Vieta के प्रमेय का उपयोग अक्सर पहले से पाई गई जड़ों का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। यदि आप मूल पाते हैं, तो आप मानों की गणना करने के लिए सूत्रों \ (\ start (केस) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (केस) \) का उपयोग कर सकते हैं \ (p \) और \ (क्यू \)। और अगर वे मूल समीकरण के समान हो जाते हैं, तो जड़ें सही पाई जाती हैं।
उदाहरण के लिए, आइए, समीकरण \ (x ^ 2 + x-56 = 0 \) का उपयोग करके, हल करें और मूल प्राप्त करें: \ (x_1 = 7 \), \ (x_2 = -8 \)। आइए देखें कि क्या हमने समाधान प्रक्रिया में कोई गलती की है। हमारे मामले में, \ (p = 1 \), और \ (q = -56 \)। विएटा के प्रमेय से, हमारे पास है:
\ (\ start (केस) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ एंड (केस) \) \ (\ लेफ्टराइटएरो \) \ (\ start (केस) 7 + (- 8) = - 1 \\ 7 \ cdot (-8) = - 56 \ एंड (केस) \) \ (\ लेफ्टराइटएरो \) \ (\ start (केस) -1 = -1 \\ - 56 = -56 \ एंड (केस) \ )
दोनों कथन सहमत हैं, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है।
यह जांच मौखिक रूप से की जा सकती है। यह 5 सेकंड का समय लेगा और आपको बेवकूफी भरी गलतियों से बचाएगा।
विएटा का विलोम प्रमेय
यदि \ (\ start (केस) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (केस) \), तो \ (x_1 \) और \ (x_2 \) द्विघात समीकरण के मूल हैं \ (एक्स ^ 2 + पीएक्स + क्यू = 0 \)।
या सरल तरीके से: यदि आपके पास \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) के रूप का समीकरण है, तो सिस्टम को हल करना \ (\ start (केस) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ अंत (केस) \) आप इसके मूल पाएंगे।
इस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप द्विघात समीकरण की जड़ों को जल्दी से ढूंढ सकते हैं, खासकर अगर ये जड़ें हैं। यह कौशल महत्वपूर्ण है क्योंकि यह बहुत समय बचाता है।
उदाहरण ... समीकरण को हल करें \ (x ^ 2-5x + 6 = 0 \)।
समाधान
: वियत के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि जड़ें शर्तों को पूरा करती हैं: \ (\ start (केस) x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \ cdot x_2 = 6 \ end (केस) \)।
\ (x_1 \ cdot x_2 = 6 \) प्रणाली के दूसरे समीकरण को देखें। किस दो में संख्या \ (6 \) को विघटित किया जा सकता है? पर \ (2 \) और \ (3 \), \ (6 \) और \ (1 \) या \ (- 2 \) और \ (- 3 \), और \ (- 6 \) और \ (- 1\)। सिस्टम का पहला समीकरण आपको बताएगा कि किस जोड़ी को चुनना है: \ (x_1 + x_2 = 5 \)। \ (2 \) और \ (3 \) समान हैं, क्योंकि \ (2 + 3 = 5 \)।
उत्तर
: \ (x_1 = 2 \), \ (x_2 = 3 \)।
के उदाहरण
... वियत प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हुए, द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:
ए) \ (एक्स ^ 2-15x + 14 = 0 \); बी) \ (एक्स ^ 2 + 3x-4 = 0 \); सी) \ (एक्स ^ 2 + 9x + 20 = 0 \); डी) \ (एक्स ^ 2-88x + 780 = 0 \)।
समाधान
:
a) \ (x ^ 2-15x + 14 = 0 \) - किन कारकों में \ (14 \) विघटित होता है? \ (2 \) और \ (7 \), \ (- 2 \) और \ (- 7 \), \ (- 1 \) और \ (- 14 \), \ (1 \) और \ (14 \) ) संख्याओं के कौन-से युग्म \(15 \) का योग करते हैं? उत्तर: \ (1 \) और \ (14 \)।
b) \ (x ^ 2 + 3x-4 \ u003d 0 \) - किन कारकों में \ (- 4 \) विघटित होता है? \ (- 2 \) और \ (2 \), \ (4 \) और \ (- 1 \), \ (1 \) और \ (- 4 \)। संख्याओं के कौन-से युग्म \ (- 3 \) तक जुड़ते हैं? उत्तर: \ (1 \) और \ (- 4 \)।
c) \ (x ^ 2 + 9x + 20 \ u003d 0 \) - किन कारकों में \ (20 \) विघटित होता है? \ (4 \) और \ (5 \), \ (- 4 \) और \ (- 5 \), \ (2 \) और \ (10 \), \ (- 2 \) और \ (- 10 \ ), \ (- 20 \) और \ (- 1 \), \ (20 \) और \ (1 \)। संख्याओं के कौन-से युग्म \ (- 9 \) का योग करते हैं? उत्तर: \ (- 4 \) और \ (- 5 \)।
d) \ (x ^ 2-88x + 780 = 0 \) - किन कारकों में \ (780 \) विघटित होता है? \ (390 \) और \ (2 \)। क्या वे कुल \ (88 \) होंगे? नहीं। \ (780 \) के और कौन से कारक हैं? \ (78 \) और \ (10 \)। क्या वे कुल \ (88 \) होंगे? हां। उत्तर: \ (78 \) और \ (10 \)।
अंतिम पद को सभी संभावित कारकों में विघटित करना आवश्यक नहीं है (जैसा कि अंतिम उदाहरण में है)। आप तुरंत जांच सकते हैं कि उनका योग \ (- p \) देता है या नहीं।
जरूरी!विएटा की प्रमेय और विलोम प्रमेय के साथ ही काम करते हैं, अर्थात \ (x ^ 2 \) के सामने गुणांक एक के बराबर होता है। यदि हमारे पास शुरू में एक गैर-घटित समीकरण है, तो हम इसे केवल \ (x ^ 2 \) के सामने गुणांक से विभाजित करके कम कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, चलो समीकरण \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) दिया जाता है और हम Vieta के प्रमेयों में से एक का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन हम नहीं कर सकते, क्योंकि \ (x ^ 2 \) के सामने गुणांक \ (2 \) है। आइए पूरे समीकरण को \ (2 \) से विभाजित करके इससे छुटकारा पाएं।
\ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) \ (|: 2 \)
\ (x ^ 2-2x-3 = 0 \)
तैयार। अब आप दोनों प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर
प्रश्न:
Vieta के प्रमेय से, आप कोई हल कर सकते हैं?
उत्तर:
दुर्भाग्यवश नहीं। यदि समीकरण पूर्णांक नहीं है या समीकरण का कोई मूल नहीं है, तो विएटा का प्रमेय मदद नहीं करेगा। इस मामले में, उपयोग करें विभेदक
... सौभाग्य से, हाई स्कूल गणित में 80% समीकरणों के पूरे समाधान हैं।
I. वियत का प्रमेयकम द्विघात समीकरण के लिए।
घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया गया है, और जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
एक्स 1 + एक्स 2 = -पी; एक्स 1 एक्स 2 = क्यू।
वीटा के प्रमेय का उपयोग करके कम द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें।
उदाहरण 1) x 2 -x-30 = 0.यह घटा हुआ द्विघात समीकरण ( एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0), दूसरा गुणांक पी = -1और मुक्त अवधि क्यू = -30।सबसे पहले, सुनिश्चित करें कि दिए गए समीकरण के मूल हैं, और यह कि मूल (यदि कोई हो) पूर्णांकों में व्यक्त किए जाएंगे। इसके लिए, यह पर्याप्त है कि विवेचक एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होता है।
विभेदक का पता लगाएं डी= बी 2 - 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 = 11 2 .
अब, विएटा के प्रमेय के अनुसार, जड़ों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होना चाहिए, अर्थात। ( -पी), और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है, अर्थात। ( क्यू) फिर:
एक्स 1 + एक्स 2 = 1; एक्स 1 एक्स 2 = -30।हमें दो संख्याओं को चुनना है ताकि उनका गुणनफल बराबर हो -30 , और योग है इकाई... ये हैं नंबर -5 तथा 6 . उत्तर: -5; 6.
उदाहरण 2) x 2 + 6x + 8 = 0.हमारे पास दूसरे गुणांक के साथ कम द्विघात समीकरण है पी = 6और एक स्वतंत्र सदस्य क्यू = 8... आइए सुनिश्चित करें कि पूर्णांक जड़ें हैं। विभेदक का पता लगाएं डी 1 डी 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 ... विवेचक D 1 संख्या का पूर्ण वर्ग है 1 अत: इस समीकरण के मूल पूर्णांक हैं। आइए हम वियत के प्रमेय के अनुसार जड़ों का चयन करें: जड़ों का योग बराबर है -पी = -6, और जड़ों का उत्पाद है क्यू = 8... ये हैं नंबर -4 तथा -2 .
वास्तव में: -4-2 = -6 = -पी; -4 (-2) = 8 = क्यू। उत्तर - 4; -2।
उदाहरण 3) x 2 + 2x-4 = 0... इस घटे हुए द्विघात समीकरण में, दूसरा गुणांक पी = 2और मुक्त अवधि क्यू = -4... विभेदक का पता लगाएं डी 1चूंकि दूसरा गुणांक एक सम संख्या है। डी 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. विवेचक संख्या का पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए, हम करते हैं उत्पादन: इस समीकरण की जड़ें पूर्णांक नहीं हैं और विएटा के प्रमेय द्वारा नहीं पाई जा सकती हैं।इसका मतलब है कि हम इस समीकरण को हमेशा की तरह, सूत्रों का उपयोग करके (इस मामले में, सूत्रों का उपयोग करके) हल करेंगे। हम पाते हैं:
उदाहरण 4)।इसके मूलों के लिए द्विघात समीकरण बनाइए यदि एक्स 1 = -7, एक्स 2 = 4।
समाधान।आवश्यक समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा: एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0, और, वीटा के प्रमेय के आधार पर -पी = एक्स 1 + एक्स 2=-7+4=-3 → पी = 3; क्यू = एक्स 1 ∙ एक्स 2=-7∙4=-28 ... तब समीकरण रूप लेगा: x 2 + 3x-28 = 0.
उदाहरण 5)।इसके मूलों के लिए द्विघात समीकरण बनाइए यदि:
द्वितीय. विएटा का प्रमेयपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0।
जड़ों का योग शून्य है बीद्वारा विभाजित ए, जड़ों का उत्पाद है साथद्वारा विभाजित ए:
एक्स 1 + एक्स 2 = -बी / ए; एक्स 1 एक्स 2 = सी / ए।
उदाहरण ६)।द्विघात समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए 2x 2 -7x-11 = 0.
विएटा का प्रमेय
आज्ञा देना और घटाए गए द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करना
(1)
.
तब मूलों का योग गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न से लिया जाता है। जड़ों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.
एकाधिक जड़ों पर एक नोट
यदि समीकरण (1) का विवेचक शून्य के बराबर है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, आम तौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो बहु, या बराबर जड़ें हैं:
.
सबूत एक
आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.
हम जड़ों का योग पाते हैं:
.
काम खोजने के लिए, सूत्र लागू करें:
.
फिर
.
प्रमेय सिद्ध होता है।
प्रमाण दो
यदि संख्याएँ और द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
हम कोष्ठक खोलते हैं।
.
इस प्रकार, समीकरण (1) रूप लेगा:
.
(1) की तुलना में हम पाते हैं:
;
.
प्रमेय सिद्ध होता है।
विएटा का विलोम प्रमेय
मनमानी संख्या होने दें। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहां
(2)
;
(3)
.
विएटा के विलोम प्रमेय का प्रमाण
द्विघात समीकरण पर विचार करें
(1)
.
हमें यह सिद्ध करना है कि यदि और, तो u समीकरण (1) के मूल हैं।
स्थानापन्न (2) और (3) में (1):
.
हम समीकरण के बाईं ओर की शर्तों को समूहित करते हैं:
;
;
(4)
.
में स्थानापन्न (4):
;
.
में स्थानापन्न (4):
;
.
समीकरण पूरा हो गया है। अर्थात् संख्या समीकरण (1) का मूल है।
प्रमेय सिद्ध होता है।
पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय
अब पूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5)
,
जहां, और कुछ संख्याएं हैं। इसके अलावा।
आइए हम समीकरण (5) को इस प्रकार विभाजित करें:
.
यानी हमें घटा हुआ समीकरण मिला है
,
कहां ; ...
तब पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए Vieta के प्रमेय का निम्न रूप है।
मान लीजिए और पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ों को निरूपित करें
.
फिर जड़ों का योग और उत्पाद सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.
घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय
इसी तरह, हम एक घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6)
,
जहाँ,,, कुछ संख्याएँ हैं। इसके अलावा।
आइए इस समीकरण को इसमें विभाजित करें:
(7)
,
कहां , , ।
मान लीजिए, समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। फिर
.
समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.
डिग्री n . के समीकरण के लिए Vieta की प्रमेय
इसी तरह, आप nth डिग्री के समीकरण के लिए, जड़ों के बीच कनेक्शन पा सकते हैं, ...,
.
nth डिग्री के समीकरण के लिए Vieta के प्रमेय का निम्न रूप है:
;
;
;
.
इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में समीकरण लिखते हैं:
.
फिर हम गुणांकों को ,,, ... पर समान करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, तकनीकी संस्थानों के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
से। मी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल।, बीजगणित: ग्रेड 8 शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।
इस क्रम में तीन संख्याएं 12x, x 2-5 और 4 एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं https://youtu.be/U0VO_N9udpI सही कथन का चयन करें http://pin.it/9w-GqGp उन सभी x, y, और z को खोजें जिनके लिए संख्याएँ 5x + 3, y2 और 3z + 5 निर्दिष्ट क्रम में अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करेंगी। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर बताइए। समीकरणों की प्रणाली को हल करें गणितज्ञ एकीकृत राज्य परीक्षा। वीडियो सबक। पूर्णांकों की विभाज्यता। रैखिक प्रकार्य। विभाज्यता की समस्याएं। विएटा का प्रमेय, विलोम प्रमेय, विएटा के सूत्र। चालाक #छात्र #समीकरण #वियतास_प्रमेय #प्रमेय इसके बाद, विएटा के प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय पर विचार करें। उसके बाद, हम सबसे विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का विश्लेषण करेंगे। यह द्विघात समीकरण के मूलों के योग के लिए Vieta के प्रमेय का पहला संबंध सिद्ध करता है। चलिए दूसरे पर चलते हैं। विएटा के प्रमेय के विपरीत प्रमेय को कैसे सिद्ध करें? DOK-VO: x2 + px + f = 0 x2- (M + H) * x + M * H = 0 x2-Mx-Hx + M * H = 0 x (x-H) -M (x-H) = 0 (xM) ) (xH) = 0 xM = 0 xH = 0 x = M x = H CHTD। इस तरह हमने गणितीय पूर्वाग्रह के साथ एक विशेष वर्ग में साबित किया। उत्तर: विएटा के प्रमेय के विलोम प्रमेय को समझने में मेरी मदद करें विशिष्ट उदाहरणों के लिए धन्यवाद विएटा के प्रमेय के विलोम प्रमेय को हल करने में मदद करता है: यदि गुणांक एक एक संख्या है जिससे एक परिमेय पूर्णांक का वर्गमूल निकालना आसान है, तो योग x1 और x2 की संख्या एक संख्या के बराबर होगी। विएटा के प्रमेय के साथ-साथ विलोम प्रमेय को सूत्रबद्ध और सिद्ध करें, समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेयों को लागू करें। विएटा के प्रमेय के विलोम को सिद्ध कीजिए। 100 अंकों के लिए गणित में उपयोग करें: ऐसे रहस्य जिनके बारे में स्कूल शिक्षक बात नहीं करते हैं, व्युत्पन्न समस्याएं। कई आवेदक सोचते हैं कि पहली चौदह समस्याओं के लिए तैयारी करने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह मानते हुए कि वे बहुत आसान हैं, लेकिन ऐसा नहीं है! अधिकांश परीक्षार्थी सबसे सरल अंकगणितीय गलतियाँ करते हैं, जिससे भाग सी की समस्याओं के उत्कृष्ट समाधान की देखरेख होती है। ऐसी स्थितियाँ बहुत सामान्य हैं, इसलिए, आपको पहली समस्याओं की तैयारी की उपेक्षा नहीं करनी चाहिए, बल्कि खेल प्रशिक्षण की तरह तैयारी करनी चाहिए: यदि आप 90-100 अंक के लिए आवेदन कर रहे हैं - 20-25 मिनट में पहले ब्लॉक को हल करने के लिए ट्रेन, यदि 70-80 अंक - लगभग 30 मिनट, और नहीं। प्रशिक्षण का एक उत्कृष्ट तरीका एक ट्यूटर की कंपनी में एक निर्णय है, उन पाठ्यक्रमों में जहां कुछ शर्तें निर्धारित की जाएंगी: उदाहरण के लिए, आप पहली गलती से पहले, काम सौंपने के बाद निर्णय लेते हैं; दूसरा विकल्प - हर गलती के लिए आप सामान्य कैशियर को पैसे दान करते हैं। कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना अजीब लग सकता है, हम आधिकारिक वेबसाइट की अनुशंसा नहीं करते हैं, क्योंकि सभी परीक्षण इतने मिश्रित हैं कि इसका उपयोग करना असंभव है। भाग सी के कार्यों का डिजाइन महत्वपूर्ण है। यदि निर्णय गलत तरीके से किया जाता है, तो कार्य को हल करने का पाठ्यक्रम समझ से बाहर होगा, और इसलिए, परीक्षक निश्चित रूप से इस पर विचार करेगा और आपके स्कोर को कम करेगा। ऐसा लगता है कि हमने बहुत ही साधारण बातों के बारे में बात की, लेकिन हमारी सलाह का पालन करके, आप अपने आप को एक सफल परीक्षा सुनिश्चित करेंगे! गुप्त लिंक, जो मास्टर वर्ग में वर्णित हैं, यहां पाए जा सकते हैं - ये परीक्षा की तैयारी के लिए वीडियो पाठ्यक्रम के लिंक हैं। इस परिणाम को विएटा का प्रमेय कहा जाता है। कम द्विघात ट्रिनोमियल 2 x px q के लिए, Vieta की प्रमेय इस तरह दिखती है: यदि जड़ें हैं, तो Vieta के प्रमेय के विपरीत प्रमेय भी मानता है: यदि संख्याएँ शर्तों को पूरा करती हैं, तो ये संख्याएँ समीकरण की जड़ें हैं। इस प्रमेय का प्रमाण सत्रीय कार्य के नियंत्रण प्रश्नों में से एक है। कभी-कभी, संक्षिप्तता के लिए, Vieta के प्रमेय (प्रत्यक्ष और उलटा) दोनों को केवल Vieta की प्रमेय कहा जाता है।
इस तकनीक का सार बिना किसी विभेदक की सहायता के जड़ों को खोजना है। x2 + bx + c = 0 के रूप के समीकरण के लिए, जहाँ दो वास्तविक भिन्न मूल हैं, दो कथन सत्य हैं।पहला कथन कहता है कि इस समीकरण के मूलों का योग चर x पर गुणांक के मान के बराबर है (इस मामले में, यह b है), लेकिन विपरीत चिह्न के साथ। यह इस तरह दिखता है: x1 + x2 = −b।
दूसरा कथन पहले से ही योग से नहीं, बल्कि उन्हीं दो मूलों के गुणनफल से जुड़ा है। यह उत्पाद मुक्त गुणांक के बराबर है, अर्थात। सी। या, x1 * x2 = c. इन दोनों उदाहरणों को सिस्टम में हल किया जाता है।
विएटा का प्रमेय समाधान को बहुत सरल करता है, लेकिन इसकी एक सीमा है। एक द्विघात समीकरण, जिसके मूल इस तकनीक का उपयोग करके पाए जा सकते हैं, को कम किया जाना चाहिए। गुणांक a के उपरोक्त समीकरण में, x2 के सामने वाला एक के बराबर है। किसी भी समीकरण को पहले गुणांक से व्यंजक को विभाजित करके एक समान रूप में घटाया जा सकता है, लेकिन यह संक्रिया हमेशा तर्कसंगत नहीं होती है।
प्रमेय का प्रमाण
आरंभ करने के लिए, आपको यह याद रखना चाहिए कि किस प्रकार परंपरागत रूप से द्विघात समीकरण की जड़ों की तलाश की जाती है। पहली और दूसरी जड़ें पाई जाती हैं, अर्थात्: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b + D)/2. आम तौर पर 2a से विभाज्य होता है, लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, प्रमेय केवल तभी लागू किया जा सकता है जब a = 1 हो।विएटा के प्रमेय से ज्ञात होता है कि मूलों का योग ऋण चिह्न के साथ दूसरे गुणांक के बराबर होता है। इसका मतलब है कि x1 + x2 = (-b-√D) / 2 + (-b + D) / 2 = −2b / 2 = −b।
अज्ञात जड़ों के गुणनफल के लिए भी यही सच है: x1 * x2 = (-b-√D) / 2 * (-b + D) / 2 = (b2-D) / 4। बदले में, D = b2-4c (फिर से a = 1 के साथ)। यह पता चला है कि परिणाम इस प्रकार है: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c।
उपरोक्त सरल प्रमाण से केवल एक निष्कर्ष निकाला जा सकता है: विएटा की प्रमेय पूरी तरह से पुष्टि की गई है।
दूसरा सूत्रीकरण और प्रमाण
विएटा के प्रमेय की एक और व्याख्या है। अधिक सटीक रूप से, यह एक व्याख्या नहीं है, बल्कि एक शब्द है। तथ्य यह है कि यदि पहले मामले की तरह ही शर्तें पूरी होती हैं: दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो प्रमेय को एक अलग सूत्र में लिखा जा सकता है।यह समानता इस तरह दिखती है: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2)। यदि फलन P (x) दो बिंदुओं x1 और x2 पर प्रतिच्छेद करता है, तो इसे P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x) के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में जब P के पास दूसरी डिग्री है, और यह ठीक वैसा ही मूल व्यंजक जैसा दिखता है, तब R एक अभाज्य संख्या है, अर्थात् १। यह कथन इस कारण से सत्य है कि अन्यथा समानता नहीं रहेगी। कोष्ठक का विस्तार करते समय x2 कारक एक से अधिक नहीं होना चाहिए, और व्यंजक वर्गाकार रहना चाहिए।
