बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके अंतर्निहित गुण और संबंधित रेखांकन गणितीय ज्ञान की मूल बातें हैं, जो गुणन तालिका के महत्व के समान हैं। प्राथमिक कार्य सभी सैद्धांतिक मुद्दों के अध्ययन के लिए आधार, समर्थन हैं।

नीचे दिया गया लेख बुनियादी प्राथमिक कार्यों के विषय पर मुख्य सामग्री प्रदान करता है। हम शब्दों का परिचय देंगे, उन्हें परिभाषा देंगे; आइए हम प्रत्येक प्रकार के प्राथमिक कार्यों का विस्तार से अध्ययन करें और उनके गुणों का विश्लेषण करें।

निम्नलिखित प्रकार के बुनियादी प्राथमिक कार्य प्रतिष्ठित हैं:

परिभाषा 1

• निरंतर कार्य (स्थिर);
• एनटी डिग्री की जड़;
• ऊर्जा समीकरण;
• घातांक प्रकार्य;
• लॉगरिदमिक फ़ंक्शन;
• त्रिकोणमितीय फलन;
• भ्रातृ त्रिकोणमितीय कार्य।

एक स्थिरांक फ़ंक्शन को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है: y = C (C कुछ वास्तविक संख्या है) और इसका एक नाम भी है: स्थिरांक। यह फ़ंक्शन निर्धारित करता है कि क्या स्वतंत्र चर x का कोई वास्तविक मान चर y के समान मान से मेल खाता है - मान C।

एक स्थिरांक का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो x-अक्ष के समानांतर है और निर्देशांक (0, C) वाले बिंदु से होकर गुजरती है। स्पष्टता के लिए, हम स्थिर फलन y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (क्रमशः काले, लाल और नीले रंग में चिह्नित) के ग्राफ प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा 2

यह प्राथमिक फलन सूत्र y = x n (n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है) द्वारा परिभाषित किया गया है।

आइए फ़ंक्शन के दो रूपों पर विचार करें।

1. nवें अंश का मूल, n एक सम संख्या है

स्पष्टता के लिए, हम चित्र को इंगित करते हैं, जो ऐसे कार्यों के रेखांकन दिखाता है: वाई = एक्स, वाई = एक्स 4 और वाई = एक्स 8। ये फ़ंक्शन रंग-कोडित हैं: क्रमशः काला, लाल और नीला।

संकेतक के अन्य मूल्यों के लिए एक समान डिग्री के फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान दृश्य।

परिभाषा 3

nवें अंश के फलन मूल के गुण, n एक सम संख्या है

• परिभाषा का क्षेत्र सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है [ 0 , + ) ;
• जब x = 0 , फलन y = x n का मान शून्य के बराबर है;
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो सम है और न ही विषम);
• रेंज: [ 0 , + );
• यह फ़ंक्शन y = x n जड़ के घातांक के साथ परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है;
• परिभाषा के पूरे डोमेन पर ऊपर की दिशा के साथ फ़ंक्शन की उत्तलता है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• सम n के फलन का आलेख (0; 0) और (1; 1) से होकर गुजरता है।

1. nवें अंश का मूल, n एक विषम संख्या है

इस तरह के एक फ़ंक्शन को वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट पर परिभाषित किया जाता है। स्पष्टता के लिए, कार्यों के रेखांकन पर विचार करें वाई = एक्स 3, वाई = एक्स 5 और एक्स 9। ड्राइंग में, उन्हें रंगों द्वारा दर्शाया गया है: वक्र के काले, लाल और नीले रंग, क्रमशः।

फ़ंक्शन y = x n के मूल के घातांक के अन्य विषम मान समान रूप का आलेख देंगे।

परिभाषा 4

nवें अंश के फलन मूल के गुण, n एक विषम संख्या है

• परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है;
• यह फ़ंक्शन विषम है;
• मानों की श्रेणी सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है;
• फ़ंक्शन y = x n मूल के विषम घातांक के साथ परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है;
• फ़ंक्शन में अंतराल पर अवतलता है (- ; 0 ] और अंतराल पर उत्तलता [ 0 , + ) ;
• विभक्ति बिंदु में निर्देशांक होते हैं (0 ; 0) ;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• विषम n के लिए फलन का आलेख (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) और (1 ; 1) से होकर गुजरता है।

ऊर्जा समीकरण

परिभाषा 5

पावर फ़ंक्शन को सूत्र y = x a द्वारा परिभाषित किया गया है।

ग्राफ़ के प्रकार और फ़ंक्शन के गुण घातांक के मान पर निर्भर करते हैं।

• जब एक पावर फ़ंक्शन में एक पूर्णांक एक्सपोनेंट होता है, तो पावर फ़ंक्शन और उसके गुणों के ग्राफ का रूप इस बात पर निर्भर करता है कि एक्सपोनेंट सम या विषम है, और यह भी कि एक्सपोनेंट के पास क्या चिन्ह है। आइए इन सभी विशेष मामलों पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करें;
• घातांक भिन्नात्मक या अपरिमेय हो सकता है - इसके आधार पर, ग्राफ़ के प्रकार और फ़ंक्शन के गुण भी भिन्न होते हैं। हम कई शर्तों को निर्धारित करके विशेष मामलों का विश्लेषण करेंगे: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• एक पावर फ़ंक्शन में शून्य एक्सपोनेंट हो सकता है, हम इस मामले का नीचे और अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

आइए पावर फंक्शन का विश्लेषण करें y = x a जब a एक विषम धनात्मक संख्या है, उदाहरण के लिए, a = 1 , 3 , 5…

स्पष्टता के लिए, हम ऐसे शक्ति कार्यों के रेखांकन दर्शाते हैं: y = x (ग्राफ का काला रंग), y = x 3 (चार्ट का नीला रंग), y = x 5 (ग्राफ का लाल रंग), y = x 7 (हरा ग्राफ)। जब a = 1 , तो हमें एक रैखिक फलन y = x प्राप्त होता है।

परिभाषा 6

जब घातांक विषम धनात्मक होता है तो शक्ति फलन के गुण

• x (- ∞ ; + ∞) के लिए फलन बढ़ रहा है;
• फलन x (- ∞ ; 0 ] के लिए उत्तल है और x [ 0 ; + ∞) के लिए अवतल है (रैखिक फलन को छोड़कर);
• विभक्ति बिंदु में निर्देशांक (0; 0) होते हैं (रैखिक फ़ंक्शन को छोड़कर);
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1)।

आइए पावर फंक्शन का विश्लेषण करें y = x a जब a एक सम धनात्मक संख्या है, उदाहरण के लिए, a = 2 , 4 , 6 ...

स्पष्टता के लिए, हम ऐसे शक्ति कार्यों के रेखांकन दर्शाते हैं: y \u003d x 2 (ग्राफ का काला रंग), y = x 4 (ग्राफ का नीला रंग), y = x 8 (ग्राफ का लाल रंग)। जब a = 2 होता है, तो हमें एक द्विघात फलन प्राप्त होता है जिसका आलेख द्विघात परवलय होता है।

परिभाषा 7

एक शक्ति समारोह के गुण जब घातांक भी सकारात्मक होता है:

• परिभाषा का क्षेत्र: x (- ∞ ; + ∞);
• x (- ∞ ; 0 ] ;
• फलन x (- ∞ ; + ∞) के लिए अवतल है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1)।

नीचे दिया गया आंकड़ा घातीय फ़ंक्शन ग्राफ़ के उदाहरण दिखाता है y = x a जब a एक विषम ऋणात्मक संख्या है: y = x - 9 (ग्राफ का काला रंग); y = x - 5 (चार्ट का नीला रंग); y = x - 3 (ग्राफ का लाल रंग); y = x - 1 (हरा ग्राफ)। जब एक \u003d - 1, हमें एक व्युत्क्रम आनुपातिकता मिलती है, जिसका ग्राफ एक अतिपरवलय है।

परिभाषा 8

पावर फ़ंक्शन गुण जब घातांक विषम ऋणात्मक होता है:

जब x \u003d 0, हमें दूसरी तरह का एक विच्छेदन मिलता है, क्योंकि lim x → 0 - 0 xa \u003d - , lim x → 0 + 0 xa \u003d + के लिए a \u003d - 1, - 3, - 5, .... अत: सरल रेखा x = 0 एक उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है;

• रेंज: y (- ; 0) ∪ (0 ; + ∞);
• फलन विषम है क्योंकि y (- x) = - y (x) ;
• x - के लिए फलन घट रहा है; 0 (0 ; + );
• फलन x (- ∞ ; 0) के लिए उत्तल है और x (0 ; + ∞) के लिए अवतल है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 जब a = - 1 , - 3 , - 5 , । . . .

• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (- 1; - 1), (1; 1)।

नीचे दिया गया आंकड़ा पावर फ़ंक्शन ग्राफ़ के उदाहरण दिखाता है y = x a जब a एक सम ऋणात्मक संख्या है: y = x - 8 (काले रंग में चार्ट); y = x - 4 (ग्राफ का नीला रंग); y = x - 2 (ग्राफ का लाल रंग)।

परिभाषा 9

जब घातांक ऋणात्मक भी हो तो पावर फ़ंक्शन गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x (- ; 0) ∪ (0 ; + );

जब x \u003d 0, हमें दूसरी तरह का एक विच्छेदन मिलता है, क्योंकि lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + के लिए a \u003d - 2, - 4, - 6, .... अत: सरल रेखा x = 0 एक उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है;

• फलन सम है क्योंकि y (- x) = y (x) ;
• x (- ; 0) के लिए फलन बढ़ रहा है और x 0 के लिए घट रहा है; +∞ ;
• फलन x (- ; 0) (0 ; + ∞) के लिए अवतल है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी एक सीधी रेखा y = 0 है क्योंकि:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 जब a = - 2 , - 4 , - 6 , । . . .

• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (- 1; 1), (1; 1)।

शुरुआत से ही, निम्नलिखित पहलू पर ध्यान दें: उस स्थिति में जब एक विषम हर के साथ एक सकारात्मक अंश होता है, कुछ लेखक अंतराल - को इस शक्ति फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन के रूप में लेते हैं; + ∞, यह निर्धारित करते हुए कि घातांक a एक अपरिमेय भिन्न है। फिलहाल, बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत पर कई शैक्षिक प्रकाशनों के लेखक शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं, जहां प्रतिपादक तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश है। इसके अलावा, हम इस तरह की स्थिति का पालन करेंगे: हम सेट लेते हैं [ 0 ; +∞) । छात्रों के लिए सिफारिश: असहमति से बचने के लिए इस बिंदु पर शिक्षक के दृष्टिकोण का पता लगाएं।

तो आइए एक नजर डालते हैं पावर फंक्शन पर y = x a जब घातांक एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो बशर्ते कि 0< a < 1 .

आइए हम रेखांकन के साथ शक्ति कार्यों का वर्णन करें y = x a जब a = 11 12 (काले रंग में चार्ट); ए = 5 7 (ग्राफ का लाल रंग); ए = 1 3 (चार्ट का नीला रंग); a = 2 5 (ग्राफ का हरा रंग)।

घातांक के अन्य मान a (0 मानकर)< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

परिभाषा 10

0 . पर पावर फ़ंक्शन गुण< a < 1:

• रेंज: वाई [ 0 ; +∞);
• x [ 0 ; के लिए फलन बढ़ रहा है ; +∞);
• फ़ंक्शन में x (0; + ∞) के लिए उत्तलता है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;

आइए पावर फंक्शन का विश्लेषण करें y = x a जब घातांक एक गैर-पूर्णांक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो, बशर्ते कि a > 1 ।

हम पावर फ़ंक्शन के ग्राफ़ का वर्णन करते हैं y \u003d xa एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित कार्यों का उपयोग करते हुए दी गई शर्तों के तहत: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 (काला, लाल, नीला, हरा) रेखांकन, क्रमशः)।

घातांक के अन्य मान a > 1 के तहत ग्राफ़ का एक समान दृश्य देंगे।

परिभाषा 11

> 1 के लिए पावर फ़ंक्शन गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x [ 0 ; +∞);
• रेंज: वाई [ 0 ; +∞);
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• x [ 0 ; के लिए फलन बढ़ रहा है ; +∞);
• फलन x (0 ; + ) के लिए अवतल है (जब 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (0; 0), (1; 1)।

हम आपका ध्यान आकर्षित करते हैं! जब एक विषम भाजक के साथ एक नकारात्मक अंश है, तो कुछ लेखकों के कार्यों में एक विचार है कि इस मामले में परिभाषा का क्षेत्र अंतराल है - ; 0 (0 ; + ∞) परंतुक के साथ कि घातांक a एक अपरिमेय भिन्न है। फिलहाल, बीजगणित पर शैक्षिक सामग्री के लेखक और विश्लेषण की शुरुआत तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए एक विषम भाजक के साथ एक अंश के रूप में एक घातांक के साथ शक्ति कार्यों को परिभाषित नहीं करते हैं। इसके अलावा, हम ऐसे ही दृष्टिकोण का पालन करते हैं: हम समुच्चय (0 ; + ) को भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्यों के क्षेत्र के रूप में लेते हैं। विद्यार्थियों के लिए सुझाव: असहमति से बचने के लिए इस समय अपने शिक्षक के दृष्टिकोण को स्पष्ट करें।

हम विषय जारी रखते हैं और पावर फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हैं y = x a प्रदान किया गया: - 1< a < 0 .

यहाँ निम्नलिखित फलनों के ग्राफ़ का आरेखण है: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (क्रमशः काली, लाल, नीली, हरी रेखाएँ) )

परिभाषा 12

पावर फंक्शन गुण - 1< a < 0:

लिम एक्स → 0 + 0 एक्स ए = + ∞ जब - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• रेंज: वाई 0; +∞ ;
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;

नीचे दिया गया चित्र y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (वक्रों के काले, लाल, नीले, हरे रंग, क्रमशः) शक्ति कार्यों के ग्राफ़ दिखाता है।

परिभाषा 13

ए . के लिए पावर फ़ंक्शन गुण< - 1:

• परिभाषा का क्षेत्र: x 0 ; +∞ ;

लिम एक्स → 0 + 0 एक्स ए = + ∞ जब ए< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• रेंज: वाई (0; + ∞);
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• x 0 के लिए फलन घट रहा है; +∞ ;
• x 0 के लिए फलन अवतल है; +∞ ;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी - सीधी रेखा y = 0 ;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (1; 1)।

जब a \u003d 0 और x 0, हमें फ़ंक्शन y \u003d x 0 \u003d 1 मिलता है, जो उस रेखा को निर्धारित करता है जिससे बिंदु (0; 1) को बाहर रखा गया है (हम सहमत थे कि अभिव्यक्ति 0 0 नहीं दी जाएगी) कोई मान)।

घातीय फ़ंक्शन का रूप है y = a x , जहां a > 0 और a 1 , और इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ आधार a के मान के आधार पर भिन्न दिखता है। आइए विशेष मामलों पर विचार करें।

सबसे पहले, आइए उस स्थिति का विश्लेषण करें जब घातीय फ़ंक्शन के आधार का मान शून्य से एक (0 .) तक हो< a < 1) . एक उदाहरण उदाहरण a = 1 2 (वक्र का नीला रंग) और a = 5 6 (वक्र का लाल रंग) के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।

घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का आधार के अन्य मानों के लिए समान रूप होगा, बशर्ते कि 0< a < 1 .

परिभाषा 14

जब आधार एक से कम हो तो घातांकीय फलन के गुण:

• रेंज: वाई (0; + ∞);
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• एक घातांकीय फलन जिसका आधार एक से कम है, परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घट रहा है;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी सीधी रेखा y = 0 है जिसमें चर x + की ओर प्रवृत्त होता है;

अब उस स्थिति पर विचार करें जब घातांकीय फलन का आधार एक से बड़ा हो (a > 1)।

आइए इस विशेष मामले को घातीय कार्यों y = 3 2 x (वक्र का नीला रंग) और y = e x (ग्राफ का लाल रंग) के ग्राफ के साथ चित्रित करें।

आधार के अन्य मान, एक से अधिक, घातांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक समान दृश्य देंगे।

परिभाषा 15

जब आधार एक से अधिक हो तो घातांकीय फलन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समूह है;
• रेंज: वाई (0; + ∞);
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• एक घातांकीय फलन जिसका आधार एक से अधिक है x - के लिए बढ़ रहा है; +∞ ;
• x - के लिए फलन अवतल है; +∞ ;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी - सीधी रेखा y = 0 जिसमें चर x - की ओर प्रवृत्त होता है;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (0; 1)।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का रूप y = log a (x) है, जहां a > 0, a ≠ 1 है।

ऐसा फ़ंक्शन केवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है: x 0 के लिए; +∞.

आधार a के मान के आधार पर लघुगणकीय फलन के ग्राफ़ का एक भिन्न रूप होता है।

पहले उस स्थिति पर विचार करें जब 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

आधार के अन्य मान, एक से अधिक नहीं, ग्राफ़ के समान दृश्य देंगे।

परिभाषा 16

आधार एक से कम होने पर लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x 0 ; +∞. जैसे ही x दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, फ़ंक्शन के मान + तक जाते हैं;
• रेंज: वाई - ; +∞ ;
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• लघुगणक
• x 0 के लिए फलन अवतल है; +∞ ;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;

अब आइए एक विशेष मामले का विश्लेषण करें जब लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का आधार एक से अधिक हो: a > 1 . नीचे दिए गए चित्र में, लघुगणकीय फलनों y = log 3 2 x और y = ln x (क्रमशः रेखांकन के नीले और लाल रंग) के आलेख हैं।

एक से अधिक आधार के अन्य मान ग्राफ के समान दृश्य देंगे।

परिभाषा 17

एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के गुण जब आधार एक से अधिक होता है:

• परिभाषा का क्षेत्र: x 0 ; +∞. जैसे ही x दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, फ़ंक्शन के मान होते हैं - ;
• रेंज: वाई - ; + (वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट);
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन है (यह न तो विषम है और न ही सम है);
• x 0 के लिए लघुगणकीय फलन बढ़ रहा है; +∞ ;
• फ़ंक्शन में x 0 के लिए उत्तलता है; +∞ ;
• कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं;
• फ़ंक्शन पासिंग पॉइंट: (1; 0)।

त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट हैं। आइए उनमें से प्रत्येक के गुणों और संबंधित ग्राफ़ का विश्लेषण करें।

सामान्य तौर पर, सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को आवधिकता की संपत्ति की विशेषता होती है, अर्थात। जब फ़ंक्शन के मान तर्क के विभिन्न मानों के लिए दोहराए जाते हैं जो अवधि f (x + T) = f (x) (T अवधि है) के मान से एक दूसरे से भिन्न होते हैं। इस प्रकार, त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों की सूची में आइटम "न्यूनतम सकारात्मक अवधि" जोड़ा जाता है। इसके अलावा, हम तर्क के ऐसे मूल्यों को इंगित करेंगे जिनके लिए संबंधित फ़ंक्शन गायब हो जाता है।

1. ज्या फलन: y = sin(x)

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को साइन वेव कहा जाता है।

परिभाषा 18

साइन फ़ंक्शन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: वास्तविक संख्याओं का पूरा सेट x - ; +∞ ;
• फ़ंक्शन गायब हो जाता है जब x = k , जहां k Z (Z पूर्णांकों का समुच्चय है);
• x - π 2 + 2 π · k के लिए फलन बढ़ रहा है; 2 + 2 π k , k ∈ Z और x 2 + 2 k के लिए घटाना; 3 2 + 2 k , k Z ;
• साइन फ़ंक्शन में 2 + 2 π · k बिंदुओं पर स्थानीय मैक्सिमा होता है; 1 और बिंदुओं पर स्थानीय मिनीमा - 2 + 2 π · k ; - 1, के जेड;
• ज्या फलन अवतल होता है जब x - + 2 π k; 2 k , k Z और उत्तल जब x 2 k ; π + 2 k , k Z ;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

1. कोसाइन फ़ंक्शन: y=cos(x)

इस फलन के ग्राफ को कोज्या तरंग कहते हैं।

परिभाषा 19

कोसाइन फ़ंक्शन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x - ; +∞ ;
• सबसे छोटी सकारात्मक अवधि: टी \u003d 2 ;
• रेंज: वाई - 1 ; एक ;
• यह फलन सम है, क्योंकि y (- x) = y (x) ;
• x - π + 2 π · k के लिए फलन बढ़ रहा है; 2 π · k , k ∈ Z और x 2 · k के लिए घटाना; π + 2 k , k Z ;
• कोज्या फलन का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु 2 · k पर होता है; 1 , k Z और + 2 · k ; - 1, के जेड;
• कोज्या फलन अवतल होता है जब x 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 k , k Z और उत्तल जब x - π 2 + 2 π k ; 2 + 2 · k , k Z ;
• विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक π 2 + π · k हैं; 0, के जेड
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

1. स्पर्शरेखा समारोह: वाई = टी जी (एक्स)

इस फलन का ग्राफ कहलाता है स्पर्शरेखा

परिभाषा 20

स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x - π 2 + π · k ; 2 + k , जहाँ k Z (Z पूर्णांकों का समुच्चय है);
• परिभाषा के क्षेत्र की सीमा पर स्पर्शरेखा फलन का व्यवहार lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - , lim x → 2 + π · k - 0 tg (x) = + . इस प्रकार, रेखाएँ x = 2 + π · k k Z लंबवत अनंतस्पर्शी हैं;
• जब k Z के लिए x = π k (Z पूर्णांकों का समुच्चय है) फलन गायब हो जाता है;
• रेंज: वाई - ; +∞ ;
• यह फलन विषम है क्योंकि y (- x) = - y (x) ;
• फलन बढ़ रहा है - 2 + · k ; 2 + के , के जेड ;
• x [ · k ; के लिए स्पर्शरेखा फलन अवतल है; π 2 + π k), k Z और x (- π 2 + π k ; k ] , k ∈ Z ;
• विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक k हैं; 0, के जेड;

1. कोटैंजेंट फ़ंक्शन: वाई = सी टी जी (एक्स)

इस फलन के ग्राफ को कोटैंजेंटॉइड कहते हैं। .

परिभाषा 21

कोटैंजेंट फ़ंक्शन के गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x (π k ; π + k) , जहां k Z (Z पूर्णांकों का समुच्चय है);

परिभाषा lim x → · k + 0 t g (x) = + , lim x → π · k - 0 t g (x) = - के डोमेन की सीमा पर कोटैंजेंट फ़ंक्शन का व्यवहार। अत: रेखाएँ x = π k k Z उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं;

• सबसे छोटी सकारात्मक अवधि: टी \u003d ;
• जब k Z के लिए x = π 2 + π k (Z पूर्णांकों का समुच्चय है) फलन गायब हो जाता है;
• रेंज: वाई - ; +∞ ;
• यह फलन विषम है क्योंकि y (- x) = - y (x) ;
• x · k के लिए फलन घट रहा है; + π के , के जेड ;
• सहस्पर्शी फलन x (π k ; 2 + π k ] , k Z के लिए अवतल है और x [- π 2 + k ; π k) , k Z के लिए उत्तल है;
• विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक π 2 + π · k हैं; 0, के जेड;
• कोई तिरछा और क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट हैं। अक्सर, नाम में उपसर्ग "आर्क" की उपस्थिति के कारण, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को चाप फ़ंक्शन कहा जाता है। .

1. आर्कसिन फलन: y = a r c sin (x)

परिभाषा 22

आर्क्सिन फ़ंक्शन के गुण:

• यह फलन विषम है क्योंकि y (- x) = - y (x) ;
• x 0 के लिए आर्क्साइन फलन अवतल है; 1 और x ∈ - 1 के लिए उत्तलता; 0;
• विभक्ति बिंदुओं में निर्देशांक (0; 0) होते हैं, यह फ़ंक्शन का शून्य भी होता है;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

1. आर्ककोसाइन फ़ंक्शन: y = a r c cos (x)

परिभाषा 23

आर्ककोसाइन फ़ंक्शन गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x - 1 ; एक ;
• रेंज: वाई 0; ;
• यह फ़ंक्शन सामान्य रूप का है (न तो सम और न ही विषम);
• परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन घट रहा है;
• आर्ककोसाइन फलन x - 1 के लिए अवतल है; 0 और x ∈ 0 के लिए उत्तलता; एक ;
• विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक 0 हैं; 2;
• कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

1. चापस्पर्शी फलन: y = a r c t g (x)

परिभाषा 24

आर्कटिक फ़ंक्शन गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x - ; +∞ ;
• रेंज: वाई - π 2; 2;
• यह फलन विषम है क्योंकि y (- x) = - y (x) ;
• परिभाषा के पूरे क्षेत्र में कार्य बढ़ रहा है;
• चाप स्पर्शरेखा फलन x (- ∞ ; 0 ] के लिए अवतल है और x [ 0 ; + ∞) के लिए उत्तल है;
• विभक्ति बिंदु में निर्देशांक (0; 0) होते हैं, यह फ़ंक्शन का शून्य भी होता है;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी सीधी रेखाएँ हैं y = - 2 x → - के लिए और y = π 2 x → + के लिए (आकृति में अनंतस्पर्शी हरी रेखाएँ हैं)।

1. चाप कोटेंगेंट फ़ंक्शन: वाई = ए आर सी सी टी जी (एक्स)

परिभाषा 25

चाप कोटेंगेंट फ़ंक्शन गुण:

• परिभाषा का क्षेत्र: x - ; +∞ ;
• रेंज: वाई (0; );
• यह फ़ंक्शन एक सामान्य प्रकार का है;
• परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन घट रहा है;
• x [ 0 ; के लिए चाप सहस्पर्शी फलन अवतल है; + ∞) और x के लिए उत्तलता (- ∞ ; 0 ] ;
• विभक्ति बिंदु के निर्देशांक 0 हैं; 2;
• क्षैतिज अनंतस्पर्शी सीधी रेखाएँ y = पर x → - (ड्राइंग में हरी रेखा) और y = 0 x → + पर होती हैं।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

निर्देशांक अक्ष पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

निर्देशांक तल पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा मांगी गई है:

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में एक खंड की लंबाई खोजने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

खंड के मध्य के निर्देशांक (समन्वय अक्ष के लिए केवल पहले सूत्र का उपयोग किया जाता है, समन्वय विमान के लिए - पहले दो सूत्र, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए - सभी तीन सूत्र) सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:

समारोहप्रपत्र का पत्राचार है आप= एफ(एक्स) चर के बीच, जिसके कारण प्रत्येक को कुछ चर का मान माना जाता है एक्स(तर्क या स्वतंत्र चर) दूसरे चर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, आप(आश्रित चर, कभी-कभी इस मान को केवल फ़ंक्शन का मान कहा जाता है)। ध्यान दें कि फ़ंक्शन मानता है कि तर्क का एक मान एक्सआश्रित चर का केवल एक मान हो सकता है पर. हालांकि, वही मान परविभिन्न के साथ प्राप्त किया जा सकता है एक्स.

फंक्शन स्कोपस्वतंत्र चर के सभी मान हैं (फ़ंक्शन तर्क, आमतौर पर एक्स) जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, अर्थात। इसका अर्थ मौजूद है। परिभाषा का क्षेत्र इंगित किया गया है डी(आप) कुल मिलाकर आप इस अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। किसी फ़ंक्शन के दायरे को अन्यथा मान्य मानों का डोमेन या ODZ कहा जाता है, जिसे आप लंबे समय से ढूंढ रहे हैं।

फंक्शन रेंजइस फ़ंक्शन के आश्रित चर के सभी संभावित मान हैं। लक्षित इ(पर).

समारोह बढ़ जाता हैअंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है। समारोह घटानाअंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

समारोह अंतरालस्वतंत्र चर के वे अंतराल हैं जिन पर आश्रित चर अपना धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न बनाए रखता है।

फंक्शन जीरोतर्क के वे मान हैं जिनके लिए फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है। इन बिंदुओं पर, फलन का ग्राफ भुज अक्ष (OX अक्ष) को प्रतिच्छेद करता है। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने की आवश्यकता का अर्थ केवल समीकरण को हल करना है। इसके अलावा, अक्सर निरंतर संकेत के अंतराल को खोजने की आवश्यकता का मतलब असमानता को हल करने की आवश्यकता है।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है यहाँ तक की एक्स

इसका मतलब है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, सम फ़ंक्शन के मान समान हैं। एक सम फलन का ग्राफ हमेशा op-amp के y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है अजीब, अगर इसे एक सममित सेट पर परिभाषित किया गया है और किसी के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता पूरी होती है:

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, विषम कार्य के मान भी विपरीत हैं। एक विषम फलन का आलेख मूल के प्रति सदैव सममित होता है।

सम और विषम फलनों के मूलों का योग (भुज अक्ष OX के प्रतिच्छेदन बिंदु) हमेशा शून्य के बराबर होता है, क्योंकि हर सकारात्मक जड़ के लिए एक्सएक नकारात्मक जड़ है एक्स.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कुछ फ़ंक्शन का सम या विषम होना आवश्यक नहीं है। ऐसे कई कार्य हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। ऐसे कार्यों को कहा जाता है सामान्य कार्य, और उपरोक्त में से कोई भी समानता या संपत्ति उनके लिए नहीं है।

रैखिक प्रकार्यएक फ़ंक्शन कहलाता है जिसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:

एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है और सामान्य स्थिति में ऐसा दिखता है (एक उदाहरण उस स्थिति के लिए दिया गया है जब क> 0, इस स्थिति में फलन बढ़ रहा है; अवसर के लिए क < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

द्विघात फलन का ग्राफ (परबोला)

एक परवलय का ग्राफ एक द्विघात फलन द्वारा दिया जाता है:

एक द्विघात फलन, किसी भी अन्य फलन की तरह, OX अक्ष को उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करता है जो इसके मूल हैं: ( एक्सएक ; 0) और ( एक्स 2; 0)। यदि कोई मूल नहीं है, तो द्विघात फलन OX अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, यदि एक मूल है, तो इस बिंदु पर ( एक्स 0; 0) द्विघात फलन केवल OX अक्ष को स्पर्श करता है, लेकिन इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। एक द्विघात फलन हमेशा ओए अक्ष को निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है: (0; सी) एक द्विघात फलन (पैराबोला) का ग्राफ इस तरह दिख सकता है (यह आंकड़ा ऐसे उदाहरण दिखाता है जो सभी संभावित प्रकार के परवलय को समाप्त नहीं करते हैं):

जिसमें:

• यदि गुणांक ए> 0, समारोह में आप = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, फिर परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
• अगर ए < 0, то ветви параболы направлены вниз.

परवलय शीर्ष निर्देशांक की गणना निम्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। एक्स सबसे ऊपर (पी- ऊपर दिए गए आंकड़ों में) एक परवलय का (या वह बिंदु जिस पर वर्ग त्रिपद अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है):

वाई टॉप्स (क्यू- ऊपर के आंकड़ों में) एक परवलय का या अधिकतम यदि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं ( ए < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ए> 0), वर्ग त्रिपद का मान:

अन्य कार्यों के रेखांकन

ऊर्जा समीकरण

शक्ति कार्यों के ग्राफ के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

व्युत्क्रमानुपाती निर्भरतासूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

संख्या के चिन्ह के आधार पर कव्युत्क्रमानुपाती ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

अनंतस्पर्शीवह रेखा है जिसके लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की रेखा असीम रूप से करीब आती है, लेकिन प्रतिच्छेद नहीं करती है। ऊपर की आकृति में दिखाए गए व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ़ के लिए स्पर्शोन्मुख समन्वय अक्ष हैं, जिसके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ असीम रूप से करीब पहुंचता है, लेकिन उन्हें प्रतिच्छेद नहीं करता है।

घातांक प्रकार्यआधार के साथ एसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

एएक घातांकीय फलन के ग्राफ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं (हम उदाहरण भी देंगे, नीचे देखें):

लॉगरिदमिक फ़ंक्शनसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

इस पर निर्भर करता है कि संख्या एक से अधिक है या कम एलॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

फंक्शन ग्राफ आप = |एक्स| निम्नलिखित नुसार:

आवधिक (त्रिकोणमितीय) कार्यों के रेखांकन

समारोह पर = एफ(एक्स) कहा जाता है नियत कालीन, यदि ऐसी गैर-शून्य संख्या मौजूद है टी, क्या एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स), किसी के लिए भी एक्ससमारोह के दायरे से बाहर एफ(एक्स) यदि समारोह एफ(एक्स) अवधि के साथ आवधिक है टी, फिर समारोह:

कहाँ पे: ए, क, बीअचर संख्याएं हैं, और कशून्य के बराबर नहीं, आवर्त भी आवर्त के साथ टी 1 , जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आवर्त फलन के अधिकांश उदाहरण त्रिकोणमितीय फलन हैं। यहां मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ दिए गए हैं। निम्नलिखित आंकड़ा फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा दिखाता है आप= पाप एक्स(पूरा ग्राफ अनिश्चित काल तक बाएं और दाएं जारी रहता है), फ़ंक्शन का ग्राफ आप= पाप एक्सबुलाया sinusoid:

फंक्शन ग्राफ आप= कोस एक्सबुलाया कोसाइन तरंग. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। साइन के ग्राफ के बाद से, यह OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक जारी रहता है:

फंक्शन ग्राफ आप= टीजी एक्सबुलाया स्पर्शरेखा. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

और अंत में, फ़ंक्शन का ग्राफ आप=सीटीजी एक्सबुलाया कोटैंजेंटोइड. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक और त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

• पीछे
• आगे

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी कैसे करें?

भौतिकी और गणित में सीटी की सफलतापूर्वक तैयारी करने के लिए, अन्य बातों के अलावा, तीन महत्वपूर्ण शर्तों को पूरा करना होगा:

1. सभी विषयों का अध्ययन करें और इस साइट पर अध्ययन सामग्री में दिए गए सभी परीक्षणों और कार्यों को पूरा करें। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ भी नहीं चाहिए, अर्थात्: भौतिकी और गणित में सीटी की तैयारी के लिए हर दिन तीन से चार घंटे समर्पित करना, सिद्धांत का अध्ययन करना और समस्याओं को हल करना। तथ्य यह है कि डीटी एक ऐसी परीक्षा है जहां केवल भौतिकी या गणित को जानना ही पर्याप्त नहीं है, आपको विभिन्न विषयों और अलग-अलग जटिलताओं पर बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए जल्दी और बिना असफलताओं के सक्षम होने की भी आवश्यकता है। उत्तरार्द्ध को केवल हजारों समस्याओं को हल करके ही सीखा जा सकता है।
2. भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में केवल 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।
3. भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है, उत्तरों और समस्याओं की संख्या, या अपने स्वयं के नाम को भ्रमित किए बिना। साथ ही, आरटी के दौरान, कार्यों में प्रश्न पूछने की शैली का उपयोग करना महत्वपूर्ण है, जो डीटी पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं के सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन के साथ-साथ अंतिम प्रशिक्षण परीक्षणों का जिम्मेदार अध्ययन, आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली है, तो कृपया इसके बारे में ई-मेल () द्वारा लिखें। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

आइए देखें कि ग्राफ़ का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को कैसे एक्सप्लोर किया जाए। यह पता चला है कि ग्राफ को देखते हुए, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें रुचिकर लगे, अर्थात्:

• समारोह का दायरा
• फंक्शन रेंज
• फंक्शन जीरो
• वृद्धि और कमी की अवधि
• उच्च और निम्न अंक
• खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।

आइए शब्दावली को स्पष्ट करें:

सूच्याकार आकृति का भुजबिंदु का क्षैतिज निर्देशांक है।
तालमेल- लंबवत समन्वय।
सूच्याकार आकृति का भुज- क्षैतिज अक्ष, जिसे अक्सर अक्ष कहा जाता है।
शाफ़्ट- ऊर्ध्वाधर अक्ष, या अक्ष।

तर्कएक स्वतंत्र चर है जिस पर फ़ंक्शन के मान निर्भर करते हैं। सबसे अधिक बार संकेत दिया।
दूसरे शब्दों में, हम स्वयं चुनते हैं, फ़ंक्शन सूत्र में स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं।

कार्यक्षेत्रफ़ंक्शन - तर्क के उन (और केवल उन) मानों का सेट जिसके लिए फ़ंक्शन मौजूद है।
निरूपित: या।

हमारे आंकड़े में, फ़ंक्शन का डोमेन एक खंड है। यह इस खंड पर है कि फ़ंक्शन का ग्राफ तैयार किया गया है। केवल यहीं यह फ़ंक्शन मौजूद है।

फंक्शन रेंजवेरिएबल द्वारा ग्रहण किए गए मानों का समुच्चय है। हमारे आंकड़े में, यह एक खंड है - निम्नतम से उच्चतम मूल्य तक।

फंक्शन जीरो- ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है, अर्थात। हमारे आंकड़े में, ये बिंदु हैं और .

फ़ंक्शन मान सकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे चित्र में, ये अंतराल हैं और .
फ़ंक्शन मान नकारात्मक हैंकहाँ पे । हमारे पास यह अंतराल (या अंतराल) से है।

सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएं - बढ़ते और घटते कार्यकिसी सेट पर। एक समुच्चय के रूप में, आप एक खंड, एक अंतराल, अंतरालों का संघ या संपूर्ण संख्या रेखा ले सकते हैं।

समारोह बढ़ती है

दूसरे शब्दों में, जितना अधिक , उतना ही अधिक , यानी ग्राफ़ दाईं ओर और ऊपर जाता है।

समारोह कम हो जाती हैसेट पर यदि किसी के लिए और सेट से संबंधित असमानता का अर्थ असमानता है।

घटते फलन के लिए, बड़ा मान छोटे मान से मेल खाता है। ग्राफ दाएं और नीचे जाता है।

हमारे चित्र में, अंतराल पर फलन बढ़ता है और अंतरालों पर घटता है।

आइए परिभाषित करें कि क्या है फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

अधिकतम बिंदु- यह परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु है, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से अधिक है।
दूसरे शब्दों में, अधिकतम बिंदु एक ऐसा बिंदु है, जिस पर फ़ंक्शन का मान होता है अधिकपड़ोसी की तुलना में। यह चार्ट पर एक स्थानीय "पहाड़ी" है।

हमारे आंकड़े में - अधिकतम बिंदु।

अंतिम बिंदू- परिभाषा के क्षेत्र का एक आंतरिक बिंदु, जैसे कि इसमें फ़ंक्शन का मान पर्याप्त रूप से इसके करीब सभी बिंदुओं से कम है।
यही है, न्यूनतम बिंदु ऐसा है कि इसमें फ़ंक्शन का मान पड़ोसी की तुलना में कम है। ग्राफ पर, यह एक स्थानीय "छेद" है।

हमारे आंकड़े में - न्यूनतम बिंदु।

बात सीमा है। यह परिभाषा के क्षेत्र का आंतरिक बिंदु नहीं है और इसलिए अधिकतम बिंदु की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है। आखिरकार, बाईं ओर उसका कोई पड़ोसी नहीं है। उसी तरह, हमारे चार्ट पर कोई न्यूनतम बिंदु नहीं हो सकता है।

अधिकतम और न्यूनतम अंक सामूहिक रूप से कहलाते हैं समारोह के चरम बिंदु. हमारे मामले में, यह है और।

लेकिन क्या होगा अगर आपको खोजने की जरूरत है, उदाहरण के लिए, कार्य न्यूनतमकट पर? इस मामले में, उत्तर है: चूंकि कार्य न्यूनतमन्यूनतम बिंदु पर इसका मूल्य है।

इसी तरह, हमारे कार्य का अधिकतम है। यह बिंदु पर पहुंच गया है।

हम कह सकते हैं कि फलन की चरम सीमा और के बराबर है।

कभी-कभी कार्यों में आपको खोजने की आवश्यकता होती है फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मानकिसी दिए गए खंड पर। जरूरी नहीं कि वे चरम सीमाओं से मेल खाते हों।

हमारे मामले में सबसे छोटा फ़ंक्शन मानअंतराल पर बराबर है और न्यूनतम फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है। लेकिन इस सेगमेंट पर इसका सबसे बड़ा मूल्य बराबर है। यह खंड के बाएं छोर पर पहुंचा है।

किसी भी मामले में, एक खंड पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य या तो चरम बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर प्राप्त किए जाते हैं।

यह पद्धति संबंधी सामग्री केवल संदर्भ के लिए है और इसमें विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और सबसे महत्वपूर्ण मुद्दे पर विचार करता है - कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन को जाने बिना उच्च गणित का अध्ययन करने के दौरान, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के रेखांकन कुछ याद रखने के लिए क्या दिखते हैं। फ़ंक्शन मान। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं पूर्ण और वैज्ञानिक रूप से संपूर्ण सामग्री होने का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

पाठकों की लोकप्रिय मांग से सामग्री की क्लिक करने योग्य तालिका:

इसके अलावा, विषय पर एक अति-लघु सार है
- छह पृष्ठों का अध्ययन करके 16 प्रकार के चार्ट में महारत हासिल करें!

गंभीरता से, छह, मैं भी खुद हैरान था। इस सार में बेहतर ग्राफिक्स हैं और यह मामूली शुल्क पर उपलब्ध है, एक डेमो संस्करण देखा जा सकता है। फ़ाइल को प्रिंट करना सुविधाजनक है ताकि ग्राफ़ हमेशा हाथ में रहे। परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाएं?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें कार्तीय समन्वय प्रणाली:

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम अक्षरों "x" और "y" के साथ कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....समन्वय के लिए विमान डेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम रखतें है शून्यतथा कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी - कभी के बजाएइकाइयाँ, अन्य मूल्यों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 सेल काम नहीं करेंगे। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक रूलर के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में एक कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात करें तो स्टेशनरी पर एक संक्षिप्त अनुशंसा। आज तक, बिक्री पर अधिकांश नोटबुक, बिना बुरे शब्द कहे, पूर्ण भूत हैं। इस कारण से कि वे भीग जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। परीक्षणों के डिजाइन के लिए, मैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट्स, सेल) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रीफिल भी बॉलपॉइंट पेन से काफी बेहतर है, जो या तो स्मीयर या टियर पेपर है। मेरी स्मृति में एकमात्र "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट पेन एरिच क्रूस है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और स्थिर रूप से लिखती है - या तो पूरे तने के साथ, या लगभग खाली तने के साथ।

इसके साथ ही: विश्लेषणात्मक ज्यामिति की आंखों के माध्यम से एक आयताकार समन्वय प्रणाली की दृष्टि लेख में शामिल है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, निर्देशांक क्वार्टरों के बारे में विस्तृत जानकारी पाठ के दूसरे पैराग्राफ में पाई जा सकती है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर सख्ती से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) स्केल को कुल्हाड़ियों के अनुदिश सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया है (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखित)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। मैं अब क्या करुंगा। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय अक्ष उचित डिजाइन के संदर्भ में गलत दिखेंगे। मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक कार्य समीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है सीधे. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम कुछ अन्य बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. इस मामले में, लाइनों के चौराहे के बिंदु के बगल में या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना अत्यधिक अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठवीं कक्षा क्यों याद है?! ऐसा ही है, शायद ऐसा है, केवल अभ्यास के वर्षों के दौरान मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। द्विघात फलन का आलेख () एक परवलय है। प्रसिद्ध मामले पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का बेशर्मी से उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

इस निर्माण एल्गोरिथ्म को आलंकारिक रूप से "शटल" या "आगे और पीछे" सिद्धांत कहा जा सकता है, जिसमें अनफिसा चेखोवा है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

हाइपरबोला और परवलय पाठ में वक्र का गहन ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

यह एक बड़ी भूल होगी यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, आप ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींतथा नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "गेम" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। यह तथ्य ड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो हाइपरबोला पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित डॉट्स लगाएं और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

इस पैराग्राफ में, मैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि - यह एक अपरिमेय संख्या है: एक ग्राफ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जिसे वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन बिंदु शायद पर्याप्त हैं:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

प्राकृतिक लघुगणक के साथ एक फ़ंक्शन पर विचार करें।
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का प्लॉट एक जैसा दिखता है: , , (दशमलव लघुगणक से आधार 10), आदि। उसी समय, आधार जितना बड़ा होगा, चार्ट उतना ही चापलूसी करेगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, कुछ ऐसा जो मुझे याद नहीं है जब मैंने पिछली बार इस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया था। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: एक्सपोनेंशियल फंक्शन और लॉगरिदमिक फंक्शनदो परस्पर प्रतिलोम फलन हैं. यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही। साइन से

आइए फ़ंक्शन प्लॉट करें

इस लाइन को कहा जाता है sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह फ़ंक्शन है नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, बिल्कुल वही ग्राफ़ का टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।