함수의 그래프 조사. 함수 및 해당 그래프 X축 및 y 그리기

기본 기본 기능, 고유 속성 및 해당 그래프는 구구단과 마찬가지로 중요성이 수학 지식의 기본 중 하나입니다. 기본 기능은 모든 이론적 문제의 연구를 지원하는 기초입니다.

아래 기사는 기본 기본 기능 주제에 대한 핵심 자료를 제공합니다. 용어를 소개하고 정의를 제공합니다. 각 유형의 기본 기능에 대해 자세히 알아보고 특성을 분석해 보겠습니다.

다음 유형의 기본 기본 기능이 구별됩니다.

정의 1

상수 함수(상수);
n차 루트;
전원 기능;
지수 함수;
대수 함수;
삼각함수;
형제 삼각 함수.

상수 함수는 다음 공식으로 정의됩니다. y = C(C는 일부 실수임) 또한 상수라는 이름도 있습니다. 이 함수는 독립 변수 x의 실수 값이 변수 y의 동일한 값(값 C)에 해당하는지 여부를 결정합니다.

상수의 그래프는 x축에 평행하고 좌표가 (0, C)인 점을 지나는 직선입니다. 명확성을 위해 상수 함수 y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3(그림에서 각각 검정색, 빨간색 및 파란색으로 표시됨)의 그래프를 제시합니다.

정의 2

이 기본 함수는 공식 y = x n(n은 1보다 큰 자연수)으로 정의됩니다.

함수의 두 가지 변형을 고려해 보겠습니다.

n차 루트, n은 짝수

명확성을 위해 다음과 같은 기능의 그래프를 보여주는 그림을 나타냅니다. y = x , y = x 4 및 y = x 8 . 이러한 기능은 각각 검정색, 빨간색 및 파란색으로 구분됩니다.

지표의 다른 값에 대한 짝수 차수의 기능 그래프의 유사한 보기.

정의 3

n차 함수 루트의 속성, n은 짝수

정의 영역은 음이 아닌 모든 실수의 집합 [ 0 , + ∞) ;
x = 0일 때 함수 y = x n은 0과 같은 값을 갖습니다.
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(짝수도 홀수도 아님).
범위: [ 0 , + ∞) ;
이 함수 y = x n은 루트의 지수가 짝수이면 전체 정의 영역에서 증가합니다.
함수는 정의의 전체 영역에 걸쳐 위쪽 방향으로 볼록합니다.
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.
짝수 n에 대한 함수의 그래프는 점 (0 ; 0) 및 (1 ; 1) 을 통과합니다.

n차의 근, n은 홀수

이러한 함수는 전체 실수 집합에 대해 정의됩니다. 명확성을 위해 함수 그래프를 고려하십시오. y = x 3 , y = x 5 및 x 9 . 도면에서는 곡선의 검정, 빨강 및 파랑 색상으로 각각 표시됩니다.

함수 y = x n의 루트 지수의 다른 홀수 값은 유사한 형태의 그래프를 제공합니다.

정의 4

n차 함수 루트의 속성, n은 홀수

정의 영역은 모든 실수의 집합입니다.
이 기능은 이상합니다.
값의 범위는 모든 실수의 집합입니다.
루트의 홀수 지수를 갖는 함수 y = x n은 전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다.
이 함수는 구간(- ∞ ; 0 ]에서 오목함을 갖고 구간 [ 0 , + ∞)에서 볼록성을 가집니다.
변곡점에는 좌표가 있습니다 (0 ; 0) ;
점근선이 없습니다.
홀수 n에 대한 함수의 그래프는 점 (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) 및 (1 ; 1) 을 통과합니다.

전원 기능

정의 5

거듭제곱 함수는 공식 y = x a 로 정의됩니다.

그래프의 유형과 함수의 속성은 지수 값에 따라 다릅니다.

거듭제곱 함수가 정수 지수 a를 가질 때 지수가 짝수인지 홀수인지, 지수가 갖는 부호에 따라 거듭제곱 함수의 그래프 형태와 속성이 달라집니다. 이 모든 특별한 경우를 아래에서 더 자세히 살펴보겠습니다.
지수는 분수 또는 비합리적일 수 있습니다. 이에 따라 그래프의 유형과 함수의 속성도 달라집니다. 몇 가지 조건을 설정하여 특수한 경우를 분석합니다. 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
거듭제곱 함수는 지수가 0일 수 있습니다. 이 경우도 아래에서 더 자세히 분석하겠습니다.

power function을 분석해보자 y = x a a가 홀수 양수인 경우(예: a = 1 , 3 , 5 …

명확성을 위해 다음과 같은 거듭제곱 함수의 그래프를 표시합니다. y = x (그래프의 검정색), y = x 3(차트의 파란색), y = x 5(그래프의 빨간색), y = x 7(녹색 그래프). a = 1 일 때 선형 함수 y = x 를 얻습니다.

정의 6

지수가 홀수 양수일 때 거듭제곱 함수의 속성

함수는 x ∈ (- ∞ ; + ∞) 에 대해 증가합니다.
함수는 x ∈(- ∞ ; 0 ]에 대해 볼록하고 x ∈ [ 0 ; + ∞)에 대해 오목합니다(선형 함수 제외).
변곡점에는 좌표가 (0 ; 0) 있습니다(선형 함수 제외).
점근선이 없습니다.
함수 전달 포인트: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

power function을 분석해보자 y = x a는 a가 짝수 양수인 경우입니다(예: a = 2 , 4 , 6 ...

명확성을 위해 다음과 같은 거듭제곱 함수의 그래프를 표시합니다. y \u003d x 2(그래프의 검정색), y = x 4(그래프의 파란색), y = x 8(그래프의 빨간색). a = 2일 때 그래프가 2차 포물선인 2차 함수를 얻습니다.

정의 7

지수가 짝수인 경우 거듭제곱 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
함수는 x ∈ (- ∞ ; + ∞) 에 대해 오목합니다.
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.
함수 전달 포인트: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

아래 그림은 지수 함수 그래프의 예를 보여줍니다 a가 홀수 음수일 때 y = x a: y = x - 9(그래프의 검은색); y = x - 5(그래프의 파란색); y = x - 3(차트의 빨간색); y = x - 1(녹색 그래프). \u003d - 1일 때 그래프가 쌍곡선인 역비례를 얻습니다.

정의 8

지수가 홀수 음수일 때의 거듭제곱 함수 속성:

x \u003d 0일 때, a \u003d - 1, - 3, -에 대해 lim x → 0 - 0 xa \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞이기 때문에 두 번째 종류의 불연속성을 얻습니다. 5, .... 따라서 직선 x = 0은 수직 점근선입니다.

범위: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
함수는 y(- x) = - y(x) 이므로 홀수입니다.
함수는 x ∈ - ∞ 에 대해 감소합니다. 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
함수는 x ∈(- ∞ ; 0)에 대해 볼록하고 x ∈(0 ; + ∞)에 대해 오목합니다.
변곡점이 없습니다.

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 일 때 a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

함수 전달 포인트: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

아래 그림은 a가 짝수 음수일 때 거듭제곱 함수 그래프 y = x a의 예를 보여줍니다. y = x - 8(검정색 차트); y = x - 4(그래프의 파란색); y = x - 2(그래프의 빨간색).

정의 9

지수가 음수일 때의 거듭제곱 함수 속성:

정의 영역: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

x \u003d 0일 때 lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ a \u003d - 2, - 4, - 때문에 두 번째 종류의 불연속성을 얻습니다. 6, .... 따라서 직선 x = 0은 수직 점근선입니다.

함수는 y(- x) = y(x) 이므로 짝수입니다.
함수는 x ∈ (- ∞ ; 0) 에 대해 증가하고 x ∈ 0 에 대해 감소합니다. +∞ ;
함수는 x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) 에 대해 오목합니다.
변곡점이 없습니다.
수평 점근선은 다음과 같은 이유로 직선 y = 0입니다.

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 일 때 a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

함수 전달 포인트: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

맨 처음부터 다음 측면에 주의하십시오. 가 분모가 홀수인 양의 분수인 경우 일부 저자는 간격 - ∞를 이 거듭제곱 함수의 정의 영역으로 사용합니다. + ∞ , 지수 a가 기약 분수임을 전제로 합니다. 현재 대수학 및 분석의 시작에 관한 많은 교육 간행물의 저자는 지수가 인수의 음수 값에 대한 홀수 분모를 가진 분수인 거듭제곱 함수를 정의하지 않습니다. 더 나아가, 우리는 그러한 입장을 고수할 것입니다: 우리는 세트 [ 0 ; +∞) . 학생들을 위한 추천: 이 시점에서 의견 불일치를 피하기 위해 교사의 관점을 찾으십시오.

그럼 power function에 대해 알아보도록 하겠습니다. y = x 지수가 유리수 또는 무리수일 때 a< a < 1 .

거듭제곱 함수를 그래프로 설명하겠습니다. y = x a 일 때 a = 11 12(검정색 차트); a = 5 7 (그래프의 빨간색); a = 1 3 (차트의 파란색); a = 2 5 (그래프의 녹색).

지수 a의 다른 값(0으로 가정< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

정의 10

0에서의 거듭제곱 함수 속성< a < 1:

범위: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
함수는 x ∈ [0 ; +∞) ;
함수는 x ∈ (0 ; + ∞) 에 대해 볼록성을 가집니다.
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.

power function을 분석해보자 y = x 지수가 정수가 아닌 유리수 또는 무리수일 때 a > 1 .

거듭제곱 함수의 그래프를 보여줍니다. y = xa 다음과 같은 함수의 예에 대한 주어진 조건에서: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (각각 검정, 빨강, 파랑, 녹색 그래프) .

a > 1 조건에서 지수 a의 다른 값은 그래프의 유사한 보기를 제공합니다.

정의 11

> 1에 대한 거듭제곱 함수 속성:

정의 영역: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
범위: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
함수는 x ∈ [0 ; +∞) ;
함수는 x ∈ (0 ; + ∞)에 대해 오목합니다(1일 때< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.
함수 전달 포인트: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

우리는 당신의 관심을 끕니다!가 홀수 분모를 가진 음의 분수일 때 일부 저자의 작품에서는이 경우 정의 영역이 간격 - ∞라는 견해가 있습니다. 0 ∪ (0 ; + ∞) 단, 지수 a는 기약 분수입니다. 현재 대수학 및 분석 시작에 대한 교육 자료의 저자는 인수의 음수 값에 대해 홀수 분모가 있는 분수 형태의 지수로 거듭제곱 함수를 정의하지 않습니다. 더 나아가, 우리는 그러한 관점을 고수합니다: 우리는 집합 (0 ; + ∞)를 소수 음수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 영역으로 취합니다. 학생들을 위한 제안: 불일치를 피하기 위해 이 시점에서 교사의 비전을 명확히 하십시오.

우리는 주제를 계속하고 힘 함수를 분석합니다 y = x 제공됨: - 1< a < 0 .

다음은 다음 함수의 그래프입니다. y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (각각 검정색, 빨간색, 파란색, 녹색 선 ).

정의 12

-1에서 전력 함수 속성< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ 일 때 - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

범위: y ∈ 0 ; +∞ ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
변곡점이 없습니다.

아래 그림은 거듭제곱 함수 y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (각각 곡선의 검정, 빨강, 파랑, 녹색)의 그래프를 보여줍니다.

정의 13

에 대한 검정력 함수 속성< - 1:

정의 영역: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞일 때< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

범위: y ∈ (0 ; + ∞) ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
함수는 x ∈ 0에 대해 감소합니다. +∞ ;
함수는 x ∈ 0에 대해 오목합니다. +∞ ;
변곡점이 없습니다.
수평 점근선 - 직선 y = 0 ;
함수 전달 지점: (1 ; 1) .

a \u003d 0 및 x ≠ 0일 때 y \u003d x 0 \u003d 1 함수를 얻습니다. 이 함수는 점 (0; 1)이 제외되는 선을 결정합니다(표현 0 0이 제공되지 않는다는 데 동의했습니다 모든 값).

지수 함수의 형식은 y = a x , 여기서 a > 0 및 a ≠ 1 이며, 이 함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라 다르게 보입니다. 특별한 경우를 생각해보자.

먼저 지수함수의 밑이 0에서 1(0< a < 1) . 예시적인 예는 a = 1 2 (곡선의 파란색) 및 a = 5 6 (곡선의 빨간색)에 대한 함수 그래프입니다.

지수 함수의 그래프는 기본의 다른 값에 대해 유사한 형식을 갖습니다. 단, 0< a < 1 .

정의 14

밑이 1보다 작을 때 지수 함수의 속성:

범위: y ∈ (0 ; + ∞) ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
밑이 1보다 작은 지수 함수는 전체 정의 영역에서 감소합니다.
변곡점이 없습니다.
수평 점근선은 직선 y = 0이고 변수 x는 + ∞가 되는 경향이 있습니다.

이제 지수 함수의 밑이 1보다 큰 경우(a > 1)를 고려하십시오.

지수 함수 y = 3 2 x(곡선의 파란색) 및 y = e x(그래프의 빨간색)의 그래프로 이 특별한 경우를 설명하겠습니다.

1보다 큰 밑의 다른 값은 지수 함수 그래프의 유사한 보기를 제공합니다.

정의 15

밑이 1보다 클 때 지수 함수의 속성:

정의 영역은 실수의 전체 집합입니다.
범위: y ∈ (0 ; + ∞) ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
밑이 1보다 큰 지수 함수는 x ∈ - ∞ 에 대해 증가합니다. +∞ ;
함수는 x ∈ - ∞ 에 대해 오목합니다. +∞ ;
변곡점이 없습니다.
수평 점근선 - 직선 y = 0이고 변수 x는 -∞로 경향이 있습니다.
함수 전달 지점: (0 ; 1) .

로그 함수의 형식은 y = log a (x) 이며, 여기서 a > 0 , a ≠ 1 입니다.

이러한 함수는 인수의 양수 값에 대해서만 정의됩니다. for x ∈ 0 ; +∞ .

로그 함수의 그래프는 밑수 a의 값에 따라 다른 형태를 갖습니다.

0일 때 상황을 먼저 고려하십시오.< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

1보다 크지 않은 다른 기본 값은 그래프의 유사한 보기를 제공합니다.

정의 16

밑이 1보다 작을 때 로그 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ 0 ; +∞ . x가 오른쪽에서 0으로 갈수록 함수의 값은 + ∞가 되는 경향이 있습니다.
범위: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
대수
함수는 x ∈ 0에 대해 오목합니다. +∞ ;
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.

이제 로그 함수의 밑이 1보다 큰 특별한 경우를 분석해 보겠습니다. a > 1 . 아래 그림에는 로그 함수 y = log 3 2 x 및 y = ln x의 그래프가 있습니다(그래프의 파란색과 빨간색은 각각).

1보다 큰 밑의 다른 값은 그래프의 유사한 보기를 제공합니다.

정의 17

밑이 1보다 클 때 로그 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ 0 ; +∞ . x가 오른쪽에서 0으로 갈수록 함수의 값은 -∞가 되는 경향이 있습니다.
범위: y ∈ - ∞ ; + ∞ (실수의 전체 집합);
이 함수는 일반 형식의 함수입니다(홀수도 짝수도 아님).
로그 함수는 x ∈ 0에 대해 증가합니다. +∞ ;
함수는 x ∈ 0에 대해 볼록성을 갖습니다. +∞ ;
변곡점이 없습니다.
점근선이 없습니다.
함수 전달 지점: (1 ; 0) .

삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트입니다. 각각의 속성과 해당 그래프를 분석해 보겠습니다.

일반적으로 모든 삼각 함수는 주기성, 즉 함수의 값이 기간 f (x + T) = f (x) (T는 기간)의 값만큼 서로 다른 인수의 다른 값에 대해 반복되는 경우. 따라서 삼각 함수의 속성 목록에 "최소 양수 기간" 항목이 추가됩니다. 또한 해당 함수가 사라지는 인수의 값을 표시합니다.

사인 함수: y = sin(x)

이 함수의 그래프를 사인파라고 합니다.

정의 18

사인 함수의 속성:

정의 영역: 실수의 전체 집합 x ∈ - ∞ ; +∞ ;
함수는 x = π k 일 때 사라집니다. 여기서 k ∈ Z(Z는 정수 집합)입니다.
함수는 x ∈ - π 2 + 2 π · k 에 대해 증가합니다. π 2 + 2 π k , k ∈ Z 및 x ∈ π 2 + 2 π k 에 대해 감소 ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
사인 함수는 점 π 2 + 2 π · k에서 극대값을 가집니다. 점에서 1 및 극소값 - π 2 + 2 π · k ; - 1, k ∈ Z ;
사인 함수는 x ∈ - π + 2 π k일 때 오목합니다. 2 π k , k ∈ Z 및 x ∈ 2 π k일 때 볼록 ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
점근선이 없습니다.

코사인 함수: y=cos(x)

이 함수의 그래프를 코사인파라고 합니다.

정의 19

코사인 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
가장 작은 양수 기간: T \u003d 2 π;
범위: y ∈ - 1 ; 하나 ;
이 함수는 짝수입니다. y(- x) = y(x) ;
함수는 x ∈ - π + 2 π · k에 대해 증가합니다. 2 π · k , k ∈ Z 및 x ∈ 2 π · k에 대해 감소 ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
코사인 함수는 점 2 π · k에서 극대값을 가집니다. 1, k ∈ Z 및 점 π + 2 π · k에서의 극소값; - 1, k ∈ z ;
코사인 함수는 x ∈ π 2 + 2 π · k일 때 오목합니다. 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z 및 x ∈ - π 2 + 2 π k 일 때 볼록 ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
변곡점의 좌표는 π 2 + π · k 입니다. 0 , k ∈ Z
점근선이 없습니다.

접선 함수: y = tg(x)

이 함수의 그래프는 탄젠토이드.

정의 20

접선 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , 여기서 k ∈ Z(Z는 정수 집합);
정의 영역의 경계에서 접선 함수의 동작 lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + ∞ . 따라서 선 x = π 2 + π · k k ∈ Z는 수직 점근선입니다.
함수는 k ∈ Z에 대해 x = π k일 때 사라집니다(Z는 정수 집합).
범위: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
이 함수는 y(- x) = - y(x) 이므로 홀수입니다.
함수는 -π 2 + π · k에서 증가합니다. π 2 + π k , k ∈ Z ;
접선 함수는 x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z 및 x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
변곡점의 좌표는 π k입니다. 0 , k ∈ Z ;

코탄젠트 함수: y = c t g (x)

이 함수의 그래프를 코탄젠토이드라고 합니다. .

정의 21

코탄젠트 함수의 속성:

정의 영역: x ∈ (π k ; π + π k) , 여기서 k ∈ Z (Z는 정수 집합);

정의 영역의 경계에서 코탄젠트 함수의 동작 lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . 따라서 선 x = π k k ∈ Z는 수직 점근선입니다.

가장 작은 양수 기간: T \u003d π;
함수는 k ∈ Z에 대해 x = π 2 + π k일 때 사라집니다(Z는 정수 집합).
범위: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
이 함수는 y(- x) = - y(x) 이므로 홀수입니다.
함수는 x ∈ π · k에 대해 감소합니다. π + π k , k ∈ Z ;
코탄젠트 함수는 x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z 에 대해 오목하고 x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z 에 대해 볼록합니다.
변곡점의 좌표는 π 2 + π · k 입니다. 0 , k ∈ Z ;
비스듬한 수평 점근선이 없습니다.

역 삼각 함수는 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 및 아크코탄젠트입니다. 종종 이름에 접두사 "호"가 있기 때문에 역삼각 함수를 호 함수라고 합니다. .

아크사인 함수: y = a rc sin(x)

정의 22

아크사인 함수의 속성:

이 함수는 y(- x) = - y(x) 이므로 홀수입니다.
아크사인 함수는 x ∈ 0에 대해 오목합니다. 1 및 x ∈ - 1에 대한 볼록성 ; 0;
변곡점은 좌표(0 ; 0)를 가지며 함수의 0이기도 합니다.
점근선이 없습니다.

아크코사인 함수: y = a rc cos(x)

정의 23

아크코사인 함수 속성:

정의 영역: x ∈ - 1 ; 하나 ;
범위: y ∈ 0 ; 파이;
이 함수는 일반적인 형태입니다(짝수도 홀수도 아님).
정의의 전체 영역에서 함수가 감소하고 있습니다.
아크코사인 함수는 x ∈ - 1에 대해 오목합니다. x ∈ 0 에 대한 0 및 볼록성 ; 하나 ;
변곡점의 좌표는 0입니다. π2;
점근선이 없습니다.

아크탄젠트 함수: y = a rc t g(x)

정의 24

아크탄젠트 함수 속성:

정의 영역: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
범위: y ∈ - π 2 ; π2;
이 함수는 y(- x) = - y(x) 이므로 홀수입니다.
기능은 정의의 전체 영역에서 증가하고 있습니다.
아크탄젠트 함수는 x ∈(- ∞ ; 0 ]에 대해 오목하고 x ∈ [0 ; + ∞)에 대해 볼록합니다.
변곡점은 좌표(0, 0)를 가지며 함수의 0이기도 합니다.
수평 점근선은 x → - ∞의 경우 직선 y = - π 2이고 x → + ∞의 경우 y = π 2입니다(그림의 점근선은 녹색 선).

아크 코탄젠트 함수: y = a rc c t g (x)

정의 25

아크 코탄젠트 함수 속성:

정의 영역: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
범위: y ∈ (0 ; π) ;
이 함수는 일반적인 유형입니다.
정의의 전체 영역에서 함수가 감소하고 있습니다.
아크 코탄젠트 함수는 x ∈ [0 ; + ∞) x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
변곡점의 좌표는 0입니다. π2;
수평 점근선은 x → - ∞에서 직선 y = π(도면의 녹색 선)이고 x → + ∞에서 y = 0입니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

좌표축의 세그먼트 길이는 다음 공식으로 구합니다.

좌표 평면의 세그먼트 길이는 다음 공식으로 구합니다.

3차원 좌표계에서 세그먼트의 길이를 찾기 위해 다음 공식이 사용됩니다.

세그먼트 중간의 좌표(좌표 축의 경우 첫 번째 공식만 사용, 좌표 평면의 경우 - 처음 두 공식, 3차원 좌표계의 경우 - 세 공식 모두)은 다음 공식으로 계산됩니다.

기능형식의 대응이다 와이= 에프(엑스) 변수 사이, 이로 인해 각 변수는 일부 변수의 값을 고려합니다. 엑스(인수 또는 독립 변수)는 다른 변수의 특정 값에 해당하며, 와이(종속 변수, 때로는 이 값을 단순히 함수의 값이라고 합니다). 함수는 인수의 한 값이 엑스종속 변수의 값은 하나만 있을 수 있습니다. ~에. 그러나 동일한 값 ~에다양하게 얻을 수 있다 엑스.

기능 범위독립 변수의 모든 값입니다(함수 인수, 일반적으로 엑스) 함수가 정의된, 즉 그 의미가 존재합니다. 정의 영역이 표시됩니다. 디(와이). 전반적으로 당신은 이미 이 개념에 익숙합니다. 함수의 범위는 그렇지 않으면 유효한 값의 도메인 또는 ODZ라고 하며 오랫동안 찾을 수 있었습니다.

기능 범위이 함수의 종속 변수의 가능한 모든 값입니다. 표시 이자형(~에).

기능 상승인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 간격에서. 기능 감소인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하는 간격에서.

기능 간격종속 변수가 양수 또는 음수 부호를 유지하는 독립 변수의 간격입니다.

기능 0함수의 값이 0인 인수의 값입니다. 이 지점에서 함수의 그래프는 가로축(OX축)과 교차합니다. 매우 자주, 함수의 0을 찾아야 한다는 것은 단순히 방정식을 푸는 것을 의미합니다. 또한 종종 상수 부호의 구간을 찾아야 한다는 것은 단순히 부등식을 해결해야 한다는 것을 의미합니다.

기능 와이 = 에프(엑스)라고 한다 조차 엑스

이는 인수의 반대 값에 대해 짝수 함수의 값이 동일함을 의미합니다. 짝수 함수의 그래프는 항상 연산 증폭기의 y축에 대해 대칭입니다.

기능 와이 = 에프(엑스)라고 한다 이상한, 대칭 집합에 대해 정의된 경우 엑스정의 영역에서 평등이 충족됩니다.

이는 인수의 반대 값에 대해 홀수 함수의 값도 반대임을 의미합니다. 홀수 함수의 그래프는 항상 원점에 대해 대칭입니다.

짝수 및 홀수 함수의 근의 합(x축 OX의 교차점)은 항상 0과 같습니다. 모든 긍정적인 루트에 대해 엑스음의 뿌리가 있다 엑스.

일부 기능은 짝수 또는 홀수일 필요가 없다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 짝수도 홀수도 아닌 함수가 많이 있습니다. 이러한 기능을 호출 일반 기능, 그리고 위의 평등이나 속성 중 어느 것도 해당되지 않습니다.

선형 함수다음 공식으로 나타낼 수 있는 함수라고 합니다.

선형 함수의 그래프는 직선이며 일반적으로 다음과 같습니다. 케이> 0, 이 경우 함수가 증가합니다. 행사를 위해 케이 < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

2차 함수 그래프(포물선)

포물선의 그래프는 2차 함수로 제공됩니다.

이차 함수는 다른 함수와 마찬가지로 근인 점에서 OX 축과 교차합니다. 엑스하나 ; 0) 및 ( 엑스 2; 0). 근이 없으면 이차 함수는 OX 축과 교차하지 않고, 하나의 근이 있으면 이 지점에서 ( 엑스 0; 0) 2차 함수는 OX 축에만 닿고 교차하지 않습니다. 2차 함수는 항상 좌표가 있는 점에서 OY 축과 교차합니다. (0; 씨). 2차 함수(포물선)의 그래프는 다음과 같을 수 있습니다(그림은 가능한 모든 유형의 포물선을 소진하지 않는 예를 보여줍니다).

여기서:

만약 계수 ㅏ> 0, 함수에서 와이 = 도끼 2 + bx + 씨, 포물선의 가지가 위쪽으로 향합니다.
만약 ㅏ < 0, то ветви параболы направлены вниз.

포물선 꼭짓점 좌표는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. X탑스 (피- 위 그림에서) 포물선(또는 제곱 삼항식이 최대값 또는 최소값에 도달하는 지점):

Y상의 (큐- 위의 그림에서) 포물선의 가지 또는 포물선의 가지가 아래쪽을 향하는 경우 최대값( ㅏ < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ㅏ> 0), 제곱 삼항식의 값:

다른 기능의 그래프

전원 기능

다음은 거듭제곱 함수 그래프의 몇 가지 예입니다.

반비례 의존성공식에 의해 주어진 함수를 호출:

숫자 기호에 따라 케이반비례 그래프에는 두 가지 기본 옵션이 있습니다.

점근선함수 그래프의 선이 무한히 가까워지지만 교차하지 않는 선입니다. 위 그림에 나타난 역비례 그래프의 점근선은 함수의 그래프가 무한히 가까워지지만 교차하지 않는 좌표축입니다.

지수 함수베이스 포함 ㅏ공식에 의해 주어진 함수를 호출:

ㅏ지수 함수의 그래프에는 두 가지 기본 옵션이 있습니다(예제도 제공합니다. 아래 참조).

로그 함수공식에 의해 주어진 함수를 호출:

숫자가 1보다 크든 작든에 따라 ㅏ로그 함수의 그래프에는 두 가지 기본 옵션이 있습니다.

함수 그래프 와이 = |엑스| 다음과 같이:

주기(삼각) 함수의 그래프

기능 ~에 = 에프(엑스)라고 한다 정기 간행물, 0이 아닌 숫자가 있는 경우 티, 무엇 에프(엑스 + 티) = 에프(엑스), 누구에게나 엑스기능 범위를 벗어남 에프(엑스). 만약 기능 에프(엑스)는 주기와 함께 주기적입니다. 티, 다음 기능:

어디: ㅏ, 케이, 비상수이고 케이 0과 같지 않고 주기가 있는 주기적 티 1 , 다음 공식에 의해 결정됩니다.

주기 함수의 대부분의 예는 삼각 함수입니다. 다음은 주요 삼각 함수의 그래프입니다. 다음 그림은 함수 그래프의 일부를 보여줍니다 와이= 죄 엑스(전체 그래프는 왼쪽과 오른쪽으로 무한히 계속됨), 함수의 그래프 와이= 죄 엑스~라고 불리는 정현파:

함수 그래프 와이= 코스 엑스~라고 불리는 코사인파. 이 그래프는 다음 그림에 나와 있습니다. 사인 그래프 이후 OX 축을 따라 왼쪽과 오른쪽으로 무한정 계속됩니다.

함수 그래프 와이=티 엑스~라고 불리는 탄젠토이드. 이 그래프는 다음 그림에 나와 있습니다. 다른 주기 함수의 그래프와 마찬가지로 이 그래프는 OX 축을 따라 왼쪽과 오른쪽으로 무한 반복됩니다.

그리고 마지막으로 함수의 그래프 와이=ctg 엑스~라고 불리는 코탄젠토이드. 이 그래프는 다음 그림에 나와 있습니다. 다른 주기 및 삼각 함수의 그래프와 마찬가지로 이 그래프는 OX 축을 따라 왼쪽과 오른쪽으로 무한 반복됩니다.

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물리학 및 수학 CT를 성공적으로 준비하는 방법은 무엇입니까?

물리 및 수학 CT를 성공적으로 준비하려면 무엇보다도 세 가지 중요한 조건이 충족되어야 합니다.

모든 주제를 공부하고 이 사이트의 학습 자료에 제공된 모든 테스트와 작업을 완료하십시오. 이렇게하려면 전혀 필요하지 않습니다. 즉, 매일 3-4 시간을 물리학 및 수학에서 CT 준비, 이론 공부 및 문제 해결에 할애하는 것입니다. 사실 DT는 물리학이나 수학을 아는 것만으로는 충분하지 않고 다양한 주제와 다양한 복잡성에 대한 많은 문제를 실패 없이 신속하게 해결할 수 있어야 하는 시험입니다. 후자는 수천 가지 문제를 해결해야만 배울 수 있습니다.
물리학의 모든 공식과 법칙, 수학의 공식과 방법을 배웁니다. 사실, 이것을 하는 것도 매우 간단합니다. 물리학에서 필요한 공식은 약 200개에 불과하고 수학에서는 훨씬 적습니다. 이러한 각 과목에는 기본 복잡성 수준의 문제를 해결하기 위한 약 12가지 표준 방법이 있으며, 이 방법도 학습할 수 있으므로 완전 자동으로 어려움 없이 적시에 대부분의 디지털 변환을 해결할 수 있습니다. 그 후에는 가장 어려운 작업에 대해서만 생각하면 됩니다.
물리학 및 수학 리허설 테스트의 세 단계에 모두 참석하십시오. 각 RT는 두 가지 옵션을 모두 해결하기 위해 두 번 방문할 수 있습니다. 다시 말하지만, DT에서는 문제를 빠르고 효율적으로 해결하는 능력, 공식 및 방법에 대한 지식 외에도 시간을 적절하게 계획하고 힘을 분산하고 가장 중요한 답변 양식을 올바르게 작성할 수 있어야 합니다. 답과 문제의 번호나 자신의 이름을 혼동하지 않고. 또한 RT 중에는 DT에서 준비되지 않은 사람에게는 매우 이례적으로 보일 수 있는 작업에서 질문을 제기하는 스타일에 익숙해지는 것이 중요합니다.

이 세 가지 사항의 성공적이고 근면하며 책임감 있는 구현과 최종 교육 테스트에 대한 책임 있는 연구를 통해 귀하는 CT에서 귀하가 할 수 있는 최대치인 우수한 결과를 보여줄 수 있습니다.

오류를 찾았습니까?

교육 자료에서 오류를 발견한 경우 이메일()로 이에 대해 작성하십시오. 편지에는 주제(물리 또는 수학), 주제 또는 시험의 이름 또는 번호, 과제 번호, 또는 귀하가 생각하기에 오류가 있는 텍스트(페이지)의 위치를 표시하십시오. 또한 주장된 오류가 무엇인지 설명하십시오. 귀하의 편지는 눈에 띄지 않고 오류가 수정되거나 오류가 아닌 이유가 설명됩니다.

그래프를 사용하여 함수를 탐색하는 방법을 살펴보겠습니다. 그래프를 보면 우리에게 관심이 있는 모든 것을 찾을 수 있습니다.

기능 범위
기능 범위
기능 0
증가 및 감소 기간
고점과 저점
세그먼트에 있는 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값.

용어를 명확히 합시다.

횡좌표점의 수평 좌표입니다.
안수- 수직 좌표.
횡좌표- 가장 흔히 축이라고 불리는 수평 축.
Y축- 수직 축 또는 축.

논쟁함수의 값이 의존하는 독립 변수입니다. 가장 자주 표시됩니다.
다시 말해서, 우리는 스스로 선택하고, 함수 공식에서 대입하고 을 얻습니다.

도메인함수 - 함수가 존재하는 인수의 해당 값(및 해당 값만)의 집합입니다.
표시: 또는 .

이 그림에서 함수의 도메인은 세그먼트입니다. 이 부분에 함수의 그래프가 그려집니다. 이 기능은 여기에서만 존재합니다.

기능 범위변수가 취하는 값의 집합입니다. 우리 그림에서 이것은 가장 낮은 값에서 가장 높은 값까지의 세그먼트입니다.

기능 0- 함수 값이 0인 지점, 즉 . 우리 그림에서 이것들은 점과 입니다.

함수 값은 양수입니다어디 . 우리 그림에서 이들은 간격 및 .
함수 값은 음수입니다.어디 . 우리는 이 간격(또는 간격) from to를 가지고 있습니다.

가장 중요한 개념 - 증가 및 감소 기능어떤 세트에. 집합으로 세그먼트, 간격, 간격의 합집합 또는 전체 숫자 선을 사용할 수 있습니다.

기능 증가

즉, 더 많을수록 더 많이, 즉 그래프가 오른쪽 위로 이동합니다.

기능 감소집합의 경우 집합에 속하고 집합에 속해 있는 경우 부등식은 부등식을 의미합니다.

감소 함수의 경우 더 큰 값은 더 작은 값에 해당합니다. 그래프가 오른쪽 아래로 이동합니다.

이 그림에서 함수는 구간에서 증가하고 구간 및 에서 감소합니다.

무엇인지 정의하자 함수의 최대 및 최소 포인트.

최대 포인트- 이것은 정의 영역의 내부 지점이므로 함수 값이 충분히 가까운 모든 지점보다 큽니다.
즉, 최대점은 그러한 점이며, 더이웃보다. 이것은 차트의 로컬 "언덕"입니다.

우리 그림에서 - 최대 지점.

저점- 정의 영역의 내부 지점, 그 안에 있는 함수의 값이 그것에 충분히 가까운 모든 지점보다 작도록 합니다.
즉, 최소점은 함수 값이 인접한 함수 값보다 작도록 하는 것입니다. 그래프에서 이것은 로컬 "구멍"입니다.

우리 그림에서 - 최소 지점.

점은 경계입니다. 정의 영역의 내부 점이 아니므로 최대 점의 정의에 맞지 않습니다. 결국 그녀의 왼쪽에는 이웃이 없습니다. 마찬가지로 차트에는 최소점이 있을 수 없습니다.

최대 및 최소 포인트를 총칭하여 함수의 극점. 우리의 경우 이것은 및 입니다.

그러나 예를 들어, 기능 최소컷에? 이 경우 답은 다음과 같습니다. 왜냐하면 기능 최소최소점에서의 값입니다.

마찬가지로 함수의 최대값은 입니다. 지점에 도달했습니다.

우리는 함수의 극한이 와 같다고 말할 수 있습니다.

때때로 당신이 찾아야 할 작업에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값주어진 세그먼트에. 그것들은 반드시 극단과 일치하지 않습니다.

우리의 경우 가장 작은 함수 값간격은 함수의 최소값과 동일하고 일치합니다. 그러나 이 세그먼트에서 가장 큰 값은 와 같습니다. 세그먼트의 왼쪽 끝에 도달합니다.

어쨌든 세그먼트에 대한 연속 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값은 극점 또는 세그먼트 끝에서 달성됩니다.

이 방법론적 자료는 참조용일 뿐이며 광범위한 주제를 다룹니다. 이 기사는 주요 기본 기능의 그래프에 대한 개요를 제공하고 가장 중요한 문제를 고려합니다. 그래프를 정확하고 빠르게 작성하는 방법. 기초적인 기초함수의 그래프를 모른 채 고등수학을 공부하는 과정에서는 어려울 것이므로 포물선, 쌍곡선, 사인, 코사인 등의 그래프가 어떻게 생겼는지 기억하고 몇 가지를 기억하는 것은 매우 중요합니다. 함수 값. 우리는 또한 주요 기능의 몇 가지 속성에 대해서도 이야기할 것입니다.

나는 자료의 완전성과 과학적 완전성을 가장하지 않으며, 무엇보다도 실천에 중점을 둘 것입니다. 고등 수학의 모든 주제에서 문자 그대로 모든 단계에서 직면해야 합니다.. 인형용 차트? 그렇게 말할 수 있습니다.

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진심 6, 나 자신도 놀랐다. 이 초록에는 개선된 그래픽이 포함되어 있으며 소액의 비용으로 사용할 수 있으며 데모 버전을 볼 수 있습니다. 그래프가 항상 가까이에 있도록 파일을 인쇄하는 것이 편리합니다. 프로젝트를 지원해주셔서 감사합니다!

그리고 바로 시작합니다.

좌표축을 올바르게 구축하는 방법은 무엇입니까?

실제로 시험은 거의 항상 학생들이 새장에 줄 지어 별도의 공책에 작성합니다. 왜 체크 무늬 표시가 필요합니까? 결국 작업은 원칙적으로 A4 용지에서 수행 할 수 있습니다. 그리고 케이지는 도면의 고품질 및 정확한 설계를 위해서만 필요합니다.

함수 그래프의 모든 그림은 좌표축으로 시작합니다..

그림은 2차원과 3차원입니다.

먼저 2차원의 경우를 생각해보자 데카르트 좌표계:

1) 좌표축을 그립니다. 축이라고 합니다 x축 , 그리고 축 y축 . 우리는 항상 그들을 그리려고 노력합니다. 깔끔하고 비뚤어지지 않은. 화살은 또한 파파 카를로의 수염을 닮아서는 안됩니다.

2) 대문자 "x"와 "y"로 축에 서명합니다. 축에 서명하는 것을 잊지 마십시오..

3) 축을 따라 축척을 설정합니다. 0과 2를 그리다. 그림을 그릴 때 가장 편리하고 일반적인 척도는 1단위 = 2셀(왼쪽 그림) - 가능하면 그대로 두는 것입니다. 그러나 때때로 그림이 노트북 시트에 맞지 않는 경우가 있습니다. 그런 다음 1 단위 = 1 셀 (오른쪽 그림)으로 축척을 줄입니다. 드물지만 도면의 축척을 더 줄여야(또는 늘려야) 하는 경우가 있습니다.

기관총에서 낙서하지 마십시오 ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....좌표 평면은 데카르트의 기념비가 아니며 학생은 비둘기가 아닙니다. 우리는 영그리고 축을 따라 두 개의 단위. 때때로 대신에단위의 경우 가로축에서 "2", 세로축에서 "3"과 같은 다른 값을 "감지"하는 것이 편리하며 이 시스템(0, 2 및 3)도 좌표 그리드를 고유하게 설정합니다.

도면을 그리기 전에 도면의 예상 치수를 추정하는 것이 좋습니다.. 따라서 예를 들어 작업에 꼭짓점이 있는 삼각형을 그려야 하는 경우 , , , 널리 사용되는 척도 1 단위 = 2 셀이 작동하지 않을 것이 분명합니다. 왜요? 요점을 살펴보겠습니다. 여기에서 15센티미터 아래로 측정해야 하며, 분명히 그림은 노트북 시트에 맞지 않거나 거의 맞지 않습니다. 따라서 우리는 즉시 더 작은 규모의 1 unit = 1 cell을 선택합니다.

그건 그렇고, 약 센티미터와 노트북 셀. 공책 셀 30개에 15센티미터가 있다는 것이 사실입니까? 자로 15 센티미터의 관심을 갖는 노트북에서 측정하십시오. 소련에서는 아마도 이것이 사실이었을 것입니다 ... 동일한 센티미터를 수평 및 수직으로 측정하면 결과 (셀)가 다를 것이라는 점에 주목하는 것이 흥미 롭습니다! 엄밀히 말하면 현대 노트북은 체크 무늬가 아니라 직사각형입니다. 말도 안되는 소리처럼 보일 수 있지만, 예를 들어 그러한 상황에서 나침반으로 원을 그리는 것은 매우 불편합니다. 솔직히 말해서, 그러한 순간에 국내 자동차 산업, 추락하는 비행기 또는 폭발하는 발전소는 말할 것도없고 생산 해킹 작업을 위해 캠프에 파견 된 스탈린 동지의 정확성에 대해 생각하기 시작합니다.

품질이라고 하면 문구류에 대한 간단한 추천. 현재까지 판매되고 있는 대부분의 노트북은 욕설 없이 완전 도깨비다. 젤펜뿐만 아니라 볼펜에서도 젖는 이유! 종이에 저장합니다. 테스트 설계를 위해 Arkhangelsk Pulp and Paper Mill(18매, 셀) 또는 Pyaterochka의 노트북을 사용하는 것이 좋지만 더 비싸지만 사용하는 것이 좋습니다. 젤 펜을 선택하는 것이 좋습니다. 가장 저렴한 중국 젤 리필이라도 종이가 번지거나 찢어지는 볼펜보다 훨씬 낫습니다. 내 기억에 있는 유일한 "경쟁적인" 볼펜은 Erich Krause입니다. 그녀는 전체 줄기 또는 거의 비어있는 줄기로 명확하고 아름답고 안정적으로 씁니다.

추가적으로: 해석 기하학의 눈을 통한 직교 좌표계의 비전은 기사에서 다룹니다. 벡터의 선형(비) 종속성. 벡터 기초, 좌표 분기에 대한 자세한 정보는 수업의 두 번째 단락에서 찾을 수 있습니다. 선형 부등식.

3D 케이스

여기도 거의 비슷합니다.

1) 좌표축을 그립니다. 기준: 축 적용 – 위쪽 방향, 축 – 오른쪽 방향, 축 – 왼쪽 아래 방향 엄격하게 45도 각도로.

2) 축에 서명합니다.

3) 축을 따라 스케일을 설정합니다. 축을 따라 축척 - 다른 축을 따라 축척보다 2배 작음. 또한 오른쪽 그림에서 축을 따라 비표준 "세리프"를 사용했습니다. (이 가능성은 이미 위에서 언급했습니다). 내 관점에서 볼 때 더 정확하고 빠르며 미학적으로 더 만족스럽습니다. 현미경으로 세포의 중간을 찾아 원점까지 유닛을 "조각"할 필요가 없습니다.

3D도면 다시 할 때 - 스케일 우선
1 유닛 = 2 셀(왼쪽 그림).

이 모든 규칙은 무엇입니까? 규칙은 깨지기 위해 존재합니다. 내가 지금 무엇을 할거야. 사실은 기사의 후속 도면은 내가 Excel로 작성하고 좌표축이 적절한 디자인 측면에서 올바르지 않게 보일 것입니다. 모든 그래프를 손으로 그릴 수는 있지만 Excel에서 훨씬 더 정확하게 그리기를 꺼려하기 때문에 그리기가 정말 무섭습니다.

기본 함수의 그래프 및 기본 속성

선형 함수는 방정식으로 제공됩니다. 선형 함수 그래프는 직접. 직선을 그리려면 두 점만 알면 됩니다.

실시예 1

함수를 플로팅합니다. 두 점을 찾아보자. 포인트 중 하나로 0을 선택하는 것이 유리합니다.

그렇다면

우리는 예를 들어 1과 같은 다른 점을 취합니다.

그렇다면

작업을 준비할 때 점의 좌표는 일반적으로 표에 요약되어 있습니다.

그리고 값 자체는 구두 또는 초안, 계산기에서 계산됩니다.

두 개의 점이 발견되었습니다. 그려봅시다:

도면을 그릴 때 우리는 항상 그래픽에 서명합니다.

선형 함수의 특별한 경우를 기억하는 것은 불필요하지 않습니다.

내가 캡션을 어떻게 배치했는지 주목하세요. 도면을 연구할 때 서명이 모호하지 않아야 합니다.. 이 경우, 선이 교차하는 지점 옆이나 그래프 사이의 오른쪽 하단에 서명을 두는 것은 매우 바람직하지 않습니다.

1) () 형식의 선형 함수를 직접 비례라고 합니다. 예를 들어, . 직접 비례 그래프는 항상 원점을 통과합니다. 따라서 직선의 구성이 단순화됩니다. 한 점만 찾는 것으로 충분합니다.

2) 형태의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식으로 주어진다. 함수의 그래프는 점을 찾지 않고 즉시 작성됩니다. 즉, 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "y는 x 값에 대해 항상 -4와 같습니다."

3) 형태의 방정식은 축에 평행한 직선을 정의하며, 특히 축 자체는 방정식으로 주어진다. 함수의 그래프도 즉시 빌드됩니다. 항목은 다음과 같이 이해해야 합니다. "x는 항상 y 값에 대해 1과 같습니다."

어떤 사람들은 왜 6학년을 기억하느냐고 물을 것입니다. 그것이 아마도 그렇게 될 것입니다. 나는 몇 년 동안 연습하는 동안 또는 와 같은 그래프를 구성하는 작업에 당황한 수십 명의 학생들을 만났습니다.

직선을 그리는 것은 그림을 그릴 때 가장 많이 하는 행동입니다.

직선은 해석기하학 과정에서 자세히 다루며, 희망하시는 분들은 해당 기사를 참고하시면 됩니다. 평면 위의 직선 방정식.

2차 함수 그래프, 3차 함수 그래프, 다항식 그래프

포물선. 이차 함수의 그래프 ()은 포물선입니다. 다음과 같은 유명한 경우를 생각해 보십시오.

함수의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.

그래서, 우리 방정식에 대한 해법: - 포물선의 꼭짓점이 이 지점에 위치합니다. 이것이 그 이유는 미분에 대한 이론적인 기사와 함수의 극단에 대한 교훈에서 배울 수 있습니다. 그 동안 "y"의 해당 값을 계산합니다.

따라서 꼭짓점은 점에 있습니다.

이제 포물선의 대칭을 뻔뻔하게 사용하면서 다른 점을 찾습니다. 기능은 다음과 같습니다. – 조차, 그러나 그럼에도 불구하고 아무도 포물선의 대칭을 취소하지 않았습니다.

나머지 포인트를 찾는 순서는 최종 테이블에서 명확해질 것이라고 생각합니다.

이 구성 알고리즘은 Anfisa Chekhova와 함께 비유적으로 "셔틀" 또는 "앞뒤로" 원리라고 부를 수 있습니다.

그림을 만들어 봅시다.

고려한 그래프에서 또 다른 유용한 기능이 떠오릅니다.

2차 함수의 경우 () 다음이 참입니다.

이면 포물선의 가지가 위쪽으로 향합니다..

이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다..

곡선에 대한 심층적인 지식은 쌍곡선 및 포물선 단원에서 얻을 수 있습니다.

3차 포물선은 함수로 제공됩니다. 다음은 학교에서 친숙한 그림입니다.

함수의 주요 속성을 나열합니다.

함수 그래프

포물선의 가지 중 하나를 나타냅니다. 그림을 만들어 봅시다.

함수의 주요 속성:

이 경우 축은 수직 점근선 의 쌍곡선 그래프에 대해 .

그림을 그릴 때 과실로 그래프가 점근선과 교차하도록 허용하면 큰 실수가 됩니다.

또한 일방적인 한계, 과장법 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음.

무한대에서 함수를 살펴보겠습니다. 즉, 축을 따라 무한대로 왼쪽(또는 오른쪽)으로 이동하기 시작하면 "게임"이 가느다란 단계가 될 것입니다. 끝없이 가까운 0에 접근하고 따라서 쌍곡선의 가지 끝없이 가까운축에 접근합니다.

따라서 축은 수평 점근선 함수 그래프의 경우 "x"가 무한대를 더하거나 빼는 경향이 있는 경우.

기능은 이상한, 이는 쌍곡선이 원점에 대해 대칭임을 의미합니다. 이 사실은 도면에서 분명하며 또한 분석적으로 쉽게 확인할 수 있습니다. .

() 형식의 함수 그래프는 쌍곡선의 두 가지를 나타냅니다..

인 경우 쌍곡선은 첫 번째 및 세 번째 좌표 사분면에 있습니다.(위 그림 참조).

인 경우 쌍곡선은 두 번째 및 네 번째 좌표 사분면에 있습니다..

그래프의 기하학적 변환의 관점에서 쌍곡선 거주지의 지정된 규칙 성을 분석하는 것은 어렵지 않습니다.

실시예 3

쌍곡선의 오른쪽 가지 구성

우리는 pointwise 구성 방법을 사용하지만 값을 선택하여 완전히 나누도록 하는 것이 유리합니다.

그림을 만들어 봅시다.

쌍곡선의 왼쪽 분기를 구성하는 것은 어렵지 않을 것입니다. 여기서 함수의 기이함이 도움이 될 것입니다. 대략적으로 말하면, 점별 구성표에서 정신적으로 각 숫자에 마이너스를 추가하고 해당 점을 넣고 두 번째 분기를 그립니다.

고려된 선에 대한 자세한 기하학적 정보는 쌍곡선 및 포물선 문서에서 찾을 수 있습니다.

지수 함수의 그래프

이 단락에서는 95%의 경우에 더 높은 수학 문제에서 발생하는 지수이기 때문에 지수 함수를 즉시 고려할 것입니다.

나는 당신에게 이것을 상기시킵니다 - 이것은 무리수입니다: , 이것은 그래프를 만들 때 필요합니다. 사실, 저는 의식 없이 만들 것입니다. 세 가지 점으로 충분합니다.

지금은 함수의 그래프를 그대로 두겠습니다. 나중에 설명하겠습니다.

함수의 주요 속성:

기본적으로 함수의 그래프는 동일하게 보입니다.

두 번째 경우는 실제로 덜 일반적이지만 발생하므로 이 기사에 포함할 필요가 있다고 느꼈습니다.

로그 함수의 그래프

자연 로그가 있는 함수를 고려하십시오.
선 그리기를 해보자:

로그가 무엇인지 잊은 경우 학교 교과서를 참조하십시오.

함수의 주요 속성:

도메인:

값 범위: .

기능은 위에서 제한되지 않습니다. , 느리긴 하지만 로그의 분기는 무한대까지 올라갑니다.
오른쪽에서 0에 가까운 함수의 동작을 살펴보겠습니다. . 따라서 축은 수직 점근선 오른쪽에서 "x"가 0에 가까워지는 함수의 그래프입니다.

로그의 일반적인 값을 알고 기억하십시오.: .

기본적으로 밑수에서 로그의 플롯은 , , (밑수 10에 대한 10진 로그) 등으로 동일하게 보입니다. 동시에 베이스가 클수록 차트가 더 평평해집니다.

우리는 그러한 기반으로 그래프를 마지막으로 구축한 것이 언제인지 기억나지 않는 경우를 고려하지 않을 것입니다. 예, 로그는 고등 수학 문제에서 매우 드문 손님인 것 같습니다.

단락의 결론에서 나는 한 가지 사실을 더 말할 것입니다. 지수 함수 및 로그 함수두 개의 상호 역함수입니다.. 로그의 그래프를 자세히 보면 이것이 같은 지수임을 알 수 있습니다. 단지 약간 다른 위치에 있을 뿐입니다.

삼각 함수의 그래프

삼각법의 고통은 학교에서 어떻게 시작됩니까? 오른쪽. 사인에서

함수를 플로팅하자

이 라인은 정현파.

나는 "pi"가 무리수라는 것을 상기시킵니다. 삼각법에서는 눈을 현혹시킵니다.

함수의 주요 속성:

이 기능은 정기 간행물기간이 있습니다. 무슨 뜻인가요? 컷을 봅시다. 왼쪽과 오른쪽으로 정확히 같은 그래프 조각이 끝없이 반복됩니다.

도메인: , 즉, "x"의 값에 대해 사인 값이 있습니다.

값 범위: . 기능은 제한된: , 즉 모든 "게임"이 세그먼트에 엄격하게 포함됩니다.
이것은 발생하지 않습니다. 또는 더 정확하게는 발생하지만 이러한 방정식에는 솔루션이 없습니다.