यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। सही पिरामिड। इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, हम इसकी परिभाषा देंगे। आइए विचार करें कि एक नियमित पिरामिड क्या है और इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, हम इसकी परिभाषा देंगे।

बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो विमान α में स्थित है, और बिंदु पी, जो समतल α में नहीं है (चित्र 1)। आइए बिंदु को जोड़ते हैं पीचोटियों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक... हम पाते हैं एनत्रिभुज: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरआदि।

परिभाषा... बहुतल आरए 1 ए 2 ... ए एनकी रचना एन-गोनाल ए 1 ए 2...एकतथा एनत्रिभुज आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …पीए एन एन-1 कहा जाता है एन-गोनल पिरामिड। चावल। 1.

चावल। 1

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(रेखा चित्र नम्बर 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष।

ऐ बी सी डी- पिरामिड का आधार।

आरए- पार्श्व पसली।

अब- आधार का किनारा।

बिंदु से आरलंबवत छोड़ें एन एसआधार के तल पर ऐ बी सी डी... खींचा गया लंबवत पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पिरामिड की पूरी सतह में पार्श्व सतह होती है, यानी सभी पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल और आधार क्षेत्र:

एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला रेखा खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण पर स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(अंजीर। 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष। पिरामिड का आधार ऐ बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। बिंदु हे, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। माध्यम, आरओपिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 3

व्याख्या: सही में एन-गॉन, उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र मेल खाता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी यह कहा जाता है कि शीर्ष को केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेमऔर निरूपित एच ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

इन गुणों का प्रमाण एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण द्वारा दिया गया है।

दिया गया: पीएबीसीडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ऐ बी सी डी- वर्ग,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई।

साबित करना:

1. पीए = पीबी = पीसी = पीडी

2.= CP = DP = DAP चित्र देखें। 4.

चावल। 4

सबूत.

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई। यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसीऔर इसलिए प्रत्यक्ष एओ, वीओ, एसओतथा करनाइसमें लेटा हुआ। तो त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, पॉड- आयताकार।

एक वर्ग पर विचार करें ऐ बी सी डी... यह वर्ग के गुणों से इस प्रकार है कि एओ = बीओ = सीओ = करना।

तब समकोण त्रिभुज होते हैं आरओए, आरओवी, आरओएस, पॉडटांग आरओ- सामान्य और पैर एओ, वीओ, एसओतथा करनाबराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ये त्रिभुज दो पैरों में बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य खंडों की समानता से है, पीए = पीबी = पीसी = पीडी।आइटम 1 साबित होता है।

सेगमेंट अबतथा रविबराबर हैं, क्योंकि वे एक वर्ग की भुजाएँ हैं, पीए = पीबी = आरएस... तो त्रिभुज एबीपीतथा मानव संसाधन V -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार, हम पाते हैं कि त्रिभुज एटीएस, बीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और बराबर हैं, जैसा कि पैराग्राफ 2 में साबित करने के लिए आवश्यक है।

एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र आधार परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है जो एपोथेम का है:

प्रमाण के लिए, हम एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड चुनते हैं।

दिया गया: रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड।

एबी = बीसी = एसी।

आरओ- ऊंचाई।

साबित करना: ... अंजीर देखें। 5.

चावल। 5

सबूत।

रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड। अर्थात् अब= एसी = बीसी... रहने दो हे- त्रिभुज का केंद्र एबीसी, फिर आरओपिरामिड की ऊंचाई है। पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है एबीसी... नोटिस जो .

त्रिभुज आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (गुण के अनुसार)। त्रिभुजाकार पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए... इसलिए, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर है:

एस पक्ष = 3एस आरएवी

प्रमेय सिद्ध होता है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ऐ बी सी डी,

ऐ बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

पाना: एस पक्ष। अंजीर देखें। 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय द्वारा,.

आइए पहले आधार की भुजा ज्ञात करें अब... हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए ऐ बी सी डी 6 मीटर के किनारे के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी... रहने दो एम- पक्ष के बीच डीसी... चूंकि हे- मध्य बीडी, फिर (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु। एम- मध्य डीसी... अर्थात्, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी... फिर आर एम- पिरामिड का एपोथेम।

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई। फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए सीधी रेखा ओएमइसमें लेटा हुआ। एपोथेम खोजें आर एमएक समकोण त्रिभुज से ROM.

अब हम पिरामिड की पार्श्व सतह का पता लगा सकते हैं:

उत्तर: 60 मीटर 2.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के परितः परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या m है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 18 m 2 है। एपोथेम की लंबाई पाएं।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = सीए,

आर= एम,

एस पक्ष = 18 मीटर 2।

पाना:. अंजीर देखें। 7.

चावल। 7

समाधान.

एक नियमित त्रिभुज में एबीसीपरिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबसाइन प्रमेय का उपयोग करते हुए यह त्रिभुज।

एक नियमित त्रिभुज (m) की भुजा जानने के बाद, हम इसका परिमाप ज्ञात करते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, जहां एच ए- पिरामिड का एपोथेम। फिर:

उत्तर: 4 मी.

इसलिए, हमने जांच की कि एक पिरामिड क्या है, एक नियमित पिरामिड क्या है, और एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे।

ग्रन्थसूची

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1. इंटरनेट पोर्टल "याकलास" ()
2. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षणिक विचारों का उत्सव" 1 सितंबर "()
3. इंटरनेट पोर्टल "Slideshare.net" ()

होम वर्क

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के असम्बद्ध किनारे लंबवत होते हैं।
3. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के आधार के किनारे पर स्थित डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात कीजिए, यदि पिरामिड का एपोथेम उसके आधार की भुजा के बराबर है।
4. रावस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड। पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल के रैखिक कोण का निर्माण करें।

यहां आप पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। उन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के ट्यूटर के साथ पढ़ाया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। रेखाखंडों को पार्श्व पसली कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n = 3), चतुर्भुज (n = 4), ptyagonal (n = 5), इत्यादि कहा जाता है। त्रिकोणीय पिरामिड का एक वैकल्पिक नाम है चतुर्पाश्वीय... पिरामिड की ऊंचाई को लंबवत कहा जाता है, जो इसके शीर्ष से आधार के तल तक कम होता है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

ट्यूटर टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "सही टेट्राहेड्रॉन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का तात्पर्य बहुभुज के केंद्र P के संयोग से है ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोथेमा क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊंचाई है। यदि पिरामिड सही है, तो इसके सभी एपोथेम बराबर हैं। इसका उलट सत्य नहीं है।

अपनी शब्दावली के बारे में गणित में ट्यूटर: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) एक पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA युक्त

इन त्रिकोणों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले को कॉल करना अधिक सुविधाजनक होता है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय... दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा दर्ज करना होगा।

पिरामिड के आयतन का सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, और पिरामिड की ऊँचाई है
2), खुदा हुआ गोले की त्रिज्या कहाँ है, और पिरामिड की पूरी सतह का क्षेत्रफल है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

पिरामिड ऊंचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आकृति देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
१) सभी एपोटेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई के समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पक्षों के लिए समान रूप से झुकी हुई है

मैथ ट्यूटर कमेंट्री: ध्यान दें कि सभी बिंदुओं में एक समान गुण होता है: एक तरह से या कोई अन्य, हर जगह पार्श्व फलक शामिल होते हैं (एपोथेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर कम सटीक, लेकिन याद रखने के निर्माण के लिए अधिक सुविधाजनक प्रदान कर सकता है: बिंदु पी पिरामिड के आधार पर अंकित सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेमिक त्रिकोण बराबर हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के पास वर्णित एक वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन में से एक स्थिति सत्य है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियां आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ समान रूप से ऊँचाई की ओर झुकी होती हैं

पिरामिडएक चेहरे के साथ एक पॉलीहेड्रॉन है - पिरामिड का आधार - एक मनमाना बहुभुज, और बाकी - पक्ष के चेहरे - एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिकोण, जिसे पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक गिराए गए लंब को कहते हैं पिरामिड ऊंचाई... यदि पिरामिड का आधार त्रिभुज, चतुर्भुज आदि है तो पिरामिड को त्रिभुजाकार, चतुर्भुज आदि कहा जाता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन, आदि।

पिरामिड, छोटा पिरामिड

सही पिरामिड

यदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक गिरती है, तो पिरामिड सही है। एक नियमित पिरामिड में, सभी भुजाएँ समान होती हैं, सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज होती हैं। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक के त्रिभुज की ऊँचाई कहलाती है - नियमित पिरामिड का एपोथेम.

छोटा पिरामिड

पिरामिड के आधार के समानांतर एक खंड पिरामिड को दो भागों में विभाजित करता है। पिरामिड के आधार और इस खंड के बीच का भाग है छोटा पिरामिड ... काटे गए पिरामिड के लिए यह खंड इसके आधारों में से एक है। काटे गए पिरामिड के आधारों के बीच की दूरी को काटे गए पिरामिड की ऊंचाई कहा जाता है। एक काटे गए पिरामिड को सही कहा जाता है यदि जिस पिरामिड से इसे प्राप्त किया गया था वह सही था। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु समलम्ब होते हैं। एक नियमित काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक के समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई कहलाती है - नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम.

परिभाषा। साइड एजएक त्रिभुज है, जिसका एक कोना पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। पिरामिड में उतने ही किनारे हैं जितने कि बहुभुज के कोने हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेमपिरामिड के पार्श्व चेहरे के लिए लंबवत है, पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक कम किया गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंडपिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक गिरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार के तल की ओर झुके हुए हैं।

पार्श्व किनारे समान होते हैं जब वे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं या यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार के समान कोण पर ढलान करती हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों का एक समान द्विफलक (सपाट) कोण होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिचालित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. पिरामिड में एक गोला खुदा जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

एक पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब एक पॉलीहेड्रॉन पिरामिड के आधार पर स्थित होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन हमेशा किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोनों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

एक शंकु के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में उत्कीर्ण कहा जाता है यदि उनके शीर्ष मेल खाते हैं और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में खुदा हुआ है।

एक शंकु को एक पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उनके शीर्ष मेल खाते हैं, और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर घिरा हुआ है।

एक पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

एक पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक चक्र का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर खंड तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार, पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है, जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपोजॉइडल हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिकोणीय कोना.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं माध्य चतुष्फलक(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड है जो संपर्क में नहीं हैं (KL)।

चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिका एक बिंदु (S) पर मिलते हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और ऊपर से शुरू होकर 3: 1 के अनुपात में माध्यिकाएं होती हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें पसलियों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिड- यह एक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसमें चारों फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलक कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकशीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण के साथ एक चतुष्फलक कहा जाता है (किनारे लंबवत हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोनाऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी पहलू का एपोथेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की गई सभी ऊँचाइयाँ (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा होता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), एक सामान्य आधार होता है, और शीर्ष आधार तल के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

पिरामिड। छोटा पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका एक फलक बहुभुज होता है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( साइड फेस ) (अंजीर। 15)। पिरामिड कहा जाता है सही यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र की ओर प्रक्षेपित है (चित्र 16)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड, जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाते हैं चतुर्पाश्वीय .

साइड रिबपिरामिड पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी कहलाता है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व किनारे समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। ऊपर से खींचे गए एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई कहलाती है एपोथेम . विकर्ण खंड पिरामिड के खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक तल कहा जाता है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं होता है।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड को सभी भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। पूर्ण सतह क्षेत्र सभी भुजाओं के फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि पिरामिड के सभी किनारों की लंबाई समान है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के चारों ओर घेरे हुए वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड में सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाना पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र सही है:

कहां वी- आयतन;

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

एच- पिरामिड की ऊंचाई।

सही पिरामिड के लिए, सूत्र सही हैं:

कहां पी- आधार परिधि;

एच ए- एपोथेम;

एच- ऊंचाई;

एस पूर्ण

एस साइड

एस मुख्य- आधार क्षेत्र;

वीसही पिरामिड का आयतन है।

छोटा पिरामिडपिरामिड का वह भाग कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर छेदक तल के बीच घिरा होता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड इसे एक नियमित पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर छेदक तल के बीच घिरा होता है।

नींवकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। साइड फेस - ट्रेपोजॉइड। ऊंचाई एक छोटा पिरामिड इसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक काटे गए पिरामिड को इसके शीर्षों को जोड़ने वाला खंड कहा जाता है जो एक ही फलक पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक काटे गए पिरामिड के खंड को दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला विमान कहा जाता है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

एक काटे गए पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहां एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस साइड- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- काटे गए पिरामिड का आयतन।

एक सही काटे गए पिरामिड के लिए, सूत्र सही है:

कहां पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

एच ए- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोथेम।

उदाहरण 1।एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में, आधार पर विकर्ण कोण 60º है। आधार के तल के किनारे के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा का पता लगाएं।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 18)।

पिरामिड नियमित है, इसलिए आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है और सभी भुजाएँ समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व चेहरे के आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण कोण है एदो लंबवत के बीच: और यानी। पिरामिड के शीर्ष को त्रिभुज के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है (परिवृत्त का केंद्र और त्रिभुज में खुदा हुआ वृत्त) एबीसी) पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए एसबी) आधार के तल पर किनारे और उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। रिब के लिए एसबीयह कोण कोण होगा एसबीडी... स्पर्शरेखा खोजने के लिए, आपको पैरों को जानना होगा इसलिएतथा ओबी... माना खंड की लंबाई बीडी 3 . के बराबर है ए... दूरसंचार विभाग हेअनुभाग बीडीभागों में विभाजित है: और से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण २।एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी हैं, और ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानकर, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी हैं। तो आधारों के क्षेत्र और सूत्र में सभी डेटा को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम काटे गए पिरामिड की मात्रा की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व भाग एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। एक समलम्ब के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊंचाई जानने की जरूरत है। आधार शर्त द्वारा दिए गए हैं, केवल ऊंचाई अज्ञात रहती है। हम इसे कहाँ से पाएंगे ए 1 इबिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी- से लंबवत ए 1 पर जैसा. ए 1 इ= 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। ढूँढ़ने के लिए डेहम एक अतिरिक्त चित्र बनाएंगे, जिसमें हम एक शीर्ष दृश्य (अंजीर। 20) का चित्रण करेंगे। बिंदु हे- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (अंजीर देखें। 20) और दूसरी ओर ठीक हैखुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है और ओएम- खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार होता है, जिसके आधार होते हैं एतथा बी (ए> बी) प्रत्येक भुजा का फलक पिरामिड के आधार तल के साथ एक कोण बनाता है जो के बराबर होता है जे... पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (अंजीर। 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीसमलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल और क्षेत्रफल के योग के बराबर ऐ बी सी डी.

आइए हम इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। बिंदु हे- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर। त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का लंबकोणीय प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल पर। एक समतल आकृति के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, हम प्राप्त करते हैं:

इसी प्रकार, इसका अर्थ है इस प्रकार, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए कार्य को कम कर दिया गया ऐ बी सी डी... एक ट्रेपोजॉइड ड्रा करें ऐ बी सी डीअलग से (अंजीर। 22)। बिंदु हे- समलम्ब चतुर्भुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, या तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास है