Umocnenie diela a kvocient. Stupeň a jeho vlastnosti

hlavným cieľom

Oboznámiť študentov s vlastnosťami stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a naučiť, ako vykonávať akcie so stupňami.

Téma "Stupeň a jeho vlastnosti" obsahuje tri otázky:

• Určenie stupňa prirodzeným ukazovateľom.
• Násobenie a delenie stupňov.
• Umocnenie práce a moci.

Kontrolné otázky

1. Sformulujte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom väčším ako 1. Uveďte príklad.
2. Sformulujte definíciu stupňa s exponentom 1. Uveďte príklad.
3. Aké je poradie vykonávania pri vyhodnocovaní hodnoty výrazu obsahujúceho mocniny?
4. Formulujte hlavnú vlastnosť stupňa. Uveďte príklad.
5. Formulujte pravidlo pre násobenie stupňov s rovnakými základmi. Uveďte príklad.
6. Formulujte pravidlo na delenie stupňov s rovnakým základom. Uveďte príklad.
7. Formulujte pravidlo pre umocňovanie súčinu. Uveďte príklad. Dokážte totožnosť (ab) n = a n b n.
8. Formulujte pravidlo pre umocňovanie. Uveďte príklad. Dokážte totožnosť (а m) n = а m n.

Určenie stupňa.

Podľa sily čísla a s prirodzenou mierou n väčší ako 1 je súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a... Podľa sily čísla a s exponentom 1 je samotné číslo a.

Stupeň so základňou a a indikátor n napísané takto: a n... Číta sa „ a do tej miery n“; „N je mocnina čísla a ”.

Podľa definície stupňa:

a 4 = a a a a a

. . . . . . . . . . . .

Nájdenie hodnoty stupňa je tzv umocňovanie .

1. Príklady umocňovania:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Nájdite hodnoty výrazov:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1 000 = 3 000

b) -24 + (-3)2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

možnosť 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentujte ako štvorec čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazov:

c) -14 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Násobenie stupňov.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné čísla m a n:

a m a n = a m + n.

dôkaz:

Pravidlo : Pri násobení stupňov s rovnakými základmi sa základy nechajú rovnaké a exponenty sa sčítajú.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

možnosť 1

1. Prezentujte ako titul:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 r h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Delenie stupňov.

Pre ľubovoľné číslo a0 a ľubovoľné prirodzené čísla m a n také, že m > n, platí:

a m: a n = a m - n

dôkaz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

podľa definície súkromného:

a m: a n = a m - n.

Pravidlo: Pri delení stupňov s rovnakými základmi sa základ ponechá rovnaký a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu deliteľa.

Definícia: Stupeň čísla a, ktoré sa nerovná nule, s nulovým exponentom sa rovná jednej:

odkedy a n: a n = 1 pre a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) o 8: o 3 = o 8 - 3 = o 5

c) a 7: a = a 7: a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) s5: s0 = s5: 1 = s5

a) 5 7: 5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1 000

v)

G)

e)

možnosť 1

1. Prezentujte kvocient ako stupeň:

2. Nájdite hodnoty výrazov:

Umocnenie diela.

Pre ľubovoľné a a b a ľubovoľné prirodzené číslo n:

(ab) n = a n b n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(ab) n =

Zoskupením faktorov a a faktorov b oddelene dostaneme:

=

Preukázaná vlastnosť stupňa súčinu sa vzťahuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov.

Napríklad:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n.

Pravidlo: Pri zvýšení na výkon produktu sa každý faktor zvýši na túto silu a výsledok sa znásobí.

1. Zvýšte výkon:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 = 2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 r.) 3 = (-5) 3 r. 3 = -125 r.

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Nájdite hodnotu výrazu:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1 000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10 000 = 90 000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

možnosť 1

1. Zvýšte výkon:

b) (2 a c) 4

d) (-0,1 x y) 3

2. Nájdite hodnotu výrazu:

b) (5 7 20) 2

Umocňovanie.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n:

(a m) n = a m n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(a m) n =

pravidlo: Pri zvýšení výkonu na výkon sa základňa ponechá rovnaká a indikátory sa znásobia.

1. Zvýšte výkon:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

možnosť 1

1. Zvýšte výkon:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Nájdite význam výrazov:

Dodatok

Určenie stupňa.

Možnosť 2

1. Napíšte prácu ako diplom:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Prezentujte ako štvorec čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazov:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 - 100

Možnosť 3

1. Napíšte prácu vo forme diplomu:

a) 0,5 0,5 0,5

c) s s s s s s s s

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentujte vo forme štvorca čísla: 100; 0,49; ...

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazov:

c) -15 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Možnosť 4

1. Napíšte prácu vo forme diplomu:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Prezentujte ako štvorec čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazov:

c) -14 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Násobenie stupňov.

Možnosť 2

1. Prezentujte ako titul:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) r 5 r h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Možnosť 3

1. Prezentujte ako titul:

a) a 3 a 5 f) r 2 r 4 r. 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Možnosť 4

1. Prezentujte ako titul:

a) a 6 a 2 f) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 r h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Delenie stupňov.

Možnosť 2

1. Prezentujte kvocient ako stupeň:

2. Nájdite hodnoty výrazov:

Ak ignorujeme ôsmy stupeň, čo tu vidíme? Pripomíname program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozrime sa bližšie na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z násobiteľov v čitateli, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa mali obrátiť, mohlo by sa uplatniť pravidlo.

Ale ako na to? Ukázalo sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny sú magicky obrátené. Tento „fenomén“ je použiteľný na akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý nazývame prirodzené čísla oproti nim (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, ale nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na niektoré nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Zvážte titul so základom. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. A aké číslo vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane by sa to malo rovnať akýmkoľvek stupňom - ​​akokoľvek si násobíte, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo v nultom stupni, musí sa rovnať. Čo z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezapájať a odmietli zvýšiť nulu na nulu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel patria medzi celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme to isté ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakou zápornou mocninou:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť, čo hľadáte:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo v zápornej mocnine je inverzné k rovnakému číslu v kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz neuvedený v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovým stupňom sa rovná jednej:.

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule, je v zápornej mocnine inverzne k rovnakému číslu v kladnej mocnine:.

Úlohy na samostatné riešenie:

No, a ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú hrozné, ale na skúške treba byť pripravený na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenie, ak ste ich nevedeli vyriešiť, a na skúške sa naučíte, ako sa s nimi ľahko vyrovnať!

Pokračujme v rozširovaní okruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je Zlomkový stupeň, zvážte zlomok:

Umocnime obe strany rovnice:

Teraz si pripomeňme pravidlo o "Od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou th koreňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia umocnenia:.

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento konkrétny prípad môže byť rozšírený:.

Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď sa dá ľahko získať pomocou pravidla od stupňa k stupňu:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že zo záporných čísel nemôžete extrahovať korene párneho stupňa!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zrušiteľné zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom môžete písať. Ak si však ukazovateľ zapíšeme iným spôsobom, a opäť nám bude nepríjemnosť: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný radix s zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• — prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné na konverziu koreňových výrazov, napríklad:

5 príkladov na precvičenie

Rozbor 5 príkladov na tréning

1. Nezabudnite na obvyklé vlastnosti stupňov:

2.. Tu si pamätáme, že sme sa zabudli naučiť tabuľku stupňov:

predsa - je to resp. Riešenie sa nájde automaticky:.

A teraz to najťažšie. Teraz budeme analyzovať iracionálny stupeň.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

Podľa definície sú iracionálne čísla čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celistvým a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...číslo nula stupňa- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ani neobjavilo - výsledkom je teda len akési „prázdne číslo “, menovite číslo;

...celočíselný záporný exponent- akoby prebiehal akýsi "obrátený proces", teda číslo sa nenásobilo samo sebou, ale delilo.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným ukazovateľom, to znamená, že ukazovateľ nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, v inštitúte budete mať možnosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvýšenie moci na moc:

Teraz sa pozrite na indikátor. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec pre skrátené násobenie, rozdiel štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch uvádzame do rovnakého tvaru: buď oba desiatkové, alebo oba obyčajné. Zoberme si napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením tvaru:, kde:

• — základ titulu;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3, ...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Celočíselný stupeň (0, ± 1, ± 2, ...)

Ak je exponent celé pozitívnečíslo:

Erekcia na nulový stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane do akéhokoľvek stupňa - toto a na druhej strane - do akéhokoľvek čísla na tý stupeň - toto.

Ak je exponent celý negatívnyčíslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade veľkých písmen. Ak potom.

Príklady:

Racionálny stupeň

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Výkonové vlastnosti

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

Podľa definície:

Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to stupeň čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musia mať rovnaké základy. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostáva samostatným faktorom:

Ešte jeden dôležitá poznámka: toto pravidlo je - len pre súčin stupňov!

To by som v žiadnom prípade nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Usporiadajme tento kúsok takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy by ste to nemali robiť úplne:!

Spomeňme si na skrátené vzorce násobenia: koľkokrát sme chceli písať? Ale to napokon nie je pravda.

Titul so záporným základom.

Do tejto chvíle sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť indikátor stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch s prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Negatív je však o niečo zaujímavejší. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej do nekonečna: pri každom ďalšom násobení sa znamenie zmení. Môžete formulovať také jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Sami sa rozhodnite, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Len sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda pokiaľ nie je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:

Pred preskúmaním posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak ignorujeme ôsmy stupeň, čo tu vidíme? Pripomíname program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozrime sa bližšie na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z násobiteľov v čitateli, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa uplatniť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukázalo sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Teraz sa však ukazuje nasledovné:

Termíny sú magicky obrátené. Tento „fenomén“ je použiteľný na akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa nahradiť zmenou len jednej nevýhody, ktorú nechceme!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

Teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: boli tam len multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície stupeň čísla s exponentom:

Príklad:

Iracionálny stupeň

Okrem informácií o stupňoch pre strednú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno znázorniť ako zlomok, kde a sú celé čísla (teda je, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celistvým a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa už raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba druh "prázdneho čísla", konkrétne čísla; stupeň s celočíselným záporným exponentom je ako keby prebehol určitý "obrátený proces", teda číslo sa nenásobilo samo sebou, ale delilo.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným ukazovateľom, to znamená, že ukazovateľ nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, v inštitúte budete mať možnosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda robíme, keď vidíme iracionálny exponent? Zo všetkých síl sa ho snažíme zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

odpovede:

1. Pripomíname si vzorec pre rozdiel štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad:.
3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE

stupňa sa nazýva výraz v tvare:, kde:

Celočíselný stupeň

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé a kladné).

Racionálny stupeň

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Iracionálny stupeň

stupňa, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Výkonové vlastnosti

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovým stupňom sa rovná.

TERAZ VAŠE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Napíšte do komentárov, či sa vám to páči alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s vlastnosťami titulov.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia samotného čísla. Reprezentujme vzorcom: a1 * a2 *… * an = an.

Napríklad a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.

Vo všeobecnosti sa umocňovanie často používa v rôznych vzorcoch v matematike a fyzike. Táto funkcia má vedeckejší účel ako štyri hlavné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Zvýšenie čísla na mocninu nie je náročná operácia. Súvisí s násobením ako vzťah medzi násobením a sčítaním. Zápis an je krátky zápis n-tého počtu čísel "a" vynásobených navzájom.

Zvážte maximálne umocnenie jednoduché príklady prejsť na zložité.

Napríklad 42,42 = 4 * 4 = 16. Štyri na druhú (druhá mocnina) sa rovná šestnástim. Ak nerozumiete násobeniu 4 * 4, prečítajte si náš článok o násobení.

Pozrime sa na ďalší príklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 ... Päť kociek (v tretej mocnine) sa rovná stodvadsiatim piatim.

Ďalší príklad: 9 ^ 3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 ... Deväť kociek sa rovná sedemstodvadsaťdeväť.

Vzorce umocňovania

Ak chcete správne zvýšiť výkon, musíte si zapamätať a poznať nižšie uvedené vzorce. V tomto nie je nič nadprirodzené, hlavnou vecou je pochopiť podstatu a potom sa nielen zapamätajú, ale budú sa zdať ľahké.

Umocnenie jednočlena

Čo je to monomial? Toto je súčin čísel a premenných v akomkoľvek množstve. Napríklad dvojka je jednočlenný. A tento článok je o pozdvihnutí sily takýchto monomíálov.

Pomocou vzorcov umocňovania nebude ťažké vypočítať umocnenie jednočlenu.

napr. (3x ^ 2 roky ^ 3) ^ 2 = 3 ^ 2 * x ^ 2 * 2 * y ^ (3 * 2) = 9x ^ 4 roky ^ 6; Ak povýšite monomický znak na mocninu, potom sa každý zložený monomér zvýši na mocninu.

Zvýšením na moc premennej, ktorá už má stupeň, sa stupne vynásobia. Napríklad (x ^ 2) ^ 3 = x ^ (2 * 3) = x ^ 6;

Záporné umocňovanie

Záporná mocnosť je inverzná. Čo je to recipročné? Akékoľvek číslo X bude inverzné 1 / X. To znamená, že X-1 = 1 / X. Toto je podstata negatívneho stupňa.

Zvážte príklad (3Y) ^ - 3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^ 3).

prečo je to tak? Keďže v stupni je mínus, jednoducho tento výraz prenesieme do menovateľa a potom ho zvýšime na tretí stupeň. Len nie?

Zlomkové umocňovanie

Začnime problém skúmať na konkrétnom príklade. 43/2. Čo znamená 3/2 stupňa? 3 - čitateľ, znamená zvýšenie čísla (v tomto prípade 4) na kocku. Číslo 2 je menovateľ, je to extrakcia druhej odmocniny čísla (v tomto prípade 4).

Potom dostaneme druhú odmocninu z 43 = 2 ^ 3 = 8. odpoveď: 8.

Takže menovateľ zlomkového stupňa môže byť 3 alebo 4 a do nekonečna ľubovoľné číslo a toto číslo určuje stupeň odmocnina získané z dané číslo... Samozrejme, menovateľ nemôže byť nula.

Umocňovanie

Ak je koreň povýšený na silu rovnajúcu sa sile samotného koreňa, potom bude odpoveďou radikálny výraz. Napríklad (√x) 2 = x. A teda v každom prípade rovnosť stupňa koreňa a stupňa vzpriamenia koreňa.

Ak (√x) ^ 4. Potom (√x) ^ 4 = x ^ 2. Aby sme skontrolovali riešenie, preložme výraz na výraz so zlomkovou mocninou. Keďže odmocnina je štvorcová, menovateľ je 2. A ak sa odmocnina zvýši na štvrtú mocninu, potom je čitateľ 4. Dostaneme 4/2 = 2. Odpoveď: x = 2.

V každom prípade najlepšia cesta stačí previesť výraz na výraz zlomkovej mocniny. Ak sa zlomok nezruší, potom táto odpoveď bude, za predpokladu, že nie je vybraný koreň daného čísla.

Umocňovanie komplexného čísla

Čo je to komplexné číslo? Komplexné číslo je výraz, ktorý má vzorec a + b * i; a, b - reálne čísla. i je číslo, ktoré po druhej mocnine dáva číslo -1.

Pozrime sa na príklad. (2 + 3i) ^ 2.

(2 + 3i) ^ 2 = 22 + 2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 + 12i ^ -9 = -5 + 12i.

Absolvujte kurz „Zrýchlenie verbálneho počítania, NIE mentálnej aritmetiky“, aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca extrahovať odmocniny. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché triky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné zadania.

Online umocňovanie

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať umocnenie čísla:

Stupeň umocnenia 7

Školáci začínajú prechádzať exponenciou až v siedmom ročníku.

Umocňovanie je operácia úzko súvisiaca s násobením; táto operácia je výsledkom viacnásobného násobenia samotného čísla. Reprezentujme vzorcom: a1 * a2 *… * an = an.

napr. a = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8.

Príklady riešenia:

Prezentácia umocňovania

Promočná prezentácia pre siedmakov. Prezentácia môže objasniť niektoré mätúce body, no vďaka nášmu článku k takýmto momentom zrejme nedôjde.

Výsledok

Práve sme prebrali špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie verbálneho počítania – NIE mentálnej aritmetiky.

Z kurzu sa nielen naučíte desiatky techník na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie, výpočet percent, ale ich aj vypracujete v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Veľa pozornosti a koncentrácie si vyžaduje aj slovné počítanie, ktoré sa aktívne trénuje pri riešení zaujímavých úloh.

Pripomíname, že táto lekcia rozumie výkonové vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. Stupne s racionálne ukazovatele a ich vlastnosti budú rozoberané na hodinách pre 8 tried.

Prirodzený exponent má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré uľahčujú výpočet v príkladoch exponentov.

Číslo nehnuteľnosti 1
Súčin stupňov

Pamätajte!

Pri násobení stupňov s rovnakými základmi zostane základ nezmenený a exponenty sa sčítajú.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

Táto vlastnosť stupňov ovplyvňuje aj súčin troch a viacerých stupňov.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte ako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte ako diplom.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Dôležité!

Upozorňujem, že v zadanej vlastnosti išlo len o násobenie právomocí s z rovnakých dôvodov ... Nevzťahuje sa na ich sčítanie.

Sumu (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5. To je pochopiteľné, ak
počet (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Číslo nehnuteľnosti 2
Súkromné ​​tituly

Pamätajte!

Pri delení stupňov s rovnakými základmi zostane základ nezmenený a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu dividendy.

= 11 3 – 2 4 2 – 1 = 11 4 = 44

Príklad. Vyriešte rovnicu. Využívame majetok súkromných titulov.
38: t = 34

T = 38 - 4

Odpoveď: t = 3 4 = 81

Pomocou vlastností # 1 a # 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.

• Príklad. Zjednodušte výraz.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
• Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou vlastností stupňa.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Dôležité!

  Upozorňujeme, že vo vlastnosti 2 sme hovorili iba o delení stupňov s rovnakými základmi.

  Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1. Je to pochopiteľné, ak počítate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4

  Buď opatrný!

  Číslo nehnuteľnosti 3
  Umocňovanie

  Pamätajte!

  Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ moci nezmenený a exponenty sa násobia.

  (a n) m = a n · m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.

  
  

  Vlastnosti 4
  Stupeň práce

  Pamätajte!

  Pri zvyšovaní sily produktu sa každý z faktorov zvyšuje na silu. Výsledky sa potom znásobia.

  (a · b) n = a n · b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla; "N" je ľubovoľné prirodzené číslo.

  • Príklad 1
    (6 a 2 b 3 s) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Príklad 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Dôležité!

  Všimnite si, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné výkonové vlastnosti, sa aplikuje v opačnom poradí.

  (a n b n) = (a b) n

  To znamená, že ak chcete vynásobiť stupne s rovnakými indikátormi, môžete vynásobiť základy a exponent môže zostať nezmenený.

  • Príklad. Vypočítajte.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Príklad. Vypočítajte.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Vo viac komplexné príklady môžu nastať prípady, keď sa násobenie a delenie musí vykonávať v stupňoch s rôznymi základňami a rôznymi ukazovateľmi. V tomto prípade vám odporúčame postupovať nasledovne.

  napr. 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Príklad umocnenia na desatinnú čiarku.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Vlastnosti 5
  Stupeň kvocientu (zlomok)

  Pamätajte!

  Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť samostatnú dividendu a deliteľa tejto mocniny a vydeliť prvý výsledok druhým.

  (a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.

  • Príklad. Prezentujte výraz vo forme súkromných diplomov.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Pripomíname, že kvocient môže byť vyjadrený ako zlomok. Preto sa téme zvyšovania moci zlomku podrobnejšie venujeme na ďalšej strane.

Téma lekcie: Umocnenie diela, kvocient a stupeň

Typ lekcie: Lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Vygenerované výsledky:

Predmet. Posilnite zručnosti aplikácie vlastností stupňa s prirodzeným indikátorom

Osobné. Formovať schopnosť plánovať svoje konanie v súlade so vzdelávacou úlohou

Metasubjekt. Rozvíjať pochopenie podstaty algebraických predpisov a schopnosť konať v súlade s navrhnutým algoritmom

Očakávané výsledky: Študenti sa naučia používať vlastnosti prirodzeného exponentu na výpočet hodnoty výrazov a transformovať výrazy obsahujúce stupne.

Vybavenie: karty, multimediálny projektor, signálne karty na odraz.

Organizačná štruktúra lekcie:

1 ... Organizácia času.

Ahojte milí chlapci! Som veľmi rád, že ťa vidím. Začnime hodinu matematiky

Aké ťažkosti ste mali pri robení d/z?

Reflexia.

Pred každým žiakom sú kruhy troch farieb: červená, zelená, modrá.

Povedzte mi o svojej nálade pomocou farebných kruhov (Červená- radostný, som si istý, že v lekcii sa veľa naučím, som si istý svojimi vedomosťami.

Zelená -pokojný; Som presvedčený o svojich vedomostiach.

Modrá- alarmujúce; nie som si istý sám sebou).

Trochu vás rozveselím Poissonovými slovami: "Život zdobia dve veci: robiť matematiku a učiť ju."

Ozdobme svoj život!

2. Komunikácia témy a účelu hodiny.

Dnes budeme pokračovať v štúdiu témy: "Umocnenie súčinu kvocientu a stupňa",

opraviť všetky študované akcie s titulmi,

naučíme sa uvažovať, logicky myslieť a dokázať svoj názor.

3. Blesková anketa podľa pravidiel témy.

Ako násobiť stupne s rovnakými základmi? Uveďte príklady.

Ako rozdeliť stupne s rovnakými základmi?

Akú mocninu má číslo iné ako 0 s nulovým exponentom?

Ako povýšiť dielo na moc?

Ako si zvýšiť titul na stupeň?

4. Slovné počítanie.

Komu patria tieto slová?

"Zo všetkých vied, ktoré otvárajú cestu človeku k pochopeniu zákonov prírody, je najmocnejšou a najväčšou vedou matematika."

/ Sofya Vasilievna Kovalevskaya /

Prvá žena je matematická vedkyňa.

Naučíte sa plnením úloh slovného počítania.

K - Aká je strana štvorca, ak jeho plocha je 49 cm 2. (7 cm)

O - Aké číslo je štvorec? ()

B – x 3 x 4 (x 7)

A - x 6 : x 2 (x 4)

L – (x 3) 3 (x 9)

E -
(m 3 )

V -
(m 8 )

S -
(m 10 )

K - (- 2) 3 (-8)

A - - 2 2 (-4)

I - 2 0 (1)

5. Upevnenie naučeného.

Zopakovali sme si pravidlá pre povýšenie diela na moc a moc na moc.

Teraz to napravme na praktické úlohy.

Postará sa o to niekoľko ľudívýskumu. (Šmykľavka)

Pracovať v pároch.

1) Dokážte, že druhé mocniny opačných čísel sú rovnaké.

2) Dokážte, že kocky opačných čísel sú opačné.

3) Ako sa zmení plocha štvorca, ak sa jeho strana zdvojnásobí; 3 krát; 10 krát; n-krát?

4) Ako sa zmení objem kocky, ak sa jej hrana zdvojnásobí; 3 krát; 10 krát; n-krát?

6. Reflexia: ukáž mi svoju náladu.

7. Minúta z fyziky: „Súhlasím – nesúhlasím“

Potriasť hlavou, či so mnou súhlasíš alebo nie.

1) (y 2) 3 = y 5 (žiadne)

2) (-3) 3 = -27 (áno)

3) (-x) 2 = -x 2 (nie)

4) Graf funkcie y = 1,3x prechádza počiatkom. (Áno)

8.

3 · () 2 – 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Zjednodušte výraz:

a) m10; b) m4; c) m2; d) m 8.

3) Vypočítajte:

A) 3; b) 9; c): d)

4) Aký výraz by sa mal nahradiť za (*), aby ste získali identitu:

X 8 : (*) = x 4

A) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

Test testovacieho sklíčka:

9. Poďme si zahrať "Nájdi chybu!"

1) až 15 : a 3 = a 5

2) –z · z 5 · z 0 = - z 6 - správny

3)
=

4) (y 4 y) 2 = y 10 - pravda

Zapíšte si nesprávne úlohy a riešte ich správne.

10. Zhrnutie lekcie.

Čo ste sa naučili v lekcii?

11. D / s

č. 458, 457 (snímka)

Správy o S.V. Kovalevskaja.

12. Reflexia.

Ukážte, ako odchádzate z lekcie?

Snímka: Veľa šťastia!

FI:

Samostatná práca... (test)

1) Nájdite hodnotu výrazu:

3 () 2 - 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Zjednodušte výraz:

a) m10; b) m4; c) m2; d) m 8.

3) Vypočítajte:

a) 3; b) 9; c): d)

4) Aký výraz by sa mal nahradiť za (*), aby ste získali identitu:

x 8: (*) = x 4

a) x 4; b) x 2; c) x 8; d) x 12

stupeň:

Samostatná práca. (test)

1) Nájdite hodnotu výrazu:

3 () 2 - 0,5 2

a) -1; b) - 1 ; v 1 ; d) 1

2) Zjednodušte výraz: