त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन सीधी रेखाएँ होती हैं जो उन बिंदुओं पर जुड़ती हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती हैं। रेखाओं के संयोजन के बिंदु त्रिभुज के शीर्ष होते हैं, जिन्हें लैटिन अक्षरों (उदाहरण के लिए, ए, बी, सी) द्वारा दर्शाया जाता है। सीधे त्रिभुजों को जोड़ने वाले रेखाखंड कहलाते हैं, जिन्हें आमतौर पर लैटिन अक्षरों में भी दर्शाया जाता है। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं:
- आयताकार।
- मोटे।
- तीक्ष्ण कोण वाला।
- बहुमुखी।
- समबाहु।
- समद्विबाहु।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र
लंबाई और ऊंचाई से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
एस = ए * एच / 2,
जहाँ a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है, जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, h आधार तक खींची गई ऊँचाई की लंबाई है।
हीरोन का सूत्र
एस = p * (पी-ए) * (पी-बी) * (पी-सी),
जहां is वर्गमूल, p त्रिभुज का अर्धपरिधि है, a, b, c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है। त्रिभुज के अर्ध-परिधि की गणना सूत्र p = (a + b + c) / 2 का उपयोग करके की जा सकती है।
कोण और खंड की लंबाई से त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
एस = (ए * बी * पाप (α)) / 2,
कहाँ पे बी, सी isत्रिभुज की भुजाओं की लंबाई, sin (α) दोनों भुजाओं के बीच के कोण की ज्या है।
खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या और तीन भुजाओं के अनुदिश त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
एस = पी * आर,
जहाँ p उस त्रिभुज का अर्धपरिधि है जिसका क्षेत्रफल आप ज्ञात करना चाहते हैं, r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।
तीन भुजाओं पर बने त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या का सूत्र
एस = (ए * बी * सी) / 4 * आर,
जहाँ a, b, c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है, R त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक xOy प्रणाली में निर्देशांक हैं, जहां x एक भुज है, y एक कोटि है। एक समतल पर कार्तीय निर्देशांक प्रणाली xOy को परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्ष Oх और Oy कहा जाता है, जिसका मूल बिंदु O है। यदि इस तल पर बिंदुओं के निर्देशांक A (x1, y1), B (x2, y2) के रूप में दिए गए हैं। ) और C (x3, y3), तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जो दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद से प्राप्त होता है।
एस = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) | / 2,
कहाँ || एक मॉड्यूल को दर्शाता है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री होता है। एक त्रिभुज में केवल एक ही ऐसा कोण हो सकता है।
दो पैरों में एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
एस = ए * बी / 2,
जहां ए, बी पैरों की लंबाई है। भुजाएँ समकोण से सटी भुजाएँ कहलाती हैं।
कर्ण और न्यून कोण द्वारा समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
एस = ए * बी * पाप (α) / 2,
जहाँ a, b त्रिभुज की टाँगें हैं, और sin (α) उस कोण की ज्या है जिस पर रेखाएँ a, b प्रतिच्छेद करती हैं।
पैर और विपरीत कोण द्वारा समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र
एस = ए * बी / 2 * तन (बीटा),
जहाँ a, b त्रिभुज के पैर हैं, tg (β) उस कोण की स्पर्शरेखा है जिस पर पैर a, b जुड़े हुए हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें
एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं। इन भुजाओं को भुजाएँ कहते हैं, और दूसरी भुजा आधार होती है। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आप निम्न में से किसी एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए मूल सूत्र
एस = एच * सी / 2,
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, h आधार पर गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई है।
पार्श्व भुजा और आधार के लिए समद्विबाहु त्रिभुज सूत्र
एस = (सी / 2) * (ए * ए - सी * सी / 4),
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, a समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं में से एक का आकार है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (√3 * ए * ए) / 4,
जहाँ a एक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है।
उपरोक्त सूत्र आपको त्रिभुज के वांछित क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देंगे। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको त्रिभुज के प्रकार और उपलब्ध आंकड़ों पर विचार करना होगा जिनका उपयोग गणना के लिए किया जा सकता है।
त्रिभुज सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष होते हैं। इसकी सादगी के कारण, त्रिभुज का उपयोग प्राचीन काल से विभिन्न मापों को करने के लिए किया जाता रहा है, और आज यह आंकड़ा व्यावहारिक और रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकता है।
त्रिभुज की विशेषताएं
इस आकृति का उपयोग प्राचीन काल से गणना के लिए किया जाता रहा है, उदाहरण के लिए, सर्वेक्षणकर्ता और खगोलविद त्रिभुजों के गुणों पर कार्य करके क्षेत्रफल और दूरियों की गणना करते हैं। इस आकृति के क्षेत्र के माध्यम से किसी भी एन-गॉन के क्षेत्र को व्यक्त करना आसान है, और इस संपत्ति का उपयोग प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा बहुभुज के क्षेत्रों के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए किया गया था। त्रिभुजों के साथ निरंतर कार्य, विशेष रूप से समकोण त्रिभुज के साथ, गणित की एक पूरी शाखा - त्रिकोणमिति का आधार बन गया।
त्रिभुज ज्यामिति
ज्यामितीय आकृति के गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया गया है: त्रिभुज के बारे में सबसे प्रारंभिक जानकारी 4000 साल पहले मिस्र के पपीरी में मिली थी। तब आकृति का अध्ययन किया गया था प्राचीन ग्रीसऔर त्रिभुज की ज्यामिति में सबसे बड़ा योगदान यूक्लिड, पाइथागोरस और हेरॉन द्वारा किया गया था। त्रिभुज का अध्ययन कभी नहीं रुका, और १८वीं शताब्दी में लियोनार्ड यूलर ने एक आकृति और यूलर के चक्र के ऑर्थोसेंटर की अवधारणा को पेश किया। १९वीं और २०वीं शताब्दी के मोड़ पर, जब ऐसा लगता था कि त्रिभुज के बारे में पूरी तरह से सब कुछ ज्ञात था, फ्रैंक मॉर्ले ने एक कोण के ट्राइसेक्ट्रीस पर एक प्रमेय तैयार किया, और वेक्लेव सिएरपिंस्की ने एक फ्रैक्टल त्रिकोण का प्रस्ताव रखा।
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से हमें कई प्रकार के समतल त्रिभुज परिचित हैं:
- तीव्र कोण - आकृति के सभी कोने नुकीले हैं;
- obtuse - आकृति में एक अधिक कोण (90 डिग्री से अधिक) होता है;
- आयताकार - आकृति में 90 डिग्री के बराबर एक समकोण होता है;
- समद्विबाहु - त्रिभुज जिसमें दो बराबर पक्ष;
- समबाहु - सभी समान भुजाओं वाला त्रिभुज।
- वास्तविक जीवन में, सभी प्रकार के त्रिभुज होते हैं, और कुछ मामलों में हमें एक ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल इस बात का अनुमान है कि आकार कितने समतल पर परिबद्ध है। त्रिभुज का क्षेत्रफल छह तरीकों से पाया जा सकता है, पक्षों, ऊंचाई, कोणों, खुदा या परिधि त्रिज्या के साथ संचालन, साथ ही साथ हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना या विमान को बाध्य करने वाली रेखाओं के साथ डबल इंटीग्रल की गणना करना। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे सरल सूत्र इस प्रकार है:
जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।
हालाँकि, व्यवहार में, ज्यामितीय आकृति की ऊँचाई ज्ञात करना हमारे लिए हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। हमारे कैलकुलेटर का एल्गोरिदम आपको क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है, यह जानकर:
- तीन पक्ष;
- दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;
- एक तरफ और दो कोने।
तीन भुजाओं के क्षेत्रफल का निर्धारण करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं:
एस = वर्ग (पी × (पी-ए) × (पी-बी) × (पी-सी)),
जहाँ p त्रिभुज का अर्ध परिमाप है।
दोनों पक्षों और कोने के क्षेत्र की गणना शास्त्रीय सूत्र के अनुसार की जाती है:
एस = ए × बी × पाप (अल्फा),
जहां अल्फा पक्षों ए और बी के बीच का कोण है।
एक तरफ और दो कोनों के माध्यम से क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए, हम अनुपात का उपयोग करते हैं कि:
ए / पाप (अल्फा) = बी / पाप (बीटा) = सी / पाप (गामा)
एक साधारण अनुपात का उपयोग करके, हम दूसरी भुजा की लंबाई निर्धारित करते हैं, और फिर सूत्र S = a × b × sin (alfa) का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। यह एल्गोरिथ्म पूरी तरह से स्वचालित है और आपको केवल निर्दिष्ट चर दर्ज करने और परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है। आइए एक दो उदाहरण देखें।
वास्तविक जीवन के उदाहरण
फर्श का पत्थर
मान लीजिए कि आप त्रिकोणीय टाइलों के साथ फर्श को पक्का करना चाहते हैं, और आवश्यक सामग्री की मात्रा निर्धारित करने के लिए, आपको एक टाइल के क्षेत्र और फर्श के क्षेत्र को जानना होगा। मान लीजिए कि आपको टाइलों का उपयोग करके 6 वर्ग मीटर सतह को संसाधित करने की आवश्यकता है, जिसका आयाम a = 20 सेमी, b = 21 सेमी, c = 29 सेमी है। जाहिर है, त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए, कैलकुलेटर हेरॉन के सूत्र का उपयोग करता है और परिणाम देगा:
इस प्रकार, एक टाइल तत्व का क्षेत्रफल 0.021 वर्ग मीटर होगा, और आपको फर्श सुधार के लिए 6 / 0.021 = 285 त्रिकोण की आवश्यकता होगी। 20, 21 और 29 की संख्या पाइथागोरस की तीन-संख्याएँ बनाती हैं जो संतुष्ट करती हैं। और ठीक ही तो, हमारे कैलकुलेटर ने भी त्रिभुज के सभी कोणों की गणना की, और गामा कोण बिल्कुल 90 डिग्री है।
स्कूल कार्य
एक स्कूल समस्या में, आपको एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, यह जानते हुए कि भुजा = 5 सेमी है, और घाव के अल्फा और बीटा कोण क्रमशः 30 और 50 डिग्री हैं। इस समस्या को मैन्युअल रूप से हल करने के लिए, हम पहले पहलू अनुपात और विपरीत कोणों की ज्याओं के अनुपात का उपयोग करके पक्ष b का मान ज्ञात करेंगे, और फिर सरल सूत्र S = a × b × sin (alfa) का उपयोग करके क्षेत्र का निर्धारण करेंगे। आइए समय बचाएं, कैलकुलेटर फॉर्म में डेटा दर्ज करें और तुरंत उत्तर प्राप्त करें।
कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, कोणों और भुजाओं को सही ढंग से निर्दिष्ट करना महत्वपूर्ण है, अन्यथा परिणाम गलत होगा।
निष्कर्ष
त्रिभुज एक अद्वितीय आकृति है जो वास्तविक जीवन और अमूर्त गणनाओं दोनों में पाई जा सकती है। सभी प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करें।
त्रिभुज सबसे आम ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जिससे हम पहले से ही परिचित हो जाते हैं प्राथमिक स्कूल... प्रत्येक छात्र इस प्रश्न का सामना करता है कि ज्यामिति पाठों में त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। तो, किसी दी गई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की किन विशेषताओं को प्रतिष्ठित किया जा सकता है? इस लेख में, हम ऐसे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक बुनियादी सूत्रों को देखेंगे, और त्रिभुजों के प्रकारों का विश्लेषण भी करेंगे।
त्रिभुजों के प्रकार
आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल बिल्कुल ज्ञात कर सकते हैं विभिन्न तरीकेक्योंकि ज्यामिति में तीन कोनों वाली एक से अधिक प्रकार की आकृतियों को हाइलाइट किया जाता है। इन प्रकारों में शामिल हैं:
- मोटे।
- समकोण (सही)।
- सही त्रिकोण।
- समद्विबाहु।
आइए प्रत्येक मौजूदा प्रकार के त्रिभुजों पर करीब से नज़र डालें।
यह ज्यामितीय आकार ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में सबसे आम माना जाता है। जब एक मनमाना त्रिभुज बनाना आवश्यक हो जाता है, तो यह विकल्प बचाव में आता है।
एक न्यूनकोण त्रिभुज में, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, सभी कोण न्यूनकोण हैं और 180 ° तक जोड़ते हैं।
ऐसा त्रिभुज भी बहुत सामान्य है, लेकिन यह न्यूनकोण वाले त्रिभुज की तुलना में कुछ कम पाया जाता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुजों को हल करते समय (अर्थात, आप इसकी कई भुजाओं और कोणों को जानते हैं और आपको शेष तत्वों को खोजने की आवश्यकता है), आपको कभी-कभी यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि कोण अधिक है या नहीं। कोसाइन एक ऋणात्मक संख्या है।
कोणों में से एक का मान 90 ° से अधिक है, इसलिए शेष दो कोण छोटे मान ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, 15 ° या 3 °)।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इस प्रकार के, आपको कुछ बारीकियों को जानने की जरूरत है, जिसके बारे में हम आगे बात करेंगे।
नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज
एक नियमित बहुभुज एक आकृति है जिसमें n कोने शामिल हैं, जिसमें सभी पक्ष और कोण समान हैं। यह एक नियमित त्रिभुज है। चूँकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है, इसलिए तीनों कोणों में से प्रत्येक 60° होता है।
एक समबाहु त्रिभुज अपने गुण के कारण समबाहु आकृति भी कहलाती है।
यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक नियमित त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है और इसके चारों ओर केवल एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और उनके केंद्र एक बिंदु पर स्थित होते हैं।
समबाहु प्रकार के अलावा, आप एक समद्विबाहु त्रिभुज को भी अलग कर सकते हैं, जो इससे थोड़ा अलग है। ऐसे त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं, और तीसरी भुजा (जिससे समान कोण आसन्न होते हैं) आधार होती है।
यह आंकड़ा एक समद्विबाहु त्रिभुज DEF दिखाता है, जिसके कोण D और F बराबर हैं, और DF आधार है।
सही त्रिकोण
समकोण त्रिभुज का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसका एक कोना सीधा है, यानी यह 90 ° के बराबर है। अन्य दो कोणों का योग 90° तक होता है।
ऐसे त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा, जो 90° के कोण के विपरीत स्थित है, कर्ण है, जबकि इसकी अन्य दो भुजाएँ पैर हैं। इस प्रकार के त्रिभुजों के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है:
पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है।
आकृति एक समकोण त्रिभुज बीएसी दिखाती है जिसमें कर्ण AC और पैर AB और BC हैं।
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उसके पैरों के संख्यात्मक मान जानने होंगे।
आइए इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों पर चलते हैं।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के मूल सूत्र
ज्यामिति में, दो सूत्रों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो अधिकांश प्रकार के त्रिभुजों के क्षेत्र को खोजने के लिए उपयुक्त हैं, अर्थात् तीव्र-कोण, अधिक, नियमित और समद्विबाहु त्रिभुज। आइए उनमें से प्रत्येक का विश्लेषण करें।
कंधे से कंधा मिलाकर ऊंचाई
हम जिस आकृति पर विचार कर रहे हैं उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र सार्वभौमिक है। ऐसा करने के लिए, पक्ष की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई जानना पर्याप्त है। सूत्र स्वयं (आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा) इस प्रकार है:
जहाँ A इस त्रिभुज की भुजा है और H त्रिभुज की ऊँचाई है।
उदाहरण के लिए, एक न्यूनकोण त्रिभुज ACB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, इसकी भुजा AB को ऊँचाई CD से गुणा करें और परिणामी मान को दो से भाग दें।
हालांकि, इस तरह से एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना हमेशा आसान नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिभुज के लिए इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, इसकी एक भुजा को जारी रखना आवश्यक है और उसके बाद ही इसकी ऊँचाई खींचना है।
व्यवहार में, यह सूत्र दूसरों की तुलना में अधिक बार उपयोग किया जाता है।
दो तरफ और एक कोने पर
यह सूत्र, पिछले एक की तरह, अधिकांश त्रिभुजों के लिए उपयुक्त है और इसके अर्थ में त्रिभुज की भुजा और ऊँचाई से क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का परिणाम है। यही है, माना सूत्र पिछले एक से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसकी शब्दावली इस तरह दिखती है:
एस = ½ * पापो * ए * बी,
जहाँ A और B त्रिभुज की भुजाएँ हैं और O भुजा A और B के बीच का कोण है।
याद रखें कि एक कोण की साइन को उत्कृष्ट सोवियत गणितज्ञ वी.एम. ब्रैडिस के नाम पर एक विशेष तालिका में देखा जा सकता है।
अब आइए अन्य सूत्रों पर चलते हैं जो केवल असाधारण प्रकार के त्रिभुजों के लिए उपयुक्त हैं।
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
सार्वभौमिक सूत्र के अलावा, जिसमें एक त्रिभुज में ऊँचाई खींचने की आवश्यकता शामिल है, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों द्वारा पाया जा सकता है।
तो, एक समकोण वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के गुणनफल का आधा होता है, या:
जहां ए और बी पैर हैं सही त्रिकोण.
नियमित त्रिभुज
इस प्रकार के ज्यामितीय आंकड़े इस मायने में भिन्न होते हैं कि इसका क्षेत्रफल केवल इसकी एक भुजा के संकेतित मान पर पाया जा सकता है (क्योंकि एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं)। तो, समस्या का सामना करना पड़ा "एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जब भुजाएँ समान हों", आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
एस = ए 2 * 3 / 4,
जहाँ A एक समबाहु त्रिभुज की भुजा है।
हीरोन का सूत्र
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का अंतिम विकल्प हीरोन का सूत्र है। इसका उपयोग करने के लिए, आपको आकृति के तीनों पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता है। हेरॉन का सूत्र इस तरह दिखता है:
एस = √p (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी),
जहाँ a, b और c इस त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
कभी-कभी समस्या दी जाती है: "एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल - इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।" इस मामले में, आपको एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए पहले से ज्ञात सूत्र का उपयोग करना होगा और इससे भुजा (या उसके वर्ग) का मान निकालना होगा:
ए 2 = 4 एस / √3।
परीक्षा कार्य
गणित में जीआईए की समस्याओं में कई सूत्र हैं। इसके अलावा, चेकर पेपर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है।
इस मामले में, आकृति के किसी एक पक्ष की ऊंचाई खींचना, कोशिकाओं द्वारा इसकी लंबाई निर्धारित करना और क्षेत्र खोजने के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है:
तो, लेख में प्रस्तुत सूत्रों का अध्ययन करने के बाद, आपको किसी भी प्रकार के त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में कोई समस्या नहीं होगी।
स्क्वायर अवधारणा
किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग के रूप में इस तरह की आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे, जिसकी भुजा एक के बराबर होगी। पूर्णता के लिए, आइए ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करें।
संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का मान भी समान है।
संपत्ति 2:किसी भी आकार को कई आकारों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उसके सभी घटक आंकड़ों के क्षेत्रों के मूल्यों के योग के बराबर है।
आइए एक उदाहरण देखें।
उदाहरण 1
जाहिर है, त्रिभुज की भुजाओं में से एक आयत का विकर्ण है, जिसके एक पक्ष की लंबाई $ 5 $ ($ 5 $ कोशिकाओं से) और दूसरी $ 6 $ ($ 6 $ कोशिकाओं के बाद से) है। नतीजतन, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है
उत्तर: $15$.
इसके बाद, हम त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने की कई विधियों पर विचार करेंगे, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, हीरोन के सूत्र और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करते हुए।
ऊंचाई और आधार के संदर्भ में त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें
प्रमेय 1
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस भुजा की ओर खींची गई ऊँचाई से एक भुजा की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है।
गणितीय रूप से, यह इस तरह दिखता है
$ एस = \ फ़्रेक (1) (2) αh $
जहाँ $ a $ भुजा की लंबाई है, $ h $ उसकी ओर खींची गई ऊँचाई है।
प्रमाण।
$ AC = α $ के साथ एक त्रिभुज $ ABC $ पर विचार करें। इस तरफ $BH$ की ऊंचाई खींची जाती है, जो कि $h$ के बराबर होती है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $ AXYC $ तक समाप्त करें।
आयत $ AXBH $ का क्षेत्रफल $ h \ cdot AH $ है, और आयत $ HBYC $ का क्षेत्रफल $ h \ cdot HC $ है। फिर
$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $
नतीजतन, त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल, गुण 2 से, बराबर है
$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ फ़्रेक (1) (2) αh $
प्रमेय सिद्ध होता है।
उदाहरण 2
नीचे दी गई आकृति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक . है
इस त्रिभुज का आधार $9$ है (क्योंकि $9$$9$cells है)। ऊंचाई भी $9 है। तब, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = $ 40.5
उत्तर: $ 40.5।
हीरोन का सूत्र
प्रमेय २
त्रिभुज की तीन भुजाओं $ α $, $ β $ और $ $ को देखते हुए, इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है
$ S = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $
यहाँ $ $ का अर्थ इस त्रिभुज का अर्धपरिधि है।
प्रमाण।
निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:
पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा, त्रिभुज $ ABH $ से हम प्राप्त करते हैं
पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा त्रिभुज $ CBH $ से, हमारे पास है
$ ज ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $
$ एच ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $
इन दो संबंधों से हम समानता प्राप्त करते हैं
$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $
$ x = \ फ़्रेक (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $
$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $
$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $
$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + -β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $
चूँकि $ = \ frac (α + β + γ) (2) $, तो $ α + β + = 2ρ $, इसलिए
$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $
$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $
$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $
$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $
प्रमेय 1 से, हम प्राप्त करते हैं
$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $
जैसा कि आप स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से याद कर सकते हैं, एक त्रिभुज तीन रेखा खंडों से बनी एक आकृति है जो तीन बिंदुओं से जुड़ी होती है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती हैं। त्रिभुज तीन कोनों का निर्माण करता है, इसलिए आकृति का नाम। परिभाषा अलग हो सकती है। त्रिभुज को तीन कोनों वाला बहुभुज भी कहा जा सकता है, उत्तर भी सही है। त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या और आकृतियों में कोणों से विभाजित किया जाता है। तो ऐसे त्रिभुजों को क्रमशः समद्विबाहु, समबाहु और बहुमुखी, साथ ही आयताकार, न्यून कोण और अधिक कोण के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए बहुत सारे सूत्र हैं। चुनें कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, अर्थात। कौन सा फॉर्मूला इस्तेमाल करना है, सिर्फ आप। लेकिन यह केवल कुछ अंकन पर ध्यान देने योग्य है जो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्रों में उपयोग किया जाता है। तो याद रखें:
S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं,
h त्रिभुज की ऊँचाई है,
R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है,
p एक अर्ध-परिधि है।
यहां कुछ बुनियादी संकेतन दिए गए हैं जो आपको उपयोगी लग सकते हैं यदि आप अपने ज्यामिति पाठ्यक्रम को पूरी तरह से भूल गए हैं। नीचे एक त्रिभुज के अज्ञात और रहस्यमय क्षेत्र की गणना के लिए सबसे अधिक समझने योग्य और जटिल विकल्प नहीं दिए जाएंगे। यह मुश्किल नहीं है और घर पर और अपने बच्चों की मदद करने के लिए दोनों के लिए उपयोगी होगा। आइए याद रखें कि नाशपाती के गोले जितना आसान त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें:
हमारे मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = ½ * 2.2 सेमी. * 2.5 सेमी. = 2.75 वर्ग सेमी। याद रखें कि क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर (सेमी 2) में मापा जाता है।
आयताकार त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल।
एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री के बराबर होता है (इसलिए इसे समकोण कहा जाता है)। एक समकोण दो लंबवत रेखाओं से बनता है (एक त्रिभुज की स्थिति में, दो लंबवत खंड)। एक समकोण त्रिभुज में केवल एक ही समकोण हो सकता है, क्योंकि किसी एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है। यह पता चला है कि अन्य 2 कोणों को शेष 90 डिग्री साझा करना चाहिए, उदाहरण के लिए 70 और 20, 45 और 45, आदि। तो, आपको मुख्य बात याद है, यह पता लगाना बाकी है कि समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। कल्पना कीजिए कि हमारे सामने एक ऐसा समकोण त्रिभुज है, और हमें इसका क्षेत्रफल S ज्ञात करना है।
1. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है:
हमारे मामले में, एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: S = 2.5 सेमी * 3 सेमी / 2 = 3.75 वर्ग सेमी।
सिद्धांत रूप में, त्रिभुज के क्षेत्र को अन्य तरीकों से समेटना अब आवश्यक नहीं है, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में, केवल यही काम आएगा और मदद करेगा। लेकिन न्यून कोणों से त्रिभुज के क्षेत्रफल को मापने के विकल्प भी हैं।
2. गणना के अन्य तरीकों के लिए, आपके पास कोसाइन, साइन और स्पर्शरेखा की एक तालिका होनी चाहिए। आप स्वयं निर्णय लें, समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफलों की गणना के लिए यहां कुछ विकल्प दिए गए हैं जिनका आप अभी भी उपयोग कर सकते हैं:
हमने पहले सूत्र का उपयोग करने का निर्णय लिया और छोटे धब्बों के साथ (हमने एक नोटबुक में आकर्षित किया और पुराने शासक और चांदा का उपयोग किया), लेकिन हमें सही गणना मिली:
एस = (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) = (3 * 3) / (2 * 1.2)। हमें निम्नलिखित परिणाम 3.6 = 3.7 मिले, लेकिन कोशिकाओं के बदलाव को ध्यान में रखते हुए, इस बारीकियों को हमारे लिए माफ किया जा सकता है।
समद्विबाहु त्रिभुज और उसका क्षेत्रफल।
यदि आप एक समद्विबाहु त्रिभुज के सूत्र की गणना करने के कार्य का सामना कर रहे हैं, तो सबसे आसान तरीका मुख्य एक का उपयोग करना है और, जैसा कि माना जाता है, एक त्रिभुज के क्षेत्र के लिए शास्त्रीय सूत्र।
लेकिन सबसे पहले, एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले हम यह पता लगा लेंगे कि यह किस प्रकार की आकृति है। एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। इन दो भुजाओं को पार्श्व भुजाएँ कहते हैं, तीसरी भुजा को आधार कहते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज को एक समबाहु त्रिभुज के साथ भ्रमित न करें, अर्थात। एक नियमित त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ समान हों। ऐसे त्रिभुज में, कोणों के लिए, अधिक सटीक रूप से, उनके आकार के लिए कोई विशेष प्रवृत्ति नहीं होती है। हालाँकि, एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर कोण समान होते हैं, लेकिन समान भुजाओं के बीच के कोण से भिन्न होते हैं। तो, आप पहले और मुख्य सूत्र को पहले से ही जानते हैं, यह पता लगाना बाकी है कि समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अन्य सूत्र क्या ज्ञात हैं।
