एक बहुभुज के शीर्ष हैं. बहुभुज का शीर्ष वही होता है जो बहुभुज का शीर्ष होता है

बहुभुज. शीर्ष, कोने, भुजाएँ और विकर्ण
बहुभुज. बहुभुज का परिमाप.
सरल बहुभुज. उत्तल बहुभुज.
उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग.

खंडों की बंद शृंखला से बनी सपाट आकृति कहलाती है बहुभुज. कोणों की संख्या के आधार पर, एक बहुभुज एक त्रिभुज हो सकता है, चतुष्कोष, पंचकोण, षट्भुजवगैरह। चित्र 17 षट्भुज ABCDEF को दर्शाता है। बिंदु A, B, C, D, E, F - शीर्ष

बहुभुज; कोण A, B, C, D, E, F - बहुभुज कोण; खंड एसी, एडी, बीई, आदि। - विकर्ण; एबी, बीसी, सीडी, डीई, ईएफ, एफए - बहुभुज की भुजाएँ; भुजाओं AB + BC + ... + FA की लंबाई के योग को परिधि कहा जाता है और इसे p से दर्शाया जाता है (कभी-कभी - 2p से दर्शाया जाता है, तो p अर्ध-परिधि है)। प्रारंभिक ज्यामिति में, केवल सरल बहुभुजों पर विचार किया जाता है, जिनकी आकृतियों में स्व-प्रतिच्छेद नहीं होते हैं, जैसा कि चित्र 18 में दिखाया गया है। यदि सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर स्थित हों, तो इसे उत्तल कहा जाता है। चित्र 17 में षट्भुज उत्तल है; चित्र 19 में पंचभुज ABCDE उत्तल नहीं है, क्योंकि इसका विकर्ण AD बाहर स्थित है। उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग 180º (n - 2) होता है, जहाँ n बहुभुज के कोणों (या भुजाओं) की संख्या है।

समांतर चतुर्भुज. समांतर चतुर्भुज के गुण और विशेषताएँ।

आयत। एक आयत के मूल गुण. रोम्बस।

वर्ग . समलम्बाकार। समलम्ब और त्रिभुज की मध्य रेखाएँ।

एक समांतर चतुर्भुज (एबीसीडी, चित्र 32) एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं।

किसी समांतर चतुर्भुज की किन्हीं दो विपरीत भुजाओं को उसका आधार कहा जाता है, और उनके बीच की दूरी को उसकी ऊँचाई कहा जाता है (BE, चित्र 32)।

समांतर चतुर्भुज के गुण.

1. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं(एबी = सीडी, एडी = बीसी)।

2. समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं(ए=सी, बी=डी)।

3. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं।(एओ = ओसी, बीओ = ओडी)।

4. समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग वर्गों के योग के बराबर होता हैइसकी चार भुजाएँ हैं:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²।

समांतर चतुर्भुज के लक्षण.

यदि निम्नलिखित में से कोई एक स्थिति सत्य है तो एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है:

1. जोड़े में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं(एबी = सीडी, एडी = बीसी)।

2. सम्मुख कोण जोड़े में बराबर होते हैं(ए=सी, बी=डी)।

3. दो विपरीत भुजाएँ समान एवं समान्तर होती हैं(एबी = सीडी, एबी || सीडी)।

4.विकर्ण अपने प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित करते हैं(एओ = ओसी, बीओ = ओडी)।

आयत।

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यदि समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण है, तो अन्य सभी कोण भी समकोण होते हैं (क्यों?)। ऐसे समांतर चतुर्भुज को आयत कहा जाता है (चित्र 33)।

एक आयत के मूल गुण.

एक आयत की भुजाएँ भी उसकी ऊँचाई होती हैं।

आयत के विकर्ण बराबर हैं:एसी = बीडी.

एक आयत के विकर्ण का वर्ग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है(ऊपर पाइथागोरस प्रमेय देखें):

एसी 2 = एडी 2 + डीसी 2.

रोम्बस। यदि किसी समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हों तो यह समांतर चतुर्भुज कहलाता हैडायमंड (चित्र 34)।

एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत (AC BD) होते हैं और उनके कोणों को समद्विभाजित करते हैं (डीसीए = बीसीए, एबीडी = सीबीडी, आदि)।

वर्गाकार है समकोण और समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज (चित्र 35)। एक वर्ग एक ही समय में एक आयत और एक समचतुर्भुज का एक विशेष मामला है; इसलिए, इसमें उपरोक्त सभी गुण हैं।

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चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ एक सौ हैंरोन समानांतर हैं(चित्र 36)।

यहाँ AD || ईसा पूर्व समानान्तर भुजाएँ कहलाती हैंकारण ट्रेपेज़ॉइड, और अन्य दो (एबी और सीडी) हैंपक्ष.आधारों के बीच की दूरी (BM) हैऊंचाई। मध्यबिंदु E और F को जोड़ने वाला रेखा खंड EF

पार्श्व भुजाओं को समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा कहा जाता है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग के आधे के बराबर है:

और उनके समानांतर:ईएफ || एडी और ईएफ || ईसा पूर्व

समान भुजाओं (AB = CD) वाले समलम्ब चतुर्भुज को समबाहु कहा जाता है कोई समलम्बाकार नहीं. एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज में, प्रत्येक आधार पर कोण बराबर होते हैं(ए=डी, बी=सी)।

एक समांतर चतुर्भुज को समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा- यह एक खंड है मध्यबिंदुओं को जोड़नात्रिभुज की पार्श्व भुजाएँ. त्रिभुज की मध्य रेखा आधे के बराबर होती हैवें आधार और उसके समानांतर। o संपत्ति पिछले वाले से अनुसरण करती है

बिंदु, चूँकि एक त्रिभुज को एक समलम्ब चतुर्भुज के अध: पतन का मामला माना जा सकता है, जब इसका एक आधार एक बिंदु में बदल जाता है।

एक वृत्त में अंकित बहुभुज.

एक वृत्त के चारों ओर परिचालित बहुभुज।

वर्णित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त है.

खुदा एक बहुभुज वृत्त में.

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या.

एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या .
नियमित बहुभुज।

एक नियमित बहुभुज का केंद्र और एपोथेम।
नियमित बहुभुजों की भुजाओं और त्रिज्याओं का अनुपात.

एक वृत्त में अंकितबहुभुज कहा जाता है जिसके शीर्ष चित्र 54 में वृत्त पर स्थित हैं।एक वृत्त के चारों ओर वर्णित नोगोन कहा जाता हैजिनकी भुजाएँ वृत्त की स्पर्शरेखा हैं

(चित्र 55)।

क्रमश, बहुभुज के शीर्षों से होकर गुजरने वाला वृत्त(चित्र 54), कहा जाता हैबहुभुज के बारे में बताया गया है; वृत्त, के लिए जिसमें बहुभुज की भुजाएँ स्पर्शरेखा होती हैं (चित्र 55), परबहुभुज में अंकित कहलाता है. मनमानी के लिए इसमें एक बहुभुज फिट करना और उसके चारों ओर एक वृत्त बनाना असंभव है. त्रिकोण के लिए निक यह हमेशा संभव है.

RADIUS अंकित वृत्त का आरपक्षों के माध्यम से व्यक्त किया गयाए, बी, सी त्रिकोण:

वर्णित की त्रिज्या आरघेरा सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया:

एक वृत्त को एक चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो।समांतर चतुर्भुज के लिए, यह केवल समचतुर्भुज (वर्ग) के लिए ही संभव है। अंकित वृत्त का केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है यदि उसका योग होसम्मुख कोण बराबर होते हैं 180º. समांतर चतुर्भुज के लिए, यह केवल एक आयत (वर्ग) के लिए संभव है। परिचालित वृत्त का केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है।आप एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं यदि यह समबाहु है।r />

नियमित बहुभुज समान भुजाओं और कोणों वाला बहुभुज होता है।

चित्र 56 एक नियमित षट्भुज दिखाता है, और चित्र 57 एक नियमित अष्टभुज दिखाता है। एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है; एक नियमित त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक कोण 180º (n – 2)/n के बराबर होता है, जहाँ n इसके कोणों की संख्या है। एक नियमित बहुभुज के अंदर एक बिंदु O (चित्र 56) होता है, जो इसके सभी शीर्षों (OA = OB = OC = ... = OF) से समान दूरी पर होता है, जिसे नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। एक नियमित बहुभुज का केंद्र भी उसकी सभी भुजाओं से समान दूरी पर होता है (OP = OQ = OR = ...)। खंड OP, OQ, OR, ... को एपोथेम कहा जाता है; खंड OA, OB, OC, ... एक नियमित बहुभुज की त्रिज्याएँ हैं। एक नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है और उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है। अंकित और परिचालित वृत्तों के केंद्र एक नियमित बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाते हैं। परिवृत्त की त्रिज्या एक नियमित बहुभुज की त्रिज्या है, और अंकित वृत्त की त्रिज्या इसका एपोथेम है। नियमित बहुभुजों की भुजाओं और त्रिज्याओं का अनुपात:

अधिकांश नियमित बहुभुजों के लिए, बीजीय सूत्र का उपयोग करके उनकी भुजाओं और त्रिज्याओं के बीच संबंध को व्यक्त करना असंभव है।

उदाहरण क्या एक वृत्त से 30 सेमी भुजा वाला एक वर्ग काटना संभव है?

व्यास में 40 सेमी?

समाधान: एक वृत्त में घिरा सबसे बड़ा वर्ग एक उत्कीर्ण है

वर्ग। उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह

भुजा इसके बराबर है:

इसलिए, 30 सेमी भुजा वाला एक वर्ग नहीं काटा जा सकता

40 सेमी व्यास वाले एक वृत्त से।

बहुभुज के शीर्ष और खंड बहुभुज की भुजाएँ हैं। बहुभुज के शीर्ष - पृष्ठ संख्या 1/1

ज्यामिति 8वीं कक्षा के.के.कुर्गिनियन भाग-1* (तारांकन के साथ)।
बहुभुज.

परिभाषा:बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें स्व-प्रतिच्छेदन के बिना एक सपाट, बंद टूटी हुई रेखा होती है। टूटी हुई रेखा के शीर्ष कहलाते हैं चोटियोंबहुभुज, और खंड हैं दलोंबहुभुज.

बहुभुज के शीर्ष कहलाते हैं पड़ोसी, यदि वे इसके किसी एक पक्ष के सिरे हैं। बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड कहलाते हैं विकर्णों .

बाहरी कोनाकिसी दिए गए शीर्ष पर उत्तल बहुभुज का कोण इस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण से सटा हुआ कोण होता है। सामान्य तौर पर, एक बाहरी कोण 180° और एक आंतरिक कोण के बीच का अंतर होता है, यह -180° से 180° तक मान ले सकता है। बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है।

उत्तल बहुभुज.
बहुभुजउत्तल कहा जाता है यदि:
परिभाषामैं - इसके अंदर किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, उन्हें जोड़ने वाला खंड पूरी तरह से इसमें स्थित है।

परिभाषाद्वितीय - प्रत्येक आंतरिक कोण 180° से कम है।

परिभाषातृतीय - इसके सभी विकर्ण पूर्णतः इसके अंदर स्थित हैं।

परिभाषाचतुर्थ – यह अपने दो पड़ोसी शीर्षों से गुजरने वाली प्रत्येक सीधी रेखा के एक तरफ स्थित है।
कोणों का योग एन -गोन.
उत्तल n-गॉन के कोणों का योग (n-2)∙180° होता है।
एक गैर-उत्तल n-गॉन के कोणों का योग भी (n-2)∙180° के बराबर होता है। (प्रमाण समान है, लेकिन इसके अतिरिक्त इस प्रमेय का उपयोग किया गया है कि किसी भी बहुभुज को विकर्ण रूप से त्रिभुजों में काटा जा सकता है)।
विकर्णों की संख्या एन -गोन.*

प्रमेय:किसी भी n-गोन के विकर्णों की संख्या n(n-3)2 है।

सबूत:मान लीजिए n बहुभुज के शीर्षों की संख्या है, आइए हम संभावित विभिन्न विकर्णों की संख्या p की गणना करें। प्रत्येक शीर्ष दो पड़ोसी शीर्षों और, स्वाभाविक रूप से, स्वयं को छोड़कर, अन्य सभी शीर्षों से विकर्णों द्वारा जुड़ा हुआ है। इस प्रकार, n-3 विकर्ण एक शीर्ष से खींचे जा सकते हैं; आइए इसे शीर्षों की संख्या (n-3)∙n से गुणा करें, हालांकि, हमने प्रत्येक विकर्ण को दो बार गिना है (प्रत्येक छोर के लिए एक बार, इसलिए, हमें 2 से विभाजित करना होगा) - इसलिए, p= n(n-3)2।

समस्या*: किस उत्तल बहुभुज में भुजाओं की तुलना में 25 विकर्ण अधिक हैं?

25+एन = एनएन-32

50 + 2एन = एन 2 - 3एन

एन 2 - 5एन - 50 = 0

आइए गुणनखंड करें

एन 2 -25-5एन -25 = 0

n=-5 संतुष्ट नहीं करता,

क्योंकि यह अस्तित्व में नहीं है

ऐसा बहुभुज

n = 10 संतुष्ट करता है

उत्तर : दशमांश।

समान विकर्णों वाली आकृतियाँ।*

सतह पर यहाँ दो नियमित बहुभुज हैं सभी विकर्ण बराबर हैंआपस में - यह वर्गऔर नियमित पंचकोण (पेंटागन). एक वर्ग में दो समान विकर्ण होते हैं जो केंद्र में समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक नियमित पंचकोण में पाँच समान विकर्ण होते हैं, जो मिलकर एक पाँच-नुकीले तारे (पेंटाग्राम) का पैटर्न बनाते हैं।

अंतरिक्ष में केवल एक ही सही है बहुतल (बहुभुज नहीं), कौन सा सभी विकर्ण बराबर हैंआपस में - यह नियमित अष्टफलक (अष्टफलक). अष्टफलक परतीन विकर्ण जो केंद्र में लंबवत रूप से जोड़े में प्रतिच्छेद करते हैं। ऑक्टाहेड्रोन के सभी विकर्ण स्थानिक हैं (ऑक्टाहेड्रोन में चेहरों का कोई विकर्ण नहीं है, क्योंकि इसमें त्रिकोणीय चेहरे हैं)।

ऑक्टाहेड्रोन के अलावा, एक और नियमित पॉलीहेड्रॉन है, जो सभी स्थानिक विकर्ण समान हैंआपस में - यह घन (हेक्साहेड्रोन), स्थानिक के अलावा, घन में फलकों के विकर्ण भी होते हैं. घन में चार समान स्थानिक विकर्ण हैं जो केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं। किसी घन के विकर्णों के बीच का कोण या तो आर्ककोस (1/3) ≈ 70.5° (आसन्न शीर्षों पर खींचे गए विकर्णों के एक जोड़े के लिए) या आर्ककोस (-1/3) ≈ 109.5° (गैर पर खींचे गए विकर्णों के एक जोड़े के लिए) होता है। -आसन्न शीर्ष)।

चतुर्भुज.
प्रत्येक चतुर्भुज में चार शीर्ष, चार भुजाएँ और दो विकर्ण होते हैं।

दो गैर-आसन्न भुजाओं को विपरीत भुजाएँ कहा जाता है।

दो गैर-आसन्न शीर्षों को विपरीत कहा जाता है।
1.समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़े में समानांतर होती हैं।
समांतर चतुर्भुज के गुण:
1) समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। एबी=डीसी, एडी=बीसी।

2) समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। A=C, B=D.

3) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं। एओ=ओसी, बीओ=ओडी.

4) एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है। A+D=180, A+B=180, B+C=180, D+C=180.

5) सभी कोणों का योग 360° होता है। A+B+C+D=360°.

6)* एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी दो आसन्न भुजाओं के वर्गों के योग के दोगुने के बराबर होता है: AC 2 +BD 2 =2∙(AB 2 +AD 2)।

समस्या 1*:एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि एक विकर्ण की लंबाई AC = 9 सेमी है, और भुजाएँ AD = 7 सेमी और AB = 4 सेमी हैं।

समाधान:मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

81+बीडी 2 =2∙(49+16),

BD 2 =49, इसलिए दूसरा विकर्ण BD = 7 सेमी है। उत्तर: 7 सेमी।
समस्या 2*:एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि एक विकर्ण की लंबाई BD=10 सेमी है, और भुजाएँ AD=8 सेमी और AB=2 सेमी हैं।

समाधान:समस्या की स्थितियाँ सत्य नहीं हैं, क्योंकि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से अधिक होता है। उत्तर: समस्या का कोई समाधान (अर्थ) नहीं है।

समस्या 3*: a) समांतर चतुर्भुज की भुजा ज्ञात करें यदि यह ज्ञात है कि विकर्णों की लंबाई BD = 6 सेमी, AC = 8, और एक भुजा AB = 5 सेमी है b) इस समांतर चतुर्भुज का नाम क्या है?
समस्या 4**:एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई का योग 12 सेमी है, और 32 का गुणनफल है, तो इसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग का मान ज्ञात करें।
समस्या 5**:उस समांतर चतुर्भुज का सबसे बड़ा परिमाप ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 6 सेमी और 8 सेमी हैं।

समाधान:आइए इसे साबित करें दिए गए विकर्ण लंबाई वाले सभी समांतर चतुर्भुजों में, समचतुर्भुज का परिमाप सबसे बड़ा होता है .

वास्तव में, चलो एऔर बीसमांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं की लंबाई हैं, और इसके विकर्णों की लंबाई हैं (चित्र 2 देखें)। तब समांतर चतुर्भुज का परिमाप है: पी = 2(ए + बी).

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों के योग पर प्रमेय को व्यक्त करने वाली समानता से, यह निष्कर्ष निकलता है कि दिए गए विकर्णों वाले सभी समांतर चतुर्भुजों के लिए, भुजाओं के वर्गों का योग एक स्थिर मान होता है।

अंकगणित माध्य और माध्य वर्ग के बीच असमानता के अनुसार:  , और समानता प्राप्त होती है टी और टी।, जब ए = बी. इसका मतलब यह है कि सबसे बड़े परिधि वाला समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। इस समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात कीजिए: =5(सेमी)। उत्तर: 20 सेमी.

2.आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं।
परिभाषा 2: यह एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं।

परिभाषा 3: यह एक समकोण वाला समांतर चतुर्भुज है।

परिभाषा 4: यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसके कोण बराबर होते हैं।
आयत गुण: +
1) आयत के विकर्ण बराबर हैं।

2)* विकर्ण का वर्ग भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। एसी 2 =एबी 2 +डीसी 2

कार्य 1:आयत की सबसे छोटी भुजा 5 सेमी है, विकर्ण 60° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। आयत के विकर्ण ज्ञात कीजिए।
कार्य 2:एक आयत की सबसे छोटी भुजा 24 है, विकर्ण 120° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। आयत के विकर्ण और सबसे लंबी भुजा ज्ञात करें।
समस्या 3*:आयत की भुजा 3 सेमी है, विकर्ण 5 सेमी है। आयत की दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए।
समस्या 4*:आयत की भुजा 6 सेमी है, विकर्ण 10 सेमी है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

3.रोम्बस एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
परिभाषा 2: यह एक चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
एक समचतुर्भुज के गुण: समांतर चतुर्भुज के समान गुण +
1) समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत (AC ⊥ BD) होते हैं।

2) एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों को आधे में विभाजित करते हैं (अर्थात्, एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं - ∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC, ∠ADB = ∠ सीडीबी)।

3)*विकर्णों के वर्गों का योग भुजा के वर्ग को 4 से गुणा करने के बराबर होता है (समांतर चतुर्भुज पहचान का परिणाम)। एसी 2 +बीडी 2 =4 एबी 2
कार्य 1:समचतुर्भुज के विकर्ण 6 और 8 सेमी हैं। समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात कीजिए।
कार्य 2:समचतुर्भुज की भुजा 10 सेमी है, एक कोण 60 है। समचतुर्भुज का छोटा विकर्ण ज्ञात कीजिए।
4.वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण 90 के बराबर हैं और सभी भुजाएँ बराबर हैं।
परिभाषा 2: यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण और भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।

परिभाषा 3: यह एक चतुर्भुज है जिसके सभी कोण और भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं।

परिभाषा 4: यह एक समकोण वाला एक समचतुर्भुज है।

परिभाषा 5: यह एक समचतुर्भुज है जिसके कोण बराबर हैं।

परिभाषा 6: यह एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं।
एक वर्ग के गुण: समांतर चतुर्भुज के समान गुण +
1) एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं।

2) वर्ग के विकर्ण परस्पर लंबवत (AC ⊥ BD) हैं।

3) किसी वर्ग के विकर्ण उसके कोणों को आधे में विभाजित करते हैं (अर्थात वर्ग के विकर्ण उसके कोणों के समद्विभाजक होते हैं - ∠DCA = ∠BCA= ∠ABD = ∠CBD= ∠BAC = ∠DAC= ∠ADB = ∠ सीडीबी=45).

4)* विकर्ण का वर्ग भुजा के वर्ग के दोगुने के बराबर होता है। एसी 2 =2 एबी 2

5. ट्रेपेज़ॉइड एक चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ समानांतर हैं और अन्य दो समानांतर नहीं हैं।
समानांतर भुजाओं को आधार कहा जाता है, और अन्य दो को पार्श्व भुजाएँ कहा जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि उसकी भुजाएँ बराबर हों।

एक समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है यदि इसका एक कोण समकोण हो।
काम:सिद्ध कीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज आयताकार और समद्विबाहु दोनों नहीं हो सकता।

परिभाषा

शीर्ष कोना

कोण का शीर्ष वह बिंदु है जहां से दो किरणें निकलती हैं।

कोण का शीर्ष वह बिंदु है जहां से दो किरणें निकलती हैं; जहां दो खंड मिलते हैं; जहां दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं; किरणों, खंडों और रेखाओं का कोई संयोजन कहां है जो दो (सीधी-रेखा) "पक्षों" का निर्माण करता है जो एक बिंदु पर एकत्रित होते हैं।

बहुभुज बहुभुज शीर्ष

बहुभुज में, एक शीर्ष को "उत्तल" कहा जाता है यदि बहुभुज का आंतरिक कोण π रेडियन (180° दो समकोण है) से कम है। अन्यथा शीर्ष को "अवतल" कहा जाता है।

अधिक आम तौर पर, एक बहुफलक का एक शीर्ष उत्तल होता है यदि एक पर्याप्त छोटे गोले के साथ बहुफलक का प्रतिच्छेदन, जिसका शीर्ष केंद्र के रूप में हो, एक उत्तल आकृति है; अन्यथा शीर्ष अवतल है.

एक बहुफलक के शीर्ष एक ग्राफ के शीर्षों से संबंधित होते हैं, क्योंकि एक बहुफलक एक ऐसा ग्राफ होता है जिसके शीर्ष एक बहुफलक के शीर्षों के अनुरूप होते हैं, और इसलिए एक बहुफलक के ग्राफ को एक आयामी सरलीकृत परिसर के रूप में माना जा सकता है जिसके शीर्ष होते हैं ग्राफ़ के शीर्ष. हालाँकि, ग्राफ़ सिद्धांत में, शीर्षों में दो से कम आपतित किनारे हो सकते हैं, जो आमतौर पर ज्यामितीय शीर्षों के लिए अनुमति नहीं है। ज्यामितीय शीर्षों और वक्र के शीर्षों, इसकी वक्रता के चरम बिंदुओं के बीच भी एक संबंध है - बहुभुज के शीर्ष एक अर्थ में अनंत वक्रता के बिंदु हैं, और यदि बहुभुज को एक चिकने वक्र द्वारा अनुमानित किया जाता है, तो बिंदु अत्यधिक वक्रता बहुभुज के शीर्षों के निकट स्थित होगी। हालाँकि, एक चिकने वक्र का उपयोग करके बहुभुज का अनुमान लगाने से न्यूनतम वक्रता के बिंदुओं पर अतिरिक्त शीर्ष मिलते हैं।

समतल मोज़ाइक के शिखर

"कान"

"मुंह"

मुख्य शिखर x i (\displaystyle x_(i))सरल बहुभुज पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)यदि विकर्ण है तो इसे "मुंह" कहा जाता है [ एक्स आई - 1 , एक्स आई + 1 ] (\डिस्प्लेस्टाइल)बाहर पड़ा है पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी).

एक बहुफलक के शीर्षों की संख्या

त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रॉन की किसी भी सतह में यूलर विशेषता होती है:

वी − ई + एफ = 2 , (\displaystyle वी-ई+एफ=2,)

कहाँ वी (\डिस्प्लेस्टाइल वी)- शीर्षों की संख्या, ई (\डिस्प्लेस्टाइल ई)- किनारों की संख्या, और एफ (\डिस्प्लेस्टाइल एफ)- चेहरों की संख्या. इस समानता को यूलर समीकरण के नाम से जाना जाता है। उदाहरण के लिए, एक घन में 12 किनारे और 6 फलक होते हैं, और इसलिए 8 शीर्ष होते हैं: 8 − 12 + 6 = 2 (\displaystyle 8-12+6=2) .

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में शिखर

कंप्यूटर ग्राफिक्स में, वस्तुओं को अक्सर त्रिकोणीय पॉलीहेड्रा के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें किसी वस्तु के शीर्ष न केवल तीन स्थानिक निर्देशांक के साथ जुड़े होते हैं, बल्कि किसी वस्तु की छवि के सही निर्माण के लिए आवश्यक अन्य ग्राफिक जानकारी, जैसे कि रंग, के साथ भी जुड़े होते हैं। परावर्तनशीलता, बनावट और शीर्ष मानदंड। इन गुणों का उपयोग किसी छवि का निर्माण करते समय किया जाता है

प्रश्न के अनुभाग में बताएं कि किस आकृति को बहुभुज कहा जाता है। बहुभुज के शीर्ष, भुजाएँ, विकर्ण और परिधि क्या हैं? लेखक द्वारा दिया गया एरेक ग्रिगोरियनसबसे अच्छा उत्तर है बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसे एक बंद टूटी हुई रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है।
बहुभुज के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है।
बहुभुज के गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाले खंड विकर्ण कहलाते हैं।
एक बहुभुज का परिमाप सभी बहुभुजों की लंबाई का योग होता है।
स्रोत: इसके लिए यांडेक्स को धन्यवाद

उत्तर से बच्चा[गुरु]

उत्तर से न्यूरोलॉजिस्ट[नौसिखिया]
उत्तर है कट गया!!!

उत्तर से व्यक्ति[नौसिखिया]
बहुत-बहुत धन्यवाद

उत्तर से चादर[नौसिखिया]
बहुभुज - 4 से अधिक कोणों वाली एक आकृति।
शीर्ष - किसी कोण का शीर्ष, दो भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।
पार्श्व - ठीक है, वास्तव में - पार्श्व))) ऐसी छड़ी जिससे इसकी रचना होती है
विकर्ण - एक कोने से दूसरे कोने तक खींची गई रेखा
परिधि - सभी भुजाओं की लंबाई का योग

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हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी हमें अनूठे प्रस्तावों, प्रचारों और अन्य घटनाओं और आगामी कार्यक्रमों के साथ आपसे संपर्क करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी का खुलासा तीसरे पक्ष को नहीं करते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ में सरकारी निकायों के अनुरोधों के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।