जटिल समाकलन

यह लेख अनिश्चित समाकलन के विषय को पूरा करता है, और इसमें समाकलन भी शामिल है जो मुझे काफी कठिन लगता है। पाठ उन आगंतुकों के बार-बार अनुरोध पर बनाया गया था जिन्होंने अपनी इच्छा व्यक्त की थी कि साइट पर अधिक कठिन उदाहरणों का भी विश्लेषण किया गया था।

यह माना जाता है कि इस पाठ का पाठक अच्छी तरह से तैयार है और जानता है कि एकीकरण की बुनियादी तकनीकों को कैसे लागू किया जाए। डमी और जो लोग इंटीग्रल के बारे में बहुत आश्वस्त नहीं हैं, उन्हें पहले पाठ का उल्लेख करना चाहिए - अनिश्चितकालीन अभिन्न। समाधान के उदाहरण, जहां आप शुरू से ही व्यावहारिक रूप से विषय में महारत हासिल कर सकते हैं। अधिक अनुभवी छात्र एकीकरण की तकनीकों और विधियों से परिचित हो सकते हैं जो अभी तक मेरे लेखों में सामने नहीं आई हैं।

किन अभिन्नों पर विचार किया जाएगा?

सबसे पहले, हम जड़ों के साथ समाकलन पर विचार करेंगे, जिसके समाधान के लिए हम क्रमिक रूप से उपयोग करते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापनतथा भागों द्वारा एकीकरण... अर्थात्, एक उदाहरण में, दो तकनीकों को एक साथ जोड़ा जाता है। और भी अधिक।

फिर हम एक दिलचस्प और मूल से परिचित होंगे इंटीग्रल को खुद से कम करने की विधि... इस तरह से बहुत कम इंटीग्रल हल नहीं होते हैं।

कार्यक्रम की तीसरी संख्या जटिल अंशों के समाकलन में जाएगी, जो पिछले लेखों में बॉक्स ऑफिस से आगे निकल गई थी।

चौथा, त्रिकोणमितीय फलनों के अतिरिक्त समाकलों का विश्लेषण किया जाएगा। विशेष रूप से, ऐसे तरीके हैं जो समय लेने वाली सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचते हैं।

(2) समाकलन में, हम अंश को हर पद से पद से विभाजित करते हैं।

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं। अंतिम अभिन्न में तुरंत हम फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाते हैं.

(4) शेष समाकल लें। ध्यान दें कि लघुगणक में कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है, मापांक नहीं, क्योंकि।

(5) हम प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन "ते" से व्यक्त करते हुए, रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं:

मैसोचिस्टिक छात्र उत्तर में अंतर कर सकते हैं और मूल एकीकरण प्राप्त कर सकते हैं जैसा मैंने अभी किया था। नहीं, नहीं, मैंने सही अर्थों में जाँच की =)

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान के दौरान, दो से अधिक समाधान विधियों का भी उपयोग किया जाना था, इस प्रकार, इस तरह के इंटीग्रल से निपटने के लिए, आत्मविश्वास से भरे एकीकरण कौशल की आवश्यकता होती है, न कि सबसे छोटे अनुभव की।

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वर्गमूल अधिक सामान्य है, यहाँ एक स्वतंत्र समाधान के लिए तीन उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

ये उदाहरण एक ही प्रकार के हैं, इसलिए लेख के अंत में पूरा समाधान केवल उदाहरण 2 के लिए होगा, उदाहरण 3-4 में - एक उत्तर। मुझे लगता है कि समाधान की शुरुआत में किस प्रतिस्थापन का उपयोग करना स्पष्ट है। मैंने उसी प्रकार के उदाहरण क्यों लिए? वे अक्सर अपनी भूमिका में मिलते हैं। अधिक बार, शायद, बस कुछ इस तरह .

लेकिन हमेशा नहीं, जब एक रेखीय फलन की जड़ आर्कटैंगेंट, साइन, कोसाइन, एक्सपोनेंट और अन्य कार्यों के तहत पाई जाती है, तो कई विधियों को एक साथ लागू करना पड़ता है। कई मामलों में, "आसानी से उतरना" संभव है, अर्थात, प्रतिस्थापन के तुरंत बाद, एक साधारण अभिन्न प्राप्त होता है, जिसे प्राथमिक तरीके से लिया जा सकता है। ऊपर प्रस्तावित कार्यों में सबसे आसान उदाहरण 4 है, जिसमें प्रतिस्थापित करने के बाद अपेक्षाकृत सरल समाकलन प्राप्त होता है।

स्वयं के लिए अभिन्न को कम करके

एक सरल और सुंदर तरीका। आइए तुरंत शैली के क्लासिक्स पर एक नज़र डालें:

उदाहरण 5

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

जड़ के नीचे एक वर्ग द्विपद है, और जब इस उदाहरण को एकीकृत करने का प्रयास किया जाता है, तो केतली घंटों तक पीड़ित हो सकती है। इस तरह के एक अभिन्न को टुकड़े-टुकड़े किया जाता है और अपने आप कम हो जाता है। सिद्धांत रूप में, मुश्किल नहीं है। अगर आप जानते हैं कैसे।

आइए हम एक लैटिन अक्षर द्वारा विचाराधीन समाकलन को निरूपित करें और समाधान शुरू करें:

हम टुकड़े टुकड़े को एकीकृत करते हैं:

(1) पद विभाजन के लिए एक समाकलन फलन तैयार कीजिए।

(2) हम समाकलन को पद से विभाजित करते हैं। शायद हर कोई नहीं समझता, मैं और विस्तार से लिखूंगा:

(3) हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं।

(4) अंतिम अभिन्न ("लंबा" लघुगणक) लें।

अब हम समाधान की शुरुआत को देखते हैं:

और अंत में:

क्या हुआ? हमारे जोड़तोड़ के परिणामस्वरूप, अभिन्न अपने आप में कम हो गया है!

आइए शुरुआत और अंत की बराबरी करें:

एक संकेत परिवर्तन के साथ बाईं ओर ले जाएँ:

और हम ड्यूस को दाईं ओर ले जाते हैं। नतीजतन:

निरंतर, सख्ती से बोलना, पहले जोड़ा जाना चाहिए था, लेकिन अंत में इसे जोड़ा। मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप यहां जो सख्त है उसे पढ़ें:

ध्यान दें: अधिक सख्ती से, समाधान का अंतिम चरण इस तरह दिखता है:

इस तरह:

स्थिरांक के रूप में पुन: नामित किया जा सकता है। आप फिर से नामित क्यों कर सकते हैं? क्योंकि यह अभी भी स्वीकार करता है कोईमूल्यों, और इस अर्थ में स्थिरांक और के बीच कोई अंतर नहीं है।
नतीजतन:

एक समान निरंतर पुन: पदनाम चाल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है विभेदक समीकरण... और वहां मैं सख्त रहूंगा। और यहां मुझे ऐसी स्वतंत्रता की अनुमति केवल इसलिए है कि आपको अनावश्यक चीजों से भ्रमित न करें और एकीकरण की विधि पर ध्यान केंद्रित करें।

उदाहरण 6

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और विशिष्ट अभिन्न। ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें। पिछले उदाहरण से उत्तर के साथ अंतर होगा!

यदि वर्गमूल के नीचे एक वर्ग ट्रिनोमियल है, तो किसी भी मामले में समाधान दो विश्लेषण किए गए उदाहरणों में कम हो जाता है।

उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें ... आपको बस इतना करना है कि अग्रिम में है एक पूर्ण वर्ग चुनें:
.
इसके अलावा, एक रैखिक प्रतिस्थापन किया जाता है, जिसे "बिना किसी परिणाम के" से दूर कर दिया जाता है:
, जिसके परिणामस्वरूप एक अभिन्न। कुछ परिचित, है ना?

या ऐसा उदाहरण, एक वर्ग द्विपद के साथ:
एक पूर्ण वर्ग चुनें:
और, एक रैखिक प्रतिस्थापन के बाद, हमें एक अभिन्न मिलता है, जिसे पहले से ही माना एल्गोरिथ्म के अनुसार हल किया जाता है।

अपने लिए एक अभिन्न को कम करने के दो और विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें:
- ज्या से गुणा घातांक का अभिन्न अंग;
घातांक का समाकल कोज्या से गुणा किया जाता है।

भागों द्वारा सूचीबद्ध इंटीग्रल में, हमें पहले से ही दो बार एकीकृत करना होगा:

उदाहरण 7

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

इंटीग्रैंड ज्या का घातांक समय है।

हम दो बार भागों द्वारा एकीकृत करते हैं और अपने आप में अभिन्न को कम करते हैं:

भागों द्वारा दोहरे एकीकरण के परिणामस्वरूप, अभिन्न अपने आप में कम हो गया। आइए समाधान की शुरुआत और अंत की बराबरी करें:

एक संकेत परिवर्तन के साथ बाईं ओर जाएं और हमारे अभिन्न को व्यक्त करें:

तैयार। रास्ते में, दाहिनी ओर कंघी करने की सलाह दी जाती है, अर्थात। घातांक को कोष्ठक के बाहर रखें, और कोष्ठक में साइन और कोसाइन को "सुंदर" क्रम में व्यवस्थित करें।

अब आइए उदाहरण की शुरुआत में वापस जाएं, या इसके बजाय भागों द्वारा एकीकरण पर जाएं:

क्योंकि हमने प्रदर्शक को नामित किया है। प्रश्न उठता है, वास्तव में घातांक को हमेशा किसके द्वारा निरूपित किया जाना चाहिए? आवश्यक नहीं। वास्तव में, माना अभिन्न में मूलरूप में कोई फर्क नहीं, किसके लिए निरूपित करना है, दूसरे रास्ते पर जाना संभव था:

ऐसा क्यों संभव है? क्योंकि घातांक स्वयं (विभेदन के दौरान और एकीकरण के दौरान) में बदल जाता है, साइन और कोसाइन परस्पर एक दूसरे में बदल जाते हैं (फिर से, विभेदन और एकीकरण दोनों के दौरान)।

यही है, आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। लेकिन, सुविचारित उदाहरण में, यह कम तर्कसंगत है, क्योंकि भिन्न दिखाई देंगे। आप चाहें तो इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास कर सकते हैं, उत्तर समान होने चाहिए।

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। निर्णय लेने से पहले, इस बारे में सोचें कि इस मामले में घातांक या त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के लिए नामित करने के लिए क्या अधिक लाभदायक है? ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

और निश्चित रूप से, ध्यान रखें कि इस पाठ के अधिकांश उत्तरों में अंतर करना काफी आसान है!

उदाहरणों को सबसे कठिन नहीं माना जाता था। व्यवहार में, समाकलन अधिक सामान्य होते हैं, जहां स्थिरांक घातांक और त्रिकोणमितीय फलन के तर्क दोनों में होता है, उदाहरण के लिए:। ऐसे अभिन्न में बहुत से लोगों को खो जाना होगा, और मैं खुद अक्सर भ्रमित हो जाता हूं। तथ्य यह है कि समाधान में अंशों की उपस्थिति की उच्च संभावना है, और असावधानी से कुछ खोना बहुत आसान है। इसके अलावा, संकेतों में त्रुटि की एक उच्च संभावना है, ध्यान दें कि घातांक के पास ऋण चिह्न है, और यह अतिरिक्त कठिनाई का परिचय देता है।

अंतिम चरण में, यह अक्सर निम्न जैसा कुछ निकलता है:

समाधान के अंत में भी, आपको अत्यंत सावधान रहना चाहिए और भिन्नों के साथ सक्षम रूप से निपटना चाहिए:

यौगिक भिन्नों का एकीकरण

हम धीरे-धीरे पाठ के भूमध्य रेखा के करीब आ रहे हैं और भिन्नों के समाकलों पर विचार करना शुरू करते हैं। फिर, उनमें से सभी सुपर जटिल नहीं हैं, केवल एक कारण या किसी अन्य के लिए उदाहरण अन्य लेखों में थोड़ा "विषय से दूर" थे।

जड़ों के विषय को जारी रखना

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

हर में जड़ के नीचे वर्ग त्रिपद प्लस जड़ के बाहर "उपांग" के रूप में "x" है। एक मानक प्रतिस्थापन का उपयोग करके इस तरह का एक अभिन्न हल किया जाता है।

हमने निर्णय किया:

प्रतिस्थापन सरल है:

हम प्रतिस्थापन के बाद जीवन को देखते हैं:

(1) प्रतिस्थापन के बाद, हम शब्दों को एक सामान्य भाजक के मूल में लाते हैं।
(2) हम जड़ के नीचे से निकालते हैं।
(3) अंश और हर को कम करें। उसी समय, रूट के तहत, मैंने शर्तों को सुविधाजनक क्रम में पुनर्व्यवस्थित किया। कुछ अनुभव के साथ, मौखिक रूप से टिप्पणी की गई क्रियाओं को करके चरण (1), (2) को छोड़ दिया जा सकता है।
(4) परिणामी अभिन्न, जैसा कि आप पाठ से याद करते हैं कुछ भिन्नों का एकीकरण, हल किया एक पूर्ण वर्ग के चयन की विधि द्वारा... एक पूर्ण वर्ग चुनें।
(5) एकीकरण हमें एक साधारण "लंबा" लघुगणक मिलता है।
(6) हम रिवर्स रिप्लेसमेंट करते हैं। अगर शुरू में, तो वापस:।
(7) अंतिम क्रिया परिणाम के केश विन्यास के उद्देश्य से है: जड़ के नीचे, हम फिर से एक सामान्य भाजक के लिए शर्तों को लाते हैं और उन्हें जड़ के नीचे से निकालते हैं।

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। यहां, अकेला एक्स में एक स्थिरांक जोड़ा गया है, और प्रतिस्थापन लगभग समान है:

केवल एक चीज जिसे अतिरिक्त रूप से करने की आवश्यकता है वह है प्रतिस्थापन से "x" को व्यक्त करना:

ट्यूटोरियल के अंत में पूरा समाधान और उत्तर दें।

कभी-कभी ऐसे समाकल में मूल के नीचे एक वर्ग द्विपद हो सकता है, इससे विलयन नहीं बदलता, यह और भी सरल हो जाएगा। अंतर महसूस करें:

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उदाहरण 11 वास्तव में है द्विपद समाकल, समाधान विधि जिसका पाठ में विचार किया गया था अपरिमेय कार्यों के समाकलन.

डिग्री में डिग्री 2 के एक अविभाज्य बहुपद का समाकलन

(हर में बहुपद)

अधिक दुर्लभ, लेकिन, फिर भी, व्यावहारिक उदाहरणों में, अभिन्न के रूप का सामना करना पड़ा।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

लेकिन वापस उदाहरण के लिए भाग्यशाली संख्या 13 के साथ (ईमानदारी से, मैंने सही अनुमान नहीं लगाया)। यह अभिन्न भी उन लोगों की श्रेणी से है जिनके साथ आप खुद को काफी पीड़ा दे सकते हैं यदि आप नहीं जानते कि इसे कैसे हल किया जाए।

समाधान एक कृत्रिम परिवर्तन के साथ शुरू होता है:

मुझे लगता है कि हर कोई पहले से ही समझता है कि अंश को हर पद से कैसे विभाजित किया जाए।

परिणामी अभिन्न को टुकड़े-टुकड़े करके लिया जाता है:

फॉर्म के इंटीग्रल के लिए (- प्राकृतिक संख्या) प्रदर्शित आवर्तकडिग्री कमी सूत्र:
, कहाँ पे - एक डिग्री कम का अभिन्न अंग।

आइए हम हल किए गए समाकल के लिए इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें।
इस मामले में:,, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर वही हैं।

उदाहरण 14

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। नमूना समाधान उत्तराधिकार में दो बार उपरोक्त सूत्र का उपयोग करता है।

अगर डिग्री के तहत है पूरावर्ग ट्रिनोमियल, फिर एक पूर्ण वर्ग का चयन करके समाधान को द्विपद में घटा दिया जाता है, उदाहरण के लिए:

क्या होगा यदि अंश में एक अतिरिक्त बहुपद है? इस मामले में, अपरिभाषित गुणांक की विधि का उपयोग किया जाता है, और पूर्णांक को अंशों के योग में विस्तारित किया जाता है। लेकिन इस तरह के एक उदाहरण के मेरे अभ्यास में कभी नहीं मिले, इसलिए मैंने इस मामले को लेख में छोड़ दिया भिन्नात्मक परिमेय फलन के समाकलन, मैं इसे अभी छोड़ दूंगा। यदि ऐसा अभिन्न अभी भी होता है, तो पाठ्यपुस्तक देखें - वहां सब कुछ सरल है। मैं सामग्री (यहां तक ​​​​कि सरल वाले) को शामिल करना उचित नहीं मानता, जिसके साथ मिलने की संभावना शून्य हो जाती है।

जटिल त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण

अधिकांश उदाहरणों के लिए, विशेषण "कठिन" फिर से काफी हद तक सशर्त है। आइए उच्च अंशों में स्पर्शरेखा और कोटैन्जेन्ट से प्रारंभ करें। स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों के दृष्टिकोण से, वे लगभग समान हैं, इसलिए मैं स्पर्शरेखा के बारे में और बात करूंगा, जिसका अर्थ यह है कि इंटीग्रल को हल करने के लिए प्रदर्शित विधि भी कोटेंजेंट के लिए भी मान्य है।

उपरोक्त पाठ में, हमने देखा सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनके एक निश्चित प्रकार के समाकलों को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय फलन... सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का नुकसान यह है कि इसका उपयोग करते समय, कठिन गणनाओं के साथ बोझिल इंटीग्रल अक्सर उत्पन्न होते हैं। और कुछ मामलों में, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन से बचा जा सकता है!

एक और विहित उदाहरण पर विचार करें, साइन द्वारा विभाजित एकता का अभिन्न अंग:

उदाहरण 17

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

आप यहां सामान्य त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन एक अधिक तर्कसंगत तरीका है। मैं प्रत्येक चरण के लिए टिप्पणियों के साथ एक संपूर्ण समाधान प्रदान करूंगा:

(1) हम द्विकोण ज्या त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं।
(2) हम एक कृत्रिम परिवर्तन करते हैं: हर में, विभाजित और गुणा करें।
(3) हर में प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम भिन्न को स्पर्शरेखा में बदलते हैं।
(4) हम फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाते हैं।
(5) अभिन्न लें।

जोड़ा सरल उदाहरणएक स्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 18

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

नोट: सबसे पहला कदम कास्ट फॉर्मूला का उपयोग करना है और पिछले उदाहरण के समान चरणों को ध्यान से पूरा करें।

उदाहरण 19

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

खैर, यह एक बहुत ही सरल उदाहरण है।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

मुझे लगता है कि अब किसी को भी इंटीग्रल्स की समस्या नहीं होगी:
आदि।

विधि के पीछे क्या विचार है? परिवर्तन, त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके केवल स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न को एकीकृत में व्यवस्थित करने का विचार है। अर्थात्, यह आता हैप्रतिस्थापन के बारे में: ... उदाहरण 17-19 में, हमने वास्तव में इस प्रतिस्थापन को लागू किया था, लेकिन इंटीग्रल इतने सरल थे कि मामले को एक समान कार्रवाई के साथ व्यवहार किया गया था - फ़ंक्शन को डिफरेंशियल साइन के तहत लाना।

समान तर्क, जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, कोटैंजेंट के लिए किया जा सकता है।

उपरोक्त प्रतिस्थापन को लागू करने के लिए एक औपचारिक शर्त भी है:

कोज्या और ज्या की घातों का योग एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है सम संख्या , उदाहरण के लिए:

पूर्णांक के लिए - एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या।

! ध्यान दें : यदि समाकलन में केवल एक ज्या या केवल एक कोज्या है, तो समाकल को ऋणात्मक विषम अंश के लिए भी लिया जाता है (सबसे सरल मामले उदाहरण संख्या 17, 18 में हैं)।

इस नियम के लिए कुछ और अर्थपूर्ण कार्यों पर विचार करें:

उदाहरण 20

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

साइन और कोसाइन की शक्तियों का योग: 2 - 6 = -4 एक ऋणात्मक पूर्णांक EVEN संख्या है, जिसका अर्थ है कि अभिन्न को स्पर्शरेखा और उसके व्युत्पन्न में घटाया जा सकता है:

(1) हर को रूपांतरित करें।
(2) प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं।
(3) हर को बदलना।
(4) हम सूत्र का उपयोग करते हैं .
(5) हम फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाते हैं।
(6) हम एक प्रतिस्थापन करते हैं। अधिक अनुभवी छात्र प्रतिस्थापन नहीं कर सकते हैं, लेकिन स्पर्शरेखा को एक अक्षर से बदलना अभी भी बेहतर है - भ्रम का जोखिम कम है।

उदाहरण 21

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है।

रुको, चैंपियन राउंड शुरू =)

अक्सर इंटीग्रैंड में एक "हॉजपॉज" होता है:

उदाहरण 22

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

इस अभिन्न में शुरू में एक स्पर्शरेखा होती है, जो तुरंत पहले से ही परिचित विचार का संकेत देती है:

शुरुआत में और बाकी चरणों में कृत्रिम परिवर्तन मैं बिना किसी टिप्पणी के छोड़ दूंगा, क्योंकि सब कुछ पहले ही ऊपर कहा जा चुका है।

आत्म-समाधान के लिए कुछ रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 23

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

उदाहरण 24

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

हां, उनमें, निश्चित रूप से, आप साइन, कोसाइन की डिग्री कम कर सकते हैं, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि यह स्पर्शरेखा के माध्यम से किया जाता है तो समाधान अधिक कुशल और छोटा होगा। पाठ के अंत में पूरा समाधान और उत्तर

एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन को परिभाषित करना

• समारोह वाई = एफ (एक्स)फ़ंक्शन के लिए एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है वाई = एफ (एक्स)एक निश्चित अंतराल पर एक्स,अगर सभी के लिए एक्स ∈एक्ससमानता रखती है: एफ (एक्स) = एफ (एक्स)

इसे दो तरह से पढ़ा जा सकता है:

1. एफ किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एफ
2. एफ समारोह के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ

एंटीडेरिवेटिव्स की संपत्ति

• अगर एफ (एक्स)- समारोह के लिए प्रतिपक्षी च (एक्स)दिए गए अंतराल पर, तब फलन f (x) में अपरिमित रूप से अनेक प्रतिअवकलन होते हैं, और इन सभी अवकलजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ (एक्स) + सी, जहां C एक मनमाना स्थिरांक है।

ज्यामितीय व्याख्या

• किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव के ग्राफ़ च (एक्स)किसी एक अवकलज के ग्राफ से प्राप्त समानांतर हाइफ़नेशनओ अक्ष के साथ पर.

Antiderivatives गणना नियम

1. योग का प्रतिअवकलज, प्रतिअवकलजों के योग के बराबर होता है... अगर एफ (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स), और G (x) के लिए प्रतिअवकलन है जी (एक्स), फिर एफ (एक्स) + जी (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ (एक्स) + जी (एक्स).
2. स्थिर कारक को व्युत्पन्न के चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है... अगर एफ (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स), तथा क- स्थिर, तब के एफ (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न के एफ (एक्स).
3. अगर एफ (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स), तथा कश्मीर, बी- स्थायी, इसके अलावा कश्मीर 0, फिर 1 / के एफ (केएक्स + बी)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न एफ (केएक्स + बी).

याद रखना!

कोई भी समारोह एफ (एक्स) = एक्स 2 + सी , जहां C एक मनमाना स्थिरांक है, और केवल ऐसा फलन ही फलन के लिए प्रतिअवकलन है एफ (एक्स) = 2x.

• उदाहरण के लिए:

  एफ "(एक्स) = (एक्स 2 + 1)" = 2x = एफ (एक्स);

  एफ (एक्स) = 2x,जबसे एफ "(एक्स) = (एक्स 2 - 1)" = 2x = एफ (एक्स);

  एफ (एक्स) = 2x,जबसे एफ "(एक्स) = (х 2 –3)" = 2x = एफ (एक्स);

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके व्युत्पन्न के बीच संबंध:

1. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ च (एक्स)> 0अंतराल पर, फिर इसके प्रतिपदार्थ का ग्राफ एफ (एक्स)इस अंतराल में बढ़ जाती है।
2. यदि फ़ंक्शन का ग्राफ f (x) अंतराल पर, तो इसके प्रतिअवकलन का आलेख एफ (एक्स)इस अंतराल में घट जाती है।
3. अगर च (एक्स) = 0, तो इसके प्रतिअवकलन का आलेख एफ (एक्स)इस बिंदु पर वृद्धि से घटते (या इसके विपरीत) में परिवर्तन होता है।

प्रतिअवकलन को निरूपित करने के लिए, एक अनिश्चित समाकलन के चिह्न का उपयोग किया जाता है, जो कि समाकलन की सीमाओं को इंगित किए बिना एक समाकलन है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

परिभाषा:

• एक फलन f (x) का अनिश्चित समाकलन, व्यंजक F (x) + C है, अर्थात् किसी दिए गए फलन f (x) के सभी प्रतिअवकलजों का संग्रह। अनिश्चित समाकल को इस प्रकार दर्शाया गया है: \ int f (x) dx = F (x) + C

• च (एक्स)- इंटीग्रैंड कहा जाता है;
• एफ (एक्स) डीएक्स- इंटीग्रैंड कहा जाता है;
• एक्स- एकीकरण के चर कहा जाता है;
• एफ (एक्स)- फ़ंक्शन f (x) के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक;
• साथएक मनमाना स्थिरांक है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न गुण

1. अनिश्चितकालीन समाकल का अवकलज समाकलन के बराबर होता है: (\ int f (x) dx) \ prime = f (x)।
2. समाकलन के अचर गुणनखंड को समाकल चिह्न से बाहर ले जाया जा सकता है: \ int k \ cdot f (x) dx = k \ cdot \ int f (x) dx.
3. कार्यों के योग (अंतर) का समाकलन इन फलनों के समाकलों के योग (अंतर) के बराबर होता है: \ int (f (x) \ pm g (x)) dx = \ int f (x) dx \ pm \ int g (x) dx.
4. अगर कश्मीर, बीअचर हैं, और k 0, तब \ int f (kx + b) dx = \ frac (1) (k) \ cdot F (kx + b) + C.

प्रतिपदार्थों और अनिश्चित समाकलों की तालिका

समारोह च (एक्स)	antiderivative एफ (एक्स) + सी	अनिश्चितकालीन अभिन्न \ int f (x) dx = F (x) + C
0	सी	\ इंट 0 डीएक्स = सी
एफ (एक्स) = के	एफ (एक्स) = केएक्स + सी	\ इंट केडीएक्स = केएक्स + सी
एफ (एक्स) = एक्स ^ एम, एम \ नहीं = -1	एफ (एक्स) = \ फ्रैक (एक्स ^ (एम + 1)) (एम + 1) + सी	\ इंट एक्स (^ एम) डीएक्स = \ फ्रैक (एक्स ^ (एम + 1)) (एम + 1) + सी
एफ (एक्स) = \ फ्रैक (1) (एक्स)	एफ (एक्स) = एल एन \ एलवर्ट एक्स \ रिवर्ट + सी	\ int \ frac (dx) (x) = l n \ lvert x \ rvert + C
एफ (एक्स) = ई ^ एक्स	एफ (एक्स) = ई ^ एक्स + सी	\ इंट ई (^ एक्स) डीएक्स = ई ^ एक्स + सी
एफ (एक्स) = ए ^ एक्स	एफ (एक्स) = \ फ्रैक (ए ^ एक्स) (एल ना) + सी	\ int a (^ x) dx = \ frac (a ^ x) (l na) + C
एफ (एक्स) = \ पाप एक्स	एफ (एक्स) = - \ cos x + C	\ int \ sin x dx = - \ cos x + C
f (x) = \ cos x	एफ (एक्स) = \ पाप एक्स + सी	\ int \ cos x dx = \ sin x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sin (^ 2) x)	एफ (एक्स) = - \ सीटीजी एक्स + सी	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = - \ ctg x + C
f (x) = \ frac (1) (\ cos (^ 2) x)	एफ (एक्स) = \ टीजी एक्स + सी	\ int \ frac (dx) (\ sin (^ 2) x) = \ tg x + C
एफ (एक्स) = \ वर्ग (एक्स)	F (x) = \ frac (2x \ sqrt (x)) (3) + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (x))	एफ (एक्स) = 2 \ वर्ग (एक्स) + सी
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2))	एफ (एक्स) = \ आर्क्सिन एक्स + सी	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ arcsin x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (1 + x ^ 2))	एफ (एक्स) = \ आर्कटन एक्स + सी	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (1 + x ^ 2)) = \ arctg x + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	एफ (एक्स) = \ आर्कसिन \ फ्रैक (एक्स) (ए) + सी	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	एफ (एक्स) = \ आर्कटजी \ फ्रैक (एक्स) (ए) + सी	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) = \ frac (1) (a) \ arctg \ frac (x) (a) + C
f (x) = \ frac (1) (1 + x ^ 2)	एफ (एक्स) = \ आर्कटजी + सी	\ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2) = \ arctg + C
f (x) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \ not = 0)	F (x) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) = \ frac (1) (2a) l n \ lvert \ frac (x-a) (x + a) \ rvert + C
एफ (एक्स) = \ टीजी एक्स	एफ (एक्स) = - एल n \ lvert \ cos x \ rvert + C	\ int \ tg x dx = - l n \ lvert \ cos x \ rvert + C
एफ (एक्स) = \ सीटीजी एक्स	एफ (एक्स) = एल एन \ लेवर्ट \ पाप एक्स \ रिवर्ट + सी	\ int \ ctg x dx = l n \ lvert \ sin x \ rvert + C
f (x) = \ frac (1) (\ sin x)	एफ (एक्स) = एल एन \ लेवर्ट \ टीजी \ फ्रैक (एक्स) (2) \ रिवर्ट + सी	\ int \ frac (dx) (\ sin x) = l n \ lvert \ tg \ frac (x) (2) \ rvert + C
f (x) = \ frac (1) (\ cos x)	F (x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C	\ int \ frac (dx) (\ cos x) = l n \ lvert \ tg (\ frac (x) (2) + \ frac (\ pi) (4)) \ rvert + C

न्यूटन-लीबनिज सूत्र

होने देना च (एक्स)दिया गया कार्य, एफइसकी मनमानी विरोधी व्युत्पन्न।

\ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) | _ (ए) ^ (बी)= एफ (बी) - एफ (ए)

कहाँ पे एफ (एक्स)- के लिए विरोधी व्युत्पन्न च (एक्स)

यानी फंक्शन का इंटीग्रल च (एक्स)अंतराल पर बिंदुओं पर प्रतिपदार्थों के अंतर के बराबर है बीतथा ए.

घुमावदार समलम्बाकार क्षेत्र

घुमावदार ट्रेपोजॉइड एक खंड पर एक गैर-ऋणात्मक और निरंतर कार्य के ग्राफ से घिरा एक आंकड़ा है एफ, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएं एक्स = एतथा एक्स = बी.

एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्रफल न्यूटन-लीबनिज सूत्र द्वारा पाया जाता है:

एस = \ int_ (ए) ^ (बी) एफ (एक्स) डीएक्स

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