Výrazy, prevod výrazov

Mocninové výrazy (výrazy s mocnosťami) a ich prevod

V tomto článku budeme hovoriť o prevode výrazov moci. Najprv sa zameriame na transformácie, ktoré sa vykonávajú s výrazmi akéhokoľvek druhu, vrátane exponenciálnych výrazov, ako sú napríklad rozširujúce zátvorky, odlievanie podobných výrazov. A potom budeme analyzovať transformácie vlastné presne vo výrazoch s mocnosťami: práca so základňou a exponentom, používanie vlastností stupňov atď.

Navigácia na stránke.

Čo sú to exponenciálne výrazy?

Pojem „exponenciálne výrazy“ sa prakticky nenachádza v školských učebniciach matematiky, ale často sa vyskytuje v súboroch problémov, najmä tých, ktoré sú určené napríklad na prípravu na skúšku a skúšku. Po analýze úloh, v ktorých musíte vykonať akékoľvek akcie s exponenciálnymi výrazmi, je zrejmé, že výrazy sa chápu ako výrazy obsahujúce v ich záznamoch stupne. Preto pre seba môžete prijať nasledujúcu definíciu:

Definícia.

Mocenské výrazy Sú výrazy obsahujúce stupne.

Dajme príklady exponenciálnych výrazov... Navyše ich budeme reprezentovať podľa toho, ako sa vývoj názorov na jav vyskytuje od stupňa s prirodzeným ukazovateľom do stupňa so skutočným ukazovateľom.

Ako viete, najskôr sa zoznámime so silou čísla s prirodzeným exponentom, v tejto fáze prvé najjednoduchšie výkonové výrazy typu 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0, 1) 4, 3 a 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 atď.

O niečo neskôr sa študuje sila čísla s celočíselným exponentom, čo vedie k výskytu výkonových výrazov so zápornými celočíselnými mocnosťami, ako sú tieto: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Na strednej škole sa opäť vracajú k stupňom. Tam sa zavádza stupeň s racionálnym exponentom, ktorý zahŕňa vzhľad zodpovedajúcich výrazov moci: , , atď. Nakoniec sa za stupne s iracionálnymi ukazovateľmi a výrazmi, ktoré ich obsahujú:,.

Vec sa neobmedzuje iba na uvedené výkonové výrazy: premenná preniká ďalej do exponentu a napríklad také výrazy 2 x 2 +1 alebo ... A po zoznámení sa začnú objavovať výrazy s mocninami a logaritmami, napríklad x 2 · lgx −5 · x lgx.

Zistili sme teda otázku, čo sú exponenciálne výrazy. Ďalej sa ich naučíme transformovať.

Základné typy transformácií výkonových výrazov

S exponenciálnymi výrazmi môžete vykonať ktorúkoľvek zo základných identických transformácií výrazov. Môžete napríklad rozšíriť zátvorky, nahradiť číselné výrazy ich hodnotami, zadať podobné výrazy atď. Prirodzene, v tomto prípade je potrebné dodržiavať prijatý postup pri vykonávaní akcií. Tu je niekoľko príkladov.

Príklad.

Vyhodnoťte hodnotu exponenciálneho výrazu 2 3 · (4 2 −12).

Riešenie.

Podľa poradia vykonávania akcií najskôr vykonáme akcie v zátvorkách. Tam za prvé nahradíme stupeň 4 2 hodnotou 16 (pozri v prípade potreby) a za druhé vypočítame rozdiel 16−12 = 4. Máme 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Vo výslednom vyjadrení nahraďte mocninu 3 svojou hodnotou 8, po ktorej vypočítame súčin 8 4 = 32. Toto je požadovaná hodnota.

Takže, 2 3 (4 2 −12) = 2 3 (16−12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Odpoveď:

2 3 (4 2 −12) = 32.

Príklad.

Zjednodušte výkonové výrazy 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Riešenie.

Tento výraz očividne obsahuje podobné výrazy 3 · a 4 · b −7 a 2 · a 4 · b −7 a môžeme ich priniesť :.

Odpoveď:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 = 5 a 4 b −7 −1.

Príklad.

Predstavte si výraz s právomocami ako produkt.

Riešenie.

Na zvládnutie úlohy je rozdielom štvorcov reprezentácia čísla 9 vo forme mocniny 3 2 a následné použitie vzorca na skrátené násobenie:

Odpoveď:

Existuje tiež niekoľko identických transformácií, ktoré sú súčasťou výkonových výrazov. Potom ich analyzujeme.

Práca so základom a exponentom

Existujú stupne, ktorých základ a / alebo exponent nie sú iba čísla alebo premenné, ale aj niektoré výrazy. Ako príklad uvádzame záznamy (2 + 0,37) 5-3,7 a (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Pri práci s takýmito výrazmi môžete nahradiť výraz na základe stupňa aj výraz v exponente identicky rovnakým výrazom na ODZ jeho premenných. Inými slovami, podľa pravidiel, ktoré sú nám známe, môžeme samostatne transformovať základ stupňa a osobitne - exponent. Je zrejmé, že v dôsledku tejto transformácie sa získa výraz, ktorý je identický s pôvodným.

Takéto transformácie nám umožňujú zjednodušiť vyjadrenia pomocou právomocí alebo dosiahnuť ďalšie ciele, ktoré potrebujeme. Napríklad vo vyššie uvedenom exponenciálnom vyjadrení (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 môžete vykonávať akcie s číslami v základni a v exponente, čo vám umožní prejsť na moc 4,1 1,3. A po rozšírení zátvoriek a znížení podobných výrazov na základe stupňa (a (a + 1) −a 2) 2 (x + 1) dostaneme mocninový výraz jednoduchšej formy a 2

Použitie silových vlastností

Jedným z hlavných nástrojov na prevod výrazov s právomocami sú rovnosti, ktoré odrážajú. Pripomeňme si tie hlavné. Pre akékoľvek kladné čísla a a b a ľubovoľné skutočné čísla r a s platia nasledujúce výkonové vlastnosti:

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s.

Všimnite si toho, že pre prirodzené, celočíselné a tiež kladné exponenty nemusia byť obmedzenia čísiel a a b také prísne. Napríklad pre prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m a n = a m + n nielen pre kladné a, ale aj pre záporné čísla a a = 0.

V škole je hlavná pozornosť pri transformácii silových výrazov zameraná práve na schopnosť vybrať si vhodnú vlastnosť a správne ju aplikovať. V tomto prípade sú základy stupňov spravidla kladné, čo umožňuje používanie vlastností stupňov bez obmedzení. To isté platí pre transformáciu výrazov obsahujúcich premenné v základoch stupňov - rozsah prípustných hodnôt premenných je zvyčajne taký, že na ňom základy preberajú iba kladné hodnoty, čo vám umožňuje voľne používať vlastnosti stupňov. Vo všeobecnosti sa musíte neustále pýtať, či je v tomto prípade možné použiť akúkoľvek vlastnosť stupňov, pretože nepresné používanie vlastností môže viesť k zúženiu ODV a ďalším problémom. Tieto body sú podrobne prediskutované s príkladmi v článku o prevode výrazov pomocou vlastností stupňa. Tu sa obmedzíme na niekoľko jednoduchých príkladov.

Príklad.

Predstavte si výraz a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 ako mocninu so základňou a.

Riešenie.

Najprv transformujeme druhý faktor (a 2) −3 na základe vlastnosti zvýšenia sily na silu: (a 2) −3 = a 2 (−3) = a −6... Pôvodný exponenciálny výraz potom bude mať formu 2,5 · a −6: a −5,5. Očividne zostáva používať vlastnosti násobenia a delenia právomocí s rovnakým základom, aký máme
a 2,5 a -6: a -5,5 =
a 2,5-6: a -5,5 = a -3,5: a -5,5 =
a −3,5 - ( - 5,5) = a 2.

Odpoveď:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Pri transformácii exponenciálnych výrazov sa výkonové vlastnosti používajú zľava doprava aj sprava doľava.

Príklad.

Nájdite hodnotu exponenciálneho výrazu.

Riešenie.

Rovnosť (a b) r = a r b r, aplikovaná sprava doľava, vám umožňuje prejsť od pôvodného výrazu k súčinu formy a ďalej. A pri násobení stupňov s rovnakými základmi sa ukazovatele sčítajú: .

Transformáciu pôvodného výrazu bolo možné vykonať iným spôsobom:

Odpoveď:

.

Príklad.

Vzhľadom na exponenciálny výraz a 1,5 −a 0,5 −6 zadajte novú premennú t = a 0,5.

Riešenie.

Stupeň a 1,5 môže byť reprezentovaný ako 0,5 · 3 a ďalej, na základe vlastnosti stupňa v stupni (ar) s = ar · s, aplikovaného sprava doľava, transformujte ho do tvaru (a 0,5) 3 . Preto a 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Teraz je ľahké zaviesť novú premennú t = a 0,5, dostaneme t 3 −t - 6.

Odpoveď:

t 3 −t - 6.

Konvertovanie zlomkov obsahujúcich mocniny

Mocninové výrazy môžu obsahovať zlomky s mocninami alebo môžu byť takýmito zlomkami. Každá zo základných transformácií zlomkov, ktoré sú vlastné zlomkom akéhokoľvek druhu, je na tieto zlomky plne použiteľná. To znamená, že zlomky, ktoré obsahujú mocniny, je možné zrušiť, redukovať na nového menovateľa, pracovať oddelene s ich čitateľom a oddelene so menovateľom atď. Na ilustráciu hovorených slov zvážte riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Zjednodušte exponenciálne vyjadrovanie .

Riešenie.

Tento exponenciálny výraz je zlomok. Pracujme s jeho čitateľom a menovateľom. V čitateľovi otvoríme zátvorky a zjednodušíme potom získaný výraz pomocou vlastností mocní a v menovateli uvedieme podobné výrazy:

A tiež zmeníme znak menovateľa tak, že pred zlomok umiestnime mínus: .

Odpoveď:

.

Redukcia zlomkov obsahujúcich mocniny na nového menovateľa sa vykonáva podobne ako redukcia racionálnych zlomkov na nového menovateľa. V tomto prípade sa tiež nájde ďalší faktor a čitateľ a menovateľ zlomku sa ním vynásobí. Pri vykonávaní tejto akcie stojí za to pamätať na to, že redukcia na nového menovateľa môže viesť k zúženiu ODV. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné, aby dodatočný faktor nezmizol pre žiadne hodnoty premenných z premenných ODZ pre pôvodný výraz.

Príklad.

Znížte zlomky na nového menovateľa: a) na menovateľa a, b) k menovateľovi.

Riešenie.

a) V tomto prípade je celkom ľahké zistiť, ktorý ďalší faktor pomáha dosiahnuť požadovaný výsledok. Toto je faktor 0,3, pretože 0,7 · a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a. Všimnite si toho, že v rozsahu prípustných hodnôt premennej a (toto je množina všetkých kladných reálnych čísel) stupeň a 0,3 nezmizne, preto máme právo vynásobiť čitateľa a menovateľa danej zlomky číslom tento ďalší faktor:

b) Keď sa bližšie pozriete na menovateľa, môžete to zistiť

a vynásobením tohto výrazu dostaneme súčet kociek, tj. A toto je nový menovateľ, na ktorý musíme znížiť pôvodný zlomok.

Takto sme zistili ďalší faktor. Na rozsahu platných hodnôt premenných x a y výraz nezanikne, a preto ním môžeme vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku:

Odpoveď:

a) , b) .

Skratka zlomkov obsahujúcich mocniny tiež nie je ničím novým: čitateľ a menovateľ sú reprezentované ako množstvo faktorov a rovnaké faktory čitateľa a menovateľa sú zrušené.

Príklad.

Znížte zlomok: a) , b).

Riešenie.

a) Po prvé, čitateľ a menovateľ môžu byť zmenšení o čísla 30 a 45, čo je 15. Tiež je zrejmé, že je možné vykonať zníženie o x 0,5 +1 a o ... Tu je to, čo máme:

b) V tomto prípade nie sú rovnaké činitele v čitateľovi a menovateli okamžite viditeľné. Aby ste ich získali, budete musieť vykonať predbežné transformácie. V tomto prípade pozostávajú z rozdelenia menovateľa na faktory podľa vzorca pre rozdiel štvorcov:

Odpoveď:

a)

b) .

Redukcia zlomkov na nového menovateľa a redukcia zlomkov sa používa hlavne na vykonávanie akcií so zlomkami. Akcie sa vykonávajú podľa známych pravidiel. Pri sčítaní (odčítaní) zlomkov sa privedú k spoločnému menovateľovi, po ktorom sa sčítajú (odčítajú) čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký. Výsledkom je zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov. Delenie zlomkom je násobením inverzného zlomku.

Príklad.

Nasleduj kroky .

Riešenie.

Najprv odpočítame zlomky v zátvorkách. Aby sme to urobili, privádzame ich k spoločnému menovateľovi, ktorým je Potom odpočítame čitateľov:

Teraz vynásobíme zlomky:

Očividne je možné zrušiť silu x 1/2, po ktorej máme .

Exponenciálny výraz v menovateli môžete tiež zjednodušiť pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov: .

Odpoveď:

Príklad.

Zjednodušte exponenciálne vyjadrovanie .

Riešenie.

Je zrejmé, že tento zlomok je možné zrušiť pomocou (x 2,7 +1) 2, čo dáva zlomok ... Je zrejmé, že so stupňami x je potrebné urobiť niečo iné. Aby sme to urobili, transformujeme výslednú frakciu na produkt. To nám dáva príležitosť použiť vlastnosť deliacich stupňov na rovnakých základoch: ... A na konci procesu prejdeme od posledného produktu k zlomku.

Odpoveď:

.

A tiež dodávame, že je možné a v mnohých prípadoch žiaduce prenášať multiplikátory s negatívnymi exponentmi z čitateľa do menovateľa alebo zo menovateľa do čitateľa, pričom sa zmení znamienko exponenta. Takéto transformácie často zjednodušujú ďalšie akcie. Exponenciálny výraz môže byť napríklad nahradený výrazom.

Konvertovanie výrazov s koreňmi a silami

Často vo výrazoch, v ktorých sú potrebné určité transformácie, spolu s mocninami so zlomkovými exponentmi, existujú aj korene. Ak chcete takýto výraz transformovať do požadovanej podoby, vo väčšine prípadov stačí ísť iba ku koreňom alebo iba k mocnostiam. Ale pretože je pohodlnejšie pracovať s titulmi, zvyčajne prechádzajú od koreňov k stupňom. Je však vhodné vykonať takýto prechod, ak vám ODZ premenných pre pôvodný výraz umožňuje nahradiť korene mocnosťami bez toho, aby ste sa museli odvolávať na modul alebo rozdeliť ODV na niekoľko intervalov (podrobne sme to prediskutovali v článok predstavuje prechod od koreňov k mocnostiam a späť. zavádza sa stupeň s iracionálnym indikátorom, ktorý umožňuje hovoriť o stupni s ľubovoľným skutočným ukazovateľom. exponenciálna funkcia, ktorá je analyticky stanovená stupňom, na základe ktorého je číslo, a v ukazovateli - premennou. Stojíme teda pred exponenciálnymi výrazmi obsahujúcimi čísla na základe stupňa a v exponente - výrazmi s premennými, a prirodzene je potrebné vykonávať transformácie týchto výrazov.

Malo by sa povedať, že transformáciu výrazov tohto typu je spravidla potrebné vykonať pri riešení exponenciálne rovnice a exponenciálne nerovnosti a tieto prevody sú veľmi jednoduché. V drvivej väčšine prípadov vychádzajú z vlastností titulu a zameriavajú sa hlavne na zavedenie novej premennej v budúcnosti. Môžeme ich demonštrovať na rovnici 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 = 0.

Po prvé, stupne, v ktorých sa nachádza súčet premennej (alebo výrazov s premennými) a čísla, sú nahradené súčinmi. To platí pre prvé a posledné termíny výrazu na ľavej strane:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x = 0.

Ďalej sú obe strany rovnosti delené výrazom 7 2 x, ktorý na ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu preberá iba kladné hodnoty (toto je štandardná technika na riešenie rovníc tohto druhu, nie sme keď o tom teraz hovoríme, zamerajte sa na následné transformácie výrazov s mocnosťami):

Frakcie s mocnosťami sú teraz zrušené, čo dáva .

Nakoniec je pomer stupňov s rovnakými exponentmi nahradený stupňami vzťahov, čo vedie k rovnici čo je ekvivalentné ... Vykonané transformácie nám umožňujú zaviesť novú premennú, ktorá redukuje riešenie pôvodnej exponenciálnej rovnice na riešenie kvadratickej rovnice

I. V. Boykov, L. D. Romanova Zbierka úloh na prípravu na skúšku. Časť 1. Penza 2003.

Učiteľ matematiky: Nashkenova A.N. Stredná škola Maybalik Náčrt lekcie na tému „Titul s racionálnym ukazovateľom“

(algebra, ročník 11)

Ciele lekcie:

Rozšíriť a prehĺbiť znalosti študentov o stupni počtu; oboznámenie študentov s konceptom titulu s racionálnym ukazovateľom a ich vlastnosťami;

Rozvoj znalostí, zručností a schopností na výpočet hodnôt výrazov pomocou vlastností;

Pokračovať v práci na rozvoji zručností analyzovať, porovnávať, zdôrazňovať hlavnú vec, definovať a vysvetľovať pojmy;

Formovať komunikačné kompetencie, schopnosť argumentovať svojimi činmi, podporovať nezávislosť a tvrdú prácu.

Vybavenie: učebnica, karty, notebook,prezentačný materiál Power Point ;

Typ lekcie: lekciu zo štúdia a primárnej konsolidácie nových znalostí.

Plán lekcie:

1. Org. moment. - 1 minúta.

2. Motivácia hodiny.2 minúty

3. Aktualizácia základných znalostí. - 5 minút.

4. Učenie sa nového materiálu. - 15 minút.

5. Cvičenie minúta - 1 min.

6. Primárna konsolidácia študovaného materiálu - 10 min

7. Samostatná práca. - 7 minút

8. Domáca úloha. - 2 minúty.

9. Odraz - 1 min.

10. Zhrnutie lekcie. - 1 minúta.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment

Emocionálny prístup k lekcii.

Chcem pracovať, prajem si

práca,
Prajem vám dnes úspech.
Koniec koncov, v budúcnosti to všetko bude pre vás

prísť vhod.
A v budúcnosti to budeš mať jednoduchšie

študovať(Snímka číslo 1)

2. Motivácia lekcie

Akcie umocňovania a extrakcie koreňov, podobne ako štyri aritmetické operácie, sa objavili v dôsledku praktickej potreby. Spolu s úlohou vypočítať plochu štvorca stranua čo je známe, vyskytol sa inverzný problém: „Ako dlho by mala mať strana štvorca, aby sa jeho plocha rovnalav. V 14-15 storočí sa v západnej Európe objavili banky, ktoré dávali peniaze na rast kniežatám a obchodníkom, financovali dlhé cesty a dobyvačné kampane pre vysoký záujem. Na uľahčenie výpočtu zloženého úroku boli zostavené tabuľky, podľa ktorých bolo možné okamžite zistiť, koľko je potrebné zaplatiť prostredníctvomNS rokov, ak bola čiastka požičanáa naR % Výročný. Zaplatená čiastka je vyjadrená vzorcom: s = a (1 + ) NS Niekedy sa peniaze požičali nie na celý počet rokov, ale napríklad na 2 roky 6 mesiacov. Ak po 2,5 roku sumua aplikovať na aq , potom v nasledujúcich 2,5 rokoch sa zvýši o ďalšíq krát a stane sa rovnocennýmaq 2 ... Po 5 rokoch:a = (1 + 5 , preto q 2 = (1 + 5 a prostriedky q =

(Snímka 2) .

Tak vznikla myšlienka zlomkového exponentu.

3. Aktualizácia základných znalostí.

Otázky:

1. Čo znamená záznam;a NS

2. Čo je a ?

3. Čo je NS ?

4. a -NS =?

5. Napíšte vlastnosti stupňa celým exponentom do zošita.

6. Aké čísla sú prirodzené, celé, racionálne? Nakreslite ich pomocou Eulerových kruhov.(Snímka 3)

Odpovede: 1. Titul s celočíselným exponentom

2. a- základňa

3. NS- exponent

4. a -NS =

5. Celočíselné vlastnosti exponentu:

a m * a n = a (m + n) ;

a m : a n = a (m-n) ( o a nie rovnocenný nula );

(a m ) n = a (m * n) ;

(a * b) n = a n * b n ;

(a / b) n = (a n ) / (b n ) (o b nerovná sa nule);

a 1 = a;

a 0 = 1 (pre a nerovná sa nule);

Tieto vlastnosti budú platné pre všetky čísla a, b a všetky celé čísla m a n.

6,1,2,3, ... - kladné čísla - množina prirodzených čísel -N.

0, -1, -2, -3, .. číslo O a záporné čísla -množina celých čísel -Z

Q , - zlomkové čísla (záporné a kladné) - množina racionálnych čísel -Q Z

N.

Eulerove kruhy (snímka 4)

4. Učenie sa nového materiálu.

Nechaj byť. a - nezáporné číslo a musíte ho zvýšiť na zlomkovú mocninu ... Poznáte rovnosť (a m ) n = a m n (snímka 4) , t.j. pravidlo pre povýšenie exponenta na exponent. Vo vyššie uvedenej rovnosti to predpokladajme m =, potom dostaneme: (a ) NS = a = a (snímka 4)

Z toho môžeme usúdiť, že ánoa koreň NS - th stupeň číslaa , t.j. a = . z toho vyplýva, že (a NS ) = NS = a (snímka 4).

Preto a = (a ) m = (a m ) = m . ( snímka 4 ).

Platí teda nasledujúca rovnosť:a = m (snímka 4)

Definícia: stupeň nezáporného čísla a s racionálnym ukazovateľom , kde - neredukovateľný zlomok, nazývaný hodnota n-tého koreňa čísla a T .

Preto podľa definície a = m (snímka 5)

Pozrime sa na príklad 1 : Napíšte stupeň s racionálnym exponentom vo forme n -tého koreňa:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (snímka 6) Riešenie: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( snímka 7) Nad mocnosťami s racionálnym exponentom môžete vykonávať akcie násobenia, delenia, zvyšovania sily a extrahovania koreňa podľa rovnakých pravidiel ako pre mocniny s celočíselnými exponentmi a mocninami s rovnakými základmi:a = a + a = a - (a ) = a * (a * b) = a * v ) = a / v kde n, q - prirodzené, t, p - celé čísla. (snímka 8) 5. Minúta cvičenia

Pozrel sa doprava

Obrátili pohľad doľava

Pozrite sa na strop

Všetci sme sa pozerali dopredu.

One - bend - unbend,

Dva ─ ohnúť - natiahnuť,

Tri - tri tlieskania vo vašich rukách,

Hlava tri prikývne.

Piati a šiesti ticho sedia.

A opäť na cestách! (snímka 9)

6. Primárna konsolidácia študovaného materiálu:

Strana 51, č. 90, č. 91 - urobte to sami v prenosnom počítači,

so šekom pri tabuli

7 nezávislá práca

možnosť 1

(Snímka 10)

možnosť 1

(Snímka 11)

Vykonajte nezávislú prácu so vzájomným overením.

Odpovede:

možnosť 1

(Snímka 12)

Dnes sme sa teda v lekcii oboznámili s konceptom titulu s racionálnym ukazovateľom a naučili sme sa písať vo forme koreňov, uplatňovať základné vlastnosti stupňov pri hľadaní hodnôt numerických výrazov.8. Domáca práca: # 92, # 93 Informácie o domácich úlohách

9. Odraz

(Snímka 13)

10. Zhrnutie lekcie:

Aké sú podobnosti a rozdiely medzi stupňom s celým ukazovateľom a stupňom s zlomkovým ukazovateľom? (podobnosť: všetky vlastnosti stupňa s celým exponentom sa odohrávajú aj pre stupeň s racionálnym exponentom;

rozdiel: stupne)

Uveďte vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom

Lekcia sa dnes skončila
Nemôžeš byť nájdený priateľskejší.
Ale každý by mal vedieť:
Vedomosti, vytrvalosť, práca
Povedú k pokroku v živote.
Ďakujem za lekciu! (snímka 14)

Videonahrávka „Titul s racionálnym indikátorom“ obsahuje vizuálny vzdelávací materiál na vedenie hodiny na túto tému. Videonahrávka obsahuje informácie o koncepte titulu s racionálnym ukazovateľom, vlastnostiach, ako aj o stupňoch, ako aj príklady popisujúce použitie vzdelávacieho materiálu na riešenie praktických problémov. Úlohou tejto video lekcie je vizuálne a zrozumiteľne predstaviť vzdelávací materiál, uľahčiť jeho zvládnutie a zapamätanie si študentmi, formovať schopnosť riešiť problémy pomocou naučených konceptov.

Hlavnými výhodami video lekcie sú schopnosť vizuálne vykonávať transformácie a výpočty, schopnosť používať efekty animácie na zlepšenie účinnosti učenia. Hlasové navádzanie pomáha rozvíjať správnu matematickú reč a tiež umožňuje nahradiť učiteľovo vysvetlenie, čím sa uvoľňuje pre individuálnu prácu.

Videonávod začína predstavením témy. Pri prepojení štúdia novej témy s predtým študovaným materiálom sa navrhuje pamätať na to, že n je inak označované 1 / n pre prirodzené n a pozitívne a. Táto reprezentácia n -tého koreňa sa zobrazí na obrazovke. Ďalej sa navrhuje zvážiť, čo znamená výraz a m / n, v ktorom a je kladné číslo a m / n je zlomok. Je daná definícia stupňa s racionálnym exponentom ako a m / n = n √a m. Poznamenali sme, že n môže byť prirodzené číslo a m - celé číslo.

Po určení stupňa pomocou racionálneho exponentu jeho význam odhalia príklady: (5/100) 3/7 = 7 √ (5/100) 3. Ukazuje tiež príklad, kde je desatinná mocnina prevedená na zlomok, ktorý má byť reprezentovaný ako koreň: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √ (1/7) 17 a príklad s a negatívny exponent: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Zvláštnosť konkrétneho prípadu, keď je základňa stupňa nula, je uvedená samostatne. Poznamenávame, že tento stupeň má zmysel iba pri kladnom zlomkovom exponente. V tomto prípade je jeho hodnota nula: 0 m / n = 0.

Poznamenávame ešte jeden znak stupňa s racionálnym exponentom - že stupeň so zlomkovým exponentom nemožno považovať za zlomkový exponent. Uvádzajú sa príklady nesprávneho napísania titulu: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Ďalej vo video lekcii sa zvažujú vlastnosti stupňa s racionálnym ukazovateľom. Poznamenáva sa, že vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom budú platné aj pre stupeň s racionálnym exponentom. Navrhuje sa pripomenúť zoznam vlastností, ktoré sú platné aj v tomto prípade:

1. Pri vynásobení stupňov s rovnakými bázami sa sčítajú ich zástupcovia: a p a q = a p + q.
2. Delenie stupňov s rovnakými bázami sa zníži na stupeň s danou bázou a rozdielom medzi exponentmi stupňov: a p: a q = a p-q.
3. Ak zvýšime stupeň do určitej miery, potom nakoniec dostaneme stupeň s daným základom a súčinom ukazovateľov: (a p) q = a pq.

Všetky tieto vlastnosti platia pre stupne s racionálnymi exponentmi p, q a kladnou bázou a> 0. Transformácie stupňov sú platné aj pri rozširovaní zátvoriek:

1. (ab) p = a p b p - zvýšenie na určitú mocninu s racionálnym exponentom súčinu dvoch čísel sa zníži na súčin čísel, z ktorých každé sa zvýši na danú mocninu.
2. (a / b) p = a p / b p - zvýšenie na mocninu s racionálnym exponentom zlomku sa zníži na zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sa zvýši na túto moc.

Videonahrávka diskutuje o riešení príkladov, ktoré používajú uvažované vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. V prvom prípade sa navrhuje nájsť hodnotu výrazu, ktorý obsahuje premenné x vo zlomkovej mocnine: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Napriek zložitosti výrazu sa dá vyriešiť celkom jednoducho pomocou vlastností stupňov. Riešenie problému začína zjednodušením výrazu, ktorý používa pravidlo na pozdvihnutie moci s racionálnym exponentom na mocninu, ako aj na vynásobenie mocností s rovnakým základom. Po nahradení danej hodnoty x = 8 do zjednodušeného výrazu x 1/3 +48 je ľahké získať hodnotu - 50.

V druhom prípade chcete zrušiť zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahujú mocniny s racionálnym exponentom. Pomocou vlastností stupňa vyberieme z rozdielu faktor x 1/3, ktorý sa potom v čitateľovi a menovateli zruší a pomocou vzorca pre rozdiel štvorcov sa čitateľ rozloží na faktory, ktoré poskytujú ďalšie redukcie rovnakých faktorov v čitateľovi a menovateli. Výsledkom takýchto transformácií je krátky zlomok x 1/4 +3.

Namiesto toho, aby učiteľ vysvetľoval novú tému hodiny, je možné použiť video hodinu „Titul s racionálnym indikátorom“. Táto príručka tiež obsahuje dostatočné informácie na samoštúdium študentom. Tento materiál môže byť užitočný aj pri dištančnom vzdelávaní.

Lekcia číslo 30 (Algebra a začiatok analýzy, stupeň 11)

Téma lekcie: Racionálna známka.

Cieľ lekcie: 1 ... Rozviňte koncept stupňa, dajte koncept stupňa racionálnym ukazovateľom; naučiť sa prekladať titul s racionálnym exponentom do koreňa a naopak; vypočítajte mocniny s racionálnym exponentom.

2. Rozvoj pamäte, myslenia.

3. Formovanie činnosti.

"Nech sa niekto pokúsi prečiarknuť."

z matematiky a uvidí

Že bez nich nemôžeš ísť ďaleko “ M. V. Lomonosov

Počas vyučovania.

I. Komunikácia témy a účelu hodiny.

II. Opakovanie a konsolidácia odovzdaného materiálu.

1. Analýza nevyriešených domácich príkladov.

2. Kontrola samostatnej práce:

Možnosť 1.

1. Vyriešte rovnicu: √ (2x - 1) = 3x - 12

2. Vyriešte nerovnosť: √ (3x - 2) ≥ 4 - x

Možnosť 2.

1. Vyriešte rovnicu: 3 - 2x = √ (7x + 32)

2. Vyriešte nerovnosť: √ (3x + 1) ≥ x - 1

III. Učenie sa nového materiálu.

1 ... Pripomeňme rozšírenie pojmu čísel: N є Z є Q є R.

Najlepšie to možno znázorniť na nasledujúcom diagrame:

Prirodzený (N)

Nula

Nezáporné čísla

Záporné čísla

Zlomkové čísla

Celé čísla (Z)

Iracionálne

Racionálne (Q)

Skutočné čísla

2. V nižších ročníkoch bol definovaný koncept stupňa čísla s celočíselným exponentom. a) Zapamätajte si definíciu stupňa a) s prirodzeným, b) so záporným celým číslom, c) s nulovým exponentom.Zdôraznite, že výraz a n dáva zmysel pre všetky celé čísla n a všetky hodnoty a, okrem a = 0 a n≤0.

b) Uveďte vlastnosti stupňov s celočíselným exponentom.

3. Ústna práca.

1). Vypočítajte: 1-5; 4-3; (-100; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2). Napíšte to ako negatívny exponent:

1/4 5; 1/21 3; 1 / x 7; 1 / a 9.

3). Porovnať s jednotkou: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 ... Teraz musíte porozumieť významu výrazov 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 atď. Na to je potrebné zovšeobecniť koncepciu stupňa takým spôsobom, aby boli splnené všetky uvedené vlastnosti stupňov. Zvážte rovnosť (a m / n) n = a m ... Potom, podľa definície n -tého koreňa, je rozumné predpokladať, že a m / n bude n -tý koreň čísla a m ... Je uvedená definícia stupňa s racionálnym ukazovateľom.

5. Uvažujte o príkladoch 1 a 2 z učebnice.

6. Urobme niekoľko poznámok súvisiacich s konceptom titulu s racionálnym exponentom.

Poznámka 1 : Pre akékoľvek a> 0 a racionálne číslo r je číslo a r> 0

Poznámka 2 : Podľa základnej vlastnosti zlomkov môže byť racionálne číslo m / n zapísané ako mk / nk pre akékoľvek prirodzené číslo k. Potomhodnota titulu nezávisí od formy písania racionálneho čísla, pretože a mk / nk = = nk √a mk = n √a m = a m / n

Poznámka 3: Pre Vysvetlíme to na príklade. Zvážte (-64) 1/3 = 3 √ -64 = -4. Na druhej strane: 1/3 = 2/6 a potom (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Dostávame rozpor.

Vyjadrenie tvaru a (m / n), kde n je nejaké prirodzené číslo, m je celé číslo a základňa stupňa a je väčšia ako nula, sa nazýva stupeň so zlomkovým exponentom. Nasledujúca rovnosť je navyše pravdivá. n√ (a m) = a (m / n).

Ako už vieme, čísla tvaru m / n, kde n je nejaké prirodzené číslo a m je nejaké číslo, sa nazývajú zlomkové alebo racionálne čísla. Zo všetkého vyššie uvedeného vyplýva, že stupeň je definovaný pre akéhokoľvek racionálneho exponenta a každú pozitívnu bázu titulu.

Pre akékoľvek racionálne čísla p, q a akékoľvek a> 0 a b> 0 platia nasledujúce rovnosti:

• 1. (a p) * (a q) = a (p + q)
• 2. (a p) :( b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p * q)
• 4. (a * b) p = (a p) * (b p)
• 5. (a / b) p = (a p) / (b p)

Tieto vlastnosti sa široko používajú pri prevode rôznych výrazov obsahujúcich mocniny na zlomkové exponenty.

Príklady transformácií výrazov obsahujúcich mocninu so zlomkovým exponentom

Pozrime sa na niekoľko príkladov, ktoré ukazujú, ako je možné tieto vlastnosti použiť na transformáciu výrazov.

1. Vypočítajte 7 (1/4) * 7 (3/4).

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Vypočítajte 9 (2/3): 9 (1/6).

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Vypočítajte (16 (1/3)) (9/4).

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Vypočítajte 24 (2/3).

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Vypočítajte (8/27) (1/3).

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Zjednodušte výraz ((a (4/3)) * b + a * b (4/3))/(3√a + 3√b)

• ((a (4/3)) * b + a * b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a * b * (a (1/3) + b (1/3 )))/(1/3) + b (1/3)) = a * b.

7. Vypočítajte (25 (1/5)) * (125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Zjednodušte výraz

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)) /(a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)) /(a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3)) * (1-a 2))/((a (1/3)) * (1-a))-((a (-1/3)) * (1- a 2)) / ((a (-1/3)) * (1 + a)) =
• = 1 + a - (1 -a) = 2 * a.

Ako vidíte, pomocou týchto vlastností môžete výrazne zjednodušiť niektoré výrazy, ktoré obsahujú mocniny, so zlomkovými exponentmi.