Logaritmické nerovnosti
V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. A dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicami?
Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú pod znamienkom logaritmu alebo na jeho báze.
Alebo možno tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, bude pod znamienkom logaritmu.
Najjednoduchšie logaritmické nerovnosti vyzerajú takto:
kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.
Pozrime sa na to pomocou nasledujúceho príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Riešenie logaritmických nerovností
Pred riešením logaritmických nerovností je potrebné poznamenať, že keď sú vyriešené, sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, a to:
Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;
Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.
Ale boli sme to my, kto zvažoval podobné momenty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Vy a ja vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, preto pri prechode od logaritmov k výrazom, ktoré sú pod logaritmickým znakom, musíte vziať do úvahy rozsah prípustných hodnôt (ODV) .
To znamená, že treba mať na pamäti, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme najskôr nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod znamienkom logaritmu bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.
Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, ktorými sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.
Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musí sa použiť nasledujúci zápis: a > 0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.
Základným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, aby bola ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.
Pri riešení nerovností s premennou musíte nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že ich riešenia sú rovnaké.
Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností je potrebné pamätať na to, že keď a > 1, potom logaritmická funkcia rastie a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Spôsoby riešenia logaritmických nerovností
Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.
Vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:
V tejto nerovnosti je V - jedným z takých znakov nerovnosti ako:<,>, ≤ alebo ≥.
Keď je základ tohto logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii zachová znamienko nerovnosti a nerovnosť bude vyzerať takto:
ktorý je ekvivalentný nasledujúcemu systému:
V prípade, že základ logaritmu je väčší ako nula a menší ako jedna (0 Toto je ekvivalentné tomuto systému: Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie: Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť: Rozhodnutie o oblasti prípustných hodnôt. Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu: Pozrime sa, čo môžeme urobiť: Teraz prejdime k transformácii sublogaritmických výrazov. Pretože základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali, patrí celý do ODZ a je riešením takejto nerovnosti. Tu je odpoveď, ktorú sme dostali: Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností? Najprv zamerajte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú uvedené v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné zabrániť rozširovaniu a zužovaniu nerovnosti ODZ, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení. Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi takými pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vybrať riešenia nerovnosti, pričom sa budete riadiť jej DHS. Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne rozumieť ich významu. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školskej algebry. Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je nič ťažké pri riešení týchto nerovností za predpokladu, že ste pozorní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte čo najviac trénovať, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať hlavné spôsoby riešenia takýchto nerovností a ich systémy. Pri neúspešných riešeniach logaritmických nerovností by ste mali svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili. Pre lepšiu asimiláciu témy a upevnenie preberanej látky vyriešte nasledujúce nerovnosti: S nimi sú vnútorné logaritmy. Príklady: \(\log_3x≥\log_39\) Akákoľvek logaritmická nerovnosť by mala byť zredukovaná na tvar \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (symbol \(˅\) znamená ktorýkoľvek z ). Tento tvar nám umožňuje zbaviť sa logaritmov a ich základov prechodom na nerovnosť výrazov pod logaritmami, teda do tvaru \(f(x) ˅ g(x)\). Ale pri tomto prechode je tu jedna veľmi dôležitá jemnosť: \(\log_2((8-x))<1\) Riešenie: \(\log\)\(_(0,5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) \((((x+ jeden))\) Riešenie: Veľmi dôležité! Pri akejkoľvek nerovnosti je prechod z tvaru \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) na porovnávanie výrazov pod logaritmami možné len vtedy, ak: Príklad
. Vyriešte nerovnosť: \(\log\)\(≤-1\) Riešenie:
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) Vypíšeme ODZ. ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) \(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) Otvoríme zátvorky, dáme . \(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) Nerovnosť vynásobíme \(-1\), pričom nezabudneme obrátiť znamienko porovnania. \(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) \(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) Postavme číselnú os a označme na nej body \(\frac(7)(3)\) a \(\frac(3)(2)\). Všimnite si, že bod z menovateľa je prerazený, napriek tomu, že nerovnosť nie je striktná. Faktom je, že tento bod nebude riešením, keďže pri dosadzovaní do nerovnice nás to privedie k deleniu nulou. Teraz nakreslíme ODZ na rovnakú číselnú os a ako odpoveď zapíšeme interval, ktorý spadá do ODZ. Zapíšte si konečnú odpoveď. Príklad
. Vyriešte nerovnosť: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Riešenie:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Vypíšeme ODZ. ODZ: \(x>0\) Poďme k rozhodnutiu. Riešenie: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) Pred nami je typická štvorcová-logaritmická nerovnosť. Robíme. \(t=\log_3x\) \(D=1+8=9\) Teraz sa musíte vrátiť k pôvodnej premennej - x. Aby sme to urobili, prejdeme na , ktorý má rovnaké riešenie a vykonáme opačnú substitúciu. \(\left[ \začiatok(zhromaždené) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) Transformovať \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). \(\left[ \začiatok(zhromaždené) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Prejdime k porovnávaniu argumentov. Základy logaritmov sú väčšie ako \(1\), takže znamienko nerovností sa nemení. \(\left[ \začiatok(zhromaždené) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) Spojme riešenie nerovnosti a ODZ v jednom obrázku. Zapíšme si odpoveď. Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa samostatne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa podľa špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje: log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0 Namiesto kavky "∨" môžete umiestniť akékoľvek znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké. Takže sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledné je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri zahodení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť rozsah prípustných hodnôt. Ak ste zabudli ODZ logaritmu, dôrazne odporúčam zopakovať si to - pozri "Čo je to logaritmus". Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť napísané a vyriešené samostatne: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť splnené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho prekročiť riešením racionálnej nerovnosti - a odpoveď je pripravená. Úloha. Vyriešte nerovnosť: Najprv napíšme ODZ logaritmu: Prvé dve nerovnosti sa vykonajú automaticky a posledná sa bude musieť zapísať. Keďže druhá mocnina čísla je nula práve vtedy, ak je samotné číslo nula, máme: x 2 + 1 ≠ 1; Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz vyriešime hlavnú nerovnosť: Vykonávame prechod z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. V pôvodnej nerovnosti je znamienko „menej ako“, takže výsledná nerovnosť by mala byť aj so znamienkom „menšia ako“. Máme: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; Nuly tohto výrazu: x = 3; x = -3; x = 0. Navyše x = 0 je koreň druhej násobnosti, čo znamená, že pri prechode cez ňu sa znamienko funkcie nemení. Máme: Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Táto množina je úplne obsiahnutá v ODZ logaritmu, čo znamená, že toto je odpoveď. Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. Toto sa dá ľahko opraviť podľa štandardných pravidiel pre prácu s logaritmami - pozri "Základné vlastnosti logaritmov". menovite: Samostatne vám chcem pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť DPV každého z nich. Všeobecná schéma riešenia logaritmických nerovností je teda nasledovná: Úloha. Vyriešte nerovnosť: Nájdite doménu definície (ODZ) prvého logaritmu: Riešime intervalovou metódou. Nájdenie núl v čitateli: 3x − 2 = 0; Potom - nuly menovateľa: x - 1 = 0; Na šípke súradníc označujeme nuly a znamienka: Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus ODZ bude rovnaký. Ak mi neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ bol dva: Ako vidíte, trojky na základni a pred logaritmom sa zmenšili. Získajte dva logaritmy s rovnakým základom. Dajme si ich dokopy: log 2 (x − 1) 2< 2; Získali sme štandardnú logaritmickú nerovnosť. Pomocou vzorca sa zbavíme logaritmov. Keďže v pôvodnej nerovnosti je znamienko menšie, výsledný racionálny výraz musí byť tiež menší ako nula. Máme: (f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0; Máme dve sady: Zostáva prekrížiť tieto množiny - dostaneme skutočnú odpoveď: Zaujíma nás priesečník množín, preto volíme intervaly vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) – všetky body sú prepichnuté. LOGARITMICKÉ NEROVNOSTI V POUŽÍVANÍ
Sečin Michail Alexandrovič Malá akadémia vied pre študentov Kazašskej republiky „hľadač“ MBOU "Sovietska stredná škola č. 1", ročník 11, mesto. Sovietsky sovietsky okres Gunko Lyudmila Dmitrievna, učiteľka MBOU "Sovietska stredná škola č. 1" Sovietsky okres Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia logaritmických nerovností C3 pomocou neštandardných metód, odhaľujúce zaujímavé fakty o logaritme. Predmet štúdia:
3) Naučte sa riešiť špecifické logaritmické nerovnosti C3 pomocou neštandardných metód. Výsledky:
Obsah
Úvod……………………………………………………………………………………………….4
Kapitola 1. Pozadie………………………………………………………………...5
Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností ………………………… 7
2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov…………… 7 2.2. Spôsob racionalizácie ……………………………………………………… 15 2.3. Neštandardná substitúcia………………………………………………………………………………………………………. ..... 22 2.4. Úlohy s pascami……………………………………………………… 27 Záver……………………………………………………………………… 30
Literatúra…………………………………………………………………………. 31
Úvod
Som v 11. ročníku a plánujem vstúpiť na univerzitu, kde je matematika nosným predmetom. A preto veľa pracujem s úlohami časti C. V úlohe C3 potrebujete vyriešiť neštandardnú nerovnicu alebo sústavu nerovníc, zvyčajne spojenú s logaritmami. Pri príprave na skúšku som narazil na problém nedostatku metód a techník na riešenie logaritmických nerovností skúšky ponúkaných v C3. Metódy, ktoré sa na túto tému študujú v školských osnovách, nedávajú základ pre riešenie úloh C3. Učiteľka matematiky mi navrhla, aby som pod jej vedením pracoval s úlohami C3 sám. Okrem toho ma zaujímala otázka: existujú v našom živote logaritmy? S ohľadom na to bola vybraná téma: "Logaritmické nerovnosti v skúške"
Cieľ:štúdium mechanizmu riešenia problémov C3 pomocou neštandardných metód, ktoré odhaľujú zaujímavé fakty o logaritme. Predmet štúdia:
1) Nájdite potrebné informácie o neštandardných metódach riešenia logaritmických nerovností. 2) Nájdite ďalšie informácie o logaritmoch. 3) Naučte sa riešiť špecifické problémy C3 pomocou neštandardných metód. Výsledky:
Praktický význam spočíva v rozšírení aparátu na riešenie úloh C3. Tento materiál je možné použiť na niektorých vyučovacích hodinách, na vedenie krúžkov, voliteľných hodín matematiky. Produktom projektu bude kolekcia „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“. Kapitola 1. Pozadie
Počas 16. storočia sa počet približných výpočtov rýchlo zvýšil, predovšetkým v astronómii. Zdokonaľovanie prístrojov, štúdium pohybu planét a iné práce si vyžadovali kolosálne, niekedy aj mnohoročné výpočty. Astronómii reálne hrozilo, že sa utopí v nenaplnených výpočtoch. Ťažkosti nastali aj v iných oblastiach, napríklad v poisťovníctve boli potrebné tabuľky zloženého úročenia pre rôzne percentuálne hodnoty. Hlavnou ťažkosťou bolo násobenie, delenie viacciferných čísel, najmä goniometrických veličín. Objav logaritmov bol založený na známych vlastnostiach postupnosti koncom 16. storočia. Archimedes hovoril o spojitosti medzi členmi geometrickej postupnosti q, q2, q3, ... a aritmetickou postupnosťou ich ukazovateľov 1, 2, 3, ... v žalmite. Ďalším predpokladom bolo rozšírenie pojmu stupňa na záporné a zlomkové exponenty. Mnohí autori poukázali na to, že násobenie, delenie, umocnenie a extrahovanie odmocniny exponenciálne korešpondujú v aritmetike – v rovnakom poradí – sčítaní, odčítaní, násobení a delení. Tu bola myšlienka logaritmu ako exponentu. V histórii vývoja doktríny logaritmov prešlo niekoľko etáp. 1. fáza
Logaritmy vynašiel najneskôr v roku 1594 nezávisle škótsky barón Napier (1550-1617) a o desať rokov neskôr švajčiarsky mechanik Burgi (1552-1632). Obaja chceli poskytnúť nový pohodlný spôsob aritmetických výpočtov, hoci k tomuto problému pristupovali rôznymi spôsobmi. Napier kinematicky vyjadril logaritmickú funkciu a vstúpil tak do novej oblasti teórie funkcií. Bürgi zostal na základe úvahy o jednotlivých postupoch. Definícia logaritmu pre obe však nie je podobná tej modernej. Termín "logaritmus" (logaritmus) patrí Napierovi. Vznikol spojením gréckych slov: logos – „vzťah“ a ariqmo – „číslo“, čo znamenalo „počet vzťahov“. Spočiatku Napier používal iný výraz: numeri artificiales – „umelé čísla“, na rozdiel od numeri naturalts – „prirodzené čísla“. V roku 1615, v rozhovore s Henrym Briggsom (1561-1631), profesorom matematiky na Gresh College v Londýne, Napier navrhol brať nulu ako logaritmus jednotky a 100 ako logaritmus desiatich, čiže to isté. , len 1. Takto boli vytlačené desiatkové logaritmy a prvé logaritmické tabuľky. Neskôr Briggsove tabuľky doplnil holandský kníhkupec a matematik Andrian Flakk (1600-1667). Napier a Briggs, hoci prišli k logaritmom skôr ako ktokoľvek iný, publikovali svoje tabuľky neskôr ako ostatní - v roku 1620. Znaky log a Log zaviedol v roku 1624 I. Kepler. Termín "prirodzený logaritmus" zaviedol Mengoli v roku 1659, po ňom N. Mercator v roku 1668 a londýnsky učiteľ John Spadel publikoval tabuľky prirodzených logaritmov čísel od 1 do 1000 pod názvom "New Logaritmy". V ruštine boli prvé logaritmické tabuľky publikované v roku 1703. Ale vo všetkých logaritmických tabuľkách sa pri výpočte vyskytli chyby. Prvé bezchybné tabuľky vyšli v roku 1857 v Berlíne v spracovaní nemeckého matematika K. Bremikera (1804-1877). 2. fáza
Ďalší rozvoj teórie logaritmov je spojený so širšou aplikáciou analytickej geometrie a infinitezimálneho počtu. V tom čase sa vytvorilo spojenie medzi kvadratúrou rovnostrannej hyperboly a prirodzeným logaritmom. Teória logaritmov tohto obdobia je spojená s menami mnohých matematikov. Nemecký matematik, astronóm a inžinier Nikolaus Mercator vo svojej eseji "Logaritmotechnika" (1668) uvádza sériu, ktorá udáva rozšírenie ln(x + 1) v zmysle mocniny x: Tento výraz presne zodpovedá myšlienkovému smeru, aj keď, samozrejme, nepoužíval znaky d, ..., ale ťažkopádnejšie symboly. S objavom logaritmických radov sa zmenila technika výpočtu logaritmov: začali sa určovať pomocou nekonečných radov. F. Klein vo svojich prednáškach „Elementárna matematika z vyššieho hľadiska“, čítaných v rokoch 1907-1908, navrhol použiť vzorec ako východisko pre konštrukciu teórie logaritmov. 3. fáza
Definícia logaritmickej funkcie ako funkcie inverznej funkcie exponenciálny, logaritmus ako exponent daného základu nebola formulovaná okamžite. Dielo Leonharda Eulera (1707-1783) „Úvod do analýzy infinitezimál“ (1748) slúžil ako ďalší vývoj teórie logaritmickej funkcie. Touto cestou, Od prvého zavedenia logaritmov uplynulo 134 rokov (počítajúc od roku 1614), než matematici prišli s definíciou koncept logaritmu, ktorý je teraz základom školského kurzu. Kapitola 2. Zbierka logaritmických nerovností
2.1. Ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov. Ekvivalentné prechody
Zovšeobecnená intervalová metóda
Táto metóda je najuniverzálnejšia pri riešení nerovností takmer akéhokoľvek typu. Schéma riešenia vyzerá takto: 1. Uveďte nerovnosť do takého tvaru, kde je funkcia umiestnená na ľavej strane 2. Nájdite rozsah funkcie 3. Nájdite nuly funkcie 4. Nakreslite definičný obor a nuly funkcie na reálnu čiaru. 5. Určte znamienka funkcie 6. Vyberte intervaly, v ktorých funkcia nadobúda potrebné hodnoty, a zapíšte si odpoveď. Príklad 1
Riešenie:
Použite intervalovú metódu kde Pre tieto hodnoty sú všetky výrazy pod znamienkami logaritmu kladné. odpoveď:
Príklad 2
Riešenie:
1
spôsobom
.
ODZ je určená nerovnosťou X> 3. Logaritmy X v základe 10 dostaneme Posledná nerovnosť by sa dala vyriešiť aplikáciou pravidiel rozkladu, t.j. porovnanie faktorov s nulou. V tomto prípade je však ľahké určiť intervaly stálosti funkcie takže možno použiť intervalovú metódu. Funkcia f(X) = 2X(X- 3,5) lgǀ X- 3ǀ je spojité pre X> 3 a v bodoch mizne X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Určíme teda intervaly stálosti funkcie f(X):
odpoveď: 2. spôsob
.
Aplikujme myšlienky metódy intervalov priamo na pôvodnú nerovnicu. Za týmto účelom pripomíname, že výrazy a b- a c a ( a - 1)(b- 1) mať jedno znamenie. Potom naša nerovnosť pre X> 3 sa rovná nerovnosti alebo Posledná nerovnosť sa rieši intervalovou metódou odpoveď: Príklad 3
Riešenie:
Použite intervalovú metódu odpoveď: Príklad 4
Riešenie:
Od 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pre všetky skutočné X, potom Na vyriešenie druhej nerovnice použijeme intervalovú metódu V prvej nerovnosti vykonáme zmenu potom sa dostaneme k nerovnosti 2y 2 - r - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те r, ktoré spĺňajú nerovnosť -0,5< r < 1.
Odkiaľ, pretože dostaneme nerovnosť ktorá sa vykonáva s X, za čo 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, keď vezmeme do úvahy riešenie druhej nerovnosti systému, konečne získame odpoveď:
Príklad 5
Riešenie:
Nerovnosť je ekvivalentom súboru systémov alebo Aplikujte intervalovú metódu resp Odpoveď:
Príklad 6
Riešenie:
Nerovnosť sa rovná systému Nechaj potom r > 0,
a prvá nerovnosť systém má formu alebo rozšírenie štvorcová trojčlenka k faktorom, Aplikovaním intervalovej metódy na poslednú nerovnosť, vidíme, že jeho riešenia spĺňajú podmienku r> 0 bude všetko r > 4.
Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná systému: Takže riešenia nerovnosti sú všetky 2.2. racionalizačná metóda. Predtým sa metóda racionalizácie nerovnosti neriešila, nevedela. Ide o „novú modernú efektívnu metódu riešenia exponenciálnych a logaritmických nerovností“ (citát z knihy Kolesnikovej S.I.) "Magický stôl"
V iných zdrojoch
ak a >1 a b >1, potom log ab >0 a (a-1)(b-1)>0; ak a >1 a 0 ak 0<a<1 и b
>1, potom log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ak 0<a<1 и 00 a (a-1)(b-1)>0. Vyššie uvedená úvaha je jednoduchá, ale výrazne zjednodušuje riešenie logaritmických nerovností. Príklad 4
log x (x 2 -3)<0
Riešenie:
Príklad 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤ log 2 x (x 2 +x ) Riešenie: Príklad 6
Aby sme túto nerovnosť vyriešili, namiesto menovateľa napíšeme (x-1-1) (x-1) a namiesto čitateľa súčin (x-1) (x-3-9 + x). Príklad 7
Príklad 8
2.3. Neštandardná substitúcia. Príklad 1
Príklad 2
Príklad 3
Príklad 4
Príklad 5
Príklad 6
Príklad 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Urobme substitúciu y=3 x -1; potom táto nerovnosť nadobúda formu log 4 log 0,25 Pretože log 0,25 Urobme náhradu t =log 4 y a dostaneme nerovnosť t 2 -2t +≥0, ktorej riešením sú intervaly - Aby sme teda našli hodnoty y, máme množinu dvoch najjednoduchších nerovností Pôvodná nerovnosť je teda ekvivalentná množine dvoch exponenciálnych nerovností, Riešením prvej nerovnosti tejto množiny je interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Príklad 8
Riešenie:
Nerovnosť sa rovná systému Riešením druhej nerovnosti, ktorá určuje ODZ, bude množina tých X,
pre ktoré X > 0.
Aby sme vyriešili prvú nerovnosť, vykonáme zmenu Potom dostaneme nerovnosť alebo Množina riešení poslednej nerovnosti sa nájde metódou intervaly: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, dostaneme alebo Mnohé z nich X, ktoré vyhovujú poslednej nerovnosti patrí ODZ ( X> 0), preto je riešením systému, a teda pôvodná nerovnosť. odpoveď: 2.4. Úlohy s pascami. Príklad 1
Riešenie. ODZ nerovnosti je všetky x spĺňajúce podmienku 0 Príklad 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1. Záver
Nebolo ľahké nájsť špeciálne metódy na riešenie úloh C3 z veľkého množstva rôznych vzdelávacích zdrojov. V priebehu práce som mal možnosť študovať neštandardné metódy riešenia zložitých logaritmických nerovníc. Sú to: ekvivalentné prechody a zovšeobecnená metóda intervalov, metóda racionalizácie ,
neštandardná substitúcia ,
úlohy s nástrahami na ODZ. Tieto metódy v školských osnovách chýbajú. Pomocou rôznych metód som vyriešil 27 nerovností ponúkaných pri USE v časti C, konkrétne C3. Tieto nerovnosti s riešeniami metódami tvorili základ zbierky „Logaritmické nerovnosti C3 s riešeniami“, ktorá sa stala projektovým produktom mojej činnosti. Potvrdila sa hypotéza, ktorú som uviedol na začiatku projektu: Problémy C3 možno efektívne riešiť, ak sú tieto metódy známe. Okrem toho som objavil zaujímavé fakty o logaritmoch. Bolo pre mňa zaujímavé to urobiť. Moje projektové produkty budú užitočné pre študentov aj učiteľov. závery:
Cieľ projektu je teda dosiahnutý, problém vyriešený. A získal som najkompletnejšie a najuniverzálnejšie skúsenosti s projektovými aktivitami vo všetkých fázach práce. V priebehu práce na projekte som mal hlavný vývojový vplyv na mentálnu kompetenciu, činnosti súvisiace s logickými mentálnymi operáciami, rozvoj tvorivej kompetencie, osobnej iniciatívy, zodpovednosti, vytrvalosti a aktivity. Zárukou úspechu pri tvorbe výskumného projektu pre sa mi stali: významné školské skúsenosti, schopnosť čerpať informácie z rôznych zdrojov, kontrolovať ich spoľahlivosť, zoraďovať ich podľa významnosti. Okrem priamo predmetových vedomostí z matematiky si rozšíril praktické zručnosti v oblasti informatiky, získal nové poznatky a skúsenosti z oblasti psychológie, nadviazal kontakty so spolužiakmi, naučil sa spolupracovať s dospelými. V priebehu projektových aktivít sa rozvíjali organizačné, intelektové a komunikatívne všeobecno-vzdelávacie zručnosti a schopnosti. Literatúra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Systémy nerovností s jednou premennou (typické úlohy C3). 2. Malkova A. G. Príprava na jednotnú štátnu skúšku z matematiky. 3. S. S. Samarová, Riešenie logaritmických nerovností. 4. Matematika. Zbierka tréningových prác spracovaná A.L. Semjonov a I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-
Ciele lekcie: didaktické: vyvíja sa: rozvíjať pamäť, pozornosť, logické myslenie, porovnávacie schopnosti, vedieť zovšeobecňovať a vyvodzovať závery Vzdelávacie: pestovať presnosť, zodpovednosť za vykonanú úlohu, vzájomnú pomoc. Vyučovacie metódy:
verbálne ,
vizuálny ,
praktické ,
čiastočné vyhľadávanie ,
samospráva ,
ovládanie. Formy organizácie kognitívnej činnosti študentov:
čelný ,
individuálny ,
pracovať v pároch. Vybavenie:
súbor testovacích úloh, referenčná poznámka, prázdne hárky na riešenia. Typ lekcie: učenie sa nového materiálu. Počas vyučovania 1. Organizačný moment. Oznámená je téma a ciele hodiny, schéma hodiny: každý študent dostane hodnotiaci hárok, ktorý študent počas hodiny vypĺňa; pre každú dvojicu žiakov - tlačené materiály s úlohami, je potrebné, aby ste úlohy splnili vo dvojiciach; prázdne hárky pre rozhodnutia; referenčné listy: definícia logaritmu; graf logaritmickej funkcie, jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností. Všetky rozhodnutia po sebahodnotení sa predkladajú vyučujúcemu. Bodovacia tabuľka študentov 2. Aktualizácia poznatkov. Pokyny učiteľa. Pamätajte na definíciu logaritmu, graf logaritmickej funkcie a jej vlastnosti. Na tento účel si prečítajte text na s. 88–90, 98–101 učebnice „Algebra a začiatok analýzy 10–11“, ktorú vydali Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin a iní. Študenti dostanú hárky, na ktorých sú napísané: definícia logaritmu; ukazuje graf logaritmickej funkcie, jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; algoritmus na riešenie logaritmických nerovností, príklad riešenia logaritmickej nerovnosti, ktorá sa redukuje na druhú. 3. Učenie sa nového materiálu. Riešenie logaritmických nerovností je založené na monotónnosti logaritmickej funkcie. Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností: A) Nájdite definičný obor nerovnice (sublogaritmický výraz je väčší ako nula). Učebný prvok #1. Účel: opraviť riešenie najjednoduchších logaritmických nerovností Forma organizácie kognitívnej činnosti žiakov: samostatná práca. Úlohy na samostatnú prácu na 10 minút. Pre každú nerovnosť je viacero odpovedí, treba si vybrať tú správnu a skontrolovať podľa kľúča. Učebný prvok č. 2. Účel: opraviť riešenie logaritmických nerovností použitím vlastností logaritmov. Pokyny učiteľa. Spomeňte si na základné vlastnosti logaritmov. K tomu si prečítajte text učebnice na str. 92, 103–104. Úlohy na samostatnú prácu na 10 minút. KĽÚČ: 2113, maximálny počet bodov je 8 b. Učebný prvok č. 3. Účel: študovať riešenie logaritmických nerovností metódou redukcie na druhú mocninu. Inštrukcie učiteľa: metóda zníženia nerovnosti na štvorec je taká, že nerovnosť musíte transformovať do takej podoby, aby nejaká logaritmická funkcia bola označená novou premennou, pričom získate štvorcovú nerovnosť vzhľadom na túto premennú. Využime intervalovú metódu. Prešli ste prvou úrovňou asimilácie materiálu. Teraz si budete musieť nezávisle vybrať metódu riešenia logaritmických rovníc s využitím všetkých svojich vedomostí a schopností. Učebný prvok číslo 4. Účel: upevniť riešenie logaritmických nerovností výberom racionálneho spôsobu riešenia sami. Úlohy na samostatnú prácu na 10 minút Učebný prvok číslo 5. Pokyny učiteľa. Výborne! Zvládli ste riešenie rovníc druhého stupňa zložitosti. Zmyslom vašej ďalšej práce je uplatnenie vašich vedomostí a zručností v zložitejších a neštandardných situáciách. Úlohy na samostatné riešenie: Pokyny učiteľa. Je skvelé, ak ste urobili všetku prácu. Výborne! Známka za celú hodinu závisí od počtu bodov získaných za všetky vzdelávacie prvky: Odhadované líšky odovzdať pani učiteľke. 5. Domáca úloha: ak ste dosiahli maximálne 15 b - pracujte na chybách (riešenia môžete prevziať od učiteľa), ak ste dosiahli viac ako 15 b - vykonajte kreatívnu úlohu na tému „Logaritmické nerovnosti“.
Riešenie príkladov
3x > 24;
x > 8. 
Čo je potrebné na vyriešenie logaritmických nerovností?
Domáca úloha
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)Ako vyriešiť logaritmické nerovnosti:
\(-\) ak - číslo a je väčšie ako 1 - znamienko nerovnosti zostane počas prechodu rovnaké,
\(-\) ak je základom číslo väčšie ako 0, ale menšie ako 1 (medzi nulou a jednotkou), tak znamienko nerovnosti treba obrátiť, t.j.
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(X<8\)
\(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\)
\({2}\)
\(8-x\)\(<\)
\(2\)
\(8-2
Odpoveď: \((6;8)\)
ODZ: \(\začiatok(prípady)2x-4>0\\x+1 > 0\koniec(prípady)\)
\(\začiatok(prípady)2x>4\\x > -1\koniec (prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok (prípady)x>2\\x > -1\koniec (prípady) \) \(\Šípka doľava\) \(x\in(2;\infty)\)
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Odpoveď: \((2;5]\)
odpoveď:
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
odpoveď:
\((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)
\(t^2-t-2>0\) Rozbaľte ľavú stranu nerovnosti na .
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Transformácia logaritmických nerovností
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
ak a > 1
ak 0 <
а <
1
a 0 vpravo..
, teda vyriešiť rovnicu 
(a riešenie rovnice je zvyčajne jednoduchšie ako riešenie nerovnice).v prijatých intervaloch.
A aj keby ho učiteľ poznal, bol tam strach – ale pozná ho odborník na USE a prečo ho v škole nedávajú? Boli situácie, keď učiteľ povedal žiakovi: "Kde to máš? Sadni si - 2."
Teraz sa metóda všade propaguje. A pre odborníkov sú s touto metódou spojené usmernenia a v "Najúplnejších vydaniach typových variantov ..." v riešení C3 sa táto metóda používa.
METÓDA JE SKVELÁ!
Odpoveď. (0; 0,5) U.
Odpoveď :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , potom poslednú nerovnosť prepíšeme ako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Riešením tejto kolekcie sú intervaly 0<у≤2 и 8≤у<+.
teda agregáty 
. Pôvodná nerovnosť teda platí pre všetky hodnoty x z intervalov 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Preto všetky x z intervalu 0
B) Prezentujte (ak je to možné) ľavú a pravú časť nerovnosti ako logaritmy v tej istej báze.
C) Určte, či je logaritmická funkcia rastúca alebo klesajúca: ak t>1, potom rastúca; ak 0
D) Prejdite na jednoduchšiu nerovnosť (sublogaritmické výrazy), pričom vezmite do úvahy, že znamienko nerovnosti sa zachová, ak funkcia rastie, a zmení sa, ak bude klesať.
KĽÚČ: 13321, maximálny počet bodov - 6 b.
