मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। समाधान के उदाहरण

लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा स्थिर गुणांक वाले उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने की एक विधि पर विचार किया जाता है। लैग्रेंज विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरणों को हल करने के लिए भी लागू होती है यदि सजातीय समीकरण के समाधान की मौलिक प्रणाली ज्ञात है।

विषय

यह सभी देखें:

लैग्रेंज विधि (स्थिरांक की भिन्नता)

एक मनमाना n-वें क्रम के निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें:
(1) .
स्थिरांक की भिन्नता की विधि, जिसे हमने प्रथम-क्रम समीकरण के लिए माना था, उच्च कोटि के समीकरणों पर भी लागू होती है।

समाधान दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, हम दाहिने हाथ को छोड़ देते हैं और सजातीय समीकरण को हल करते हैं। नतीजतन, हमें एक समाधान मिलता है जिसमें n मनमाना स्थिरांक होता है। दूसरे चरण में, हम स्थिरांक बदलते हैं। अर्थात्, हम मानते हैं कि ये स्थिरांक स्वतंत्र चर x के फलन हैं और इन फलनों का रूप ज्ञात करते हैं।

यद्यपि हम यहाँ अचर गुणांक वाले समीकरणों पर विचार करते हैं, परंतु लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए भी लागू होती है... इसके लिए, हालांकि, सजातीय समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली को जानना आवश्यक है।

चरण 1. समांगी समीकरण को हल करना

जैसा कि प्रथम-क्रम समीकरणों के मामले में, हम पहले सजातीय समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान की तलाश करते हैं, जो अमानवीय दाहिने हाथ को शून्य के बराबर करता है:
(2) .
इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
(3) .
यहाँ मनमाना स्थिरांक हैं; - सजातीय समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान, जो इस समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

चरण 2. स्थिरांक का परिवर्तन - स्थिरांकों को फलनों से बदलना

दूसरे चरण में, हम स्थिरांक की भिन्नता से निपटेंगे। दूसरे शब्दों में, हम स्थिरांक को स्वतंत्र चर x के फलनों से प्रतिस्थापित करेंगे:
.
अर्थात्, हम मूल समीकरण (1) का हल निम्नलिखित रूप में खोज रहे हैं:
(4) .

यदि हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें n फलनों के लिए एक अवकल समीकरण प्राप्त होता है। इसके अलावा, हम इन कार्यों को अतिरिक्त समीकरणों से जोड़ सकते हैं। फिर आपको n समीकरण मिलते हैं, जिससे आप n फ़ंक्शन निर्धारित कर सकते हैं। अतिरिक्त समीकरणों का निर्माण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। लेकिन हम ऐसा करेंगे ताकि समाधान का सबसे सरल रूप हो। इसके लिए, विभेदन के दौरान, कार्यों के व्युत्पन्न वाले पदों को शून्य के बराबर करना आवश्यक है। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

प्रस्तावित समाधान (4) को मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के लिए, हमें फॉर्म (4) में लिखे गए फ़ंक्शन के पहले n ऑर्डर के डेरिवेटिव्स को खोजने की जरूरत है। हम योग और उत्पाद में अंतर करने के लिए नियमों को लागू करते हुए (4) में अंतर करते हैं:
.
आइए सदस्यों को समूहित करें। सबसे पहले, हम डेरिवेटिव के साथ शब्द लिखते हैं, और फिर - डेरिवेटिव के साथ शब्द:

.
आइए हम कार्यों पर पहली शर्त लगाते हैं:
(5.1) .
तब के संबंध में पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्ति का एक सरल रूप होगा:
(6.1) .

हम इसी तरह से दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

.
आइए हम कार्यों पर दूसरी शर्त लगाते हैं:
(5.2) .
फिर
(6.2) .
आदि। अतिरिक्त स्थितियों में, हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न वाले शब्दों को शून्य पर सेट करते हैं।

इस प्रकार, यदि आप कार्यों के लिए निम्नलिखित अतिरिक्त समीकरण चुनते हैं:
(5.के) ,
तो पहले डेरिवेटिव के संबंध में सबसे सरल रूप होगा:
(6.के) .
यहाँ ।

एन -वें व्युत्पन्न खोजें:
(6.एन)
.

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें (1):
(1) ;






.
आइए हम यह ध्यान रखें कि सभी फलन समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं:
.
फिर युक्त पदों का योग शून्य देता है। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
(7) .

नतीजतन, हमें डेरिवेटिव के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.एन-1) ;
(7 ) .

इस प्रणाली को हल करने पर, हम x के फलन के रूप में अवकलजों के व्यंजक पाते हैं। एकीकरण, हम प्राप्त करते हैं:
.
यहाँ स्थिरांक हैं जो अब x पर निर्भर नहीं हैं। (4) में प्रतिस्थापित करने पर, हम मूल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त करते हैं।

ध्यान दें कि हमने कहीं भी इस तथ्य का उपयोग नहीं किया है कि गुणांक a i डेरिवेटिव के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए स्थिर हैं। इसलिए लैग्रेंज की विधि किसी भी रैखिक अमानवीय समीकरण को हल करने के लिए लागू होती हैयदि सजातीय समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली ज्ञात है।

इसके उदाहरण

अचरों की भिन्नता की विधि द्वारा समीकरणों को हल करें (लैग्रेंज)।


समाधान उदाहरण>>>

यह सभी देखें: स्थिरांक के परिवर्तन की विधि द्वारा प्रथम कोटि के समीकरणों का हल (लैग्रेंज)
बर्नौली विधि द्वारा उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना
रैखिक प्रतिस्थापन द्वारा निरंतर गुणांक वाले उच्च क्रम रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों का समाधान

व्याख्यान 44. दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि। स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण। (विशेष दाहिनी ओर)।

सामाजिक परिवर्तन। राज्य और चर्च।

बोल्शेविकों की सामाजिक नीति काफी हद तक उनके वर्गीय दृष्टिकोण से निर्धारित होती थी। 10 नवंबर, 1917 के एक डिक्री द्वारा, संपत्ति प्रणाली को नष्ट कर दिया गया था, पूर्व-क्रांतिकारी रैंकों, उपाधियों और पुरस्कारों को समाप्त कर दिया गया था। न्यायाधीशों का चुनाव स्थापित किया गया है; नागरिक राज्यों का धर्मनिरपेक्षीकरण किया गया। मुफ्त शिक्षा और चिकित्सा देखभाल की स्थापना की गई (31 अक्टूबर, 1918 का फरमान)। महिलाओं को पुरुषों के समान अधिकार दिए गए (16 और 18 दिसंबर, 1917 के फरमान)। विवाह डिक्री ने नागरिक विवाह की संस्था की शुरुआत की।

20 जनवरी, 1918 के काउंसिल ऑफ पीपुल्स कमिसर्स के एक फरमान से, चर्च को राज्य और शिक्षा प्रणाली से अलग कर दिया गया था। चर्च की अधिकांश संपत्ति को जब्त कर लिया गया है। 19 जनवरी, 1918 को मॉस्को और ऑल रशिया के पैट्रिआर्क तिखोन (5 नवंबर, 1917 को चुने गए) ने सोवियत सत्ता को अचेत कर दिया और बोल्शेविकों के खिलाफ लड़ाई का आह्वान किया।

दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण पर विचार करें

इस तरह के समीकरण के सामान्य समाधान की संरचना निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है:

प्रमेय 1।अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान (1) को इस समीकरण के कुछ विशेष समाधान और संबंधित समरूप समीकरण के सामान्य समाधान के योग के रूप में दर्शाया जाता है

सबूत... यह साबित करना आवश्यक है कि योग

समीकरण (1) का सामान्य हल है। आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि फलन (3) समीकरण (1) का एक हल है।

योग को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने के बजाय पर, होगा

चूँकि समीकरण (2) का एक हल है, पहले कोष्ठक में व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर है। चूँकि समीकरण (1) का एक हल है, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक के बराबर है च (एक्स)... इसलिए, समानता (4) एक पहचान है। इस प्रकार, प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

आइए हम दूसरे कथन को सिद्ध करें: व्यंजक (3) is आमसमीकरण का हल (1)। हमें यह साबित करना होगा कि इस अभिव्यक्ति में शामिल मनमानी स्थिरांक को चुना जा सकता है ताकि प्रारंभिक शर्तें संतुष्ट हों:

संख्या जो भी हो एक्स 0, वाई 0और (यदि केवल एक्स 0उस क्षेत्र से लिया गया था जहां कार्य ए 1, ए 2तथा च (एक्स)निरंतर)।

यह देखते हुए कि फॉर्म में क्या दर्शाया जा सकता है। फिर, शर्तों (5) के आधार पर, हमारे पास होगा

आइए इस प्रणाली को हल करें और परिभाषित करें सी 1तथा सी 2... आइए सिस्टम को फिर से लिखें:

ध्यान दें कि इस प्रणाली का निर्धारक कार्यों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है 1 परतथा दो परबिंदु पर एक्स = एक्स 0... चूंकि ये कार्य परिकल्पना से रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, व्रोन्स्की निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है; इसलिए, प्रणाली (6) का एक निश्चित समाधान है सी 1तथा सी 2, अर्थात। ऐसे मूल्य हैं सी 1तथा सी 2, जिसके लिए सूत्र (3) समीकरण (1) के हल को परिभाषित करता है जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है। क्यू.ई.डी.

आइए हम एक अमानवीय समीकरण के विशेष हल खोजने की सामान्य विधि की ओर मुड़ें।

आइए हम समांगी समीकरण (2) का सामान्य हल लिखें

हम असममित समीकरण (1) का एक विशेष हल फॉर्म (7) में खोजेंगे, जिसे देखते हुए सी 1तथा सी 2से कुछ अभी तक अज्ञात कार्यों के रूप में एक्स।

आइए हम समानता (7) में अंतर करें:

आइए आवश्यक कार्यों का चयन करें सी 1तथा सी 2ताकि समानता

यदि इस अतिरिक्त शर्त को ध्यान में रखा जाता है, तो पहला व्युत्पन्न रूप लेता है

अब इस व्यंजक को अलग करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले दो कोष्ठकों में व्यंजक गायब हो जाते हैं क्योंकि वाई 1तथा वाई 2- एक सजातीय समीकरण के समाधान। नतीजतन, अंतिम समानता रूप लेती है

इस प्रकार, फलन (7) अमानवीय समीकरण (1) का हल होगा यदि फलन सी 1तथा सी 2समीकरणों (8) और (9) को संतुष्ट करें। आइए हम समीकरणों (8) और (9) से समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें।

चूंकि इस प्रणाली का निर्धारक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के लिए व्रोन्स्की निर्धारक है वाई 1तथा वाई 2समीकरण (2), तो यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, प्रणाली को हल करने पर, हम निश्चित कार्यों के रूप में पाते हैं एक्स:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं कि एकीकरण के परिणामस्वरूप हम कहां प्राप्त करते हैं। अगला, हम पाए गए कार्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हम अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं, जहां मनमाना स्थिरांक हैं।

अमानवीय अवकल समीकरणों को हल करने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है। यह पाठ उन छात्रों के लिए अभिप्रेत है जो पहले से ही कमोबेश इस विषय में पारंगत हैं। यदि आप अभी डीयू से परिचित होना शुरू कर रहे हैं, अर्थात। यदि आप एक चायदानी हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठ से शुरुआत करें: पहले क्रम के विभेदक समीकरण। समाधान के उदाहरण... और यदि आप पहले से ही समाप्त कर रहे हैं, तो कृपया संभावित पूर्वकल्पित धारणा को त्याग दें कि विधि कठिन है। क्योंकि यह सरल है।

किन मामलों में मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू होती है?

1) एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग हल करने के लिए किया जा सकता है पहले क्रम का रैखिक गैर-समान DE... चूँकि समीकरण प्रथम कोटि का है, तो अचर (स्थिर) भी एक होता है।

2) कुछ को हल करने के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग किया जाता है दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण... यहां दो स्थिरांक भिन्न हैं।

यह मान लेना तर्कसंगत है कि पाठ में दो पैराग्राफ होंगे…। मैंने यह प्रस्ताव लिखा था, और 10 मिनट के लिए मैं दर्द से सोच रहा था कि व्यावहारिक उदाहरणों के लिए एक आसान संक्रमण के लिए मैं और क्या स्मार्ट बकवास जोड़ सकता हूं। लेकिन किसी कारण से, छुट्टियों के बाद कोई विचार नहीं है, हालांकि वह कुछ भी गाली देते नहीं दिखे। इसलिए, चलिए सीधे पहले पैराग्राफ पर चलते हैं।

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता विधि
एक रैखिक अमानवीय प्रथम-क्रम समीकरण के लिए

एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि पर विचार करने से पहले, लेख से परिचित होना उचित है प्रथम कोटि के रेखीय अवकल समीकरण... उस पाठ में, हमने अभ्यास किया पहला उपायप्रथम क्रम के गैर-वर्दी डीई। आपको याद दिला दूं कि यह पहला उपाय कहलाता है प्रतिस्थापन विधिया बर्नौली विधि(भ्रमित नहीं होना चाहिए बर्नौली समीकरण!!!)

अब हम विचार करेंगे दूसरा उपाय- एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि। मैं केवल तीन उदाहरण दूंगा, और मैं उन्हें उपरोक्त पाठ से लूंगा। इतने कम क्यों? क्योंकि वास्तव में दूसरे तरीके से समाधान पहले तरीके से समाधान के समान ही होगा। इसके अलावा, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग प्रतिस्थापन की विधि की तुलना में कम बार किया जाता है।

उदाहरण 1

(पाठ के उदाहरण # 2 से अलग करें पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

समाधान:यह समीकरण रैखिक अमानवीय है और इसका एक परिचित रूप है:

एक सरल समीकरण को हल करने के लिए पहला कदम है:
यही है, हम मूर्खता से दाईं ओर शून्य कर देते हैं - शून्य लिखने के बजाय।
समीकरण मैं फोन करता हूँ सहायक समीकरण.

इस उदाहरण में, आपको निम्नलिखित सहायक समीकरण को हल करना होगा:

हमारे सामने वियोज्य समीकरण, जिसका समाधान (उम्मीद है) अब आपके लिए मुश्किल नहीं है:

इस तरह:
- सहायक समीकरण का सामान्य समाधान।

दूसरे चरण में बदलने केकुछ का स्थिरांक अभी तकअज्ञात फ़ंक्शन जो "x" पर निर्भर करता है:

इसलिए विधि का नाम - हम स्थिरांक बदलते हैं। वैकल्पिक रूप से, स्थिरांक कुछ फलन हो सकता है जिसे हमें अभी खोजना है।

वी मूलअमानवीय समीकरण हम प्रतिस्थापित करेंगे:

स्थानापन्न और समीकरण में :

नियंत्रण क्षण - बाईं ओर की दो शर्तें रद्द हो जाती हैं... यदि ऐसा नहीं होता है, तो आपको उपरोक्त त्रुटि की तलाश करनी चाहिए।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, वियोज्य चर के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। चर को अलग करें और एकीकृत करें।

क्या वरदान, प्रदर्शक भी घट रहे हैं:

पाए गए फ़ंक्शन में "सामान्य" स्थिरांक जोड़ें:

अंतिम चरण में, हम अपने प्रतिस्थापन को याद करते हैं:

फ़ंक्शन अभी मिला!

तो सामान्य समाधान है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

यदि आप दो समाधानों का प्रिंट आउट लेते हैं, तो आप आसानी से देखेंगे कि दोनों ही मामलों में हमें एक ही समाकलन मिला है। समाधान एल्गोरिथ्म में एकमात्र अंतर है।

अब कुछ और जटिल के लिए, मैं दूसरे उदाहरण पर टिप्पणी करूंगा:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
(पाठ के उदाहरण # 8 से अलग करें पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)

समाधान:आइए हम समीकरण को रूप में लाते हैं :

आइए हम दाईं ओर शून्य करें और सहायक समीकरण को हल करें:

सहायक समीकरण का सामान्य समाधान:

अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापन करते हैं:

उत्पाद भेदभाव के नियम के अनुसार:

स्थानापन्न और मूल अमानवीय समीकरण में:

बाईं ओर की दो शर्तें रद्द हो रही हैं, जिसका अर्थ है कि हम सही रास्ते पर हैं:

हम भागों द्वारा एकीकृत करते हैं। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र से स्वादिष्ट पत्र पहले से ही समाधान में उपयोग किया जा चुका है, इसलिए हम उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, "ए" और "बी" अक्षर:

अब हम किए गए प्रतिस्थापन को याद करते हैं:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

और स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण:

उदाहरण 3

दी गई प्रारंभिक स्थिति के संगत अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।

,
(पाठ के उदाहरण # 4 से अलग करें पहले क्रम का रैखिक अमानवीय DE)
समाधान:
यह DE रैखिक अमानवीय है। हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं। आइए सहायक समीकरण को हल करें:

अलग चर और एकीकृत:

सामान्य निर्णय:
अमानवीय समीकरण में, हम प्रतिस्थापित करेंगे:

आइए प्रतिस्थापन करते हैं:

तो सामान्य समाधान है:

आइए हम दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें:

उत्तर:निजी समाधान:

पाठ के अंत में दिया गया समाधान सत्रीय कार्य को पूरा करने के लिए एक मोटे उदाहरण के रूप में कार्य कर सकता है।

मनमानी स्थिरांक की भिन्नता विधि
एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण के लिए
निरंतर गुणांक के साथ

हमने अक्सर यह राय सुनी है कि दूसरे क्रम के समीकरण के लिए मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि आसान बात नहीं है। लेकिन मेरा अनुमान निम्नलिखित है: सबसे अधिक संभावना है, यह विधि बहुतों को कठिन लगती है, क्योंकि यह इतना सामान्य नहीं है। लेकिन वास्तव में कोई विशेष कठिनाइयाँ नहीं हैं - निर्णय की प्रक्रिया स्पष्ट, पारदर्शी, समझने योग्य है। और खूबसूरत।

विधि में महारत हासिल करने के लिए, दाहिनी ओर के रूप में एक विशेष समाधान का चयन करके अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने में सक्षम होना वांछनीय है। इस विधि पर लेख में विस्तार से चर्चा की गई है। दूसरे क्रम का अमानवीय DE... याद रखें कि स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण का रूप है:

चयन विधि, जिसे उपरोक्त पाठ में माना गया था, केवल सीमित मामलों में काम करती है जब बहुपद, घातांक, साइन, कोसाइन दाईं ओर होते हैं। लेकिन क्या करें जब दाईं ओर, उदाहरण के लिए, भिन्न, लघुगणक, स्पर्शरेखा? ऐसी स्थिति में, स्थिरांक की भिन्नता का तरीका बचाव में आता है।

उदाहरण 4

द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए

समाधान:इस समीकरण के दायीं ओर एक भिन्न है, इसलिए हम तुरंत कह सकते हैं कि किसी विशेष समाधान के चयन की विधि काम नहीं करती है। हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं।

कुछ भी नहीं एक गरज के साथ, समाधान की शुरुआत पूरी तरह से सामान्य है:

पाना सामान्य निर्णयतदनुसार सजातीयसमीकरण:

आइए विशेषता समीकरण बनाएं और हल करें:


- संयुग्म जटिल जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

सामान्य समाधान के रिकॉर्ड पर ध्यान दें - यदि कोष्ठक हैं, तो हम उनका विस्तार करते हैं।

अब हम व्यावहारिक रूप से पहले-क्रम समीकरण के समान ही चाल करते हैं: हम स्थिरांक को बदलते हैं, उन्हें अज्ञात कार्यों के साथ बदलते हैं। अर्थात्, विषमांगी का सामान्य समाधानहम फॉर्म में समीकरण तलाशेंगे:

कहां - अभी तकअज्ञात कार्य।

यह घरेलू कचरे के लिए लैंडफिल जैसा दिखता है, लेकिन अब हम सब कुछ छांट लेंगे।

कार्यों के व्युत्पन्न अज्ञात के रूप में कार्य करते हैं। हमारा लक्ष्य डेरिवेटिव ढूंढना है, और पाया गया डेरिवेटिव सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए।

"खेल" कहाँ से आते हैं? सारस उन्हें लाता है। हम पहले प्राप्त सामान्य समाधान को देखते हैं और लिखते हैं:

आइए डेरिवेटिव खोजें:

बाएं भागों के साथ छांटे गए। दाईं ओर क्या है?

इस मामले में मूल समीकरण का दाहिना पक्ष है:

गुणांक दूसरे व्युत्पन्न पर गुणांक है:

व्यवहार में, लगभग हमेशा, और हमारा उदाहरण कोई अपवाद नहीं है।

सब कुछ साफ हो गया है, अब आप एक सिस्टम बना सकते हैं:

सिस्टम आमतौर पर तय होता है क्रैमर के सूत्रों द्वाराएक मानक एल्गोरिथ्म का उपयोग करना। फर्क सिर्फ इतना है कि संख्याओं के बजाय हमारे पास कार्य हैं।

आइए हम प्रणाली के मुख्य निर्धारक का पता लगाएं:

यदि आप भूल गए हैं कि निर्धारक "दो बटा दो" कैसे प्रकट होता है, तो पाठ देखें निर्धारक की गणना कैसे करें?लिंक शर्म के बोर्ड की ओर जाता है =)

तो: इसका मतलब है कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

व्युत्पन्न खोजें:

लेकिन इतना ही नहीं, अभी तक हमने केवल व्युत्पन्न पाया है।
फ़ंक्शन स्वयं एकीकरण द्वारा पुनर्स्थापित किया जाता है:

आइए दूसरे फ़ंक्शन से निपटें:

यहां हम एक "सामान्य" स्थिरांक जोड़ते हैं

समाधान के अंतिम चरण में, हम याद करते हैं कि हम किस रूप में अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान की तलाश कर रहे थे? ऐसे में:

आप जिन कार्यों की तलाश कर रहे हैं वे अभी-अभी मिले हैं!

यह प्रतिस्थापन करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

उत्तर:सामान्य निर्णय:

सिद्धांत रूप में, उत्तर में कोष्ठक का विस्तार किया जा सकता है।

उत्तर का पूर्ण सत्यापन मानक योजना के अनुसार किया जाता है, जिसकी चर्चा पाठ में की गई थी दूसरे क्रम का अमानवीय DE... लेकिन सत्यापन आसान नहीं होगा, क्योंकि भारी डेरिवेटिव ढूंढना और एक बोझिल प्रतिस्थापन करना आवश्यक है। जब आप इस तरह प्रसार से निपट रहे हों तो यह एक अप्रिय विशेषता है।

उदाहरण 5

मनमाना स्थिरांक बदलकर अंतर समीकरण हल करें

यह स्वयं करें समाधान के लिए एक उदाहरण है। वास्तव में, दायां पक्ष भी एक अंश है। हमें त्रिकोणमितीय सूत्र याद है, वैसे, इसे समाधान के दौरान लागू करने की आवश्यकता होगी।

मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि सबसे बहुमुखी विधि है। वे हल किए गए किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं किसी विशेष समाधान को चुनने की विधि द्वारा दाईं ओर की दृष्टि से... प्रश्न यह उठता है कि क्यों न वहां भी स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि का प्रयोग किया जाए? उत्तर स्पष्ट है: एक निजी समाधान का चयन, जिसे पाठ में माना गया था अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण, समाधान को महत्वपूर्ण रूप से गति देता है और लेखन को छोटा करता है - निर्धारक और अभिन्न के साथ कोई कमबख्त नहीं।

के साथ दो उदाहरणों पर विचार करें कॉची समस्या.

उदाहरण 6

दी गई प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए

,

समाधान:एक दिलचस्प जगह में फिर से भिन्न और घातांक।
हम मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करते हैं।

पाना सामान्य निर्णयतदनुसार सजातीयसमीकरण:



- विभिन्न वास्तविक जड़ें प्राप्त होती हैं, इसलिए सामान्य समाधान है:

विषमांगी का सामान्य समाधानहम रूप में समीकरण तलाशते हैं:, जहां - अभी तकअज्ञात कार्य।

आइए सिस्टम की रचना करें:

इस मामले में:
,
डेरिवेटिव खोजें:
,

इस तरह:

हम Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं:
, जिसका अर्थ है कि सिस्टम का एक अनूठा समाधान है।

हम एकीकृत करके फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

यहां इस्तेमाल किया गया डिफरेंशियल साइन के तहत एक फंक्शन लाने की विधि.

हम एकीकृत करके दूसरे फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करते हैं:

ऐसा अभिन्न हल है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि:

प्रतिस्थापन से ही, हम व्यक्त करते हैं:

इस तरह:

यह अभिन्न पाया जा सकता है एक पूर्ण वर्ग के चयन की विधि द्वारा, लेकिन भिन्नता वाले उदाहरणों में, मैं भिन्न का विस्तार करना पसंद करता हूं अपरिभाषित गुणांक की विधि:

दोनों कार्य पाए जाते हैं:

नतीजतन, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान है:

आइए हम प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करने वाला एक विशेष समाधान खोजें .

तकनीकी रूप से, समाधान की खोज मानक तरीके से की जाती है, जिसकी चर्चा लेख में की गई थी दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण.

रुको, अब हम पाए गए सामान्य समाधान का व्युत्पन्न पाएंगे:

यहाँ ऐसा अपमान है। इसे सरल करना आवश्यक नहीं है, समीकरणों की एक प्रणाली को तुरंत बनाना आसान है। प्रारंभिक शर्तों के अनुसार :

स्थिरांक के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें एक सामान्य समाधान में:

प्रतिक्रिया में, लघुगणक थोड़ा पैक किया जा सकता है।

उत्तर:निजी समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिन्न और व्युत्पन्न में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि के एल्गोरिथ्म में नहीं। यह मैं नहीं था जिसने आपको धमकाया था, यह सब कुज़नेत्सोव का संग्रह है!

विश्राम के लिए, स्वयं करें समाधान के लिए एक अंतिम, सरल उदाहरण:

उदाहरण 7

कौची समस्या का समाधान

,

एक उदाहरण सरल है, लेकिन रचनात्मक है, जब आप एक प्रणाली बनाते हैं, तो निर्णय लेने से पहले उस पर एक नज़र डालें ;-),




नतीजतन, सामान्य समाधान है:

आइए हम प्रारंभिक स्थितियों के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें .



आइए स्थिरांक के पाए गए मानों को सामान्य समाधान में बदलें:

उत्तर:निजी समाधान:

अब रेखीय अमानवीय समीकरण पर विचार करें
. (2)
मान लीजिए y 1, y 2, .., y n समाधान की मूल प्रणाली है, और संगत समरूप समीकरण L (y) = 0 का सामान्य समाधान है। इसी प्रकार प्रथम कोटि के समीकरणों के मामले में, हम समीकरण (2) का हल इस रूप में खोजेंगे
. (3)
आइए सुनिश्चित करें कि इस रूप में एक समाधान मौजूद है। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के लिए, हम इसके व्युत्पन्न पाते हैं। पहला व्युत्पन्न है
. (4)
दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, (4) के दाहिनी ओर चार शब्द दिखाई देंगे, तीसरे व्युत्पन्न की गणना करते समय, आठ शब्द दिखाई देंगे, और इसी तरह। इसलिए, आगे की गणना की सुविधा के लिए, (4) में पहला पद शून्य माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, दूसरा व्युत्पन्न है
. (5)
पहले के समान कारणों से, (5) में हम पहले पद को भी शून्य के बराबर सेट करते हैं। अंत में, n वां व्युत्पन्न है
. (6)
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है
. (7)
(7) में दूसरा पद शून्य के बराबर है, क्योंकि फलन y j, j = 1,2, .., n, संगत समांगी समीकरण L (y) = 0 के हल हैं। पिछले एक के साथ संयोजन, हम सी "जे (एक्स) के कार्यों को खोजने के लिए बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं।
(8)
इस प्रणाली का निर्धारक समाधान y 1, y 2, .., y n की संबंधित समरूप समीकरण L (y) = 0 की मौलिक प्रणाली का व्रोनस्की निर्धारक है और इसलिए यह शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, सिस्टम (8) का एक अनूठा समाधान है। इसे पाकर, हम फलन प्राप्त करते हैं C "j (x), j = 1,2, ..., n, और, इसलिए, C j (x), j = 1,2, ..., n इन्हें प्रतिस्थापित करते हुए मान (3) में, हम एक रैखिक अमानवीय समीकरण का हल प्राप्त करते हैं।
वर्णित विधि को एक मनमाना स्थिरांक या लैग्रेंज विधि की भिन्नता की विधि कहा जाता है।

उदाहरण 1। समीकरण y "" + 4y "+ 3y = 9e -3 x का सामान्य हल ज्ञात कीजिए। संगत समांगी समीकरण y" "+ 4y" + 3y = 0 पर विचार कीजिए। इसके अभिलक्षणिक समीकरण r 2 + 4r + 3 = के मूल 0 बराबर -1 और - 3 है। इसलिए, समांगी समीकरण के समाधान की मूल प्रणाली में फलन y 1 = e - x और y 2 = e -3 x शामिल हैं। हम y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x के रूप में अमानवीय समीकरण का हल ढूंढते हैं। व्युत्पन्न C "1, C" 2 को खोजने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली (8) की रचना करते हैं
सी ′ 1 ई-एक्स + सी ′ 2 ई -3x = 0
-सी ′ 1 ई-एक्स -3 सी ′ 2 ई -3x = 9ई -3x
जिसे हल करना, हम पाते हैं, प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हुए, हमारे पास है
हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण संख्या 2. दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को अचर गुणांकों के साथ स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा हल करें:

वाई (0) = 1 + 3ln3
वाई '(0) = 10ln3

समाधान:
यह अंतर समीकरण निरंतर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों को संदर्भित करता है।
हम y = e rx के रूप में समीकरण का हल खोजेंगे। ऐसा करने के लिए, हम निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के विशेषता समीकरण की रचना करते हैं:
आर 2 -6 आर + 8 = 0
डी = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

अभिलक्षणिक समीकरण के मूल: r 1 = 4, r 2 = 2
नतीजतन, समाधान की मौलिक प्रणाली कार्यों से बनी है: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
सजातीय समीकरण का सामान्य हल है: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा किसी विशेष समाधान की खोज करें।
व्युत्पन्न C "i को खोजने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:
सी 1 ई 4x + सी ′ 2 ई 2x = 0
सी ′ 1 (4e 4x) + सी ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + ई -2x)
आइए पहले समीकरण से C "1 व्यक्त करें:
सी "1 = -सी 2 ई -2x
और दूसरे में स्थानापन्न करें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
सी "1 = 2 / (ई 2x + 2e 4x)
सी "2 = -2e 2x / (ई 2x + 2e 4x)
हम प्राप्त कार्यों को एकीकृत करते हैं C "i:
सी 1 = 2ln (ई -2x +2) - ई -2x + सी * 1
सी 2 = एलएन (2ई 2x +1) - 2x + सी * 2

चूँकि y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, तो हम प्राप्त व्यंजकों को रूप में लिखते हैं:
सी 1 = (2ln (ई -2x +2) - ई -2x + सी * 1) ई 4x = 2 ई 4x एलएन (ई -2x +2) - ई 2x + सी * 1 ई 4x
सी 2 = (एलएन (2e 2x +1) - 2x + सी * 2) ई 2x = ई 2x एलएन (2e 2x +1) - 2x ई 2x + सी * 2 ई 2x
इस प्रकार, अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + c * 2 e 2x
या
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + c * 2 e 2x

आइए प्रदान किया गया एक विशेष समाधान खोजें:
वाई (0) = 1 + 3ln3
वाई '(0) = 10ln3

x = 0 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
वाई (0) = 2 एलएन (3) - 1 + एलएन (3) + सी * 1 + सी * 2 = 3 एलएन (3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
परिणामी सामान्य समाधान का पहला व्युत्पन्न खोजें:
y '= 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) + ln (2e 2x +1) -2
x = 0 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
y '(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3

हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:
3 एलएन (3) - 1 + सी * 1 + सी * 2 = 1 + 3ln3
4सी 1 + 2सी 2 +10 एलएन (3) -4 = 10ln3
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
4सी 1 + 2सी 2 = 4
या
सी * 1 + सी * 2 = 2
2सी 1 + सी 2 = 2
कहा से: सी 1 = 0, सी * 2 = 2
एक निजी समाधान के रूप में लिखा जाएगा:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x

मनमानी स्थिरांक की भिन्नता विधि

एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण के हल की रचना के लिए स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = एफ(टी)

मनमानी स्थिरांक को बदलने में शामिल हैं सी कसामान्य समाधान में

जेड(टी) = सी 1 जेड 1 (टी) + सी 2 जेड 2 (टी) + ... + सी एन जेड एन (टी)

संगत सजातीय समीकरण

ए एन (टी)जेड (एन) (टी) + ए एन − 1 (टी)जेड (एन − 1) (टी) + ... + ए 1 (टी)जेड"(टी) + ए 0 (टी)जेड(टी) = 0

सहायक कार्यों के लिए सी क (टी) जिसका व्युत्पन्न रैखिक बीजीय प्रणाली को संतुष्ट करता है

प्रणाली का निर्धारक (1) कार्यों का व्रोनस्कियन है जेड 1 ,जेड 2 ,...,जेड एन , जो इसके संबंध में अद्वितीय निर्णायकता सुनिश्चित करता है।

यदि एकीकरण स्थिरांक के निश्चित मूल्यों पर लिए गए एंटीडेरिवेटिव हैं, तो फ़ंक्शन

मूल रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण का एक हल है। इसी सजातीय समीकरण के एक सामान्य समाधान की उपस्थिति में एक अमानवीय समीकरण का एकीकरण इस प्रकार चतुर्भुज में कम हो जाता है।

वेक्टर सामान्य रूप में रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के निर्माण के लिए मनमानी स्थिरांक के लिए भिन्नता विधि

एक विशेष समाधान के निर्माण में शामिल हैं (1) रूप में

कहाँ पे जेड(टी) मैट्रिक्स के रूप में लिखे गए संबंधित सजातीय समीकरण के समाधान का आधार है, और वेक्टर फ़ंक्शन जो मनमाने ढंग से स्थिरांक के वेक्टर को प्रतिस्थापित करता है, संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है। वांछित विशेष समाधान (शून्य प्रारंभिक मानों के साथ टी = टी 0 का रूप है

निरंतर गुणांक वाली प्रणाली के लिए, अंतिम अभिव्यक्ति सरल है:

आव्यूह जेड(टी)जेड- 1 (τ)बुलाया कॉची मैट्रिक्सऑपरेटर ली = ए(टी) .