विस्तृत समाधान के साथ लघुगणकीय असमानता को हल करें। लॉगरिदमिक असमानताएं

लॉगरिदमिक असमानताएं

पिछले पाठों में, हम लघुगणकीय समीकरणों से परिचित हुए और अब हम जानते हैं कि वे क्या हैं और उन्हें कैसे हल किया जाए। और आज का पाठ लघुगणकीय असमानताओं के अध्ययन के लिए समर्पित होगा। ये असमानताएँ क्या हैं और लघुगणक समीकरण और असमानताओं को हल करने में क्या अंतर है?

लघुगणकीय असमानताएँ वे असमानताएँ हैं जिनका लघुगणक के चिह्न के नीचे या उसके आधार पर चर होता है।

या, कोई यह भी कह सकता है कि लॉगरिदमिक असमानता एक असमानता है जिसमें इसका अज्ञात मान, जैसा कि लॉगरिदमिक समीकरण में, लॉगरिदम के संकेत के तहत होगा।

सबसे सरल लघुगणकीय असमानताएँ इस तरह दिखती हैं:

जहाँ f(x) और g(x) कुछ व्यंजक हैं जो x पर निर्भर करते हैं।

आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इसे देखें: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि जब उन्हें हल किया जाता है, तो वे घातीय असमानताओं के समान होते हैं, अर्थात्:

सबसे पहले, जब लघुगणक के चिह्न के तहत लघुगणक से व्यंजकों की ओर बढ़ते हैं, तो हमें लघुगणक के आधार की तुलना एक से करने की भी आवश्यकता होती है;

दूसरे, चर के परिवर्तन का उपयोग करके एक लघुगणकीय असमानता को हल करते समय, हमें परिवर्तन के संबंध में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता होती है जब तक कि हमें सबसे सरल असमानता न मिल जाए।

लेकिन यह हम ही थे जिन्होंने लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के समान क्षणों पर विचार किया। अब आइए एक महत्वपूर्ण अंतर को देखें। आप और मैं जानते हैं कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा का एक सीमित डोमेन होता है, इसलिए, लॉगरिदम से ऐसे भावों की ओर बढ़ते समय, जो लॉगरिदम के संकेत के तहत होते हैं, आपको अनुमेय मानों की सीमा (ODV) को ध्यान में रखना होगा। .

यही है, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय, हम पहले समीकरण की जड़ों को ढूंढ सकते हैं, और फिर इस समाधान की जांच कर सकते हैं। लेकिन लॉगरिदमिक असमानता को हल करना इस तरह से काम नहीं करेगा, क्योंकि लॉगरिदम के संकेत के तहत लॉगरिदम से अभिव्यक्तियों तक जाने के लिए, असमानता के ODZ को लिखना आवश्यक होगा।

इसके अलावा, यह याद रखने योग्य है कि असमानताओं के सिद्धांत में वास्तविक संख्याएं होती हैं, जो सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं होती हैं, साथ ही संख्या 0 भी होती है।

उदाहरण के लिए, जब संख्या "a" धनात्मक हो, तो निम्न संकेतन का उपयोग किया जाना चाहिए: a > 0. इस स्थिति में, इन संख्याओं का योग और गुणनफल दोनों भी धनात्मक होंगे।

एक असमानता को हल करने का मूल सिद्धांत इसे एक सरल असमानता से बदलना है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह दिए गए के बराबर है। इसके अलावा, हमने एक असमानता भी प्राप्त की और इसे फिर से एक सरल रूप के साथ बदल दिया, और इसी तरह।

एक चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए, आपको इसके सभी समाधान खोजने होंगे। यदि दो असमानताओं में एक ही चर x है, तो ऐसी असमानताएं समतुल्य हैं, बशर्ते कि उनके समाधान समान हों।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए कार्य करते समय, यह याद रखना आवश्यक है कि जब a> 1, तब लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ता है, और जब 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीके

आइए अब कुछ ऐसे तरीकों को देखें जो लघुगणकीय असमानताओं को हल करते समय होते हैं। बेहतर समझ और आत्मसात करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके उन्हें समझने की कोशिश करेंगे।

हम जानते हैं कि सबसे सरल लघुगणकीय असमानता का निम्न रूप है:

इस असमानता में, वी - ऐसे असमानता संकेतों में से एक है:<,>, या .

जब इस लघुगणक का आधार एक (a>1) से बड़ा होता है, जिससे लघुगणक के चिह्न के तहत लघुगणक से व्यंजकों में संक्रमण होता है, तो इस संस्करण में असमानता का चिह्न संरक्षित रहता है, और असमानता इस तरह दिखेगी:

जो निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है:

उस स्थिति में जब लघुगणक का आधार शून्य से बड़ा और एक से कम (0 .) हो

यह इस प्रणाली के बराबर है:

आइए नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के और उदाहरण देखें:

उदाहरणों का समाधान

व्यायाम।आइए इस असमानता को हल करने का प्रयास करें:

स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र का निर्णय।

आइए अब इसके दाहिने हिस्से को इससे गुणा करने का प्रयास करें:

आइए देखें कि हम क्या कर सकते हैं:

अब, आइए सबलॉगरिदमिक व्यंजकों के रूपांतरण की ओर बढ़ते हैं। चूँकि लघुगणक का आधार 0 . है< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8> 16;
3x> 24;
एक्स > 8.

और इससे यह पता चलता है कि हमने जो अंतराल प्राप्त किया है वह पूरी तरह से ODZ का है और इस तरह की असमानता का समाधान है।

यहाँ उत्तर हमें मिला है:

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए क्या आवश्यक है?

आइए अब विश्लेषण करने का प्रयास करें कि लॉगरिदमिक असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए हमें क्या चाहिए?

सबसे पहले अपना सारा ध्यान केंद्रित करें और कोशिश करें कि इस असमानता में दिए गए परिवर्तनों को करते समय गलती न करें। साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि ऐसी असमानताओं को हल करते समय, ODZ असमानता के विस्तार और संकुचन को रोकना आवश्यक है, जिससे बाहरी समाधानों का नुकसान या अधिग्रहण हो सकता है।

दूसरे, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, आपको तार्किक रूप से सोचना सीखना होगा और असमानताओं की एक प्रणाली और असमानताओं के एक सेट के रूप में ऐसी अवधारणाओं के बीच अंतर को समझना होगा, ताकि आप आसानी से एक असमानता के समाधान का चयन कर सकें, जबकि इसके डीएचएस द्वारा निर्देशित किया जा सके।

तीसरा, ऐसी असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आप में से प्रत्येक को प्राथमिक कार्यों के सभी गुणों को अच्छी तरह से जानना चाहिए और उनके अर्थ को स्पष्ट रूप से समझना चाहिए। इस तरह के कार्यों में न केवल लॉगरिदमिक, बल्कि तर्कसंगत, शक्ति, त्रिकोणमितीय, आदि भी शामिल हैं, एक शब्द में, वे सभी जो आपने स्कूल बीजगणित के दौरान पढ़े थे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदमिक असमानताओं के विषय का अध्ययन करने के बाद, इन असमानताओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बशर्ते कि आप अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए चौकस और लगातार हों। ताकि असमानताओं को हल करने में कोई समस्या न हो, आपको जितना संभव हो उतना प्रशिक्षित करने, विभिन्न कार्यों को हल करने और साथ ही ऐसी असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के मुख्य तरीकों को याद करने की आवश्यकता है। लॉगरिदमिक असमानताओं के असफल समाधानों के साथ, आपको अपनी गलतियों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करना चाहिए ताकि आप भविष्य में उन पर दोबारा न लौटें।

गृहकार्य

विषय को बेहतर ढंग से आत्मसात करने और कवर की गई सामग्री के समेकन के लिए, निम्नलिखित असमानताओं को हल करें:

उनके साथ लॉगरिदम के अंदर हैं।

उदाहरण:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

लॉगरिदमिक असमानताओं को कैसे हल करें:

किसी भी लघुगणकीय असमानता को \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) के रूप में कम किया जाना चाहिए (प्रतीक \(˅\) का अर्थ है कोई भी )। यह फ़ॉर्म हमें लघुगणक और उनके आधारों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है, जो कि लघुगणक के तहत अभिव्यक्तियों की असमानता को पारित करके, \(f(x) g(x)\) के रूप में है।

लेकिन यह परिवर्तन करते समय, एक बहुत ही महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है:
\(-\) अगर - एक संख्या और यह 1 से अधिक है - संक्रमण के दौरान असमानता का चिन्ह समान रहता है,
\(-\) यदि आधार 0 से अधिक लेकिन 1 से कम (शून्य और एक के बीच) है, तो असमानता चिन्ह को उलट दिया जाना चाहिए, अर्थात।

उदाहरण:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ओडीजेड: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(एक्स<8\) समाधान: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) उत्तर: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) समाधान: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) उत्तर: \((2;5]\)

बहुत ज़रूरी!किसी भी असमानता में, फॉर्म \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) से लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्तियों की तुलना करने के लिए संक्रमण केवल तभी किया जा सकता है जब:

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log\)\(≤-1\)

समाधान:

\(\लकड़ी का लट्ठा\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	हम कोष्ठक खोलते हैं, देते हैं।
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	हम तुलना चिह्न को उलटने के लिए याद करते हुए असमानता को \(-1\) से गुणा करते हैं।
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	आइए एक संख्या रेखा बनाएं और उस पर \(\frac(7)(3)\) और \(\frac(3)(2)\) बिंदुओं को चिह्नित करें। ध्यान दें कि असमानता सख्त नहीं है, इस तथ्य के बावजूद हर से बिंदु छिद्रित है। तथ्य यह है कि यह बिंदु समाधान नहीं होगा, क्योंकि असमानता में प्रतिस्थापित करने पर, यह हमें शून्य से विभाजित करने की ओर ले जाएगा।
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	अब हम ODZ को उसी संख्यात्मक अक्ष पर प्लॉट करते हैं और ODZ में आने वाले अंतराल के जवाब में लिखते हैं।
	अंतिम उत्तर लिखिए।

उत्तर: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

उदाहरण . असमानता को हल करें: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

समाधान:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	आइए ODZ लिखें।
ओडीजेड: \(x>0\)	आइए समाधान पर आते हैं।
समाधान: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	हमसे पहले एक विशिष्ट वर्ग-लघुगणक असमानता है। हम कर।
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	असमानता के बाईं ओर का विस्तार करें।
\(डी=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((टी+1)(टी-2)>0\)
	अब आपको मूल चर - x पर वापस जाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम पास करते हैं, जिसका एक ही समाधान है, और रिवर्स प्रतिस्थापन करें।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) टी>2 \\ टी<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	ट्रांसफ़ॉर्म \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)।
\(\बाएं[ \शुरू(एकत्र) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए तर्कों की तुलना करने के लिए आगे बढ़ते हैं। लघुगणक के आधार \(1\) से बड़े होते हैं, इसलिए असमानताओं का चिह्न नहीं बदलता है।
\(\बाएं[ \शुरू (एकत्र) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	आइए असमानता के समाधान और ODZ को एक आकृति में संयोजित करें।
	आइए उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

लघुगणकीय असमानताओं की पूरी विविधता के बीच, एक चर आधार के साथ असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

जैकडॉ "∨" के बजाय, आप कोई असमानता चिन्ह लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पाते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता में कम करते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लॉगरिदम को त्यागते समय, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक का ODZ भूल गए हैं, तो मैं इसे दोहराने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं - "एक लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित सभी चीजों को अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ (एक्स)> 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; के (एक्स) 1.

ये चार असमानताएं एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ पार करना बाकी है - और उत्तर तैयार है।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

सबसे पहले, हम लघुगणक का ODZ लिखते हैं:

पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से की जाती हैं, और अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है, यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमें प्राप्त होता है:

एक्स 2 + 1 1;
x2 0;
एक्स 0.

यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से परिमेय में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में "से कम" चिह्न होता है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

इस व्यंजक के शून्यक: x = 3; एक्स = -3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फलन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x (−∞ −3)∪(3; +∞) प्राप्त होता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लघुगणकीय असमानताओं का परिवर्तन

अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। लॉगरिदम के साथ काम करने के मानक नियमों के अनुसार इसे ठीक करना आसान है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एकल लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहता हूं। चूंकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का डीपीवी खोजना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODZ ज्ञात कीजिए;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. ऊपर दी गई योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

एक कार्य। असमानता को हल करें:

पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (ODZ) ज्ञात कीजिए:

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। अंश का शून्य ज्ञात करना:

3x - 2 = 0;
एक्स = 2/3।

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x (−∞ 2/3)∪(1; +∞) प्राप्त होता है। ODZ का दूसरा लघुगणक समान होगा। अगर आपको मेरी बात पर विश्वास नहीं है तो आप चेक कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक से पहले के त्रिगुण सिकुड़ गए हैं। एक ही आधार के दो लघुगणक प्राप्त करें। आइए उन्हें एक साथ रखें:

लॉग 2 (x - 1) 2< 2;
लॉग 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की है। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूँकि मूल असमानता में कम से कम का चिह्न है, परिणामी परिमेय व्यंजक भी शून्य से कम होना चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 - 2x - 3< 0;
(एक्स - 3)(एक्स + 1)< 0;
एक्स (−1; 3)।

हमें दो सेट मिले:

1. ओडीजेड: एक्स ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उत्तर उम्मीदवार: x (−1; 3)।

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें असली जवाब मिलता है:

हम समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतरालों को चुनते हैं। हमें x (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु पंचर हैं।

उपयोग में लघुगणक असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्रों के लिए विज्ञान की लघु अकादमी "साधक"

MBOU "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1", ग्रेड 11, शहर। सोवियत्स्की सोवियत जिला

एमबीओयू "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1" के शिक्षक गुंको ल्यूडमिला दिमित्रिग्ना

सोवियत्स्की जिला

उद्देश्य:गैर-मानक विधियों का उपयोग करके C3 लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन, लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करना।

अध्ययन का विषय:

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणक C3 असमानताओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

विषय

परिचय …………………………………………………………………………….4

अध्याय 1. पृष्ठभूमि………………………………………………………5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि …………… 7

2.2. युक्तिकरण विधि ………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन ………………………………………………………………………………………………… 22

2.4. जाल के साथ कार्य …………………………………………… 27

निष्कर्ष………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूं और मेरी योजना ऐसे विश्वविद्यालय में प्रवेश करने की है जहां गणित एक मुख्य विषय है। यही कारण है कि मैं भाग सी के कार्यों के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, आपको गैर-मानक असमानता या असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है, जो आमतौर पर लॉगरिदम से जुड़ी होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में दी गई परीक्षा लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। इस विषय पर स्कूली पाठ्यक्रम में जिन विधियों का अध्ययन किया जाता है, वे कार्य C3 को हल करने के लिए आधार प्रदान नहीं करते हैं। गणित के शिक्षक ने सुझाव दिया कि मैं उनके मार्गदर्शन में अपने दम पर C3 असाइनमेंट के साथ काम करता हूं। इसके अलावा, मुझे इस सवाल में दिलचस्पी थी: क्या हमारे जीवन में लघुगणक हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय चुना गया था:

"परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

उद्देश्य:लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन।

अध्ययन का विषय:

1) लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों के बारे में आवश्यक जानकारी प्राप्त करें।

2) लघुगणक के बारे में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त करें।

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट C3 समस्याओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

व्यावहारिक महत्व C3 की समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र के विस्तार में निहित है। इस सामग्री का उपयोग कुछ पाठों में, गणित में हलकों, वैकल्पिक कक्षाओं के संचालन के लिए किया जा सकता है।

परियोजना उत्पाद "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानताओं" का संग्रह होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल का अध्ययन, और अन्य कार्यों के लिए बहुत अधिक, कभी-कभी कई वर्षों, गणनाओं की आवश्यकता होती है। अधूरी गणनाओं में खगोल विज्ञान के डूबने का वास्तविक खतरा था। अन्य क्षेत्रों में भी कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, विभिन्न प्रतिशत मूल्यों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की तालिकाओं की आवश्यकता थी। मुख्य कठिनाई गुणन, बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्राएँ थीं।

लघुगणक की खोज 16वीं शताब्दी के अंत तक प्रगति के प्रसिद्ध गुणों पर आधारित थी। आर्किमिडीज ने भजन संहिता में ज्यामितीय प्रगति q, q2, q3, ... और उनके संकेतकों 1, 2, 3, ... के अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के बीच संबंध के बारे में बात की। एक और शर्त थी डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और भिन्नात्मक प्रतिपादकों तक विस्तार। कई लेखकों ने इंगित किया है कि गुणा, भाग, एक शक्ति तक बढ़ाना, और जड़ निकालने से अंकगणित में समान रूप से मेल खाता है - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

यहाँ एक प्रतिपादक के रूप में लघुगणक का विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में, कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लॉगरिदम का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों अंकगणितीय गणनाओं का एक नया सुविधाजनक साधन प्रदान करना चाहते थे, हालाँकि उन्होंने इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया। नेपियर ने कीनेमेटिक रूप से लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को व्यक्त किया और इस प्रकार फ़ंक्शन सिद्धांत के एक नए क्षेत्र में प्रवेश किया। बर्गी असतत प्रगति के विचार के आधार पर बने रहे। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक के समान नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर से संबंधित है। यह ग्रीक शब्दों के संयोजन से उत्पन्न हुआ: लोगो - "संबंध" और अरीक्मो - "संख्या", जिसका अर्थ "संबंधों की संख्या" था। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का प्रयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", जैसा कि संख्यात्मक प्राकृतिक - "प्राकृतिक संख्या" के विपरीत है।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने एक के लघुगणक के लिए शून्य और दस के लघुगणक के लिए 100 लेने का सुझाव दिया, या, इसका क्या अर्थ है? , बस 1. इस प्रकार दशमलव लघुगणक और प्रथम लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, ब्रिग्स टेबल को डच बुकसेलर और गणितज्ञ एंड्रियन फ्लैक (1600-1667) द्वारा पूरक किया गया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि वे किसी और से पहले लघुगणक में आए थे, उन्होंने अपनी तालिकाओं को दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित किया - 1620 में। साइन लॉग और लॉग 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किए गए थे। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था, उसके बाद 1668 में एन। मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पैडल ने "न्यू लॉगरिदम" नाम के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

रूसी में, पहली लॉगरिदमिक टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना में त्रुटियां की गईं। पहली त्रुटि-मुक्त तालिकाएँ 1857 में बर्लिन में जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) के प्रसंस्करण में प्रकाशित हुई थीं।

चरण 2

लॉगरिदम के सिद्धांत का आगे विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति और इनफिनिटिमल कैलकुलस के व्यापक अनुप्रयोग से जुड़ा है। उस समय तक, एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज और प्राकृतिक लघुगणक के बीच संबंध स्थापित हो चुका था। इस काल के लघुगणक का सिद्धांत कई गणितज्ञों के नामों से जुड़ा है।

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर अपने निबंध में

"लॉगरिथमोटेक्निक" (1668) एक श्रृंखला देता है जो एलएन (एक्स + 1) के संदर्भ में विस्तार देता है

शक्तियां एक्स:

यह अभिव्यक्ति उनके विचार के पाठ्यक्रम से बिल्कुल मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने संकेतों d, ... का उपयोग नहीं किया, लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकों का उपयोग किया। लॉगरिदमिक श्रृंखला की खोज के साथ, लॉगरिदम की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। 1907-1908 में पढ़े गए अपने व्याख्यान "एक उच्च बिंदु से प्राथमिक गणित" में, एफ। क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए सूत्र का उपयोग प्रारंभिक बिंदु के रूप में करने का सुझाव दिया।

चरण 3

व्युत्क्रम के एक समारोह के रूप में एक लघुगणकीय कार्य की परिभाषा

घातीय, लघुगणक किसी दिए गए आधार के घातांक के रूप में

तुरंत तैयार नहीं किया गया था। लियोनहार्ड यूलर का काम (1707-1783)

"इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय" (1748) ने आगे के रूप में कार्य किया

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के सिद्धांत का विकास। इस तरह,

लॉगरिदम को पहली बार पेश किए 134 साल बीत चुके हैं

(1614 से गिनती) गणितज्ञों की परिभाषा के साथ आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य संक्रमण

अगर एक> 1

अगर 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

लगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने में यह विधि सबसे सार्वभौमिक है। समाधान योजना इस तरह दिखती है:

1. असमानता को ऐसे रूप में लाएं, जहां फलन बाईं ओर स्थित हो
, और 0 दाईं ओर।

2. फ़ंक्शन का दायरा खोजें
.

3. फ़ंक्शन शून्य खोजें
, अर्थात्, समीकरण को हल करें
(और समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. एक वास्तविक रेखा पर फलन की परिभाषा का प्रांत और शून्यक खींचिए।

5. फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर।

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फ़ंक्शन आवश्यक मान लेता है, और उत्तर लिखें।

उदाहरण 1

समाधान:

अंतराल विधि लागू करें

कहाँ पे

इन मानों के लिए, लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होते हैं।

उत्तर:

उदाहरण 2

समाधान:

1 मार्ग . ODZ असमानता से निर्धारित होता है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10 में, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम असमानता को अपघटन नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की शून्य से तुलना करना। हालांकि, इस मामले में फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए अंतराल विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3.5) एलजीǀ एक्स- 3ǀ निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फलन की स्थिरता के अंतरालों को निर्धारित करते हैं एफ(एक्स):

उत्तर:

दूसरा रास्ता . आइए हम अंतराल की विधि के विचारों को सीधे मूल असमानता पर लागू करें।

इसके लिए हमें याद है कि व्यंजक एकबी- एकग और ( एक - 1)(बी- 1) एक चिन्ह है। तब हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है

उत्तर:

उदाहरण 3

समाधान:

अंतराल विधि लागू करें

उत्तर:

उदाहरण 4

समाधान:

2 . के बाद से एक्स 2 - 3एक्स+ 3 > 0 सभी वास्तविक के लिए एक्स, फिर

दूसरी असमानता को हल करने के लिए, हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में, हम परिवर्तन करते हैं

तब हम असमिका 2y 2 पर पहुँचते हैं - आप - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те आप, जो असमानता को संतुष्ट करता है -0.5< आप < 1.

कहाँ से, क्योंकि

हमें असमानता मिलती है

जिसके साथ किया जाता है एक्स, जिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, प्रणाली की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उत्तर:

उदाहरण 5

समाधान:

असमानता सिस्टम के एक सेट के बराबर है

या

अंतराल विधि लागू करें या

उत्तर:

उदाहरण 6

समाधान:

असमानता एक प्रणाली के समान है

होने देना

फिर आप > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम रूप लेता है

या, विस्तार

कारकों के लिए वर्ग ट्रिनोमियल,

अंतराल विधि को अंतिम असमानता पर लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं आप> 0 सब होगा आप > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण विधि।

पहले, असमानता के युक्तिकरण की विधि का समाधान नहीं किया गया था, यह ज्ञात नहीं था। यह "घातीय और लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एक नया आधुनिक प्रभावी तरीका है" (कोलेनिकोवा एस.आई. द्वारा पुस्तक से उद्धरण)
और यहां तक ​​कि अगर शिक्षक उसे जानता था, तो एक डर था - लेकिन क्या यूएसई विशेषज्ञ उसे जानता है, और उसे स्कूल में क्यों नहीं दिया जाता है? ऐसे हालात थे जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "कहां से मिला? बैठ जाओ - 2।"
अब हर जगह इस पद्धति का प्रचार किया जा रहा है। और विशेषज्ञों के लिए, इस पद्धति से जुड़े दिशानिर्देश हैं, और समाधान C3 में "मानक विकल्पों का सबसे पूर्ण संस्करण ..." में इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।
तरीका बढ़िया है!

"मैजिक टेबल"

अन्य स्रोतों में

यदि a >1 और b >1, फिर a b >0 और (a -1)(b -1)>0 लॉग करें;

यदि ए> 1 और 0

अगर 0<एक<1 и b >1, फिर एक बी लॉग करें<0 и (a -1)(b -1)<0;

अगर 0<एक<1 и 00 और (ए -1) (बी -1)> 0।

उपरोक्त तर्क सरल है, लेकिन लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को स्पष्ट रूप से सरल करता है।

उदाहरण 4

लॉग एक्स (एक्स 2 -3)<0

समाधान:

उदाहरण 5

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 x (x 2 +x )

समाधान:

उत्तर. (0; 0.5) यू।

उदाहरण 6

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1) (x-1) और अंश के बजाय गुणन (x-1) (x-3-9 + x) लिखते हैं।

उत्तर : (3;6)

उदाहरण 7

उदाहरण 8

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

उदाहरण 4

उदाहरण 5

उदाहरण 6

उदाहरण 7

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y=3 x -1; तब यह असमानता रूप लेती है

लॉग 4 लॉग 0.25
.

इसलिये लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , फिर हम अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y के रूप में फिर से लिखते हैं।

आइए एक प्रतिस्थापन करें t =log 4 y और असमानता t 2 -2t +≥0 प्राप्त करें, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक समुच्चय है
इस संग्रह का हल अंतराल 0 . है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातीय असमानताओं के समुच्चय के बराबर है,
यानी समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 . है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. इस प्रकार, मूल असमानता 0 . के अंतराल से x के सभी मानों के लिए है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8

समाधान:

असमानता एक प्रणाली के समान है

दूसरी असमानता का समाधान, जो ODZ निर्धारित करता है, उन का समुच्चय होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए, हम परिवर्तन करते हैं

तब हमें असमानता मिलती है

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से कई एक्स, जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ओडीजेड से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है,

और इसलिए मूल असमानता।

उत्तर:

2.4. जाल के साथ कार्य।

उदाहरण 1

.

समाधान।असमानता का ODZ सभी x है जो 0 . की स्थिति को संतुष्ट करता है . अत: अंतराल 0 . से सभी x

उदाहरण 2

लॉग 2 (2x +1-x 2)>लॉग 2 (2x-1 +1-x) +1।. ? बात यह है कि दूसरी संख्या स्पष्ट रूप से . से बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की एक विशाल विविधता से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों का अध्ययन करने में सक्षम था। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर-मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर ट्रैप के साथ कार्य। ये विधियां स्कूली पाठ्यक्रम में अनुपस्थित हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, मैंने भाग सी, अर्थात् सी 3 में परीक्षा में दी गई 27 असमानताओं को हल किया। विधियों द्वारा समाधान के साथ इन असमानताओं ने "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानता" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरी गतिविधि का प्रोजेक्ट उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना सामने रखी थी, उसकी पुष्टि हो गई थी: यदि इन विधियों को जाना जाए तो C3 समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मैंने लघुगणक के बारे में रोचक तथ्य खोजे। मेरे लिए इसे करना दिलचस्प था। मेरे प्रोजेक्ट उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

निष्कर्ष:

इस प्रकार, परियोजना का लक्ष्य प्राप्त किया जाता है, समस्या हल हो जाती है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों में सबसे पूर्ण और बहुमुखी अनुभव मिला। परियोजना पर काम करने के दौरान, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता और गतिविधि पर था।

के लिए एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैं बन गया हूं: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी निकालने की क्षमता, इसकी विश्वसनीयता की जांच करना, इसे इसके महत्व के अनुसार रैंक करना।

गणित में सीधे विषय ज्ञान के अलावा, उन्होंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचारी सामान्य शैक्षिक कौशल और क्षमताओं का विकास किया गया।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए। जी।, प्रोकोफिव ए। ए। एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (विशिष्ट कार्य C3)।

2. मल्कोवा ए.जी. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।

3. एस. एस. समरोवा, लघुगणकीय असमानताओं का समाधान।

4. गणित। ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह। सेम्योनोव और आई.वी. यशचेंको। -एम.: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 72 पी.-

पाठ मकसद:

उपदेशात्मक:

• स्तर 1 - लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके सरल लघुगणकीय असमानताओं को हल करना सिखाएं;
• स्तर 2 - लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करें, अपनी खुद की समाधान विधि चुनें;
• स्तर 3 - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल को लागू करने में सक्षम होना।

विकसित होना:स्मृति, ध्यान, तार्किक सोच, तुलना कौशल विकसित करना, सामान्यीकरण करने और निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना

शैक्षिक:सटीकता की खेती करने के लिए, किए गए कार्य की जिम्मेदारी, पारस्परिक सहायता।

शिक्षण विधियों: मौखिक , तस्वीर , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन के रूप: ललाट , व्यक्तिगत , जोड़े में काम।

उपकरण: परीक्षण कार्यों का एक सेट, एक संदर्भ नोट, समाधान के लिए रिक्त पत्रक।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।पाठ के विषय और लक्ष्यों की घोषणा की जाती है, पाठ की योजना: प्रत्येक छात्र को एक मूल्यांकन पत्रक दिया जाता है, जिसे छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - कार्यों के साथ मुद्रित सामग्री, आपको कार्यों को जोड़े में पूरा करने की आवश्यकता है; निर्णयों के लिए खाली चादरें; संदर्भ पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ, उसके गुण; लघुगणक के गुण; लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म।

स्व-मूल्यांकन के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंपे जाते हैं।

छात्र स्कोर शीट

2. ज्ञान की प्राप्ति।

शिक्षक निर्देश। लॉगरिदम की परिभाषा, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और उसके गुण याद रखें। ऐसा करने के लिए, श्री ए अलीमोव, यू.एम कोल्यागिन और अन्य द्वारा संपादित पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" के पीपी। 88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें।

छात्रों को पत्रक दिए जाते हैं जिन पर लिखा होता है: लघुगणक की परिभाषा; एक लघुगणकीय फलन, उसके गुणों का ग्राफ दिखाता है; लघुगणक के गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, एक लघुगणक असमानता को हल करने का एक उदाहरण जो एक वर्ग में कम हो जाता है।

3. नई सामग्री सीखना।

लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता पर आधारित है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

ए) असमानता की परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं (सबलॉगरिदमिक व्यंजक शून्य से बड़ा है)।
बी) असमानता के बाएं और दाएं हिस्सों को एक ही आधार में लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें (यदि संभव हो)।
सी) निर्धारित करें कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है: यदि t>1, तो बढ़ रहा है; अगर 0 1, फिर घट रहा है।
डी) एक सरल असमानता (सबलॉगरिदमिक एक्सप्रेशन) पर जाएं, यह देखते हुए कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो असमानता का चिन्ह बना रहेगा, और घटने पर बदल जाएगा।

सीखने का तत्व # 1।

उद्देश्य: सबसे सरल लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन का रूप: व्यक्तिगत कार्य।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य। प्रत्येक असमानता के लिए, कई उत्तर हैं, आपको सही उत्तर चुनने और कुंजी द्वारा जांच करने की आवश्यकता है।

कुंजी: 13321, अधिकतम अंक - 6 पी।

सीखने का तत्व # 2।

उद्देश्य: लघुगणक के गुणों को लागू करके लघुगणकीय असमानताओं के समाधान को ठीक करना।

शिक्षक निर्देश। लघुगणक के मूल गुणों को याद करें। ऐसा करने के लिए, पाठ्यपुस्तक का पाठ पृष्ठ 92, 103-104 पर पढ़ें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य।

कुंजी: 2113, अंकों की अधिकतम संख्या 8 ख है।

सीखने का तत्व #3।

उद्देश्य: वर्ग में कमी की विधि द्वारा लघुगणकीय असमानताओं के समाधान का अध्ययन करना।

शिक्षक के निर्देश: एक वर्ग में असमानता को कम करने की विधि यह है कि आपको इस चर के संबंध में एक वर्ग असमानता प्राप्त करते हुए, असमानता को इस तरह के रूप में बदलने की आवश्यकता है कि कुछ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को एक नए चर द्वारा दर्शाया गया है।

आइए अंतराल विधि का उपयोग करें।

आपने सामग्री को आत्मसात करने के पहले स्तर को पार कर लिया है। अब आपको अपने सभी ज्ञान और क्षमताओं का उपयोग करते हुए, लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए स्वतंत्र रूप से एक विधि चुननी होगी।

लर्निंग एलिमेंट नंबर 4।

उद्देश्य: इसे स्वयं हल करने का एक तर्कसंगत तरीका चुनकर लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करना।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

लर्निंग एलिमेंट नंबर 5.

शिक्षक निर्देश। बहुत बढ़िया! आपने जटिलता के दूसरे स्तर के समीकरणों को हल करने में महारत हासिल कर ली है। आपके आगे के काम का उद्देश्य अपने ज्ञान और कौशल को अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में लागू करना है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक निर्देश। यदि आपने सारा काम कर लिया है तो यह बहुत अच्छा है। बहुत बढ़िया!

पूरे पाठ के लिए ग्रेड सभी शैक्षिक तत्वों के लिए प्राप्त अंकों की संख्या पर निर्भर करता है:

• अगर एन 20, तो आपको "5" का स्कोर मिलता है,
• 16 एन ≤ 19 के लिए - स्कोर "4",
• 8 एन ≤ 15 के लिए - स्कोर "3",
• एन . पर< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को सौंपने के लिए अनुमानित लोमड़ियों।

5. गृहकार्य: यदि आपने 15 b से अधिक अंक प्राप्त नहीं किए हैं - गलतियों पर काम करें (शिक्षक से समाधान लिया जा सकता है), यदि आपने 15 b से अधिक अंक प्राप्त किए हैं - "लॉगरिदमिक असमानता" विषय पर एक रचनात्मक कार्य करें।