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डमी के लिए गणितीय विश्लेषण। पाठ 1. सेट।

एक सेट की अवधारणा

गुच्छाकुछ वस्तुओं का संग्रह है। क्या सेट हो सकते हैं? पहला, परिमित या अनंत। उदाहरण के लिए, एक बॉक्स में माचिस का एक सेट एक परिमित सेट है, आप उन्हें ले सकते हैं और गिन सकते हैं। समुद्र तट पर रेत के दानों की संख्या गिनना अधिक कठिन है, लेकिन, सिद्धांत रूप में, यह संभव है। और यह राशि कुछ सीमित संख्या में व्यक्त की जाती है। तो, निश्चित रूप से, समुद्र तट पर भी रेत के बहुत सारे दाने हैं। लेकिन सीधे पर बिंदुओं का सेट, यह सेट अनंत है। चूँकि, सबसे पहले, सीधी रेखा अपने आप में अनंत है और उस पर आप जितने चाहें उतने बिंदु लगा सकते हैं। एक रेखाखंड के बिंदुओं का समुच्चय भी अनंत होता है। क्योंकि सैद्धांतिक रूप से बिंदु जितना छोटा हो उतना छोटा हो सकता है। बेशक, हम भौतिक रूप से एक बिंदु नहीं खींच सकते, उदाहरण के लिए, एक परमाणु के आकार से छोटा, लेकिन गणित के दृष्टिकोण से, बिंदु का कोई आकार नहीं है। इसका आकार शून्य है। यदि आप किसी संख्या को शून्य से भाग दें तो क्या होगा? यह सही है, अनंत। और यद्यपि एक सीधी रेखा और एक खंड पर बिंदुओं का सेट अनंत तक जाता है, वे एक ही चीज़ नहीं हैं। समुच्चय किसी वस्तु की मात्रा नहीं है, बल्कि वस्तुओं का संग्रह है। और केवल वे सेट जिनमें बिल्कुल समान वस्तुएं होती हैं, उन्हें समान माना जाता है। यदि एक सेट में दूसरे सेट के समान ऑब्जेक्ट होते हैं, लेकिन साथ ही एक और "बाएं" ऑब्जेक्ट होता है, तो ये अब बराबर सेट नहीं होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें। मान लीजिए कि हमारे पास दो सेट हैं। पहला एक सीधी रेखा पर सभी बिंदुओं का संग्रह है। दूसरा एक सीधी रेखा खंड पर सभी बिंदुओं का संग्रह है। वे बराबर क्यों नहीं हैं? सबसे पहले, खंड और सीधी रेखा भी प्रतिच्छेद नहीं कर सकती है। तब वे निश्चित रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि उनमें पूरी तरह से भिन्न बिंदु हैं। यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके पास केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। अन्य सभी उतने ही भिन्न हैं। और अगर खंड एक सीधी रेखा पर स्थित है? तब खंड के सभी बिंदु भी एक सीधी रेखा के बिंदु होते हैं। लेकिन एक सीधी रेखा के सभी बिंदु खंड बिंदु नहीं होते हैं। तो इस मामले में सेट को बराबर (समान) नहीं माना जा सकता है।

प्रत्येक सेट एक नियम द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है कि कोई तत्व इस सेट से संबंधित है या नहीं। ये नियम क्या हैं? उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय परिमित है, तो आप मूर्खतापूर्वक उसकी सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध कर सकते हैं। आप एक सीमा निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 1 से 10 तक के सभी पूर्णांक। यह भी एक परिमित समुच्चय होगा, लेकिन यहां हम इसके तत्वों को सूचीबद्ध नहीं कर रहे हैं, बल्कि एक नियम बना रहे हैं। या असमानता, उदाहरण के लिए, सभी संख्याएँ 10 से बड़ी हैं। यह पहले से ही एक अनंत सेट होगा, क्योंकि आप सबसे बड़ी संख्या का नाम नहीं दे सकते - चाहे हम किसी भी संख्या का नाम दें, यह संख्या हमेशा प्लस 1 होती है।

एक नियम के रूप में, सेट लैटिन वर्णमाला ए, बी, सी, और इसी तरह के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। यदि एक सेट में विशिष्ट तत्व होते हैं और हम इसे इन तत्वों की सूची के रूप में निर्दिष्ट करना चाहते हैं, तो हम इस सूची को घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न कर सकते हैं, उदाहरण के लिए ए = (ए, बी, सी, डी)। यदि a समुच्चय A का एक अवयव है, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है: ए Î ए... यदि a समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो वे लिखते हैं a Ï A. सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N = (1,2,3, ...,) एक महत्वपूर्ण समुच्चय है। एक विशेष, तथाकथित खाली सेट भी है, जिसमें एक भी तत्व नहीं होता है। रिक्त समुच्चय को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है Æ .

परिभाषा 1 (सेटों की समानता की परिभाषा)। सेट एऔर B समान हैं यदि उनमें समान तत्व हैं, अर्थात यदि x . से A का तात्पर्य x B है और इसके विपरीत, x B से यह x A का अनुसरण करता है।

औपचारिक रूप से, दो सेटों की समानता इस प्रकार लिखी जाती है:

(ए = बी) := " एक्स (( एक्स Î ए ) Û (एक्स Î बी )),

इसका मतलब है कि किसी भी वस्तु x के लिए, संबंध xÎ ए और एक्सबी समकक्ष हैं।

यहाँ " यूनिवर्सल क्वांटिफायर है (" एक्स"हर किसी के लिए" की तरह पढ़ता है एक्स").

परिभाषा 2 (एक उपसमुच्चय की परिभाषा)। गुच्छा एसेट का एक सबसेट है वीयदि कोई एक्ससेट से संबंधित ए, सेट के अंतर्गत आता है वीऔपचारिक रूप से, इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

(ए Ì बी) := " एक्स((एक्स Î ए) Þ (एक्स Î बी))

यदि एक Ì बी लेकिन ए ¹ B, तो A समुच्चय का एक उचित उपसमुच्चय है वीएक उदाहरण के रूप में, हम फिर से एक सीधी रेखा और एक खंड का हवाला दे सकते हैं। यदि कोई खंड एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो उसके बिंदुओं का समूह इस सीधी रेखा के बिंदुओं का उपसमुच्चय होता है। या, एक और उदाहरण। पूर्णांकों का वह समुच्चय जो बिना शेषफल के 3 से विभाज्य हो, पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

टिप्पणी।एक खाली सेट किसी भी सेट का सबसेट है।

संचालन सेट करें

सेट पर निम्नलिखित ऑपरेशन संभव हैं:

एक संस्था।इस ऑपरेशन का सार दो सेटों को एक में जोड़ना है जिसमें प्रत्येक संयुक्त सेट के तत्व शामिल हैं। औपचारिक रूप से, यह इस तरह दिखता है:

सी = एÈ बी: = {एक्स: एक्स Î ए या एक्सÎ बी}

उदाहरण। असमानता को हल करें | 2 एक्स+ 3 | > 7.

इसका तात्पर्य 2x + 3 . के लिए असमानता 2x + 3> 7, या तो है 0, फिर x> 2

या असमानता 2x + 3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.

इस असमानता के समाधान का समुच्चय समुच्चयों का मिलन है (-∞, -5) (2, )।

चलो जांचते हैं। आइए व्यंजक के मान की गणना करें | 2 एक्स+ 3 | कई बिंदुओं के लिए, दी गई सीमा में झूठ बोलना और झूठ नहीं बोलना:

एक्स	*\| 2 एक्स+* 3 \|**
-10	17
-6	9
-5	7
-4	5
-2	1
0	3
1	5
2	7
3	9
5	13

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ सही ढंग से तय किया गया था (सीमा सीमाएं लाल रंग में इंगित की गई हैं)।

चौराहा।इंटरसेक्शन दो तत्वों का एक नया सेट बनाने का संचालन है जो इन दोनों सेटों में शामिल हैं। इसे स्पष्ट रूप से चित्रित करने के लिए, आइए कल्पना करें कि हमारे पास समतल पर बिंदुओं के दो सेट हैं, अर्थात् आकृति A और आकृति B। उनका प्रतिच्छेदन आकृति C को दर्शाता है - यह सेटों के प्रतिच्छेदन के संचालन का परिणाम है:

औपचारिक रूप से, समुच्चयों के प्रतिच्छेदन की संक्रिया को इस प्रकार लिखा जाता है:

सी = ए बी: = (एक्स: एक्स Î ए और एक्स Î बी)

उदाहरण।मान लीजिए हमारे पास एक सेट है तोसी = ए बी = {5,6,7}

घटाव।सेट का घटाव उन तत्वों के घटाए गए सेट से बहिष्करण है जो घटाए और घटाए गए हैं:

औपचारिक रूप से, समुच्चय का घटाव इस प्रकार लिखा जाता है:

ए \ बी: ={एक्स: एक्स Î ए और एक्सÏ बी}

उदाहरण।आइए हम बहुत से ए = (1,2,3,4,5,6,7), बी = (5,6,7,8,9,10)।फिरसी = ए \ बी = { 1,2,3,4}

योग।पूरक एक यूनरी ऑपरेशन है (एक ऑपरेशन दो पर नहीं, बल्कि एक सेट पर)। यह संक्रिया इस समुच्चय को संपूर्ण सार्वत्रिक समुच्चय (वह समुच्चय जिसमें अन्य सभी समुच्चय सम्मिलित हैं) से घटाने का परिणाम है।

ए: = (एक्स: एक्स Î यू और एक्स Ï ए) = यू \ ए

इसे रेखांकन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सममित अंतर।सामान्य अंतर के विपरीत, सेट के सममित अंतर के साथ, केवल वही तत्व रहते हैं जो या तो एक या दूसरे सेट में मौजूद होते हैं। या, सरल शब्दों में, इसे दो सेटों से बनाया गया है, लेकिन वे तत्व जो दोनों सेटों में हैं, उन्हें इससे बाहर रखा गया है:

गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

एडी बी: = (ए \ बी) È ( बी 0 ए) = (ए È बी) \ (ए Ç बी)

सेट पर संचालन के गुण।

यह संघ की परिभाषाओं और सेटों के प्रतिच्छेदन से निम्नानुसार है कि चौराहे और संघ के संचालन में निम्नलिखित गुण हैं:

कम्यूटेटिविटी।

ए È बी = बीÈ ए
एÇ बी = बीÇ ए

साहचर्य।

(ए È बी) È सी = एÈ ( बी È सी)
(ए Ç बी) Ç सी = एÇ ( बी Ç सी)

भयानक सूत्रों का ढेर, उच्च गणित पर मैनुअल, जिसे आप खोलते हैं और फिर बंद करते हैं, एक बहुत ही सरल समस्या के समाधान के लिए दर्दनाक खोज .... यह स्थिति असामान्य नहीं है, खासकर जब गणित की पाठ्यपुस्तक पिछली बार 11वीं कक्षा में खोली गई थी। इस बीच, विश्वविद्यालयों में, कई विशिष्टताओं के पाठ्यक्रम सभी के पसंदीदा उच्च गणित के अध्ययन के लिए प्रदान करते हैं। और इस स्थिति में, आप अक्सर भयानक गणितीय अस्पष्टता के ढेर के सामने एक पूर्ण चायदानी की तरह महसूस करते हैं। इसके अलावा, किसी भी विषय का अध्ययन करते समय विशेष रूप से प्राकृतिक विज्ञान के चक्र से ऐसी ही स्थिति उत्पन्न हो सकती है।

क्या करें? एक पूर्णकालिक छात्र के लिए, सब कुछ बहुत आसान है, जब तक कि निश्चित रूप से, विषय बहुत उपेक्षित न हो। आप एक शिक्षक, सहपाठियों से परामर्श कर सकते हैं, और डेस्क पर किसी पड़ोसी से केवल धोखा दे सकते हैं। उच्च गणित में एक पूर्ण केतली भी ऐसी स्थितियों में सत्र में जीवित रहेगी।

और अगर कोई व्यक्ति किसी विश्वविद्यालय के पत्राचार विभाग में पढ़ता है, और उच्च गणित, इसे हल्के ढंग से रखने के लिए, भविष्य में इसकी आवश्यकता होने की संभावना नहीं है? इसके अलावा, कक्षाओं के लिए बिल्कुल समय नहीं है। यह ऐसा है, ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है, लेकिन किसी ने भी परीक्षणों के निष्पादन को रद्द नहीं किया और परीक्षा उत्तीर्ण की (अक्सर लिखित)। उच्च गणित में परीक्षणों के साथ, सब कुछ आसान है, आप एक चायदानी हैं, या चायदानी नहीं - गणित में परीक्षण कार्य का आदेश दिया जा सकता है... उदाहरण के लिए, मेरा। और बाकी सब्जेक्ट के लिए भी आप ऑर्डर कर सकते हैं। अब यहाँ नहीं। लेकिन समीक्षा के लिए परीक्षण पत्रों को पूरा करने और वितरित करने से अभी तक ग्रेड बुक में प्रतिष्ठित रिकॉर्ड नहीं बन पाएगा। अक्सर ऐसा होता है कि ऑर्डर करने के लिए बनाई गई कला के एक काम को संरक्षित करने की आवश्यकता होती है, और यह समझाने की आवश्यकता होती है कि इन अक्षरों से निम्नलिखित सूत्र क्यों मिलता है। इसके अलावा, परीक्षाएं आ रही हैं, और वहां आपको निर्धारकों, सीमाओं और डेरिवेटिव को स्वयं हल करना होगा। जब तक, निश्चित रूप से, शिक्षक मूल्यवान उपहार स्वीकार नहीं करता है, या कक्षा के बाहर कोई शुभचिंतक नहीं है।

मैं आपको कुछ बहुत ही महत्वपूर्ण सलाह देता हूं। परीक्षणों, सटीक और प्राकृतिक विज्ञानों की परीक्षाओं में, कुछ समझने के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है। याद रखें, कम से कम कुछ तो। विचार प्रक्रियाओं की पूर्ण अनुपस्थिति बस शिक्षक को परेशान करती है, मुझे ऐसे मामलों के बारे में पता है जब पत्राचार छात्रों को 5-6 बार लपेटा गया था। मुझे याद है कि एक युवक ने 4 बार परीक्षा उत्तीर्ण की, और प्रत्येक रीटेक के बाद वह मेरे पास मुफ्त वारंटी परामर्श के लिए आया। अंत में, मैंने देखा कि उत्तर में उन्होंने "पी" अक्षर के बजाय "पे" पत्र लिखा था, जिसके बाद समीक्षक से गंभीर प्रतिबंध लगाए गए थे। छात्र उस असाइनमेंट को भी समझना नहीं चाहता था जिसे उसने लापरवाही से फिर से लिखा था

आप उच्च गणित में एक पूर्ण चायदानी हो सकते हैं, लेकिन यह जानना अत्यधिक वांछनीय है कि एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। क्योंकि यदि आप किसी प्रारंभिक प्रश्न का कुछ बकवास उत्तर देते हैं, तो इस बात की बहुत अधिक संभावना है कि विश्वविद्यालय में आपकी पढ़ाई आपके लिए समाप्त हो जाएगी। शिक्षक उस छात्र का बहुत अधिक समर्थन करते हैं जो विषय को समझने के लिए कम से कम प्रयास करता है, जो गलती से हल करने, समझाने या कुछ साबित करने का प्रयास करता है। और यह कथन सभी विषयों के लिए सत्य है। इसलिए, "मैं कुछ नहीं जानता, मैं कुछ भी नहीं समझता" की स्थिति को पूरी तरह से खारिज कर दिया जाना चाहिए।

दूसरा महत्वपूर्ण सुझाव व्याख्यान में भाग लेना है, भले ही वे कम हों। मैंने पहले ही साइट के मुख्य पृष्ठ पर इसका उल्लेख किया है। पत्राचार छात्रों के लिए गणित... यह बहुत महत्वपूर्ण क्यों है, इसे दोहराने का कोई मतलब नहीं है, वहां पढ़ें।

तो, अगर कोई परीक्षा, उच्च गणित की परीक्षा नजदीक है, और चीजें बहुत ही निराशाजनक हैं - एक पूर्ण, या अधिक सटीक रूप से, एक खाली चायदानी की स्थिति?

एक विकल्प एक ट्यूटर को किराए पर लेना है। ट्यूटर्स का सबसे बड़ा डेटाबेस (मुख्य रूप से मास्को में) या (मुख्य रूप से सेंट पीटर्सबर्ग में) पाया जा सकता है। एक खोज इंजन का उपयोग करके, अपने शहर में एक शिक्षक को ढूंढना या स्थानीय विज्ञापन समाचार पत्रों को देखना काफी संभव है। शिक्षक की योग्यता के आधार पर, ट्यूटर की सेवाओं की कीमत 400 रूबल या प्रति घंटे से अधिक हो सकती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सस्ते का मतलब बुरा नहीं है, खासकर यदि आपके पास अच्छी गणितीय पृष्ठभूमि है। उसी समय, 2-3K रूबल के लिए आपको एक LITTLE प्राप्त होगा। कोई भी इस तरह के पैसे को व्यर्थ नहीं लेता है, और कोई भी इस तरह के पैसे को व्यर्थ में भुगतान नहीं करता है ;-)। एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु विशेष शैक्षणिक शिक्षा के साथ एक ट्यूटर चुनने का प्रयास करना है। दरअसल, हम कानूनी मदद के लिए डेंटिस्ट के पास नहीं जाते हैं।

हाल ही में, ऑनलाइन शिक्षण सेवा लोकप्रियता प्राप्त कर रही है। यह बहुत सुविधाजनक होता है जब आपको तत्काल एक या दो समस्याओं को हल करने, किसी विषय को समझने या परीक्षा की तैयारी करने की आवश्यकता होती है। एक बिना शर्त लाभ कीमतें हैं, जो एक ऑफ़लाइन ट्यूटर की तुलना में कई गुना कम हैं + यात्रा समय में बचत, जो विशेष रूप से मेगालोपोलिस के निवासियों के लिए महत्वपूर्ण है।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, बिना ट्यूटर के कुछ चीजों में महारत हासिल करना बहुत मुश्किल है; आपको "लाइव" स्पष्टीकरण की आवश्यकता है।

फिर भी, आप स्वयं कई प्रकार की समस्याओं का पता लगा सकते हैं, और साइट के इस भाग का उद्देश्य आपको विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं को हल करना सिखाना है जो लगभग हमेशा परीक्षाओं में पाए जाते हैं। इसके अलावा, कई कार्यों के लिए "कठिन" एल्गोरिदम हैं, जहां सही समाधान से "कोई बच नहीं" है। और, मेरे सर्वोत्तम ज्ञान के लिए, मैं आपकी मदद करने की कोशिश करूंगा, खासकर जब से विशेषता में शैक्षणिक शिक्षा और कार्य अनुभव है।

आइए गणितीय अस्पष्टता को दूर करना शुरू करें। यह ठीक है, भले ही आप एक चायदानी हों, उच्च गणित - यह वास्तव में सरल और वास्तव में किफायती है।

और आपको स्कूली गणित पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति के साथ शुरुआत करनी होगी। दोहराव पीड़ा की जननी है।

इससे पहले कि आप मेरी शिक्षण सामग्री का अध्ययन शुरू करें, और वास्तव में आप उच्च गणित पर किसी भी सामग्री का अध्ययन शुरू करें, मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप निम्नलिखित पढ़ें।

उच्च गणित में समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, यह आवश्यक है:

एक माइक्रोकैलक्यूलेटर बचाओ।

कार्यक्रमों से - एक्सेल (बढ़िया विकल्प!) मैंने डमी के लिए मैनुअल को पुस्तकालय में अपलोड कर दिया है।

यहां है? पहले से ही अच्छा है।

– शर्तों का क्रमपरिवर्तन - योग नहीं बदलता है: .
लेकिन ये पूरी तरह से अलग चीजें हैं:

"X" और "चार" को पुनर्व्यवस्थित करना बस असंभव है। उसी समय, हम पंथ अक्षर "X" को याद करते हैं, जो गणित में एक अज्ञात या परिवर्तनशील मात्रा को दर्शाता है।

– कारकों का क्रमपरिवर्तन - उत्पाद नहीं बदलता है: .
विभाजन के साथ, ऐसी चाल काम नहीं करेगी, और - ये दो पूरी तरह से अलग-अलग अंश हैं और हर के साथ अंश का क्रमपरिवर्तन परिणाम के बिना नहीं करता है।
हमें यह भी याद है कि गुणन चिह्न ("डॉट") अक्सर नहीं लिखा जाता है:,

– कोष्ठकों के विस्तार के नियमों को याद रखना:
- यहां शर्तों के संकेत नहीं बदलते हैं
- और यहाँ वे उलट गए हैं।
और गुणा के लिए:

सामान्य तौर पर, यह याद रखना पर्याप्त है कि दो मिनट एक प्लस देते हैं, ए तीन मिनट - एक माइनस देता है... और, उच्च गणित (एक बहुत ही सामान्य और कष्टप्रद गलती) में समस्याओं को हल करते समय इसमें भ्रमित न होने का प्रयास करें।

– हम समान शब्दों की कमी को याद करते हैंआपको निम्नलिखित क्रिया की अच्छी समझ होनी चाहिए:

– याद रखें कि डिग्री क्या होती है:

, , , .

डिग्री सिर्फ एक साधारण गुणा है।

–याद रखें कि भिन्नों को कम किया जा सकता है: (2 से कम), (पांच से कम), (कम करके)।

– भिन्नों के साथ क्रियाओं को याद रखना:

और साथ ही, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण नियम:

यदि ये उदाहरण स्पष्ट नहीं हैं, तो अपने स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।
इसके बिना यह टाइट हो जाएगा।

सलाह: उच्च गणित में सभी इंटरमीडिएट गणना सामान्य सही और गलत अंशों में सबसे अच्छी तरह से की जाती है, भले ही आपको भयानक अंश मिलते हैं। यहाँ इस भिन्न को फॉर्म में नहीं दर्शाया जाना चाहिए, और, इसके अलावा, इसे कैलकुलेटर पर हर द्वारा अंश द्वारा विभाजित नहीं किया जाना चाहिए, जिससे 4.334552102….

नियम का अपवाद कार्य का अंतिम उत्तर है, जब लिखना या लिखना बेहतर होता है।

– समीकरण... इसमें एक लेफ्ट साइड और एक राइट साइड होता है। उदाहरण के लिए:

आप किसी भी पद का चिन्ह बदलकर दूसरे भाग में स्थानान्तरित कर सकते हैं:
आइए, उदाहरण के लिए, सभी शर्तों को बाईं ओर स्थानांतरित करें:

या दाईं ओर:

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सिद्धांत।

नया। नैटनज़ोन एस.एम. गणितीय विश्लेषण में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम। 2004 वर्ष। 98 पेज डीजेवीयू। 1.2 एमबी।
यह प्रकाशन 1997-1998 और 2002-2003 शैक्षणिक वर्षों में स्वतंत्र मॉस्को विश्वविद्यालय के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए लेखक द्वारा दिए गए व्याख्यान के पाठ्यक्रम का एक संक्षिप्त प्रतिलेख है।

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नया। ई.बी. बोरोनिन। गणितीय विश्लेषण। लेक्चर नोट्स। 2007 वर्ष। 160 पेज पीडीएफ। 2.1 एमबी।
यह पुस्तक तकनीकी छात्रों के लिए लिखी गई है जो विश्लेषण परीक्षा की तैयारी करना चाहते हैं। इस पुस्तक की सामग्री पूरी तरह से "गणितीय विश्लेषण" पाठ्यक्रम के कार्यक्रम के अनुरूप है, जिसके लिए परीक्षा रूस में अधिकांश उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रदान की जाती है। कार्यक्रम जल्दी और अनावश्यक कठिनाइयों के बिना पूछे गए प्रश्न का आवश्यक उत्तर खोजने में मदद करता है।
लेखक द्वारा शिक्षकों की आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए व्यक्तिगत अनुभव के आधार पर प्रश्नों का संकलन किया गया था।

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आर्किपोव, सदोवनिची, चुबारिकोव। गणितीय विश्लेषण पर व्याख्यान। ट्यूटोरियल विश्लेषण। 1999 वर्ष। 635 पीपी डीजेवीयू। 5.2 एमबी।
पुस्तक गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम पर एक पाठ्यपुस्तक है और एक और कई चर के कार्यों के अंतर और अभिन्न कलन के लिए समर्पित है। यह मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय में लेखकों द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित है। एमवी लोमोनोसोव। पाठ्यपुस्तक कई बुनियादी अवधारणाओं और विश्लेषण के प्रमेयों की प्रस्तुति के साथ-साथ पाठ्यक्रम की सामग्री के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित करती है। गणित के गहन अध्ययन वाले विश्वविद्यालयों, शैक्षणिक विश्वविद्यालयों और विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए

ए.पी. अक्सेनोव गणितीय विश्लेषण। (फूरियर श्रृंखला। फूरियर अभिन्न। विचलन श्रृंखला का योग।) पाठ्यपुस्तक। 1999 वर्ष। 86 पेज पीडीएफ 1.2 एमबी।
मैनुअल स्नातक प्रशिक्षण 510200 "अनुप्रयुक्त गणित और सूचना विज्ञान" की दिशा के अनुशासन "गणितीय विश्लेषण" के राज्य मानक से मेल खाता है।
विषयों पर वर्तमान कार्यक्रम के अनुसार सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति शामिल है: "फूरियर श्रृंखला", "फूरियर अभिन्न", "विभिन्न श्रृंखला का योग"। बड़ी संख्या में उदाहरण दिए गए हैं। श्रृंखला के सिद्धांत में सिजेरो और एबेल-पॉइसन की विधियों का अनुप्रयोग प्रस्तुत किया गया है। अनुभवजन्य रूप से दिए गए कार्यों के हार्मोनिक विश्लेषण के प्रश्न पर विचार किया जाता है।
यह 010200, 010300, 071100, 210300 के भौतिकी और यांत्रिकी संकाय के छात्रों के साथ-साथ व्यावहारिक कक्षाओं का संचालन करने वाले शिक्षकों के लिए है।

अक्सेनोव। गणितीय विश्लेषण। (एक पैरामीटर के आधार पर इंटीग्रल। डबल इंटीग्रल। कर्विलिनियर इंटीग्रल।) पाठ्यपुस्तक एसपीबी। वर्ष 2000। 145 पीपी। पीडीएफ। आकार 2.3 एमबी। डीजेवीयू
मैनुअल स्नातक प्रशिक्षण 510200 "अनुप्रयुक्त गणित और सूचना विज्ञान" की दिशा के अनुशासन "गणितीय विश्लेषण" के राज्य मानक से मेल खाता है। विषयों पर वर्तमान कार्यक्रम के अनुसार सैद्धांतिक सामग्री की एक प्रस्तुति शामिल है: "एक पैरामीटर के आधार पर इंटीग्रल, उचित और अनुचित", "डबल इंटीग्रल", "पहली और दूसरी तरह के वक्रीय इंटीग्रल", "क्षेत्रों की गणना" घुमावदार सतह, दोनों स्पष्ट और पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए "," यूलर इंटीग्रल्स (बीटा फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन) "। बड़ी संख्या में उदाहरणों और समस्याओं का विश्लेषण किया गया है (कुल 47)।

डी ब्रुने। विश्लेषण में स्पर्शोन्मुख तरीके। 245 पीपी डीजेवीयू। 1.6 एमबी
पुस्तक में स्पर्शोन्मुख सूत्र प्राप्त करने के लिए विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली कई विधियों की एक प्रारंभिक प्रस्तुति है। पुस्तक में वर्णित विधियों का महत्व, प्रस्तुति की स्पष्टता और सुगमता सभी शुरुआती लोगों के लिए इस तरह के तरीकों से परिचित होने के लिए इस पुस्तक को बहुत मूल्यवान बनाती है। यह पुस्तक उन लोगों के लिए भी निस्संदेह रुचिकर है जो विश्लेषण के इस क्षेत्र से पहले से ही परिचित हैं।

स्टीफन बनच। विभेदक और अभिन्न कलन। 1966 वर्ष। 437 पीपी डीजेवीयू। 7.7 एमबी।
स्टीफ़न बानाच 20वीं सदी के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। इस पुस्तक की कल्पना उन्होंने विषय के साथ प्रारंभिक परिचित के लिए एक मैनुअल के रूप में की थी। इस बीच, लेखक ने एक छोटी मात्रा की पुस्तक में अंतर और अभिन्न कलन की लगभग सभी बुनियादी सामग्री को उत्कृष्ट रूप से प्रकाशित करने में कामयाबी हासिल की, बिना प्रस्तुति की ईमानदारी से पाठक को डराने के लिए।
पुस्तक अपनी सादगी और प्रस्तुति की संक्षिप्तता से अलग है। इसमें कई अच्छी तरह से चुने गए उदाहरण हैं, साथ ही स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएं भी शामिल हैं। तकनीकी कॉलेजों (विशेष रूप से पत्राचार), शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के साथ-साथ इंजीनियरिंग और तकनीकी कर्मचारियों के लिए डिज़ाइन किया गया है जो अंतर और अभिन्न कलन के बुनियादी तथ्यों पर अपनी याददाश्त को ताज़ा करना चाहते हैं।
दूसरे संस्करण की तैयारी में कुछ उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों में इस पुस्तक को पढ़ाने के अनुभव को ध्यान में रखा गया था; इस संबंध में, पुस्तक में कुछ परिवर्धन किए गए हैं, और पाठ में कुछ स्थानों को ठीक किया गया है। इसने पुस्तक को गणितीय विश्लेषण पर आधुनिक पाठ्यपुस्तकों के स्तर के करीब ला दिया और तकनीकी कॉलेजों में इसका उपयोग करना संभव बना दिया।

बी.एम. बुडक, एस.वी. फोमिन। एकाधिक पूर्णांक और पंक्तियाँ। पाठ्यपुस्तक। 1965। 606 पीपी डीजेवीयू। 4.6 एमबी।
शारीरिक के लिए।-चटाई। विश्वविद्यालयों के संकाय।
अनुशंसा करना!!!। विशेष रूप से भौतिकविदों के लिए।

वियोसागमिर आई.ए. डमी के लिए उच्च गणित। समारोह की सीमा। 2011. 95 पीपी। पीडीएफ। 6.1 एमबी।
फंक्शन लिमिट्स पर मेरी पहली किताब में मैं आपका स्वागत करता हूं। यह मेरी भविष्य की श्रृंखला "हायर मैथ फॉर डमीज" का पहला भाग है। पुस्तक का शीर्षक आपको इसके बारे में पहले से ही बहुत कुछ बता देना चाहिए, लेकिन हो सकता है कि आप इसे बिल्कुल न समझें। यह पुस्तक "डमी" को समर्पित नहीं है, बल्कि उन सभी को समर्पित है, जिन्हें यह समझना मुश्किल है कि प्रोफेसर अपनी पुस्तकों में क्या करते हैं। मुझे यकीन है कि आप मुझे समझते हैं। मैं खुद ऐसी स्थिति में रहा हूं और हूं कि मुझे बस एक ही वाक्य को कई बार पढ़ना पड़ता है। यह ठीक है? मेरे ख़्याल से नहीं।
तो मेरी किताब अन्य सभी से अलग कैसे है? सबसे पहले, यह एक सामान्य भाषा है, न कि "गूढ़"; दूसरे, यहाँ बहुत सारे उदाहरणों का विश्लेषण किया गया है, जो, निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होगा; तीसरा, पाठ में अपने आप में एक महत्वपूर्ण अंतर है - मुख्य चीजों को कुछ मार्करों के साथ हाइलाइट किया जाता है, और अंत में, मेरा लक्ष्य केवल एक है - आपकी समझ। आपको केवल एक चीज की आवश्यकता है: इच्छा और कौशल। "कौशल?" - आप पूछना। हां! याद रखने और समझने की क्षमता।

वी.एन. गोर्बुज़ोव। गणितीय विश्लेषण: मापदंडों के आधार पर इंटीग्रल। उच। भत्ता। 2006 वर्ष। 496 पेज पीडीएफ। 1.6 एमबी
पैरामीटर पर निर्भर कुछ अनुचित इंटीग्रल द्वारा दिए गए कार्यों के विभेदक और अभिन्न कैलकुस प्रस्तुत किए जाते हैं। यह गणित और भौतिकी विशिष्टताओं में अध्ययन करने वाले विश्वविद्यालय के छात्रों के साथ-साथ गणित में एक विस्तारित कार्यक्रम के साथ तकनीकी विशिष्टताओं के छात्रों के लिए है।

डोरोगोवत्सेव ए.वाईए। गणितीय विश्लेषण। आधुनिक तरीके से एक छोटा कोर्स। दूसरा प्रकाशन। 2004 वर्ष। 560 पेज डीजेवीयू। 5.1 एमबी।
पुस्तक में गणितीय विश्लेषण में एक आधुनिक पाठ्यक्रम की सामग्री प्रस्तुति के कवरेज के संदर्भ में एक संक्षिप्त और एक ही समय में पूरी तरह से शामिल है। पुस्तक मुख्य रूप से विश्वविद्यालयों और तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई है और पाठ्यक्रम के प्रारंभिक अध्ययन के लिए अभिप्रेत है। कई वर्गों की एक आधुनिक प्रस्तुति दी गई है: कई चर के कार्य, कई अभिन्न, कई गुना से अधिक अभिन्न, स्टोक्स सूत्र की व्याख्या, आदि। सैद्धांतिक सामग्री को बड़ी संख्या में अभ्यास और उदाहरणों द्वारा चित्रित किया गया है। ... विश्वविद्यालय के छात्रों, गणित के शिक्षकों, इंजीनियरिंग और तकनीकी कर्मचारियों के लिए।

ईगोरोव वी.आई., सलीमोवा ए.एफ. निश्चित और एकाधिक अभिन्न। क्षेत्र सिद्धांत के तत्व। 2004 वर्ष। 256 पेज डीजेवीयू। 1.6 एमबी
प्रकाशन निश्चित और एकाधिक इंटीग्रल के सिद्धांत और बुनियादी अनुप्रयोगों के साथ-साथ क्षेत्र सिद्धांत के तत्वों को प्रस्तुत करता है। कंप्यूटर प्रशिक्षण प्रणालियों में उपयोग के लिए सामग्री को उच्च तकनीकी शिक्षण संस्थानों में गणितीय शिक्षा के आधुनिक कार्यक्रम के लिए अनुकूलित किया गया है। पुस्तक तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्रों के लिए अभिप्रेत है। यह शिक्षकों, इंजीनियरों, वैज्ञानिकों के लिए भी उपयोगी हो सकता है।
स्पष्ट रूप से मुद्रित पुस्तक। सिद्धांत के सभी कथन उदाहरणों द्वारा दिखाए गए हैं। मैं सामग्री को समझने के लिए इसे अतिरिक्त साहित्य के रूप में सुझाता हूं।

एवग्राफोव। स्पर्शोन्मुख अनुमान और संपूर्ण कार्य। 320 पेज डीजेवीयू। 3.2 एमबी।
पुस्तक स्पर्शोन्मुख अनुमानों के विभिन्न तरीकों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है (लाप्लास की विधि, काठी बिंदु विधि, अवशेष सिद्धांत) संपूर्ण कार्यों के सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। विधियों को मुख्य रूप से इस सिद्धांत के आधार पर चित्रित किया गया है। संपूर्ण कार्यों के सिद्धांत से मुख्य तथ्य पाठक को ज्ञात नहीं हैं - उनकी प्रस्तुति को पुस्तक की संरचना में व्यवस्थित रूप से शामिल किया गया है। तीसरे संस्करण में अनुरूप मानचित्रण के स्पर्शोन्मुखता पर एक अध्याय जोड़ा गया है। पुस्तक को पाठकों की एक विस्तृत टुकड़ी के लिए डिज़ाइन किया गया है - छात्रों से लेकर वैज्ञानिक श्रमिकों तक, गणितज्ञों और व्यावहारिक विशेषज्ञों दोनों के लिए।

मैं करूँगा। ज़ेल्डोविच, आई.एम. याग्लोम। नौसिखिए भौतिकविदों और तकनीशियनों के लिए उच्च गणित। 1982 वर्ष। 514 पीपी डीजेवीयू। 12.3 एमबी।
यह पुस्तक पथरी का परिचय है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण (अंतर और अभिन्न कलन) की शुरुआत की प्रस्तुति के साथ, पुस्तक में शक्ति और त्रिकोणमितीय श्रृंखला की अवधारणाएं और सबसे सरल अंतर समीकरण शामिल हैं, और भौतिकी (यांत्रिकी) से कई वर्गों और विषयों को भी छूता है। और दोलनों का सिद्धांत, विद्युत परिपथों का सिद्धांत, रेडियोधर्मी क्षय, लेजर, आदि)। पुस्तक उच्च गणित, विश्वविद्यालयों और तकनीकी कॉलेजों के शिक्षकों के साथ-साथ भविष्य के भौतिकविदों और इंजीनियरों के प्राकृतिक विज्ञान अनुप्रयोगों में रुचि रखने वाले पाठकों के लिए है।

ज़ेल्डोविच, याग्लोम। पुस्तक तीन भागों में है: 1. उच्च गणित के तत्व। इसमें शामिल हैं: फ़ंक्शन और ग्राफ़ (50 पृष्ठ) (, एक व्युत्पन्न क्या है (50 पृष्ठ), एक अभिन्न क्या है (20 पृष्ठ), डेरिवेटिव की गणना (20 पृष्ठ), एकीकरण तकनीक (20 पृष्ठ), श्रृंखला, सरल अंतर समीकरण ( 35 पृष्ठ), कार्यों की जांच, ज्यामिति में कई समस्याएं (55 पृष्ठ)। 2. भौतिकी और प्रौद्योगिकी के कुछ प्रश्नों के लिए उच्च गणित के अनुप्रयोग (160 पृष्ठ)। इसमें शामिल हैं: रेडियोधर्मी क्षय और नाभिक का विखंडन, यांत्रिकी, दोलन, थर्मल गति अणुओं का, वातावरण में वायु घनत्व का वितरण, प्रकाश का अवशोषण और उत्सर्जन, लेजर, इलेक्ट्रिक सर्किट और उनमें ऑसिलेटरी मूवमेंट। 3. उच्च गणित से अतिरिक्त विषय (50 पृष्ठ)। इसमें शामिल हैं: जटिल संख्याएं, भौतिकी को किन कार्यों की आवश्यकता होती है, अद्भुत डिराक डेल्टा फ़ंक्शन, एक जटिल चर और डेल्टा फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के कुछ अनुप्रयोग 4. परिशिष्ट, उत्तर, निर्देश, समाधान। किस तरह की पुस्तक को काट दिया? आप सामग्री की एक तालिका को पढ़कर पागल हो सकते हैं। लेकिन यह पाठ्यपुस्तक नहीं है गणित पर, यह पुस्तक गणित के उपयोग के बारे में है। वैसे, इसका अध्ययन करते हुए, आप अनिवार्य रूप से भौतिकी सीखेंगे। बहुत अच्छा।डीजेवीयू, 500 पेज। साइज 8.7 एमबी।

ज़ोरिच वी.ए. गणितीय विश्लेषण। 2 भागों में। पाठ्यपुस्तक। 1 - 1997, 2 - 1984। 567 + 640 पेज डीजेवीयू। 9.6 + 7.4 एमबी।
भौतिक और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए विश्वविद्यालय की पाठ्यपुस्तक। यह उन्नत गणितीय प्रशिक्षण वाले संकायों और विश्वविद्यालयों के छात्रों के साथ-साथ गणित और इसके अनुप्रयोगों के विशेषज्ञों के लिए उपयोगी हो सकता है। पुस्तक शास्त्रीय विश्लेषण और आधुनिक गणितीय पाठ्यक्रमों (बीजगणित, अंतर ज्यामिति, अंतर समीकरण, जटिल) के बीच संबंध को दर्शाती है। और कार्यात्मक विश्लेषण)।
पहले भाग में शामिल हैं: विश्लेषण का परिचय (तार्किक प्रतीक, सेट, फ़ंक्शन, वास्तविक संख्या, सीमा, निरंतरता); एक चर के एक समारोह के अंतर और अभिन्न कलन; कई चर के कार्यों का अंतर कलन।
ट्यूटोरियल के दूसरे भाग में निम्नलिखित खंड शामिल हैं: बहुभिन्नरूपी अभिन्न। विभेदक रूप और उनका एकीकरण। एक पैरामीटर के आधार पर श्रृंखला और इंटीग्रल (श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण, साथ ही स्पर्शोन्मुख विस्तार सहित)।

समस्या निवारण मैनुअल।

नया। सदोवन्निचया आई.वी., खोरोशिलोवा ई.वी. निश्चित अभिन्न: गणना का सिद्धांत और अभ्यास। 2008 वर्ष। 528 पीपी डीजेवीयू। 2.7 एमबी।
प्रकाशन निश्चित इंटीग्रल की गणना के सैद्धांतिक और व्यावहारिक पहलुओं के साथ-साथ विभिन्न ज्यामितीय और भौतिक समस्याओं के समाधान के लिए उनके आकलन, गुणों और अनुप्रयोगों के तरीकों के लिए समर्पित है। पुस्तक में उचित समाकलन, अनुचित समाकलों के गुण, एक निश्चित समाकलन के ज्यामितीय और भौतिक अनुप्रयोगों के साथ-साथ रिमेंन समाकलन के कुछ सामान्यीकरण - लेबेस्ग्यू और स्टिल्टजेस समाकलन की गणना के तरीकों के लिए समर्पित खंड शामिल हैं।
सैद्धांतिक सामग्री की प्रस्तुति निश्चित इंटीग्रल के गुणों की गणना, मूल्यांकन और अध्ययन के विश्लेषण किए गए उदाहरणों की एक बड़ी संख्या (220 से अधिक) द्वारा समर्थित है; प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में, स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य हैं (640 से अधिक, भारी बहुमत - समाधान के साथ)।
मैनुअल का उद्देश्य व्याख्यान और व्यावहारिक पाठों में "निश्चित अभिन्न" विषय के पारित होने के दौरान छात्र की सहायता करना है। एक छात्र उस मुद्दे पर पृष्ठभूमि की जानकारी प्राप्त करने के लिए उससे संपर्क कर सकता है जो उत्पन्न हुआ है। पुस्तक शिक्षकों और उन सभी के लिए भी उपयोगी हो सकती है जो इस विषय का पर्याप्त विस्तार और व्यापक रूप से अध्ययन करना चाहते हैं।

नया। खोरोशिलोवा ई.वी. गणितीय विश्लेषण: अनिश्चितकालीन अभिन्न। (व्यावहारिक अभ्यास में मदद करने के लिए)। 2007 वर्ष। 184 पीपी डीजेवीयू। 822 केबी.
पुस्तक अनिश्चित अभिन्न के बारे में बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी प्रदान करती है, अधिकांश ज्ञात तकनीकों और एकीकरण के तरीकों और विभिन्न वर्गों के अभिन्न कार्यों (एकीकरण के तरीकों का संकेत) पर विचार करती है। सामग्री की प्रस्तुति इंटीग्रल (200 से अधिक इंटीग्रल) की गणना के विश्लेषण किए गए उदाहरणों की एक बड़ी संख्या द्वारा समर्थित है, प्रत्येक पैराग्राफ के अंत में स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएं हैं (उत्तर के साथ 200 से अधिक समस्याएं)।
मैनुअल में निम्नलिखित पैराग्राफ शामिल हैं: "एक अनिश्चित अभिन्न की अवधारणा", "एकीकरण के बुनियादी तरीके", "तर्कसंगत अंशों का एकीकरण", "तर्कहीन कार्यों का एकीकरण", "त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण", "अतिशयोक्तिपूर्ण का एकीकरण, घातीय , लघुगणक और अन्य अनुवांशिक कार्य।" पुस्तक का उद्देश्य अभ्यास में अनिश्चितकालीन अभिन्न के सिद्धांत में महारत हासिल करना, व्यावहारिक एकीकरण के कौशल को विकसित करना, व्याख्यान के पाठ्यक्रम को समेकित करना, सेमिनारों में इसका उपयोग करना और गृहकार्य की तैयारी के दौरान करना है। मैनुअल का उद्देश्य छात्र को विभिन्न तकनीकों और एकीकरण के तरीकों में महारत हासिल करने में मदद करना है।
गणितीय विशिष्टताओं सहित विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए, जो गणितीय विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम के भाग के रूप में अभिन्न कलन का अध्ययन करते हैं।

नया। वी.एफ. बुटुज़ोव, एन। सी। क्रुतित्स्काया, जी.एन. मेदवेदेव, ए.ए. शिश्किन। प्रश्नों और कार्यों में गणितीय विश्लेषण: पाठ्यपुस्तक। भत्ता। 5 वां संस्करण।, रेव। 2002 वर्ष। 480 पेज डीजेवीयू। 3.8 एमबी।
मैनुअल एक और कई चर के कार्यों के गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के सभी वर्गों को शामिल करता है। प्रत्येक विषय के लिए, बुनियादी सैद्धांतिक जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है और परीक्षण प्रश्नों का सुझाव दिया जाता है; मानक और गैर-मानक कार्यों का समाधान प्रदान करता है; उत्तर और निर्देशों के साथ स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य और अभ्यास दिए गए हैं। चौथा संस्करण 2001
विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए।

ए.ए. बर्टसेव। पहले वर्ष के दूसरे सेमेस्टर के गणितीय विश्लेषण में परीक्षा की समस्याओं को हल करने के तरीके। 2010 वर्ष। पीडीएफ, 56 पीपी। 275 केबी।
चार पिछले वाले कार्यों के वेरिएंट। साल का।

विनोग्रादोवा आई.ए. एट अल गणितीय विश्लेषण में समस्याएं और अभ्यास (भाग 1)। 1988 वर्ष। डीजेवीयू, 416 पीपी. 5.0 एमबी।
संग्रह मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के यांत्रिकी और गणित संकाय के पहले वर्ष में गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम के पाठों के आधार पर संकलित किया गया है और गणितीय विश्लेषण विभाग को पढ़ाने के अनुभव को दर्शाता है। इसमें सेमेस्टर I और II के अनुरूप दो भाग होते हैं। प्रत्येक भाग में कम्प्यूटेशनल अभ्यास और सैद्धांतिक समस्याओं को अलग-अलग हाइलाइट किया गया है। पहले भाग में कार्यों के रेखांकन के रेखाचित्रों का निर्माण, सीमाओं की गणना, एक वास्तविक चर के कार्यों के अंतर कलन, सैद्धांतिक समस्याएं शामिल हैं। दूसरा भाग - अनिश्चितकालीन अभिन्न, निश्चित रीमैन इंटीग्रल, कई चर के कार्यों का अंतर कलन, सैद्धांतिक समस्याएं। कम्प्यूटेशनल अभ्यास वाले अध्यायों में, प्रत्येक पैराग्राफ विस्तृत कार्यप्रणाली निर्देशों से पहले होता है। उनमें इस खंड में प्रयुक्त सभी परिभाषाएँ हैं, मुख्य प्रमेयों का निर्माण, कुछ आवश्यक संबंधों की व्युत्पत्ति, विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान दिए गए हैं, और अक्सर सामने आने वाली त्रुटियों पर ध्यान आकर्षित किया जाता है। अधिकांश समस्याएं और अभ्यास बीपी डेमिडोविच की प्रसिद्ध समस्या पुस्तक में निहित समस्याओं से भिन्न हैं। संग्रह के दोनों हिस्सों में गणना के लिए लगभग 1800 अभ्यास और 350 सैद्धांतिक समस्याएं शामिल हैं।

विनोग्रादोवा आई.ए. एट अल गणितीय विश्लेषण में समस्याएं और अभ्यास (भाग 2)। 1991 वर्ष। डीजेवीयू, 352 पी. 3.2 एमबी।
समस्या पुस्तक दूसरे वर्ष में प्रस्तुत गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम से मेल खाती है, और इसमें निम्नलिखित खंड शामिल हैं: डबल और ट्रिपल इंटीग्रल और उनके ज्यामितीय और भौतिक अनुप्रयोग, पहले और दूसरे प्रकार के वक्रता और सतह इंटीग्रल। आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी, समस्याओं के पूरे वर्ग को हल करने के लिए उपयुक्त विशिष्ट एल्गोरिदम दिए गए हैं, विस्तृत कार्यप्रणाली निर्देश दिए गए हैं।

विनोग्रादोव एट अल। एड। सदोवनिची। गणितीय विश्लेषण कार्य और अभ्यास। 51 पेज पीडीएफ। 1.9 एमबी।
चार्टिंग पर अनुभाग को बहुत विस्तार से माना जाता है। 35 पृष्ठों पर विचार किए गए उदाहरण हैं।

ज़ेल्टुखिन। अनिश्चितकालीन अभिन्न: गणना के तरीके। 2005 वर्ष। आकार 427 केबी। पीडीएफ, 80 पृष्ठ। एक उपयोगी मार्गदर्शिका, संदर्भ के रूप में उपयोग की जा सकती है। यह न केवल समाकलों की गणना के लिए सभी विधियों का परिचय देता है, बल्कि प्रत्येक नियम के लिए बहुत सारे उदाहरण भी देता है। अनुशंसा करना।

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ज़ापोरोज़ेट। गणितीय विश्लेषण में समस्याओं को हल करने के लिए एक गाइड। चौथा संस्करण। 460 पेज डीजेवीयू। 7.7 एमबी।
कार्यों के अध्ययन से लेकर अवकल समीकरणों को हल करने तक सभी वर्गों को शामिल करता है। एक उपयोगी पुस्तक।

कलिनिन, पेट्रोवा, खारिन। अनिश्चित और निश्चित अभिन्न। 2005 वर्ष। 230 पेज पीडीएफ। 1.2 एमबी।
अंत में, गणितज्ञों ने भौतिकविदों और अन्य तकनीकी छात्रों के लिए किताबें लिखना शुरू किया, न कि अपने लिए। मैं इसकी अनुशंसा करता हूं यदि आप सीखना चाहते हैं कि कैसे गणना करना है, लेम्मा और प्रमेय को साबित नहीं करना है।

कलिनिन, पेट्रोवा। एकाधिक, वक्रतापूर्ण और सतही समाकलन। ट्यूटोरियल। 2005 वर्ष। 230 पेज पीडीएफ। 1.2 एमबी।
यह ट्यूटोरियल विभिन्न इंटीग्रल की गणना करने के उदाहरण प्रदान करता है।

कपलान। उच्च गणित में व्यावहारिक कक्षाएं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, अंतर कलन, अभिन्न कलन, अंतर समीकरणों का एकीकरण। एक संग्रह में 2 फाइलों में। जनरल 925 पी. डीजेवीयू। 6.9 एमबी।
सामान्य गणित के पूरे पाठ्यक्रम में समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार किया जाता है।

के.एन. लुंगु, आदि। उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह। दूसरे वर्ष के लिए भाग 2। 2007 वर्ष। डीजेवीयू, 593 पेज 4.1 एमबी।
श्रृंखला और अभिन्न। वेक्टर और जटिल विश्लेषण। विभेदक समीकरण। सिद्धांत संभावना। परिचालन गणना। यह सिर्फ एक समस्या पुस्तक नहीं है, बल्कि एक स्व-अध्ययन मार्गदर्शिका भी है। आप इसका उपयोग समस्याओं को हल करने का तरीका जानने के लिए कर सकते हैं।

लुंगु, मकारोव। उच्च गणित। समस्याओं को हल करने के लिए गाइड। भाग 1. 2005। आकार 2.2 एमबी। डीजेवीयू, 315 पीपी।

मैं एक। मैरून। उदाहरणों और समस्याओं में विभेदक और अभिन्न कलन (एक चर के कार्य)। 1970 वर्ष। डीजेवीयू 400 पृष्ठ 11.3 एमबी।
पुस्तक गणितीय विश्लेषण (एक चर के कार्य) की समस्याओं को हल करने के लिए एक पाठ्यपुस्तक है। संक्षिप्त सैद्धांतिक परिचय, विशिष्ट उदाहरणों के समाधान और स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य शामिल हैं। एक एल्गोरिथम-कम्प्यूटेशनल प्रकृति के कार्यों के अलावा, इसमें कई कार्य शामिल हैं जो सिद्धांत को चित्रित करते हैं और छात्रों की स्वतंत्र गणितीय सोच को विकसित करते हुए इसके गहन आत्मसात में योगदान करते हैं। पुस्तक का उद्देश्य छात्रों को गणितीय विश्लेषण के दौरान स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करना सिखाना है

डी.टी. लिखना। उच्च गणित 100 परीक्षा प्रश्न। 1999 वर्ष। डीजेवीयू 304 पीपी. 9.3 एमबी।
यह मैनुअल प्राथमिक रूप से प्रथम वर्ष में उच्च गणित की परीक्षा की तैयारी करने वाले छात्रों के लिए है। इसमें मौखिक परीक्षा के परीक्षा प्रश्नों के उत्तर संक्षिप्त और सुलभ रूप में दिए गए हैं। यह मैनुअल किसी न किसी मात्रा में उच्च गणित का अध्ययन करने वाले सभी वर्ग के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है। इसमें उच्च गणित के पाठ्यक्रम के 10 खंडों पर आवश्यक सामग्री शामिल है, जिसका अध्ययन आमतौर पर छात्रों द्वारा विश्वविद्यालय (तकनीकी स्कूल) के पहले वर्ष में किया जाता है। परीक्षा के 108 प्रश्नों के उत्तर (उप-अनुच्छेदों के साथ - बहुत अधिक) एक नियम के रूप में, संबंधित उदाहरणों और समस्याओं के समाधान के साथ हैं।

सोबोल बी.वी., मिश्न्याकोव एन.टी., पोर्शेयन वी.एम. उच्च गणित पर कार्यशाला। 2006 वर्ष। 630 पेज डीजेवीयू। 5.4 एमबी।
पुस्तक में उच्च शिक्षण संस्थानों में विशिष्टताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उच्च गणित के मानक पाठ्यक्रम के सभी खंड शामिल हैं।
प्रत्येक अध्याय (पाठ्यक्रम के संबंधित खंड) में संदर्भ सामग्री, साथ ही समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक बुनियादी सैद्धांतिक प्रावधान शामिल हैं। इस प्रकाशन की एक विशिष्ट विशेषता समाधान के साथ बड़ी संख्या में समस्याएं हैं, जो इसे न केवल कक्षा के अध्ययन के लिए, बल्कि छात्रों के स्वतंत्र कार्य के लिए भी उपयोग करने की अनुमति देती है। समाधान के तरीकों द्वारा व्यवस्थित, विषय द्वारा कार्य प्रस्तुत किए जाते हैं। प्रत्येक अध्याय उत्तर के साथ प्रदान किए गए स्वयं सहायता प्रश्नों के एक सेट के साथ पूरा हुआ है।
सामग्री की प्रस्तुति की पूर्णता और इस प्रकाशन की सापेक्षिकता उच्च शिक्षण संस्थानों के शिक्षकों और छात्रों के साथ-साथ उन्नत प्रशिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए इसकी सिफारिश करना संभव बनाती है जो इस विषय में अपने ज्ञान और कौशल को व्यवस्थित करना चाहते हैं।

ई.पी. सुलेंडज़िगा, जी.ए. उषाकोव। गणित परीक्षण: सीमा, व्युत्पन्न, बीजगणित और ज्यामिति के तत्व। उच। भत्ता। वर्ष 2009। पीडीएफ, 127 पीपी. 1.1 एमबी।
इस ट्यूटोरियल को कार्यों के संग्रह के रूप में माना जा सकता है। कार्य पारंपरिक विषयों को कवर करते हैं - गणितीय विश्लेषण की मूल बातें: एक फ़ंक्शन, इसकी सीमा और इसका व्युत्पन्न। रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति की मूल बातें पर कार्य हैं। चूंकि किसी फ़ंक्शन की सीमा और व्युत्पन्न अधिक कठिन हैं, और इसके अलावा, ये विषय अभिन्न कलन के लिए मौलिक हैं, उन पर सबसे अधिक ध्यान दिया जाता है: विशिष्ट समस्याओं के समाधान का विस्तार से विश्लेषण किया जाता है। पाठ्यपुस्तक में एकत्रित सामग्री का प्रयोग व्यावहारिक अभ्यासों में बार-बार किया जाता था।
सभी विश्वविद्यालयों के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए।

सीमाएं गणित के सभी छात्रों को बहुत परेशानी देती हैं। सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको बहुत सी तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न प्रकार के समाधान विधियों में से एक को चुनना होता है जो एक विशिष्ट उदाहरण के लिए उपयुक्त होता है।

इस लेख में हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी सहायता नहीं करेंगे, लेकिन हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कई विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमित अवधारणा

पहला सवाल: यह सीमा क्या है और सीमा क्या है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि यह उनके साथ है कि छात्रों का सबसे अधिक बार सामना होता है। लेकिन पहले, एक सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ चर है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान असीमित रूप से एक निश्चित संख्या के करीब पहुंच रहा है ए , फिर ए इस मान की सीमा है।

एक निश्चित अंतराल में परिभाषित एक समारोह के लिए एफ (एक्स) = वाई सीमा एक ऐसी संख्या है ए , जिस पर फ़ंक्शन जाता है एक्स एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए ... दूरसंचार विभाग ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे लिखना बहुत आसान है:

लिम- अंग्रेज़ी से सीमासीमा है।

सीमा की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष की तुलना में व्यावहारिक में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम कहते हैं कि एक्स कुछ मूल्य के लिए जाता है, इसका मतलब है कि चर संख्या का मूल्य नहीं लेता है, लेकिन असीम रूप से इसके करीब है।

आइए एक ठोस उदाहरण दें। चुनौती सीमा खोजने की है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, मान को प्रतिस्थापित करें एक्स = 3 एक समारोह में। हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप मैट्रिक्स पर बुनियादी संचालन में रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य के लिए प्रयास कर सकते हैं। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर जाता है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन का मान उतना ही कम होगा। तो, असीमित वृद्धि के साथ एक्स अर्थ 1 / एक्स घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स ... हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। सीमा ढूँढना अक्सर इतना स्पष्ट नहीं होता है। अनिश्चितताएं जैसे 0/0 या अनंत / अनंत ... ऐसे मामलों में क्या करें? तरकीबों का सहारा लेना!

भीतर अनिश्चितता

अनंत / अनंत के रूप की अनिश्चितता

एक सीमा होने दो:

यदि हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलता है। सामान्य तौर पर, यह कहने योग्य है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदला जा सकता है कि अनिश्चितता गायब हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में। क्या होता है?

ऊपर दिए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पदों की प्रवृत्ति शून्य होगी। फिर सीमा का हल है:

अस्पष्टताओं का खुलासा करने के लिए जैसे अनंत / अनंतअंश और हर को विभाजित करें एक्सउच्चतम डिग्री तक।

वैसे! हमारे पाठकों के लिए, अब 10% की छूट है किसी भी तरह का काम

एक अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, मान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन एक्स = -1 देता है 0 अंश और हर में। थोड़ा और बारीकी से देखें और आप देखेंगे कि हमारे पास अंश में द्विघात समीकरण है। जड़ों को खोजें और लिखें:

आइए छोटा करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप किसी अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं जैसे 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

आपके लिए उदाहरणों को हल करना आसान बनाने के लिए, हम कुछ फ़ंक्शन की सीमाओं के साथ एक तालिका देते हैं:

L'Hpital's शासन के भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितताओं को दूर करने की एक और शक्तिशाली तकनीक। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो हम अंश और हर के व्युत्पन्न को तब तक लेते हैं जब तक अनिश्चितता गायब नहीं हो जाती।

L'Hpital का नियम इस तरह दिखता है:

एक महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा जिसमें अंश और हर के बजाय अंश और हर के व्युत्पन्न हों, मौजूद होना चाहिए।

और अब एक वास्तविक उदाहरण के लिए:

विशिष्ट अनिश्चितता 0/0 ... आइए अंश और हर के डेरिवेटिव लें:

वोइला, अस्पष्टता जल्दी और शान से हल हो जाती है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में उपयोगी रूप से लागू कर सकते हैं और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर ढूंढ सकते हैं। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और "बिल्कुल" शब्द से इस कार्य के लिए कोई समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।