenie (problémová úloha): Zostrojte kružnicu zadanú rovnicou
x² + 2x + y² -4y = 4.
O čom sme sa v triede rozprávali?
Čo ste chceli dostať?
Aký bol účel lekcie?
Aké úlohy môže vyriešiť náš „objav“?
Kto z vás verí, že cieľ stanovený učiteľom na hodine dosiahol na 100 %, na 50 %; nedosiahli cieľ...?
Klasifikácia.
Zapíšte si domácu úlohu.
Žiaci odpovedajú na otázky učiteľa. Vykonajte sebahodnotenie svojho vlastného výkonu.
Študenti musia vyjadriť slovom výsledok a spôsoby, ako ho dosiahnuť.
obvod je množina bodov v rovine rovnako vzdialených od daného bodu, nazývaná stred.
Ak je bod C stredom kruhu, R je jeho polomer a M je ľubovoľný bod na kruhu, potom podľa definície kruhu
Rovnosť (1) je kruhová rovnica polomer R so stredom v bode C.
Nech pravouhlý karteziánsky súradnicový systém (obr. 104) a bod C ( A; b) je stred kružnice s polomerom R. Nech М( X; pri) je ľubovoľný bod tohto kruhu.
Od |CM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), potom rovnicu (1) možno zapísať takto:
\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R
(x-a) 2 + (y - b)2 = R2 (2)
Rovnica (2) sa nazýva všeobecná rovnica kruhu alebo rovnica kružnice s polomerom R so stredom v bode ( A; b). Napríklad rovnica
(X - l) 2 + ( r + 3) 2 = 25
je rovnica kružnice s polomerom R = 5 so stredom v bode (1; -3).
Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom, potom rovnica (2) nadobúda tvar
X 2 + pri 2 = R2. (3)
Rovnica (3) sa nazýva kanonická rovnica kruhu .
Úloha 1. Napíšte rovnicu pre kružnicu s polomerom R = 7 so stredom v počiatku.
Priamym dosadením hodnoty polomeru do rovnice (3) získame
X 2 + pri 2 = 49.
Úloha 2. Napíšte rovnicu pre kružnicu s polomerom R = 9 so stredom v bode C(3; -6).
Dosadením hodnoty súradníc bodu C a hodnoty polomeru do vzorca (2) dostaneme
(X - 3) 2 + (pri- (-6)) 2 = 81 alebo ( X - 3) 2 + (pri + 6) 2 = 81.
Úloha 3. Nájdite stred a polomer kruhu
(X + 3) 2 + (pri-5) 2 =100.
Pri porovnaní tejto rovnice so všeobecnou kruhovou rovnicou (2) to vidíme A = -3, b= 5, R = 10. Preto С(-3; 5), R = 10.
Úloha 4. Dokážte, že rovnica
X 2 + pri 2 + 4X - 2r - 4 = 0
je kruhová rovnica. Nájdite jeho stred a polomer.
Transformujme ľavú stranu tejto rovnice:
X 2 + 4X + 4- 4 + pri 2 - 2pri +1-1-4 = 0
(X + 2) 2 + (pri - 1) 2 = 9.
Táto rovnica je rovnicou kruhu so stredom (-2; 1); polomer kruhu je 3.
Úloha 5. Napíšte rovnicu kružnice so stredom v bode C(-1; -1), ktorý sa dotýka priamky AB, ak A (2; -1), B(-1; 3).
Napíšme rovnicu priamky AB:
alebo 4 X + 3r-5 = 0.
Keďže kružnica je dotyčnicou danej priamky, polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na túto priamku. Ak chcete nájsť polomer, musíte nájsť vzdialenosť od bodu C (-1; -1) - stredu kruhu k priamke 4 X + 3r-5 = 0:
Napíšeme rovnicu požadovaného kruhu
(X +1) 2 + (r +1) 2 = 144 / 25
Nech je daný kruh v pravouhlom súradnicovom systéme X 2 + pri 2 = R2. Zvážte jeho ľubovoľný bod M( X; pri) (obr. 105).
Nechajte vektor polomeru OM> bod M tvorí uhol veľkosti t s kladným smerom osi O X, potom sa úsečka a ordináta bodu M menia v závislosti od t
(0 t cez x a y t, nájdeme
X= Rcos t ; r= R hriech t , 0 t
Rovnice (4) sa nazývajú parametrické rovnice kruhu so stredom v počiatku.
Úloha 6. Kruh je daný rovnicami
X= \(\sqrt(3)\)cos t, r= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t
horieť kanonická rovnica tento kruh.
Vyplýva to z podmienky X 2 = 3 ako 2 t, pri 2 = 3 hriech 2 t. Pridaním týchto rovností po členoch dostaneme
X 2 + pri 2 = 3 (cos 2 t+ hriech 2 t)
alebo X 2 + pri 2 = 3
Rovnica priamky na rovine
Najprv si predstavme pojem rovnice priamky v dvojrozmernom súradnicovom systéme. Zostrojíme ľubovoľnú priamku $L$ v karteziánskom súradnicovom systéme (obr. 1).
Obrázok 1. Ľubovoľná čiara v súradnicovom systéme
Definícia 1
Rovnica s dvoma premennými $x$ a $y$ sa nazýva rovnica priamky $L$, ak je táto rovnica splnená súradnicami ktoréhokoľvek bodu patriaceho do priamky $L$ a nie je splnená žiadnym bodom nepatriacim do priamky $L$. riadok $L.$
Kruhová rovnica
Odvoďme kruhovú rovnicu v karteziánskom súradnicovom systéme $xOy$. Nech stred kruhu $C$ má súradnice $(x_0,y_0)$ a polomer kruhu sa rovná $r$. Bod $M$ so súradnicami $(x,y)$ nech je ľubovoľným bodom tejto kružnice (obr. 2).
Obrázok 2. Kružnica v karteziánskych súradniciach
Vzdialenosť od stredu kruhu k bodu $M$ sa vypočíta takto
Ale keďže $M$ leží na kruhu, dostaneme $CM=r$. Potom dostaneme nasledovné
Rovnica (1) je rovnica kruhu so stredom v bode $(x_0,y_0)$ a polomerom $r$.
Najmä ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom. Potom má rovnica kruhu tvar
Rovnica priamky.
Odvoďme rovnicu priamky $l$ v karteziánskom súradnicovom systéme $xOy$. Nech body $A$ a $B$ majú súradnice $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ a $\(x_2,\ y_2\)$ a body $A$ a $B $ sú zvolené tak, že priamka $l$ je kolmica na úsečku $AB$. Zvolíme si ľubovoľný bod $M=\(x,y\)$ patriaci priamke $l$ (obr. 3).
Pretože priamka $l$ je kolmica na úsečku $AB$, bod $M$ je rovnako vzdialený od koncov tejto úsečky, to znamená $AM=BM$.
Nájdite dĺžky týchto strán pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi bodmi:
Preto
Označte $a=2\left(x_1-x_2\right),\b=2\left(y_1-y_2\right),\c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1)^2 -(y_1)^2$, Dostaneme, že rovnica priamky v karteziánskom súradnicovom systéme má nasledujúci tvar:
Príklad úlohy na nájdenie rovníc priamok v karteziánskom súradnicovom systéme
Príklad 1
Nájdite rovnicu kruhu so stredom v bode $(2,\ 4)$. Prechádza cez počiatok a priamka rovnobežná s osou $Ox,$ prechádzajúca jeho stredom.
Riešenie.
Najprv nájdime rovnicu daného kruhu. Na to použijeme všeobecnú rovnicu kruhu (odvodenú vyššie). Keďže stred kružnice leží v bode $(2,\ 4)$, dostaneme
\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]
Nájdite polomer kruhu ako vzdialenosť od bodu $(2,\ 4)$ po bod $(0,0)$
Dostaneme, že rovnica kruhu má tvar:
\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]
Nájdite teraz kruhovú rovnicu pomocou špeciálneho prípadu 1. Získame
Trieda: 8
Účel lekcie: predstaviť rovnicu kruhu, naučiť žiakov zostaviť rovnicu kruhu podľa hotového výkresu, postaviť kruh podľa zadanej rovnice.
Vybavenie: interaktívna tabuľa.
Plán lekcie:
- Organizačný moment - 3 min.
- Opakovanie. Organizácia duševnej činnosti - 7 min.
- Vysvetlenie nového materiálu. Odvodenie kruhovej rovnice - 10 min.
- Spevnenie študovaného materiálu - 20 min.
- Zhrnutie lekcie - 5 min.
Počas vyučovania
2. Opakovanie:
− (Príloha 1 snímka 2) zapíšte si vzorec na nájdenie súradníc stredu segmentu;
− (Snímka 3) Z napíšte vzorec pre vzdialenosť medzi bodmi (dĺžku segmentu).
3. Vysvetlenie nového materiálu.
(Snímky 4 – 6) Definujte rovnicu kruhu. Odvoďte rovnice kruhu so stredom v bode ( A;b) a vycentrované v počiatku.
(X – A ) 2 + (pri – b ) 2 = R 2 − kruhová rovnica so stredom S (A;b) , polomer R , X A pri – súradnice ľubovoľného bodu na kružnici .
X 2 + y 2 = R 2 je rovnica kruhu so stredom v počiatku.
(Snímka 7)
Ak chcete napísať rovnicu kruhu, potrebujete:
- poznať súradnice stredu;
- poznať dĺžku polomeru;
- dosaďte súradnice stredu a dĺžku polomeru do rovnice kruhu.
4. Riešenie problémov.
V úlohách č.1 - č.6 zostavte rovnice kruhu podľa hotových výkresov.
(Snímka 14)
№ 7. Vyplňte tabuľku.
(Snímka 15)
№ 8. Zostrojte v zošite kružnice dané rovnicami:
A) ( X – 5) 2 + (pri + 3) 2 = 36;
b) (X + 1) 2 + (pri– 7) 2 = 7 2 .
(Snímka 16)
№ 9. Nájdite súradnice stredu a dĺžku polomeru if AB je priemer kruhu.
| Vzhľadom na to: | Riešenie: | ||
| R | Stredové súradnice | ||
| 1 | A(0 ; -6) IN(0 ; 2) |
AB 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; AB 2 = 64; AB = 8 . |
A(0; -6) IN(0 ; 2) S(0 ; – 2) – stred |
| 2 | A(-2 ; 0) IN(4 ; 0) |
AB 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; AB 2 = 36; AB = 6. |
A (-2;0) IN (4 ;0) S(1 ; 0) – stred |
(Snímka 17)
№ 10. Napíšte rovnicu kružnice so stredom v počiatku prechádzajúcej bodom TO(-12;5).
Riešenie.
R2 = OK 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R= 13;
Kruhová rovnica: x 2 + y 2 = 169 .
(Snímka 18)
№ 11. Napíšte rovnicu pre kružnicu prechádzajúcu počiatkom a so stredom v bode S(3; - 1).
Riešenie.
R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Kruhová rovnica: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
(Snímka 19)
№ 12. Napíšte rovnicu kruhu so stredom A(3;2) prechádzajúci IN(7;5).
Riešenie.
1. Stred kruhu - A(3;2);
2.R = AB;
AB 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; AB
= 5;
3. Kruhová rovnica ( X – 3) 2 + (pri − 2) 2
= 25.
(Snímka 20)
№ 13. Skontrolujte, či body neklamú A(1; -1), IN(0;8), S(-3; -1) na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 + (pri − 4) 2 = 25.
Riešenie.
ja. Dosaďte súradnice bodu A(1; -1) do rovnice kruhu:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 \u003d 25 - rovnosť je nesprávna, čo znamená A(1; -1) neklame na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 +
(pri −
4) 2 =
25.
II. Dosaďte súradnice bodu IN(0;8) do kruhovej rovnice:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)lži X + 3) 2 +
(pri − 4) 2
=
25.
III. Dosaďte súradnice bodu S(-3; -1) do kruhovej rovnice:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - platí rovnosť, takže S(-3; -1) lži na kružnici danej rovnicou ( X + 3) 2 +
(pri − 4) 2
=
25.
Zhrnutie lekcie.
- Opakujte: rovnica kruhu, rovnica kruhu so stredom v počiatku.
- (Snímka 21) Domáca úloha.
