जड़ों को एक सामान्य संकेतक में कैसे लाया जाए। वर्गमूल

जड़एन-थ डिग्री और इसके मूल गुण

डिग्रीवास्तविक संख्या एएक प्राकृतिक दर के साथ एन एसएक काम है एन एसकारक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए:

ए1 = ए; ए 2 = ए * ए; ए एन =

उदाहरण के लिए,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

पांच गुना

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 बार

वास्तविक संख्या एकहा जाता है डिग्री का आधार,ए प्राकृतिक संख्याएन - प्रतिपादक

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के मूल गुण सीधे परिभाषा से अनुसरण करते हैं: किसी के साथ एक सकारात्मक संख्या की डिग्री एन एसइ एनसकारात्मक; सम घातांक वाली ऋणात्मक संख्या की घात धनात्मक होती है, विषम घातांक के साथ ऋणात्मक होती है।

उदाहरण के लिए,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

डिग्री के साथ क्रियाएं निम्नानुसार की जाती हैं नियम।

1. समान आधारों से अंशों को गुणा करने के लिए, घातांक जोड़ने के लिए पर्याप्त है, और आधार को वही छोड़ दें, अर्थात्

उदाहरण के लिए, p5 p3 = p5 + 3 = p8

2. शक्तियों को समान आधारों से विभाजित करने के लिए, लाभांश के सूचकांक से भाजक को घटाना पर्याप्त है, और आधार को अपरिवर्तित छोड़ दें, अर्थात

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif "चौड़ाई =" 95 "ऊंचाई =" 44 src = ">

2. किसी घात को घात में बढ़ाने के लिए, आधार को समान छोड़कर, घातांकों को गुणा करना पर्याप्त है, अर्थात्

(एक)एम = पर · पी.उदाहरण के लिए, (23) 2 = 26।

4. किसी उत्पाद को एक घात तक बढ़ाने के लिए, प्रत्येक कारक को इस शक्ति तक बढ़ाने और परिणामों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात

(ए बी)एनएस= एपीबीएन एस.

उदाहरण के लिए, (2y3) 2= 4y6।

5. किसी भिन्न को किसी घात तक बढ़ाने के लिए, इस घात के अंश और हर को अलग-अलग उठाना और पहले परिणाम को दूसरे से विभाजित करना पर्याप्त है, अर्थात्

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif "चौड़ाई =" 87 "ऊंचाई =" 53 src = ">

ध्यान दें कि कभी-कभी इन सूत्रों को दाएं से बाएं पढ़ना उपयोगी होता है। इस मामले में, वे नियम बन जाते हैं। उदाहरण के लिए, स्थिति 4 में, एपीवीपी= (aw) नहींहमें निम्नलिखित नियम मिलता है: प्रति समान संकेतकों के साथ डिग्री गुणा करें, संकेतक को समान छोड़कर, आधारों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

इस नियम का उपयोग प्रभावी है, उदाहरण के लिए, अगले उत्पाद की गणना करते समय

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif "चौड़ाई =" 25 "ऊंचाई =" 23 "> + 1) 5 = ((-1) (+1)) 5 = ( = 1.

आइए अब हम जड़ की परिभाषा दें।

जड़ nth डिग्रीएक वास्तविक संख्या से एएक वास्तविक संख्या कहा जाता है एन एस,जिसकी nवीं शक्ति है ए।

जाहिर है, प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के मूल गुणों के अनुसार, किसी भी सकारात्मक संख्या से सम डिग्री के मूल के दो विपरीत मान होते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 4 और -4 16 की वर्गमूल हैं, क्योंकि ( -4) 2 = 42 = 16, और संख्याएँ 3 और 3, 81 के चौथे मूल हैं, क्योंकि (-3) 4 = 4 = 81।

इसके अतिरिक्त, ऋणात्मक संख्या का कोई सम मूल नहीं है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या की सम घात ऋणात्मक नहीं होती है... जहाँ तक विषम घात के मूल का प्रश्न है, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए इस संख्या की विषम घात का केवल एक मूल होता है। उदाहरण के लिए, 3, 27 का तीसरा मूल है, क्योंकि 33 = 27, और -2 -32 का पाँचवाँ मूल है, क्योंकि (-2) 5 = 32।

एक धनात्मक संख्या से सम अंश की दो जड़ों के अस्तित्व के संबंध में, हम इस दो-मूल्यवान मूल को समाप्त करने के लिए एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा का परिचय देते हैं।

गैर-ऋणात्मक मान जड़ nthएक ऋणात्मक संख्या की घात कहलाती है अंकगणितीय जड़।

उदाहरण के लिए, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif "चौड़ाई =" 13 "ऊंचाई =" 16 src = "> 0.

यह याद रखना चाहिए कि अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, उनकी जड़ों को हमेशा अंकगणित माना जाता है।

आइए nवें मूल के मुख्य गुण पर ध्यान दें।

मूल का मान नहीं बदलेगा यदि मूल के सूचकांक और मूल अभिव्यक्ति की डिग्री को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, अर्थात

उदाहरण 7. एक आम भाजक को कम करें और

इस लेख की सामग्री को अपरिमेय भावों को बदलने के विषय के हिस्से के रूप में माना जाना चाहिए। यहां हम उन सभी सूक्ष्मताओं और बारीकियों का विश्लेषण करने के लिए उदाहरणों का उपयोग करेंगे (जिनमें से कई हैं) जो जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन करते समय उत्पन्न होती हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

जड़ों के गुणों को याद करें

जैसे ही हम जड़ों के गुणों का उपयोग करके भावों के परिवर्तन से निपटने जा रहे हैं, मुख्य को याद करने में कोई दिक्कत नहीं होती है, या इससे भी बेहतर, उन्हें कागज पर लिखकर हमारे सामने रखें।

सबसे पहले, हम वर्गमूल और उनके निम्नलिखित गुणों का अध्ययन करते हैं (a, b, a 1, a 2, ..., a k वास्तविक संख्याएँ हैं):

और बाद में, रूट की अवधारणा का विस्तार किया जाता है, एन-वें रूट की परिभाषा पेश की जाती है, और ऐसे गुणों पर विचार किया जाता है (ए, बी, ए 1, ए 2, ..., एके वास्तविक संख्याएं हैं, एम, एन , n 1, n 2, ..., nk प्राकृत संख्याएँ हैं):

मूल चिह्नों के अंतर्गत संख्याओं के साथ व्यंजकों को रूपांतरित करें

हमेशा की तरह, वे पहले संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करना सीखते हैं, और उसके बाद ही वेरिएबल वाले व्यंजकों पर आगे बढ़ते हैं। हम ऐसा ही करेंगे, और पहले हम जड़ों के संकेतों के तहत केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों वाले अपरिमेय अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से निपटेंगे, और पहले से ही अगले पैराग्राफ में हम जड़ों के संकेतों के तहत चर का परिचय देंगे।

अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जा सकता है? यह बहुत आसान है: उदाहरण के लिए, हम एक अपरिमेय व्यंजक को व्यंजक या इसके विपरीत से बदल सकते हैं। अर्थात्, यदि परिवर्तित किए जाने वाले व्यंजक में ऐसा व्यंजक है जो किसी भी व्यंजक के बाएँ (दाएँ) पक्ष से व्यंजक के रूप से मेल खाता है सूचीबद्ध गुणजड़ें, तो इसे दाएं (बाएं) पक्ष से संबंधित अभिव्यक्ति से बदला जा सकता है। यह जड़ों के गुणों का उपयोग करके भावों का परिवर्तन है।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

आइए अभिव्यक्ति को सरल करें ... संख्या 3, 5 और 7 धनात्मक हैं, इसलिए हम जड़ों के गुणों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं। यहां आप विभिन्न तरीकों से कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी गुण पर आधारित रूट को इस रूप में दर्शाया जा सकता है, और k = 3 वाले गुण का उपयोग करने वाला रूट - कैसे, इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

इस मामले में समाधान इस तरह दिखेगा:

अन्य समाधान संभव हैं, उदाहरण के लिए, यह:

आइए एक और उदाहरण के समाधान को देखें। आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। जड़ों के गुणों की सूची को देखने के बाद, हम इसमें से उन गुणों का चयन करते हैं जिन्हें हमें उदाहरण को हल करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट है कि उनमें से दो यहां उपयोगी हैं और, जो किसी के लिए मान्य हैं। हमारे पास है:

वैकल्पिक रूप से, पहले तो का उपयोग करके मूल चिह्नों के तहत भावों को परिवर्तित करना संभव था

और फिर जड़ों के गुणों को लागू करें

इस बिंदु तक, हमने ऐसे व्यंजकों को रूपांतरित किया है जिनमें केवल वर्गमूल होते हैं। यह उन जड़ों के साथ काम करने का समय है जिनके अलग-अलग संकेतक हैं।

उदाहरण।

एक अपरिमेय व्यंजक को रूपांतरित करें .

समाधान।

संपत्ति से दिए गए उत्पाद के पहले गुणनखंड को संख्या -2 से बदला जा सकता है:

आगे बढ़ो। संपत्ति के आधार पर, दूसरे कारक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और यह 81 को ट्रिपल की चौगुनी शक्ति के साथ बदलने के लिए चोट नहीं पहुंचाएगा, क्योंकि जड़ों के संकेतों के तहत शेष कारकों में, संख्या 3 दिखाई देती है:

भिन्न के मूल को रूप की जड़ों के संबंध से प्रतिस्थापित करना समीचीन है, जिसे और रूपांतरित किया जा सकता है: ... हमारे पास है

दो के साथ क्रिया करने के बाद परिणामी अभिव्यक्ति रूप लेगी, और यह जड़ों के उत्पाद को बदलने के लिए बनी हुई है।

जड़ों के उत्पादों को बदलने के लिए, उन्हें आमतौर पर एक संकेतक तक कम कर दिया जाता है, जिसके लिए सभी जड़ों के संकेतक लेने की सलाह दी जाती है। हमारे मामले में, एलसीएम (12, 6, 12) = 12, और केवल जड़ को इस सूचक तक कम करना होगा, क्योंकि अन्य दो जड़ों में पहले से ही यह संकेतक है। इस कार्य से निपटने के लिए समानता की अनुमति देता है, जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है। इसलिए ... इस परिणाम को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

अब जड़ों के उत्पाद को उत्पाद की जड़ से बदला जा सकता है और बाकी, पहले से ही स्पष्ट, परिवर्तन किए जा सकते हैं:

आइए एक संक्षिप्त समाधान तैयार करें:

उत्तर:

.

अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि जड़ों के गुणों को लागू करने के लिए, जड़ों के संकेतों (a≥0, आदि) के तहत संख्याओं पर लगाए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है। उनकी उपेक्षा करने से गलत परिणाम भड़क सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि संपत्ति गैर-ऋणात्मक a के लिए है। इसके आधार पर, हम सुरक्षित रूप से जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, से, क्योंकि 8 एक सकारात्मक संख्या है। लेकिन अगर हम एक ऋणात्मक संख्या का एक सार्थक मूल लेते हैं, उदाहरण के लिए, और, उपरोक्त संपत्ति के आधार पर, इसे इसके साथ प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम वास्तव में -2 को 2 से बदल देते हैं। दरअसल, ए. अर्थात्, ऋणात्मक a के लिए, समानता गलत हो सकती है, जैसे जड़ों के अन्य गुण उनके लिए निर्धारित शर्तों को ध्यान में रखे बिना गलत हो सकते हैं।

लेकिन पिछले पैराग्राफ में जो कहा गया था उसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि जड़ों के संकेतों के तहत नकारात्मक संख्याओं वाले व्यंजकों को जड़ों के गुणों का उपयोग करके परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। उन्हें संख्याओं से निपटने के लिए नियमों को लागू करके या एक ऋणात्मक संख्या की विषम जड़ की परिभाषा का उपयोग करके पहले "तैयार" होने की आवश्यकता है, जो समानता से मेल खाती है, जहां -a एक ऋणात्मक संख्या है (एक सकारात्मक होने के साथ)। उदाहरण के लिए, आप तुरंत इसके साथ प्रतिस्थापित नहीं कर सकते, क्योंकि −2 और −3 ऋणात्मक संख्याएं हैं, लेकिन यह हमें रूट से लेकर उत्पाद तक रूट की संपत्ति को लागू करने की अनुमति देता है: ... और पिछले उदाहरणों में से एक में, जड़ से जड़ तक अठारहवीं डिग्री तक जाना आवश्यक नहीं था। इसलिए .

इसलिए, मूल के गुणों का उपयोग करके व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए, आपको चाहिए

• चुनते हैं उपयुक्त संपत्तिसूची से,
• सुनिश्चित करें कि रूट के नीचे की संख्या चयनित संपत्ति के लिए शर्तों को पूरा करती है (अन्यथा, आपको प्रारंभिक रूपांतरण करने की आवश्यकता है),
• और इच्छित परिवर्तन को पूरा करें।

रूट संकेतों के तहत चर के साथ अभिव्यक्ति को बदलना

अपरिमेय भावों को बदलने के लिए जिसमें न केवल संख्याएँ, बल्कि मूल चिह्न के तहत चर भी हैं, इस लेख के पहले पैराग्राफ में सूचीबद्ध जड़ों के गुणों को ध्यान से लागू किया जाना चाहिए। यह मुख्य रूप से उन शर्तों के कारण है जो फ़ार्मुलों में भाग लेने वाले नंबरों को संतुष्ट करना चाहिए। उदाहरण के लिए, सूत्र के आधार पर, व्यंजक को केवल x के उन मानों के लिए व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो x≥0 और x + 1≥0 की शर्तों को पूरा करते हैं, क्योंकि निर्दिष्ट सूत्र a≥0 और b के लिए निर्दिष्ट है 0.

इन स्थितियों को नज़रअंदाज़ करना खतरनाक क्यों है? निम्नलिखित उदाहरण इस प्रश्न का उत्तर दिखाता है। मान लें कि हमें x = −2 पर व्यंजक के मान की गणना करने की आवश्यकता है। यदि हम तुरंत चर x के बजाय संख्या -2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें वह मान प्राप्त होता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है ... और अब आइए कल्पना करें कि हमने किसी कारण से दिए गए अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित कर दिया, और उसके बाद ही हमने मूल्य की गणना करने का निर्णय लिया। −2 को x के स्थान पर रखें और व्यंजक पर पहुंचें जिसका कोई मतलब नहीं है।

आइए देखें कि जब हम व्यंजक से व्यंजक की ओर बढ़ते हैं तो चर x के मान्य मानों (ADV) की सीमा का क्या होता है। हमने संयोग से ODZ का उल्लेख नहीं किया, क्योंकि यह किए गए परिवर्तनों की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने के लिए एक गंभीर उपकरण है, और अभिव्यक्ति को बदलने के बाद ODZ को बदलना कम से कम सतर्क होना चाहिए। निर्दिष्ट भावों के लिए ODZ खोजना कठिन नहीं है। ODV को व्यक्त करने के लिए असमानता x · (x + 1) ≥0 से निर्धारित किया जाता है, इसका समाधान संख्यात्मक सेट (−∞, −1] देता है।

दाएं या बाएं संख्याओं पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है: यदि मूल-कारक मौजूद हैं, तो उत्पाद भी मौजूद है।

उदाहरण। आइए एक साथ संख्याओं के साथ चार उदाहरण देखें:

\ [\ start (संरेखित करें) और \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ और \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ और \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ और \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ फ़्रेक (1) (9)) = \ फ़्रेक (1) (3)। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस नियम का मुख्य बिंदु अपरिमेय व्यंजकों को सरल बनाना है। और अगर पहले उदाहरण में हम खुद बिना किसी नए नियम के 25 और 4 से जड़ों को निकालते, तो टिन आगे शुरू होता है: $ \ sqrt (32) $ और $ \ sqrt (2) $ की गणना नहीं की जाती है, लेकिन उनका गुणनफल एक सटीक वर्ग बनता है, इसलिए इसका मूल परिमेय संख्या के बराबर होता है.

मैं अंतिम पंक्ति को भी नोट करना चाहूंगा। वहां, दोनों मूल भाव भिन्न हैं। उत्पाद के लिए धन्यवाद, कई कारक रद्द कर दिए जाते हैं, और संपूर्ण अभिव्यक्ति पर्याप्त संख्या में बदल जाती है।

बेशक, सब कुछ हमेशा इतना सुंदर नहीं होगा। कभी-कभी जड़ों के नीचे पूरी तरह से गड़बड़ हो जाती है - यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है और गुणा के बाद कैसे बदलना है। थोड़ी देर बाद, जब आप अपरिमेय समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं, तो आम तौर पर सभी प्रकार के चर और कार्य होंगे। और बहुत बार, कार्य संकलक केवल यह अपेक्षा करते हैं कि आपको कुछ रद्द करने वाले नियम या कारक मिलेंगे, जिसके बाद कार्य बहुत सरल हो जाएगा।

इसके अलावा, बिल्कुल दो जड़ों को गुणा करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। आप एक साथ तीन गुणा कर सकते हैं, चार - लेकिन कम से कम दस! इससे नियम नहीं बदलेगा। जरा देखो तो:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ फ़्रेक (1) (100)) = \ फ़्रेक (1) (10)। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

और फिर दूसरे उदाहरण पर एक छोटी सी टिप्पणी। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे कारक में जड़ के नीचे एक दशमलव अंश है - गणना की प्रक्रिया में हम इसे सामान्य से बदल देते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से रद्द हो जाता है। इसलिए: मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि किसी भी अपरिमेय भाव में दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं (यानी कम से कम एक मूल चिह्न युक्त)। यह आपको भविष्य में बहुत समय और परेशानी से बचाएगा।

लेकिन यह एक गेय विषयांतर था। अब आइए एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें - जब रूट के घातांक में एक मनमाना संख्या $ n $ होती है, न कि केवल "शास्त्रीय" दो।

मनमाना घातांक मामला

इसलिए, हमने वर्गमूलों का पता लगाया। और घन के साथ क्या करना है? या सामान्य रूप से मनमानी डिग्री $ n $ की जड़ों के साथ? हाँ, सब कुछ वैसा ही है। नियम वही रहता है:

डिग्री $ n $ की दो जड़ों को गुणा करने के लिए, यह उनके मूल भावों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणाम को एक मूलांक के तहत लिखें।

सामान्य तौर पर, कुछ भी जटिल नहीं है। सिवाय इसके कि गणना की मात्रा अधिक हो सकती है। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण। उत्पादों की गणना करें:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ फ़्रैक (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ फ़्रेक (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )) )) = \ sqrt (((\ बाएँ (\ फ़्रेक (4) (25) \ दाएँ)) ^ (3))) = \ फ़्रेक (4) (25)। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

और फिर, दूसरी अभिव्यक्ति पर ध्यान दें। हम घन की जड़ों को गुणा करते हैं, दशमलव अंश से छुटकारा पाते हैं और परिणामस्वरूप, हमें हर में संख्या 625 और 25 का गुणनफल मिलता है। यह एक बड़ी संख्या है - मैं व्यक्तिगत रूप से गणना नहीं करूंगा कि यह किसके बराबर है .

इसलिए, हमने केवल अंश और हर में सटीक घन का चयन किया, और फिर $ n $ -th रूट के प्रमुख गुणों (या, यदि आप चाहें, तो परिभाषा) में से एक का उपयोग किया:

\ [\ start (संरेखित करें) और \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ और \ sqrt (((ए) ^ (2n))) = \ बाएँ | एक \ सही |. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

इस तरह की "साजिशें" आपको परीक्षा या परीक्षा में बहुत समय बचा सकती हैं, इसलिए याद रखें:

एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में संख्याओं को गुणा करने में जल्दबाजी न करें। सबसे पहले, जांचें: क्या होगा यदि कुछ अभिव्यक्ति की सटीक डिग्री वहां "एन्क्रिप्टेड" हो?

इस टिप्पणी की पूरी स्पष्टता के साथ, मुझे यह स्वीकार करना होगा कि अधिकांश अप्रशिक्षित छात्र बिंदु-रिक्त सीमा पर सटीक डिग्री नहीं देखते हैं। इसके बजाय, वे सब कुछ ठीक से गुणा करते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: उन्हें इतनी क्रूर संख्या क्यों मिली? :)

हालाँकि, अभी हम जो अध्ययन करेंगे उसकी तुलना में यह सब बचकाना है।

विभिन्न घातांक के साथ जड़ों का गुणन

ठीक है, अब हम समान संकेतकों के साथ जड़ों को गुणा कर सकते हैं। क्या होगा यदि संकेतक अलग हैं? कहें कि सामान्य $ \ sqrt (2) $ को कुछ बकवास जैसे $ \ sqrt (23) $ से कैसे गुणा करें? क्या ऐसा करना बिल्कुल संभव है?

हां बेशक आप कर सकते हैं। सब कुछ इस सूत्र के अनुसार किया जाता है:

मूल गुणन नियम। $ \ sqrt [n] (a) $ को $ \ sqrt [p] (b) $ से गुणा करने के लिए, आपको बस निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

हालाँकि, यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक हैं... यह बहुत ही महत्वपूर्ण लेख, जिस पर हम थोड़ी देर बाद लौटेंगे।

अभी के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ और \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ और \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625)। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। अब आइए जानें कि गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता कहां से आई और अगर हम इसका उल्लंघन करते हैं तो क्या होगा। :)

जड़ों को गुणा करना आसान है

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक क्यों होनी चाहिए?

बेशक, आप स्कूल के शिक्षकों की तरह हो सकते हैं और पाठ्यपुस्तक को चतुराई से उद्धृत कर सकते हैं:

गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता सम और विषम डिग्री की जड़ों की विभिन्न परिभाषाओं से जुड़ी है (क्रमशः, उनकी परिभाषा के क्षेत्र भी भिन्न हैं)।

अच्छा, क्या यह स्पष्ट हो गया है? निजी तौर पर, जब मैं 8वीं कक्षा में इस बकवास को पढ़ रहा था, तो मुझे कुछ इस तरह का एहसास हुआ: "गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~% से जुड़ी है" - संक्षेप में, मैंने किया उस समय बकवास समझ में नहीं आया। :)

तो अब मैं सब कुछ सामान्य तरीके से समझाता हूँ।

सबसे पहले, आइए जानें कि ऊपर दिया गया गुणन सूत्र कहां से आता है। ऐसा करने के लिए, मैं आपको जड़ की एक महत्वपूर्ण संपत्ति की याद दिलाता हूं:

\ [\ sqrt [n] (ए) = \ sqrt (((ए) ^ (के))) \]

दूसरे शब्दों में, हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को $ k $ की किसी भी प्राकृतिक शक्ति तक सुरक्षित रूप से बढ़ा सकते हैं - इस मामले में, रूट के एक्सपोनेंट को उसी शक्ति से गुणा करना होगा। इसलिए, हम किसी भी रूट को आसानी से कम कर सकते हैं समग्र संकेतक, जिसके बाद हम गुणा करते हैं। इसलिए गुणन का सूत्र लिया जाता है:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((ए) ^ (पी)) \ cdot ((बी) ^ (एन))) \]

लेकिन एक समस्या है जो इन सभी सूत्रों के अनुप्रयोग को गंभीर रूप से सीमित कर देती है। इस संख्या पर विचार करें:

अभी दिए गए फॉर्मूले के अनुसार हम कोई भी डिग्री जोड़ सकते हैं। आइए $ k = 2 $ जोड़ने का प्रयास करें:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ बाएँ (-5 \ दाएँ)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

हमने माइनस को सिर्फ इसलिए हटा दिया क्योंकि वर्ग माइनस को जला देता है (किसी भी अन्य शक्ति की तरह)। और अब हम रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन करते हैं: हम घातांक और डिग्री में दोनों को "कम" करेंगे। आखिरकार, किसी भी समानता को बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों में पढ़ा जा सकता है:

\ [\ शुरू (संरेखित करें) और \ sqrt [n] (ए) = \ sqrt (((ए) ^ (के))) \ राइटएरो \ sqrt (((ए) ^ (के))) = \ sqrt [n ] (ए); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ राइटएरो \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5)। \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

लेकिन फिर यह किसी तरह की बकवास निकलता है:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि $\ sqrt (-5) \ lt 0 $ और $ \ sqrt (5) \ gt 0 $। इसका मतलब है कि हमारा फॉर्मूला अब सम घातों और ऋणात्मक संख्याओं के लिए काम नहीं करता है। तब हमारे पास दो विकल्प होते हैं:

1. अपने आप को दीवार के खिलाफ लात मारकर बताएं कि गणित एक बेवकूफ विज्ञान है, जहां "कुछ नियम हैं, लेकिन यह गलत है";
2. अतिरिक्त प्रतिबंध लागू करें जिसके तहत सूत्र 100% काम करने वाला हो जाएगा।

पहले विकल्प में, हमें लगातार "गैर-कामकाजी" मामलों को पकड़ना होगा - यह कठिन, लंबा और आम तौर पर फू है। इसलिए गणितज्ञों ने दूसरा विकल्प पसंद किया। :)

लेकिन चिंता मत करो! व्यवहार में, यह सीमा किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करती है, क्योंकि वर्णित सभी समस्याएं केवल विषम डिग्री की जड़ों से संबंधित हैं, और उनसे आप कमियां निकाल सकते हैं।

इसलिए, हम एक और नियम तैयार करेंगे जो सामान्य रूप से जड़ों के साथ सभी क्रियाओं पर लागू होता है:

मूलों को गुणा करने से पहले मूलक व्यंजकों को गैर-ऋणात्मक बनाएं।

उदाहरण। $ \ sqrt (-5) $ की संख्या में, आप रूट साइन के नीचे से माइनस निकाल सकते हैं - फिर सब कुछ ठीक हो जाएगा:

\ [\ start (संरेखित करें) और \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ दायां तीर \\ और \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ अंत (संरेखण) \]

क्या आपको फर्क महसूस होता है? यदि आप माइनस को रूट के नीचे छोड़ देते हैं, तो जब रेडिकल एक्सप्रेशन को चुकता किया जाता है, तो यह गायब हो जाता है, और बकवास शुरू हो जाती है। और यदि आप पहले माइनस निकालते हैं, तो आप नीला होने से पहले भी वर्ग को खड़ा / हटा सकते हैं - संख्या नकारात्मक रहेगी। :)

इस प्रकार, जड़ों को गुणा करने का सबसे सही और सबसे विश्वसनीय तरीका इस प्रकार है:

1. रेडिकल्स के नीचे से सभी माइनस को हटा दें। विषम बहुलता की जड़ों में केवल नुकसान हैं - उन्हें जड़ के सामने रखा जा सकता है और यदि आवश्यक हो, तो छोटा किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यदि इनमें से दो नुकसान हैं)।
2. आज के पाठ में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार गुणा करें। यदि मूलों के सूचकांक समान हैं, तो हम केवल मूलांकों को गुणा करते हैं। और यदि वे भिन्न हैं, तो हम दुष्ट सूत्र \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) का उपयोग करते हैं। ^ (एन))) \]।
3. 3. हम परिणाम और अच्छे अंक का आनंद लेते हैं। :)

कुंआ? का अभ्यास करते हैं?

उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:

\ [\ start (संरेखित करें) और \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ बाएँ (- \ sqrt (\ frac (4) (3) )) \ दाएँ) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ वर्ग (64) = - 4; \ अंत (संरेखित करें) \]

यह सबसे सरल विकल्प है: जड़ों के सूचकांक समान और विषम हैं, समस्या केवल दूसरे कारक के ऋण में है। हम इस माइनस नफिग को निकालते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से माना जाता है।

उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ बाएँ (((2) ^ (5)) \ दाएँ)) ^ (3)) \ cdot ((\ बाएँ (((2) ^ (2)) \ दाएँ)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ अंत ( संरेखित करें) \]

यहाँ, कई लोग इस तथ्य से भ्रमित होंगे कि आउटपुट एक अपरिमेय संख्या थी। हां, ऐसा होता है: हम पूरी तरह से जड़ से छुटकारा पाने में सक्षम नहीं थे, लेकिन कम से कम हमने अभिव्यक्ति को काफी सरल बना दिया।

उदाहरण 3. व्यंजक को सरल कीजिए:

\ [\ start (संरेखित करें) और \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ बाएँ ((()) ए) ^ (4)) \ दाएं)) ^ (6))) = \ sqrt (((ए) ^ (3)) \ cdot ((ए) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((ए) ^ (27))) = \ sqrt (((ए) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((ए) ^ (3))) \ अंत (संरेखित) \]

मैं आपका ध्यान इस कार्य की ओर आकर्षित करना चाहता हूं। एक साथ दो बिंदु हैं:

1. जड़ एक विशिष्ट संख्या या डिग्री नहीं है, लेकिन चर $ a $ है। पहली नज़र में, यह थोड़ा असामान्य है, लेकिन वास्तव में, गणितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको अक्सर चर से निपटना पड़ता है।
2. अंत में, हम मूल प्रतिपादक और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में डिग्री को "काटने" में कामयाब रहे। ऐसा काफी बार होता है। और इसका मतलब है कि यदि आप मूल सूत्र का उपयोग नहीं करते हैं तो गणनाओं को सरल बनाना संभव था।

उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt ((\ बाएँ (((a)) ^ ( 4)) \ दाएँ)) ^ (2))) = \ sqrt (ए) \ cdot \ sqrt (((ए) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3)) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ अंत (संरेखित करें) \]

वास्तव में, सभी परिवर्तन केवल दूसरे कट्टरपंथी के साथ किए गए थे। और यदि आप सभी मध्यवर्ती चरणों का विस्तार से वर्णन नहीं करते हैं, तो, परिणामस्वरूप, गणना की मात्रा में काफी कमी आएगी।

वास्तव में, $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $ उदाहरण को हल करते समय हम पहले से ही ऊपर एक समान कार्य का सामना कर चुके हैं। अब इसे बहुत सरल तरीके से वर्णित किया जा सकता है:

\ [\ start (संरेखण) और \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ बाएँ (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ दाएँ)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt ((\ बाएँ (75 \ दाएँ)) ^ (2))) = \ sqrt (75)। \ अंत (संरेखित करें) \]

खैर, हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया है। अब आइए रिवर्स ऑपरेशन पर विचार करें: जब उत्पाद रूट के नीचे हो तो क्या करें?

मैंने फिर से संकेत पर देखा ... और चलो!

आइए एक साधारण से शुरू करें:

एक मिनट रुकिए। यह, जिसका अर्थ है कि हम इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहाँ आपके लिए अगला है:

परिणामी संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं निकाली जाती हैं? इससे कोई फर्क नहीं पड़ता - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

लेकिन क्या होगा यदि कारक दो नहीं, बल्कि अधिक हों? वैसा ही! मूल गुणन सूत्र किसी भी कारक के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से अपने आप:

उत्तर:बहुत बढ़िया! सहमत, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात यह है कि गुणन तालिका को जानना है!

जड़ों का विभाजन

हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया, अब हम विभाजन के गुण पर आगे बढ़ेंगे।

आपको याद दिला दूं कि सूत्र सामान्य दृष्टि सेऐसा दिखता है:

इस का मतलब है कि भागफल का मूल भागफल के बराबर होता है।

खैर, आइए इसे उदाहरणों के साथ समझें:

वह सब विज्ञान है। यहाँ एक उदाहरण है:

सब कुछ पहले उदाहरण की तरह सहज नहीं है, लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

लेकिन क्या होगा अगर इस तरह की अभिव्यक्ति सामने आती है:

आपको सूत्र को विपरीत दिशा में लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आप इस अभिव्यक्ति में भी आ सकते हैं:

सब कुछ समान है, केवल यहाँ आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि भिन्नों का अनुवाद कैसे किया जाता है (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय को देखें और वापस आएं!) याद आया? अब हम तय करते हैं!

मुझे यकीन है कि आपने हर चीज, हर चीज का मुकाबला कर लिया है, अब आइए सत्ता में जड़ें जमाने की कोशिश करें।

घातांक

यदि वर्गमूल को वर्गमूल कर दिया जाए तो क्या होगा? यह आसान है, आइए किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर है।

इसलिए, यदि हम एक संख्या बढ़ाते हैं जिसका वर्गमूल वर्ग के बराबर है, तो हमें क्या मिलता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

यह आसान है, है ना? और अगर जड़ एक अलग डिग्री में है? ठीक है!

उसी तर्क पर टिके रहें और गुणों और संभावित क्रियाओं को डिग्री के साथ याद रखें।

"" विषय पर सिद्धांत पढ़ें और आपके लिए सब कुछ बहुत स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन क्या होगा यदि यह विषम है? फिर से, शक्ति गुण लागू करें और सब कुछ कारक करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट होने लगता है, लेकिन किसी संख्या के मूल को किसी घात में कैसे निकाला जाए? उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत आसान है, है ना? और अगर डिग्री दो से ज्यादा है? हम डिग्री गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर उदाहरणों को स्वयं हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

मूल चिह्न के तहत परिचय

हमने जड़ों से क्या करना नहीं सीखा! यह केवल मूल चिह्न के नीचे संख्या दर्ज करने का अभ्यास करने के लिए रहता है!

यह आसान है!

मान लीजिए कि हमने संख्या लिख ​​दी है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निश्चित रूप से, तीनों को जड़ के नीचे छिपाएं, याद रखें कि तीनों का वर्गमूल है!

हमें यह क्यों चाहिये? हां, उदाहरणों को हल करते समय अपनी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या यह जीवन को बहुत आसान बनाता है? मेरे लिए, यह सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम केवल वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत ही धनात्मक संख्याओं का परिचय दे सकते हैं।

इस उदाहरण को स्वयं हल करें -
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत बढ़िया! आप रूट साइन के तहत नंबर डालने में कामयाब रहे! आइए समान रूप से महत्वपूर्ण एक पर चलते हैं - आइए देखें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

जड़ों की तुलना

हमें वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए?

बहुत सरल। अक्सर, परीक्षा में पाए जाने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (क्या आपको याद है कि यह क्या है? आप और मैंने आज इस बारे में पहले ही बात कर ली है!)

हमें प्राप्त उत्तरों को एक समन्वय रेखा पर रखने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा अंतराल समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है। और यहाँ एक रोड़ा उठता है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना कैसे कल्पना की जाए कि कौन सी संख्या अधिक है और कौन सी कम है? वह सिर्फ यह है!

उदाहरण के लिए, परिभाषित करें कि कौन सा बड़ा है: या?

आप बल्ले से सही नहीं बता सकते। ठीक है, आइए मूल चिह्न के तहत एक संख्या दर्ज करने की विश्लेषण की गई संपत्ति का उपयोग करें?

तो आगे बढ़ो:

और, जाहिर है, मूल चिह्न के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी!

वे। तो अगर,।

इससे हम दृढ़ता से यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले, हमने मूल चिह्न के तहत कारक का परिचय दिया, लेकिन इसे कैसे निकाला जाए? आपको बस इसे फैक्टर करना है और जो निकाला जाता है उसे निकालना है!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विघटित होना संभव था:

बुरा नहीं है, हुह? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, तय करें कि आपको सबसे अच्छा क्या सूट करता है।

इस तरह के गैर-मानक कार्यों को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

हम डरते नहीं हैं, लेकिन हम कार्य करते हैं! आइए हम प्रत्येक कारक को जड़ के नीचे अलग-अलग कारकों में विघटित करें:

अब इसे स्वयं आज़माएं (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? आधा मत रुको!

बस इतना ही, इतना डरावना नहीं है, है ना?

हुआ? अच्छा किया, यह सही है!

अब इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें:

और एक उदाहरण क्रैक करने के लिए एक कठिन अखरोट है, इसलिए आप यह नहीं समझ सकते कि इसे कैसे पहुंचाया जाए। लेकिन, निश्चित रूप से, हम इसे कठिन बना सकते हैं।

अच्छा, चलो फैक्टरिंग शुरू करते हैं? तुरंत ध्यान दें कि आप किसी संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता मानदंड याद रखें):

अब, इसे स्वयं आज़माएं (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम किया? अच्छा किया, यह सही है!

आइए संक्षेप करें

1. एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. अगर हम किसी चीज का वर्गमूल लें, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल गुण:
4. तुलना करते समय वर्गमूलयह याद रखना चाहिए कि मूल चिह्न के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी।

आपको वर्गमूल कैसा लगा? सब साफ़?

हमने आपको बिना पानी के वह सब कुछ समझाने की कोशिश की जो आपको वर्गमूल परीक्षा में जानने की जरूरत है।

अब आपकी बारी है। हमें लिखें कि यह आपके लिए एक कठिन विषय है या नहीं।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही स्पष्ट था।

टिप्पणियों में लिखें और परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!