로그 부등식
이전 수업에서 우리는 대수 방정식에 대해 알게 되었고 이제 대수 방정식이 무엇이며 어떻게 푸는지 알게 되었습니다. 그리고 오늘의 수업은 로그 부등식의 연구에 전념할 것입니다. 이러한 부등식은 무엇이며 로그 방정식과 부등식을 푸는 것의 차이점은 무엇입니까?
로그 부등식은 로그 부호 아래 또는 밑변에 변수가 있는 부등식입니다.
또는 로그 부등식은 로그 방정식에서와 같이 알 수 없는 값이 로그 부호 아래에 있는 부등식이라고 말할 수도 있습니다.
가장 간단한 로그 부등식은 다음과 같습니다.
여기서 f(x) 및 g(x)는 x에 의존하는 일부 표현식입니다.
다음 예를 사용하여 이것을 살펴보겠습니다. f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
로그 부등식 풀기
대수 부등식을 풀기 전에 풀었을 때 지수 부등식과 유사하다는 점에 주목할 필요가 있습니다. 즉:
첫째, 로그에서 로그 부호 아래의 표현식으로 이동할 때 로그의 밑도 1과 비교할 필요가 있습니다.
둘째, 변수의 변화를 이용하여 대수적 부등식을 풀 때 가장 단순한 부등식을 얻을 때까지 변화에 대한 부등식을 풀어야 한다.
그러나 로그 부등식을 푸는 유사한 순간을 고려한 것은 우리였습니다. 이제 상당히 중요한 차이점을 살펴보겠습니다. 당신과 나는 로그 함수의 정의 영역이 제한되어 있다는 것을 알고 있으므로 로그에서 로그 부호 아래의 표현식으로 이동할 때 허용 가능한 값(ODV)의 범위를 고려해야 합니다.
즉, 로그 방정식을 풀 때 먼저 방정식의 근을 찾은 다음이 솔루션을 확인할 수 있음을 명심해야합니다. 그러나 로그 부등식을 푸는 것은 이런 식으로 작동하지 않을 것입니다. 로그에서 로그 부호 아래의 표현식으로 이동하기 때문에 부등식의 ODZ를 기록해야 하기 때문입니다.
또한 부등식 이론은 양수와 음수인 실수와 숫자 0으로 구성되어 있음을 기억할 가치가 있습니다.
예를 들어 숫자 "a"가 양수이면 a > 0과 같은 표기법을 사용해야 합니다. 이 경우 이러한 숫자의 합과 곱도 모두 양수입니다.
부등식을 푸는 기본 원리는 부등식을 더 단순한 부등식으로 바꾸는 것이지만 가장 중요한 것은 주어진 부등식과 동등하다는 것입니다. 또한 부등식도 구하여 다시 단순한 형태의 부등식으로 교체하는 등의 방식을 취했습니다.
변수로 부등식을 풀려면 모든 솔루션을 찾아야 합니다. 두 부등식에 동일한 변수 x가 있는 경우 해당 부등식의 해가 동일하다면 해당 부등식도 동일합니다.
로그 부등식을 푸는 작업을 수행할 때 a > 1일 때 로그 함수가 증가하고 0일 때< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
로그 부등식을 푸는 방법
이제 로그 부등식을 풀 때 발생하는 몇 가지 방법을 살펴보겠습니다. 더 나은 이해와 동화를 위해 구체적인 예를 사용하여 이해하려고 노력할 것입니다.
가장 단순한 로그 부등식의 형식은 다음과 같습니다.
이 부등식에서 V -는 다음과 같은 부등식 기호 중 하나입니다.<,>, ≤ 또는 ≥.
이 로그의 밑이 1보다 크면(a>1) 로그에서 로그 부호 아래의 표현식으로 전환하면 이 버전에서 부등호가 유지되고 부등식은 다음과 같이 표시됩니다.
이는 다음 시스템과 동일합니다.
로그의 밑이 0보다 크고 1보다 작은 경우(0 이것은 다음 시스템과 동일합니다. 아래 그림에 표시된 가장 간단한 로그 부등식을 푸는 더 많은 예를 살펴보겠습니다. 연습.이 부등식을 해결해 보겠습니다. 허용 가능한 값 영역의 결정. 이제 오른쪽에 다음을 곱해 보겠습니다. 우리가 무엇을 할 수 있는지 보자: 이제 서브로그 식의 변환으로 넘어 갑시다. 로그의 밑이 0이므로< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; 그리고 이것으로부터 우리가 얻은 간격은 전적으로 ODZ에 속하며 그러한 부등식에 대한 해결책이라는 결론이 나옵니다. 다음은 우리가 얻은 답변입니다. 이제 대수 부등식을 성공적으로 풀기 위해 무엇이 필요한지 분석해 볼까요? 먼저, 이 부등식에 주어진 변환을 수행할 때 모든 주의를 기울이고 실수하지 않도록 노력하십시오. 또한 이러한 부등식을 풀 때 ODZ 부등식의 확장과 축소를 방지할 필요가 있으며, 이는 외부 솔루션의 손실 또는 획득으로 이어질 수 있음을 기억해야 합니다. 둘째, 대수 부등식을 풀 때 논리적으로 생각하고 부등식 시스템과 부등식 집합과 같은 개념의 차이점을 이해하는 법을 배워야 DHS에 따라 부등식에 대한 솔루션을 쉽게 선택할 수 있습니다. 셋째, 이러한 부등식을 성공적으로 해결하기 위해서는 여러분 각자가 기본 함수의 모든 속성을 완벽하게 알고 그 의미를 명확하게 이해해야 합니다. 이러한 함수에는 로그 함수뿐만 아니라 유리수, 거듭제곱, 삼각함수 등 학교 대수학에서 공부한 모든 함수가 포함됩니다. 보시다시피, 대수 부등식 주제를 연구한 후에는 목표 달성에 주의를 기울이고 끈기 있게 노력한다면 이러한 부등식을 해결하는 데 어려움이 없습니다. 불평등을 해결하는 데 문제가 발생하지 않도록 최대한 많이 훈련하고 다양한 과제를 해결하는 동시에 이러한 불평등과 그 시스템을 해결하는 주요 방법을 외워야 합니다. 대수 부등식에 대한 솔루션이 실패한 경우 실수를 주의 깊게 분석하여 나중에 다시 실수로 돌아가지 않도록 해야 합니다. 주제에 대한 더 나은 동화와 다루는 자료의 통합을 위해 다음 부등식을 푸십시오. 그들과 함께 로그 안에 있습니다. 예: \(\log_3x≥\log_39\) 모든 로그 부등식은 \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) 형식으로 줄여야 합니다(기호 \(˅\)는 ). 이 형식을 사용하면 로그 아래 표현식의 부등식, 즉 \(f(x) ˅ g(x)\) 형식으로 전달하여 로그와 그 밑을 제거할 수 있습니다. 그러나 이 전환을 수행할 때 한 가지 매우 중요한 미묘함이 있습니다. \(\log_2((8-x))<1\) 해결책: \(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ one))\) 해결책: 매우 중요!모든 부등식에서 \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) 형식에서 대수 아래의 표현식 비교로의 전환은 다음 경우에만 수행할 수 있습니다. 예시
. 부등식 풀기: \(\log\)\(≤-1\) 해결책:
\(\통나무\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) ODZ를 작성해 봅시다. ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) \(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) 우리는 대괄호를 열고 . \(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) 비교 부호를 반대로 하는 것을 기억하면서 부등식에 \(-1\)을 곱합니다. \(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) \(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) 숫자 선을 만들고 그 위에 \(\frac(7)(3)\) 및 \(\frac(3)(2)\) 점을 표시해 보겠습니다. 부등식이 엄밀하지 않음에도 불구하고 분모의 요점에 구멍이 있음을 유의하십시오. 사실이 점은 부등식으로 대체 할 때 0으로 나누기 때문에이 점이 해결책이 될 수 없다는 것입니다. 이제 동일한 숫자 축에 ODZ를 표시하고 ODZ에 해당하는 간격에 대한 응답으로 기록합니다. 최종 답변을 작성하십시오. 예시
. 부등식 풀기: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) 해결책:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) ODZ를 작성해 봅시다. ODZ: \(x>0\) 해결 방법을 알아보겠습니다. 솔루션: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) 우리 앞에는 전형적인 제곱-로그 부등식이 있습니다. 우리는하다. \(t=\log_3x\) \(D=1+8=9\) 이제 원래 변수인 x로 돌아가야 합니다. 이를 위해 동일한 솔루션을 가진 에 전달하고 역 치환을 수행합니다. \(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \로그_3x<-1 \end{gathered} \right.\) 변환 \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). \(\left[ \begin(gathered) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 인수 비교로 넘어 갑시다. 로그의 밑은 \(1\)보다 크므로 부등식의 부호는 변경되지 않습니다. \(\left[ \begin(집합) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 부등식과 ODZ의 해를 하나의 그림으로 결합해 봅시다. 답을 적어봅시다. 다양한 대수 부등식 중에서 가변 밑이 있는 부등식을 별도로 연구합니다. 그들은 어떤 이유로 학교에서 거의 가르치지 않는 특별한 공식에 따라 해결됩니다. log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0 갈까마귀 "∨"대신 부등식 기호를 넣을 수 있습니다. 가장 중요한 것은 두 불평등 모두에서 표시가 동일하다는 것입니다. 그래서 우리는 로그를 제거하고 문제를 합리적인 부등식으로 줄입니다. 후자는 해결하기가 훨씬 쉽지만 로그를 버릴 때 추가 근이 나타날 수 있습니다. 그것들을 차단하려면 허용 가능한 값의 범위를 찾는 것으로 충분합니다. 로그의 ODZ를 잊어버린 경우 반복하는 것이 좋습니다. "로그란 무엇인가"를 참조하십시오. 허용 가능한 값의 범위와 관련된 모든 것은 별도로 작성하고 해결해야 합니다. f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. 이 네 가지 불평등은 시스템을 구성하며 동시에 충족되어야 합니다. 허용 가능한 값의 범위가 발견되면 합리적인 불평등의 솔루션과 교차해야하며 답이 준비됩니다. 일. 부등식 해결: 먼저 로그의 ODZ를 작성해 보겠습니다. 처음 두 부등식은 자동으로 수행되며 마지막 부등식은 작성해야 합니다. 숫자의 제곱은 숫자 자체가 0인 경우에만 0이므로 다음을 얻습니다. x 2 + 1 ≠ 1; 로그의 ODZ는 0을 제외한 모든 숫자임이 밝혀졌습니다: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). 이제 주요 부등식을 해결합니다. 로그 부등식에서 합리적인 부등식으로의 전환을 수행합니다. 원래 부등식에는 "보다 작음" 기호가 있으므로 결과 부등식에도 "미만" 기호가 있어야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; 이 표현식의 0: x = 3; x = -3; x = 0. 또한 x = 0은 두 번째 다중도의 근이므로 이를 통과할 때 함수의 부호가 변경되지 않습니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: 우리는 x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)를 얻습니다. 이 집합은 로그의 ODZ에 완전히 포함되어 있으므로 이것이 답입니다. 종종 원래의 부등식은 위의 부등식과 다릅니다. 이것은 로그 작업에 대한 표준 규칙에 따라 쉽게 수정할 수 있습니다. "로그의 기본 속성"을 참조하십시오. 즉: 이와 별도로 허용되는 값의 범위에 대해 상기시켜 드리고자 합니다. 원래 부등식에는 여러 로그가 있을 수 있으므로 각 로그의 DPV를 찾아야 합니다. 따라서 로그 부등식을 푸는 일반적인 계획은 다음과 같습니다. 일. 부등식 해결: 첫 번째 로그의 정의 영역(ODZ) 찾기: 우리는 간격 방법으로 풉니다. 분자의 0 찾기: 3x - 2 = 0; 그런 다음 - 분모의 0: x − 1 = 0; 좌표 화살표에 0과 기호를 표시합니다. 우리는 x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞)를 얻습니다. ODZ의 두 번째 로그는 동일합니다. 내 말을 못 믿겠다면 확인할 수 있다. 이제 밑이 2가 되도록 두 번째 로그를 변환합니다. 보시다시피 밑과 로그 앞의 3배가 줄어들었습니다. 밑이 같은 두 개의 로그를 구합니다. 함께 넣어 봅시다: 로그 2 (x − 1) 2< 2; 표준 로그 부등식을 얻었습니다. 우리는 공식에 의해 로그를 제거합니다. 원래 부등식에는 보다 작음 기호가 있으므로 결과로 나오는 유리식도 0보다 작아야 합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: (f(x) - g(x)) (k(x) - 1)< 0; 우리는 두 세트를 얻었다: 이 세트를 건너는 것이 남아 있습니다. 우리는 진정한 답을 얻습니다. 우리는 집합의 교차에 관심이 있으므로 두 화살표에서 음영 처리된 간격을 선택합니다. 우리는 x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)를 얻습니다. 모든 점에 구멍이 뚫립니다. 사용의 대수 부등식
세친 미하일 알렉산드로비치 카자흐스탄 공화국 학생을 위한 소규모 과학 아카데미 "Seeker" MBOU "소비에트 중등 학교 1번", 11학년, 마을. 소비에트스키 소비에트 지구 Gunko Lyudmila Dmitrievna, MBOU "소비에트 중등 학교 1번" 교사 소비에트스키 지구 객관적인:비표준 방법을 사용하여 C3 로그 부등식을 해결하는 메커니즘에 대한 연구를 통해 로그에 대한 흥미로운 사실을 알 수 있습니다. 연구 주제:
3) 비표준 방법을 사용하여 특정 로그 C3 부등식을 푸는 방법을 배웁니다. 결과:
콘텐츠
소개 ...........................................................................................................................4
1장 배경 ..................................................................................................................5
2장. 로그 부등식의 집합 ........................................................... 7
2.1. 등가 전이 및 간격의 일반화 방법 ........................................... 7 2.2. 합리화 방법 ........................................................................................... 15 2.3. 비표준 대체 ........................................................................................................................................... 22 2.4. 트랩이 있는 작업........................................................................................... 27 결론........................................................................................................................... 30
문학……………………………………………………………………. 31
소개
저는 11학년이고 수학이 핵심 과목인 대학에 입학할 계획입니다. 이것이 제가 파트 C의 작업으로 많은 작업을 하는 이유입니다. 작업 C3에서는 일반적으로 로그와 관련된 비표준 부등식 또는 부등식 시스템을 해결해야 합니다. 시험을 준비하면서 C3에서 제공하는 시험 대수 부등식을 푸는 방법과 기법이 부족하다는 문제에 부딪쳤습니다. 이 주제에 대한 학교 교과 과정에서 공부하는 방법은 C3 과제 해결을 위한 기초를 제공하지 않습니다. 수학 선생님은 그녀의 지도 하에 C3 과제를 스스로 해보라고 제안했습니다. 또한 나는 질문에 관심이있었습니다. 우리 삶에 로그가 있습니까? 이를 염두에 두고 다음과 같은 주제를 선택했습니다. "시험의 로그 부등식"
객관적인:비표준 방법을 사용하여 C3 문제를 해결하는 메커니즘에 대한 연구를 통해 로그에 대한 흥미로운 사실을 알 수 있습니다. 연구 주제:
1) 로그 부등식을 푸는 비표준 방법에 대해 필요한 정보를 찾습니다. 2) 로그에 대한 추가 정보를 찾습니다. 3) 비표준 방법을 사용하여 특정 C3 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 결과:
실질적인 의미는 문제 해결 장치 C3의 확장에 있습니다. 이 자료는 일부 수업, 서클 수행, 수학의 선택적 수업에서 사용할 수 있습니다. 프로젝트 제품은 "해를 포함하는 대수 C3 부등식" 모음입니다. 1장. 배경
16세기 동안, 대략적인 계산의 수는 주로 천문학에서 급격히 증가했습니다. 도구의 개선, 행성 운동의 연구 및 기타 작업에는 막대한 계산이 필요했고 때로는 수년이 걸렸습니다. 천문학은 충족되지 않은 계산에 빠져 죽을 위험에 처했습니다. 다른 영역에서도 어려움이 발생했습니다. 예를 들어 보험 사업에서는 다양한 백분율 값에 대한 복리표가 필요했습니다. 주요 어려움은 곱셈, 여러 자리 숫자의 나눗셈, 특히 삼각량이었습니다. 로그의 발견은 16세기 말까지 잘 알려진 진행의 속성을 기반으로 했습니다. 아르키메데스는 시편에서 기하학적 진행 q, q2, q3, ...의 구성원과 지표 1, 2, 3, ...의 산술 진행 사이의 연결에 대해 말했습니다. 또 다른 전제 조건은 차수 개념을 음수 및 분수 지수로 확장하는 것이었습니다. 많은 저자들은 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 근 추출이 같은 순서로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에서 기하급수적으로 대응한다고 지적했습니다. 지수로서의 로그에 대한 아이디어가 있었습니다. 로그 교리의 발전 역사에서 여러 단계를 거쳤습니다. 스테이지 1
로그는 1594년에 스코틀랜드 남작 네이피어(1550-1617)에 의해 독립적으로 발명되었고 10년 후 스위스 기계공 부르기(1552-1632)에 의해 발명되었습니다. 둘 다 다른 방식으로 이 문제에 접근했지만 산술 계산의 새로운 편리한 수단을 제공하기를 원했습니다. 네이피어는 대수함수를 기구학적으로 표현하여 함수이론의 새로운 분야에 진입하였다. Bürgi는 이산적인 진행을 고려하여 유지되었습니다. 그러나 둘 다에 대한 로그의 정의는 현대의 정의와 유사하지 않습니다. "로그"(logarithmus)라는 용어는 네이피어에 속합니다. 그것은 "관계의 수"를 의미하는 그리스 단어 로고스("관계"와 ariqmo - "숫자")의 조합에서 유래했습니다. 처음에 네이피어는 다른 용어를 사용했습니다. numeri Artificiales - "인공 숫자", numeri naturalt - "자연수"와 반대입니다. 1615년, 네이피어는 런던 그레시 칼리지의 수학 교수인 헨리 브릭스(Henry Briggs, 1561-1631)와의 대화에서 1의 로그에는 0을, 10의 로그에는 100을 취하라고 제안했습니다. , 단 1. 이것은 십진 로그와 첫 번째 로그 테이블이 인쇄된 방법입니다. 나중에 Briggs 테이블은 네덜란드 서점과 수학자 Andrian Flakk(1600-1667)에 의해 보완되었습니다. 네이피어와 브릭스는 다른 누구보다 먼저 대수에 도달했지만 1620년에 다른 사람들보다 늦게 표를 발표했습니다. 로그 및 로그는 1624년 I. Kepler에 의해 도입되었습니다. "자연 로그"라는 용어는 1659년 Mengoli에 의해 소개되었고, 1668년 N. Mercator가 뒤를 이었습니다. 런던 교사인 John Spadel은 "New Logarithms"라는 이름으로 1에서 1000까지의 자연 로그 표를 출판했습니다. 러시아어로 최초의 대수표는 1703년에 출판되었습니다. 그러나 모든 로그 테이블에서 계산에 오류가 발생했습니다. 최초의 오류 없는 표는 독일 수학자 K. Bremiker(1804-1877)의 처리 과정에서 1857년 베를린에서 출판되었습니다. 2단계
로그 이론의 추가 개발은 해석 기하학 및 극소 미적분학의 광범위한 적용과 관련이 있습니다. 그때까지 등변 쌍곡선의 구적법과 자연 로그 사이의 연결이 확립되었습니다. 이 기간의 로그 이론은 많은 수학자의 이름과 관련이 있습니다. 독일 수학자, 천문학자, 공학자 니콜라우스 메르카토르(Nikolaus Mercator)의 에세이 "Logarithmotechnics"(1668)는 다음과 같이 ln(x + 1)의 확장을 제공하는 급수를 제공합니다. 힘 x: 이 표현은 그의 생각의 과정과 정확히 일치하지만, 물론 그는 기호 d, ...를 사용하지 않았지만 더 복잡한 기호를 사용했습니다. 대수 급수의 발견으로 대수를 계산하는 기술이 변경되었습니다. 대수는 무한 급수를 사용하여 결정되기 시작했습니다. F. Klein은 1907-1908년에 읽은 그의 강의 "초등 수학"에서 로그 이론을 구성하기 위한 출발점으로 공식을 사용할 것을 제안했습니다. 3단계
역함수로서의 로그 함수의 정의 지수, 주어진 밑의 지수로서의 로그 즉시 공식화되지 않았습니다. Leonhard Euler(1707-1783)의 작품 "극소수의 분석 소개"(1748) 대수 함수 이론의 발전. 이런 식으로, 로그가 처음 도입된 지 134년이 지났습니다. (1614년부터 계산) 수학자들이 정의를 내리기 전에 이제 학교 과정의 기초가 된 로그의 개념. 2장. 로그 부등식의 수집
2.1. 등가 전이 및 간격의 일반화 방법. 등가 전환
일반화된 간격 방법
이 방법은 거의 모든 유형의 불평등을 해결하는 데 가장 보편적입니다. 솔루션 구성표는 다음과 같습니다. 1. 함수가 왼쪽에 있는 이러한 형식으로 부등식을 가져옵니다. 2. 기능 범위 찾기 3. 함수의 0 찾기 4. 정의 영역과 함수의 0을 실제 선에 그립니다. 5. 함수의 부호를 결정하십시오 6. 함수가 필요한 값을 취하는 간격을 선택하고 답을 기록하십시오. 실시예 1
해결책:
간격 방법 적용 어디 이러한 값의 경우 로그 부호 아래의 모든 표현식은 양수입니다. 대답:
실시예 2
해결책:
1위
방법
.
ODZ는 부등식에 의해 결정됩니다. 엑스> 3. 이러한 로그를 취하기 엑스 10진법에서 우리는 마지막 부등식은 분해 규칙을 적용하여 해결할 수 있습니다. 요인을 0과 비교합니다. 그러나 이 경우 함수의 불변 구간을 쉽게 결정할 수 있습니다. 간격 방법을 적용할 수 있습니다. 기능 에프(엑스) = 2엑스(엑스- 3.5) lgǀ 엑스- 3ǀ는 연속 엑스> 3 및 점에서 사라짐 엑스 1 = 0, 엑스 2 = 3,5, 엑스 3 = 2, 엑스 4 = 4. 따라서 우리는 함수의 불변성 간격을 결정합니다 에프(엑스):
대답: 두 번째 방법
.
간격 방법의 아이디어를 원래의 부등식에 직접 적용해 보겠습니다. 이를 위해 우리는 표현을 기억합니다. ㅏ비- ㅏ c 및 ( ㅏ - 1)(비- 1) 하나의 기호가 있습니다. 그러면 우리의 불평등은 엑스> 3은 부등식과 같습니다. 또는 마지막 부등식은 간격 방법으로 해결됩니다. 대답: 실시예 3
해결책:
간격 방법 적용 대답: 실시예 4
해결책:
2부터 엑스 2 - 3엑스모든 실수에 대해 + 3 > 0 엑스, 그 다음에 두 번째 부등식을 해결하기 위해 간격 방법을 사용합니다. 첫 번째 불평등에서 우리는 변화를 만듭니다. 그러면 우리는 부등식 2y 2에 도달합니다. 와이 - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те 와이, 부등식 -0.5를 충족< 와이 < 1.
어디서부터, 왜냐하면 우리는 불평등을 얻는다 로 수행되는 엑스, 2 엑스 2 - 3엑스 - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
이제 시스템의 두 번째 부등식의 솔루션을 고려하여 최종적으로 다음을 얻습니다. 대답:
실시예 5
해결책:
불평등은 일련의 시스템과 동일합니다. 또는 간격 방법을 적용하거나 대답:
실시예 6
해결책:
불평등은 시스템과 같다 허락하다 그 다음에 와이 > 0,
그리고 첫 번째 불평등 시스템이 형식을 취합니다. 또는 확장 인수에 대한 제곱 삼항, 마지막 부등식에 구간법을 적용하면, 우리는 그 솔루션이 조건을 만족하는 것을 봅니다. 와이> 0은 모두 와이 > 4.
따라서 원래 불평등은 다음 시스템과 동일합니다. 따라서 부등식의 해는 모두 2.2. 합리화 방법. 이전에는 불평등을 합리화하는 방법이 해결되지 않았고 알려지지도 않았습니다. 이것은 "지수 및 로그 부등식을 풀기 위한 새롭고 효과적인 현대적 방법"입니다(Kolesnikova S.I.의 책에서 인용). "매직 테이블"
다른 출처에서
만약 a >1 및 b >1, 다음 log a b >0 및 (a -1)(b -1)>0; 만약 a >1 및 0 0이면<ㅏ<1 и b
>1, 로그 a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
0이면<ㅏ<1 и 00 및 (a -1)(b -1)>0. 위의 추론은 간단하지만 로그 부등식의 솔루션을 눈에 띄게 단순화합니다. 실시예 4
로그 x (x 2 -3)<0
해결책:
실시예 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) 해결책: 실시예 6
이 부등식을 해결하기 위해 분모 대신 (x-1-1) (x-1)을, 분자 대신 곱 (x-1) (x-3-9 + x)을 작성합니다. 실시예 7
실시예 8
2.3. 비표준 대체. 실시예 1
실시예 2
실시예 3
실시예 4
실시예 5
실시예 6
실시예 7
로그 4(3 x -1) 로그 0.25 치환을 y=3 x -1로 합시다. 이 불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다. 로그 4 로그 0.25 왜냐하면 로그 0.25 대체 t =log 4 y를 만들고 부등식 t 2 -2t +≥0을 구해 봅시다. 그 해는 구간 - 따라서 y의 값을 찾기 위해 두 가지 가장 단순한 부등식 세트가 있습니다. 따라서 원래 부등식은 두 지수 부등식의 집합과 같습니다. 이 집합의 첫 번째 부등식의 해는 구간 0입니다.<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 실시예 8
해결책:
불평등은 시스템과 같다 ODZ를 결정하는 두 번째 부등식의 해는 엑스,
무엇을 위해 엑스 > 0.
첫 번째 불평등을 해결하기 위해 변경합니다. 그러면 우리는 불평등을 얻는다. 또는 마지막 부등식의 솔루션 세트는 다음 방법으로 구합니다. 간격: -1< 티 < 2. Откуда, возвращаясь к переменной 엑스, 우리는 얻는다 또는 그 중 많은 엑스, 마지막 부등식을 만족하는 ODZ에 속해( 엑스> 0) 따라서 시스템에 대한 솔루션입니다. 따라서 원래 불평등. 대답: 2.4. 트랩이 있는 작업. 실시예 1
해결책.부등식의 ODZ는 모두 x가 조건 0을 충족하는 것입니다. 실시예 2
로그 2(2x +1-x 2)>로그 2(2x-1 +1-x)+1. 결론
다양한 교육 소스에서 C3 문제를 해결하기 위한 특별한 방법을 찾는 것은 쉽지 않았습니다. 작업을 진행하면서 복잡한 로그 부등식을 푸는 비표준 방법을 연구할 수 있었습니다. 이는 등가 전이 및 간격의 일반화 방법, 합리화 방법입니다. ,
비표준 대체 ,
ODZ에 함정이 있는 작업. 이러한 방법은 학교 커리큘럼에 없습니다. 다른 방법을 사용하여 파트 C, 즉 C3의 USE에서 제공되는 27개의 부등식을 해결했습니다. 방법에 의한 솔루션과의 이러한 불평등은 내 활동의 프로젝트 제품이 된 "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions" 컬렉션의 기초를 형성했습니다. 프로젝트 초기에 제시한 가설이 확인되었습니다. C3 문제는 이러한 방법을 알면 효과적으로 해결할 수 있습니다. 또한 로그에 대한 흥미로운 사실을 발견했습니다. 하는 것이 흥미로웠습니다. 내 프로젝트 제품은 학생과 교사 모두에게 유용합니다. 결론:
따라서 프로젝트의 목표가 달성되고 문제가 해결됩니다. 그리고 저는 작업의 모든 단계에서 프로젝트 활동에서 가장 완전하고 다재다능한 경험을 얻었습니다. 프로젝트 작업 과정에서 나의 주요 발달 영향은 정신 능력, 논리적 정신 조작과 관련된 활동, 창의적 능력 개발, 개인 주도성, 책임, 인내 및 활동이었습니다. 연구 프로젝트를 만들 때 성공 보장 나는 중요한 학교 경험, 다양한 출처에서 정보를 추출하는 능력, 신뢰성을 확인하고 중요성에 따라 순위를 매기는 능력이 되었습니다. 수학에 대한 직접적인 교과 지식 외에도 컴퓨터 공학 분야에서 실무 능력을 확장하고 심리학 분야에서 새로운 지식과 경험을 쌓았으며 급우들과의 관계를 형성하고 어른들과 협력하는 법을 배웠습니다. 프로젝트 활동의 과정에서 조직, 지적 및 의사 소통 일반 교육 기술과 능력이 개발되었습니다. 문학
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. 하나의 변수가 있는 불평등 시스템(전형적인 작업 C3). 2. Malkova A. G. 수학 통합 국가 시험 준비. 3. S. S. Samarova, 대수 부등식의 솔루션. 4. 수학. A.L.이 편집한 교육 작품 모음 세미노프와 I.V. 야셴코. -M.: MTsNMO, 2009. - 72p.-
수업 목표: 남을 가르치고 싶어하는: 개발 중:기억력, 주의력, 논리적 사고력, 비교 기술을 개발하고 일반화하고 결론을 도출할 수 있습니다. 교육적인:정확성, 수행된 작업에 대한 책임, 상호 지원을 배양합니다. 교육 방법:
언어 적 ,
시각적인 ,
현실적인 ,
부분 검색 ,
자치 정부 ,
제어. 학생들의인지 활동 조직 형태 :
정면 ,
개인 ,
쌍으로 일하십시오. 장비:
테스트 작업 세트, 참조 노트, 솔루션용 빈 시트. 수업 유형:새로운 자료를 학습합니다. 수업 중 1. 조직적 순간.수업의 주제와 목표, 수업 계획이 발표됩니다. 각 학생에게는 수업 중에 작성하는 평가 시트가 제공됩니다. 각 학생 쌍에 대해 - 작업이 포함된 인쇄물의 경우 작업을 쌍으로 완료해야 합니다. 결정을 위한 빈 시트; 참조 시트: 로그의 정의; 로그 함수의 그래프, 속성; 로그의 속성; 로그 부등식을 푸는 알고리즘. 자체 평가 후 모든 결정은 교사에게 제출됩니다. 학생 성적표 2. 지식의 실현. 교사 지침. 로그의 정의, 로그 함수의 그래프 및 속성을 기억하십시오. 이렇게 하려면 Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin 등이 편집한 교과서 "대수와 분석의 시작 10-11"의 pp. 88-90, 98-101에 있는 텍스트를 읽으십시오. 학생들에게는 다음과 같은 내용이 적힌 시트가 제공됩니다. 로그 함수, 그 속성의 그래프를 보여줍니다. 로그의 속성; 로그 부등식을 풀기 위한 알고리즘, 제곱으로 축소되는 로그 부등식을 푸는 예입니다. 3. 새로운 자료를 배운다. 대수 부등식의 해는 대수 함수의 단조성을 기반으로 합니다. 로그 부등식을 푸는 알고리즘: A) 부등식의 정의 영역을 찾으십시오(하위 식은 0보다 큼). 학습 요소 #1. 목적: 가장 단순한 로그 부등식의 해를 수정하기 위해 학생의인지 활동 조직 형태 : 개별 작업. 10 분 동안 독립적 인 작업을위한 작업. 각 부등식에 대해 몇 가지 답변이 있으며 올바른 답변을 선택하고 키로 확인해야 합니다. 학습 요소 #2. 목적: 대수 속성을 적용하여 대수 부등식의 해를 수정합니다. 교사 지시. 로그의 기본 속성을 기억하십시오. 이렇게 하려면 p.92, 103–104에 있는 교과서의 텍스트를 읽으십시오. 10 분 동안 독립적 인 작업을위한 작업. KEY: 2113, 최대 포인트 수는 8입니다. b. 학습 요소 #3. 목적: 제곱으로 축소하는 방법으로 로그 부등식의 솔루션을 연구합니다. 교사 지침: 부등식을 제곱으로 줄이는 방법은 이 변수에 대해 제곱 부등식을 얻으면서 특정 로그 함수가 새 변수로 표시되는 형식으로 부등식을 변환해야 한다는 것입니다. 간격 방법을 사용합시다. 재료의 첫 번째 동화 단계를 통과했습니다. 이제 모든 지식과 능력을 사용하여 로그 방정식을 푸는 방법을 독립적으로 선택해야 합니다. 학습 요소 번호 4. 목적: 스스로 해결하는 합리적인 방법을 선택하여 로그 부등식의 솔루션을 통합합니다. 10분 동안 독립적인 작업을 위한 작업 학습 요소 번호 5. 교사 지시. 잘 했어! 두 번째 복잡성 수준의 방정식 풀이를 마스터했습니다. 추가 작업의 목적은 더 복잡하고 비표준적인 상황에서 지식과 기술을 적용하는 것입니다. 독립 솔루션을 위한 작업: 교사 지시. 모든 작업을 완료했다면 좋습니다. 잘 했어! 전체 수업의 점수는 모든 교육 요소에 대해 득점한 점수에 따라 다릅니다. 선생님에게 넘겨줄 여우. 5. 숙제: 15점 이하의 점수를 받은 경우 b - 실수에 대한 작업을 수행합니다(해법은 교사에게서 받을 수 있음). 15점 이상인 경우 b - "로그 부등식" 주제에 대한 창의적인 작업을 수행합니다.
예제 솔루션
3x > 24;
x > 8. 
로그 부등식을 풀기 위해 무엇이 필요합니까?
숙제
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)로그 부등식을 푸는 방법:
\(-\) if - 숫자이고 1보다 크면 - 부등호는 전환 중에 동일하게 유지됩니다.
\(-\) 밑이 0보다 크고 1보다 작은 숫자(0과 1 사이)인 경우 부등호는 반대로 되어야 합니다.
ODZ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(엑스<8\)
\(\로그\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\)
\({2}\)
\(8-x\)\(<\)
\(2\)
\(8-2
답: \((6;8)\)
ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\)
\(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\왼쪽 화살표\) \(x\in(2;\infty)\)
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
답: \((2;5]\)
대답:
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)
대답:
\((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)
\(t^2-t-2>0\) 부등식의 좌변을 로 확장합니다.
\(t_1= \frac(1+3)(2)=2\)
\(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)
x2 ≠ 0
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
로그 부등식의 변환
x = 2/3.
x = 1.
로그 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
a > 1인 경우
0이면 <
а <
1
, 그리고 오른쪽에 0..
, 즉, 방정식을 풀다 
(그리고 방정식을 푸는 것이 일반적으로 부등식을 푸는 것보다 쉽습니다).수신 간격으로.
그리고 선생님이 알더라도 두려운 마음이 있었는데 USE 전문가는 알면서도 학교에서는 가르쳐주지 않는 걸까요? 교사가 학생에게 "어디서 얻었습니까? 앉아 - 2"라고 말한 상황이있었습니다.
이제 이 방법은 모든 곳에서 홍보되고 있습니다. 그리고 전문가의 경우 이 방법과 관련된 지침이 있으며 솔루션 C3의 "표준 옵션의 가장 완전한 버전 ..."에서 이 방법이 사용됩니다.
방법은 훌륭합니다!
대답. (0; 0.5) U .
대답 :
(3;6)
.
= -로그 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , 마지막 부등식을 2log 4 y -log 4 2 y ≤로 다시 씁니다.
이 컬렉션의 솔루션은 간격 0입니다.<у≤2 и 8≤у<+.
즉, 집계 
. 따라서 원래 불평등은 간격 0에서 x의 모든 값에 대해 유지됩니다.<х≤1 и 2≤х<+.
.
. 따라서 구간 0의 모든 x는
B) 부등식의 왼쪽과 오른쪽 부분을 동일한 밑에서 로그로 표시합니다(가능한 경우).
C) 대수 함수가 증가하는지 감소하는지 결정합니다. t>1이면 증가합니다. 0이면
D) 함수가 증가하면 부등호가 보존되고 감소하면 변경된다는 점을 고려하여 더 단순한 부등식(하위 대수식)으로 이동합니다.
키: 13321, 최대 포인트 - 6p.
