त्रिभुज के मध्य का पता कैसे लगाएं: एक ज्यामिति पहेली। यूक्लिडियन ज्यामिति में मुख्य प्राथमिक समस्याएं प्राचीन काल से हमारे सामने आई हैं। उनमें प्राथमिक सार और स्थानिक रूपों की मानवीय धारणा के बारे में आवश्यक बुनियादी ज्ञान होता है। इन्हीं समस्याओं में से एक त्रिभुज के बीच का पता लगाने की समस्या है। आज यह कार्य स्कूली बच्चों की बौद्धिक क्षमताओं के विकास के लिए एक शैक्षिक पद्धति के रूप में माना जाता है। प्राचीन दुनिया में, त्रिभुज के मध्य को कैसे खोजा जाए, इसका ज्ञान भी व्यवहार में उपयोग किया जाता था: भूमि प्रबंधन में, विभिन्न तंत्रों के निर्माण में, आदि। इस ज्यामितीय पहेली का सार क्या है?

माध्यिका क्या है? समस्या को हल करने से पहले, आपको त्रिभुजों के संबंध में सरलतम ज्यामितीय शब्दावली से परिचित होना चाहिए। सबसे पहले, प्रत्येक त्रिभुज में तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं, जिनसे इस ज्यामितीय आकृति का नाम आता है। यह जानना महत्वपूर्ण है कि शीर्षों को विपरीत भुजाओं से जोड़ने वाली रेखाएँ क्या कहलाती हैं: ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका।

ऊँचाई - शीर्ष के विपरीत पक्ष के लंबवत एक रेखा जिससे इसे खींचा जाता है; द्विभाजक - कोण को आधा कर देता है; माध्यिका निवर्तमान शीर्ष के विपरीत भाग को आधे में विभाजित करती है। इस समस्या को हल करने के लिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक कैसे प्राप्त करें, क्योंकि यह त्रिभुज के मध्य बिंदु के मध्य बिंदु का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए। एक रेखा खंड के मध्य बिंदु को ढूँढना भी एक शास्त्रीय ज्यामितीय समस्या है जिसके लिए एक कंपास और बिना विभाजन के शासक की आवश्यकता होती है। हम कंपास की सुई को खंड के अंत बिंदु पर रखते हैं और पिछले एक के बीच में आधे से बड़ा अर्धवृत्त खींचते हैं। लाइन के दूसरी तरफ भी ऐसा ही करें। परिणामी अर्धवृत्त अनिवार्य रूप से दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे, क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ मूल खंड के आधे से अधिक हैं।

हम एक शासक का उपयोग करके वृत्त के दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं। यह रेखा मूल रेखा को ठीक इसके बीच में काटती है। अब, यह जानते हुए कि खंड का मध्यबिंदु कैसे ज्ञात किया जाता है, हम इसे त्रिभुज की प्रत्येक भुजा के साथ करते हैं। त्रिभुज की भुजाओं के सभी मध्यबिंदुओं को खोजने के बाद, सब कुछ अपना मध्यबिंदु बनाने के लिए तैयार है।

हम त्रिभुज के मध्य का निर्माण करते हैं। त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से सीधी रेखाओं से जोड़ने पर हमें तीन माध्यिकाएँ प्राप्त होती हैं। यह किसी को आश्चर्यचकित कर सकता है, लेकिन इस ज्यामितीय आकृति के सामंजस्य के नियमों में से एक यह है कि तीनों माध्यिकाएँ हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह वह बिंदु है जो त्रिभुज का वांछित मध्यबिंदु होगा, जिसे खोजना इतना कठिन नहीं है यदि आप जानते हैं कि किसी खंड के मध्य बिंदु का निर्माण कैसे किया जाता है।

यह भी दिलचस्प है कि माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु न केवल ज्यामितीय है, बल्कि त्रिभुज का "भौतिक" मध्यबिंदु भी है। उदाहरण के लिए, यदि, उदाहरण के लिए, आप प्लाईवुड से एक त्रिभुज काटते हैं, उसके मध्य का पता लगाते हैं और इस बिंदु को सुई की नोक पर रखते हैं, तो आदर्श रूप से ऐसी आकृति संतुलित होगी और गिरेगी नहीं। प्राथमिक ज्यामिति में ऐसे कई रोमांचक "रहस्य" होते हैं, जिनके ज्ञान से आसपास की दुनिया के सामंजस्य और अधिक जटिल चीजों की प्रकृति को समझने में मदद मिलती है।

एक चतुर्भुज जिसकी केवल दो भुजाएँ समान्तर होती हैं, कहलाती है समलम्ब.

समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर पक्षों को कहा जाता है मैदान, और वे भुजाएँ जो समानांतर नहीं हैं, कहलाती हैं पार्श्व पक्ष... यदि भुजाएँ समान हैं, तो ऐसा समलंब समद्विबाहु है। आधारों के बीच की दूरी को समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहते हैं।

ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा

मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो समलम्ब चतुर्भुज के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा इसके आधारों के समानांतर होती है।

प्रमेय:

यदि एक भुजा के मध्य को पार करने वाली एक सीधी रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर है, तो यह समलम्ब चतुर्भुज की दूसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

प्रमेय:

मध्य रेखा की लंबाई उसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है

एमएन || एबी || डीसी
एएम = एमडी; बीएन = एनसी

MN मध्य रेखा, AB और CD - आधार, AD और BC - भुजा

एमएन = (एबी + डीसी) / 2

प्रमेय:

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई इसके आधारों की लंबाई के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है।

मुख्य कार्य: सिद्ध कीजिए कि समलंब की मध्य रेखा उस खंड को समद्विभाजित करती है जिसका सिरा समलंब के आधार के मध्य में स्थित होता है।

त्रिभुज की केंद्र रेखा

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहते हैं। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और तीसरी भुजा की लंबाई से आधी है।
प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा इस त्रिभुज की दूसरी भुजा के समांतर हो, तो वह तीसरी भुजा को आधे में विभाजित करती है।

एएम = एमसी और बीएन = एनसी =>

त्रिभुज और समलंब मध्य रेखा गुण लागू करना

एक खंड का एक निश्चित संख्या में समान भागों में विभाजन।
कार्य: खंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करें।
समाधान:
मान लीजिए p एक यादृच्छिक किरण है जिसका उद्गम बिंदु A है और यह रेखा AB पर नहीं है। हम क्रमशः पी एए 1 = ए 1 ए 2 = ए 2 ए 3 = ए 3 ए 4 = ए 4 ए 5 पर 5 बराबर खंड बिछाते हैं।
हम ए 5 को बी से जोड़ते हैं और ए 4, ए 3, ए 2 और ए 1 के माध्यम से ऐसी रेखाएं खींचते हैं जो ए 5 बी के समानांतर हैं। वे एबी को क्रमशः बी 4, बी 3, बी 2 और बी 1 बिंदुओं पर काटते हैं। . ये बिंदु रेखाखंड AB को 5 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। वास्तव में, समलम्ब चतुर्भुज BB 3 A 3 A 5 से हम देखते हैं कि BB 4 = B 4 B 3। इसी तरह, समलम्ब चतुर्भुज बी 4 बी 2 ए 2 ए 4 से हमें बी 4 बी 3 = बी 3 बी 2 मिलता है

जबकि एक समलम्ब चतुर्भुज बी 3 बी 1 ए 1 ए 3, बी 3 बी 2 = बी 2 बी 1 से।
फिर बी 2 एए 2 से यह निम्नानुसार है कि बी 2 बी 1 = बी 1 ए। निष्कर्ष में, हम प्राप्त करते हैं:
एबी 1 = बी 1 बी 2 = बी 2 बी 3 = बी 3 बी 4 = बी 4 बी
यह स्पष्ट है कि खंड AB को अन्य समान भागों में विभाजित करने के लिए, हमें समान खंडों की समान संख्या को किरण p पर प्रक्षेपित करने की आवश्यकता है। और फिर ऊपर वर्णित तरीके से जारी रखें।

त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी 2 भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है। तदनुसार, प्रत्येक त्रिभुज में तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। मध्य रेखा की गुणवत्ता, साथ ही त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और उसके कोणों को जानकर, मध्य रेखा की लंबाई निर्धारित करना संभव है।

आपको चाहिये होगा

• त्रिभुज की भुजाएँ, त्रिभुज के कोने

निर्देश

1. मान लीजिए कि एक त्रिभुज ABC MN भुजाओं AB (बिंदु M) और AC (बिंदु N) के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली मध्य रेखा है। गुण के अनुसार, 2 भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली त्रिभुज की मध्य रेखा तीसरी भुजा के समानांतर और बराबर होती है इसका आधा। इसका अर्थ है कि मध्य रेखा MN भुजा BC के समानांतर और BC / 2 के बराबर होगी। इसलिए, त्रिभुज की केंद्र रेखा की लंबाई निर्धारित करने के लिए, इस विशेष तीसरी भुजा की भुजा की लंबाई जानना पर्याप्त है। .

2. आइए अब जानते हैं, जिनके मध्य बिंदु मध्य रेखा MN, यानी AB और AC से जुड़े हुए हैं, साथ ही उनके बीच के कोण BAC भी हैं। क्योंकि MN मध्य रेखा है, तो AM = AB/2, और AN = AC/2, तो कोज्या प्रमेय द्वारा यह उद्देश्य है: MN ^ 2 = (AM ^ 2) + (AN ^ 2) -2 * AM * एएन * कॉस (बीएसी) = (एबी ^ 2/4) + (एसी ^ 2/4) -एबी * एसी * कॉस (बीएसी) / 2। Fromsell, MN = sqrt ((AB ^ 2/4) + (AC ^ 2/4) -AB * AC * cos (BAC) / 2)।

3. यदि भुजाएँ AB और AC प्रसिद्ध हैं, तो केंद्र रेखा MN कोण ABC या ACB को जानकर ज्ञात की जा सकती है। बता दें, ABC कॉर्नर मशहूर है। चूँकि केंद्र रेखा के गुण के अनुसार MN BC के समानांतर है, कोण ABC और AMN संगत हैं, और फलस्वरूप, ABC = AMN। फिर, कोज्या प्रमेय द्वारा: AN ^ 2 = AC ^ 2/4 = (AM ^ 2) + (MN ^ 2) -2 * AM * MN * cos (AMN)। नतीजतन, एमएन पक्ष का पता लगाया जा सकता है द्विघात समीकरण(एमएन ^ 2) -एबी * एमएन * कॉस (एबीसी) - (एसी ^ 2/4) = 0।

टिप 2: वर्गाकार त्रिभुज की भुजा कैसे ज्ञात करें

एक वर्ग त्रिभुज को अधिक सही ढंग से समकोण त्रिभुज कहा जाता है। इस ज्यामितीय आकृति की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध पर त्रिकोणमिति के गणितीय अनुशासन में विस्तार से चर्चा की गई है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम;
• - ब्रैडिस टेबल;
• - कैलकुलेटर।

निर्देश

1. डिस्कवर पक्षआयताकार त्रिकोणपाइथागोरस प्रमेय के समर्थन से। इस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होता है: c2 = a2 + b2, जहाँ c कर्ण है त्रिकोण, a और b उसके पैर हैं। इस समीकरण को लागू करने के लिए, आपको एक आयताकार के किन्हीं 2 भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है त्रिकोण .

2. यदि शर्तों के अनुसार पैरों का आकार निर्दिष्ट किया गया है, तो कर्ण की लंबाई पाएं। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर समर्थन के साथ, निकालें वर्गमूलपैरों के योग से, जिनमें से प्रत्येक अग्रिम में चुकता है।

3. एक पैर की लंबाई की गणना करें यदि कर्ण और दूसरे पैर के आयाम ज्ञात हैं। कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए, कर्ण वर्ग और ज्ञात पैर के बीच के अंतर का वर्गमूल भी निकालें।

4. यदि समस्या में कर्ण और आसन्न तेज कोनों में से एक है, तो ब्रैडिस टेबल का उपयोग करें। वे मूल्य दिखाते हैं त्रिकोणमितीय फलनबड़ी संख्या में कोणों के लिए। साइन और कोसाइन कार्यों और त्रिकोणमिति प्रमेयों के साथ एक कैलकुलेटर का उपयोग करें जो एक आयताकार के पक्षों और कोणों के बीच संबंध का वर्णन करता है। त्रिकोण .

5. मूल त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके पैरों को खोजें: a = c * sin?, B = c * cos?, जहाँ a कोने के विपरीत पैर है?, b कोने से सटा पैर है?। उसी तरह पक्षों के आकार की गणना करें। त्रिकोण, यदि कर्ण और एक अन्य न्यून कोण दिया गया है: b = c * sin?, a = c * cos?, जहाँ b कोने के विपरीत पैर है?, और पैर कोने से सटा हुआ है?।

6. उस स्थिति में जब हम पैर और उसके निकट एक न्यून कोण ले जाते हैं, यह मत भूलो कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग हमेशा 90 ° के बराबर होता है: +? = 90 डिग्री। पैर के विपरीत कोण का मान ज्ञात कीजिए a:? = 90 ° -?. या त्रिकोणमितीय कमी सूत्रों का उपयोग करें: पाप? = पाप (90 ° -?) = क्योंकि?; टीजी? = टीजी (90 डिग्री -?) = सीटीजी? = 1 / टीजी?।

7. यदि हमारे पास एक पैर है और इसके विपरीत एक न्यून कोण है?, ब्रैडिस टेबल, एक कैलकुलेटर और त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करते हुए, सूत्र द्वारा कर्ण की गणना करें: c = a * sin?, पैर: b = a * tg?।

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कभी-कभी स्कूल में समझाए गए विषय पहली बार हमेशा स्पष्ट नहीं होते हैं। यह गणित जैसे विषय के लिए विशेष रूप से सच है। लेकिन चीजें तब और अधिक जटिल हो जाती हैं जब यह विज्ञान दो भागों में विभाजित होने लगता है: बीजगणित और ज्यामिति।

प्रत्येक छात्र में दो दिशाओं में से एक में क्षमता हो सकती है, लेकिन विशेष रूप से प्राथमिक ग्रेड में, बीजगणित और ज्यामिति दोनों की मूल बातें समझना महत्वपूर्ण है। ज्यामिति में, मुख्य विषयों में से एक को त्रिभुजों पर अनुभाग माना जाता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करते हैं? आइए इसका पता लगाते हैं।

मूल अवधारणा

आरंभ करने के लिए, यह पता लगाने के लिए कि किसी त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात की जाए, यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है।

मध्य रेखा खींचने के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है: त्रिभुज कोई भी (समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार) हो सकता है। और मध्य रेखा से संबंधित सभी गुण काम करेंगे।

त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी 2 भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है। इसलिए, किसी भी त्रिभुज में ऐसी 3 रेखाएँ हो सकती हैं।

गुण

यह जानने के लिए कि त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात की जाती है, आइए हम इसके गुणों को निर्दिष्ट करें जिन्हें याद रखने की आवश्यकता है, अन्यथा, उनके बिना, मध्य रेखा की लंबाई को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता के साथ समस्याओं को हल करना असंभव होगा, क्योंकि सभी प्राप्त डेटा को प्रमेयों, स्वयंसिद्धों या गुणों द्वारा प्रमाणित और तर्क किया जाना चाहिए।

इस प्रकार, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए: "त्रिभुज ABC की मध्य रेखा कैसे ज्ञात करें?", त्रिभुज की किसी एक भुजा को जानना पर्याप्त है।

आइए एक उदाहरण देते हैं

तस्वीर को जरा देखिए। यह एक मध्य रेखा DE के साथ एक त्रिभुज ABC दिखाता है। ध्यान दें कि यह त्रिभुज में AC के आधार के समानांतर है। नतीजतन, AC का मान जो भी हो, मध्य रेखा DE आधा होगा। उदाहरण के लिए, एसी = 20, तो डीई = 10, आदि।

ऐसे सरल तरीकों से आप समझ सकते हैं कि त्रिभुज की मध्य रेखा कैसे ज्ञात की जाती है। इसके मूल गुणों और परिभाषा को याद रखें, और फिर आपको इसका मूल्य खोजने में कभी समस्या नहीं होगी।