एक सीधी रेखा और एक तल की आपेक्षिक स्थिति उभयनिष्ठ बिंदुओं की संख्या से निर्धारित होती है :
1) यदि एक सीधी रेखा में समतल के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु हैं, तो वह इस तल से संबंधित है,
2) यदि सीधी रेखा का समतल के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो सीधी रेखा तल को काटती है,
3) यदि एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को अनंत तक हटा दिया जाए, तो सीधी रेखा और तल समानांतर होते हैं।
वे समस्याएँ जिनमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की एक-दूसरे के सापेक्ष सापेक्ष स्थिति निर्धारित की जाती है, स्थितीय समस्याएँ कहलाती हैं।
विमान से संबंधित सीधी रेखा को पहले माना जाता था।
समतल के समानांतर रेखा, यदि यह इस तल में पड़ी किसी सीधी रेखा के समानांतर है।ऐसी सीधी रेखा बनाने के लिए, समतल में किसी भी सीधी रेखा को निर्दिष्ट करना और उसके समानांतर आवश्यक रेखा खींचना आवश्यक है।
चावल। 1.53 अंजीर। 1.54 चित्र 1.55
बिंदु के माध्यम से जाने दें ए(चित्र 1.53) एक सीधी रेखा खींचना आवश्यक है अबविमान के समानांतर क्यूएक त्रिभुज द्वारा दिया गया सीडीएफ।इसके लिए बिंदु के ललाट प्रक्षेपण के माध्यम से ए / अंक एचलो एक ललाट प्रक्षेपण करते हैं ए / बी /समतल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण के समानांतर वांछित सीधी रेखा आर,उदाहरण के लिए प्रत्यक्ष सीडी (ए / बी /!!एस / डी /) क्षैतिज प्रक्षेपण के माध्यम से एअंक एसमानांतर एसडीहम एक क्षैतिज प्रक्षेपण करते हैं ऐडवर्ड्सआवश्यक सीधी रेखा एबी (एवी 11 एसडी)।सीधा अबविमान के समानांतर आर,एक त्रिकोण दिया सीडीएफ।
समतल को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा की सभी संभावित स्थितियों में से, हम उस स्थिति पर ध्यान देते हैं जब सीधी रेखा समतल पर लंबवत होती है। ऐसी सीधी रेखा के प्रक्षेपणों के गुणों पर विचार करें।
चावल। 1.56 अंजीर। 1.57
समतल के लंबवत सीधी रेखा(एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का एक विशेष मामला) यदि यह तल में किसी भी सीधी रेखा के लंबवत है।सामान्य स्थिति में एक विमान के लंबवत के अनुमानों का निर्माण करने के लिए, अनुमानों को बदलने के बिना यह पर्याप्त नहीं है। इसलिए, एक अतिरिक्त शर्त पेश की गई है: एक सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि यह दो प्रतिच्छेद करने वाली मुख्य रेखाओं के लंबवत हो(अनुमानों के निर्माण के लिए, एक समकोण के प्रक्षेपण की स्थिति का उपयोग किया जाता है)। इस मामले में: लंबवत के क्षैतिज और ललाट अनुमान क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण और सामान्य स्थिति में दिए गए विमान के सामने के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत हैं, क्रमशः (चित्र। 1.54)। जब एक विमान को निशान द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, तो लंबवत के अनुमान क्रमशः लंबवत होते हैं, ललाट के निशान के लिए, विमान के क्षैतिज निशान के लिए क्षैतिज (चित्र। 1.55)।
एक प्रक्षेपण विमान के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन।विचार करना सीधी रेखा प्रतिच्छेद करने वाला तलजब विमान एक निजी स्थिति में हो।
प्रोजेक्शन प्लेन (प्रोजेक्टिंग प्लेन) के लंबवत एक विमान को एक सीधी रेखा के रूप में उस पर प्रक्षेपित किया जाता है। इस सीधी रेखा (तल का प्रक्षेपण) पर उस बिंदु का संगत प्रक्षेपण होना चाहिए जिस पर कोई सीधी रेखा इस तल को काटती है (चित्र 1.56)।
चित्र 1.56 में, बिंदु का ललाट प्रक्षेपण प्रतिएक सीधी रेखा का चौराहा अबत्रिकोण के साथ सीडीईउनके ललाट अनुमानों के चौराहे पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि त्रिकोण सीडीईएक सीधी रेखा के रूप में ललाट तल पर प्रक्षेपित किया जाता है। समतल के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए (यह सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण पर स्थित है)। प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि का उपयोग करके, हम रेखा की दृश्यता निर्धारित करते हैं अबत्रिभुज के तल के सापेक्ष सीडीईक्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर।
चित्र 1.59 एक क्षैतिज प्रक्षेपण विमान दिखाता है पीऔर सामान्य रेखा अब... चूंकि विमान आरअनुमानों के क्षैतिज तल के लंबवत है, फिर इसमें जो कुछ भी है, उसे इसके ट्रेस पर अनुमानों के क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है, जिसमें सीधी रेखा के साथ इसके चौराहे का बिंदु भी शामिल है। अब... इसलिए, जटिल आरेखण में हमारे पास एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण होता है आर... एक सीधी रेखा पर एक बिंदु से संबंधित होने पर, हम एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का ललाट प्रक्षेपण पाते हैं अबविमान के साथ आर... अनुमानों के ललाट तल पर सीधी रेखा की दृश्यता निर्धारित करें।
चावल। 1.58 अंजीर। 1.59
चित्र 1.58 एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के अनुमानों के निर्माण के लिए एक व्यापक चित्र देता है अबएक क्षैतिज स्तर के साथ जी. फ्रंटल प्लेन ट्रेस जीइसका अग्र प्रक्षेपण है। विमान के चौराहे के बिंदु का ललाट प्रक्षेपण जीएक सीधी रेखा के साथ अबसीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण और विमान के ललाट निशान के चौराहे पर परिभाषित किए गए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु का ललाट प्रक्षेपण होने पर, हम सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं अबविमान के साथ जी.
चित्र 1.57 एक त्रिभुज द्वारा परिभाषित एक सामान्य स्थिति तल को दर्शाता है सीडीईऔर सामने-प्रोजेक्टिंग सीधी रेखा अब? समतल को बिंदु पर प्रतिच्छेद करना क।एक बिंदु का अग्र प्रक्षेपण - क /डॉट्स से मेल खाता है ए /तथा बी/. प्रतिच्छेदन बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करने के लिए, बिंदु के माध्यम से ड्रा करें कविमान में सीडीईसीधी रेखा (उदाहरण के लिए, 1-2 ) आइए इसके ललाट प्रक्षेपण का निर्माण करें, और फिर क्षैतिज वाला। बिंदु करेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है अबतथा 1-2. मुद्दा यह है कएक ही समय में सीधी रेखा के अंतर्गत आता है अबऔर त्रिभुज का तल और इसलिए उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दो विमानों का प्रतिच्छेदन।दो विमानों के प्रतिच्छेदन की एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक दोनों विमानों से संबंधित होता है, या दो विमानों से संबंधित एक बिंदु, और रेखा की ज्ञात दिशा। दोनों ही मामलों में, कार्य दो समतलों के लिए एक उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात करना है।
प्रक्षेपण विमानों का चौराहा।दो तल एक दूसरे के समानांतर या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। विमानों के परस्पर प्रतिच्छेदन के मामलों पर विचार करें।
दो तलों के परस्पर प्रतिच्छेदन पर प्राप्त एक सीधी रेखा पूरी तरह से दो बिंदुओं से निर्धारित होती है, जिनमें से प्रत्येक दोनों विमानों से संबंधित है, इसलिए, दो दिए गए विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा से संबंधित इन दो बिंदुओं को खोजना आवश्यक और पर्याप्त है।
इसलिए, सामान्य स्थिति में, दो तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करने के लिए, किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक दोनों तलों से संबंधित है। ये बिंदु विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को परिभाषित करते हैं। इन दो बिंदुओं में से प्रत्येक को खोजने के लिए, आपको आमतौर पर विशेष निर्माण करना पड़ता है। लेकिन अगर कम से कम एक इंटरसेक्टिंग प्लेन किसी प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत (या समानांतर) है, तो उनके चौराहे की लाइन के प्रोजेक्शन का निर्माण सरल हो जाता है।
चावल। 1.60 अंजीर। 1.61
यदि विमानों को निशान द्वारा दिया जाता है, तो उन बिंदुओं की तलाश करना स्वाभाविक है जो विमानों के चौराहे की रेखा को जोड़े में समान विमानों के निशान के चौराहे के बिंदुओं पर परिभाषित करते हैं: इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा सामान्य है दोनों विमान, यानी उनके चौराहे की रेखा।
प्रतिच्छेद करने वाले विमानों में से एक (या दोनों) के स्थान के विशेष मामलों पर विचार करें।
जटिल आरेखण (चित्र 1.60) क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित तलों को दर्शाता है पीतथा क्यू।फिर उनकी प्रतिच्छेदन रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण एक बिंदु में बदल जाता है, और ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा में अक्ष के लंबवत होता है बैल
जटिल आरेखण (चित्र 1.61) एक विशेष स्थिति के तलों को दर्शाता है: समतल आरक्षैतिज प्रक्षेपण विमान (क्षैतिज प्रक्षेपण विमान) और विमान के लंबवत क्यू- क्षैतिज स्तर का तल। इस मामले में, उनके चौराहे की रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के क्षैतिज निशान के साथ मेल खाएगा। आर, और ललाट - विमान के ललाट निशान के साथ क्यू.
निशान द्वारा विमानों को निर्दिष्ट करने के मामले में, यह स्थापित करना आसान है कि ये विमान प्रतिच्छेद करते हैं: यदि एक ही नाम के कम से कम एक जोड़ी निशान प्रतिच्छेद करते हैं, तो समतल प्रतिच्छेद करते हैं।
पूर्वगामी निशानों को प्रतिच्छेद करके परिभाषित विमानों को संदर्भित करता है। यदि दोनों तलों में क्षैतिज और ललाट तलों पर एक दूसरे के समानांतर निशान हैं, तो ये तल समानांतर या प्रतिच्छेदित हो सकते हैं। तीसरे प्रक्षेपण (तीसरे निशान) का निर्माण करके ऐसे विमानों की सापेक्ष स्थिति का अंदाजा लगाया जा सकता है। यदि तीसरे प्रक्षेपण पर दोनों विमानों के निशान भी समानांतर हैं, तो विमान एक दूसरे के समानांतर हैं। यदि तीसरे तल पर निशान प्रतिच्छेद करते हैं, तो अंतरिक्ष में निर्दिष्ट विमान प्रतिच्छेद करते हैं।
जटिल आरेखण (चित्र 1.62) एक त्रिभुज द्वारा परिभाषित अग्र-प्रक्षेपण तलों को दर्शाता है एबीसीतथा डीईएफ़... ललाट प्रक्षेपण तल पर प्रतिच्छेदन रेखा का प्रक्षेपण एक बिंदु है, अर्थात। चूँकि त्रिभुज अनुमानों के ललाट तल के लंबवत होते हैं, तो उनकी प्रतिच्छेदन रेखा भी अनुमानों के ललाट तल के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिभुजों के प्रतिच्छेदन की रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण ( 12 ) अक्ष के लंबवत है बैलक्षैतिज प्रक्षेपण तल पर त्रिभुज तत्वों की दृश्यता प्रतिस्पर्धी बिंदुओं (3,4) का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
जटिल आरेखण में (चित्र 1.63) दो तल दिए गए हैं: जिनमें से एक त्रिभुज है एबीसीसामान्य स्थिति, अन्य - एक त्रिभुज डीईएफ़अनुमानों के ललाट तल के लंबवत, अर्थात्। एक निजी स्थिति में (सामने-प्रक्षेपण)। त्रिभुजों के प्रतिच्छेदन की रेखा का ललाट प्रक्षेपण ( 1 / 2 / ) सामान्य बिंदुओं के आधार पर पाया जाता है जो एक साथ दोनों त्रिभुजों से संबंधित होते हैं (सब कुछ जो सामने-प्रोजेक्टिंग त्रिभुज में है डीईएफ़ललाट प्रक्षेपण पर एक रेखा का परिणाम होगा - ललाट तल पर इसका प्रक्षेपण, त्रिकोण के साथ इसके चौराहे की रेखा सहित एबीसी.त्रिभुज की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से संबंधित होने से एबीसी, हम त्रिभुजों के प्रतिच्छेदन रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण पाते हैं। प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि का उपयोग करके, हम क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर त्रिकोण के तत्वों की दृश्यता निर्धारित करते हैं।
चावल। 1.63 अंजीर। 1.64
चित्र 1.64 एक त्रिभुज द्वारा सामान्य स्थिति में परिभाषित दो समतलों का एक जटिल चित्र प्रस्तुत करता है। एबीसीऔर क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान आरनिशान द्वारा दिया गया। विमान के बाद से आर- क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित, फिर उसमें जो कुछ भी है, जिसमें त्रिभुज के तल के साथ उसके चौराहे की रेखा भी शामिल है एबीसी, क्षैतिज प्रक्षेपण पर इसके साथ मेल खाएगा
क्षैतिज ट्रैक। इन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा का ललाट प्रक्षेपण इस शर्त से पाया जाता है कि तत्व (पक्ष) के बिंदु सामान्य स्थिति में विमान से संबंधित हैं।
सामान्य स्थिति में विमानों को निर्दिष्ट करने के मामले में निशान द्वारा नहीं, फिर विमानों के चौराहे की रेखा प्राप्त करने के लिए, दूसरे त्रिभुज के विमान के साथ एक त्रिभुज के किनारे का मिलन बिंदु क्रमिक रूप से पाया जाता है। यदि सामान्य स्थिति में विमानों को त्रिभुजों द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, तो ऐसे विमानों की प्रतिच्छेदन रेखा वैकल्पिक रूप से दो सहायक सेकेंट विमानों को पेश करके पाई जा सकती है - प्रोजेक्टिंग (त्रिकोण के साथ विमानों को निर्दिष्ट करने के लिए) या अन्य सभी मामलों के लिए स्तर।
सामान्य स्थिति में एक समतल के साथ सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन।पहले, विमानों के प्रतिच्छेदन के मामलों पर विचार किया जाता था, जब उनमें से एक प्रक्षेपित होता था। इसके आधार पर, हम एक अतिरिक्त प्रक्षेपण विमान-मध्यस्थ को पेश करके, सामान्य स्थिति में एक विमान के साथ सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगा सकते हैं।
सामान्य स्थिति में विमानों के प्रतिच्छेदन पर विचार करने से पहले, सामान्य स्थिति में एक विमान के साथ सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन पर विचार करें।
सामान्य स्थिति में एक विमान के साथ सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा के मिलन बिंदु को खोजने के लिए, यह आवश्यक है:
1) एक सहायक प्रक्षेपण विमान में एक सीधी रेखा संलग्न करें,
2) दिए गए और सहायक विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा का पता लगाएं,
एक साथ दो विमानों से संबंधित एक सामान्य बिंदु को परिभाषित करें (यह उनकी प्रतिच्छेदन रेखा है) और एक सीधी रेखा।
चावल। 1.65 अंजीर। 1.66
चावल। 1.67 अंजीर। 1.68
सम्मिश्र रेखाचित्र (चित्र 1.65) एक त्रिभुज को दर्शाता है सीडीईसामान्य स्थिति और प्रत्यक्ष अबसामान्य स्थिति। एक समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम एक सीधी रेखा का निष्कर्ष निकालते हैं अब क्यू... प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात कीजिए ( 12 ) मध्यस्थ विमान का क्यूऔर एक दिया गया विमान सीडीई... चौराहे की रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्माण करते समय, एक सामान्य बिंदु होता है प्रति, एक साथ दो विमानों से संबंधित और एक दी गई सीधी रेखा अब... एक बिंदु से एक सीधी रेखा तक, हम किसी दिए गए विमान के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का ललाट प्रक्षेपण पाते हैं। प्रक्षेपण विमानों पर रेखा तत्वों की दृश्यता प्रतिस्पर्धी बिंदुओं का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
चित्र 1.66 एक सीधी रेखा के मिलन बिंदु को खोजने का एक उदाहरण दिखाता है अब, जो एक क्षैतिज रेखा है (एक सीधी रेखा अनुमानों के क्षैतिज तल के समानांतर है) और एक समतल आर, सामान्य स्थिति में, निशान द्वारा दिया गया। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात करने के लिए, सीधी रेखा अबक्षैतिज रूप से प्रक्षेपित तल में स्थित है Q. फिर ऊपर दिए गए उदाहरण की तरह आगे बढ़ें।
क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित रेखा का मिलन बिंदु ज्ञात करने के लिए अबसामान्य स्थिति में एक विमान के साथ (चित्र। 1.67), एक विमान के साथ एक सीधी रेखा के मिलन बिंदु के माध्यम से (इसका क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है) हम एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं (अर्थात, हम टाई करते हैं एक समतल में समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु आर) विमान में खींची गई क्षैतिज रेखा के ललाट प्रक्षेपण को पाकर आर, सीधी रेखा के मिलन बिंदु के ललाट प्रक्षेपण को चिह्नित करें अबविमान के साथ आर।
सामान्य स्थिति में विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा को खोजने के लिए, निशान द्वारा परिभाषित, यह दो सामान्य बिंदुओं को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है जो एक साथ दोनों विमानों से संबंधित हैं। ऐसे बिंदु उनके पथों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1.68)।
दो त्रिभुजों (चित्र 1.69) द्वारा परिभाषित सामान्य स्थिति में समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा को खोजने के लिए, हम क्रमिक रूप से बिंदु पाते हैं
एक त्रिभुज की भुजा दूसरे त्रिभुज के तल से मिलती है। किसी भी त्रिभुज से किन्हीं दो भुजाओं को लेते हुए, उन्हें मध्यस्थों के प्रक्षेपण विमानों में घेरते हुए, दो बिंदु होते हैं जो एक साथ दोनों त्रिभुजों से संबंधित होते हैं - उनके प्रतिच्छेदन की रेखा।
चित्र 1.69 त्रिभुजों का एक जटिल चित्र देता है। एबीसीतथा डीईएफ़सामान्य स्थिति। इन समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात करने के लिए:
1. हम एक पक्ष समाप्त करते हैं रवित्रिकोण एबीसीसामने प्रक्षेपण विमान के लिए एस(विमानों का चुनाव पूरी तरह से मनमाना है)।
2. समतल का प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात कीजिए एसऔर विमान डीईएफ़ – 12 .
3. मिलन बिंदु (दो त्रिभुजों के उभयनिष्ठ बिंदु) के क्षैतिज प्रक्षेपण को चिह्नित करें प्रतिचौराहे से 12 और रविऔर सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण पर इसके ललाट प्रक्षेपण का पता लगाएं रवि।
4. दूसरा सहायक प्रक्षेपण विमान बनाएं क्यूकिनारे के पार डीएफत्रिकोण डीईएफ़.
5. समतल का प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात कीजिए क्यूऔर त्रिकोण एबीसी - 3 4.
6. बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण को चिह्नित करें ली, जो पार्टी का मिलन बिंदु है डीएफत्रिभुज के तल के साथ एबीसीऔर इसका ललाट प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।
7. हम एक ही नाम के बिंदुओं के अनुमानों को जोड़ते हैं प्रतितथा एल. ली- त्रिभुजों द्वारा परिभाषित सामान्य स्थिति में विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा एबीसीतथा डीईएफ़.
8. प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि का उपयोग करके, हम प्रक्षेपण विमानों पर त्रिकोण के तत्वों की दृश्यता निर्धारित करते हैं।
चूँकि उपरोक्त समांतर तलों की मुख्य रेखाओं के लिए मान्य है, हम कह सकते हैं कि विमान समानांतर हैं यदि उनके समान नाम के निशान समानांतर हैं(चित्र। 1.71)।
चित्र 1.72 किसी दिए गए विमान के समानांतर और एक बिंदु से गुजरने वाले समतल के निर्माण को दर्शाता है ए।पहले मामले में, बिंदु के माध्यम से एएक सीधी रेखा (ललाट) किसी दिए गए तल के समानांतर खींची जाती है जी... इस प्रकार, विमान आरकिसी दिए गए विमान के समानांतर एक सीधी रेखा से युक्त जीऔर इसके समानांतर। दूसरे मामले में, बिंदु के माध्यम से एएक विमान खींचा जाता है, मुख्य रेखाओं द्वारा इस शर्त से निर्दिष्ट किया जाता है कि ये रेखाएं किसी दिए गए विमान के समानांतर हैं जी.
परस्पर लंबवत विमान।यदि एक विमान में
कम से कम एक सीधी रेखा दूसरे तल पर लंबवत है, तो ऐसे
विमान लंबवत हैं।चित्र 1.73 पारस्परिक रूप से लंबवत विमान दिखाए गए हैं। चित्र 1.74 बिंदु के माध्यम से निर्दिष्ट करने के लिए लंबवत एक विमान के निर्माण को दर्शाता है ए,समतल की एक सीधी रेखा (इस मामले में, मुख्य रेखाएँ) के लंबवत होने की स्थिति का उपयोग करते हुए।
पहले मामले में, बिंदु के माध्यम से एएक ललाट खींचा जाता है, विमान के लंबवत आर, इसका क्षैतिज निशान बनाया गया है और इसके माध्यम से विमान का एक क्षैतिज निशान खींचा गया है क्यू,क्षैतिज समतल ट्रेस के लंबवत आर... पटरियों के परिणामी लुप्त बिंदु के माध्यम से क्यू एक्सविमान का ललाट निशान खींचा गया है क्यूललाट समतल ट्रेस के लंबवत आर.
दूसरे मामले में, त्रिभुज के तल में एक क्षैतिज रेखा खींची जाती है होनाऔर ललाट BF केऔर एक दिए गए बिंदु के माध्यम से एत्रिभुज के तल के लंबवत सीधी रेखाओं (मुख्य रेखाओं) को काटकर समतल करें। ऐसा करने के लिए, बिंदु के माध्यम से ड्रा करें एक्षैतिज और ललाट। वांछित विमान की क्षैतिज रेखा का क्षैतिज प्रक्षेपण ( एन) हम त्रिभुज के क्षैतिज के क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए लंबवत खींचते हैं, नए विमान के सामने का ललाट प्रक्षेपण ( एम) - ललाट त्रिभुज के ललाट प्रक्षेपण के लंबवत।
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा और एक समतल की सापेक्ष स्थिति तीन स्थितियों की अनुमति देती है। एक सीधी रेखा और एक तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। वे समानांतर हो सकते हैं। अंत में, एक सीधी रेखा एक समतल में स्थित हो सकती है। एक सीधी रेखा और एक तल के लिए एक विशिष्ट स्थिति का स्पष्टीकरण उनके वर्णन के तरीके पर निर्भर करता है।
मान लीजिए कि समतल π सामान्य समीकरण π: Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया गया है, और रेखा L को विहित समीकरण (x - x 0) / l = (y - y 0) / m द्वारा दिया गया है = (जेड - जेड 0) / एन। सीधी रेखा के समीकरण सीधी रेखा पर बिंदु M 0 (x 0; y 0; z 0) के निर्देशांक और इस सीधी रेखा के दिशा वेक्टर s = (l; m; n) के निर्देशांक देते हैं, और समतल का समीकरण उसके अभिलंब सदिश n = (A; B; C) के निर्देशांक देता है।
यदि सीधी रेखा L और समतल प्रतिच्छेद करती है, तो सीधी रेखा की दिशा सदिश s समतल के समानांतर नहीं होती है। अत: तल का प्रसामान्य सदिश n सदिश s के लंबकोणीय नहीं है, अर्थात। उनका डॉट उत्पाद शून्य नहीं है। रेखा और तल के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से, यह स्थिति असमानता A1 + Bm + Cn ≠ 0 के रूप में लिखी जाती है।
यदि रेखा और तल समानांतर हैं या रेखा तल में स्थित है, तो स्थिति s n संतुष्ट है, जो निर्देशांक में समानता Al + Bm + Cn = 0 को कम कर देता है। "समानांतर" और "के मामलों को अलग करने के लिए" रेखा तल से संबंधित है", यह जांचना आवश्यक है कि किसी दिए गए विमान की सीधी रेखा का बिंदु है या नहीं।
इस प्रकार, एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति के सभी तीन मामलों को संबंधित स्थितियों की जाँच करके अलग किया जाता है:
यदि रेखा L को उसके सामान्य समीकरणों द्वारा दिया जाता है:
तब सीधी रेखा और समतल की सापेक्ष स्थिति का विश्लेषण इस प्रकार किया जा सकता है। सीधी रेखा के सामान्य समीकरण और समतल के सामान्य समीकरण से, हम रचना करते हैं तीन रैखिक समीकरणों की प्रणालीतीन अज्ञात के साथ
यदि इस निकाय का कोई हल नहीं है, तो यह रेखा तल के समांतर होती है। यदि इसका एक अद्वितीय हल है, तो रेखा और तल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। उत्तरार्द्ध इस तथ्य के बराबर है कि सिस्टम पहचानकर्ता (6.6)
शून्येतर अंत में, यदि निकाय (6.6) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तो रेखा समतल की है।
एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण।सीधी रेखा L: (x - x 0) / l = (y - y 0) / m = (z - z 0) / n और तल π के बीच का कोण : Ax + By + Cz + D = 0 है 0 ° (समानांतरता के मामले में) से 90 ° (एक सीधी रेखा और एक समतल के लंबवत होने की स्थिति में) की सीमा में। इस कोण की ज्या | cosψ | के बराबर होती है, जहाँ ψ सीधी रेखा s के दिशा सदिश और तल के अभिलंब सदिश n के बीच का कोण है (चित्र 6.4)। दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या को उनके निर्देशांकों के रूप में परिकलित करते हुए (देखें (2.16)), हम प्राप्त करते हैं
रेखा और तल की लंबवतता की स्थिति इस तथ्य के बराबर है कि विमान के सामान्य वेक्टर और रेखा के दिशा वेक्टर संरेख हैं। सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से इस स्थिति को दोहरी समानता के रूप में लिखा जाता है
सीधे कर सकते हैं विमान के हैं, उसके हो समानांतरया पार करनाविमान। एक सीधी रेखा एक समतल से संबंधित होती है यदि एक सीधी रेखा और एक तल से संबंधित दो बिंदुओं की ऊँचाई समान होती है... परिणाम जो ऊपर से निम्नानुसार है: एक बिंदु एक समतल का होता है यदि वह इस तल में पड़ी एक सीधी रेखा का हो।
एक सीधी रेखा एक समतल के समानांतर होती है यदि वह इस तल में पड़ी एक सीधी रेखा के समानांतर हो।
समतल को प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखा।एक समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, यह आवश्यक है (चित्र 3.28):
1) दी गई रेखा m . से होकर एक सहायक तल खींचिए टी;
2) एक लाइन बनाएं एनसहायक विमान टी के साथ दिए गए विमान Σ का प्रतिच्छेदन;
3) चौराहे के बिंदु को चिह्नित करें आर,दी गई सीधी रेखा एमचौराहे की रेखा के साथ एन।
समस्या पर विचार करें (चित्र 3.29) योजना पर सीधी रेखा m को बिंदु द्वारा दिया गया है ए 6और 35 ° के झुकाव का कोण। इस रेखा के माध्यम से एक सहायक ऊर्ध्वाधर विमान खींचा जाता है टी,जो समतल को रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है एन (बी 2 सी 3) इस प्रकार, एक एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति से एक ही ऊर्ध्वाधर तल में पड़ी दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति की ओर गति करता है। इन सीधी रेखाओं की रूपरेखा बनाकर इस समस्या का समाधान किया जाता है। सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन एमतथा एनप्रोफ़ाइल पर वांछित बिंदु को परिभाषित करता है आर... बिंदु ऊंचाई आरऊर्ध्वाधर तराजू के पैमाने द्वारा निर्धारित।
विमान के लंबवत एक सीधी रेखा। एक सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह इस तल की किन्हीं दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत हो। चित्र 3.30 एक सीधी रेखा दिखाता है एमविमान Σ के लंबवत और इसे बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते हैं। योजना पर, सीधी रेखा का प्रक्षेपण एमऔर समतल के क्षैतिज परस्पर लंबवत हैं (एक समकोण, जिसका एक पक्ष अनुमानों के तल के समानांतर है, बिना विरूपण के प्रक्षेपित होता है। दोनों सीधी रेखाएँ एक ही ऊर्ध्वाधर तल में होती हैं, इसलिए ऐसी सीधी रेखाओं की स्थिति एक दूसरे के परिमाण में पारस्परिक हैं: मैंएम = NSयू परंतु मैंआप = मैं, फिर मैंएम = NS, अर्थात् सीधी रेखा m का स्थान तल के स्थान के व्युत्क्रमानुपाती होता है। एक सीधी रेखा के पास गिरता है और एक विमान अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होता है।
3.4. संख्यात्मक उन्नयन अनुमान। सतह
3.4.1 पॉलीहेड्रा और घुमावदार सतहें। स्थलाकृतिक सतह
प्रकृति में, कई पदार्थों में पॉलीहेड्रॉन के रूप में एक क्रिस्टलीय संरचना होती है। एक पॉलीहेड्रॉन फ्लैट बहुभुज का एक संग्रह है जो एक ही विमान में नहीं होता है, जहां उनमें से प्रत्येक पक्ष एक साथ दूसरे का पक्ष होता है। एक पॉलीहेड्रॉन का चित्रण करते समय, इसके कोने के अनुमानों को इंगित करने के लिए पर्याप्त है, उन्हें एक निश्चित क्रम में सीधी रेखाओं से जोड़ना - किनारों के अनुमान। इस मामले में, दृश्य और अदृश्य किनारों को ड्राइंग में इंगित किया जाना चाहिए। अंजीर में। 3.31 एक प्रिज्म और एक पिरामिड को दर्शाता है, साथ ही इन सतहों से संबंधित बिंदुओं की ऊंचाई का पता लगाता है।
उत्तल बहुभुजों का एक विशेष समूह नियमित बहुभुजों का एक समूह होता है जिसमें सभी फलक समान नियमित बहुभुज होते हैं और सभी बहुभुज कोण समान होते हैं। नियमित बहुभुज पांच प्रकार के होते हैं।
चतुर्पाश्वीय- समबाहु त्रिभुजों से घिरे एक नियमित चतुर्भुज में 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं (चित्र 3.32 क)।
षट्फलक- नियमित षट्भुज (घन) - 8 कोने, 12 किनारे (चित्र 3.32b)।
अष्टफलक- एक नियमित अष्टफलक, जो आठ समबाहु त्रिभुजों से घिरा है - 6 शीर्ष, 12 किनारे (चित्र 3.32c)।
द्वादशफ़लक- एक नियमित डोडेकाहेड्रोन, बारह नियमित पेंटागन से घिरा, प्रत्येक शीर्ष के पास तीन से जुड़ा।
इसके 20 शीर्ष और 30 किनारे हैं (चित्र 3.32 घ)।
विंशतिफलक- एक नियमित बीस-पक्षीय त्रिभुज, बीस समबाहु त्रिभुजों से घिरा, प्रत्येक शीर्ष के पास पाँच से जुड़ा हुआ। 12 कोने और 30 किनारे (चित्र। 3.32 ई)।
एक बहुफलक के फलक पर स्थित एक बिंदु का निर्माण करते समय, इस फलक से संबंधित एक रेखा खींचना और उसके प्रक्षेपण पर बिंदु के प्रक्षेपण को चिह्नित करना आवश्यक है।
शंक्वाकार सतहों का निर्माण एक घुमावदार गाइड के साथ एक रेक्टिलिनियर जेनरेटर को घुमाकर किया जाता है ताकि सभी स्थितियों में जेनरेटर एक निश्चित बिंदु - सतह के शीर्ष से होकर गुजरे। योजना पर एक सामान्य दृश्य की शंक्वाकार सतहों को एक क्षैतिज गाइड और एक शीर्ष द्वारा दर्शाया गया है। अंजीर में। 3.33 एक शंक्वाकार सतह की सतह पर एक बिंदु के उन्नयन के स्थान को दर्शाता है।
एक सीधे वृत्तीय शंकु को नियमित अंतरालों पर खींचे गए संकेंद्रित वृत्तों की श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 3.34क)। वृत्ताकार आधार वाला एक अण्डाकार शंकु - विलक्षण वृत्तों की एक श्रृंखला (चित्र 3.34 ख)
गोलाकार सतहें। गोलाकार सतह को क्रांति की सतह कहा जाता है। यह अपने व्यास के चारों ओर एक वृत्त को घुमाकर बनता है। योजना पर, गोलाकार सतह को केंद्र द्वारा परिभाषित किया गया है प्रतिऔर इसकी एक आकृति (गोले की भूमध्य रेखा) का प्रक्षेपण (चित्र। 3.35)।
स्थलाकृतिक सतह। स्थलाकृतिक सतह को ज्यामितीय रूप से अनियमित सतह कहा जाता है, क्योंकि इसमें गठन का कोई ज्यामितीय नियम नहीं होता है। सतह को चिह्नित करने के लिए, प्रक्षेपण विमान के सापेक्ष इसके विशिष्ट बिंदुओं की स्थिति निर्धारित की जाती है। अंजीर में। 3.3 बी और एक स्थलाकृतिक सतह के एक खंड का एक उदाहरण दिया गया है, जिस पर इसके अलग-अलग बिंदुओं के अनुमान दिखाए गए हैं। ऐसी योजना, हालांकि इससे चित्रित सतह के आकार का अंदाजा लगाना संभव हो जाता है, लेकिन यह बहुत स्पष्ट नहीं है। ड्राइंग को अधिक स्पष्टता देने के लिए और इस तरह इसके पढ़ने की सुविधा के लिए, समान ऊंचाई वाले बिंदुओं के अनुमान चिकनी घुमावदार रेखाओं से जुड़े होते हैं, जिन्हें समोच्च (आइसोलिन) कहा जाता है (चित्र 3.36 बी)।
एक स्थलाकृतिक सतह के क्षैतिज को कभी-कभी इस सतह के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के रूप में भी परिभाषित किया जाता है, जिसमें क्षैतिज तल एक दूसरे से समान दूरी पर होते हैं (चित्र 3.37)। दो आसन्न समोच्च रेखाओं के बीच की ऊंचाई के अंतर को खंड की ऊंचाई कहा जाता है।
स्थलाकृतिक सतह की छवि जितनी सटीक होगी, दो आसन्न आकृति के बीच ऊंचाई में अंतर उतना ही छोटा होगा। योजनाओं पर, आरेखण के भीतर या उसके बाहर समोच्च बंद होते हैं। सतह के तेज ढलानों पर, समोच्च रेखाओं के अनुमानों का अभिसरण होता है, कोमल लोगों पर, उनके अनुमान अलग हो जाते हैं।
योजना पर दो आसन्न आकृति के अनुमानों के बीच की सबसे छोटी दूरी को स्थापना कहा जाता है। अंजीर में। 3.38 बिंदु के माध्यम से एस्थलाकृतिक सतह पर कई सीधी रेखा खंड खींचे जाते हैं और आपतथा विज्ञापन... उन सभी के आपतन कोण अलग-अलग हैं। घटना के सबसे बड़े कोण में एक खंड होता है जैसा, जिसके बिछाने का न्यूनतम मूल्य है। इसलिए, यह इस स्थान पर सतह की घटना की रेखा का प्रक्षेपण होगा।
अंजीर में। 3.39 दिए गए बिंदु के माध्यम से आपतन रेखा के प्रक्षेपण के निर्माण का एक उदाहरण है ए... बिंदु से एक 100, केंद्र से, बिंदु पर निकटतम क्षैतिज रेखा के स्पर्शरेखा के एक चाप को खींचें टी 90... बिंदु 90 पर,क्षैतिज एच 90,पतन रेखा से संबंधित होगा। बिंदु से टी 90बिंदु पर अगले क्षैतिज को स्पर्श करते हुए एक चाप बनाएं सी 80,आदि। चित्र से यह देखा जा सकता है कि स्थलाकृतिक सतह की घटना की रेखा एक टूटी हुई रेखा है, जिसकी प्रत्येक कड़ी क्षैतिज के लंबवत है, जो लिंक के निचले सिरे से गुजरती है, जिसमें निचला निशान होता है।
3.4.2 एक समतल द्वारा शंक्वाकार पृष्ठ का प्रतिच्छेदन
यदि काटने वाला विमान शंक्वाकार सतह के शीर्ष से होकर गुजरता है, तो यह इसे सतह बनाने वाली सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करता है। अन्य सभी मामलों में, अनुभाग रेखा एक सपाट वक्र होगी: एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, आदि। एक समतल द्वारा एक शंक्वाकार सतह के प्रतिच्छेदन के मामले पर विचार करें।
उदाहरण 1. एक वृत्ताकार शंकु के प्रतिच्छेदन रेखा का एक प्रक्षेपण बनाइए ( एच के बारे में , एस 5) शंक्वाकार सतह के जेनरेट्रिक्स के समानांतर समतल के साथ।
विमान के किसी दिए गए स्थान के लिए एक शंक्वाकार सतह एक परवलय में प्रतिच्छेद करती है। जेनरेटर को इंटरपोल करना टीहम एक वृत्ताकार शंकु के क्षैतिज निर्माण करते हैं - एक केंद्र के साथ संकेंद्रित वृत्त एस 5 . फिर हम समतल और शंकु के समान नाम की समोच्च रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करते हैं (चित्र 3.40)।
3.4.3. एक समतल और एक सीधी रेखा के साथ स्थलाकृतिक सतह का प्रतिच्छेदन
एक विमान के साथ स्थलाकृतिक सतह के प्रतिच्छेदन का मामला अक्सर भूवैज्ञानिक समस्याओं को हल करने में सामने आता है। अंजीर में। 3.41 समतल के साथ स्थलाकृतिक सतह के प्रतिच्छेदन के निर्माण का एक उदाहरण दिया गया है। एक वक्र की तलाश में एमविमान के एक ही नाम और स्थलाकृतिक सतह की आकृति के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
अंजीर में। 3.42 एक ऊर्ध्वाधर तल के साथ स्थलाकृतिक सतह के वास्तविक दृश्य की रचना का एक उदाहरण दिया गया है। मांगी गई रेखा m बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती है ए, बी, सी… कटिंग प्लेन के साथ स्थलाकृतिक सतह की समोच्च रेखाओं का प्रतिच्छेदन। योजना पर, वक्र का प्रक्षेपण एक सीधी रेखा में पतित हो जाता है जो विमान के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है: एम. वक्र एम की रूपरेखा योजना पर इसके बिंदुओं के अनुमानों के स्थान के साथ-साथ उनकी ऊंचाई को ध्यान में रखकर बनाई गई है।
3.4.4. समान ढलान सतह
समान ढलान की सतह एक शासित सतह होती है, जिसके सभी रेक्टिलिनियर जनरेटर क्षैतिज तल के साथ एक स्थिर कोण बनाते हैं। इस तरह की सतह को योजना के विमान के लंबवत अक्ष के साथ एक सीधे गोलाकार शंकु को स्थानांतरित करके प्राप्त किया जा सकता है, ताकि इसका शीर्ष एक निश्चित गाइड के साथ स्लाइड हो, और अक्ष किसी भी स्थिति में लंबवत रहे।
अंजीर में। 3.43 समान ढलान (i = 1/2) की सतह को दर्शाता है, जो एक स्थानिक वक्र द्वारा निर्देशित होता है ऐ बी सी डी।
स्नातक विमान। उदाहरण के तौर पर, सड़क के ढलानों के तल पर विचार करें।
उदाहरण 1. सड़क का अनुदैर्ध्य ढलान i = 0, तटबंध ढलान का ढलान i n = 1: 1.5, (चित्र। 3.44a)। 1m से क्षैतिज रेखाएँ खींचना आवश्यक है। समाधान निम्नलिखित तक उबलता है। हम सड़क के किनारे के लंबवत समतल के ढलान के पैमाने को खींचते हैं, एक रैखिक पैमाने से लिए गए 1.5 मीटर के अंतराल के बराबर दूरी पर बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, और 49, 48 और 47 के निशान निर्धारित करते हैं। प्राप्त अंक हम सड़क के किनारे के समानांतर ढलान की आकृति बनाते हैं।
उदाहरण 2. सड़क का अनुदैर्ध्य ढलान i 0, तटबंध ढलान का ढलान i n = 1: 1.5, (चित्र 3.44b)। सड़क की सतह के विमान को स्नातक किया जाता है। रोडबेड की ढलान को निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है। शीर्ष 50.00 (या किसी अन्य बिंदु) वाले बिंदु पर, शंकु के शीर्ष को रखें, तटबंध ढलान के अंतराल के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करें (हमारे उदाहरण में) मैं= 1.5 मी)। शंकु के इस समोच्च की ऊंचाई शीर्ष की ऊंचाई से एक कम होगी, अर्थात। 49मी. हम मंडलियों की एक श्रृंखला बनाते हैं, हमें समोच्च रेखाओं 48, 47 के निशान मिलते हैं, जिसके संबंध में किनारे के बिंदुओं से 49, 48, 47 के निशान के साथ हम तटबंध ढलान की क्षैतिज रेखाएँ खींचते हैं।
सतहों का स्नातक।
उदाहरण 3. यदि सड़क का अनुदैर्ध्य ढलान i = 0 और तटबंध ढलान का ढलान = 1: 1.5 है, तो क्षैतिज ढलान ढलान पैमाने के बिंदुओं के माध्यम से खींचे जाते हैं, जिसका अंतराल अंतराल के बराबर होता है तटबंध ढलान (चित्र 3.45क)। सामान्य मानदंड (ढलान पैमाने) की दिशा में आसन्न समोच्च रेखाओं के दो अनुमानों के बीच की दूरी हर जगह समान होती है।
उदाहरण 4. यदि सड़क का अनुदैर्ध्य ढलान i 0 है, और तटबंध ढलान की ढलान = 1: 1.5, (चित्र 3.45 बी) में है, तो क्षैतिज रेखाओं को छोड़कर क्षैतिज रेखाओं का निर्माण उसी तरह किया जाता है ढलान सीधी रेखाओं में नहीं, बल्कि वक्रों में खींची जाती हैं।
3.4.5. भूकंप सीमा रेखा का निर्धारण
चूंकि अधिकांश मिट्टी ऊर्ध्वाधर दीवारों को बनाए रखने में असमर्थ हैं, इसलिए ढलानों (कृत्रिम संरचनाओं) का निर्माण करना पड़ता है। ढलान द्वारा प्रदान किया गया ढलान मिट्टी पर निर्भर करता है।
पृथ्वी की सतह के एक भूखंड को एक निश्चित ढलान के साथ एक विमान की उपस्थिति देने के लिए, आपको भूकंप और शून्य कार्यों के लिए सीमा की रेखा जानने की आवश्यकता है। यह रेखा जो नियोजित क्षेत्र को परिसीमित करती है, उसे निर्दिष्ट स्थलाकृतिक सतह के साथ तटबंध ढलानों और कटे हुए ढलानों के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया गया है।
चूंकि प्रत्येक सतह (एक फ्लैट सहित) को समोच्च रेखाओं का उपयोग करके दर्शाया गया है, सतहों की प्रतिच्छेदन रेखा समान ऊंचाई के साथ समोच्च रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के एक सेट के रूप में बनाई गई है। आइए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1. अंजीर में। 3.46 को एक समतल पर खड़े एक कटे-फटे चतुष्कोणीय पिरामिड के रूप में मिट्टी की संरचना दी गई है एन... ऊपरी आधार ऐ बी सी डीपिरामिड का एक निशान है 4मीऔर पक्षों के आकार 2 × 2.5 मी... साइड फेस (तटबंध ढलान) में 2: 1 और 1: 1 की ढलान होती है, जिसकी दिशा तीरों द्वारा दिखाई जाती है।
विमान के साथ संरचना के ढलानों के चौराहे की रेखा बनाना आवश्यक है एनऔर आपस में, साथ ही समरूपता की धुरी के साथ एक अनुदैर्ध्य प्रोफ़ाइल का निर्माण करते हैं।
सबसे पहले, ढलानों, अंतरालों और बिछाने के तराजू, ढलानों को देखते हुए, एक आरेख बनाया जाता है। साइट के प्रत्येक तरफ लंबवत, ढलानों के ढलानों के तराजू निर्दिष्ट अंतराल पर खींचे जाते हैं, जिसके बाद आसन्न चेहरों के समान ऊंचाई वाले समोच्च रेखाओं के अनुमान ढलानों की चौराहे रेखाएं होती हैं, जो अनुमान हैं इस पिरामिड के किनारे के किनारों से।
पिरामिड का निचला आधार ढलानों की शून्य आकृति के साथ मेल खाता है। यदि इस मिट्टी की संरचना को एक ऊर्ध्वाधर विमान द्वारा पार किया जाता है क्यू, अनुभाग में आपको एक टूटी हुई रेखा मिलती है - संरचना की अनुदैर्ध्य प्रोफ़ाइल।
उदाहरण 2... एक सपाट ढलान के साथ और एक दूसरे के साथ गड्ढे ढलानों के चौराहे की एक पंक्ति का निर्माण करें। नीचे ( ऐ बी सी डी) गड्ढे का एक आयताकार क्षेत्र है जिसकी ऊंचाई 10 मीटर और आयाम 3 × 4 मीटर है। साइट की धुरी दक्षिण-उत्तर रेखा के साथ 5° का कोण बनाती है। उत्खनन के ढलानों में 2:1 के समान ढलान हैं (चित्र 3.47)।
शून्य कार्य रेखा भू-भाग योजना के अनुसार स्थापित की जाती है। यह विचाराधीन सतहों की आकृति के समान अनुमानों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के अनुसार बनाया गया है। ढलानों की समोच्च रेखाओं और समान ऊँचाई वाली स्थलाकृतिक सतह के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर ढलानों के प्रतिच्छेदन की रेखा पाई जाती है, जो इस गड्ढे के पार्श्व किनारों के अनुमान हैं।
इस मामले में, उत्खनन के पार्श्व ढलान उत्खनन के तल से सटे हुए हैं। रेखा ऐ बी सी डी- चौराहे की मांगी गई लाइन। एए, बीबी, с, डीडीई- गड्ढे के किनारे, एक दूसरे के साथ ढलानों के चौराहे की रेखा।
4. "आयताकार अनुमान" विषय पर स्वतंत्र कार्य के लिए आत्म-नियंत्रण और कार्यों के लिए प्रश्न
बिंदु
4.1.1. प्रक्षेपण विधि का सार।
4.1.2. प्वाइंट प्रोजेक्शन क्या है?
4.1.3. प्रक्षेपण विमानों को कैसे बुलाया और नामित किया जाता है?
4.1.4. ड्राइंग में प्रोजेक्शन कनेक्शन की लाइनें क्या हैं और वे प्रोजेक्शन एक्सिस के संबंध में ड्राइंग में कैसे स्थित हैं?
4.1.5. किसी बिंदु का तीसरा (प्रोफ़ाइल) प्रक्षेपण कैसे बनाएं?
4.1.6. तीन-चित्रों के चित्र पर बिंदुओं A, B, C के तीन अनुमानों की रचना करें, उनके निर्देशांक लिखें और तालिका भरें।
4.1.7. लुप्त प्रक्षेपण अक्षों की रचना कीजिए, x A = 25, y A = 20। बिंदु A का एक प्रोफाइल प्रोजेक्शन बनाएं।
4.1.8. उनके निर्देशांक के साथ बिंदुओं के तीन अनुमानों का निर्माण करें: ए (25,20,15), बी (20,25,0) और सी (35,0,10)। विमानों और प्रक्षेपण अक्षों के संबंध में बिंदुओं की स्थिति निर्दिष्ट करें। कौन सा बिंदु विमान P 3 के करीब है?
4.1.9. सामग्री बिंदु ए और बी एक ही समय में गिरने लगते हैं। जब बिंदु A जमीन को छूएगा तो बिंदु B कहाँ होगा? बिंदुओं की दृश्यता निर्धारित करें। एक नई स्थिति में बिंदुओं का निर्माण करें।
4.1.10. बिंदु ए के तीन अनुमानों का निर्माण करें, यदि बिंदु विमान पी 3 में स्थित है, और इससे विमान पी 1 की दूरी 20 मिमी, विमान पी 2 - 30 मिमी है। बिंदु के निर्देशांक लिखिए।
सीधा
4.2.1. एक रेखाचित्र में एक सीधी रेखा को किस प्रकार निर्दिष्ट किया जा सकता है?
4.2.2 सामान्य स्थिति में सीधी रेखा को कौन सी रेखा कहते हैं?
4.2.3. प्रक्षेपण विमानों के संबंध में एक सीधी रेखा किस स्थिति में हो सकती है?
4.2.4. एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण एक बिंदु में कब बदल जाता है?
4.2.5. एक सीधे स्तर के जटिल आरेखण की विशेषता क्या है?
4.2.6. इन सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
ए ... बी ए ... बी ए ... बी
4.2.7. विमानों के समानांतर एक सीधी रेखा खंड AB 20 मिमी लंबा एक प्रक्षेपण का निर्माण करें: a) P 2; बी) पी 1; c) ऑक्स अक्ष। प्रक्षेपण विमानों के लिए खंड के झुकाव के कोणों को नामित करें।
4.2.8. इसके सिरों के निर्देशांक के अनुसार खंड AB के प्रक्षेपण का निर्माण करें: A (30,10,10), B (10,15,30)। एसी: सीबी = 1: 2 के संबंध में खंड को विभाजित करने वाले बिंदु सी के अनुमानों का निर्माण करें।
4.2.9. किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन के किनारों की संख्या और प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उनकी स्थिति निर्धारित करें और रिकॉर्ड करें।
4.2.10. बिंदु A से होकर एक क्षैतिज रेखा और एक ललाट रेखा खींचिए, जो m को प्रतिच्छेद करती है।
4.2.11. रेखा b और बिंदु A के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए
4.2.12. एक खंड AB 20 मिमी लंबा एक प्रक्षेपण का निर्माण करें जो बिंदु A से होकर गुजरता है और विमान के लंबवत है a) P 2; बी) पी 1; सी) पी 3.
स्टीरियोमेट्री
सीधी रेखाओं और समतलों की पारस्परिक व्यवस्था
अंतरिक्ष में
रेखाओं और विमानों की समानता
अंतरिक्ष में दो रेखाएं कहलाती हैं समानांतर यदि वे एक ही तल में पड़े हों और प्रतिच्छेद न करें।
रेखा और तल कहलाते हैं समानांतर अगर वे ओवरलैप नहीं करते हैं।
दो विमानों को कहा जाता है समानांतर अगर वे ओवरलैप नहीं करते हैं।
वे रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और एक ही तल में नहीं होती हैं, कहलाती हैं अंतर प्रजनन .
एक सीधी रेखा और एक समतल की समानता... यदि एक सीधी रेखा जो किसी समतल से संबंधित नहीं है, इस तल में किसी सीधी रेखा के समानांतर है, तो वह समतल के समानांतर होती है।
विमानों की समानता... यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल की दो सीधी रेखाओं के समानांतर हों, तो ये तल समानांतर होते हैं।
सीधी रेखाओं को पार करना... यदि दो में से एक रेखा समतल में स्थित है, और दूसरी इस तल को उस बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा से संबंधित नहीं है, तो ये रेखाएँ पार हो जाती हैं।
समानांतर सीधी रेखाओं और समानांतर विमानों पर प्रमेय।
1. तीसरी रेखा के समांतर दो रेखाएँ समांतर हैं।
2. यदि दो समानांतर रेखाओं में से कोई एक समतल को काटती है, तो दूसरी रेखा भी इस तल को काटती है।
3. दी गई सीधी रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, आप दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
4. यदि एक रेखा दो प्रतिच्छेद करने वाले तलों में से प्रत्येक के समांतर हो, तो यह उनके प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर होती है।
5. यदि दो समांतर तल एक तीसरे तल के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर होती हैं।
6. एक बिंदु के माध्यम से जो दिए गए विमान में नहीं है, आप दिए गए एक के समानांतर एक विमान बना सकते हैं, और केवल एक।
7. तीसरे के समानांतर दो तल एक दूसरे के समानांतर हैं।
8. समान्तर तलों के बीच परिबद्ध समान्तर सीधी रेखाओं के खंड बराबर होते हैं।
रेखाओं और समतलों के बीच के कोण
एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और एक समतल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण कहलाता है (चित्र 1 में कोण)।
क्रॉसिंग लाइनों के बीच का कोणदी गई प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के समांतर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के बीच का कोण कहलाता है।
डायहेड्रल कोणएक उभयनिष्ठ सीधी रेखा वाले दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई आकृति कहलाती है। अर्ध-तलों को कहा जाता है पहलुओं , सीधी रेखा - किनारा डायहेड्रल कोण।
रैखिक कोण डायहेड्रल कोण को डायहेड्रल कोण के चेहरों से संबंधित अर्ध-रेखाओं के बीच का कोण कहा जाता है, जो किनारे पर एक बिंदु से शुरू होता है और किनारे पर लंबवत होता है (चित्र 2 में कोण)।
डायहेड्रल कोण की डिग्री (रेडियन) माप इसके रैखिक कोण की डिग्री (रेडियन) माप के बराबर है।
रेखाओं और विमानों की लंबवतता
दो पंक्तियों को कहा जाता है सीधा यदि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समतल को प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखा कहलाती है सीधा यह तल, यदि यह इस सीधी रेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले तल में किसी सीधी रेखा के लंबवत है।
दो विमानों को कहा जाता है सीधा यदि प्रतिच्छेद करते हैं, तो वे समकोण बनाते हैं।
एक रेखा और एक तल के लंबवतता का चिन्ह... यदि एक समतल को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा इस तल में दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के लंबवत हो, तो वह तल पर लंबवत होती है।
दो तलों के लंबवतता का चिन्ह... यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत सीधी रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।
लंबवत रेखाओं और विमानों पर प्रमेय।
1. यदि तल दो समानांतर सीधी रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी पर लंबवत है।
2. यदि दो सीधी रेखाएं एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।
3. यदि एक सीधी रेखा दो समान्तर तलों में से एक पर लम्ब हो, तो वह दूसरे पर लम्ब होती है।
4. यदि दो तल एक ही सीधी रेखा के लंबवत हों, तो वे समानांतर होते हैं।
लंबवत और तिरछा
प्रमेय... यदि समतल के बाहर एक बिंदु से लंबवत और तिरछी रेखाएँ खींची जाती हैं, तो:
1) झुके हुए, समान प्रक्षेपण वाले, समान हैं;
2) दो झुकाव वाले लोगों में से, बड़ा प्रक्षेपण वाला बड़ा है;
3) समान तिरछा समान अनुमान है;
4) दो अनुमानों में से, बड़ा वह है जो बड़े तिरछे से मेल खाता है।
तीन लंबवत प्रमेय... समतल में पड़ी एक सीधी रेखा को झुके हुए के लंबवत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह सीधी रेखा झुके हुए प्रक्षेपण के लंबवत हो (चित्र 3)।
एक विमान पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय।समतल पर बहुभुज के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्रफल बहुभुज के तल और प्रक्षेपण के तल के बीच के कोण के कोज्या द्वारा बहुभुज के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
निर्माण।
1. विमान में एहम एक सीधी रेखा खींचते हैं ए.
3. विमान में बीबिंदु के माध्यम से एआइए एक सीधी रेखा खींचते हैं बीसीधी रेखा के समानांतर ए.
4. एक सीधी रेखा का निर्माण किया बीविमान के समानांतर ए.
सबूत।एक सीधी रेखा और एक तल की समांतरता के आधार पर, एक सीधी रेखा बीविमान के समानांतर एक्योंकि यह सीधी रेखा के समानांतर है एविमान से संबंधित ए.
अध्ययन।समस्या के अनंत समाधान हैं, क्योंकि सीधी रेखा एविमान में एमनमाने ढंग से चुना जाता है।
उदाहरण 2।निर्धारित करें कि बिंदु समतल से कितनी दूर है एअगर सीधे अबविमान को 45º के कोण पर पार करती है, बिंदु . से दूरी एमुद्दे पर वीसमतल से संबंधित सेमी के बराबर है?
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 5):
जैसा- विमान के लंबवत ए, अब- झुका हुआ, कोण एबीसी- सीधी रेखा के बीच का कोण अबऔर विमान ए... त्रिकोण एबीसी- से आयताकार जैसा- लंबवत। बिंदु से वांछित दूरी एविमान के लिए - यह पैर है जैसासही त्रिकोण। कोण और कर्ण सेमी जानने के बाद, हम पैर पाएंगे जैसा:
उत्तर: 3 सेमी।
उदाहरण 3.निर्धारित करें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के तल से त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से 13 सेमी की दूरी पर एक बिंदु कितनी दूरी पर है, यदि त्रिभुज का आधार और ऊंचाई प्रत्येक 8 सेमी है?
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 6)। बिंदु एसअंक से हटा दिया गया ए, वीतथा साथएक ही दूरी। मतलब तिरछा एसए, एसबीतथा अनुसूचित जातिबराबरी का, इसलिए- इन तिरछे का उभयनिष्ठ लंबवत। तिरछा और प्रक्षेपण प्रमेय द्वारा एओ = बीओ = सीओ।
बिंदु हे- एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र एबीसी... आइए इसकी त्रिज्या ज्ञात करें:
कहां रवि- आधार;
विज्ञापनइस समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
त्रिभुज की भुजा ज्ञात करना एबीसीएक समकोण त्रिभुज से अब्दपाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
अब हम पाते हैं ओवी:
एक त्रिभुज पर विचार करें एसओबी: एसबी= 13 सेमी, ओवी= = 5 सेमी. लंबवत की लंबाई पाएं इसलिएपाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
उत्तर: 12 सेमी.
उदाहरण 4.समानांतर विमान दिए गए हैं एतथा बी... बिंदु के माध्यम से एमजो उनमें से किसी से संबंधित नहीं है, प्रत्यक्ष एतथा बीवह क्रॉस एअंक में ए 1 और वी 1, और विमान बी- अंक में ए 2 और वी 2. पाना ए 1 वी 1 यदि यह ज्ञात हो कि एमए 1 = 8 सेमी, ए 1 ए 2 = 12 सेमी, ए 2 वी 2 = 25 सेमी।
समाधान।चूँकि शर्त यह नहीं बताती है कि बिंदु दोनों तलों के सापेक्ष किस प्रकार स्थित है एम, तो दो विकल्प संभव हैं: (चित्र 7, a) और (चित्र 7, b)। आइए उनमें से प्रत्येक पर विचार करें। दो प्रतिच्छेदी रेखाएं एतथा बीविमान सेट करें। यह तल दो समांतर तलों को काटता है एतथा बीसमानांतर रेखाओं पर ए 1 वी 1 और ए 2 वी 2 प्रमेय 5 के अनुसार समान्तर सीधी रेखाओं और समान्तर तलों पर।
त्रिभुज एमए 1 वी 1 और एमए 2 वी 2 समान हैं (कोण .) ए 2 एमवी 2 और ए 1 एमवी 1 - लंबवत, कोने एमए 1 वी 1 और एमए 2 वी 2 - समानांतर रेखाओं पर आंतरिक क्रॉस-क्रॉसिंग ए 1 वी 1 और ए 2 वी 2 और secant ए 1 ए 2))। त्रिभुजों की समानता से भुजाओं की आनुपातिकता इस प्रकार है:
विकल्प ए):
विकल्प बी):
उत्तर: 10 सेमी और 50 सेमी।
उदाहरण 5.बिंदु के माध्यम से एविमान जीएक प्रत्यक्ष अबसमतल के साथ एक कोण बनाना ए... एक सीधी रेखा के माध्यम से अबखींचा हुआ विमान आरविमान के साथ बनाना जीइंजेक्शन बी... एक सीधी रेखा के प्रक्षेपण के बीच का कोण ज्ञात कीजिए अबहवाई जहाज पर जीऔर विमान आर.
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 8)। बिंदु से वीविमान पर लंबवत गिराएं जी... समतलों के बीच द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण जीतथा आरकोण सीधा है विज्ञापन डीबीसी, सीधी रेखा और तल के लम्बवत्ता के आधार पर और तलों की लम्बवतता के आधार पर, आरत्रिभुज के तल के लंबवत डीबीसीक्योंकि यह एक सीधी रेखा से होकर जाती है विज्ञापन... हम बिंदु . से लंब को गिराकर वांछित कोण बनाते हैं साथहवाई जहाज पर आर, इसे निरूपित करें समकोण त्रिभुज के इस कोने की ज्या ज्ञात करें खुद... एक सहायक खंड का परिचय दें ए = बीसी... त्रिभुज से बाहर एबीसी: एक त्रिभुज से नौसेनापाना
फिर अभीष्ट कोण
उत्तर:
स्वयं सहायता कार्य
स्तर I
1.1. दी गई दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लम्बवत एक बिंदु से होकर एक सीधी रेखा खींचिए।
1.2. निर्धारित करें कि आप कितने अलग-अलग विमान खींच सकते हैं:
1) तीन अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से;
2) चार अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से, जिनमें से कोई भी एक ही तल पर नहीं है?
1.3. त्रिभुज के शीर्षों से होकर एबीसीदो समानांतर विमानों में से एक में स्थित, समानांतर सीधी रेखाएं खींची जाती हैं जो दूसरे विमान को बिंदुओं पर काटती हैं ए 1 , वी 1 , साथ 1. त्रिभुजों की समानता सिद्ध करें एबीसीतथा ए 1 वी 1 साथ 1 .
1.4. ऊपर से एआयत ऐ बी सी डीलंबवत बहाल पूर्वाह्नइसके विमान को।
1) सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज अति पिछड़े वर्गोंतथा एमडीसी- आयताकार;
2) खंडों के बीच इंगित करें एमबी, एम सी, मोहम्मदतथा एमएसबसे बड़ी और सबसे छोटी लंबाई का खंड।
1.5. एक विकर्ण कोण के फलक क्रमशः दूसरे के फलकों के समानांतर होते हैं। निर्धारित करें कि इन डायहेड्रल कोणों के मूल्यों के बीच क्या संबंध है।
1.6. विकर्ण कोण का मान ज्ञात कीजिए यदि एक फलक पर लिए गए बिंदु से किनारे तक की दूरी बिंदु से दूसरे फलक के तल तक की दूरी का 2 गुना है।
1.7. समतल से कुछ दूरी पर एक बिंदु से, दो समान झुकाव वाले खींचे जाते हैं, जो 60º का कोण बनाते हैं। तिरछा अनुमान परस्पर लंबवत हैं। ढलानों की लंबाई पाएं।
1.8. ऊपर से वीवर्ग ऐ बी सी डीलंबवत बहाल होनावर्ग के विमान के लिए। त्रिभुज के तल के झुकाव का कोण ऐसवर्ग के तल के लिए है जे, वर्ग की भुजा है ए ऐस.
द्वितीय स्तर
2.1. उस बिंदु से होकर जो दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से किसी से संबंधित नहीं है, दोनों दी गई रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा खींचिए।
2.2. समानांतर रेखाएं ए, बीतथा साथएक ही विमान में झूठ मत बोलो। बिंदु के माध्यम से एएक सीधी रेखा पर एसीधी रेखाओं के लंबवत खींचे गए बीतथा साथउन्हें, क्रमशः, बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना वीतथा साथ... सिद्ध कीजिए कि सीधी रेखा रविसीधी रेखाओं के लंबवत बीतथा साथ.
2.3. ऊपर की ओर एसही त्रिकोण एबीसीखींचा गया समतल समानांतर रवि... त्रिभुज पैर जैसा= 20 सेमी, रवि= 15 सेमी। तल पर एक पैर का प्रक्षेपण 12 सेमी है। कर्ण का प्रक्षेपण खोजें।
2.4. 30º के बराबर डायहेड्रल कोण के चेहरों में से एक में एक बिंदु है एम... इससे कोने के किनारे तक की दूरी 18 सेमी है। बिंदु के प्रक्षेपण से दूरी ज्ञात कीजिए एमदूसरे चेहरे पर पहले चेहरे पर।
2.5. खंड समाप्त होता है अब 90º के बराबर एक डायहेड्रल कोण के फलकों से संबंधित हैं। बिंदुओं से दूरी एतथा वीकिनारे तक क्रमशः बराबर हैं आ 1 = 3 सेमी, बी बी 1 = 6 सेमी, किनारे पर बिंदुओं के बीच की दूरी रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए अब.
2.6. विमान से कुछ दूरी पर एक बिंदु से ए, दो तिरछी रेखाएँ खींची जाती हैं, जो तल से 45º और 30º के कोण बनाते हैं, और उनके बीच का कोण 90º है। ढलान वाले ठिकानों के बीच की दूरी का पता लगाएं।
2.7. त्रिभुज की भुजाएँ 15 सेमी, 21 सेमी और 24 सेमी हैं एमत्रिभुज के तल से 73 सेमी हटा दिया गया है और इसके शीर्षों से समान दूरी पर है। इस दूरी का पता लगाएं।
2.8. केंद्र से हेएक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त एबीसी, लंब को त्रिभुज के तल पर पुनर्स्थापित किया जाता है ओएम... बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एमत्रिभुज की भुजाओं तक यदि एबी = बीसी = 10 सेमी, जैसा= 12 सेमी, ओएम= 4 सेमी.
2.9. बिंदु से दूरी एमसमकोण की भुजाएँ और शीर्ष क्रमशः 4 सेमी, 7 सेमी और 8 सेमी हैं। बिंदु से दूरी ज्ञात करें एमसमकोण के तल पर।
2.10. आधार के माध्यम से अबसमद्विबाहु त्रिकोण एबीसीविमान एक कोण पर खींचा गया है बीत्रिभुज के तल तक। शिखर साथविमान से कुछ ही दूरी पर हटाया गया ए... त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एबीसीअगर आधार अबएक समद्विबाहु त्रिभुज इसकी ऊंचाई के बराबर होता है।
तृतीय स्तर
3.1. आयत लेआउट ऐ बी सी डीपार्टियों के साथ एतथा बीतिरछे मुड़े हुए बीडीताकि त्रिभुजों के तल खराबतथा बीसीडीपरस्पर लंबवत हो जाना। खंड की लंबाई पाएं जैसा.
3.2. 60º के कोणों वाले दो आयताकार समलम्ब चतुर्भुज लंबवत तलों में स्थित होते हैं और इनका आधार बड़ा होता है। बड़ी भुजाएँ 4 सेमी और 8 सेमी हैं। सीधी रेखाओं के शीर्षों और समलम्ब चतुर्भुजों के अधिक कोणों के शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए, यदि उनके तीव्र कोनों के शीर्ष संपाती हों।
3.3. एक दिया हुआ घन एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1. सीधी रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए सीडी 1 और विमान बीडीसी 1 .
3.4. किनारे पर अबक्यूबा एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 अंक लिया आरइस पसली के बीच में है। बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के साथ एक घन के एक खंड की रचना करें सी 1 पी.डी.और इस खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि घन का किनारा है ए.
3.5. अगल-बगल विज्ञापनआयत ऐ बी सी डीखींचा हुआ विमान एताकि विकर्ण बीडीइस तल से 30º का कोण बनाता है। आयत के तल और तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए ए, अगर अब = ए, एडी = बी... किस अनुपात में निर्धारित करें एतथा बीसमस्या का समाधान है।
3.6. त्रिभुज की भुजाओं द्वारा परिभाषित सीधी रेखाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।
प्रिज्म। समानांतर खात
चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसके दो फलक बराबर होते हैं n-gons (मैदान) समानांतर विमानों में झूठ बोलना, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (पक्ष चेहरे) . साइड रिब एक प्रिज्म पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है।
एक प्रिज्म जिसकी भुजाएँ आधारों के तलों के लंबवत होती हैं, कहलाती हैं सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत न हों, तो प्रिज्म कहलाता है परोक्ष . सही प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म है, जिसके आधार नियमित बहुभुज होते हैं।
ऊंचाईप्रिज्म को आधारों के तलों के बीच की दूरी कहते हैं। विकर्ण प्रिज्म एक खंड कहलाता है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं। विकर्ण खंड प्रिज्म के खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला समतल कहा जाता है जो एक फलक से संबंधित नहीं होते हैं। लंबवत खंड प्रिज्म के खंड को प्रिज्म के पार्श्व किनारे पर लंबवत तल कहा जाता है।
पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म को सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहते हैं। पूर्ण सतह क्षेत्र प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है (अर्थात भुजाओं के फलकों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।
एक मनमाना प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:
कहां मैं- साइड रिब की लंबाई;
एच- ऊंचाई;
पी
क्यू
एस साइड
एस पूर्ण
एस मुख्य- ठिकानों का क्षेत्र;
वीप्रिज्म का आयतन है।
एक सीधे प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:
कहां पी- आधार परिधि;
मैं- साइड रिब की लंबाई;
एच- ऊंचाई।
समानांतर खातप्रिज्म कहलाता है, जिसका आधार समांतर चतुर्भुज होता है। आधारों के लंबवत किनारों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज को कहा जाता है सीधे (रेखा चित्र नम्बर 2)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है परोक्ष ... एक सीधा समानांतर चतुर्भुज, जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे समान हों, कहलाते हैं घन।
एक समान्तर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, कहलाते हैं विरोध करने ... एक शीर्ष से बाहर जाने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समानांतर चतुर्भुज। चूँकि एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है, इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे उन्हें प्रिज्म के लिए परिभाषित किया जाता है।
प्रमेय।
1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इससे आधे हो जाते हैं।
2. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, विकर्ण लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है:
3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:
कहां मैं- साइड रिब की लंबाई;
एच- ऊंचाई;
पी- लंबवत खंड की परिधि;
क्यू- लंबवत खंड का क्षेत्र;
एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र;
एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल;
एस मुख्य- ठिकानों का क्षेत्र;
वीप्रिज्म का आयतन है।
एक सीधे समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:
कहां पी- आधार परिधि;
मैं- साइड रिब की लंबाई;
एच- सीधे समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई।
एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:
कहां पी- आधार परिधि;
एच- ऊंचाई;
डी- विकर्ण;
ए, बी, सी- समानांतर चतुर्भुज की माप।
घन के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:
कहां ए- पसलियों की लंबाई;
डीघन का विकर्ण है।
उदाहरण 1।एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण 33 डीएम है, और इसके आयाम 2: 6: 9 के रूप में संबंधित हैं। समानांतर चतुर्भुज के आयाम खोजें।
समाधान।समानांतर चतुर्भुज के आयामों को खोजने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात। इस तथ्य से कि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के कर्ण का वर्ग उसके माप के वर्गों के योग के बराबर है। आइए हम द्वारा निरूपित करें कआनुपातिकता गुणांक। तब समांतर चतुर्भुज के आयाम होंगे 2 क, 6कऔर 9 क... आइए समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखें:
के लिए इस समीकरण को हल करना क, हम पाते हैं:
इसका मतलब है कि समानांतर चतुर्भुज के आयाम 6 डीएम, 18 डीएम और 27 डीएम हैं।
उत्तर: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।
उदाहरण 2।एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका आधार 8 सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि पार्श्व किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।
समाधान . आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 3)।
एक झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, इसके आधार क्षेत्र और ऊँचाई को जानना आवश्यक है। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है। आइए इसकी गणना करें:
प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है। ऊपर से एऊपरी आधार के 1, हम निचले आधार के तल के लंबवत को कम करते हैं ए 1 डी... इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी। डी पर विचार करें ए 1 विज्ञापन: चूंकि यह पार्श्व पसली के झुकाव का कोण है ए 1 एआधार के तल पर, ए 1 ए= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं ए 1 डी:
अब हम सूत्र (1) द्वारा आयतन की गणना करते हैं:
उत्तर: 192 सेमी 3.
उदाहरण 3.एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व किनारा 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 4)
सबसे बड़ा विकर्ण खंड - आयत आ 1 डीडी 1, विकर्ण के बाद से विज्ञापननियमित षट्भुज एबीसीडीईएफसबसे बड़ा है। प्रिज्म की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आधार के किनारे और पार्श्व पसली की लंबाई को जानना आवश्यक है।
विकर्ण खंड (आयत) के क्षेत्र को जानने के बाद, हम आधार के विकर्ण का पता लगाते हैं।
तब से
तब से अब= 6 सेमी.
तब आधार का परिमाप है:
आइए हम प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
उत्तर:
उदाहरण 4.आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों का क्षेत्रफल 300 सेमी 2 और 875 सेमी 2 है। एक समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 5)।
आइए हम समचतुर्भुज की भुजा को द्वारा निरूपित करें ए, समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई एच... एक सीधी समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आधार की परिधि को ऊँचाई से गुणा करें: (सूत्र (2))। आधार परिधि पी = एबी + बीसी + सीडी + डीए = 4AB = 4a, चूंकि ऐ बी सी डी- समचतुर्भुज। एच = एए 1 = एच... उस। ढूंढना होगा एतथा एच.
विकर्ण वर्गों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - आयत, जिसकी एक भुजा समचतुर्भुज का विकर्ण है जैसा = डी 1, दूसरा पार्श्व पसली है आ 1 = एच, फिर
इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:
एक समांतर चतुर्भुज की संपत्ति का उपयोग इस तरह से कि विकर्णों के वर्गों का योग उसके सभी पक्षों के वर्गों के योग के बराबर है, हम समानता प्राप्त करते हैं हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:
आइए हम पहले दो समानताओं में से तीसरे को व्यक्त करें और प्रतिस्थापित करें। हमें मिलता है: तब
1.3. एक झुके हुए त्रिभुजाकार प्रिज्म में, 12 सेमी के बराबर पार्श्व किनारे पर एक अनुप्रस्थ काट खींचा जाता है। परिणामी त्रिभुज में, सेमी और 8 सेमी की लंबाई वाली दो भुजाएँ 45 ° का कोण बनाती हैं। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1.4. एक सीधी समानांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है जिसकी भुजा 4 सेमी और एक न्यून कोण 60 ° है। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात कीजिए यदि भुजा का किनारा 10 सेमी लंबा है।
1.5. एक सीधे समानांतर चतुर्भुज का आधार एक वर्ग है जिसका विकर्ण सेमी के बराबर है। समानांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा 5 सेमी है। समानांतर चतुर्भुज का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1.6. झुके हुए समानांतर चतुर्भुज का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। सेमी के बराबर पार्श्व किनारा 60 ° के कोण पर आधार तल की ओर झुका हुआ है। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
1.7. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सतह क्षेत्र की गणना करें यदि दो किनारों और एक शीर्ष से निकलने वाले विकर्ण क्रमशः 11 सेमी, 13 सेमी और 13 सेमी हैं।
1.8. 0.3 मीटर, 0.3 मीटर और 2.5 मीटर के आयामों के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आकार में एक पत्थर के स्तंभ का वजन निर्धारित करें, यदि सामग्री का विशिष्ट गुरुत्व 2.2 ग्राम / सेमी 3 है।
1.9. एक घन के विकर्ण खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसके फलक का विकर्ण dm है।
1.10. एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि उसके दो शीर्षों के बीच की दूरी जो एक ही फलक पर नहीं हैं, सेमी है।
द्वितीय स्तर
2.1. झुके हुए प्रिज्म का आधार सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। पार्श्व पसली 30 ° के कोण पर आधार तल की ओर झुकी हुई है। पार्श्व किनारे से गुजरने वाले प्रिज्म का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र और प्रिज्म की ऊंचाई का पता लगाएं यदि यह ज्ञात हो कि ऊपरी आधार के एक कोने को निचले आधार के किनारे के मध्य में प्रक्षेपित किया जाता है।
2.2. झुके हुए प्रिज्म का आधार एक समबाहु त्रिभुज ABC है जिसकी भुजा 3 सेमी है। शीर्ष A 1 त्रिभुज ABC के केंद्र में प्रक्षेपित है। रिब AA 1 बेस प्लेन से 45° का कोण बनाता है। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2.3. एक तिरछे त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन की गणना करें यदि आधार की भुजाएँ 7 सेमी, 5 सेमी और 8 सेमी हैं, और प्रिज्म की ऊँचाई त्रिभुज आधार की निचली ऊँचाई के बराबर है।
2.4. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का विकर्ण 30° के कोण पर पार्श्व फलक की ओर झुका होता है। आधार के तल पर झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।
2.5. सीधे प्रिज्म का आधार एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, जिसका आधार 4 सेमी और 14 सेमी है, और विकर्ण 15 सेमी है। प्रिज्म के दो पार्श्व फलक वर्ग हैं। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2.6. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म के विकर्ण 19 सेमी और 21 सेमी हैं। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
2.7. 8 इंच के विकर्ण के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयामों का पता लगाएं और पार्श्व चेहरों के साथ 30 ° और 40 ° के कोण बनाते हैं।
2.8. आयताकार समांतर चतुर्भुज के आधार के विकर्ण 34 सेमी और 38 सेमी हैं, और पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल 800 सेमी 2 और 1200 सेमी 2 है। समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए।
2.9. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए जिसमें एक शीर्ष से फैली भुजाओं के विकर्ण 4 सेमी और 5 सेमी हैं और 60 ° का कोण बनाते हैं।
2.10. एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि उसके विकर्ण से किनारे तक की दूरी जो इसे नहीं काटती है मिमी है।
तृतीय स्तर
3.1. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म में, आधार के किनारे और विपरीत किनारे के बीच के माध्यम से एक खंड खींचा जाता है। आधार का क्षेत्रफल 18 सेमी 2 है, और पार्श्व चेहरे का विकर्ण 60 ° के कोण पर आधार की ओर झुका हुआ है। क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र का पता लगाएं।
3.2. प्रिज्म के आधार पर वर्ग ABCD स्थित है, जिसके सभी शीर्ष ऊपरी आधार के शीर्ष A 1 से समान दूरी पर हैं। पार्श्व पसली और आधार के तल के बीच का कोण 60 ° है। आधार की भुजा 12 सेमी है। एक समतल द्वारा प्रिज्म के एक खंड की रचना करें, जो शीर्ष C से होकर AA 1 के किनारे पर लंबवत है और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
3.3. सीधे प्रिज्म का आधार एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। विकर्ण खंड का क्षेत्रफल और समानांतर भुजाओं का क्षेत्रफल क्रमशः 320 सेमी 2, 176 सेमी 2 और 336 सेमी 2 है। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
3.4. एक सीधे त्रिभुजाकार प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 9 सेमी 2 है, पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल 18 सेमी 2, 20 सेमी 2 और 34 सेमी 2 है। प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए।
3.5. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसके किनारों के विकर्ण 11 सेमी, 19 सेमी और 20 सेमी हैं।
3.6. आधार के किनारे के साथ आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आधार के विकर्ण द्वारा बनाए गए कोण और समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण क्रमशः ए और बी के बराबर हैं। एक समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका विकर्ण d है।
3.7. घन के उस खंड का क्षेत्रफल, जो एक नियमित षट्भुज है, सेमी 2 के बराबर है। एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दूरस्थ तत्व।
एक दूरस्थ तत्व।
- ए) कोई सामान्य बिंदु नहीं है;
प्रमेय।
अनुभाग पदनाम
GOST 2.305-2008 अनुभाग के पदनाम के लिए निम्नलिखित आवश्यकताओं को प्रदान करता है:
1. कटिंग प्लेन की स्थिति को एक सेक्शन लाइन द्वारा ड्राइंग में दर्शाया गया है।
2. सेक्शन लाइन के लिए एक खुली लाइन का उपयोग किया जाना चाहिए (एस से 1.5 एस तक की मोटाई, लाइन की लंबाई 8-20 मिमी)।
3. एक जटिल खंड के मामले में, एक दूसरे के साथ छेदक विमानों के चौराहे पर भी स्ट्रोक खींचे जाते हैं।
4. तीर को प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर रखा जाना चाहिए, जो देखने की दिशा को दर्शाता है, तीर को स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2-3 मिमी की दूरी पर खींचा जाना चाहिए।
5. तीरों के आयाम चित्र 14 में दर्शाए गए आयामों के अनुरूप होने चाहिए।
6. आरंभिक और अंतिम स्ट्रोक संबंधित छवि की रूपरेखा को प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।
7. सेक्शन लाइन की शुरुआत और अंत में, और, यदि आवश्यक हो, तो सेकेंड प्लेन के चौराहे पर, रूसी वर्णमाला का एक ही कैपिटल लेटर डालें। अक्षरों को तीरों के पास लगाया जाता है जो दृष्टि की दिशा का संकेत देते हैं और बाहरी कोने की तरफ से चौराहों पर (चित्र 24)।
चित्र 24 - अनुभाग पदनाम के उदाहरण
8. चीरा को "А-А" प्रकार के शिलालेख के साथ चिह्नित किया जाना चाहिए (हमेशा दो अक्षरों को डैश से अलग करके)।
9. जब छेदक विमान समग्र रूप से वस्तु के समरूपता के विमान के साथ मेल खाता है, और संबंधित छवियां प्रत्यक्ष प्रक्षेपण कनेक्शन में एक ही शीट पर स्थित होती हैं और किसी अन्य छवियों से अलग नहीं होती हैं, तो छेदक विमान की स्थिति नहीं होती है क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल कटौती के लिए चिह्नित, और चीरा एक शिलालेख के साथ नहीं है।
10. ललाट और प्रोफ़ाइल कटौती, एक नियम के रूप में, ड्राइंग की मुख्य छवि में दिए गए ऑब्जेक्ट के लिए अपनाई गई स्थिति के अनुरूप स्थिति दी जाती है।
11. संबंधित मुख्य दृश्यों के स्थान पर क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल कट लगाए जा सकते हैं।
12. इसे ड्राइंग क्षेत्र में किसी भी स्थान पर एक अनुभाग रखने की अनुमति है, साथ ही एक पारंपरिक ग्राफिक पदनाम के साथ एक रोटेशन के साथ - घुमाया गया आइकन (चित्र 25)।
चित्र 25 - पारंपरिक ग्राफिक पदनाम - "घुमाया गया" आइकन
क्रॉस-सेक्शन पदनाम . के समान हैअनुभागों का पदनाम और काटने वाले विमान के निशान और देखने की दिशा का संकेत देने वाला एक तीर, साथ ही तीर के बाहर चिपका हुआ एक पत्र (चित्र 1c, चित्र 3)। विस्तारित खंड को लेबल नहीं किया गया है और अनुभाग विमान नहीं दिखाया गया है यदि अनुभाग रेखा अनुभाग समरूपता अक्ष के साथ मेल खाती है, और अनुभाग स्वयं अनुभाग विमान ट्रेस की निरंतरता पर या दृश्य के भागों के बीच की खाई में स्थित है। एक सममित सुपरिंपोज्ड सेक्शन के लिए, कट प्लेन भी नहीं दिखाया गया है। यदि अनुभाग असममित है और अंतराल में स्थित है या आरोपित है (चित्र 2 बी), अनुभाग रेखा तीरों से खींची जाती है, लेकिन वे अक्षरों द्वारा इंगित नहीं की जाती हैं।
अनुभाग को "टर्न" शब्द के साथ अनुभाग के ऊपर शिलालेख की आपूर्ति करते हुए, एक मोड़ के साथ स्थित होने की अनुमति है। एक वस्तु से संबंधित कई समान वर्गों के लिए, अनुभाग रेखाएँ एक ही अक्षर द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं और एक खंड खींचा जाता है। उन मामलों में जहां अनुभाग अलग-अलग हिस्सों से मिलकर प्राप्त किया जाता है, कटौती का उपयोग किया जाना चाहिए।
सामान्य रेखा
सामान्य स्थिति में एक सीधी रेखा (चित्र 2.2) एक सीधी रेखा कहलाती है जो किसी दिए गए प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं होती है। ऐसी सीधी रेखा के किसी भी खंड को प्रक्षेपण विमानों की दी गई प्रणाली में विकृत रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। इस सीधी रेखा के प्रक्षेपण विमानों के झुकाव के कोण भी विकृत हैं।
चावल। 2.2.
प्रत्यक्ष निजी खंड
किसी विशेष स्थिति की सीधी रेखाओं में एक या दो प्रक्षेपण विमानों के समानांतर सीधी रेखाएँ शामिल होती हैं।
प्रक्षेपण तल के समानांतर कोई भी रेखा (सीधी या वक्र) समतल रेखा कहलाती है। इंजीनियरिंग ग्राफिक्स में, तीन मुख्य स्तर की रेखाएँ होती हैं: क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल रेखाएँ।
चावल। 2.3-ए
एक क्षैतिज रेखा प्रक्षेपणों के क्षैतिज तल के समानांतर कोई भी रेखा होती है (चित्र 2, 3-ए)। क्षैतिज के सामने का प्रक्षेपण हमेशा संचार लाइनों के लंबवत होता है। क्षैतिज प्रक्षेपण तल पर किसी भी क्षैतिज खंड को सही मान में प्रक्षेपित किया जाता है। सही मान इस तल पर और अनुमानों के ललाट तल पर क्षैतिज (सीधी रेखा) के झुकाव के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। एक उदाहरण के रूप में, चित्र 2, 3-ए एक दृश्य छवि और क्षैतिज का एक जटिल चित्र दिखाता है एचविमान के लिए इच्छुक एन एस 2 कोण पर बी . 
चावल। 2.3-बी
ललाट को प्रक्षेपणों के ललाट तल के समानांतर एक रेखा कहा जाता है (चित्र 2.3-बी)। मोर्चे का क्षैतिज प्रक्षेपण हमेशा संचार लाइनों के लंबवत होता है। अनुमानों के ललाट तल पर ललाट रेखा के किसी भी खंड को वास्तविक मान में प्रक्षेपित किया जाता है। सही परिमाण में, यह इस विमान पर और सामने (सीधी रेखा) के झुकाव के कोण को अनुमानों के क्षैतिज तल (कोण) पर प्रक्षेपित किया जाता है ए). 
चावल। 2.3-इंच
प्रोफाइल लाइन प्रोजेक्शन के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर एक लाइन है (चित्र 2, 3-सी)। प्रोफाइल लाइन के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण इन अनुमानों की संचार लाइनों के समानांतर हैं। प्रोफाइल लाइन (सीधी रेखा) के किसी भी खंड को सही आकार में प्रोफाइल प्लेन पर प्रक्षेपित किया जाता है। उसी तल पर, प्रोजेक्शन विमानों के लिए प्रोफ़ाइल रेखा के झुकाव के कोणों को सही मान में प्रक्षेपित किया जाता है एन एस 1 और एन एस 2. एक जटिल रेखाचित्र में प्रोफ़ाइल रेखा को परिभाषित करते समय, इस रेखा के दो बिंदुओं को इंगित करना आवश्यक है।
दो प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर लेवल लाइन्स तीसरे प्रोजेक्शन प्लेन के लंबवत होंगी। ऐसी सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित करना कहते हैं। तीन मुख्य प्रोजेक्टिंग लाइनें हैं: क्षैतिज रूप से, सामने की ओर और प्रोफ़ाइल प्रोजेक्टिंग लाइनें। 
चावल। 2.3-जी 
चावल। 2.3-डी 
चावल। 2.3वां
क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित सीधी रेखा (चित्र 2, 3-डी) को तल पर लंबवत सीधी रेखा कहा जाता है एन एस 1. इस सीधी रेखा का कोई भी खंड समतल पर प्रक्षेपित होता है एन एस एन एस 1 - बिंदु तक।
सामने की ओर प्रक्षेपित सीधी रेखा (चित्र 2 Z-e) तल पर लंबवत सीधी रेखा कहलाती है एन एस 2. इस सीधी रेखा का कोई भी खंड समतल पर प्रक्षेपित होता है एन एस 1 विरूपण के बिना, लेकिन एक विमान पर एन एस 2 - बिंदु तक।
सीधी रेखा (चित्र 2, 3-ई) को प्रक्षेपित करने वाली एक प्रोफ़ाइल को समतल के लंबवत सीधी रेखा कहा जाता है एन एस 3, यानी प्रक्षेपण विमानों के समानांतर सीधी रेखा एन एस 1 और एन एस 2. इस सीधी रेखा का कोई भी खंड समतल पर प्रक्षेपित होता है एन एस 1 और एन एस 2 विरूपण के बिना, लेकिन एक विमान पर एन एस 3 - बिंदु तक।
एक विमान में प्रमुख रेखाएं
समतल से संबंधित सीधी रेखाओं के बीच, एक विशेष स्थान पर सीधी रेखाएँ होती हैं जो अंतरिक्ष में एक विशेष स्थान पर होती हैं:
1. क्षैतिज एच - किसी दिए गए विमान में सीधी रेखाएं और क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के समानांतर (एच // पी 1) (चित्र 6.4)।
चित्र 6.4 क्षैतिज
2. ललाट f - समतल में स्थित सीधी रेखाएँ और अनुमानों के ललाट तल के समानांतर (f // P2) (चित्र 6.5)।
चित्र 6.5 सामने
3. प्रोफाइल सीधी रेखाएं पी - सीधी रेखाएं जो इस विमान में हैं और प्रक्षेपणों के प्रोफाइल विमान के समानांतर हैं (पी//पी3) (चित्र 6.6)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विमान के निशान को मुख्य लाइनों के लिए भी जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। क्षैतिज ट्रेस विमान का क्षैतिज है, ललाट ललाट है और प्रोफ़ाइल विमान की प्रोफ़ाइल रेखा है।
चित्र 6.6 प्रोफाइल लाइन
4. सबसे बड़ी ढलान की रेखा और इसका क्षैतिज प्रक्षेपण एक रैखिक कोण j बनाता है, जो इस तल और क्षैतिज प्रक्षेपण तल से बने डायहेड्रल कोण को मापता है (चित्र 6.7)। जाहिर है, अगर एक सीधी रेखा में एक विमान के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ नहीं होते हैं, तो यह या तो समतल के समानांतर होता है या इसे काटता है।
चित्र 6.7 सबसे बड़ी ढलान की रेखा
सतहों को बनाने का गतिज तरीका। ड्राइंग में सतह सेट करता है।
इंजीनियरिंग ग्राफिक्स में, एक सतह को एक निश्चित कानून के अनुसार अंतरिक्ष में चलने वाली रेखा की लगातार स्थिति के सेट के रूप में माना जाता है। सतह के निर्माण की प्रक्रिया में, रेखा 1 अपरिवर्तित रह सकती है या अपना आकार बदल सकती है।
एक जटिल ड्राइंग में सतह की छवि की स्पष्टता के लिए, विस्थापन के नियम को रेखाओं के परिवार (ए, बी, सी) के रूप में ग्राफिक रूप से सेट करने की सलाह दी जाती है। लाइन 1 के विस्थापन के नियम को दो (ए और बी) या एक (ए) लाइनों और अतिरिक्त शर्तों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो विस्थापन के कानून को स्पष्ट करते हैं।
मूविंग लाइन 1 को जेनेट्रिक्स कहा जाता है, फिक्स्ड लाइन ए, बी, सी - गाइड।
आइए चित्र 3.1 में दिखाए गए उदाहरण का उपयोग करके सतह निर्माण की प्रक्रिया पर विचार करें।
यहां, सीधी रेखा 1 को जनरेटर के रूप में लिया जाता है। जनरेटर के विस्थापन का नियम दिशा a और सीधी रेखा b द्वारा दिया जाता है। इस मामले में, इसका मतलब है कि जनरेटर 1 गाइड ए के साथ स्लाइड करता है, हर समय सीधी रेखा बी के समानांतर रहता है।
सतह निर्माण की इस विधि को काइनेमेटिक कहा जाता है। इसकी मदद से आप ड्राइंग में विभिन्न सतहों को बना और परिभाषित कर सकते हैं। विशेष रूप से, चित्र 3.1 एक बेलनाकार सतह का सबसे सामान्य मामला दिखाता है।
चावल। 3.1.
एक सतह बनाने और इसे एक चित्र में प्रदर्शित करने का एक और तरीका है कि सतह को बिंदुओं या रेखाओं के एक सेट द्वारा परिभाषित किया जाए। इस मामले में, बिंदुओं और रेखाओं को चुना जाता है ताकि वे सतह के आकार को पर्याप्त सटीकता के साथ निर्धारित करना और उस पर विभिन्न समस्याओं को हल करना संभव बना सकें।
किसी सतह को परिभाषित करने वाले बिंदुओं या रेखाओं के समूह को वायरफ्रेम कहा जाता है।
सतह के फ्रेम को कैसे परिभाषित किया जाता है, इसके आधार पर, बिंदु या रेखाएं, वायरफ्रेम को बिंदु और रैखिक में विभाजित किया जाता है।
चित्र 3.2 एक पृष्ठीय फ्रेम को दर्शाता है जिसमें रेखाओं a1, a2, a3, ..., a और b1, b2, b3, ..., bn के दो लंबवत स्थित परिवारों से मिलकर बना है।
चावल। 3.2.
शंक्वाकार खंड।
पतला अनुभाग,समतल वक्र, जो एक समतल के साथ एक सीधे वृत्तीय शंकु के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं जो इसके शीर्ष से नहीं गुजरता है (चित्र 1)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दृष्टिकोण से, एक शंक्वाकार खंड एक दूसरे क्रम के समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का एक स्थान है। पिछले खंड में चर्चा किए गए पतित मामलों को छोड़कर, शंकु वर्ग दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, या परवलय हैं।
शंक्वाकार खंड अक्सर प्रकृति और प्रौद्योगिकी में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, सूर्य की परिक्रमा करने वाले ग्रहों की कक्षाएँ अण्डाकार होती हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है जिसमें प्रमुख अक्ष लघु अक्ष के बराबर होता है। एक परवलयिक दर्पण में यह गुण होता है कि अपनी धुरी के समानांतर सभी आपतित किरणें एक बिंदु (फोकस) पर अभिसरित होती हैं। इसका उपयोग अधिकांश परावर्तक दूरबीनों में परवलयिक दर्पणों के साथ-साथ रडार एंटेना और परवलयिक परावर्तक के साथ विशेष माइक्रोफोन में किया जाता है। एक परवलयिक परावर्तक के फोकस पर रखे प्रकाश स्रोत से समानांतर किरणों का एक पुंज निकलता है। इसलिए, उच्च शक्ति वाले फ्लडलाइट्स और कार हेडलाइट्स में परवलयिक दर्पण का उपयोग किया जाता है। हाइपरबोला कई महत्वपूर्ण शारीरिक संबंधों का एक ग्राफ है, उदाहरण के लिए, बॉयल का नियम (एक आदर्श गैस के दबाव और आयतन को जोड़ना) और ओम का नियम, जो निरंतर वोल्टेज पर प्रतिरोध के कार्य के रूप में विद्युत प्रवाह को निर्दिष्ट करता है।
आरंभिक इतिहास
शंक्वाकार वर्गों का खोजकर्ता माना जाता है कि मेनेचम (चौथी शताब्दी ईसा पूर्व), प्लेटो का छात्र और सिकंदर महान का शिक्षक था। मेनेचम ने एक घन को दोगुना करने की समस्या को हल करने के लिए एक परवलय और एक समद्विबाहु अतिपरवलय का उपयोग किया।
चौथी शताब्दी के अंत में अरिस्टियस और यूक्लिड द्वारा लिखित शंक्वाकार खंडों पर ग्रंथ। ईसा पूर्व, खो गए थे, लेकिन उनसे सामग्री पेर्गा के अपोलोनियस (सी। 260-170 ईसा पूर्व) के प्रसिद्ध शंक्वाकार वर्गों में प्रवेश कर गई थी, जो हमारे समय तक जीवित रहे हैं। अपोलोनियस ने शंकु के जेनेट्रिक्स के छेदक तल की लंबवतता की आवश्यकता को त्याग दिया और, इसके झुकाव के कोण को बदलकर, एक गोलाकार शंकु से सभी शंक्वाकार खंड प्राप्त किए, सीधे या झुके हुए। हम अपोलोनियस को वक्रों के आधुनिक नाम भी देते हैं - दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय।
अपने निर्माणों में, अपोलोनियस ने दो-गुहा वाले गोलाकार शंकु का उपयोग किया (जैसा कि चित्र 1 में है), इसलिए पहली बार यह स्पष्ट हो गया कि हाइपरबोला दो शाखाओं वाला एक वक्र है। अपोलोनियस के समय से, शंकु वर्गों को तीन प्रकारों में विभाजित किया गया है, जो शंकु के जेनरेट्रिक्स के लिए छेदक विमान के झुकाव पर निर्भर करता है। एक दीर्घवृत्त (चित्र 1, क) तब बनता है जब काटने वाला विमान शंकु के सभी जनकों को उसके एक गुहा के बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है; परवलय (चित्र 1, बी) - जब काटने वाला विमान शंकु के स्पर्शरेखा विमानों में से एक के समानांतर होता है; हाइपरबोला (चित्र 1, ग) - जब काटने वाला विमान शंकु के दोनों गुहाओं को काटता है।
पतला अनुभागों का निर्माण
शंकु वर्गों को विमानों और शंकुओं के चौराहे के रूप में अध्ययन करते हुए, प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने उन्हें एक विमान पर बिंदुओं के प्रक्षेपवक्र के रूप में माना। यह पाया गया कि एक दीर्घवृत्त को बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, दूरी का योग जिसमें से दो दिए गए बिंदु स्थिर होते हैं; परवलय - किसी दिए गए बिंदु और दी गई सीधी रेखा से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के रूप में; अतिपरवलय - बिन्दुओं के बिन्दुपथ के रूप में, जहाँ से दो बिन्दुओं तक की दूरी का अंतर स्थिर रहता है।
समतल वक्रों के रूप में शंकु वर्गों की ये परिभाषाएँ एक फैले हुए धागे का उपयोग करके उन्हें बनाने का एक तरीका सुझाती हैं।
अंडाकार।
यदि किसी दी गई लंबाई के धागे के सिरों को F1 और F2 (चित्र 2) पर तय किया जाता है, तो पेंसिल की नोक द्वारा कसकर खींचे गए धागे के साथ फिसलने वाले वक्र में एक दीर्घवृत्त का आकार होता है। बिंदु F1 और F2 को दीर्घवृत्त का केंद्र बिंदु कहा जाता है, और खंड V1V2 और v1v2 समन्वय अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के चौराहे के बिंदुओं के बीच - प्रमुख और लघु अक्ष। यदि बिंदु F1 और F2 मेल खाते हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।
चावल। 2 इलिप्सिस
अतिपरवलय।
हाइपरबोला का निर्माण करते समय, पेंसिल की नोक, बिंदु P, एक धागे पर तय किया जाता है जो बिंदु F1 और F2 पर स्थापित पिनों के साथ स्वतंत्र रूप से स्लाइड करता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 3, ए. दूरियों को चुना जाता है ताकि पीएफ2 खंड पीएफ1 खंड से एफ1एफ2 दूरी से एक निश्चित राशि कम हो। इस स्थिति में, धागे का एक सिरा खूंटी F1 के नीचे से गुजरता है और धागे के दोनों सिरे खूंटी F2 के ऊपर से गुजरते हैं। (पेंसिल की नोक धागे के साथ नहीं खिसकनी चाहिए, इसलिए इसे धागे पर एक छोटा लूप बनाकर और उसमें बिंदु को थ्रेड करके सुरक्षित किया जाना चाहिए।) हम हाइपरबोला (PV1Q) की एक शाखा खींचते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि धागा हर समय तना हुआ रहता है, और दोनों सिरों को बिंदु F2 से आगे नीचे खींचता है, और जब बिंदु P खंड F1F2 के नीचे होता है, तो धागे को दोनों सिरों पर पकड़ें और ध्यान से इसे खोदें (यानी छोड़ें)। हम हाइपरबोला (PўV2Qў) की दूसरी शाखा खींचते हैं, जिसने पहले पिन F1 और F2 की भूमिकाओं को बदल दिया है।
चावल। 3 अतिशयोक्ति
हाइपरबोला की शाखाएं दो सीधी रेखाओं तक पहुंचती हैं जो शाखाओं के बीच प्रतिच्छेद करती हैं। हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख कहे जाने वाली इन सीधी रेखाओं का निर्माण अंजीर में दिखाया गया है। 3, ख. इन रेखाओं के ढलान ± (v1v2) / (V1V2) के बराबर हैं, जहां v1v2 एसिंप्टोट्स के बीच के कोण के द्विभाजक का खंड है, जो खंड F1F2 के लंबवत है; खंड v1v2 को अतिपरवलय का संयुग्म अक्ष कहा जाता है, और खंड V1V2 को इसका अनुप्रस्थ अक्ष कहा जाता है। इस प्रकार, स्पर्शोन्मुख एक आयत के विकर्ण होते हैं जिनकी भुजाएँ चार बिंदुओं v1, v2, V1, V2 से होकर जाती हैं जो अक्षों के समानांतर होती हैं। इस आयत को बनाने के लिए, आपको अंक v1 और v2 का स्थान निर्दिष्ट करना होगा। वे बराबर दूरी पर हैं
कुल्हाड़ियों के चौराहे के बिंदु से O. यह सूत्र पैरों Ov1 और V2O और कर्ण F2O के साथ एक समकोण त्रिभुज के निर्माण को मानता है।
यदि अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख परस्पर लंबवत हैं, तो अतिपरवलय समद्विबाहु कहलाते हैं। दो अतिपरवलय जिनमें सामान्य स्पर्शोन्मुख होते हैं, लेकिन पुनर्व्यवस्थित अनुप्रस्थ और संयुग्म अक्षों के साथ, परस्पर संयुग्म कहलाते हैं।
परवलय।
अंडाकार और हाइपरबोला के फोकस पहले से ही अपोलोनियस के लिए जाने जाते थे, लेकिन एक पैराबोला का फोकस स्पष्ट रूप से पहली बार पप्प (तीसरी शताब्दी का दूसरा भाग) द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने इस वक्र को किसी दिए गए बिंदु (फोकस) से समान दूरी के बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया था। और एक दी गई सीधी रेखा, जिसे प्रधानाध्यापिका कहा जाता है। पैप की परिभाषा के आधार पर एक फैले हुए धागे का उपयोग करते हुए एक परवलय का निर्माण, इसिडोर मिलेत्स्की (छठी शताब्दी) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। रूलर को इस प्रकार रखें कि इसका किनारा नियतांक LLў (चित्र 4) के साथ संपाती हो, और आरेखण त्रिभुज ABC के इस किनारे वाले पैर AC से जोड़ दें। लंबाई AB के धागे के एक सिरे को त्रिभुज के शीर्ष B पर और दूसरे को परवलय F के फोकस पर ठीक करें। पेंसिल की नोक से धागे को खींचकर, टिप को चर बिंदु P पर मुक्त पैर पर दबाएं। आरेखण त्रिभुज का AB। जैसे ही त्रिभुज शासक के साथ चलता है, बिंदु P फोकस F और डायरेक्ट्रिक्स LLў के साथ एक परवलय के चाप का वर्णन करेगा, क्योंकि धागे की कुल लंबाई AB है, धागा खंड त्रिभुज के मुक्त पैर के निकट है, और इसलिए थ्रेड पीएफ का शेष खंड लेग एबी के शेष भागों के बराबर होना चाहिए, अर्थात। पीए. अक्ष के साथ V परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, F और V से गुजरने वाली रेखा परवलय की धुरी है। यदि आप फोकस के माध्यम से अक्ष के लंबवत सीधी रेखा खींचते हैं, तो परवलय द्वारा काटे गए इस सीधी रेखा के खंड को फोकल पैरामीटर कहा जाता है। अंडाकार और हाइपरबोला के लिए, फोकल पैरामीटर उसी तरह निर्धारित किया जाता है।
टिकटों के उत्तर: 1 (पूरी तरह से नहीं), 2 (पूरी तरह से नहीं), 3 (पूरी तरह से नहीं), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (पूरी तरह से नहीं), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23, 26,
दूरस्थ तत्व।
चित्र बनाते समय, कुछ मामलों में, किसी वस्तु के किसी भी भाग की एक अतिरिक्त अलग छवि बनाना आवश्यक हो जाता है जिसके लिए आकार, आकार या अन्य डेटा के संदर्भ में स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है। इस छवि को कहा जाता है एक दूरस्थ तत्व।यह आमतौर पर बढ़े हुए प्रदर्शन किया जाता है। विवरण को एक दृश्य या कट के रूप में रखा जा सकता है।
एक विवरण का निर्माण करते समय, मुख्य छवि के संबंधित स्थान को एक बंद ठोस पतली रेखा, आमतौर पर एक अंडाकार या सर्कल के साथ चिह्नित किया जाता है, और लीडर लाइन शेल्फ पर रूसी वर्णमाला के बड़े अक्षर के साथ चिह्नित किया जाता है। एक्सटेंशन एलिमेंट के लिए, टाइप ए (5: 1) के रूप में एक रिकॉर्ड बनाया जाता है। अंजीर में। 191 एक दूरस्थ तत्व के निष्पादन का एक उदाहरण दिखाता है। इसे वस्तु के प्रतिबिम्ब पर यथासम्भव संगत स्थान के निकट रखा जाता है।
1. आयताकार (ऑर्थोगोनल) प्रक्षेपण की विधि। आयताकार प्रक्षेपण के मूल अपरिवर्तनीय गुण। ईप्योर मोंगे।
ऑर्थोगोनल (आयताकार) प्रक्षेपण समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला है, जब सभी प्रक्षेपण किरण प्रक्षेपण विमान के लंबवत होते हैं। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन में समानांतर प्रोजेक्शन के सभी गुण होते हैं, लेकिन आयताकार प्रोजेक्शन के साथ, एक सेगमेंट का प्रोजेक्शन, अगर यह प्रोजेक्शन के प्लेन के समानांतर नहीं होता है, तो हमेशा सेगमेंट से ही कम होता है (चित्र 58)। यह इस तथ्य के कारण है कि अंतरिक्ष में ही खंड एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और इसका प्रक्षेपण एक पैर है: A "B" = ABcos a।
आयताकार प्रक्षेपण में, एक समकोण को पूर्ण आकार में प्रक्षेपित किया जाता है जब इसके दोनों पक्ष प्रक्षेपण विमान के समानांतर होते हैं, और जब इसका केवल एक पक्ष प्रक्षेपण विमान के समानांतर होता है, और दूसरा पक्ष इस प्रक्षेपण विमान के लंबवत नहीं होता है।
एक सीधी रेखा और एक समतल की पारस्परिक व्यवस्था।
एक सीधी रेखा और अंतरिक्ष में एक विमान कर सकते हैं:
- ए) कोई सामान्य बिंदु नहीं है;
- बी) बिल्कुल एक सामान्य बिंदु है;
- ग) कम से कम दो सामान्य बिंदु हों।
अंजीर में। 30 इन सभी संभावनाओं को दर्शाता है।
मामले में a) सीधी रेखा b समतल के समानांतर है: b || ...
मामले में b) सीधी रेखा l समतल को एक बिंदु O पर काटती है; एल = ओ.
मामले में c) सीधी रेखा a समतल से संबंधित है: a या a।
प्रमेय।यदि रेखा b तल से संबंधित कम से कम एक रेखा a के समानांतर है, तो रेखा समतल के समानांतर है।
मान लीजिए कि रेखा m तल को बिंदु Q पर काटती है। यदि m बिंदु Q से गुजरने वाले तल में प्रत्येक सीधी रेखा के लंबवत है, तो रेखा m को तल पर लंबवत कहा जाता है।
ट्राम रेल पृथ्वी के तल से सीधी रेखाओं के संबंध को दर्शाती है। बिजली की लाइनें पृथ्वी के तल के समानांतर हैं, और पेड़ के तने पृथ्वी की सतह को पार करने वाली सीधी रेखाओं के उदाहरण हैं, कुछ पृथ्वी के तल के लंबवत हैं, अन्य लंबवत (तिरछे) नहीं हैं।
