Tento video návod pomôže používateľom získať predstavu o téme Pyramída. Správna pyramída. V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom pyramída, dáme jej definíciu. Uvažujme, čo je to pravidelná pyramída a aké má vlastnosti. Potom dokážeme vetu o bočnom povrchu pravidelnej pyramídy.

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom pyramída, dáme jej definíciu.

Uvažujme o mnohouholníku A 1 A 2...A n, ktorý leží v rovine α, a bodu P, ktorý neleží v rovine α (obr. 1). Spojme bod P s vrcholmi A1, A2, A3, … A n... Dostaneme n trojuholníky: A 1 A 2 R., A 2 A 3 R. atď.

Definícia... Mnohosten RA 1 A 2 ... A n zložený z n-uhlopriečka A 1 A 2...A n a n trojuholníky RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n А n-1 sa nazýva n-uhlová pyramída. Ryža. 1.

Ryža. 1

Uvažujme o štvoruholníkovej pyramíde PABCD(obr. 2).

R.- vrchol pyramídy.

A B C D- základňa pyramídy.

RA- bočné rebro.

AB- okraj základne.

Z bodu R. vynechať kolmicu NS v rovine základne A B C D... Nakreslená kolmica je výška pyramídy.

Ryža. 2

Celý povrch pyramídy pozostáva z bočného povrchu, to znamená z oblasti všetkých bočných plôch, a zo základnej plochy:

S plný = S strana + S hlavný

Pyramída sa nazýva správna, ak:

jeho základňa je pravidelný mnohouholník;
úsečka spájajúca vrchol pyramídy so stredom základne je jej výška.

Vysvetlenie na príklade pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy

Uvažujme o pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde PABCD(obr. 3).

R.- vrchol pyramídy. Základ pyramídy A B C D- pravidelný štvoruholník, to znamená štvorec. Bod O, priesečníkom uhlopriečok, je stred štvorca. Prostriedky, RO je výška pyramídy.

Ryža. 3

Vysvetlenie: v správnom n-gon, stred zapísanej kružnice a stred kruhového kruhu sa zhodujú. Toto centrum sa nazýva stred mnohouholníka. Niekedy sa hovorí, že vrchol je premietaný do stredu.

Výška bočného povrchu pravidelnej pyramídy ťahanej z jeho vrcholu sa nazýva apothem a označil h a.

1. všetky bočné okraje pravidelnej pyramídy sú rovnaké;

2. bočné plochy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Dôkaz týchto vlastností je daný príkladom pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy.

Vzhľadom na to: PABCD- pravidelná štvoruholníková pyramída,

A B C D- námestie,

RO- výška pyramídy.

Dokáž:

1. PA = PB = PC = PD

2.∆АВР = ∆ВCP = ∆СDP = ∆DAP Pozri obr. 4.

Ryža. 4

Dôkaz.

RO- výška pyramídy. Teda rovno RO kolmo na rovinu ABC a teda priame AO, VO, SO a ROBIŤ ležať v ňom. Takže trojuholníky ROA, ROV, ROS, POD- obdĺžnikový.

Zvážte štvorec A B C D... Z vlastností námestia vyplýva, že AO = BO = CO = ROBIŤ.

Potom majú pravé trojuholníky ROA, ROV, ROS, POD noha RO- generál a nohy AO, VO, SO a ROBIŤ sú rovnaké, čo znamená, že tieto trojuholníky sú rovnaké v dvoch nohách. Rovnosť trojuholníkov znamená rovnosť segmentov, PA = PB = PC = PD. Položka 1 je preukázaná.

Segmenty AB a slnko sú rovnaké, pretože sú stranami jedného štvorca, PA = PB = RS... Takže trojuholníky ABP a HRV - rovnoramenné a rovné na troch stranách.

Podobne zistíme, že trojuholníky ATS, BCP, CDP, DAP sú rovnoramenné a rovné, ako sa vyžaduje v odseku 2.

Bočná povrchová plocha pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne vynásobeného apotémou:

Ako dôkaz vyberáme pravidelnú trojuholníkovú pyramídu.

Vzhľadom na to: RAVS- pravidelná trojuholníková pyramída.

AB = BC = AC.

RO- výška.

Dokáž: ... Pozri obr. 5.

Ryža. 5

Dôkaz.

RAVS- pravidelná trojuholníková pyramída. To je AB= AC = BC... Nechaj byť O- stred trojuholníka ABC potom RO je výška pyramídy. Rovnostranný trojuholník leží na základni pyramídy ABC... Všimni si .

Trojuholníky RAV, RVS, RSA- rovnaké rovnoramenné trojuholníky (podľa vlastnosti). Trojuholníková pyramída má tri bočné strany: RAV, RVS, RSA... To znamená, že plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná:

Strana S = 3S RAV

Veta je dokázaná.

Polomer kruhu vpísaného na základňu pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy je 3 m, výška pyramídy je 4 m. Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.

Vzhľadom na to: pravidelná štvoruholníková pyramída A B C D,

A B C D- námestie,

r= 3 m,

RO- výška pyramídy,

RO= 4 m.

Nájsť: S strana. Pozri obr. 6.

Ryža. 6

Riešenie.

Podľa osvedčenej vety.

Najprv nájdeme stranu základne AB... Vieme, že polomer kruhu zapísaného na základni pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy je 3 m.

Potom, m.

Nájdite obvod štvorca A B C D so stranou 6 m:

Zvážte trojuholník BCD... Nechaj byť M- stred boku DC... Pretože O- stredný BD potom (m).

Trojuholník DPC- rovnoramenné. M- stredný DC... To znamená, RM- medián, a teda výška v trojuholníku DPC... Potom RM- apotém pyramídy.

RO- výška pyramídy. Potom rovno RO kolmo na rovinu ABC, a teda rovná čiara OM ležať v ňom. Nájdite apothem RM z pravouhlého trojuholníka ROM.

Teraz nájdeme bočný povrch pyramídy:

Odpoveď: 60 m 2.

Polomer kruhu ohraničeného základňou pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je m. Bočná povrchová plocha je 18 m 2. Nájdite dĺžku apotému.

Vzhľadom na to: ABCP- pravidelná trojuholníková pyramída,

AB = BC = CA,

R.= m,

Strana S = 18 m 2.

Nájsť:. Pozri obr. 7.

Ryža. 7

Riešenie.

V pravidelnom trojuholníku ABC je daný polomer opísanej kružnice. Hľadajme stranu AB tento trojuholník pomocou sínusovej vety.

Keď poznáme stranu pravidelného trojuholníka (m), zistíme jeho obvod.

Podľa vety o bočnom povrchu pravidelnej pyramídy, kde h a- apotém pyramídy. Potom:

Odpoveď: 4 m.

Skúmali sme teda, čo je to pyramída, čo je pravidelná pyramída a dokázali sme vetu o bočnom povrchu pravidelnej pyramídy. V ďalšej lekcii sa zoznámime so zrezanou pyramídou.

Bibliografia

Geometria. Ročník 10-11: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základné a profilové úrovne) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, Rev. a pridať. - M.: Mnemozina, 2008.- 288 s.: Chorý.
Geometria. Ročník 10-11: Učebnica pre všeobecné vzdelávacie inštitúcie / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s .: Ill.
Geometria. Ročník 10: Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a špecializovaným štúdiom matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, Stereotyp. - M.: Drop, 008.- 233 s.: Chorý.

Internetový portál „Yaklass“ ()
Internetový portál „Festival pedagogických myšlienok“ 1. septembra ()
Internetový portál „Slideshare.net“ ()

Domáca úloha

Môže byť pravidelný mnohouholník základom nepravidelnej pyramídy?
Dokážte, že disjunktné hrany pravidelnej pyramídy sú kolmé.
Nájdite hodnotu dihedrálneho uhla na strane základne pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy, ak je apotéma pyramídy rovnaká ako strana jej základne.
RAVS- pravidelná trojuholníková pyramída. Zostrojte lineárny uhol dihedly na základni pyramídy.

Tu nájdete základné informácie o pyramídach a súvisiace vzorce a pojmy. Všetci sa v rámci prípravy na skúšku študujú s tútorom matematiky.

Uvažujme o rovine, mnohouholníku ležať v ňom a bod S v ňom neležať. Pripojte S ku všetkým vrcholom mnohouholníka. Výsledný mnohosten sa nazýva pyramída. Segmenty čiar sa nazývajú bočné rebrá. Polygón sa nazýva základňa a bod S sa nazýva vrchol pyramídy. V závislosti od čísla n sa pyramída nazýva trojuholníková (n = 3), štvoruholníková (n = 4), ptyagonálna (n = 5) atď. Alternatívny názov pre trojuholníkovú pyramídu je štvorsten... Výška pyramídy sa nazýva kolmica znížená od jej vrcholu k rovine základne.

Pyramída sa nazýva správna, ak pravidelný mnohouholník a základňa výšky pyramídy (základňa kolmice) je jej stredom.

Komentár lektora:
Nezamieňajte si pojem „pravidelná pyramída“ a „správny štvorsten“. V pravidelnej pyramíde nie sú bočné okraje nevyhnutne rovnaké ako okraje základne, ale v pravidelnom štvorstene je všetkých 6 okrajov okrajov rovnakých. Toto je jeho definícia. Je ľahké dokázať, že rovnosť znamená zhodu stredu P mnohouholníka so základňou výšky, takže pravidelný štvorsten je pravidelná pyramída.

Čo je to Apothema?
Apothem pyramídy je výška jej bočnej tváre. Ak je pyramída správna, potom sú všetky jej apotemy rovnaké. Opak nie je pravda.

Lektor matematiky o svojej terminológii: práca s pyramídami je z 80% zostavená z dvoch typov trojuholníkov:
1) Obsahuje apothem SK a výšku SP
2) Obsahuje bočnú hranu SA a jej priemet PA

Na zjednodušenie odkazov na tieto trojuholníky je výhodnejšie, ak učiteľ matematiky zavolá prvý z nich apotemický, a druhý pobrežný... Túto terminológiu bohužiaľ nenájdete v žiadnej z učebníc a učiteľ ju musí zadať jednostranne.

Vzorec pre objem pyramídy:
1) , kde je plocha základne pyramídy a výška pyramídy
2), kde je polomer zapísanej gule a plocha celého povrchu pyramídy.
3) , kde MN je vzdialenosť akýchkoľvek dvoch križujúcich sa hrán a je oblasťou rovnobežníka tvoreného stredmi štyroch zostávajúcich okrajov.

Vlastnosť základne výšky pyramídy:

Bod P (pozri obrázok) sa zhoduje so stredom vpísanej kružnice na základni pyramídy, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
1) Všetky náležitosti sú si rovné
2) Všetky bočné plochy sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky apothemy sú rovnako naklonené k výške pyramídy
4) Výška pyramídy je rovnako naklonená všetkým bočným plochám

Komentár matematického učiteľa: Všimnite si, že všetky body majú jednu spoločnú vlastnosť: tak či onak, bočné plochy sú zahrnuté všade (apotemy sú ich prvkami). Lektor preto môže ponúknuť menej presnú, ale pre zapamätanie vhodnejšiu formuláciu: bod P sa zhoduje so stredom vpísaného kruhu na základni pyramídy, ak existujú rovnaké informácie o jeho bočných plochách. Na dokázanie stačí dokázať, že všetky apotemické trojuholníky sú rovnaké.

Bod P sa zhoduje so stredom kruhu popísaným v blízkosti základne pyramídy, ak platí jedna z troch podmienok:
1) Všetky bočné okraje sú rovnaké
2) Všetky bočné rebrá sú rovnako naklonené k základni
3) Všetky bočné rebrá sú rovnako naklonené k výške

Pyramída Je to mnohosten s jednou tvárou - základňou pyramídy - ľubovoľný mnohouholník a so zvyškom - bočné plochy - trojuholníky so spoločným vrcholom, nazývaný vrchol pyramídy. Nazýva sa kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na jej základňu výška pyramídy... Pyramída sa nazýva trojuholníková, štvoruholníková atď., Ak je základňou pyramídy trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvorhranný - päťsten atď.

Pyramída, Skrátená pyramída

Správna pyramída

Ak je základom pyramídy pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne, potom je pyramída správna. V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné okraje rovnaké, všetky bočné okraje sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška trojuholníka bočnej strany pravidelnej pyramídy sa nazýva - apothem pravej pyramídy.

Skrátená pyramída

Časť rovnobežná so základňou pyramídy rozdeľuje pyramídu na dve časti. Časť pyramídy medzi jej základňou a touto časťou je skrátená pyramída ... Táto časť skrátenej pyramídy je jednou z jej základní. Vzdialenosť medzi základňami skrátenej pyramídy sa nazýva výška skrátenej pyramídy. Skrátená pyramída sa nazýva správna, ak je pyramída, z ktorej bola získaná, správna. Všetky bočné plochy pravidelnej skrátenej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné lichobežníky. Výška lichobežníka bočného povrchu pravidelnej skrátenej pyramídy sa nazýva - apothem pravidelnej skrátenej pyramídy.

Definícia. Bočný okraj je trojuholník, ktorého jeden roh leží v hornej časti pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán ako rohy mnohouholníka.

Definícia. Výška pyramídy- je to kolmica, spustená zhora na základňu pyramídy.

Definícia. Apothem je kolmá na bočnú stranu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálna časť je časť pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou základne.

Definícia. Správna pyramída je pyramída, v ktorej je základňou pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

Vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom možno okolo základne pyramídy popísať kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Tiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruh).

Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.

Bočné hrany sú rovnaké, ak zvierajú so základnou rovinou rovnaké uhly alebo ak je okolo základne pyramídy možné popísať kruh.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Horná časť pyramídy je rovnako vzdialená od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sa zvažujú v rovnakom uhle k základni.

4. Apotemy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky tváre majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy je možné popísať guľu. Stred ohraničenej gule bude priesečníkom kolmíc, ktoré prechádzajú stredom okrajov.

8. Do pyramídy je možné zapísať guľu. Stred zapísanej gule bude priesečníkom úsečiek vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred zapísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom je súčet rovinných uhlov vo vrchole rovný π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie pyramídy so sférou

Guľu je možné popísať okolo pyramídy, keď mnohosten leží na základni pyramídy, okolo ktorej je možné opísať kruh (potrebná a dostatočná podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo stredmi bočných okrajov pyramídy.

Guľu je možné vždy opísať okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľôčku je možné zapísať do pyramídy, ak sa pôdorysné roviny vnútorných dihedrálnych rohov pyramídy pretínajú v jednom bode (potrebná a dostatočná podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa nazýva zapísaný do pyramídy, ak sa jeho vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ je možné vpísať do pyramídy, ak sú všetky súčasti pyramídy navzájom rovnaké.

Kužeľ sa nazýva ohraničený okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú, a základňa kužeľa je ohraničená okolo základne pyramídy.

Kužeľ je možné popísať okolo pyramídy, ak sú všetky bočné okraje pyramídy navzájom rovnaké.

Spojenie pyramídy s valcom

Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak horná časť pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec je možné popísať okolo pyramídy, ak je možné popísať kruh okolo základne pyramídy.

Definícia. Skrátená pyramída (pyramídový hranol) je mnohosten, ktorý sa nachádza medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Pyramída má teda väčšiu základňu a menšiu základňu, ktorá je podobná tej väčšej. Bočné strany sú lichobežníkové.

Definícia. Trojuholníková pyramída (štvorsten) je pyramída, v ktorej sú tri tváre a základňa ľubovoľnými trojuholníkmi.

Štvorhran má štyri tváre, štyri vrcholy a šesť hrán, pričom dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch tvárí a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový roh.

Nazýva sa segment spájajúci vrchol štvorstena so stredom protiľahlej tváre stredný štvorsten(GM).

Bimedian je segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré nie sú v kontakte (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstena sa stretávajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediáni rozdelení na polovicu a mediány v pomere 3: 1, začínajúc zhora.

Definícia. Šikmá pyramída je pyramída, v ktorej jedno z rebier zviera so základňou tupý uhol (β).

Definícia. Obdĺžniková pyramída- je to pyramída, v ktorej je jedna z bočných strán kolmá na základňu.

Definícia. Pyramída s ostrým uhlom- je to pyramída, v ktorej je apothem viac ako polovica dĺžky strany základne.

Definícia. Tupá pyramída- je to pyramída, v ktorej je apothem menšia ako polovica dĺžky strany základne.

Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri tváre rovnostrannými trojuholníkmi. Je to jeden z piatich pravidelných mnohouholníkov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi tvárami) a trihedrálne uhly (na vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten sa nazýva tetrahedron s pravým uhlom medzi tromi hranami na vrchole (hrany sú kolmé). Formujú sa tri tváre obdĺžnikový trojuholníkový roh a tváre sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apothem akéhokoľvek aspektu sa rovná polovici strany základne, na ktorú apothem padá.

Definícia. Equhedral tetrahedron nazývaný štvorsten, v ktorom sú bočné plochy navzájom rovnaké a základňou je pravidelný trojuholník. Pre taký štvorsten sú tváre rovnoramenné trojuholníky.

Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva tetrahedron, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú spustené zhora na opačnú stranu, pretína v jednom bode.

Definícia. Hviezdna pyramída sa nazýva mnohosten, ktorého základňou je hviezda.

Definícia. Bipyramid- mnohosten pozostávajúci z dvoch rôznych pyramíd (pyramídy je možné tiež odrezať) so spoločnou základňou a vrcholy ležia na opačných stranách základnej roviny.

Pyramída. Skrátená pyramída

Pyramída sa nazýva mnohosten, ktorého jednou tvárou je mnohouholník ( základňa ) a všetky ostatné tváre sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné tváre ) (obr. 15). Pyramída sa nazýva správne ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy je premietaný do stredu základne (obr. 16). Nazýva sa trojuholníková pyramída, v ktorej sú všetky hrany rovnaké štvorsten .

Bočné rebro pyramída je strana bočnej strany, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída sa nazýva vzdialenosť od vrcholu k rovine základne. Všetky bočné okraje pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovnaké, všetky bočné okraje sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočného povrchu pravidelnej pyramídy nakreslenej zhora sa nazýva apothem . Diagonálna časť časť pyramídy sa nazýva rovina prechádzajúca dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k jednej ploche.

Bočná povrchová plocha pyramída sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch. Celá plocha nazýva sa súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.

Vety

1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine základne, potom je vrch pyramídy premietaný do stredu kruhu ohraničeného základňou.

2. Ak v pyramíde majú všetky bočné okraje rovnaké dĺžky, potom je vrchol pyramídy premietaný do stredu kruhu ohraničeného okolo základne.

3. Ak sú v pyramíde všetky tváre rovnako naklonené k rovine základne, potom je vrchol pyramídy premietaný do stredu kruhu zapísaného v základni.

Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny nasledujúci vzorec:

kde V.- objem;

S hlavné- základná plocha;

H- výška pyramídy.

Pre správnu pyramídu sú vzorce správne:

kde p- základný obvod;

h a- apothem;

H- výška;

S plný

Strana S.

S hlavné- základná plocha;

V. Je objem správnej pyramídy.

Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy, uzavretá medzi základňou a sečnou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná skrátená pyramída sa nazýva časť pravidelnej pyramídy uzavretej medzi základňou a sečnou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.

Nadácie skrátené pyramídy - podobné polygóny. Bočné tváre - lichobežník. Výška skrátená pyramída je vzdialenosť medzi jej základňami. Diagonálne skrátená pyramída sa nazýva segment spájajúci jej vrcholy, ktoré neležia na tej istej tvári. Diagonálna časť časť skrátenej pyramídy sa nazýva rovina prechádzajúca dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k jednej ploche.

Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

(4)

kde S 1 , S 2 - oblasti horných a dolných základní;

S plný- celková plocha povrchu;

Strana S.- bočný povrch;

H- výška;

V.- objem skrátenej pyramídy.

Pre správnu skrátenú pyramídu je vzorec správny:

kde p 1 , p 2 - obvody základov;

h a- apotém pravidelnej skrátenej pyramídy.

Príklad 1. V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol na základni 60 °. Nájdite tangens uhla sklonu bočného okraja k rovine základne.

Riešenie. Vytvoríme kresbu (obr. 18).

Pyramída je pravidelná, takže na základni je rovnostranný trojuholník a všetky bočné plochy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol na základni je uhol sklonu bočného povrchu pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: a t.j. Vrch pyramídy je premietaný do stredu trojuholníka (stred kruhového kruhu a vpísaná kružnica do trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočného rebra (napr SB) Je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny základne. Za rebro SB tento uhol bude uhlom SBD... Ak chcete nájsť tangens, musíte poznať nohy SO a OB... Nech je dĺžka segmentu BD sa rovná 3 a... Bodka O sekcii BD je rozdelená na časti: a Od nájdeme SO: Z toho zisťujeme:

Odpoveď:

Príklad 2. Nájdite objem pravidelnej skrátenej štvoruholníkovej pyramídy, ak sú uhlopriečky jej základní cm a cm a výška je 4 cm.

Riešenie. Na zistenie objemu skrátenej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť plochu základní, musíte nájsť strany základných štvorcov so znalosťou ich uhlopriečok. Strany základov sú 2 cm a 8 cm. Takže plocha základní a Po nahradení všetkých údajov vo vzorci vypočítame objem skrátenej pyramídy:

Odpoveď: 112 cm 3.

Príklad 3. Nájdite oblasť bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej komolej pyramídy, ktorej strany základov sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.

Riešenie. Vytvoríme kresbu (obr. 19).

Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základne sú dané podmienkou, iba výška zostáva neznáma. Odkiaľ to nájdeme A 1 E kolmo na bod A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D- kolmo od A 1 dňa AS. A 1 E= 2 cm, pretože to je výška pyramídy. Nájsť DE urobme dodatočný výkres, ktorý bude znázorňovať pohľad zhora (obr. 20). Bod O- priemet stredov hornej a dolnej bázy. od (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK Je polomer vpísanej kružnice a OM- polomer vpísanej kružnice:

MK = DE.

Pythagorovou vetou z r

Bočná oblasť tváre:

Odpoveď:

Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základy sú a a b (a> b). Každá bočná strana zviera so základnou rovinou pyramídy uhol rovný j... Nájdite celkový povrch pyramídy.

Riešenie. Vytvoríme kresbu (obr. 21). Celková povrchová plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.

Použime tvrdenie, že ak sú všetky tváre pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom je vrchol premietaný do stredu kruhu zapísaného v základni. Bod O- projekcia vrcholu S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálna projekcia trojuholníka CSD v rovine základne. Vetou o oblasti ortogonálneho priemetu rovinnej figúry získame:

Podobne to znamená Úloha sa teda zredukovala na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D... Nakreslite lichobežník A B C D oddelene (obr. 22). Bod O- stred kruhu vpísaného do lichobežníka.

Pretože kruh môže byť zapísaný do lichobežníka, buď z, pomocou Pythagorovej vety, máme