Le funzioni elementari di base, le loro proprietà intrinseche ei grafici corrispondenti sono una delle basi della conoscenza matematica, simile per importanza alla tabellina. Le funzioni elementari sono la base, il supporto per lo studio di tutte le questioni teoriche.

L'articolo seguente fornisce materiale chiave sull'argomento delle funzioni elementari di base. Introdurremo termini, daremo loro definizioni; Studiamo in dettaglio ogni tipo di funzione elementare e analizziamo le loro proprietà.

Si distinguono i seguenti tipi di funzioni elementari di base:

Definizione 1

• funzione costante (costante);
• radice dell'ennesimo grado;
• funzione di alimentazione;
• funzione esponenziale;
• funzione logaritmica;
• funzioni trigonometriche;
• funzioni trigonometriche fraterne.

Una funzione costante è definita dalla formula: y = C (C è un numero reale) e ha anche un nome: costante. Questa funzione determina se un qualsiasi valore reale della variabile indipendente x corrisponde allo stesso valore della variabile y – il valore C .

Il grafico di una costante è una linea retta parallela all'asse x e passante per un punto avente coordinate (0, C). Per chiarezza, presentiamo grafici di funzioni costanti y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (contrassegnate rispettivamente in nero, rosso e blu nel disegno).

Definizione 2

Questa funzione elementare è definita dalla formula y = x n (n è un numero naturale maggiore di uno).

Consideriamo due varianti della funzione.

1. Radice dell'ennesimo grado, n è un numero pari

Per chiarezza indichiamo il disegno, che mostra i grafici di tali funzioni: y = x , y = x 4 e y = x 8 . Queste funzioni sono codificate a colori: rispettivamente nero, rosso e blu.

Una vista simile dei grafici della funzione di un grado pari per altri valori dell'indicatore.

Definizione 3

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero pari

• il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali non negativi [ 0 , + ∞) ;
• quando x = 0 , la funzione y = x n ha valore uguale a zero;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né pari né dispari);
• intervallo: [ 0 , + ∞) ;
• questa funzione y = x n con esponenti pari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
• la funzione ha una convessità con direzione ascendente sull'intero dominio di definizione;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• il grafico della funzione per n pari passa per i punti (0 ; 0) e (1 ; 1) .

1. Radice dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

Tale funzione è definita sull'intero insieme dei numeri reali. Per chiarezza, considera i grafici delle funzioni y = x 3 , y = x 5 e x9. Nel disegno sono indicati dai colori: rispettivamente nero, rosso e blu delle curve.

Altri valori dispari dell'esponente della radice della funzione y = x n daranno un grafico di forma simile.

Definizione 4

Proprietà della radice della funzione dell'ennesimo grado, n è un numero dispari

• il dominio di definizione è l'insieme di tutti i numeri reali;
• questa funzione è dispari;
• l'intervallo di valori è l'insieme di tutti i numeri reali;
• la funzione y = x n con esponenti dispari della radice aumenta sull'intero dominio di definizione;
• la funzione ha concavità sull'intervallo (- ∞ ; 0 ] e convessità sull'intervallo [ 0 , + ∞) ;
• il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) ;
• non ci sono asintoti;
• il grafico della funzione per n dispari passa per i punti (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) e (1 ; 1) .

Funzione di alimentazione

Definizione 5

La funzione di potenza è definita dalla formula y = x a .

Il tipo di grafici e le proprietà della funzione dipendono dal valore dell'esponente.

• quando una funzione di potenza ha un esponente intero a, la forma del grafico della funzione di potenza e le sue proprietà dipendono dal fatto che l'esponente sia pari o dispari, e anche dal segno che ha l'esponente. Consideriamo di seguito tutti questi casi speciali in modo più dettagliato;
• l'esponente può essere frazionario o irrazionale - a seconda di ciò, variano anche il tipo di grafici e le proprietà della funzione. Analizzeremo casi speciali impostando diverse condizioni: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• una funzione di potenza può avere un esponente zero, analizzeremo anche questo caso in modo più dettagliato di seguito.

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo dispari, ad esempio a = 1 , 3 , 5 …

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y = x (colore nero del grafico), y = x 3 (colore blu del grafico), y = x 5 (colore rosso del grafico), y = x 7 (grafico verde). Quando a = 1 , otteniamo una funzione lineare y = x .

Definizione 6

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è un positivo dispari

• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) (esclusa la funzione lineare);
• il punto di flesso ha coordinate (0 ; 0) (esclusa la funzione lineare);
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando a è un numero positivo pari, ad esempio a = 2 , 4 , 6 ...

Per chiarezza indichiamo i grafici di tali funzioni di potenza: y \u003d x 2 (colore nero del grafico), y = x 4 (colore blu del grafico), y = x 8 (colore rosso del grafico). Quando a = 2, otteniamo una funzione quadratica il cui grafico è una parabola quadratica.

Definizione 7

Proprietà di una funzione di potenza quando l'esponente è anche positivo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• decrescente per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici di funzioni esponenziali y = x a quando a è un numero negativo dispari: y = x - 9 (colore nero del grafico); y = x - 5 (colore blu del grafico); y = x - 3 (colore rosso del grafico); y = x - 1 (grafico verde). Quando a \u003d - 1, otteniamo una proporzionalità inversa, il cui grafico è un'iperbole.

Definizione 8

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è dispari negativo:

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 xa \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ per a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• intervallo: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• la funzione è convessa per x ∈ (- ∞ ; 0) e concava per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

La figura seguente mostra esempi di grafici delle funzioni di potenza y = x a quando a è un numero pari negativo: y = x - 8 (grafico in nero); y = x - 4 (colore blu del grafico); y = x - 2 (colore rosso del grafico).

Definizione 9

Proprietà della funzione di potenza quando l'esponente è anche negativo:

• dominio di definizione: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Quando x \u003d 0, otteniamo una discontinuità del secondo tipo, poiché lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ per a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Pertanto, la retta x = 0 è un asintoto verticale;

• la funzione è pari perché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ (- ∞ ; 0) e decrescente per x ∈ 0 ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è una retta y = 0 perché:

k = lim x → ∞ x un x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 quando a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• punti di passaggio della funzione: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Fin dall'inizio, prestare attenzione al seguente aspetto: nel caso in cui a sia una frazione positiva con denominatore dispari, alcuni autori prendono l'intervallo - ∞ come dominio di definizione di questa funzione di potenza; + ∞ , stabilendo che l'esponente a è una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di molte pubblicazioni didattiche sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINONO le funzioni di potenza, dove l'esponente è una frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiremo proprio a tale posizione: prendiamo l'insieme [ 0 ; +∞) . Raccomandazione per gli studenti: scoprire a questo punto il punto di vista dell'insegnante per evitare disaccordi.

Quindi diamo un'occhiata alla funzione di alimentazione y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale a condizione che 0< a < 1 .

Illustriamo con grafici le funzioni di potenza y = x a quando a = 11 12 (grafico in nero); a = 5 7 (colore rosso del grafico); a = 1 3 (colore blu del grafico); a = 2 5 (colore verde del grafico).

Altri valori dell'esponente a (supponendo 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definizione 10

Proprietà della funzione di potenza a 0< a < 1:

• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione ha convessità per x ∈ (0 ; + ∞) ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo la funzione di potenza y = x a quando l'esponente è un numero razionale o irrazionale non intero a condizione che a > 1 .

Illustriamo i grafici della funzione di potenza y \u003d xa in determinate condizioni utilizzando le seguenti funzioni come esempio: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (nero, rosso, blu, verde rispettivamente grafici).

Altri valori dell'esponente a nella condizione a > 1 daranno una vista simile del grafico.

Definizione 11

Proprietà della funzione di potenza per a > 1:

• dominio di definizione: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• intervallo: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è crescente per x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• la funzione è concava per x ∈ (0 ; + ∞) (quando 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punti di passaggio della funzione: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Attiriamo la vostra attenzione Quando a è una frazione negativa con denominatore dispari, nelle opere di alcuni autori si ritiene che il dominio di definizione in questo caso sia l'intervallo - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) con la condizione che l'esponente a sia una frazione irriducibile. Al momento, gli autori di materiali didattici sull'algebra e gli inizi dell'analisi NON DEFINISCONO le funzioni di potenza con un esponente sotto forma di frazione con denominatore dispari per valori negativi dell'argomento. Inoltre, aderiamo proprio a questo punto di vista: prendiamo l'insieme (0 ; + ∞) come dominio delle funzioni di potenza con esponenti negativi frazionari. Suggerimento per gli studenti: chiarisci a questo punto la visione del tuo insegnante per evitare disaccordi.

Continuiamo l'argomento e analizziamo la funzione di potenza y = x a fornito: - 1< a < 0 .

Ecco un disegno di grafici delle seguenti funzioni: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (linee nere, rosse, blu, verdi, rispettivamente ).

Definizione 12

Proprietà della funzione di potenza a - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ 0 ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• non ci sono punti di flesso;

Il disegno seguente mostra i grafici delle funzioni di potenza y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (rispettivamente i colori nero, rosso, blu, verde delle curve).

Definizione 13

Proprietà della funzione di potenza per a< - 1:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ quando a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione è decrescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - linea retta y = 0;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 1) .

Quando a \u003d 0 e x ≠ 0, otteniamo la funzione y \u003d x 0 \u003d 1, che determina la linea da cui è escluso il punto (0; 1) (abbiamo convenuto che l'espressione 0 0 non verrà data qualsiasi valore).

La funzione esponenziale ha la forma y = a x , dove a > 0 e a ≠ 1 , e il grafico di questa funzione appare diverso in base al valore della base a . Consideriamo casi speciali.

Per prima cosa, analizziamo la situazione in cui la base della funzione esponenziale ha un valore da zero a uno (0< a < 1) . Un esempio illustrativo sono i grafici delle funzioni per a = 1 2 (colore blu della curva) e a = 5 6 (colore rosso della curva).

I grafici della funzione esponenziale avranno forma simile per altri valori della base, a patto che 0< a < 1 .

Definizione 14

Proprietà di una funzione esponenziale quando la base è minore di uno:

• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è minore di uno è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• non ci sono punti di flesso;
• l'asintoto orizzontale è la retta y = 0 con la variabile x tendente a + ∞ ;

Consideriamo ora il caso in cui la base della funzione esponenziale è maggiore di uno (a > 1).

Illustriamo questo caso speciale con il grafico delle funzioni esponenziali y = 3 2 x (colore blu della curva) e y = e x (colore rosso del grafico).

Altri valori della base, maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico della funzione esponenziale.

Definizione 15

Proprietà della funzione esponenziale quando la base è maggiore di uno:

• il dominio di definizione è l'intero insieme dei numeri reali;
• intervallo: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• una funzione esponenziale la cui base è maggiore di uno è crescente per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione è concava per x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• asintoto orizzontale - retta y = 0 con variabile x tendente a -∞;
• punto di passaggio della funzione: (0 ; 1) .

La funzione logaritmica ha la forma y = log a (x) , dove a > 0 , a ≠ 1 .

Tale funzione è definita solo per valori positivi dell'argomento: per x ∈ 0 ; +∞ .

Il grafico della funzione logaritmica ha una forma diversa, in base al valore della base a.

Considera prima la situazione in cui 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Altri valori della base, non maggiori di uno, daranno una vista simile del grafico.

Definizione 16

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è minore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a + ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• logaritmico
• la funzione è concava per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;

Analizziamo ora un caso particolare in cui la base della funzione logaritmica è maggiore di uno: a > 1 . Nel disegno sottostante, ci sono i grafici delle funzioni logaritmiche y = log 3 2 x e y = ln x (rispettivamente i colori blu e rosso dei grafici).

Altri valori della base maggiori di uno daranno una vista simile del grafico.

Definizione 17

Proprietà di una funzione logaritmica quando la base è maggiore di uno:

• dominio di definizione: x ∈ 0 ; +∞ . Poiché x tende a zero da destra, i valori della funzione tendono a - ∞;
• intervallo: y ∈ - ∞ ; + ∞ (l'intero insieme dei numeri reali);
• questa funzione è una funzione di forma generale (non è né dispari né pari);
• la funzione logaritmica è crescente per x ∈ 0; +∞ ;
• la funzione ha convessità per x ∈ 0; +∞ ;
• non ci sono punti di flesso;
• non ci sono asintoti;
• punto di passaggio della funzione: (1 ; 0) .

Le funzioni trigonometriche sono seno, coseno, tangente e cotangente. Analizziamo le proprietà di ciascuno di essi e i grafici corrispondenti.

In generale, tutte le funzioni trigonometriche sono caratterizzate dalla proprietà della periodicità, cioè quando i valori delle funzioni vengono ripetuti per valori diversi dell'argomento che differiscono tra loro per il valore del periodo f (x + T) = f (x) (T è il periodo). Pertanto, l'elemento "periodo meno positivo" viene aggiunto all'elenco delle proprietà delle funzioni trigonometriche. Inoltre, indicheremo tali valori dell'argomento per cui la funzione corrispondente scompare.

1. Funzione seno: y = sin(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda sinusoidale.

Definizione 18

Proprietà della funzione seno:

• dominio di definizione: l'intero insieme dei numeri reali x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• la funzione svanisce quando x = π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• la funzione è crescente per x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• la funzione seno ha massimi locali nei punti π 2 + 2 π · k ; 1 e minimi locali nei punti - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
• la funzione seno è concava quando x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• non ci sono asintoti.

1. funzione coseno: y=cos(x)

Il grafico di questa funzione è chiamato onda coseno.

Definizione 19

Proprietà della funzione coseno:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• il periodo positivo più piccolo: T \u003d 2 π;
• intervallo: y ∈ - 1 ; uno ;
• questa funzione è pari, poiché y (- x) = y (x) ;
• la funzione è crescente per x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z e decrescente per x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• la funzione coseno ha massimi locali nei punti 2 π · k ; 1 , k ∈ Z e minimi locali nei punti π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• la funzione coseno è concava quando x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z e convesso quando x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• non ci sono asintoti.

1. Funzione tangente: y = tg (x)

Viene chiamato il grafico di questa funzione tangenziale.

Definizione 20

Proprietà della funzione tangente:

• dominio di definizione: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• Il comportamento della funzione tangente sul confine del dominio di definizione lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + ∞ . Pertanto, le linee x = π 2 + π · k k ∈ Z sono asintoti verticali;
• la funzione svanisce quando x = π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente a -π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• la funzione tangente è concava per x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z e convesso per x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Funzione cotangente: y = c t g (x)

Il grafico di questa funzione è chiamato cotangenteide. .

Definizione 21

Proprietà della funzione cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ (π k ; π + π k) , dove k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);

Comportamento della funzione cotangente al confine del dominio di definizione lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Pertanto, le linee x = π k k ∈ Z sono asintoti verticali;

• il periodo positivo più piccolo: T \u003d π;
• la funzione svanisce quando x = π 2 + π k per k ∈ Z (Z è l'insieme degli interi);
• intervallo: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è decrescente per x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• la funzione cotangente è concava per x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z e convessa per x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• i punti di flesso hanno coordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• non ci sono asintoti obliqui e orizzontali.

Le funzioni trigonometriche inverse sono l'arcoseno, l'arcocoseno, l'arcotangente e l'arcocotangente. Spesso, a causa della presenza del prefisso "arco" nel nome, le funzioni trigonometriche inverse sono chiamate funzioni ad arco. .

1. Funzione arcoseno: y = a r c sin (x)

Definizione 22

Proprietà della funzione arcoseno:

• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ 0; 1 e convessità per x ∈ - 1 ; 0;
• i punti di flesso hanno coordinate (0 ; 0) , è anche lo zero della funzione;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcoseno: y = a r c cos (x)

Definizione 23

Proprietà della funzione arcoseno:

• dominio di definizione: x ∈ - 1 ; uno ;
• intervallo: y ∈ 0 ; π;
• questa funzione è di forma generale (né pari né dispari);
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcoseno è concava per x ∈ - 1 ; 0 e convessità per x ∈ 0 ; uno ;
• i punti di flesso hanno coordinate 0 ; π2;
• non ci sono asintoti.

1. Funzione arcotangente: y = a r c t g (x)

Definizione 24

Proprietà della funzione arcotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ - π 2 ; π2;
• questa funzione è dispari perché y (- x) = - y (x) ;
• la funzione è crescente nell'intero dominio di definizione;
• la funzione arctangente è concava per x ∈ (- ∞ ; 0 ] e convessa per x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• il punto di flesso ha coordinate (0; 0), è anche lo zero della funzione;
• gli asintoti orizzontali sono linee rette y = - π 2 per x → - ∞ e y = π 2 per x → + ∞ (gli asintoti nella figura sono linee verdi).

1. Funzione arco cotangente: y = a r c c t g (x)

Definizione 25

Proprietà della funzione arco cotangente:

• dominio di definizione: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• intervallo: y ∈ (0 ; π) ;
• questa funzione è di tipo generale;
• la funzione è decrescente sull'intero dominio di definizione;
• la funzione arcocotangente è concava per x ∈ [ 0 ; + ∞) e convessità per x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• il punto di flesso ha coordinate 0 ; π2;
• gli asintoti orizzontali sono le linee rette y = π in x → - ∞ (linea verde nel disegno) e y = 0 in x → + ∞.

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La lunghezza del segmento sull'asse delle coordinate si trova dalla formula:

La lunghezza del segmento sul piano delle coordinate è ricercata dalla formula:

Per trovare la lunghezza di un segmento in un sistema di coordinate tridimensionale, viene utilizzata la seguente formula:

Le coordinate del centro del segmento (per l'asse delle coordinate viene utilizzata solo la prima formula, per il piano delle coordinate - le prime due formule, per il sistema di coordinate tridimensionale - tutte e tre le formule) sono calcolate dalle formule:

Funzioneè una corrispondenza del modulo y= F(X) tra variabili, per cui ciascuna considerava il valore di una certa variabile X(argomento o variabile indipendente) corrisponde a un certo valore di un'altra variabile, y(variabile dipendente, a volte questo valore è semplicemente chiamato il valore della funzione). Si noti che la funzione assume quell'unico valore dell'argomento X può esserci un solo valore della variabile dipendente in. Tuttavia, lo stesso valore in può essere ottenuto con vari X.

Ambito della funzione sono tutti valori della variabile indipendente (funzione argomento, di solito X) per cui è definita la funzione, ovvero il suo significato esiste. Viene indicato il dominio di definizione D(y). In generale, hai già familiarità con questo concetto. L'ambito di una funzione è altrimenti chiamato dominio dei valori validi, o ODZ, che è stato possibile trovare per molto tempo.

Gamma di funzioni sono tutti valori possibili della variabile dipendente di questa funzione. Denotato e(in).

La funzione aumenta sull'intervallo in cui il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore maggiore della funzione. Funzione decrescente sull'intervallo in cui il valore maggiore dell'argomento corrisponde al valore minore della funzione.

Intervalli di funzione sono gli intervalli della variabile indipendente in cui la variabile dipendente mantiene il suo segno positivo o negativo.

Zero di funzione sono quei valori dell'argomento per cui il valore della funzione è uguale a zero. In questi punti il ​​grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse OX). Molto spesso la necessità di trovare gli zeri di una funzione significa semplicemente risolvere l'equazione. Inoltre, spesso la necessità di trovare intervalli di segno costante implica la necessità di risolvere semplicemente la disuguaglianza.

Funzione y = F(X) sono chiamati Anche X

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, i valori della funzione pari sono uguali. Il grafico di una funzione pari è sempre simmetrico rispetto all'asse y dell'amplificatore operazionale.

Funzione y = F(X) sono chiamati strano, se è definito su un insieme simmetrico e per qualsiasi X dal dominio di definizione l'uguaglianza è soddisfatta:

Ciò significa che per qualsiasi valore opposto dell'argomento, anche i valori della funzione dispari sono opposti. Il grafico di una funzione dispari è sempre simmetrico rispetto all'origine.

La somma delle radici delle funzioni pari e dispari (punti di intersezione dell'asse delle ascisse OX) è sempre uguale a zero, perché per ogni radice positiva X ha una radice negativa X.

È importante notare che alcune funzioni non devono essere pari o dispari. Ci sono molte funzioni che non sono né pari né dispari. Tali funzioni sono chiamate funzioni generali, e nessuna delle uguaglianze o proprietà di cui sopra vale per loro.

Funzione lineareè chiamata una funzione che può essere data dalla formula:

Il grafico di una funzione lineare è una retta e nel caso generale si presenta così (un esempio è dato per il caso quando K> 0, in questo caso la funzione è crescente; per il caso K < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafico della funzione quadratica (parabola)

Il grafico di una parabola è dato da una funzione quadratica:

Una funzione quadratica, come qualsiasi altra funzione, interseca l'asse OX nei punti che sono le sue radici: ( X uno ; 0) e ( X 2; 0). Se non ci sono radici, la funzione quadratica non interseca l'asse OX, se c'è una radice, a questo punto ( X 0; 0) la funzione quadratica tocca solo l'asse OX, ma non lo interseca. Una funzione quadratica interseca sempre l'asse OY in un punto con coordinate: (0; C). Il grafico di una funzione quadratica (parabola) può assomigliare a questo (la figura mostra esempi che lungi dall'esaurire tutti i possibili tipi di parabole):

in cui:

• se il coefficiente un> 0, nella funzione y = ascia 2 + bx + C, quindi i rami della parabola sono diretti verso l'alto;
• Se un < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Le coordinate del vertice della parabola possono essere calcolate utilizzando le seguenti formule. X cime (P- nelle figure sopra) di una parabola (o il punto in cui il trinomio quadrato raggiunge il suo valore massimo o minimo):

Y cime (Q- nelle figure sopra) di una parabola o il massimo se i rami della parabola sono diretti verso il basso ( un < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (un> 0), il valore del trinomio quadrato:

Grafici di altre funzioni

funzione di potenza

Ecco alcuni esempi di grafici di funzioni di potenza:

Dipendenza inversamente proporzionale chiama la funzione data dalla formula:

A seconda del segno del numero K Un grafico inversamente proporzionale può avere due opzioni fondamentali:

Asintotoè la retta a cui la retta del grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non si interseca. Gli asintoti per i grafici di proporzionalità inversa mostrati nella figura sopra sono gli assi delle coordinate, a cui il grafico della funzione si avvicina infinitamente, ma non li interseca.

funzione esponenziale con base un chiama la funzione data dalla formula:

un il grafico di una funzione esponenziale può avere due opzioni fondamentali (faremo anche degli esempi, vedi sotto):

funzione logaritmica chiama la funzione data dalla formula:

A seconda che il numero sia maggiore o minore di uno un Il grafico di una funzione logaritmica può avere due opzioni fondamentali:

Grafico delle funzioni y = |X| come segue:

Grafici di funzioni periodiche (trigonometriche).

Funzione in = F(X) è chiamato periodico, se esiste un tale numero diverso da zero T, che cosa F(X + T) = F(X), per chiunque X fuori dall'ambito della funzione F(X). Se la funzione F(X) è periodico con punto T, quindi la funzione:

dove: UN, K, B sono numeri costanti, e K diverso da zero, anche periodico con un punto T 1, che è determinato dalla formula:

La maggior parte degli esempi di funzioni periodiche sono funzioni trigonometriche. Ecco i grafici delle principali funzioni trigonometriche. La figura seguente mostra parte del grafico della funzione y= peccato X(l'intero grafico continua indefinitamente a sinistra ea destra), il grafico della funzione y= peccato X chiamato sinusoide:

Grafico delle funzioni y= cos X chiamato onda coseno. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Poiché il grafico del seno, continua indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra ea destra:

Grafico delle funzioni y=tg X chiamato tangenziale. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche, questo grafico si ripete indefinitamente lungo l'asse OX a sinistra ea destra.

E infine, il grafico della funzione y=ctg X chiamato cotangenteide. Questo grafico è mostrato nella figura seguente. Come i grafici di altre funzioni periodiche e trigonometriche, questo grafico si ripete all'infinito lungo l'asse OX a sinistra ea destra.

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Come prepararsi con successo per il CT in Fisica e Matematica?

Per prepararsi con successo al CT in Fisica e Matematica, tra le altre cose, devono essere soddisfatte tre condizioni critiche:

1. Studia tutti gli argomenti e completa tutti i test e i compiti forniti nei materiali di studio su questo sito. Per fare questo, non è necessario nulla, ovvero: dedicare dalle tre alle quattro ore al giorno alla preparazione per la TC in fisica e matematica, allo studio della teoria e alla risoluzione dei problemi. Il fatto è che il DT è un esame in cui non basta solo conoscere la fisica o la matematica, bisogna anche essere in grado di risolvere velocemente e senza fallimenti un gran numero di problemi su vari argomenti e di varia complessità. Quest'ultimo può essere appreso solo risolvendo migliaia di problemi.
2. Impara tutte le formule e le leggi in fisica e le formule e i metodi in matematica. In effetti, è anche molto semplice farlo, ci sono solo circa 200 formule necessarie in fisica e anche un po' meno in matematica. In ciascuna di queste materie esistono circa una dozzina di metodi standard per risolvere problemi di un livello base di complessità, che possono anche essere appresi, e quindi, in modo completamente automatico e senza difficoltà, risolvere la maggior parte della trasformazione digitale al momento giusto. Dopodiché, dovrai solo pensare ai compiti più difficili.
3. Partecipa a tutte e tre le fasi dei test di prova in fisica e matematica. Ogni RT può essere visitata due volte per risolvere entrambe le opzioni. Anche in questo caso, sul DT, oltre alla capacità di risolvere problemi in modo rapido ed efficiente e alla conoscenza di formule e metodi, è necessario anche essere in grado di pianificare correttamente il tempo, distribuire le forze e, soprattutto, compilare correttamente il modulo di risposta, senza confondere né i numeri delle risposte e dei problemi, né il proprio nome. Inoltre, durante il RT, è importante abituarsi allo stile di porre domande nei compiti, che possono sembrare molto insoliti per una persona impreparata sul DT.

L'attuazione riuscita, diligente e responsabile di questi tre punti, nonché lo studio responsabile delle prove formative finali, ti permetteranno di mostrare un risultato eccellente sulla TC, il massimo di ciò di cui sei capace.

Trovato un errore?

Se, come ti sembra, hai trovato un errore nei materiali di formazione, scrivilo via e-mail (). Nella lettera indica la materia (fisica o matematica), il nome o il numero dell'argomento o della prova, il numero del compito, o la posizione nel testo (pagina) dove, secondo te, c'è un errore. Descrivi anche qual è il presunto errore. La tua lettera non passerà inosservata, l'errore verrà corretto o ti verrà spiegato perché non è un errore.

Vediamo come esplorare una funzione usando un grafico. Si scopre che guardando il grafico, puoi scoprire tutto ciò che ci interessa, ovvero:

• ambito della funzione
• gamma di funzioni
• zeri di funzione
• periodi di aumento e diminuzione
• punti alti e bassi
• il valore più grande e più piccolo della funzione sul segmento.

Chiariamo la terminologia:

Ascissaè la coordinata orizzontale del punto.
Ordinato- coordinata verticale.
ascissa- l'asse orizzontale, più spesso chiamato asse.
Asse Y- asse verticale, o asse.

Discussioneè una variabile indipendente da cui dipendono i valori della funzione. Il più delle volte indicato.
In altre parole, noi stessi scegliamo , sostituiamo nella formula della funzione e otteniamo .

Dominio funzioni: l'insieme di quei (e solo quelli) valori dell'argomento per cui esiste la funzione.
Denotato: o .

Nella nostra figura, il dominio della funzione è un segmento. È su questo segmento che viene disegnato il grafico della funzione. Solo qui esiste questa funzione.

Gamma di funzioniè l'insieme di valori che assume la variabile. Nella nostra figura, questo è un segmento, dal valore più basso a quello più alto.

Zero di funzione- punti in cui il valore della funzione è uguale a zero, ovvero . Nella nostra figura, questi sono i punti e .

I valori delle funzioni sono positivi dove . Nella nostra figura, questi sono gli intervalli e .
I valori delle funzioni sono negativi dove . Abbiamo questo intervallo (o intervallo) da a.

I concetti più importanti - funzioni crescenti e decrescenti su qualche set. Come insieme, puoi prendere un segmento, un intervallo, un'unione di intervalli o l'intera linea dei numeri.

Funzione aumenta

In altre parole, più , più , ovvero il grafico va a destra e in alto.

Funzione decrescente sull'insieme se per qualsiasi e appartenente all'insieme la disuguaglianza implica la disuguaglianza.

Per una funzione decrescente, un valore maggiore corrisponde a un valore minore. Il grafico va a destra e in basso.

Nella nostra figura, la funzione aumenta sull'intervallo e diminuisce sugli intervalli e .

Definiamo cos'è punti massimo e minimo della funzione.

Punto massimo- questo è un punto interno del dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso è maggiore che in tutti i punti sufficientemente vicini ad esso.
In altre parole, il punto massimo è tale punto, il valore della funzione in corrispondenza del quale Di più che in quelli vicini. Questa è una "collina" locale sul grafico.

Nella nostra figura - il punto massimo.

Punto basso- un punto interno del dominio di definizione, tale che il valore della funzione in esso contenuto sia minore che in tutti i punti ad esso sufficientemente vicini.
Cioè, il punto minimo è tale che il valore della funzione in esso contenuto sia inferiore rispetto a quelli vicini. Sul grafico, questo è un "buco" locale.

Nella nostra figura - il punto minimo.

Il punto è il confine. Non è un punto interno del dominio di definizione e quindi non si adatta alla definizione di punto massimo. Dopotutto, non ha vicini a sinistra. Allo stesso modo, non ci può essere un punto minimo nel nostro grafico.

I punti massimo e minimo vengono chiamati collettivamente punti estremi della funzione. Nel nostro caso, questo è e .

Ma cosa succede se hai bisogno di trovare, ad esempio, minimo di funzione sul taglio? In questo caso la risposta è: perché minimo di funzioneè il suo valore nel punto minimo.

Allo stesso modo, il massimo della nostra funzione è . Si raggiunge al punto.

Possiamo dire che gli estremi della funzione sono uguali a e .

A volte nelle attività che devi trovare i valori più grande e più piccolo della funzione su un dato segmento. Non necessariamente coincidono con gli estremi.

Nel nostro caso valore della funzione più piccolo sull'intervallo è uguale e coincide con il minimo della funzione. Ma il suo valore più grande su questo segmento è pari a . Si raggiunge all'estremità sinistra del segmento.

In ogni caso, i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento si ottengono o nei punti estremi o alle estremità del segmento.

Questo materiale metodologico è solo di riferimento e copre un'ampia gamma di argomenti. L'articolo fornisce una panoramica dei grafici delle principali funzioni elementari e considera la questione più importante: come costruire correttamente e VELOCEMENTE un grafico. Nel corso dello studio della matematica superiore senza conoscere i grafici delle funzioni elementari di base, sarà difficile, quindi è molto importante ricordare che aspetto hanno i grafici di una parabola, iperbole, seno, coseno, ecc., per ricordarne alcuni valori di funzione. Parleremo anche di alcune proprietà delle funzioni principali.

Non pretendo di completezza e completezza scientifica dei materiali, l'accento sarà posto, prima di tutto, sulla pratica - quelle cose con cui bisogna affrontare letteralmente ogni passo, in qualsiasi argomento di matematica superiore. Grafici per manichini? Puoi dirlo.

A grande richiesta dei lettori sommario cliccabile:

Inoltre, c'è un brevissimo abstract sull'argomento
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Seriamente, sei, anche io stesso sono rimasto sorpreso. Questo abstract contiene una grafica migliorata ed è disponibile a un costo nominale, è possibile visualizzare una versione demo. È conveniente stampare il file in modo che i grafici siano sempre a portata di mano. Grazie per aver sostenuto il progetto!

E iniziamo subito:

Come costruire correttamente gli assi delle coordinate?

In pratica, le prove vengono quasi sempre redatte dagli studenti in quaderni separati, allineati in una gabbia. Perché hai bisogno di segni a scacchi? Dopotutto, il lavoro, in linea di principio, può essere eseguito su fogli A4. E la gabbia è necessaria solo per la progettazione accurata e di alta qualità dei disegni.

Qualsiasi disegno di un grafico di funzione inizia con gli assi delle coordinate.

I disegni sono bidimensionali e tridimensionali.

Consideriamo prima il caso bidimensionale Sistema di coordinate cartesiano:

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. L'asse viene chiamato asse x , e l'asse asse y . Cerchiamo sempre di disegnarli pulito e non storto. Anche le frecce non dovrebbero assomigliare alla barba di papa Carlo.

2) Segniamo gli assi con le lettere maiuscole "x" e "y". Non dimenticare di firmare gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi: disegna zero e due uno. Quando si esegue un disegno, la scala più comoda e comune è: 1 unità = 2 celle (disegno a sinistra) - attenersi ad essa se possibile. Tuttavia, di tanto in tanto capita che il disegno non si adatti al foglio di un quaderno, quindi riduciamo la scala: 1 unità = 1 cella (disegno a destra). Raramente, ma capita che la scala del disegno debba essere ulteriormente ridotta (o aumentata).

NON scarabocchiare da una mitragliatrice ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Perché il piano delle coordinate non è un monumento a Cartesio e lo studente non è una colomba. Abbiamo messo zero e due unità lungo gli assi. Qualche volta invece di unità, è conveniente "rilevare" altri valori, ad esempio "due" sull'asse delle ascisse e "tre" sull'asse delle ordinate - e questo sistema (0, 2 e 3) imposterà anche in modo univoco la griglia delle coordinate.

È meglio stimare le dimensioni stimate del disegno PRIMA che il disegno venga disegnato.. Quindi, ad esempio, se l'attività richiede il disegno di un triangolo con vertici , , , è abbastanza chiaro che la popolare scala 1 unità = 2 celle non funzionerà. Come mai? Diamo un'occhiata al punto: qui devi misurare quindici centimetri in basso e, ovviamente, il disegno non si adatta (o si adatta a malapena) su un foglio di quaderno. Pertanto, selezioniamo immediatamente una scala più piccola 1 unità = 1 cella.

A proposito, circa centimetri e celle del notebook. È vero che ci sono 15 centimetri in 30 celle di notebook? Misura su un quaderno per interesse 15 centimetri con un righello. In URSS, forse questo era vero ... È interessante notare che se si misurano questi stessi centimetri orizzontalmente e verticalmente, i risultati (nelle celle) saranno diversi! A rigor di termini, i notebook moderni non sono a scacchi, ma rettangolari. Può sembrare una sciocchezza, ma disegnare, ad esempio, un cerchio con una bussola in tali situazioni è molto scomodo. Ad essere onesti, in questi momenti inizi a pensare alla correttezza del compagno Stalin, che è stato mandato nei campi per lavori di hackeraggio nella produzione, per non parlare dell'industria automobilistica nazionale, degli aerei che cadono o delle centrali elettriche che esplodono.

A proposito di qualità, o una breve raccomandazione sulla cancelleria. Ad oggi la maggior parte dei quaderni in vendita, senza dire parolacce, sono dei completi goblin. Per il motivo che si bagnano, e non solo dalle penne gel, ma anche dalle penne a sfera! Risparmia sulla carta. Per la progettazione dei test, consiglio di utilizzare i taccuini di Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 fogli, cella) o Pyaterochka, anche se è più costoso. Si consiglia di scegliere una penna gel, anche la ricarica gel cinese più economica è molto meglio di una penna a sfera, che macchia o strappa la carta. L'unica penna a sfera "competitiva" che ho in memoria è la Erich Krause. Scrive in modo chiaro, bello e stabile - con uno stelo pieno o con uno quasi vuoto.

Inoltre: la visione di un sistema di coordinate rettangolare attraverso gli occhi della geometria analitica è trattata nell'articolo Lineare (non)dipendenza dei vettori. Base vettoriale, informazioni dettagliate sui quarti di coordinate sono disponibili nel secondo paragrafo della lezione Disuguaglianze lineari.

Caso 3D

È quasi lo stesso qui.

1) Disegniamo gli assi delle coordinate. Standard: asse applicato – diretto verso l'alto, asse – diretto a destra, asse – verso il basso a sinistra rigorosamente ad un angolo di 45 gradi.

2) Firmiamo gli assi.

3) Impostare la scala lungo gli assi. Scala lungo l'asse: due volte più piccola della scala lungo gli altri assi. Nota anche che nel disegno a destra ho usato un "serif" non standard lungo l'asse (questa possibilità è già stata menzionata sopra). Dal mio punto di vista, è più preciso, più veloce ed esteticamente più gradevole: non è necessario cercare il centro della cellula al microscopio e "scolpire" l'unità fino all'origine.

Quando si esegue di nuovo un disegno 3D, dare priorità alla scala
1 unità = 2 celle (disegno a sinistra).

A cosa servono tutte queste regole? Le regole sono lì per essere infrante. Cosa farò adesso. Il fatto è che i successivi disegni dell'articolo verranno realizzati da me in Excel e gli assi delle coordinate sembreranno errati in termini di progettazione corretta. Potrei disegnare tutti i grafici a mano, ma è davvero spaventoso disegnarli, poiché Excel è riluttante a disegnarli in modo molto più accurato.

Grafici e proprietà di base delle funzioni elementari

La funzione lineare è data dall'equazione . Il grafico della funzione lineare è diretto. Per costruire una retta basta conoscere due punti.

Esempio 1

Traccia la funzione. Troviamo due punti. È vantaggioso scegliere zero come uno dei punti.

Se poi

Prendiamo qualche altro punto, per esempio, 1.

Se poi

Quando si preparano le attività, le coordinate dei punti sono generalmente riassunte in una tabella:

E i valori stessi sono calcolati oralmente o su una bozza, calcolatrice.

Si trovano due punti, disegniamo:

Quando si redige un disegno, firmiamo sempre la grafica.

Non sarà superfluo ricordare casi speciali di una funzione lineare:

Nota come ho posizionato le didascalie, le firme non dovrebbero essere ambigue quando si studia il disegno. In questo caso, era altamente indesiderabile apporre una firma vicino al punto di intersezione delle linee, o in basso a destra tra i grafici.

1) Una funzione lineare della forma () è chiamata proporzionalità diretta. Ad esempio, . Il grafico della proporzionalità diretta passa sempre per l'origine. Pertanto, la costruzione di una retta è semplificata: è sufficiente trovare un solo punto.

2) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Il grafico della funzione viene costruito immediatamente, senza trovare punti. Cioè, la voce dovrebbe essere intesa come segue: "y è sempre uguale a -4, per qualsiasi valore di x".

3) Un'equazione della forma definisce una retta parallela all'asse, in particolare l'asse stesso è dato dall'equazione. Anche il grafico della funzione viene costruito immediatamente. La voce deve essere intesa come segue: "x è sempre, per qualsiasi valore di y, uguale a 1."

Qualcuno chiederà, beh, perché ricordi la prima media?! È così, forse è così, solo durante gli anni di pratica ho incontrato una buona dozzina di studenti che erano sconcertati dal compito di costruire un grafico come o .

Disegnare una linea retta è l'azione più comune quando si creano disegni.

La retta è discussa in dettaglio nel corso della geometria analitica e chi lo desidera può fare riferimento all'articolo Equazione di una retta su un piano.

Grafico delle funzioni quadratiche, grafico delle funzioni cubiche, grafico dei polinomi

Parabola. Grafico di una funzione quadratica () è una parabola. Consideriamo il famoso caso:

Ricordiamo alcune proprietà della funzione.

Quindi, la soluzione della nostra equazione: - è a questo punto che si trova il vertice della parabola. Perché è così può essere appreso dall'articolo teorico sulla derivata e dalla lezione sugli estremi della funzione. Nel frattempo, calcoliamo il valore corrispondente di "y":

Quindi il vertice è al punto

Ora troviamo altri punti, usando sfacciatamente la simmetria della parabola. Va notato che la funzione – non è pari, ma, tuttavia, nessuno ha cancellato la simmetria della parabola.

In che ordine trovare i punti rimanenti, penso che sarà chiaro dal tavolo finale:

Questo algoritmo di costruzione può essere in senso figurato chiamato "navetta" o principio "avanti e indietro" con Anfisa Chekhova.

Facciamo un disegno:

Dai grafici considerati, viene in mente un'altra caratteristica utile:

Per una funzione quadratica () vale quanto segue:

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto.

Se , allora i rami della parabola sono diretti verso il basso.

Una conoscenza approfondita della curva può essere ottenuta nella lezione Iperbole e parabola.

La parabola cubica è data dalla funzione . Ecco un disegno familiare da scuola:

Elenchiamo le principali proprietà della funzione

Grafico delle funzioni

Rappresenta uno dei rami della parabola. Facciamo un disegno:

Le principali proprietà della funzione:

In questo caso, l'asse è asintoto verticale per il grafico dell'iperbole in .

Sarà un GRANDE errore se, quando si redige un disegno, per negligenza, si lascia che il grafico si intersechi con l'asintoto.

Anche i limiti unilaterali, ci dicono che è un'iperbole non limitato dall'alto e non limitato dal basso.

Esploriamo la funzione all'infinito: , cioè se iniziamo a spostarci lungo l'asse a sinistra (oa destra) verso l'infinito, allora i "giochi" saranno un passo snello infinitamente vicino avvicinano allo zero e, di conseguenza, i rami dell'iperbole infinitamente vicino avvicinarsi all'asse.

Quindi l'asse è asintoto orizzontale per il grafico della funzione, se "x" tende a più o meno infinito.

La funzione è strano, il che significa che l'iperbole è simmetrica rispetto all'origine. Questo fatto è evidente dal disegno, inoltre, può essere facilmente verificato analiticamente: .

Il grafico di una funzione della forma () rappresenta due rami di un'iperbole.

Se , l'iperbole si trova nel primo e nel terzo quadrante delle coordinate(vedi foto sopra).

Se , l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante delle coordinate.

Non è difficile analizzare la regolarità specificata del luogo di residenza dell'iperbole dal punto di vista delle trasformazioni geometriche dei grafici.

Esempio 3

Costruisci il ramo destro dell'iperbole

Utilizziamo il metodo di costruzione puntuale, mentre è vantaggioso selezionare i valori in modo che si dividano completamente:

Facciamo un disegno:

Non sarà difficile costruire il ramo sinistro dell'iperbole, qui la stranezza della funzione aiuterà solo. In parole povere, nella tabella di costruzione puntuale, aggiungi mentalmente un meno a ogni numero, metti i punti corrispondenti e disegna il secondo ramo.

Informazioni geometriche dettagliate sulla retta considerata possono essere trovate nell'articolo Iperbole e parabola.

Grafico di una funzione esponenziale

In questo paragrafo considererò subito la funzione esponenziale, poiché nei problemi di matematica superiore nel 95% dei casi è l'esponente che si verifica.

Ti ricordo che - questo è un numero irrazionale: , questo sarà richiesto quando si costruisce un grafico, che, infatti, costruirò senza cerimonie. Probabilmente sono sufficienti tre punti:

Lasciamo perdere il grafico della funzione per ora, a riguardo più avanti.

Le principali proprietà della funzione:

Fondamentalmente, i grafici delle funzioni hanno lo stesso aspetto, ecc.

Devo dire che il secondo caso è meno comune nella pratica, ma si verifica, quindi ho ritenuto necessario includerlo in questo articolo.

Grafico di una funzione logaritmica

Consideriamo una funzione con logaritmo naturale.
Facciamo un disegno a tratteggio:

Se hai dimenticato cos'è un logaritmo, fai riferimento ai libri di testo della scuola.

Le principali proprietà della funzione:

Dominio:

Intervallo di valori: .

La funzione non è limitata dall'alto: , anche se lentamente, ma il ramo del logaritmo sale all'infinito.
Esaminiamo il comportamento della funzione vicino allo zero a destra: . Quindi l'asse è asintoto verticale per il grafico della funzione con "x" tendente a zero a destra.

Assicurati di conoscere e ricordare il valore tipico del logaritmo: .

Fondamentalmente, la trama del logaritmo alla base ha lo stesso aspetto: , , (logaritmo decimale in base 10), ecc. Allo stesso tempo, più grande è la base, più piatto sarà il grafico.

Non considereremo il caso, cosa che non ricordo quando l'ultima volta che ho costruito un grafico con una tale base. Sì, e il logaritmo sembra essere un ospite molto raro nei problemi di matematica superiore.

In conclusione del paragrafo, dirò un altro fatto: Funzione esponenziale e funzione logaritmicasono due funzioni reciprocamente inverse. Se guardi da vicino il grafico del logaritmo, puoi vedere che questo è lo stesso esponente, solo che si trova in modo leggermente diverso.

Grafici delle funzioni trigonometriche

Come inizia il tormento trigonometrico a scuola? Destra. Dal seno

Tracciamo la funzione

Questa linea è chiamata sinusoide.

Ti ricordo che “pi” è un numero irrazionale:, e in trigonometria abbaglia negli occhi.

Le principali proprietà della funzione:

Questa funzione è periodico con un periodo. Cosa significa? Diamo un'occhiata al taglio. A sinistra ea destra di esso, esattamente lo stesso pezzo del grafico si ripete all'infinito.

Dominio: , ovvero per ogni valore di "x" esiste un valore seno.

Intervallo di valori: . La funzione è limitato: , cioè tutti i "giochi" si trovano rigorosamente nel segmento .
Questo non succede: o, più precisamente, succede, ma queste equazioni non hanno soluzione.