उन लोगों के लिए जो इस लेख में सीमाएं खोजना सीखना चाहते हैं, हम आपको इसके बारे में बताएंगे। हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, आमतौर पर शिक्षक इसे व्याख्यान में देते हैं। तो "उबाऊ सिद्धांत" को आपकी नोटबुक में रेखांकित किया जाना चाहिए। यदि ऐसा नहीं है, तो आप शिक्षण संस्थान के पुस्तकालय या अन्य इंटरनेट संसाधनों से ली गई पाठ्यपुस्तकों को पढ़ सकते हैं।

इसलिए, उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम का अध्ययन करने में एक सीमा की अवधारणा काफी महत्वपूर्ण है, खासकर जब आप अभिन्न कलन में आते हैं और सीमा और अभिन्न के बीच के संबंध को समझते हैं। वर्तमान लेख सरल उदाहरणों के साथ-साथ उन्हें हल करने के तरीकों पर भी विचार करेगा।

समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1
परिकलित करें a) $ \ lim_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) $; b) $ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) $
समाधान
a) $$ \ lim \ Limits_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) = \ infty $$ b) $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (x) = 0 $$ हमें अक्सर इन सीमाओं को हल करने में मदद करने के अनुरोध के साथ भेजा जाता है। हमने उन्हें एक अलग उदाहरण के रूप में उजागर करने का फैसला किया और समझाया कि इन सीमाओं को केवल एक नियम के रूप में याद किया जाना चाहिए। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो हमें भेजें। हम एक विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे। आप गणना के पाठ्यक्रम से खुद को परिचित करने और जानकारी प्राप्त करने में सक्षम होंगे। इससे आपको अपने शिक्षक से समय पर क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!
उत्तर
$$ \ text (a)) \ lim \ Limits_ (x \ to 0) \ frac (1) (x) = \ infty \ text (b)) \ lim \ Limits_ (x \ to \ infty) \ frac (1) (एक्स) = 0 $$

अनिश्चितता का क्या करें जैसे: $ \ big [\ frac (0) (0) \ bigg] $

उदाहरण 3
हल $ \ lim \ Limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) $
समाधान
हमेशा की तरह, हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में $ x $ के मान को प्रतिस्थापित करके प्रारंभ करते हैं। $$ \ lim \ Limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) = \ frac ( 0) (0) $$ आगे क्या होगा? परिणाम क्या होना चाहिए? चूंकि यह अनिश्चितता है, यह अभी तक कोई उत्तर नहीं है और हम गणना जारी रखते हैं। चूंकि हमारे पास अंशों में एक बहुपद है, इसलिए हम स्कूल से परिचित सूत्र $$ a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) $$ का उपयोग करते हुए, इसे कारकों में विभाजित करते हैं। क्या तुम्हें याद है? जुर्माना! अब आगे बढ़ें और इसे गाने के साथ लागू करें :) हम पाते हैं कि अंश $ x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) $ हम उपरोक्त परिवर्तन को देखते हुए हल करना जारी रखते हैं: $$ \ lim \ Limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ Limits_ (x \ to -1) \ frac ((x-1) (x + 1)) (एक्स + 1) = $$ $$ = \ lim \ limit_ (x \ से -1) (x-1) = - 1-1 = -2 $$
उत्तर
$$ \ lim \ Limits_ (x \ to -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = -2 $$

आइए हम पिछले दो उदाहरणों में सीमा को अनंत तक धकेलें और अनिश्चितता पर विचार करें: $ \ bigg [\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg] $

उदाहरण 5
मूल्यांकन करें $ \ lim \ Limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 21) (x + 1) $
समाधान
$ \ lim \ Limits_ (x \ से \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac (\ infty) (\ infty) $ क्या करें? कैसे बनें? घबराएं नहीं, क्योंकि असंभव संभव है। अंश और हर दोनों में x को कोष्ठक के बाहर रखना आवश्यक है, और फिर इसे कम करें। फिर सीमा की गणना करने का प्रयास करें। कोशिश कर रहे हैं ... $$ \ lim \ Limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ lim \ Limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 2 (1- \ frac) (1) (एक्स ^ 2))) (एक्स (1+ \ फ़्रेक (1) (एक्स))) = $$ $$ = \ lim \ Limits_ (x \ से \ infty) \ frac (x (1- \ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \ frac (1) (x))) = $$ उदाहरण 2 की परिभाषा का उपयोग करके और x के लिए अनंत को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $$ = \ frac (\ infty (1- \ frac (1) (\ infty))) ((1+ \ frac (1) (\ infty))) = \ frac (\ infty \ cdot 1) (1+ 0) = \ फ़्रेक (\ infty) (1) = \ infty $$
उत्तर
$$ \ lim \ Limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x ^ 21) (x + 1) = \ infty $$

सीमा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

तो, आइए संक्षेप में विश्लेषण किए गए उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें और सीमाओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की रचना करें:

सीमा चिह्न के बाद वाले व्यंजक में बिंदु x को प्रतिस्थापित कीजिए। यदि आपको एक निश्चित संख्या, या अनंत मिलता है, तो सीमा पूरी तरह से हल हो जाती है। अन्यथा, हमारे पास अस्पष्टता है: "शून्य को शून्य से विभाजित करें" या "अनंत से अनंत को विभाजित करें" और निर्देश के अगले पैराग्राफ पर आगे बढ़ें।
अस्पष्टता "शून्य से विभाजित शून्य" को समाप्त करने के लिए आपको अंश और हर को कारकों में विभाजित करने की आवश्यकता है। समान कम करें। सीमा चिह्न के नीचे व्यंजक में बिंदु x को प्रतिस्थापित कीजिए।
यदि अनिश्चितता "अनंत से विभाजित अनंत" है, तो हम अंश और x के हर में दोनों को सबसे बड़ी डिग्री तक निकालते हैं। एक्स को कम करना। शेष व्यंजक में सीमा के नीचे से x मान रखें।

इस लेख में, आपने गणित विश्लेषण पाठ्यक्रम में आमतौर पर उपयोग की जाने वाली सीमाओं को हल करने की मूल बातें सीखी हैं। बेशक, ये सभी प्रकार की समस्याएँ नहीं हैं जो परीक्षकों द्वारा प्रस्तुत की जाती हैं, बल्कि केवल सबसे सरल सीमाएँ हैं। निम्नलिखित लेखों में हम अन्य प्रकार के कार्यों के बारे में बात करेंगे, लेकिन आगे बढ़ने के लिए पहले आपको यह पाठ सीखना होगा। हम चर्चा करेंगे कि क्या करना है यदि जड़ें हैं, डिग्री हैं, हम इनफिनिटिमल समकक्ष कार्यों का अध्ययन करेंगे, अद्भुत सीमाएं, L'Hpital's शासन।

यदि आप स्वयं सीमाएँ नहीं समझ सकते हैं, तो घबराएँ नहीं। हमें हमेशा मदद करके खुशी होती हैं!

भयानक सूत्रों का ढेर, उच्च गणित पर मैनुअल, जिसे आप खोलते हैं और फिर बंद करते हैं, एक बहुत ही सरल समस्या के समाधान के लिए दर्दनाक खोज .... यह स्थिति असामान्य नहीं है, खासकर जब गणित की पाठ्यपुस्तक पिछली बार 11वीं कक्षा में खोली गई थी। इस बीच, विश्वविद्यालयों में, कई विशिष्टताओं के पाठ्यक्रम सभी के पसंदीदा उच्च गणित के अध्ययन के लिए प्रदान करते हैं। और इस स्थिति में, आप अक्सर भयानक गणितीय अस्पष्टता के ढेर के सामने एक पूर्ण चायदानी की तरह महसूस करते हैं। इसके अलावा, किसी भी विषय का अध्ययन करते समय विशेष रूप से प्राकृतिक विज्ञान के चक्र से ऐसी ही स्थिति उत्पन्न हो सकती है।

क्या करें? एक पूर्णकालिक छात्र के लिए, सब कुछ बहुत आसान है, जब तक कि निश्चित रूप से, विषय बहुत उपेक्षित न हो। आप एक शिक्षक, सहपाठियों से परामर्श कर सकते हैं, और डेस्क पर किसी पड़ोसी से केवल धोखा दे सकते हैं। उच्च गणित में एक पूर्ण केतली भी ऐसी स्थितियों में सत्र में जीवित रहेगी।

और अगर कोई व्यक्ति किसी विश्वविद्यालय के पत्राचार विभाग में पढ़ता है, और उच्च गणित, इसे हल्के ढंग से रखने के लिए, भविष्य में इसकी आवश्यकता होने की संभावना नहीं है? इसके अलावा, कक्षाओं के लिए बिल्कुल समय नहीं है। यह ऐसा है, ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है, लेकिन किसी ने भी परीक्षणों के निष्पादन को रद्द नहीं किया और परीक्षा उत्तीर्ण की (अक्सर लिखित)। उच्च गणित में परीक्षणों के साथ, सब कुछ आसान है, आप एक चायदानी हैं, या चायदानी नहीं - गणित में परीक्षण कार्य का आदेश दिया जा सकता है... उदाहरण के लिए, मेरा। और बाकी सब्जेक्ट के लिए भी आप ऑर्डर कर सकते हैं। अब यहाँ नहीं। लेकिन समीक्षा के लिए परीक्षण पत्रों को पूरा करने और वितरित करने से अभी तक ग्रेड बुक में प्रतिष्ठित रिकॉर्ड नहीं बन पाएगा। अक्सर ऐसा होता है कि ऑर्डर करने के लिए बनाई गई कला के एक काम को संरक्षित करने की आवश्यकता होती है, और यह समझाने की आवश्यकता होती है कि इन अक्षरों से निम्नलिखित सूत्र क्यों मिलता है। इसके अलावा, परीक्षाएं आ रही हैं, और वहां आपको निर्धारकों, सीमाओं और डेरिवेटिव को स्वयं हल करना होगा। जब तक, निश्चित रूप से, शिक्षक मूल्यवान उपहार स्वीकार नहीं करता है, या कक्षा के बाहर कोई शुभचिंतक नहीं है।

मैं आपको कुछ बहुत ही महत्वपूर्ण सलाह देता हूं। परीक्षणों, सटीक और प्राकृतिक विज्ञानों की परीक्षाओं में, कुछ समझने के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है। याद रखें, कम से कम कुछ तो। विचार प्रक्रियाओं की पूर्ण अनुपस्थिति बस शिक्षक को परेशान करती है, मुझे ऐसे मामलों के बारे में पता है जब पत्राचार छात्रों को 5-6 बार लपेटा गया था। मुझे याद है कि एक युवक ने 4 बार परीक्षा उत्तीर्ण की, और प्रत्येक रीटेक के बाद वह मेरे पास मुफ्त वारंटी परामर्श के लिए आया। अंत में, मैंने देखा कि उत्तर में उन्होंने "पी" अक्षर के बजाय "पे" पत्र लिखा था, जिसके बाद समीक्षक से गंभीर प्रतिबंध लगाए गए थे। छात्र उस असाइनमेंट को भी समझना नहीं चाहता था जिसे उसने लापरवाही से फिर से लिखा था

आप उच्च गणित में एक पूर्ण चायदानी हो सकते हैं, लेकिन यह जानना अत्यधिक वांछनीय है कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। क्योंकि यदि आप किसी प्रारंभिक प्रश्न का कुछ बकवास उत्तर देते हैं, तो इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि विश्वविद्यालय में आपकी पढ़ाई आपके लिए समाप्त हो जाएगी। शिक्षक उस छात्र के लिए बहुत अधिक सहायक होते हैं जो विषय को समझने के लिए कम से कम प्रयास करता है, जो गलती से हल करने, समझाने या कुछ साबित करने का प्रयास करता है। और यह कथन सभी विषयों के लिए सत्य है। इसलिए, "मैं कुछ नहीं जानता, मैं कुछ भी नहीं समझता" की स्थिति को पूरी तरह से खारिज कर दिया जाना चाहिए।

दूसरा महत्वपूर्ण सुझाव व्याख्यान में भाग लेना है, भले ही वे कम हों। मैंने पहले ही साइट के मुख्य पृष्ठ पर इसका उल्लेख किया है। पत्राचार छात्रों के लिए गणित... यह बहुत महत्वपूर्ण क्यों है, इसे दोहराने का कोई मतलब नहीं है, वहां पढ़ें।

तो, अगर कोई परीक्षा, उच्च गणित की परीक्षा नजदीक है, और चीजें बहुत ही निराशाजनक हैं - एक पूर्ण, या अधिक सटीक रूप से, एक खाली चायदानी की स्थिति?

एक विकल्प एक ट्यूटर को किराए पर लेना है। ट्यूटर्स का सबसे बड़ा डेटाबेस (मुख्य रूप से मास्को में) या (मुख्य रूप से सेंट पीटर्सबर्ग में) पाया जा सकता है। एक खोज इंजन का उपयोग करके, अपने शहर में एक शिक्षक को ढूंढना या स्थानीय विज्ञापन समाचार पत्रों को देखना काफी संभव है। शिक्षक की योग्यता के आधार पर, ट्यूटर की सेवाओं की कीमत 400 रूबल या प्रति घंटे से अधिक हो सकती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सस्ते का मतलब बुरा नहीं है, खासकर यदि आपके पास अच्छी गणितीय पृष्ठभूमि है। उसी समय, 2-3K रूबल के लिए आपको एक LITTLE प्राप्त होगा। कोई भी इस तरह के पैसे को व्यर्थ नहीं लेता है, और कोई भी इस तरह के पैसे को व्यर्थ में भुगतान नहीं करता है ;-)। एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु विशेष शैक्षणिक शिक्षा के साथ एक ट्यूटर चुनने का प्रयास करना है। दरअसल, हम कानूनी मदद के लिए डेंटिस्ट के पास नहीं जाते हैं।

हाल ही में, ऑनलाइन शिक्षण सेवा लोकप्रियता प्राप्त कर रही है। यह बहुत सुविधाजनक होता है जब आपको तत्काल एक या दो समस्याओं को हल करने, किसी विषय को समझने या परीक्षा की तैयारी करने की आवश्यकता होती है। एक बिना शर्त लाभ कीमतें हैं, जो एक ऑफ़लाइन ट्यूटर की तुलना में कई गुना कम हैं + यात्रा समय में बचत, जो विशेष रूप से मेगालोपोलिस के निवासियों के लिए महत्वपूर्ण है।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, बिना ट्यूटर के कुछ चीजों में महारत हासिल करना बहुत मुश्किल है; आपको "लाइव" स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

फिर भी, आप स्वयं कई प्रकार की समस्याओं का पता लगा सकते हैं, और साइट के इस भाग का उद्देश्य आपको विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं को हल करना सिखाना है जो लगभग हमेशा परीक्षाओं में पाए जाते हैं। इसके अलावा, कई कार्यों के लिए "कठिन" एल्गोरिदम हैं, जहां सही समाधान से "कोई बच नहीं" है। और, मेरे सर्वोत्तम ज्ञान के लिए, मैं आपकी मदद करने की कोशिश करूंगा, खासकर जब से विशेषता में शैक्षणिक शिक्षा और कार्य अनुभव है।

आइए गणितीय अस्पष्टता को दूर करना शुरू करें। यह ठीक है, भले ही आप एक चायदानी हों, उच्च गणित - यह वास्तव में सरल और वास्तव में किफायती है।

और आपको स्कूली गणित पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति के साथ शुरुआत करनी होगी। दोहराव पीड़ा की जननी है।

इससे पहले कि आप मेरी शिक्षण सामग्री का अध्ययन शुरू करें, और वास्तव में आप उच्च गणित पर किसी भी सामग्री का अध्ययन शुरू करें, मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप निम्नलिखित पढ़ें।

उच्च गणित में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

एक माइक्रोकैलक्यूलेटर बचाओ।

कार्यक्रमों से - एक्सेल (बढ़िया विकल्प!) मैंने डमी के लिए मैनुअल को पुस्तकालय में अपलोड कर दिया है।

यहां है? पहले से ही अच्छा है।

– शर्तों का क्रमपरिवर्तन - योग नहीं बदलता है: .
लेकिन ये पूरी तरह से अलग चीजें हैं:

"X" और "चार" को पुनर्व्यवस्थित करना बस असंभव है। उसी समय, हम पंथ अक्षर "X" को याद करते हैं, जो गणित में एक अज्ञात या परिवर्तनशील मात्रा को दर्शाता है।

– कारकों का क्रमपरिवर्तन - उत्पाद नहीं बदलता है: .
विभाजन के साथ, ऐसी चाल काम नहीं करेगी, और - ये दो पूरी तरह से अलग-अलग अंश हैं और हर के साथ अंश का क्रमपरिवर्तन परिणाम के बिना नहीं करता है।
हमें यह भी याद है कि गुणन चिह्न ("डॉट") अक्सर नहीं लिखा जाता है:,

– कोष्ठकों के विस्तार के नियमों को याद रखना:
- यहां शर्तों के संकेत नहीं बदलते हैं
- और यहाँ वे उलट गए हैं।
और गुणा के लिए:

सामान्य तौर पर, यह याद रखना पर्याप्त है कि दो मिनट एक प्लस देते हैं, ए तीन मिनट - एक माइनस देता है... और, उच्च गणित (एक बहुत ही सामान्य और कष्टप्रद गलती) में समस्याओं को हल करते समय इसमें भ्रमित न होने का प्रयास करें।

– हम समान शब्दों की कमी को याद करते हैंआपको निम्नलिखित क्रिया की अच्छी समझ होनी चाहिए:

– याद रखें कि डिग्री क्या होती है:

, , , .

डिग्री सिर्फ एक साधारण गुणा है।

–याद रखें कि भिन्नों को कम किया जा सकता है: (2 से कम), (पांच से कम), (कम करके)।

– भिन्नों के साथ क्रियाओं को याद रखना:

और साथ ही, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम:

यदि ये उदाहरण स्पष्ट नहीं हैं, तो अपने स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।
इसके बिना यह टाइट हो जाएगा।

सलाह: उच्च गणित में सभी इंटरमीडिएट गणना सामान्य सही और गलत अंशों में सबसे अच्छी तरह से की जाती है, भले ही आपको भयानक अंश मिलते हैं। यहाँ इस भिन्न को फॉर्म में नहीं दर्शाया जाना चाहिए, और, इसके अलावा, इसे कैलकुलेटर पर हर द्वारा अंश द्वारा विभाजित नहीं किया जाना चाहिए, जिससे 4.334552102…।

नियम का अपवाद कार्य का अंतिम उत्तर है, जब लिखना या लिखना बेहतर होता है।

– समीकरण... इसमें एक लेफ्ट साइड और एक राइट साइड होता है। उदाहरण के लिए:

आप किसी भी पद का चिन्ह बदलकर दूसरे भाग में स्थानान्तरित कर सकते हैं:
आइए, उदाहरण के लिए, सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करें:

या दाईं ओर:

और अगर कोई व्यक्ति किसी विश्वविद्यालय के पत्राचार विभाग में पढ़ता है, और उच्च गणित, इसे हल्के ढंग से रखने के लिए, भविष्य में इसकी आवश्यकता होने की संभावना नहीं है? इसके अलावा, कक्षाओं के लिए बिल्कुल समय नहीं है। यह ऐसा है, ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है, लेकिन किसी ने भी परीक्षणों के निष्पादन को रद्द नहीं किया और परीक्षा उत्तीर्ण की (अक्सर लिखित)। उच्च गणित में परीक्षणों के साथ, सब कुछ आसान है, आप एक चायदानी हैं, या चायदानी नहीं - गणित में परीक्षण कार्य का आदेश दिया जा सकता है ... उदाहरण के लिए, मेरा। और बाकी सब्जेक्ट के लिए भी आप ऑर्डर कर सकते हैं। अब यहाँ नहीं। लेकिन समीक्षा के लिए परीक्षण पत्रों को पूरा करने और वितरित करने से अभी तक ग्रेड बुक में प्रतिष्ठित रिकॉर्ड नहीं बन पाएगा। अक्सर ऐसा होता है कि ऑर्डर करने के लिए बनाई गई कला के एक काम को संरक्षित करने की आवश्यकता होती है, और यह समझाने की आवश्यकता होती है कि इन अक्षरों से निम्नलिखित सूत्र क्यों मिलता है। इसके अलावा, परीक्षाएं आ रही हैं, और वहां आपको निर्धारकों, सीमाओं और डेरिवेटिव को स्वयं हल करना होगा। जब तक, निश्चित रूप से, शिक्षक मूल्यवान उपहार स्वीकार नहीं करता है, या कक्षा के बाहर कोई शुभचिंतक नहीं है।

दूसरा महत्वपूर्ण सुझाव व्याख्यान में भाग लेना है, भले ही वे कम हों। मैंने पहले ही साइट के मुख्य पृष्ठ पर इसका उल्लेख किया है। पत्राचार छात्रों के लिए गणित ... यह बहुत महत्वपूर्ण क्यों है, इसे दोहराने का कोई मतलब नहीं है, वहां पढ़ें।

उच्च गणित में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

एक माइक्रोकैलक्यूलेटर बचाओ।

यहां है? पहले से ही अच्छा है।

– याद रखें कि डिग्री क्या होती है:

, , , .

डिग्री सिर्फ एक साधारण गुणा है।

–याद रखें कि भिन्नों को कम किया जा सकता है: (2 से कम), (पांच से कम), (कम करके)।

– भिन्नों के साथ क्रियाओं को याद रखना:

नियम का अपवाद कार्य का अंतिम उत्तर है, जब लिखना या लिखना बेहतर होता है।

– समीकरण... इसमें एक लेफ्ट साइड और एक राइट साइड होता है। उदाहरण के लिए:

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डमी के लिए गणितीय विश्लेषण। पाठ 1. सेट।

एक सेट की अवधारणा

गुच्छाकुछ वस्तुओं का संग्रह है। क्या सेट हो सकते हैं? पहला, परिमित या अनंत। उदाहरण के लिए, एक बॉक्स में माचिस का एक सेट एक परिमित सेट है, आप उन्हें ले सकते हैं और गिन सकते हैं। समुद्र तट पर रेत के दानों की संख्या गिनना अधिक कठिन है, लेकिन, सिद्धांत रूप में, यह संभव है। और यह राशि कुछ सीमित संख्या में व्यक्त की जाती है। तो, निश्चित रूप से, समुद्र तट पर भी रेत के बहुत सारे दाने हैं। लेकिन सीधे पर बिंदुओं का सेट, यह सेट अनंत है। चूँकि, सबसे पहले, सीधी रेखा अपने आप में अनंत है और उस पर आप जितने चाहें उतने बिंदु लगा सकते हैं। एक रेखाखंड के बिंदुओं का समुच्चय भी अनंत होता है। क्योंकि सैद्धांतिक रूप से बिंदु जितना छोटा हो उतना छोटा हो सकता है। बेशक, हम भौतिक रूप से एक बिंदु नहीं खींच सकते, उदाहरण के लिए, एक परमाणु के आकार से छोटा, लेकिन गणित के दृष्टिकोण से, बिंदु का कोई आकार नहीं है। इसका आकार शून्य है। यदि आप किसी संख्या को शून्य से भाग दें तो क्या होगा? यह सही है, अनंत। और यद्यपि एक सीधी रेखा और एक खंड पर बिंदुओं का सेट अनंत तक जाता है, वे एक ही चीज़ नहीं हैं। समुच्चय किसी वस्तु की मात्रा नहीं है, बल्कि वस्तुओं का संग्रह है। और केवल वे सेट जिनमें बिल्कुल समान वस्तुएं होती हैं, उन्हें समान माना जाता है। यदि एक सेट में दूसरे सेट के समान ऑब्जेक्ट होते हैं, लेकिन साथ ही एक और "बाएं" ऑब्जेक्ट होता है, तो ये अब बराबर सेट नहीं होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें। मान लीजिए कि हमारे पास दो सेट हैं। पहला एक सीधी रेखा पर सभी बिंदुओं का संग्रह है। दूसरा एक सीधी रेखा खंड पर सभी बिंदुओं का संग्रह है। वे बराबर क्यों नहीं हैं? सबसे पहले, खंड और सीधी रेखा भी प्रतिच्छेद नहीं कर सकती है। तब वे निश्चित रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि उनमें पूरी तरह से भिन्न बिंदु हैं। यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके पास केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। अन्य सभी उतने ही भिन्न हैं। और अगर खंड एक सीधी रेखा पर स्थित है? तब खंड के सभी बिंदु भी एक सीधी रेखा के बिंदु होते हैं। लेकिन एक सीधी रेखा के सभी बिंदु खंड बिंदु नहीं होते हैं। तो इस मामले में सेट को बराबर (समान) नहीं माना जा सकता है।

प्रत्येक सेट एक नियम द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है कि कोई तत्व इस सेट से संबंधित है या नहीं। ये नियम क्या हैं? उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय परिमित है, तो आप मूर्खतापूर्वक उसकी सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध कर सकते हैं। आप एक सीमा निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1 से 10 तक के सभी पूर्णांक। यह भी एक परिमित समुच्चय होगा, लेकिन यहां हम इसके तत्वों को सूचीबद्ध नहीं कर रहे हैं, बल्कि एक नियम बना रहे हैं। या असमानता, उदाहरण के लिए, सभी संख्याएं 10 से बड़ी हैं। यह पहले से ही एक अनंत सेट होगा, क्योंकि आप सबसे बड़ी संख्या का नाम नहीं दे सकते - चाहे हम किसी भी संख्या का नाम दें, हमेशा यह संख्या प्लस 1 होती है।

एक नियम के रूप में, सेट लैटिन वर्णमाला ए, बी, सी, और इसी तरह के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। यदि एक सेट में विशिष्ट तत्व होते हैं और हम इसे इन तत्वों की सूची के रूप में निर्दिष्ट करना चाहते हैं, तो हम इस सूची को घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न कर सकते हैं, उदाहरण के लिए ए = (ए, बी, सी, डी)। यदि a समुच्चय A का एक अवयव है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: ए Î ए... यदि a समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो वे लिखते हैं a Ï A. सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N = (1,2,3, ...,) एक महत्वपूर्ण समुच्चय है। एक विशेष, तथाकथित खाली सेट भी है, जिसमें एक भी तत्व नहीं होता है। रिक्त समुच्चय को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है Æ .

परिभाषा 1 (सेटों की समानता की परिभाषा)। सेट एऔर B समान हैं यदि उनमें समान तत्व हैं, अर्थात यदि x . से A का तात्पर्य x B है और इसके विपरीत, x B से यह x A का अनुसरण करता है।

औपचारिक रूप से, दो सेटों की समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

(ए = बी) := " एक्स (( एक्स Î ए ) Û (एक्स Î बी )),

इसका मतलब है कि किसी भी वस्तु x के लिए, संबंध xÎ ए और एक्सबी समकक्ष हैं।

यहाँ " यूनिवर्सल क्वांटिफायर है (" एक्स"हर किसी के लिए" की तरह पढ़ता है एक्स").

परिभाषा 2 (एक उपसमुच्चय की परिभाषा)। गुच्छा एसेट का एक सबसेट है वीयदि कोई एक्ससेट से संबंधित ए, सेट के अंतर्गत आता है वीऔपचारिक रूप से, इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

(ए Ì बी) := " एक्स((एक्स Î ए) Þ (एक्स Î बी))

यदि एक Ì बी लेकिन ए ¹ B, तो A समुच्चय का एक उचित उपसमुच्चय है वीएक उदाहरण के रूप में, हम फिर से एक सीधी रेखा और एक खंड का हवाला दे सकते हैं। यदि कोई खंड एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो उसके बिंदुओं का समूह इस सीधी रेखा के बिंदुओं का उपसमुच्चय होता है। या, एक और उदाहरण। पूर्णांकों का वह समुच्चय जो बिना शेषफल के 3 से विभाज्य हो, पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

टिप्पणी।एक खाली सेट किसी भी सेट का सबसेट है।

संचालन सेट करें

सेट पर निम्नलिखित ऑपरेशन संभव हैं:

एक संस्था।इस ऑपरेशन का सार दो सेटों को एक में जोड़ना है जिसमें प्रत्येक संयुक्त सेट के तत्व शामिल हैं। औपचारिक रूप से, यह इस तरह दिखता है:

सी = एÈ बी: = {एक्स: एक्स Î ए या एक्सÎ बी}

उदाहरण। असमानता को हल करें | 2 एक्स+ 3 | > 7.

इसका तात्पर्य 2x + 3 . के लिए असमानता 2x + 3> 7, या तो है 0, फिर x> 2

या असमानता 2x + 3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

इस असमानता के समाधान का समुच्चय समुच्चयों का मिलन है (-∞, -5) (2, )।

चलो जांचते हैं। आइए व्यंजक के मान की गणना करें | 2 एक्स+ 3 | कई बिंदुओं के लिए दी गई सीमा में झूठ बोलना और झूठ नहीं बोलना:

एक्स	*\| 2 एक्स+* 3 \|**
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ सही ढंग से तय किया गया था (सीमा सीमाएं लाल रंग में इंगित की गई हैं)।

चौराहा।इंटरसेक्शन दो तत्वों का एक नया सेट बनाने का संचालन है जो इन दोनों सेटों में शामिल हैं। इसे स्पष्ट रूप से चित्रित करने के लिए, आइए कल्पना करें कि हमारे पास समतल पर बिंदुओं के दो सेट हैं, अर्थात् आकृति A और आकृति B। उनका प्रतिच्छेदन आकृति C को दर्शाता है - यह सेटों के प्रतिच्छेदन के संचालन का परिणाम है:

औपचारिक रूप से, समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की संक्रिया को इस प्रकार लिखा जाता है:

सी = ए बी: = (एक्स: एक्स Î ए और एक्स Î बी)

उदाहरण।मान लीजिए हमारे पास एक सेट है तोसी = ए बी = {5,6,7}

घटाव।सेट का घटाव उन तत्वों के घटाए गए सेट से बहिष्करण है जो घटाए और घटाए गए हैं:

औपचारिक रूप से, समुच्चय का घटाव इस प्रकार लिखा जाता है:

ए \ बी: ={एक्स: एक्स Î ए और एक्सÏ बी}

उदाहरण।आइए हम बहुत से ए = (1,2,3,4,5,6,7), बी = (5,6,7,8,9,10)।फिरसी = ए \ बी = { 1,2,3,4}

योग।पूरक एक यूनरी ऑपरेशन है (एक ऑपरेशन दो पर नहीं, बल्कि एक सेट पर)। यह संक्रिया इस समुच्चय को संपूर्ण सार्वत्रिक समुच्चय (वह समुच्चय जिसमें अन्य सभी समुच्चय सम्मिलित हैं) से घटाने का परिणाम है।

ए: = (एक्स: एक्स Î यू और एक्स Ï ए) = यू \ ए

इसे रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सममित अंतर।सामान्य अंतर के विपरीत, सेट के सममित अंतर के साथ, केवल वही तत्व रहते हैं जो या तो एक या दूसरे सेट में मौजूद होते हैं। या, सरल शब्दों में, इसे दो सेटों से बनाया गया है, लेकिन वे तत्व जो दोनों सेटों में हैं, उन्हें इससे बाहर रखा गया है:

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

एडी बी: = (ए \ बी) È ( बी 0 ए) = (ए È बी) \ (ए Ç बी)

सेट पर संचालन के गुण।

यह संघ की परिभाषाओं और सेटों के प्रतिच्छेदन से निम्नानुसार है कि चौराहे और संघ के संचालन में निम्नलिखित गुण हैं:

कम्यूटेटिविटी।

ए È बी = बीÈ ए
एÇ बी = बीÇ ए

साहचर्य।

(ए È बी) È सी = एÈ ( बी È सी)
(ए Ç बी) Ç सी = एÇ ( बी Ç सी)