표현식, 표현식 변환

거듭제곱 표현(힘이 있는 표현) 및 그 변환

이 기사에서는 거듭제곱 표현식을 변환하는 방법에 대해 설명합니다. 먼저, 괄호 확장, 유사한 용어 캐스팅과 같은 지수 표현식을 포함하여 모든 종류의 표현식으로 수행되는 변환에 초점을 맞출 것입니다. 그런 다음 기본 및 지수 작업, 도 속성 사용 등의 힘이 있는 표현에 내재된 변환을 정확하게 분석합니다.

페이지 탐색.

지수 표현은 무엇입니까?

"지수 표현"이라는 용어는 실제로 학교 수학 교과서에서 찾을 수 없지만 문제 모음, 특히 예를 들어 시험 및 시험 준비를 위한 문제 모음에서 자주 나타납니다. 지수 표현식으로 작업을 수행해야 하는 작업을 분석한 후 표현식은 레코드에 정도를 포함하는 표현식으로 이해된다는 것이 분명해집니다. 따라서 다음 정의를 스스로 받아들일 수 있습니다.

정의.

지수 표현식도를 포함하는 표현식입니다.

주자 지수 표현의 예... 또한 자연적 지표가 있는 정도에서 실제 지표가 있는 정도까지 관점의 전개가 어떻게 일어나는지에 따라 그것들을 나타낼 것이다.

아시다시피, 먼저 자연 지수가있는 숫자의 거듭 제곱에 대해 아는 사람이 있습니다.이 단계에서 유형 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 등

조금 후에 정수 지수가 있는 숫자의 거듭제곱이 연구되어 다음과 같이 음의 정수 거듭제곱이 있는 거듭제곱 표현식이 나타납니다. 3 −2, , a -2 + 2 b -3 + c 2.

고등학교에서 그들은 다시 학위로 돌아갑니다. 거기에 합리적인 지수가있는 정도가 도입되어 해당 거듭제곱 표현이 나타납니다. , , 등. 마지막으로, 비합리적인 지표가 있는 정도와 이를 포함하는 표현식이 고려됩니다.

문제는 나열된 거듭제곱 표현식에만 국한되지 않습니다. 변수는 지수에 더 깊이 침투하며, 예를 들어 이러한 표현식 2 x 2 +1 또는 ... 그리고 를 알게 된 후에는 거듭제곱과 로그가 있는 표현이 발생하기 시작합니다(예: x 2 · lgx −5 · x lgx).

그래서 우리는 지수 표현에 대한 질문을 알아 냈습니다. 다음으로 변환하는 방법을 알아보겠습니다.

거듭제곱 표현의 기본 변환 유형

지수 표현식을 사용하면 표현식의 기본 동일한 변환을 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 괄호를 확장하고, 숫자 표현식을 해당 값으로 교체하고, 유사한 용어를 제공하는 등의 작업을 수행할 수 있습니다. 당연히이 경우 조치를 수행하기 위해 허용 된 절차를 따라야합니다. 여기 몇 가지 예가 있어요.

예시.

지수식 2 3 · (4 2 −12)의 값을 계산합니다.

해결책.

작업을 수행하는 순서에 따라 먼저 괄호 안의 작업을 수행합니다. 거기에서 먼저 4 2를 값 16으로 바꾸고(필요한 경우 참조) 두 번째로 차이 16−12 = 4를 계산합니다. 우리는 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

결과 식에서 거듭제곱 2 3을 값 8로 바꾼 다음 곱 8 4 = 32를 계산합니다. 이것은 원하는 값입니다.

그래서, 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

답변:

2 3 (4 2 −12) = 32.

예시.

거듭제곱식 단순화 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

해결책.

분명히, 이 표현식에는 3 · a 4 · b −7 및 2 · a 4 · b −7과 유사한 용어가 포함되어 있으며 다음과 같이 가져올 수 있습니다.

답변:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

예시.

제품으로 힘을 가진 표현을 상상해보십시오.

해결책.

작업에 대처하기 위해 3 2의 거듭 제곱 형태로 숫자 9를 표현하고 이후에 약식 곱셈 공식을 사용하는 것은 제곱의 차이입니다.

답변:

또한 거듭제곱 표현에 고유한 여러 동일한 변환이 있습니다. 그런 다음 우리는 그것들을 분석할 것입니다.

기본 및 지수 작업

도가 있으며, 그 밑수 및/또는 지수는 숫자나 변수가 아니라 일부 표현식입니다. 예를 들어 (2 + 0.37) 5-3.7 및 (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1) 항목을 제시합니다.

이러한 식으로 작업할 때 차수를 기반으로 하는 식과 지수의 식을 해당 변수의 ODZ에서 동일하게 동일한 식으로 바꿀 수 있습니다. 즉, 우리에게 알려진 규칙에 따라 정도의 밑을 별도로 변환하고 지수를 별도로 변환 할 수 있습니다. 이 변환의 결과로 원래의 것과 동일하게 동일한 표현이 얻어질 것이 분명합니다.

이러한 변환을 통해 표현을 단순화하거나 필요한 다른 목표를 달성할 수 있습니다. 예를 들어 위의 지수식(2 + 0.3 · 7) 5-3.7에서 밑수와 지수의 숫자로 작업을 수행하면 4.1 1.3의 거듭제곱으로 이동할 수 있습니다. 그리고 괄호를 확장하고 차수 (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)의 밑에서 유사한 항을 줄인 후, 우리는 더 간단한 형태의 거듭제곱 표현을 얻습니다. a 2 (x + 1).

차수 속성 사용

거듭제곱이 있는 표현식을 변환하는 주요 도구 중 하나는 평등, 반영입니다. 주요 내용을 기억합시다. 임의의 양수 a 및 b와 임의의 실수 r 및 s에 대해 다음 거듭제곱 속성이 참입니다.

a r a s = a r + s;
a r: a s = a r - s;
(a b) r = a r b r;
(a: b) r = a r: b r;
(a r) s = ar s.

자연 지수, 정수 지수 및 양수 지수의 경우 숫자 및 b에 대한 제한이 그렇게 엄격하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 자연수 m과 n의 경우 등식 a m a n = a m + n은 양수 a뿐만 아니라 음수 및 a = 0에 대해서도 참입니다.

학교에서 권력 표현을 변형할 때의 주된 관심은 적절한 속성을 선택하고 올바르게 적용하는 능력에 정확히 초점을 맞춥니다. 이 경우 도의 기수는 일반적으로 양수이므로 도의 속성을 제한 없이 사용할 수 있습니다. 도 기준으로 변수를 포함하는 표현식의 변환에도 동일하게 적용됩니다. 변수의 허용 가능한 값 범위는 일반적으로 기준이 양수 값만 취하도록 하여 도의 속성을 자유롭게 사용할 수 있도록 합니다. 일반적으로 속성의 부정확한 사용은 ODV의 축소 및 기타 문제로 이어질 수 있기 때문에 이 경우에 어떤 정도의 속성을 적용할 수 있는지 여부를 끊임없이 자문해야 합니다. 이러한 점은 차수 속성을 사용한 표현식 변환에 대한 기사의 예제와 함께 자세히 논의됩니다. 여기에서 우리는 몇 가지 간단한 예만 고려하도록 제한할 것입니다.

예시.

a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5를 밑이 a인 거듭제곱으로 표현하는 식을 상상해 보세요.

해결책.

먼저, 거듭제곱을 거듭제곱하는 속성으로 두 번째 인수 (a 2) −3을 변환합니다. (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... 그러면 원래 지수 표현식은 a 2.5 · a -6: a -5.5 형식을 취합니다. 분명히, 동일한 기반으로 거듭제곱의 속성을 사용하는 것이 남아 있습니다.
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2.5-6: a −5.5 = a −3.5: a −5.5 =
a -3.5 - (- 5.5) = a 2.

답변:

a 2.5 (a 2) −3: a −5.5 = a 2.

거듭제곱 속성은 지수 표현식을 변환할 때 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 모두 사용됩니다.

예시.

지수 표현식의 값을 찾으십시오.

해결책.

등식(a b) r = a r b r은 오른쪽에서 왼쪽으로 적용되어 원래 표현에서 형식의 곱으로 더 나아가도록 합니다. 그리고 동일한 밑수로 도를 곱하면 지표가 합산됩니다. .

다른 방법으로 원래 표현식의 변환을 수행하는 것이 가능했습니다.

답변:

예시.

지수 표현 a 1.5 −a 0.5 −6이 주어지면 새 변수 t = a 0.5를 입력합니다.

해결책.

차수 a 1.5는 0.5 · 3으로 나타낼 수 있으며, 차수 (ar) s = a r · s의 속성에 따라 오른쪽에서 왼쪽으로 적용하여 형식 (a 0.5) 3으로 변환합니다. 따라서, a 1.5 -a 0.5 -6 = (a 0.5) 3 -a 0.5 -6... 이제 새로운 변수 t = a 0.5를 도입하는 것이 쉽습니다. 우리는 t 3 −t − 6을 얻습니다.

답변:

t 3 −t − 6.

거듭제곱을 포함하는 분수 변환하기

거듭제곱 표현식은 거듭제곱이 있는 분수를 포함하거나 그러한 분수일 수 있습니다. 모든 종류의 분수에 고유한 분수의 기본 변환은 이러한 분수에 완전히 적용할 수 있습니다. 즉, 거듭제곱을 포함하는 분수는 취소되고, 새로운 분모로 축소되고, 분자와 별도로, 분모와 별도로 작업하는 등의 작업이 가능합니다. 구어를 설명하기 위해 몇 가지 예의 해결책을 고려하십시오.

예시.

지수 표현 단순화 .

해결책.

이 지수 표현식은 분수입니다. 분자와 분모를 가지고 작업해 봅시다. 분자에서는 대괄호를 열고 거듭제곱의 속성을 사용하여 그 후에 얻은 표현을 단순화하고 분모에서는 비슷한 용어를 제공합니다.

또한 분수 앞에 빼기를 배치하여 분모의 부호를 변경합니다. .

답변:

거듭제곱을 포함하는 분수를 새 분모로 줄이는 것은 유리 분수를 새 분모로 줄이는 것과 유사하게 수행됩니다. 이 경우 추가 요소도 발견되고 분수의 분자와 분모에 이를 곱합니다. 이 작업을 수행할 때 새 분모로 축소하면 ODV가 축소될 수 있음을 기억할 가치가 있습니다. 이를 방지하려면 원래 표현식에 대한 ODZ 변수의 변수 값에 대해 추가 요소가 사라지지 않아야 합니다.

예시.

분수를 새로운 분모로 줄이십시오: a) 분모 a, b) 분모에.

해결책.

) 이 경우 원하는 결과를 얻는 데 도움이 되는 추가 요소를 파악하는 것은 매우 쉽습니다. 이것은 a 0.3의 인수입니다. a 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a이기 때문입니다. 변수 a의 허용 가능한 값 범위에서 (이것은 모든 양의 실수의 집합임) 차수 a 0.3은 사라지지 않으므로 주어진 분수의 분자와 분모에 다음을 곱할 권리가 있습니다. 이 추가 요소:

b) 분모를 더 자세히 살펴보면 다음을 찾을 수 있습니다.

이 표현식을 곱하면 큐브의 합이 나옵니다. 즉, 그리고 이것은 원래 분수를 줄여야 하는 새로운 분모입니다.

이것이 우리가 추가 요소를 찾은 방법입니다. 변수 x와 y의 유효한 값 범위에서 표현식은 사라지지 않으므로 분수의 분자와 분모에 곱할 수 있습니다.

답변:

NS) , NS) .

거듭제곱을 포함하는 분수의 약어도 새로운 것은 아닙니다. 분자와 분모는 여러 인수로 표시되고 분자와 분모의 동일한 인수는 취소됩니다.

예시.

분수를 줄이십시오: a) , NS).

해결책.

a) 첫째, 분자와 분모는 30과 45인 15로 소거될 수 있다. 또한 분명히 x 0.5 +1만큼 감소를 수행할 수 있습니다. ... 여기 우리가 가진 것이 있습니다:

b) 이 경우 분자와 분모의 동일한 요소는 즉시 볼 수 없습니다. 그것들을 얻으려면 예비 변환을 수행해야 합니다. 이 경우 제곱차에 대한 공식에 따라 분모를 인수로 인수분해하는 것으로 구성됩니다.

답변:

NS)

NS) .

분수를 새로운 분모로 줄이고 분수를 줄이는 것은 주로 분수로 작업을 수행하는 데 사용됩니다. 작업은 알려진 규칙에 따라 수행됩니다. 분수를 더할 때 (빼기) 공통 분모로 가져와 분자를 더하고 (빼기) 분모는 동일하게 유지됩니다. 결과는 분수이며 분자는 분자의 곱이고 분모는 분모의 곱입니다. 분수로 나누는 것은 분수의 역수를 곱한 것입니다.

예시.

단계를 따르십시오 .

해결책.

먼저 괄호 안의 분수를 뺍니다. 이를 위해 우리는 그것들을 공통 분모로 가져옵니다. , 그 후에 분자를 뺍니다.

이제 분수를 곱합니다.

분명히 x 1/2의 거듭 제곱으로 취소가 가능합니다. .

제곱의 차이 공식을 사용하여 분모의 지수 표현식을 단순화할 수도 있습니다. .

답변:

예시.

지수 표현 단순화 .

해결책.

분명히, 이 분수는 (x 2.7 +1) 2에 의해 취소될 수 있습니다. 이것은 분수를 제공합니다 ... x의 차수를 사용하여 다른 작업을 수행해야 하는 것은 분명합니다. 이를 위해 결과 분수를 제품으로 변환합니다. 이것은 우리에게 동일한 기준으로 학위를 나누는 속성을 사용할 수 있는 기회를 제공합니다. ... 그리고 프로세스가 끝나면 마지막 제품에서 분수로 전달합니다.

답변:

그리고 우리는 또한 지수의 부호를 변경하여 분자에서 분모로 또는 분모에서 분자로 음의 지수를 가진 승수를 전송하는 것이 가능하고 많은 경우 바람직하다고 덧붙입니다. 이러한 변환은 종종 추가 작업을 단순화합니다. 예를 들어 지수 표현식은 다음으로 대체될 수 있습니다.

근과 거듭제곱으로 표현식 변환하기

분수 지수가 있는 거듭제곱과 함께 일부 변환이 필요한 표현식에는 종종 근도 있습니다. 그러한 표현을 원하는 형태로 변형하려면 대부분의 경우 뿌리 또는 힘으로 만 가면 충분합니다. 그러나 각도로 작업하는 것이 더 편리하기 때문에 일반적으로 루트에서 각도로 이동합니다. 그러나 원래 표현식에 대한 변수의 ODZ를 통해 모듈을 참조하거나 ODV를 여러 간격으로 분할할 필요 없이 근을 거듭제곱으로 바꿀 수 있는 경우 이러한 전환을 수행하는 것이 좋습니다. 기사 뿌리에서 거듭제곱으로의 전환 비합리적인 지표가 있는 정도가 도입되어 임의의 실제 지표로 정도에 대해 이야기할 수 있습니다. 지수 함수, 정도에 의해 분석적으로 설정되며, 그 기준은 숫자이고 지표는 변수입니다. 따라서 우리는 차수의 기저에 숫자를 포함하는 지수 표현식에 직면하고 지수에 변수가 있는 표현식에 직면하게 되며 자연스럽게 이러한 표현식의 변환을 수행하는 것이 필요하게 됩니다.

이러한 유형의 표현식 변환은 일반적으로 다음을 풀 때 수행해야 합니다. 지수 방정식그리고 지수 부등식이러한 변환은 매우 간단합니다. 압도적인 다수의 경우 학위의 속성을 기반으로 하며 주로 향후 새로운 변수를 도입하는 것을 목표로 한다. 방정식으로 증명할 수 있습니다. 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x − 1 = 0.

첫째, 변수(또는 변수가 있는 표현식)와 숫자의 합이 발견되는 정도를 곱으로 대체합니다. 이것은 왼쪽 표현식의 첫 번째 및 마지막 항에 적용됩니다.
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

또한 식 7 2 x에 의한 평등의 양쪽 나누기가 수행되며 이는 원래 방정식에 대한 변수 x의 ODZ에서 양수 값만 취합니다(이는 이러한 종류의 방정식을 풀기 위한 표준 기술이며, 우리는 지금 그것에 대해 이야기하고 있지 않으므로 거듭제곱으로 표현의 후속 변환에 집중하십시오):

거듭제곱이 있는 분수는 이제 취소되어 다음을 제공합니다. .

마지막으로, 지수가 같은 차수의 비율은 관계의 차수로 대체되어 방정식으로 이어집니다. 에 해당하는 ... 수행된 변환을 통해 새로운 변수를 도입할 수 있으며, 이는 원래 지수 방정식의 해를 이차 방정식의 해로 축소합니다.

I. V. 보이코프, L. D. 로마노바시험 준비를 위한 작업 모음입니다. 1부. 펜자 2003.

수학 교사: A.N. Nashkenova 메이발릭 중학교 "합리적인 지표가있는 정도"주제에 대한 수업 개요

(대수학, 11학년)

수업 목표:

숫자의 정도에 대한 학생들의 지식을 확장하고 심화합니다. 합리적인 지표와 그 속성으로 학위의 개념을 학생들에게 익히십시오.

속성을 사용하여 표현의 가치를 계산하는 지식, 기술 및 능력을 개발합니다.

분석, 비교, 주요 사항 강조, 개념 정의 및 설명을 위한 기술 개발 작업을 계속하십시오.

의사 소통 능력, 자신의 행동을 주장하는 능력, 독립성, 근면을 육성하는 능력을 형성합니다.

장비: 교과서, 유인물 카드, 노트북,프레젠테이션 자료파워 포인트 ;

수업 유형: 새로운 지식의 연구 및 기본 통합의 교훈.

강의 계획:

1.조직 순간. - 1 분.

2. 수업의 동기.2분

3. 기초지식의 실현. - 5 분.

4. 새로운 자료를 배운다. - 15 분.

5. 운동 시간 - 1분

6. 연구 자료의 1차 통합 - 10분

7. 독립적인 작업. - 7분

8. 숙제. - 2분.

9.반성 - 1분

10. 수업 요약. - 1 분.

수업 중

1. 조직적 순간

수업에 대한 감정적 태도.

나는 일하고 싶다, 나는 원한다

일하다,
오늘의 성공을 기원합니다.
결국, 미래에는이 모든 것이 당신을위한 것입니다.

편리합니다.
그리고 앞으로 더 쉬울 것입니다.

공부하다(슬라이드 번호 1)

2. 수업 동기

네 가지 산술 연산과 같은 지수 및 근 추출 작업은 실제 필요의 결과로 나타났습니다. 따라서 정사각형의 면적을 계산하는 작업과 함께 측면NS 알려진 바와 같이, 역 문제가 발생했습니다. "정사각형의 한 변의 길이가V. 14-15세기에 은행이 서유럽에 등장하여 왕자와 상인에게 성장을 위한 자금을 제공하고 긴 여행과 높은 이자를 위한 정복 캠페인에 자금을 지원했습니다. 복리 계산을 용이하게하기 위해 테이블이 작성되었으며 이에 따라 지불해야 할 금액을 즉시 알 수있었습니다.NS 금액을 빌린 경우 년NS ~에NS % 연간. 지불 금액은 공식으로 표시됩니다.: NS = (1 + ) NS 때때로 돈은 전체 년 동안이 아니라 예를 들어 2 년 6 개월 동안 빌렸습니다. 2.5년 후 금액NS 적용하다 아쿠아 , 다음 2.5년 안에 또 다른 증가할 것입니다.NS 시간과 평등해진다아쿠아 2 ... 5년 후:a = (1 + 5 , 그러므로 NS 2 = (1 + 5 그리고 수단 NS =

(슬라이드 2) .

이것이 분수 지수의 아이디어가 나온 방법입니다.

3. 기초지식의 실현.

질문:

1. 기록은 무엇을 의미합니까?NS NS

2. 무엇인가 NS ?

3. 무엇입니까 NS ?

4. NS -NS =?

5. 공책에 전체 지수와 함께 차수의 속성을 기록하십시오.

6. 자연수, 정수, 유리수는 무엇입니까? 오일러 원을 사용하여 그립니다.(슬라이드 3)

답변: 1. 정수 지수가 있는 차수

2. NS-베이스

3. NS- 멱지수

4. NS -NS =

5. 정수 지수 속성:

NS 미디엄 * NS N = 에이 (m + n) ;

NS 미디엄 : NS N = 에이 (m-n) ( ~에 NS ~ 아니다 동일한 영 );

(NS 미디엄 ) N = 에이 (m * n) ;

(a * b) N = 에이 N * NS N ;

(a / b) N = (아 N ) / (NS N ) (에 NS 0과 같지 않음);

NS 1 = 에이;

NS 0 = 1( NS 0과 같지 않음);

이러한 속성은 모든 숫자 a, b 및 모든 정수 m 및 n에 대해 유효합니다.

6.1,2,3, ... - 양수 - 자연수 집합 -N

0, -1, -2, -3, .. 숫자 O 및 음수 - 정수 집합 -지

NS , - 소수(음수 및 양수) - 유리수 집합 -NS 지

오일러 원 (슬라이드 4)

4. 새로운 자료를 배운다.

하자. NS - 음수가 아닌 숫자이고 분수 거듭제곱으로 올려야 합니다. ... 당신은 평등을 알고 있습니다 (NS 미디엄 ) N = 에이 미디엄 N (슬라이드 4) , 즉. 지수로 지수를 올리는 규칙. 위의 평등에서 다음을 가정합니다. m = 그러면 다음을 얻습니다. (NS ) NS = 에이 = 에이 (슬라이드 4)

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.NS 뿌리 NS - 숫자의 제곱NS , 즉. NS = . 그것은 (NS NS ) = NS = 에이 (슬라이드 4).

따라서 NS = (아 ) 미디엄 = (아 미디엄 ) = 미디엄 . ( 슬라이드 4 ).

따라서 다음과 같은 평등이 성립합니다.NS = 미디엄 (슬라이드 4)

정의: 음수가 아닌 숫자의 차수 NS 합리적인 지표로 , 어디 - 수의 n번째 근의 값이라고 하는 기약 분수 NS NS .

따라서 정의에 의해 NS = 미디엄 (슬라이드 5)

예제 1을 보자 : n번째 근의 형태로 유리수 지수를 사용하여 차수를 씁니다.

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (슬라이드 6) 해결책: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( 슬라이드 7) 합리적인 지수의 거듭제곱에 대해 정수 지수의 거듭제곱 및 동일한 밑의 거듭제곱과 동일한 규칙에 따라 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 및 근 추출 작업을 수행할 수 있습니다.NS = 에이 + NS = NS - (NS ) = 에이 * (a * b) = 에이 * V ) = NS / V 여기서 n, NS - 자연, t, p - 정수. (슬라이드 8) 5.운동 분

오른쪽을 보았다

그들은 시선을 왼쪽으로 돌렸다.

천장 좀 봐

우리는 모두 앞을 내다보았다.

하나 - 구부리기 - 구부리기,

둘 ─ 구부리기 - 늘이기,

손에 세 - 세 박수,

고개를 세 번 끄덕이세요.

5, 6은 조용히 앉아 있습니다.

그리고 다시 길에서! (슬라이드 9)

6. 연구 자료의 기본 통합:

51 페이지, 90 번, 91 번 - 노트북에서 직접하십시오.

칠판에 체크와 함께

7 독립적인 작업

옵션 1

(슬라이드 10)

옵션 1

(슬라이드 11)

상호 검증을 통해 독립적인 작업을 수행합니다.

답변:

옵션 1

(슬라이드 12)

그래서 오늘 수업에서 합리적인 지표가있는 정도의 개념에 대해 알게되었고 뿌리 형태로 작성하는 방법을 배웠고 수치 표현의 값을 찾을 때도의 기본 속성을 적용했습니다.8.숙제: # 92, # 93 숙제 정보

9. 반사

(슬라이드 13)

10. 수업 요약:

전체 지표가 있는 정도와 분수 지표가 있는 정도의 유사점과 차이점은 무엇입니까? (유사성: 전체 지수가 있는 차수의 모든 속성은 합리적인 지수가 있는 차수에서도 발생합니다.

차이: 정도)

유리수 지수의 속성 나열

오늘의 수업이 끝났습니다
당신은 더 친절 찾을 수 없습니다.
그러나 모든 사람이 알아야 할 사항:
지식, 인내, 일
그들은 삶의 진보로 이어질 것입니다.
강의 감사합니다! (슬라이드 14)

비디오 수업 "합리적인 지표가있는 정도"에는이 주제에 대한 수업을 수행하기위한 시각적 교육 자료가 포함되어 있습니다. 비디오 수업에는 합리적인 지표가있는 학위 개념, 학위와 같은 속성 및 실제 문제 해결을위한 교육 자료 사용을 설명하는 예가 포함되어 있습니다. 이 비디오 수업의 과제는 교육 자료를 시각적으로 명확하게 제시하고, 학생들의 숙달 및 암기를 촉진하고, 학습된 개념을 사용하여 문제를 해결하는 능력을 형성하는 것입니다.

비디오 수업의 주요 장점은 시각적으로 변환 및 계산을 수행하는 기능, 애니메이션 효과를 사용하여 학습 효율성을 향상시키는 기능입니다. 음성 안내는 정확한 수학적 말하기를 개발하는 데 도움이 되며 교사의 설명을 대신할 수 있어 개별 작업에 자유로워집니다.

비디오 자습서는 주제를 소개하는 것으로 시작됩니다. 새로운 주제에 대한 연구를 이전에 연구한 자료와 연결하여 n은 자연 n에 대해 1/n으로 표시되고 양수 a로 표시됨을 기억하는 것이 좋습니다. n번째 루트의 이 표현이 화면에 표시됩니다. 다음으로, a는 양수이고 m/n은 일부 분수일 때 a m/n이라는 표현이 의미하는 바를 고려하는 것이 제안됩니다. 유리 지수가 m / n = n √a m인 차수의 정의가 제공됩니다. n은 자연수, m은 정수일 수 있습니다.

합리적인 지수로 정도를 결정한 후, 그 의미는 예를 통해 드러납니다: (5/100) 3/7 = 7 √ (5/100) 3. 또한 소수 거듭제곱을 분수로 변환하여 근으로 표현하는 예도 보여줍니다. (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √ (1/7) 17 및 a가 있는 예 음의 지수: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

차수의 밑이 0일 때의 특수한 경우의 특이성은 별도로 표시된다. 이 정도는 양의 분수 지수에서만 의미가 있습니다. 이 경우 값은 0입니다: 0 m / n = 0.

유리 지수가 있는 차수의 또 다른 특징은 분수 지수가 있는 차수를 분수 지수로 고려할 수 없다는 점입니다. 학위의 잘못된 쓰기의 예는 다음과 같습니다: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

또한 비디오 수업에서 합리적인 지표가있는 정도의 속성이 고려됩니다. 정수 지수가 있는 차수의 속성은 유리 지수가 있는 차수에도 유효합니다. 이 경우에도 유효한 속성 목록을 불러오는 것이 좋습니다.

도를 동일한 밑수로 곱할 때 지수는 합산됩니다. a p a q = a p + q.
동일한 밑수를 가진 차수의 나눗셈은 주어진 밑수와 지수의 차이로 차수로 축소됩니다. a p: a q = a p-q.
정도를 어느 정도 올리면 결국 주어진 밑수와 지표의 곱으로 정도를 얻습니다. (a p) q = a pq.

이 모든 속성은 유리 지수 p, q 및 양수 밑이 a> 0인 차수에 대해 유효합니다. 차수 변환은 괄호를 확장할 때도 유효합니다.

(ab) p = p b p - 두 숫자의 곱의 합리적인 지수를 사용하여 특정 거듭제곱으로 올리는 것은 숫자의 곱으로 줄어들며, 각 숫자는 주어진 거듭제곱으로 올라갑니다.
(a / b) p = a p / b p - 분수의 합리적인 지수로 거듭 제곱하면 분수로 줄어들고 분자와 분모는이 거듭 제곱으로 올라갑니다.

비디오 강의에서는 합리적인 지수와 함께 고려된 차수의 속성을 사용하는 예제의 솔루션에 대해 설명합니다. 첫 번째 예에서는 변수 x를 포함하는 표현식의 값을 분수 거듭제곱으로 찾는 것을 제안합니다: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). 표현식의 복잡성에도 불구하고 차수 속성을 사용하면 아주 간단하게 해결할 수 있습니다. 문제에 대한 해결책은 합리적인 지수로 거듭제곱을 거듭제곱하고 같은 밑을 가진 거듭제곱을 곱하는 규칙을 사용하는 식의 단순화로 시작됩니다. 주어진 값 x = 8을 단순화된 표현 x 1/3 +48에 대입하면 값 - 50을 얻기 쉽습니다.

두 번째 예에서는 분자와 분모가 유리 지수의 거듭제곱을 포함하는 분수를 취소하려고 합니다. 차수의 속성을 사용하여 인수 x 1/3의 차이를 선택하고 분자와 분모에서 상쇄하고 제곱 차이 공식을 사용하여 분자를 인수로 분해하여 더 많은 정보를 제공합니다. 분자와 분모에서 동일한 인수의 감소. 이러한 변환의 결과는 짧은 분수 x 1/4 +3입니다.

수업의 새로운 주제를 설명하는 교사 대신 비디오 수업 "합리적인 지표가있는 정도"를 사용할 수 있습니다. 또한 이 매뉴얼에는 학생이 스스로 학습할 수 있는 충분한 정보가 포함되어 있습니다. 이 자료는 원격 학습에도 유용할 수 있습니다.

30과(대수학과 분석의 시작, 11학년)

수업 주제: 합리적인 등급.

수업 목표: 1 ... 학위 개념을 확장하고 합리적인 지표로 학위 개념을 부여하십시오. 합리적인 지수로 학위를 루트로 또는 그 반대로 번역하는 방법을 가르치십시오. 합리적인 지수로 거듭제곱을 계산합니다.

2. 기억력, 사고력 발달.

3. 활동의 형성.

“누군가가 긋기를 시도하게하십시오.

수학 학위에서 그는 볼 것입니다

그들 없이는 멀리 갈 수 없다는 것을" MV 로모노소프

수업 중.

I. 수업의 주제와 목적에 대한 커뮤니케이션.

Ⅱ. 통과된 자료의 반복 및 통합.

1. 해결되지 않은 가정 사례 분석.

2. 독립적인 작업 통제:

옵션 1.

1. 방정식 풀기: √ (2x - 1) = 3x - 12

2. 부등식 풀기: √ (3x - 2) ≥ 4 - x

옵션 2.

1. 방정식 풀기: 3 - 2x = √ (7x + 32)

2. 부등식 풀기: √ (3x + 1) ≥ x - 1

III. 새로운 자료를 학습합니다.

1 ... 숫자 개념의 확장을 상기하십시오: N є Z є Q є R.

이것은 아래 다이어그램의 형태로 가장 잘 표현됩니다.

내츄럴(N)

영

음수가 아닌 숫자

음수

분수

정수(Z)

비합리적인

합리적(Q)

실수

2. 저학년에서는 정수 지수가 있는 숫자의 차수 개념이 정의되었습니다. a) 차수의 정의를 기억하십시오. a) 자연수, b) 음의 정수, c) 지수 0.표현임을 강조 N 모든 정수 n과 a의 모든 값(a = 0 및 n≤0 제외)에 대해 의미가 있습니다.

b) 정수 지수로 도의 속성을 나열하십시오.

삼. 구두 작업.

1). 계산: 1-5; 4-3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2). 음수 지수로 기록하십시오.

1/4 5, 1/21 3, 1 / x 7; 1 / 9.

3) .단위와 비교: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 ... 이제 표현 3의 의미를 이해해야 합니다. 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 등. 이를 위해서는 나열된 학위의 속성이 모두 충족되는 방식으로 학위의 개념을 일반화할 필요가 있습니다. 평등을 고려하십시오(a m / n) n = m ... 그런 다음 n 번째 루트의 정의에 의해 다음과 같이 가정하는 것이 합리적입니다. m / n 숫자 a의 n번째 루트가 됩니다.미디엄 ... 합리적인 지표가있는 정도의 정의가 제공됩니다.

5. 교과서의 예 1과 2를 고려하십시오.

6. 차수의 개념과 관련하여 합리적인 지수를 갖는 여러 가지 논평을 해보자.

비고 1 : 임의의 a> 0 및 유리수 r에 대해 숫자 a r> 0

비고 2 : 분수의 기본 속성에 의해 유리수 m/n은 임의의 자연수 k에 대해 mk/nk로 쓸 수 있습니다. 그 다음에차수의 값은 유리수를 쓰는 형식에 의존하지 않으며, mk / nk = = nk √a mk = n √a m = a m / n이기 때문에

노트 3: 를 위해 이것을 예를 들어 설명해보자. 고려(-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. 반면에: 1/3 = 2/6 그리고 (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. 우리는 모순을 얻습니다.

a (m / n) 형식의 표현, 여기서 n은 일부 자연수, m은 일부 정수, 차수 a의 밑은 0보다 큽니다. 분수 지수가 있는 차수라고 합니다.또한 다음 등식은 참입니다. n√ (am) = a (m / n).

우리가 이미 알고 있듯이 n은 일부 자연수이고 m은 일부 정수인 m / n 형식의 숫자를 분수 또는 유리수라고 합니다. 위로부터 우리는 차수가 합리적인 지수와 차수의 양의 기저에 대해 정의된다는 것을 얻습니다.

임의의 유리수 p, q 및 임의의 a> 0 및 b> 0에 대해 다음 등식이 성립합니다.

1. (피) * (에이 q) = 에이 (피 + q)
2. (a p) :( b q) = a (p-q)
3. (피) q = 에이 (p * q)
4. (a * b) p = (ap) * (b p)
5. (a / b) p = (ap) / (b p)

이러한 속성은 거듭제곱을 포함하는 다양한 표현식을 분수 지수로 변환할 때 널리 사용됩니다.

분수 지수가 있는 거듭제곱을 포함하는 표현식의 변환 예

이러한 속성을 사용하여 표현식을 변환하는 방법을 보여주는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

1. 7(1/4) * 7(3/4)을 계산합니다.

7(1/4) * 7(3/4) = z(1/4 + 3/4) = 7.

2. 9(2/3): 9(1/6)를 계산합니다.

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. (16(1/3))(9/4)를 계산합니다.

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24(2/3)를 계산합니다.

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. (8/27) (1/3)을 계산합니다.

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. 식 ((a (4/3)) * b + a * b (4/3)) / (3√a + 3√b)

((a (4/3)) * b + a * b (4/3)) / (3√a + 3√b) = (a * b * (a (1/3) + b (1/3) ))) / (1/3) + b (1/3)) = a * b.

7. (25(1/5)) * (125(1/5))를 계산합니다.

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. 표현을 단순화

(a (1/3) - a (7/3)) / (a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)) / ( a (2/3) + a (-1/3)).
(a (1/3) - a (7/3)) / (a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)) / ( a (2/3) + a (-1/3)) =
= ((a (1/3)) * (1-a 2)) / (((a (1/3)) * (1-a)) - ((a (-1/3)) * (1- a 2)) / ((a (-1/3)) * (1 + a)) =
= 1 + a - (1-a) = 2 * a.

보시다시피, 이러한 속성을 사용하면 분수 지수가 있는 거듭제곱이 포함된 일부 표현식을 크게 단순화할 수 있습니다.