भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका रूपांतरण

इस लेख में, हम शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें घातीय अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक का विस्तार करना, समान शब्दों को कास्ट करना। और फिर हम शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना, आदि।

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घातीय अभिव्यक्ति क्या हैं?

शब्द "घातीय अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से स्कूली गणित की पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर समस्याओं के संग्रह में दिखाई देता है, विशेष रूप से परीक्षा और परीक्षा की तैयारी के लिए, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें आपको घातीय अभिव्यक्तियों के साथ कोई क्रिया करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि अभिव्यक्तियों को उनके रिकॉर्ड में डिग्री वाले भाव के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा को स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा।

घातीय अभिव्यक्तिडिग्री वाले भाव हैं।

आइए हम देते हैं घातीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण... इसके अलावा, हम उनका प्रतिनिधित्व इस आधार पर करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री पर विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति से परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,) की पहली सरलतम शक्ति अभिव्यक्ति होती है। 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3, आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , ए -2 + 2 बी -3 + सी 2।

हाई स्कूल में, वे फिर से डिग्री पर लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति पर जोर देती है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय संकेतकों और उनसे युक्त भावों वाली डिग्री पर विचार किया जाता है:,।

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: चर आगे घातांक में प्रवेश करता है, और, उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या ... और परिचित होने के बाद, शक्तियों और लघुगणक के साथ अभिव्यक्ति होने लगती है, उदाहरण के लिए, x 2 · lgx −5 · x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि घातीय व्यंजक क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मूल प्रकार के परिवर्तन

घातीय अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल समान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक का विस्तार कर सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मूल्यों से बदल सकते हैं, समान शब्द प्रदान कर सकते हैं, आदि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक 2 3 · (4 2 -12) के मान का मूल्यांकन करें।

समाधान।

क्रियाओं को करने के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम डिग्री 4 2 को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर 16−12 = 4 की गणना करते हैं। हमारे पास है 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4.

परिणामी अभिव्यक्ति में, घात 2 3 को उसके मान 8 से बदलें, जिसके बाद हम गुणनफल 8 4 = 32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

उत्तर:

2 3 (4 2 -12) = 32.

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 ए 4 बी −7 −1 + 2 ए 4 बी −7.

समाधान।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b −7 और 2 · a 4 · b −7 हैं, और हम उन्हें ला सकते हैं:।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति की कल्पना करें।

समाधान।

कार्य से निपटने के लिए, 3 2 की शक्ति के रूप में संख्या 9 का प्रतिनिधित्व और संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का बाद में उपयोग वर्गों का अंतर है:

उत्तर:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। फिर हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनका आधार और/या घातांक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ व्यंजक होते हैं। एक उदाहरण के रूप में, हम प्रविष्टियाँ (2 + 0.37) 5-3.7 और (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1) प्रस्तुत करते हैं।

ऐसे व्यंजकों के साथ कार्य करते समय, आप घात के आधार पर व्यंजक और घातांक में व्यंजक दोनों को उसके चरों के ODZ पर समान रूप से समान व्यंजक से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हम ज्ञात नियमों के अनुसार, डिग्री के आधार को अलग से बदल सकते हैं, और अलग से - प्रतिपादक। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाएगी जो मूल रूप से समान रूप से समान है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त घातांक अभिव्यक्ति (2 + 0.3 · 7) 5-3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ क्रिया कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की शक्ति पर जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों का विस्तार करने और डिग्री (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) के आधार में समान पदों को कम करने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2 (x + 1) का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है।

डिग्री गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ परिवर्तित करने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानता, प्रतिबिंबित करना है। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण सत्य हैं:

• ए आर ए एस = ए आर + एस;
• ए आर: ए एस = ए आर - एस;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m a n = a m + n न केवल धनात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए और a = 0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों को बदलते समय मुख्य ध्यान एक उपयुक्त संपत्ति चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर केंद्रित होता है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको डिग्री के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है। सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीवी का संकुचन और अन्य परेशानियां हो सकती हैं। डिग्री गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के रूपांतरण पर लेख में इन बिंदुओं पर विस्तार से और उदाहरणों के साथ चर्चा की गई है। यहां हम कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रहेंगे।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 · (a 2) −3: a −5.5 की कल्पना आधार a के साथ एक घात के रूप में करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (ए 2) −3 = ए 2 (−3) = ए −6... मूल घातांकीय व्यंजक तब एक 2.5 · a −6: a −5.5 का रूप लेगा। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6: एक −5.5 = एक −3.5: एक −5.5 =
ए -3.5 - (- 5.5) = ए 2.

उत्तर:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 = ए 2.

घातांकीय भावों को परिवर्तित करते समय शक्ति गुणों का उपयोग बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में किया जाता है।

उदाहरण।

घातीय व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

समानता (ए बी) आर = ए आर बी आर, दाएं से बाएं लागू होने पर, आपको मूल अभिव्यक्ति से फॉर्म के उत्पाद तक और आगे जाने की अनुमति मिलती है। और जब समान आधारों के साथ डिग्री गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक a 1.5 −a 0.5 −6 को देखते हुए, नया चर t = a 0.5 दर्ज करें।

समाधान।

डिग्री ए 1.5 को डिग्री (ए आर) एस = ए आर · एस में डिग्री की संपत्ति के आधार पर 0.5 · 3 और आगे के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है, इसे फॉर्म (ए 0.5) 3 में बदल देता है। इस प्रकार, एक 1.5 −a 0.5 −6 = (a 0.5) 3 −a 0.5 −6... अब एक नया चर t = a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 -t - 6 मिलता है।

उत्तर:

टी 3 -टी - 6।

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्न हो सकते हैं। भिन्नों का कोई भी मूल परिवर्तन जो किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित होता है, ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, जिन अंशों में शक्तियाँ होती हैं, उन्हें रद्द किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। बोले गए शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान।

यह घातीय अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान पद देते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

उत्तर:

.

एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों की कमी उसी तरह की जाती है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में घटाना। इस स्थिति में, एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी करने से ODV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में कम करें: a) हर से a, b) भाजक को।

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि कौन सा अतिरिक्त कारक वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह 0.3 का गुणनखंड है, क्योंकि 0.7 · a 0.3 = a 0.7 + 0.3 = a. ध्यान दें कि चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा पर (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है) डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है यह अतिरिक्त कारक:

ख) हर को और करीब से देखने पर, आप पा सकते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर, घनों का योग और, अर्थात्, प्राप्त हो जाएगा। और यह नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस तरह हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के मान्य मानों की सीमा पर, व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

ए) , बी) .

घातांक वाले भिन्नों का संक्षिप्त नाम भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को कई कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान गुणनखंड रद्द कर दिए जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

समाधान।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से रद्द किया जा सकता है, जो कि 15 है। इसके अलावा, जाहिर है, कोई व्यक्ति x 0.5 +1 और by . की कमी कर सकता है ... यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्गों के अंतर के लिए सूत्र के अनुसार भाजक को कारकों में विभाजित करते हैं:

उत्तर:

ए)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों के साथ क्रियाओं को करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ने (घटाने) पर, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग करना भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करना है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम कोष्ठकों में भिन्नों को घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है , जिसके बाद हम अंश घटाते हैं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, x 1/2 की शक्ति से रद्दीकरण संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घातीय अभिव्यक्ति को भी सरल बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

घातांकीय व्यंजक को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 द्वारा रद्द किया जा सकता है, यह भिन्न देता है ... यह स्पष्ट है कि x की डिग्री के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में बदल देते हैं। यह हमें समान आधारों से अंशों को विभाजित करने के गुण का उपयोग करने का अवसर देता है: ... और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से एक अंश तक जाते हैं।

उत्तर:

.

और हम यह भी जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में ऋणात्मक घातांक वाले गुणकों को अंश से हर या हर से अंश में स्थानांतरित करना वांछनीय है, जिससे घातांक का चिह्न बदल जाता है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक घातीय अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर उन भावों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक वाली शक्तियों के साथ-साथ जड़ें भी होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक ही जाना पर्याप्त होता है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर का ODZ आपको मॉड्यूल को संदर्भित करने या ODV को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की लेख जड़ों से शक्तियों और पीठ में संक्रमण एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमाना वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में बात करना संभव बनाता है। घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके आधार पर संख्या होती है, और संकेतक में - चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करना आवश्यक हो जाता है।

यह कहा जाना चाहिए कि इस प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणतथा घातीय असमानताएंऔर ये रूपांतरण बहुत सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और मुख्य रूप से भविष्य में एक नए चर को पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। हम उन्हें समीकरण द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

सबसे पहले, जिस डिग्री में एक चर (या चर के साथ अभिव्यक्ति) और एक संख्या का योग पाया जाता है, उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x = 0.

इसके अलावा, अभिव्यक्ति 7 2 x द्वारा समानता के दोनों पक्षों का विभाजन किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम अभी इसके बारे में बात नहीं कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ भावों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

शक्तियों वाले अंश अब रद्द कर दिए गए हैं, जो देता है .

अंत में, समान घातांक के साथ डिग्री के अनुपात को संबंधों की डिग्री से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर जाता है जो के बराबर है ... प्रदर्शन किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान में कम कर देता है

आई. वी. बॉयकोव, एल. डी. रोमानोवापरीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

गणित शिक्षक: ए.एन. नैशकेनोवा मेबालिक सेकेंडरी स्कूल "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय पर पाठ की रूपरेखा

(बीजगणित, ग्रेड 11)

पाठ मकसद:

संख्या की डिग्री के बारे में छात्रों के ज्ञान का विस्तार और गहरा करें; एक तर्कसंगत संकेतक और उनके गुणों के साथ डिग्री की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करना;

गुणों का उपयोग करके भावों के मूल्यों की गणना करने के लिए ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का विकास करना;

विश्लेषण करने, तुलना करने, मुख्य बात को उजागर करने, अवधारणाओं को परिभाषित करने और समझाने के लिए कौशल विकसित करने पर काम जारी रखें;

संचार क्षमताएं, अपने कार्यों पर बहस करने की क्षमता, स्वतंत्रता, परिश्रम को बढ़ावा देना।

उपकरण: पाठ्यपुस्तक, हैंडआउट कार्ड, लैपटॉप,प्रस्तुति सामग्रीपावर प्वाइंट ;

पाठ प्रकार: नए ज्ञान के अध्ययन और प्राथमिक समेकन में एक पाठ।

पाठ योजना:

1. संगठन। पल। - 1 मिनट।

2. पाठ की प्रेरणा।दो मिनट

3. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति। - 5 मिनट।

4. नई सामग्री सीखना। - 15 मिनटों।

5. व्यायाम मिनट - 1 मिनट।

6. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन - 10 मिनट

7. स्वतंत्र कार्य। - 7 मिनट

8. गृहकार्य। - दो मिनट।

9.प्रतिबिंब - 1 मिनट।

10. पाठ सारांश। - 1 मिनट।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लिए भावनात्मक रवैया।

मैं काम करना चाहता हूं, मेरी इच्छा है

काम,
मैं आज आपको सफलता की कामना करता हूं।
आखिर भविष्य में तो ये सब आपके लिए ही है

उपयोगी होना।
और भविष्य में आपके लिए यह आसान हो जाएगा

अध्ययन(स्लाइड नंबर 1)

2. पाठ प्रेरणा

घातांक और मूल निष्कर्षण क्रियाएं, चार अंकगणितीय संक्रियाओं की तरह, व्यावहारिक आवश्यकता के परिणामस्वरूप उभरीं। तो, एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के कार्य के साथ, भुजाए जो ज्ञात है, व्युत्क्रम समस्या का सामना करना पड़ा: "एक वर्ग की भुजा कितनी लंबी होनी चाहिए ताकि उसका क्षेत्रफल होवी 14-15वीं शताब्दी में, पश्चिमी यूरोप में बैंक दिखाई दिए, जिन्होंने राजकुमारों और व्यापारियों को विकास के लिए धन दिया, लंबी यात्राओं और उच्च ब्याज के लिए विजय के अभियानों को वित्तपोषित किया। चक्रवृद्धि ब्याज की गणना की सुविधा के लिए, तालिकाएँ तैयार की गईं, जिनके अनुसार यह पता लगाना तुरंत संभव था कि किस माध्यम से कितना भुगतान किया जाना चाहिएएन एस साल अगर राशि उधार ली गई थीए परआर % वार्षिक। भुगतान की गई राशि सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है: एस = ए (1 + ) एन एस कभी-कभी पैसा पूरे वर्षों के लिए नहीं, बल्कि उदाहरण के लिए 2 साल 6 महीने के लिए उधार लिया जाता था। यदि 2.5 वर्ष बाद राशिए पर लागू अक , तो अगले 2.5 वर्षों में यह दूसरे से बढ़ जाएगाक्यू बार और बराबर हो जाता हैअक 2 ... 5 साल बाद:ए = (1 + 5 , इसलिए क्यू 2 = (1 + 5 तथा साधन क्यू =

(स्लाइड 2) .

इस प्रकार भिन्नात्मक घातांक का विचार आया।

3. बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति।

प्रशन:

1. रिकॉर्ड का क्या मतलब है;ए एन एस

2. क्या है ए ?

3. क्या है एन एस ?

4. ए -एनएस =?

5. एक नोटबुक में डिग्री के गुणों को पूरे घातांक के साथ लिखें।

6. कौन सी संख्याएँ प्राकृत, पूर्ण, परिमेय हैं? यूलर सर्कल का उपयोग करके उन्हें ड्रा करें।(स्लाइड 3)

उत्तर: 1. पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

2. ए-आधार

3. एनएस- प्रतिपादक

4. ए -एनएस =

5. पूर्णांक घातांक गुण:

ए एम * ए एन = ए (एम + एन) ;

ए एम : ए एन = ए (एम-एन) ( पर ए नहीं बराबरी का शून्य );

(ए एम ) एन = ए (एम * एन) ;

(ए * बी) एन = ए एन * बी एन ;

(ए / बी) एन = (ए एन ) / (बी एन ) (पर बी शून्य के बराबर नहीं);

ए 1 = ए;

ए 0 = 1 (के लिए ए शून्य के बराबर नहीं);

ये गुण किसी भी संख्या a, b और किसी भी पूर्णांक m और n के लिए मान्य होंगे।

6.1,2,3, ... - धनात्मक संख्याएँ - प्राकृत संख्याओं का समुच्चय -एन

0, -1, -2, -3, .. संख्या O और ऋणात्मक संख्याएँ - पूर्णांकों का एक समूह -जेड

क्यू , - भिन्नात्मक संख्याएँ (ऋणात्मक और धनात्मक) - परिमेय संख्याओं का समुच्चय -क्यू जेड

एन

यूलर सर्कल (स्लाइड 4)

4. नई सामग्री सीखना।

रहने दो। ए - गैर-ऋणात्मक संख्या और आपको इसे भिन्नात्मक शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है ... आप समानता जानते हैं (ए एम ) एन = ए एम एन (स्लाइड 4) , अर्थात। घातांक के साथ घातांक बढ़ाने का नियम। उपरोक्त समानता में, मान लीजिए किएम =, तो हम प्राप्त करते हैं: (ए ) एन एस = ए = ए (स्लाइड 4)

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं किए जड़ एन एस - संख्या की शक्तिए , अर्थात। ए = . यह इस प्रकार है कि (ए एन एस ) = एन एस = ए (स्लाइड 4)।

अत ए = (ए ) एम = (ए एम ) = एम . ( स्लाइड 4 ).

इस प्रकार, निम्नलिखित समानता रखती है:ए = एम (स्लाइड 4)

परिभाषा: एक गैर-ऋणात्मक संख्या की डिग्री ए एक तर्कसंगत संकेतक के साथ , कहां - एक अपरिवर्तनीय अंश, जिसे संख्या के n-वें मूल का मान कहा जाता है ए टी .

इसलिए, परिभाषा के अनुसार ए = एम (स्लाइड 5)

आइए उदाहरण देखें 1 : nवें मूल के रूप में परिमेय घातांक के साथ घात लिखिए:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (स्लाइड 6) समाधान: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( स्लाइड 7) एक तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों पर, आप गुणन, विभाजन, एक शक्ति को बढ़ाने और एक ही नियम के अनुसार एक जड़ निकालने की क्रियाओं को कर सकते हैं जैसे कि पूर्णांक घातांक वाली शक्तियां और समान आधार वाली शक्तियां:ए = ए + ए = ए - (ए ) = ए * (ए * बी) = ए * वी ) = ए / वी जहां एन, क्यू - प्राकृतिक, टी, पी - पूर्णांक। (स्लाइड 8) 5.व्यायाम मिनट

दाईं ओर देखा

उन्होंने अपनी नज़र बाईं ओर घुमाई

छत पर एक नजर

हम सब आगे देख रहे थे।

एक - बेंड - अनबेंड,

दो ─ झुकना - खिंचाव,

आपके हाथों में तीन - तीन ताली,

तीन सिर हिलाओ।

पांच और छह चुपचाप बैठे हैं।

और फिर से सड़क पर! (स्लाइड 9)

6. अध्ययन की गई सामग्री का प्राथमिक समेकन:

पृष्ठ 51, संख्या 90, संख्या 91 - इसे स्वयं एक नोटबुक में करें,

ब्लैकबोर्ड पर चेक के साथ

7 स्वतंत्र कार्य

विकल्प 1

(स्लाइड 10)

विकल्प 1

(स्लाइड 11)

आपसी सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य करें।

उत्तर:

विकल्प 1

(स्लाइड 12)

इसलिए, आज पाठ में हम एक परिमेय संकेतक के साथ डिग्री की अवधारणा से परिचित हुए और सीखा कि जड़ों के रूप में कैसे लिखना है, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के मूल्यों को खोजने पर डिग्री के मूल गुणों को लागू करना है।8.होमवर्क: # 92, # 93 होमवर्क की जानकारी

9. प्रतिबिंब

(स्लाइड 13)

10. पाठ सारांश:

संपूर्ण संकेतक के साथ डिग्री और भिन्नात्मक संकेतक के साथ डिग्री के बीच समानताएं और अंतर क्या हैं? (समानता: एक डिग्री के सभी गुण एक पूरे घातांक के साथ एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए भी होते हैं;

अंतर: डिग्री)

परिमेय घातांक के गुणों की सूची बनाइए

आज का पाठ समाप्त
आपको मित्रवत नहीं पाया जा सकता है।
लेकिन सभी को पता होना चाहिए:
ज्ञान, दृढ़ता, काम
वे जीवन में प्रगति की ओर ले जाएंगे।
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वीडियो पाठ "एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में इस विषय पर एक पाठ आयोजित करने के लिए दृश्य शैक्षिक सामग्री शामिल है। वीडियो पाठ में एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री की अवधारणा, गुण, ऐसी डिग्री, साथ ही व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरण शामिल हैं। इस वीडियो पाठ का कार्य शैक्षिक सामग्री को नेत्रहीन और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है, छात्रों द्वारा इसकी महारत और याद की सुविधा के लिए, सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ नेत्रहीन रूप से परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता है। आवाज मार्गदर्शन सही गणितीय भाषण विकसित करने में मदद करता है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को बदलना भी संभव बनाता है, उसे व्यक्तिगत कार्य के लिए मुक्त करता है।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। पहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ एक नए विषय के अध्ययन को जोड़ते हुए, यह याद रखना प्रस्तावित है कि n को अन्यथा प्राकृतिक n और सकारात्मक a के लिए 1 / n द्वारा निरूपित किया जाता है। nवें रूट का यह प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके बाद, यह विचार करने का प्रस्ताव है कि अभिव्यक्ति a m / n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक सकारात्मक संख्या है, और m / n कुछ अंश है। एक परिमेय घातांक वाली घात की परिभाषा a m / n = n a m दी गई है। यह नोट किया गया था कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m - एक पूर्णांक।

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3. यह एक उदाहरण भी दिखाता है जहां एक दशमलव शक्ति को मूल के रूप में दर्शाने के लिए एक अंश में परिवर्तित किया जाता है: (1/7) 1.7 = (1/7) 17/10 = 10 √ (1/7) 17 और एक उदाहरण के साथ एक ऋणात्मक घातांक: 3 -1/8 = 8 3 -1।

डिग्री का आधार शून्य होने पर विशेष मामले की ख़ासियत अलग से इंगित की जाती है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आता है। इस मामले में, इसका मान शून्य है: 0 मीटर / एन = 0।

परिमेय घातांक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्री के गलत लेखन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

आगे वीडियो पाठ में, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुण एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. समान आधारों से अंशों को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ते हैं: a p a q = a p + q.
2. एक ही आधार के साथ डिग्री का विभाजन एक दिए गए आधार और घातांक में अंतर के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है: a p: a q = a p-q।
3. अगर हम डिग्री को कुछ हद तक बढ़ाते हैं, तो अंत में हमें दिए गए आधार और संकेतकों के उत्पाद के साथ डिग्री मिलती है: (ए पी) क्यू = ए पीक्यू।

ये सभी गुण परिमेय घातांक p, q और धनात्मक आधार a> 0 वाली डिग्री के लिए मान्य हैं। कोष्ठक का विस्तार करते समय डिग्री परिवर्तन भी मान्य हैं:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - दो संख्याओं के उत्पाद के तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाना संख्याओं के उत्पाद में कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को किसी दिए गए शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
2. (ए / बी) पी = ए पी / बी पी - भिन्न के तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात को बढ़ाकर एक अंश में घटा दिया जाता है, जिसके अंश और हर को इस घात तक बढ़ा दिया जाता है।

वीडियो पाठ उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के माने गए गुणों का उपयोग करते हैं। पहले उदाहरण में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना प्रस्तावित है जिसमें भिन्नात्मक घात में चर x हैं: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1)। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, इसे डिग्री गुणों के उपयोग से काफी सरलता से हल किया जा सकता है। समस्या का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है, जो एक शक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही समान आधार के साथ शक्तियों को गुणा करता है। दिए गए मान x = 8 को सरलीकृत व्यंजक x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान - 50 प्राप्त करना आसान है।

दूसरे उदाहरण में, आप उस भिन्न को रद्द करना चाहते हैं, जिसके अंश और हर में परिमेय घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 निकालते हैं, जिसे बाद में अंश और हर में रद्द कर दिया जाता है, और वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके अंश को कारकों में विघटित किया जाता है, जो आगे देता है अंश और हर में समान गुणनखंडों की कटौती। इस तरह के परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।

पाठ के नए विषय को समझाने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। साथ ही, इस मैनुअल में एक छात्र द्वारा स्व-अध्ययन के लिए पर्याप्त रूप से पूरी जानकारी है। सामग्री दूरस्थ शिक्षा के लिए भी उपयोगी हो सकती है।

पाठ संख्या 30 (बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 11)

पाठ विषय: तर्कसंगत ग्रेड।

पाठ लक्ष्य: 1 ... डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री की अवधारणा दें; एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री का मूल में अनुवाद करना सिखाएं और इसके विपरीत; एक तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों की गणना करें।

2. स्मृति, सोच का विकास।

3. गतिविधि का गठन.

"किसी को पार करने की कोशिश करने दो

गणित की डिग्री से और वह देखेगा

कि आप उनके बिना बहुत दूर नहीं जा सकते"एम. वी. लोमोनोसोव

कक्षाओं के दौरान।

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का संचार।

द्वितीय. पारित सामग्री की पुनरावृत्ति और समेकन.

1. अनसुलझे घरेलू उदाहरणों का विश्लेषण।

2. स्वतंत्र कार्य को नियंत्रित करना:

विकल्प 1।

1. समीकरण हल करें: (2x - 1) = 3x - 12

2. असमानता को हल करें: (3x - 2) ≥ 4 - x

विकल्प 2।

1. समीकरण हल करें: 3 - 2x = √ (7x + 32)

2. असमानता को हल करें: √ (3x + 1) ≥ x - 1

III. नई सामग्री सीखना।

1 ... संख्याओं की धारणा के विस्तार को याद करें: एन जेड є क्यू є आर।

इसे नीचे दिए गए आरेख के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया गया है:

प्राकृतिक (एन)

शून्य

गैर-ऋणात्मक संख्या

नकारात्मक संख्या

भिन्नात्मक संख्या

पूर्णांक (जेड)

तर्कहीन

तर्कसंगत (क्यू)

वास्तविक संख्या

2. निचले ग्रेड में, एक पूर्णांक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री की अवधारणा को परिभाषित किया गया था। ए) डिग्री की परिभाषा याद रखें ए) एक प्राकृतिक के साथ, बी) एक नकारात्मक पूर्णांक के साथ, सी) शून्य एक्सपोनेंट के साथ।इस बात पर बल दें कि व्यंजक aएन सभी पूर्णांक n और a के किसी भी मान के लिए समझ में आता है, a = 0 और n≤0 को छोड़कर।

बी) एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के गुणों की सूची बनाएं।

3. मौखिक कार्य।

1) । गणना करें: 1 -5; 4 -3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2))। इसे एक ऋणात्मक घातांक के रूप में लिखिए:

1/4 5, 1/21 3; 1 / एक्स 7; 1/9.

3)। इकाई के साथ तुलना करें: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 ... अब आपको भावों का अर्थ समझने की आवश्यकता है 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 आदि। इसके लिए डिग्री की अवधारणा को इस तरह से सामान्य बनाना आवश्यक है कि डिग्री के सभी सूचीबद्ध गुण पूरे हों। समानता पर विचार करें (aएम / एन) एन = ए एम ... फिर, nवें मूल की परिभाषा के अनुसार, यह मान लेना उचित है कि aएम / एन संख्या का nवां मूल होगा aएम ... एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री की परिभाषा दी गई है।

5. पाठ्यपुस्तक से उदाहरण 1 और 2 पर विचार करें।

6. आइए हम एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा से संबंधित कई टिप्पणियां करें।

टिप्पणी 1 : किसी a> 0 और एक परिमेय संख्या r के लिए, संख्या aआर> 0

टिप्पणी 2 : भिन्नों के मूल गुण से परिमेय संख्या m/n को किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए mk/nk के रूप में लिखा जा सकता है। फिरडिग्री का मान परिमेय संख्या लिखने के रूप पर निर्भर नहीं करता है,चूँकि a mk / nk = = nk a mk = n a m = a m / n

नोट 3: एक के लिए आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं। विचार करें (-64) 1/3 = 3 -64 = -4। दूसरी ओर: 1/3 = 2/6 और फिर (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. हमें एक विरोधाभास मिलता है।

फॉर्म ए (एम / एन) की अभिव्यक्ति, जहां एन कुछ प्राकृतिक संख्या है, एम कुछ पूर्णांक है और डिग्री का आधार शून्य से बड़ा है, भिन्नात्मक घातांक वाली घात कहलाती है।इसके अलावा, निम्नलिखित समानता सत्य है। एन√ (ए एम) = ए (एम / एन)।

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, m/n के रूप की संख्याएँ, जहाँ n कुछ प्राकृत संख्याएँ हैं, और m कुछ पूर्णांक हैं, भिन्नात्मक या परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। ऊपर से, हम प्राप्त करते हैं कि डिग्री किसी भी तर्कसंगत घातांक और डिग्री के किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित है।

किसी भी परिमेय संख्या p, q और किसी a> 0 और b> 0 के लिए, निम्नलिखित समानताएँ हैं:

• 1. (ए पी) * (ए क्यू) = ए (पी + क्यू)
• 2. (ए पी) :( बी क्यू) = ए (पी-क्यू)
• 3. (ए पी) क्यू = ए (पी * क्यू)
• 4. (ए ​​* बी) पी = (ए पी) * (बी पी)
• 5. (ए / बी) पी = (ए पी) / (बी पी)

भिन्नात्मक घातांक के साथ घात वाले विभिन्न व्यंजकों को परिवर्तित करते समय इन गुणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

भिन्नात्मक घातांक के साथ घात वाले व्यंजकों के रूपांतरण के उदाहरण

आइए कुछ उदाहरणों को देखें जो प्रदर्शित करते हैं कि इन गुणों का उपयोग अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए कैसे किया जा सकता है।

1. गणना करें 7 (1/4) * 7 (3/4)।

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = जेड (1/4 + 3/4) = 7.

2. 9 (2/3): 9 (1/6) की गणना करें।

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. गणना करें (16 (1/3)) (9/4)।

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24 (2/3) की गणना करें।

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. गणना करें (8/27) (1/3)।

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. व्यंजक को सरल कीजिए ((a (4/3)) * b + a * b (4/3)) / (3√a + 3√b)

• ((ए (4/3)) * बी + ए * बी (4/3)) / (3√a + 3√b) = (ए * बी * (ए (1/3) + बी (1/3) ))) / (1/3) + बी (1/3)) = ए * बी।

7. गणना करें (25 (1/5)) * (125 (1/5))।

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

• (ए (1/3) - ए (7/3)) / (ए (1/3) - ए (4/3)) - (ए (-1/3) - ए (5/3)) / (ए (2/3) + ए (-1/3))।
• (ए (1/3) - ए (7/3)) / (ए (1/3) - ए (4/3)) - (ए (-1/3) - ए (5/3)) / (ए (2/3) + ए (-1/3)) =
• = ((ए (1/3)) * (1-ए 2)) / ((ए (1/3)) * (1-ए)) - ((ए (-1/3)) * (1- ए 2)) / ((ए (-1/3)) * (1 + ए)) =
• = 1 + ए - (1-ए) = 2 * ए।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इन गुणों का उपयोग करके, आप कुछ ऐसे व्यंजकों को बहुत सरल बना सकते हैं जिनमें भिन्नात्मक घातांक वाली घातें होती हैं।