त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना स्पर्शरेखा-कोटैंजेंट। त्रिकोणमितीय समीकरण

त्रिकोणमितीय समीकरण सबसे आसान विषय नहीं हैं। दर्द से वे विविध हैं।) उदाहरण के लिए, जैसे:

पाप 2 x + cos3x = ctg5x

पाप (5x + / 4) = सीटीजी (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

आदि...

लेकिन इन (और अन्य सभी) त्रिकोणमितीय राक्षसों में दो सामान्य और अनिवार्य विशेषताएं हैं। पहला - आपको विश्वास नहीं होगा - समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन होते हैं।) दूसरा: x के साथ सभी व्यंजक पाए जाते हैं इन्हीं कार्यों के अंदर।और केवल वहाँ! यदि x कहीं दिखाई देता है बाहर,उदाहरण के लिए, sin2x + 3x = 3,यह पहले से ही मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों के लिए एक व्यक्तिगत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हम यहां उन पर विचार नहीं करेंगे।

हम इस पाठ में बुरे समीकरणों को भी हल नहीं करेंगे।) यहाँ हम व्यवहार करेंगे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।क्यों? हाँ, क्योंकि समाधान कोईत्रिकोणमितीय समीकरणों के दो चरण होते हैं। पहले चरण में, विभिन्न परिवर्तनों के माध्यम से दुष्ट समीकरण को सरल बना दिया जाता है। दूसरे पर, यह सरलतम समीकरण हल हो गया है। रास्ता दूजा नहीं।

इसलिए, यदि आपको दूसरे चरण में समस्या है, तो पहले चरण का कोई मतलब नहीं है।)

प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण कैसा दिखता है?

sinx = a

कॉसक्स = ए

टीजीएक्स = ए

सीटीजीएक्स = ए

यहाँ ए किसी भी संख्या को दर्शाता है। कोई भी।

वैसे, फ़ंक्शन के अंदर शुद्ध x नहीं हो सकता है, लेकिन कुछ प्रकार की अभिव्यक्ति हो सकती है, जैसे:

cos (3x + / 3) = 1/2

आदि। यह जीवन को जटिल बनाता है, लेकिन यह त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की विधि को प्रभावित नहीं करता है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?

त्रिकोणमितीय समीकरणों को दो तरह से हल किया जा सकता है। पहला तरीका: तर्क और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करना। हम यहां इस मार्ग पर विचार करेंगे। दूसरा तरीका - स्मृति और सूत्रों का उपयोग करना - अगले पाठ में चर्चा की जाएगी।

पहला तरीका स्पष्ट, विश्वसनीय और भूलना मुश्किल है।) यह त्रिकोणमितीय समीकरणों, असमानताओं और सभी प्रकार के मुश्किल गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए अच्छा है। तर्क स्मृति से अधिक मजबूत है!)

त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

हम प्राथमिक तर्क और त्रिकोणमितीय सर्कल का उपयोग करने की क्षमता शामिल करते हैं। पता नहीं कैसे!? हालाँकि ... त्रिकोणमिति में यह आपके लिए कठिन है ...) लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। पाठों पर एक नज़र डालें "त्रिकोणमितीय वृत्त ...... यह क्या है?" और "एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती"। वहां सब कुछ सरल है। ट्यूटोरियल के विपरीत ...)

ओह आप जानते हैं !? और यहां तक ​​\u200b\u200bकि "त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ व्यावहारिक कार्य" में भी महारत हासिल है!? बधाई हो। यह विषय आपके करीब और समझने योग्य होगा।) विशेष रूप से सुखद क्या है, त्रिकोणमितीय सर्कल परवाह नहीं है कि आप कौन सा समीकरण हल करते हैं। साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट - उसके लिए सब कुछ एक है। केवल एक समाधान सिद्धांत है।

इसलिए हम कोई भी प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरण लेते हैं। कम से कम यह:

cosx = 0.5

एक्स को खोजने की जरूरत है। मानवीय शब्दों में, आपको चाहिए कोण (x) ज्ञात कीजिए, जिसकी कोज्या 0.5 है।

हमने पहले सर्कल का उपयोग कैसे किया? हमने उस पर एक कोना खींचा। डिग्री या रेडियन में। और तुरंत देखा इस कोण के त्रिकोणमितीय कार्य। अब चलो इसके विपरीत करते हैं। आइए वृत्त पर 0.5 के बराबर एक कोज्या बनाएं और तुरंत देखो इंजेक्शन। उत्तर लिखने के लिए जो कुछ बचा है।) हाँ, हाँ!

एक वृत्त खींचिए और 0.5 की एक कोज्या अंकित कीजिए। कोसाइन अक्ष पर, बिल्कुल। ऐशे ही:

आइए अब वह कोण बनाते हैं जो यह कोज्या हमें देता है। माउस कर्सर को ड्राइंग पर ले जाएँ (या टैबलेट पर चित्र को टैप करें), और देखोयही कोने एक्स।

कोसाइन 0.5 कौन सा कोण है?

एक्स = / 3

क्योंकि 60 डिग्री सेल्सियस= क्योंकि ( / 3) = 0,5

कोई संदेह से हँसेगा, हाँ ... वे कहते हैं, क्या यह सर्कल के लायक था, जब सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है ... आप निश्चित रूप से, चकली कर सकते हैं ...) लेकिन तथ्य यह है कि यह एक गलत जवाब है। या बल्कि, अपर्याप्त। सर्कल के पारखी समझते हैं कि यहां अभी भी कोणों का एक पूरा गुच्छा है, जो 0.5 के बराबर कोसाइन भी देता है।

यदि आप OA के चल पक्ष को मोड़ते हैं पूरा मोड़, बिंदु A अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएगा। समान कोसाइन के साथ 0.5 के बराबर। वे। कोण बदल जाएगा 360 ° या 2π रेडियन, और कोसाइन नहीं है।नया कोण 60 ° + 360 ° = 420 ° भी हमारे समीकरण का हल होगा, क्योंकि

आप अनंत संख्या में ऐसे पूर्ण घुमावों को हवा दे सकते हैं ... और ये सभी नए कोण हमारे त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान होंगे। और उन सभी को किसी न किसी तरह प्रत्युत्तर में लिखा जाना चाहिए। हर चीज़।नहीं तो फैसला मायने नहीं रखता, हां...)

गणित इसे सरल और सुरुचिपूर्ण तरीके से करना जानता है। एक संक्षिप्त उत्तर में लिखें अंतहीन सेटसमाधान। यह हमारे समीकरण के लिए ऐसा दिखता है:

एक्स = / 3 + 2π एन, एन ∈ जेड

मैं व्याख्या करूंगा। फिर भी लिखो सार्थकमूर्खतापूर्ण तरीके से कुछ रहस्यमय अक्षरों को खींचने से ज्यादा सुखद, है ना?)

/ 3 - यह वही कोना है जो हम देखासर्कल पर और पहचान कीकोसाइन तालिका के अनुसार।

2π रेडियंस में एक पूर्ण क्रांति है।

एन पूर्ण की संख्या है, अर्थात्। पूरा का पूराक्रांतियां। यह स्पष्ट है कि एन 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... आदि हो सकते हैं। जैसा कि एक संक्षिप्त नोट द्वारा दर्शाया गया है:

एन ज़ू

एन संबंधित है ( ∈ ) पूर्णांकों के समुच्चय में ( जेड ) वैसे, पत्र के बजाय एन अक्षरों का अच्छी तरह से उपयोग किया जा सकता है कश्मीर, एम, टी आदि।

इस प्रविष्टि का अर्थ है कि आप कोई भी संपूर्ण ले सकते हैं एन ... कम से कम -3, कम से कम 0, कम से कम +55। आपको क्या चाहिए। यदि आप उस नंबर को अपने उत्तर में शामिल करते हैं, तो आपको एक विशिष्ट कोण मिलता है जो निश्चित रूप से हमारे कठोर समीकरण को हल करेगा।)

या, दूसरे शब्दों में, एक्स = / 3 अनंत समुच्चय का एकमात्र मूल है। अन्य सभी जड़ों को प्राप्त करने के लिए, / 3 में किसी भी पूर्ण क्रांति को जोड़ने के लिए पर्याप्त है ( एन ) रेडियन में। वे। 2π नहीं रेडियन

हर चीज़? नहीं। मैं जानबूझकर आनंद को बढ़ाता हूं। इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए।) हमें अपने समीकरण के उत्तरों का केवल एक हिस्सा मिला। मैं समाधान का यह पहला भाग इस प्रकार लिखूंगा:

एक्स 1 = / 3 + 2π एन, एन ∈ जेड

एक्स 1 - एक जड़ नहीं, यह जड़ों की एक पूरी श्रृंखला है, जो संक्षिप्त रूप में लिखी गई है।

लेकिन ऐसे कोण भी हैं जो 0.5 की कोज्या भी देते हैं!

आइए अपने चित्र पर वापस चलते हैं, जिसका उपयोग उत्तर लिखने के लिए किया गया था। वहाँ है वो:

चित्र पर माउस घुमाएं और देखोएक और कोना 0.5 की कोज्या भी देता है।आपको क्या लगता है कि यह किसके बराबर है? त्रिकोण समान हैं ... हाँ! यह कोने के बराबर है एक्स , केवल नकारात्मक दिशा में वापस रखें। यह कोना है -एक्स। लेकिन हम पहले ही x का पता लगा चुके हैं। / 3 or 60 डिग्री। इसलिए, हम सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

एक्स 2 = - / 3

ठीक है, निश्चित रूप से, हम उन सभी कोणों को जोड़ते हैं जो पूर्ण क्रांतियों के माध्यम से प्राप्त होते हैं:

एक्स 2 = - / 3 + 2π एन, एन जेड

अब बस।) त्रिकोणमितीय वृत्त में, हम देखा(निश्चित रूप से कौन समझता है)) सब 0.5 के बराबर कोसाइन देने वाले कोण। और उन्होंने इन कोणों को संक्षिप्त गणितीय रूप में लिखा। उत्तर ने जड़ों की दो अंतहीन श्रृंखलाएँ उत्पन्न कीं:

एक्स 1 = / 3 + 2π एन, एन ∈ जेड

एक्स 2 = - / 3 + 2π एन, एन जेड

यह सही जवाब है।

आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का सामान्य सिद्धांतएक सर्कल का उपयोग करना स्पष्ट है। हम दिए गए समीकरण से वृत्त पर कोसाइन (साइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट) चिह्नित करते हैं, इसके अनुरूप कोण बनाते हैं और उत्तर लिखते हैं।बेशक, आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि हम किस तरह के कोने हैं देखासर्कल पर। कभी-कभी यह इतना स्पष्ट नहीं होता है। ठीक है, तो मैंने कहा कि यहाँ तर्क की आवश्यकता है।)

उदाहरण के लिए, आइए एक और त्रिकोणमितीय समीकरण देखें:

कृपया ध्यान दें कि संख्या 0.5 समीकरणों में एकमात्र संभावित संख्या नहीं है!) मेरे लिए इसे जड़ों और अंशों की तुलना में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

हम सामान्य सिद्धांत के अनुसार काम करते हैं। एक वृत्त बनाएं, चिह्न (साइन अक्ष पर, निश्चित रूप से!) 0.5। हम इस ज्या के संगत सभी कोण एक साथ खींचते हैं। आइए निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

पहले कोण से निपटना एक्स पहली तिमाही में। हम ज्या की तालिका को याद करते हैं और इस कोण का मान निर्धारित करते हैं। यह एक साधारण बात है:

एक्स = / 6

हम पूरे मोड़ को याद करते हैं और स्पष्ट विवेक के साथ उत्तरों की पहली श्रृंखला लिखते हैं:

एक्स 1 = / 6 + 2π एन, एन ∈ जेड

आधा हो गया। लेकिन अब हमें परिभाषित करने की जरूरत है दूसरा कोना...यह कोसाइन की तुलना में अधिक चालाक है, हाँ ... लेकिन तर्क हमें बचाएगा! दूसरा कोण कैसे निर्धारित करें एक्स के माध्यम से? हाँ आसान! चित्र में त्रिभुज समान हैं, और लाल कोने एक्स कोण के बराबर एक्स ... केवल इसे कोण π से ऋणात्मक दिशा में मापा जाता है। इसलिए, यह लाल है।) और उत्तर के लिए हमें सकारात्मक OX अर्ध-अक्ष से सही ढंग से मापा गया कोण चाहिए, अर्थात। 0 डिग्री के कोण से।

चित्र पर कर्सर होवर करें और सब कुछ देखें। मैंने पहले कोने को हटा दिया ताकि तस्वीर को जटिल न किया जाए। जिस कोण में हम रुचि रखते हैं (हरे रंग में खींचा गया) इसके बराबर होगा:

- एक्स

एक्स हम इसे जानते हैं / 6 ... इसलिए, दूसरा कोण होगा:

- / 6 = 5π / 6

हम फिर से पूर्ण क्रांतियों के जोड़ को याद करते हैं और प्रतिक्रियाओं की दूसरी श्रृंखला लिखते हैं:

एक्स 2 = 5π / 6 + 2π एन, एन जेड

बस इतना ही। पूर्ण उत्तर में जड़ों की दो श्रृंखलाएँ होती हैं:

एक्स 1 = / 6 + 2π एन, एन ∈ जेड

एक्स 2 = 5π / 6 + 2π एन, एन जेड

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समान सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट वाले समीकरणों को आसानी से हल किया जा सकता है। यदि, निश्चित रूप से, आप जानते हैं कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटंगेंट कैसे खींचना है।

ऊपर के उदाहरणों में, मैंने तालिका साइन और कोसाइन मान का उपयोग किया: 0.5। वे। उन अर्थों में से एक जो छात्र जानता है जरूर।आइए अब अपनी क्षमताओं का विस्तार करें अन्य सभी मूल्य।तय करो, तो फैसला करो!)

तो, मान लीजिए कि हमें इस त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

लघु तालिकाओं में ऐसा कोई कोसाइन मान नहीं है। हम ठंडे खून में इस भयानक तथ्य की उपेक्षा करते हैं। एक वृत्त खींचिए, कोज्या अक्ष पर 2/3 अंकित कीजिए और संगत कोण बनाइए। हमें ऐसी ही एक तस्वीर मिलती है।

आइए इसका पता लगाते हैं, शुरुआत के लिए, पहली तिमाही में एक कोण के साथ। अगर मुझे पता होता कि X क्या है, तो वे तुरंत ही उत्तर लिख देते! हम नहीं जानते ... असफलता !? शांत! मुसीबत में गणित अपनों का साथ नहीं छोड़ता! वह इस मामले के लिए आर्ककोसाइन के साथ आई थी। मालूम नहीं? व्यर्थ में। पता करें, यह आपके विचार से कहीं अधिक आसान है। इस लिंक के तहत, "उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों" के बारे में एक भी मुश्किल मंत्र नहीं है ... यह इस विषय में अनावश्यक है।

यदि आप जानते हैं, तो अपने आप से यह कहना पर्याप्त है: "X कोण है, जिसकी कोज्या 2/3 है"। और तुरंत, विशुद्ध रूप से आर्ककोसाइन की परिभाषा के अनुसार, आप लिख सकते हैं:

हम अतिरिक्त मोड़ों को याद करते हैं और अपने त्रिकोणमितीय समीकरण की जड़ों की पहली श्रृंखला को शांति से लिखते हैं:

x 1 = आर्ककोस 2/3 + 2π n, n Z

जड़ों की दूसरी श्रृंखला भी दूसरे कोण के लिए लगभग स्वचालित रूप से दर्ज की जाती है। सब कुछ समान है, केवल x (arccos 2/3) माइनस के साथ होगा:

x 2 = - आर्ककोस 2/3 + 2π n, n Z

और बस यही! यह सही जवाब है। तालिका मानों से भी आसान। आपको कुछ भी याद रखने की आवश्यकता नहीं है।) वैसे, सबसे चौकस यह नोटिस करेगा कि यह तस्वीर उलटा कोसाइन के माध्यम से समाधान के साथ है संक्षेप में, समीकरण cosx = 0.5 के लिए चित्र से भिन्न नहीं है।

बिल्कुल! सामान्य सिद्धांत सामान्य है! मैंने विशेष रूप से दो लगभग समान चित्र बनाए। वृत्त हमें कोण दिखाता है एक्स इसके कोसाइन द्वारा। तालिका एक कोसाइन है, या नहीं - सर्कल नहीं जानता। यह कोण क्या है, / 3, या किस प्रकार का व्युत्क्रम कोज्या - यह हम पर निर्भर है।

साइन के साथ एक ही गाना। उदाहरण के लिए:

सर्कल को फिर से बनाएं, साइन को 1/3 के बराबर चिह्नित करें, कोनों को ड्रा करें। तस्वीर इस तरह दिखती है:

और फिर से तस्वीर लगभग समीकरण के समान ही है sinx = 0.5.फिर से, पहली तिमाही में कोने से शुरू करें। x क्या है यदि इसकी ज्या 1/3 है? कोई दिक्कत नहीं है!

तो तैयार है जड़ों का पहला पैक:

x 1 = चाप 1/3 + 2π n, n Z

हम दूसरे कोने से निपटते हैं। उदाहरण में 0.5 के तालिका मान के साथ, यह था:

- एक्स

तो यहाँ यह बिल्कुल वैसा ही होगा! केवल x भिन्न है, आर्क्सिन 1/3। तो क्या!? आप जड़ों के दूसरे पैक को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

x 2 = π - चाप 1/3 + 2π n, n Z

यह बिल्कुल सही उत्तर है। हालांकि यह बहुत परिचित नहीं लगता है। लेकिन यह समझ में आता है, मुझे आशा है।)

इस प्रकार त्रिकोणमितीय समीकरणों को एक वृत्त का उपयोग करके हल किया जाता है। यह रास्ता स्पष्ट और समझने योग्य है। यह वह है जो एक निश्चित अंतराल पर जड़ों के चयन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों में बचाता है, त्रिकोणमितीय असमानताओं में - वे आम तौर पर लगभग हमेशा एक सर्कल में हल होते हैं। संक्षेप में, किसी भी कार्य में जो मानक वाले की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन होता है।

आइए अपने ज्ञान को व्यवहार में लागू करें?)

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें:

सबसे पहले यह सरल है, ठीक इसी पाठ से।

अब और मुश्किल।

संकेत: यहीं पर आपको वृत्त पर चिंतन करना है। व्यक्तिगत रूप से।)

और अब वे बाहरी रूप से स्पष्ट हैं ... उन्हें विशेष मामले भी कहा जाता है।

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

संकेत: यहां आपको एक सर्कल में यह पता लगाने की जरूरत है कि उत्तरों की दो श्रृंखलाएं हैं, और एक कहां है ... और उत्तरों की दो श्रृंखलाओं के बजाय एक को कैसे लिखना है। हाँ, ताकि अनंत संख्या का एक भी मूल नष्ट न हो!)

खैर, बहुत ही सरल वाले):

sinx = 0,3

cosx = π

टीजीएक्स = 1,2

सीटीजीएक्स = 3,7

संकेत: यहां आपको यह जानने की जरूरत है कि आर्क्साइन, आर्ककोसाइन क्या है? चाप स्पर्शरेखा, चाप कोटेंगेंट क्या है? सबसे सरल परिभाषाएँ। लेकिन आपको कोई तालिका मान याद रखने की आवश्यकता नहीं है!)

उत्तर, निश्चित रूप से, एक गड़बड़ हैं):

एक्स 1= आर्कसिन0,3 + 2π n, n Z
एक्स 2= - आर्कसिन0,3 + 2

सब कुछ नहीं चलता? होता है। पाठ फिर से पढ़ें। केवल सोच समजकर(ऐसा पुराना शब्द है ...) और लिंक का पालन करें। मुख्य लिंक सर्कल के बारे में हैं। इसके बिना, त्रिकोणमिति में, यह आंखों पर पट्टी बांधकर सड़क पार करने जैसा है। कभी-कभी यह काम करता है।)

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त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की अवधारणा।

• त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक या अधिक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में परिवर्तित करें। एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना अंततः चार बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आता है।

मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।

• मूल त्रिकोणमितीय समीकरण 4 प्रकार के होते हैं:
• पाप एक्स = ए; कॉस एक्स = ए
• टीजी एक्स = ए; सीटीजी एक्स = ए
• मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में यूनिट सर्कल पर विभिन्न एक्स स्थितियों को देखना और रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करना शामिल है।
• उदाहरण 1. पाप x = 0.866। रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = / 3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: 2π / 3। याद रखें: सभी त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, अर्थात उनके मान दोहराए जाते हैं। उदाहरण के लिए, sin x और cos x की आवर्तता 2πn है, और tg x और ctg x की आवर्तता πn है। इसलिए, उत्तर इस प्रकार लिखा गया है:
• x1 = / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn।
• उदाहरण 2.cos x = -1/2. रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) का उपयोग करके, आपको उत्तर मिलता है: x = 2π / 3। यूनिट सर्कल एक और जवाब देता है: -2π / 3।
• x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π।
• उदाहरण 3.tg (x - / 4) = 0.
• उत्तर: x = / 4 + n।
• उदाहरण 4. सीटीजी 2x = 1.732।
• उत्तर: x = / 12 + n।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए प्रयुक्त रूपांतरण।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को बदलने के लिए, बीजीय परिवर्तन (गुणन, सजातीय शब्दों की कमी, आदि) और त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग किया जाता है।
• उदाहरण 5. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, समीकरण sin x + sin 2x + sin 3x = 0 को समीकरण 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, आपको हल करने की आवश्यकता है निम्नलिखित मूल त्रिकोणमितीय समीकरण: cos x = 0; पाप (3x / 2) = 0; कॉस (x/2) = 0.

• कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण ढूँढना।

  • त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके सीखने से पहले, आपको यह सीखना होगा कि कार्यों के ज्ञात मूल्यों से कोण कैसे खोजें। यह एक रूपांतरण तालिका या कैलकुलेटर का उपयोग करके किया जा सकता है।
  • उदाहरण: कॉस x = 0.732। कैलकुलेटर उत्तर x = 42.95 डिग्री देगा। यूनिट सर्कल अतिरिक्त कोण देगा, जिसकी कोज्या भी 0.732 है।

• समाधान को यूनिट सर्कल पर एक तरफ सेट करें।

  • आप इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान को स्थगित कर सकते हैं। इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय समीकरण के समाधान एक नियमित बहुभुज के शीर्ष होते हैं।
  • उदाहरण: इकाई वृत्त पर हल x = π / 3 + πn / 2 एक वर्ग के शीर्ष हैं।
  • उदाहरण: यूनिट सर्कल पर समाधान x = π / 4 + πn / 3 एक नियमित षट्भुज के शीर्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

• त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

  • यदि किसी दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमिति फलन है, तो उस समीकरण को मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि किसी दिए गए समीकरण में दो या दो से अधिक त्रिकोणमितीय फलन शामिल हैं, तो ऐसे समीकरण को हल करने की 2 विधियाँ हैं (इसके परिवर्तन की संभावना के आधार पर)।
    • विधि 1।
  • इस समीकरण को फॉर्म के समीकरण में बदलें: f (x) * g (x) * h (x) = 0, जहां f (x), g (x), h (x) मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं।
  • उदाहरण 6.2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • समाधान। द्विकोण सूत्र का उपयोग करके sin 2x = 2 * sin x * cos x, sin 2x को प्रतिस्थापित करें।
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos x = 0 और (sin x + 1) = 0.
  • उदाहरण 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक समीकरण में रूपांतरित करें: cos 2x (2cos x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2cos x + 1) = 0.
  • उदाहरण 8.sin x - sin 3x = cos 2x। (0< x < 2π)
  • हल: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को इस रूप के समीकरण में रूपांतरित करें: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. अब दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें: cos 2x = 0 और (2sin x + 1) = 0 .
    • विधि 2।
  • दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण को केवल एक त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरण में बदलें। फिर इस त्रिकोणमितीय फलन को किसी अज्ञात से बदलें, उदाहरण के लिए, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, आदि)।
  • उदाहरण 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 .)< x < 2π).
  • समाधान। इस समीकरण में, (cos ^ 2 x) को (1 - sin ^ 2 x) (पहचान द्वारा) से बदलें। रूपांतरित समीकरण है:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x को t से बदलें। समीकरण अब इस तरह दिखता है: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. यह दो जड़ों वाला एक द्विघात समीकरण है: t1 = -1 और t2 = 9/5। दूसरा रूट t2 फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी को संतुष्ट नहीं करता है (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • उदाहरण 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
  • समाधान। tg x को t से बदलें। मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. अब t ज्ञात करें और फिर t = tg x के लिए x ज्ञात करें।

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एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या` ctg x`) के चिह्न के तहत अज्ञात वाली समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और हम उनके सूत्रों पर आगे विचार करेंगे।

सरलतम समीकरणों को `sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a` कहा जाता है, जहां `x` कोण है, `a` कोई भी संख्या है। आइए उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x = a`।

`| a |> 1` के लिए कोई समाधान नहीं है।

`| ए | . के लिए \ leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x = (- 1) ^ n arcsin a + \ pi n, n \ in Z`

2. समीकरण `cos x = a`

`| a |> 1` के लिए - जैसा कि ज्या के मामले में होता है, वास्तविक संख्याओं के बीच इसका कोई हल नहीं होता है।

`| ए | . के लिए \ leq 1` के अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x = \ pm arccos a + 2 \ pi n, n \ in Z`

रेखांकन में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x = a`

`ए` के किसी भी मान के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x = arctan a + \ pi n, n \ in Z`

4. समीकरण `ctg x = a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मूल्य के लिए अनंत समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x = arcctg a + \ pi n, n \ in Z`

एक तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण के हल में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में परिवर्तित करके उपयोग करें;
• उपरोक्त लिखित मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके परिणामी सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए हल करने के मुख्य तरीकों के उदाहरण देखें।

बीजगणितीय विधि।

इस पद्धति में, चर प्रतिस्थापन और समानता में प्रतिस्थापन किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3sin (\ frac \ pi 3 - x) + 1 = 0`

`2cos ^ 2 (x + \ frac \ pi 6) -3cos (x + \ frac \ pi 6) + 1 = 0`,

हम परिवर्तन करते हैं: `cos (x + \ frac \ pi 6) = y`, फिर` 2y ^ 2-3y + 1 = 0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1 = 1, y_2 = 1/2`, जहां से दो मामले आते हैं:

1.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1`, `x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n`,` x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`।

2.` cos (x + \ frac \ pi 6) = 1/2`, `x + \ frac \ pi 6 = \ pm arccos 1/2 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`।

उत्तर: `x_1 = - \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`,` x_2 = \ pm \ frac \ pi 3- \ frac \ pi 6 + 2 \ pi n`।

गुणनखंडन।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `sin x + cos x = 1`।

समाधान। समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x + cos x-1 = 0`। बाईं ओर का उपयोग, परिवर्तन और कारक:

`पाप x - 2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 = 0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0`,

1. `sin x/2 = 0`,` x/2 = \ pi n`, `x_1 = 2 \ pi n`।
2. `cos x/2-sin x/2 = 0`,` tg x/2 = 1`, `x/2 = arctan 1+ \ pi n`,` x/2 = \ pi / 4 + \ pi n` , `x_2 = \ pi / 2 + 2 \ pi n`।

उत्तर: `x_1 = 2 \ pi n`,` x_2 = \ pi/2 + 2 \ pi n`।

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो प्रकारों में से एक में लाना होगा:

`a sin x + b cos x = 0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या ` a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x = 0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos ^ 2 x \ ne 0` से विभाजित करें। हम `tg x`:` a tg x + b = 0` और `a tg ^ 2 x + b tg x + c = 0` के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं, जिन्हें ज्ञात विधियों द्वारा हल करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1`।

समाधान। दाएँ पक्ष को `1 = sin ^ 2 x + cos ^ 2 x` के रूप में फिर से लिखें:

`2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x =` पाप ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 पाप ^ 2 x + पाप x cos x - cos ^ 2 x -` पाप ^ 2 x - cos ^ 2 x = 0`

`पाप ^ 2 x + पाप x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0`।

यह दूसरी डिग्री का एक समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos ^ 2 x \ ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\ frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) = 0`

`टीजी ^ 2 एक्स + टीजी एक्स - 2 = 0`। हम प्रतिस्थापन `tg x = t` का परिचय देते हैं, परिणामस्वरूप,` t ^ 2 + t - 2 = 0`। इस समीकरण के मूल हैं `t_1 = -2` तथा` t_2 = 1`। फिर:

1. `tg x = -2`,` x_1 = arctg (-2) + \ pi n`, `n \ in Z`
2. `tg x = 1`,` x = arctan 1+ \ pi n`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`।

उत्तर। `x_1 = arctg (-2) + \ pi n`,` n \ in Z`, `x_2 = \ pi / 4 + \ pi n`,` n \ in Z`।

आधे कोने में जाओ

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `11 sin x - 2 cos x = 10`।

समाधान। परिणाम के रूप में दोहरा कोण सूत्र लागू करें: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` 2 cos ^ 2 x/2 + 2 sin ^ 2 x/2 =` `10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 टीजी ^ 2 एक्स/2 - 11 टीजी एक्स/2 + 6 = 0`

उपरोक्त बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2 = 2`,` x_1 = 2 आर्कटिक 2 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`,
2. `tg x/2 = 3/4`,` x_2 = आर्कटिक 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`।

उत्तर। `x_1 = 2 आर्कटन 2 + 2 \ pi n, n \ in Z`,` x_2 = arctan 3/4 + 2 \ pi n`, `n \ in Z`।

एक सहायक कोने का परिचय दें

त्रिकोणमितीय समीकरण में a sin x + b cos x = c जहां a, b, c गुणांक हैं और x एक चर है, हम दोनों पक्षों को sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) से विभाजित करते हैं:

`\ फ्रैक ए (वर्ग (ए ^ 2 + बी ^ 2)) पाप एक्स +` \ फ्रैक बी (वर्ग (ए ^ 2 + बी ^ 2)) cos x = '' \ फ्रैक सी (वर्ग (ए ^ 2) + बी ^ 2)) `.

बायीं ओर के गुणांकों में ज्या और कोज्या के गुण होते हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर होता है और उनका निरपेक्ष मान 1 से अधिक नहीं होता है। हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करते हैं: a ^ 2 + b ^ 2)) = cos \ varphi` , `\ frac b (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) = sin \ varphi`,` \ frac c (sqrt (a ^ 2 + b ^) 2)) = सी`, तब:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `3 sin x + 4 cos x = 2`।

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)` से विभाजित करें, हम प्राप्त करते हैं:

`\ फ़्रेक (3 पाप x) (वर्ग (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) + `\ फ़्रेक (4 cos x) (वर्ग (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) = '' \ फ़्रेक 2 (वर्ग) (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 पाप x + 4/5 cos x = 2/5`।

मान लीजिए `3/5 = cos \ varphi`,` 4/5 = sin \ varphi`। चूँकि `sin \ varphi> 0`,` cos \ varphi> 0`, तो हम `\ varphi = arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। तब हम अपनी समानता को रूप में लिखते हैं:

`cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = 2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्न रूप में लिखते हैं:

`पाप (x + \ varphi) = 2/5`,

`x + \ varphi = (- 1) ^ n आर्कसिन 2/5 + \ pi n`,` n \ in Z`,

`x = (- 1) ^ n आर्कसिन 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`।

उत्तर। `x = (- 1) ^ n आर्कसिन 2/5-` `arcsin 4/5 + \ pi n`,` n \ in Z`।

भिन्नात्मक-तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये अंशों और हरों में त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ अंशों के साथ समानताएं हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\ frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x`।

समाधान। बराबरी के दाहिने हिस्से को `(1 + cos x)` से गुणा और भाग दें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = '' \ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) = `\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) =` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\ frac (sin x) (1 + cos x) -` \ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

`\ frac (sin x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) = 0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें मिलता है `1 + cos x \ ne 0`,` cos x \ ne -1`, `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`।

भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin ^ 2 x = 0`,` sin x (1-sin x) = 0`। फिर `sin x = 0` या `1-sin x = 0`।

1. `sin x = 0`,` x = \ pi n`, `n \ in Z`
2. `1-sin x = 0`,` sin x = -1`, `x = \ pi/2 + 2 \ pi n, n \ in Z`।

यह ध्यान में रखते हुए कि `x \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`, समाधान हैं `x = 2 \ pi n, n \ in Z` तथा `x = \ pi/2 + 2 \ pi n` , `n \ in Z`।

उत्तर। `x = 2 \ pi n`,` n \ in Z`, `x = \ pi/2 + 2 \ pi n`,` n \ in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी, इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। अध्ययन कक्षा 10 में शुरू होता है, परीक्षा के लिए निश्चित रूप से कार्य हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद रखने की कोशिश करें - वे निश्चित रूप से काम आएंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद करने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात यह है कि सार को समझना और उन्हें निकालने में सक्षम होना। यह उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर खुद ही देख लीजिए।