निर्दिष्ट रेखाओं से घिरे आकृतियों के क्षेत्रों की गणना। एक समाकलन का प्रयोग करते हुए समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना

मान लीजिए कि समतल पर किसी बिंदु की स्थिति दो संख्याओं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है, जहाँ

.

रहने दो
गैर-ऋणात्मक, एक खंड पर निरंतर
समारोह,
.

बिंदुओं के सेट पर विचार करें

जिसे एक घुमावदार त्रिभुज के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है

एक वक्रीय त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम इस त्रिभुज को प्राथमिक वक्रीय त्रिभुजों में विभाजित करेंगे।

हम प्राथमिक वक्रीय त्रिभुजों को समकोण त्रिभुजों से प्रतिस्थापित करते हैं।

इन त्रिभुजों की ऊँचाई बराबर निर्धारित की गई है,

और आधार क्रमशः हैं।

वर्ग वां प्राथमिक त्रिभुज स्पष्ट रूप से के बराबर होगा

घुमावदार त्रिभुज क्षेत्र लगभग के बराबर होगा

. (1)

व्यंजक (1) को फलन के लिए एक अभिन्न योग माना जा सकता है
खंड पर
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें
.छोटा है

बंटवारे
.

तब वक्रीय त्रिभुज का क्षेत्रफल

जब हम व्यंजक में गुजरते हुए प्राप्त करते हैं (1) की सीमा तक

=
. (2)

तो, ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल है

उदाहरणवक्र (कार्डियोइड) से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान।आइए कार्डियोइड का एक ग्राफ बनाएं

जैसा कि आप देख सकते हैं, कार्डियोइड अक्ष के बारे में सममित रेखा है
.

पी 15. वक्र की लंबाई की गणना

वक्र चलो पैरामीट्रिक रूप से दिया गया

,
.

हम खंड विभाजित करते हैं
पर डॉट्स द्वारा भागों।

आइए हम द्वारा निरूपित करें
वक्र पर संबंधित बिंदु ... आइए इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ते हैं।

परिणामी टूटा हुआ
एक वक्र में अंकित एक टूटी हुई रेखा कहा जाता है .

प्राथमिक लिंक की लंबाई
के बराबर है

टूटी हुई लंबाई
इस मामले में यह बराबर होगा

. (1)

आइए हम द्वारा निरूपित करें
... तब वक्र की लंबाई हम प्राप्त करते हैं, अभिव्यक्ति में गुजरते हुए (1) की सीमा तक

. (2)

तो वक्र की लंबाई अभिव्यक्ति के अनुसार (2) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

. (3)

अंतरिक्ष वक्र लंबाई पैरामीट्रिक रूप से दिया गया

,
,

बराबर होगा

यदि समतल वक्र स्पष्ट रूप से दिया गया हो

,
,

तब वक्र के पैरामीट्रिक समीकरण

इस मामले में के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

,
,
.

परिणामस्वरूप, व्यंजक (3) रूप में प्राप्त होता है

उदाहरण एक पैरामीटरयुक्त वक्र की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान।दिए गए वक्र को प्लॉट करें

चूंकि वक्र निर्देशांक अक्षों के बारे में सममित है, यह खोजने के लिए पर्याप्त है .

इसलिए, वक्र की लंबाई होगी

पी 16. पहली तरह का अनुचित अभिन्न। कच्छी कसौटी। तुलना के संकेत।

लेने की कोशिश करते हुए एक छात्र को हिरासत में लिया गया

अभिन्न अनुचित। इंटीग्रल के मालिक की जांच की जा रही है।

यदि फ़ंक्शन f (x) एक अंतराल पर असीम है या एकीकरण का अंतराल अनंत है, तो रीमैन इंटीग्रल की पहले से पेश की गई परिभाषा लागू नहीं होती है। इन मामलों में, एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है और एक अनुचित अभिन्न की अवधारणा को पेश किया जा सकता है।

मान लीजिए फलन f (x) को अनंत अंतराल V x≥a पर परिभाषित किया जाता है। तब हमारे पास समाकलन द्वारा परिभाषित फलन F (x) है

(1)

एक परिवर्तनीय ऊपरी सीमा के साथ।

आइए हम (1) की सीमा को x → + के रूप में पास करें और औपचारिक रूप से निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें

एफ (एक्स) =
(2)

प्रतीक
प्रथम प्रकार का अनुचित समाकल कहलाता है। इसके अलावा, यदि सीमा (2) मौजूद है, तो अनुचित समाकलन अभिसरण कहलाता है। यदि सीमा मौजूद नहीं है या ∞ के बराबर है, तो अनुचित समाकलन को अपसारी कहते हैं।

(-∞, b] और . पर पहली तरह के अनुचित समाकलन

,

(3)

ध्यान दें कि (3) में a और b एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं।

यह भी ध्यान दें कि यदि फलन f (x) निरंतर चालू है और उस पर अपना चिह्न नहीं बदलता है (चित्र एक)।एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को S (G) नामित किया जा सकता है।

फ़ंक्शन f (x) के लिए निश्चित अभिन्न а b f (x) dx, जो अंतराल पर निरंतर और गैर-ऋणात्मक है [а; बी], और संबंधित घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र है।

अर्थात्, y = f (x), y = 0, x = a और x = b रेखाओं से घिरी आकृति G का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकल abf (x) की गणना करना आवश्यक है। डीएक्स.

इस प्रकार, एस (जी) = ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

यदि फलन y = f (x) [a] पर धनात्मक नहीं है; बी], तो एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जा सकता है एस (जी) = -ʃ ए बी एफ (एक्स) डीएक्स।

उदाहरण 1।

y = x 3 रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें; वाई = 1; एक्स = 2.

समाधान।

निर्दिष्ट रेखाएँ ABC आकृति बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 2.

वांछित क्षेत्र डीएसीई घुमावदार ट्रैपेज़ॉयड और डीएबीई वर्ग के क्षेत्रों के बीच अंतर के बराबर है।

सूत्र एस = और बी एफ (एक्स) डीएक्स = एस (बी) - एस (ए) का उपयोग करके, हम एकीकरण की सीमाएं पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई = एक्स 3,
(वाई = 1.

इस प्रकार, हमारे पास x 1 = 1 - निचली सीमा और x = 2 - ऊपरी सीमा है।

तो, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (वर्ग। इकाइयां)।

उत्तर: 11/4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2।

y = x रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें; वाई = 2; एक्स = 9.

समाधान।

दी गई रेखाएँ एक ABC आकृति बनाती हैं, जो ऊपर से फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा परिबद्ध होती है

y \ u003d √x, और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे y \ u003d 2. परिणामी आकृति को छायांकित करके दिखाया गया है चावल। 3.

अभीष्ट क्षेत्रफल S = a b (√x - 2) है। आइए हम एकीकरण की सीमाएँ ज्ञात करें: b = 9, a खोजने के लिए, हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

(वाई = x,
(वाई = 2.

इस प्रकार, हमारे पास x = 4 = a - यह निचली सीमा है।

तो, एस = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (वर्ग। इकाइयां)।

उत्तर: एस = 2 2/3 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3.

y = x 3 - 4x रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें; वाई = 0; एक्स 0.

समाधान।

आइए x 0 के लिए फंक्शन y = x 3 - 4x का एक ग्राफ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न y ' पाते हैं:

y '= 3x 2 - 4, y' = 0 x = ± 2 / √3 1.1 पर महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

यदि हम संख्यात्मक अक्ष पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चित्रित करते हैं और व्युत्पन्न के संकेतों को व्यवस्थित करते हैं, तो हम पाते हैं कि फ़ंक्शन शून्य से घटकर 2 / 3 हो जाता है और 2 / √3 से प्लस अनंत तक बढ़ जाता है। फिर x = 2 / 3 न्यूनतम बिंदु है, फ़ंक्शन का न्यूनतम मान न्यूनतम = -16 / (3√3) -3 है।

आइए निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करें:

यदि x = 0, तो y = 0, जिसका अर्थ है कि A (0; 0) ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है;

यदि y = 0, तो x 3 - 4x = 0 या x (x 2 - 4) = 0, या x (x - 2) (x + 2) = 0, जहां से x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (x 0 के बाद से उपयुक्त नहीं है)।

बिंदु A (0; 0) और B (2; 0), ऑक्स अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

निर्दिष्ट रेखाएं एक ओएबी आकार बनाती हैं, जिसे हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 4.

चूँकि फलन y = x 3 - 4x (0; 2) पर ऋणात्मक मान लेता है, तब

एस = | ʃ 0 2 (एक्स 3 - 4x) डीएक्स |।

हमारे पास है: 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, जहां से एस = 4 वर्ग। इकाइयों

उत्तर: एस = 4 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 4.

परवलय y = 2x 2 - 2x + 1, सीधी रेखा x = 0, y = 0 और भुज x 0 = 2 वाले बिंदु पर इस परवलय की स्पर्शरेखा द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले, हम बिंदु पर परवलय y = 2x 2 - 2x + 1 के स्पर्शरेखा के समीकरण को भुज x₀ = 2 के साथ बनाते हैं।

चूँकि अवकलज y '= 4x - 2, तो x 0 = 2 पर हमें k = y' (2) = 6 प्राप्त होता है।

स्पर्श बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5।

इसलिए, स्पर्शरेखा समीकरण का रूप है: y - 5 = 6 (x - 2) या y = 6x - 7।

आइए रेखाओं से घिरी एक आकृति बनाएं:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7।

जी वाई = 2x 2 - 2x + 1 - परवलय। समन्वय अक्षों के साथ चौराहे के बिंदु: ए (0; 1) - ओए अक्ष के साथ; ऑक्स अक्ष के साथ - कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, क्योंकि समीकरण 2x 2 - 2x + 1 = 0 का कोई हल नहीं है (D .)< 0). Найдем вершину параболы:

एक्स बी = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, यानी परवलय बिंदु B के शीर्ष में निर्देशांक B (1/2; 1/2) है।

तो, जिस आकृति का क्षेत्रफल आप निर्धारित करना चाहते हैं, वह हैचिंग द्वारा दिखाया गया है चावल। 5.

हमारे पास है: एस ए В डी = एस ओएबीसी - एस एडीबीसी।

शर्त से बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

6x - 7 = 0, अर्थात्। एक्स = 7/6, तो डीसी = 2 - 7/6 = 5/6।

त्रिभुज DBC का क्षेत्रफल सूत्र S ADBC = 1/2 DC BC से ज्ञात होता है। इस प्रकार,

एस एडीबीसी = 1/2 5/6 5 = 25/12 वर्ग। इकाइयों

एस ओएबीसी = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (वर्ग। इकाइयां)।

अंत में, हम प्राप्त करते हैं: एस ए В डी = एस ओएबीसी - एस एडीबीसी = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (वर्ग इकाइयां)।

उत्तर: एस = 1 1/4 वर्ग। इकाइयों

हमने उदाहरणों का विश्लेषण किया है निर्दिष्ट रेखाओं से घिरे आंकड़ों के क्षेत्रों का पता लगाना... इस तरह की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विमान पर कार्यों की रेखाएं और ग्राफ़ बनाने में सक्षम होना चाहिए, लाइनों के चौराहे के बिंदुओं को ढूंढना चाहिए, क्षेत्र को खोजने के लिए एक सूत्र लागू करना चाहिए, जिसका अर्थ है कि कुछ इंटीग्रल की गणना करने के लिए कौशल और क्षमताओं की उपस्थिति।

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इस पाठ में हम गणना करना सीखेंगे समतल आकृतियों का क्षेत्रफलजिसे कहा जाता है घुमावदार समलम्बाकार .

ऐसी आकृतियों के उदाहरण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

एक ओर, एक निश्चित समाकल का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना अत्यंत आसान है। हम एक आकृति के क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं, जो ऊपर से एक निश्चित वक्र द्वारा सीमित है, नीचे से - भुज अक्ष द्वारा ( ऑक्स), और कुछ सीधी रेखाएँ बाएँ और दाएँ। सादगी यह है कि जिस फलन को वक्र दिया जाता है उसका निश्चित समाकल इस प्रकार की आकृति का क्षेत्रफल होता है(घुमावदार ट्रेपोजॉइड)।

आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए, हमें चाहिए:

वक्र को परिभाषित करने वाले फलन का निश्चित समाकलन , जो ऊपर से घुमावदार समलम्ब को बांधता है। और यहाँ पहली महत्वपूर्ण बारीकियाँ आती हैं: एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड न केवल ऊपर से, बल्कि नीचे से भी वक्र द्वारा सीमित किया जा सकता है ... इस मामले में कैसे आगे बढ़ें? सरल, लेकिन याद रखना महत्वपूर्ण: इस मामले में अभिन्न को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है .
एकीकरण सीमा एतथा बी, जो हम उन रेखाओं के समीकरणों से पाते हैं जो आकृति को बाईं और दाईं ओर बाँधती हैं: एक्स = ए , एक्स = बी, कहां एतथा बी- संख्याएं।

अलग से, कुछ और बारीकियों के बारे में.

वक्र जो ऊपर (या नीचे) घुमावदार ट्रेपोजॉइड को बांधता है, होना चाहिए एक सतत और गैर-ऋणात्मक कार्य का ग्राफ आप = एफ(एक्स) .

X मान लाइन सेगमेंट से संबंधित होने चाहिए [ए, बी]. यही है, उदाहरण के लिए, मशरूम के कट के रूप में लाइनों को ध्यान में नहीं रखा जाता है, जिसमें पैर इस खंड में अच्छी तरह से फिट बैठता है, और टोपी बहुत व्यापक है।

पार्श्व खंड बिंदुओं में पतित हो सकते हैं ... यदि आप चित्र में ऐसी आकृति देखते हैं, तो यह आपको भ्रमित नहीं करना चाहिए, क्योंकि इस बिंदु का हमेशा x-अक्ष पर अपना मान होता है। इसका मतलब है कि सब कुछ एकीकरण की सीमा के अनुसार है।

अब आप सूत्रों और गणनाओं पर आगे बढ़ सकते हैं। तो क्षेत्र एसवक्रीय समलम्ब चतुर्भुज की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

अगर एफ(एक्स) 0 (फ़ंक्शन का ग्राफ अक्ष के नीचे स्थित है ऑक्स), फिर घुमावदार ट्रेपोजॉइड क्षेत्रसूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

ऐसे मामले भी होते हैं जब आकृति की ऊपरी और निचली दोनों सीमाएँ क्रमशः कार्य होती हैं। आप = एफ(एक्स) तथा आप = φ (एक्स) , तो ऐसी आकृति का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है

. (3)

हम एक साथ समस्याओं का समाधान करते हैं

आइए उन मामलों से शुरू करें जब सूत्र (1) का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जा सकती है।

उदाहरण 1।ऑक्स) और सीधी रेखाएं एक्स = 1 , एक्स = 3 .

समाधान। चूंकि आप = 1/एक्स> 0 खंड पर, फिर वक्रताकार समलम्ब का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है (1):

उदाहरण 2।किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़, एक सीधी रेखा से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें एक्स= 1 और भुज ( ऑक्स ).

समाधान। सूत्र लागू करने का परिणाम (1):

तो अगर एस= 1/2; तो अगर एस= 1/3, आदि।

उदाहरण 3.फ़ंक्शन के ग्राफ़, एब्सिस्सा अक्ष द्वारा परिबद्ध आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ( ऑक्स) और प्रत्यक्ष एक्स = 4 .

समाधान। समस्या की स्थिति के अनुरूप आंकड़ा एक वक्रीय समलम्बाकार है, जिसमें बायां खंड एक बिंदु में विकृत हो गया है। एकीकरण की सीमाएं 0 और 4 हैं। चूंकि, सूत्र (1) के अनुसार, हम एक वक्रीय समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

उदाहरण 4.रेखा से घिरी हुई और पहली तिमाही में स्थित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। सूत्र (1) का उपयोग करने के लिए, हम उदाहरण की शर्तों द्वारा दी गई आकृति के क्षेत्रफल को त्रिभुज के क्षेत्रफलों के योग के रूप में निरूपित करते हैं ओएबीऔर घुमावदार ट्रेपोजॉइड एबीसी... त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय ओएबीएकीकरण की सीमाएं बिंदुओं के एब्सिसास हैं हेतथा ए, और आकृति के लिए एबीसी- अंक की अनुपस्थिति एतथा सी (एरेखा का चौराहा है ओएऔर परवलय, और सी- अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु ऑक्स) एक साथ (एक प्रणाली के रूप में) एक सीधी रेखा और एक परवलय के समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं (बिंदु का भुज) ए) और (सीधी रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन के दूसरे बिंदु का भुज, जिसकी समाधान के लिए आवश्यकता नहीं है)। इसी प्रकार, हम प्राप्त करते हैं, (अंकों के भुज सीतथा डी) अब हमारे पास आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सब कुछ है। हम ढूंढे:

उदाहरण 5.एक घुमावदार समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एसीडीबीअगर वक्र का समीकरण सीडीऔर भुज एतथा बीक्रमशः 1 और 2.

समाधान। आइए हम वक्र के इस समीकरण को खेल के रूप में व्यक्त करें: घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है (1):

हम उन मामलों की ओर मुड़ते हैं जब आकृति के क्षेत्र की गणना सूत्र (2) द्वारा की जा सकती है।

उदाहरण 6.एक परवलय और भुज अक्ष से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ( ऑक्स ).

समाधान। यह आंकड़ा भुज अक्ष के नीचे स्थित है। अतः इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र (2) का प्रयोग करेंगे। एकीकरण की सीमाएं धुरी के साथ परवलय के चौराहे और बिंदु हैं ऑक्स... अत,